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1. Definición de conceptos: estudiando el libro de (Ambardar), El estudiante investiga de manera individual y da respuesta a las siguientes preguntas teóricas:

a- Explique ¿qué es la transformada de Laplace?. De un (1) ejemplo de uso y/o aplicación en la ingeniería. Es una herramienta que permite el análisis de sistemas en el dominio de la frecuencia. La transformada de Laplace presenta una gama amplia de aplicaciones en el area del transporte para controlar que un automóvil se movilice de forma exacta y segura, en la industria para controlar multiples variables en el proceso de producción. b- ¿Qué es función de transferencia? Es el cociente de la transformada de la salida Y(s) y la transformada de la entrada X(s), o como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso h(t). Y ( s) H ( s )= X (s) c- ¿Cómo se obtienen los polos y los ceros de una función de transferencia? Al igualar el polinomio numerador a cero, se obtienen las raíces que se conocen como los ceros del sistema. Al igualar el polinomio denominador a cero, se obtienen las raíces que se conocen como los polos del sistema. d- Explique el método de descomposición en fracciones simples. Es una herramienta que permite expresar una función racional P( s)/Q(s ) como la suma de términos numeradores constantes y cuyos denominadores corresponden a factores lineales y/o repetidos de Q(s). Si Q( s) contiene factores lineales distintos, este puede escribirse. K1 K2 K1 P(s) X ( s )= = + +…+ s+ p1 ( s+ p1 ) ( s+ p2 ) …(s+ p N ) s + p 1 s + p2 Si Q( s) contiene factores lineales repetidos, escribirse. K1 A0 A1 A k−1 P(s) X ( s )= = + + +…+ k k k−1 s+ r ( s+ p1 ) ( s+r ) s + p1 ( s+r ) ( s+ r )

este

puede

e- Explique la utilidad de la transformada de Laplace en los sistemas. La transformada de Laplace presenta gran utilidad ya que permite analizar sistemas dinámicos lineales, e igualmente diseñar y analizar sistemas de control de manera más simple.

2. Ejercicios: Cada estudiante de manera individual debe resolver los siguientes tres (3) ejercicios.

1.1.

Ejercicio 1- Transformada de Laplace: Desarrolle las siguientes transformadas de Laplace de manera análitica utilizando la tabla de transformadas de la página 331 del libro guía y posteriormente verifique su respuesta con el uso de la herramienta online que se encuentra en la siguiente página web: https://es.symbolab.com/solver/inverselaplacecalculator/laplace%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bs %2B2%7D a=6 b=6 a) x ( t )=b∗t 2 .u ( t )=6∗t 2 . u (t ) Utilizando las tablas de transformadas. 6.2 ! 12 X ( s )=L|6∗t 2 . u ( t )|=6 L|t 2 . u ( t )|= 3 = 3 s s b) x ( t )=cos ( b∗t ) .u ( t )=cos ( 6∗t ) .u ( t ) Utilizando las tablas de transformadas. s X ( s )=L|cos ⁡(6∗t). u ( t )|= 2 s +36

c) x ( t )=t a∗e−4∗a∗t .u ( t )=t 6∗e−4∗6∗t .u ( t )=t 6∗e−24∗t .u ( t ) Empleando las tablas de transformadas del libro guía. 6! X ( s )=L|t 6 e−24∗t .u ( t )|= L|t 6 .u ( t )|¿ s → s +24= 7 ¿ s → s +24 s

||

X (s)=

2.2

7 20 (s +2 4)7

Ejercicio 2 – Función de transferencia (polos y ceros): Usando como guía los ejemplos 11.4 y 11.5 de las páginas 338 y 339 del libro guía Ambardar, determine la función de transferencia, encuentre y dibuje los polos y ceros del siguiente sistema.

y ' ' ' ( t ) + 4 y '' ( t ) + b y' ( t ) + 4 y (t)=ax ' ' ( t ) +5 x ' ( t ) Posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script en Matlab, Octave o Scilab y anexando el resultado junto con el script (práctica). a=6 b=6 y ' ' ' ( t ) + 4 y '' ( t ) +6 y ' ( t ) + 4 y (t)=6 x' ' ( t ) +5 x' ( t ) L [ y ' ' ' ( t ) +4 y ' ' ( t ) +6 y ' ( t ) +4 y (t) ]=L [ 6 x ' ' ( t ) +5 x ' ( t ) ] s3 Y (s )+ 4 s2 Y ( s)+ 6 sY (s)+ 4 Y (s)=6 s2 X ( s)+5 sX (s ) Y ( s ) [s 3+ 4 s2 +6 s+ 4]=X ( s)[6 s2 +5 s ] Y (s) 6 s 2+5 s H ( s )= = 3 X (s) s + 4 s2 +6 s+ 4 Código en Matlab. % Funcion de transferencia - Nicolas Escobar num=[6 5 0]; %x(s)=6s^2+5s dem=[1 4 6 4]; %y(s)=s^3+4s^2+6s+4 Hs=tf(num,dem) %Funcion de transferencia Polos=pole(Hs);%Polos Ceros=zero(Hs);%Ceros pzmap(Hs) %Grafica de polos y ceros

2.3. Ejercicio 3 – Transformada inversa de Lapace: Usando como guía el ejemplo 11.6 de la página 342 del libro guía Ambardar, determine analíticamente h(t), sabiendo que: a ( s −a s+ 4 ) ( s+ a ) a=6 b=6 6 H (s)= 2 ( s −6 s+ 4 ) ( s+6 ) H (s)=

2

Empleando fracciones parciales. 6 A s+ B C = 2 + ( s −6 s+ 4 ) ( s+6 ) ( s −6 s +4 ) ( s+6 ) 2

6=( As +B )( s+6 )+ C ( s2−6 s+ 4 ) s=−6 6=C ( s2−6 s+ 4 ) 6=C ( (−6)2−6 (−6)+4 )

C=

3 38

6=( As +B )( s+6 )+ C ( s2−6 s+ 4 ) 6=A s 2+ ( 6 A +B ) s+ 6 B+C ( s 2−6 s+ 4 ) 6=( A +C ) s2 + ( 6 A+ B−6 C ) s +( 6 B+ 4 C) A+C=0 → A=−C=

−3 38

6 B+4 C=6 →6 B=6−4 C 6 B=6−4 B=

( 383 )=6− 1238 = 216 38

36 38

H ( s )=

−3 s +36 3 + 2 38 ( s −6 s+ 4 ) 38 ( s+6 )

H ( s )=

−3(s−3)+27 3 + 2 38 ( (s−3) −5 ) 38 ( s+6 )

Reacomodando los términos se obtienen. H ( s )=

−3( s−3) 27 √5 3 + + 2 2 38 ( (s−3) −5 ) 38 √ 5 ((s−3) −5 ) 38 ( s+ 6 )

Realizando transformada inversa se obtiene. −3 3 t 27 3 t 3 h ( t )= e cosh ( √5 t ) + e sinh ⁡( √ 5 t)+ e−6 t 38 38 38 √ 5