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• Esthefany Barrientos Taquiri

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HIDRODINAMICA

HIDRODINAMICA DEFINICION: Es la parte de la Mecánica de Fluidos que estudia los fluidos en movimiento. Se estudiará la relación entre la presión y su velocidad. Si la ϒ cambia con la presión se dice que el fluido es compresible y lo estudia la aerodinámica. Si la ρ cambia muy poco con la presión en los líquidos, se dice que el fluido es incompresible, lo estudia la hidrodinámica. Para los fines de la Hidrodinámica es necesario saber el significado de ciertos términos tales como: flujo, líneas de corriente, etc. FLUJO: Se llama flujo al movimiento de las partículas del fluido LINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE Una línea de corriente es una curva imaginaria que conecta una serie de puntos en el espacio en un instante dado de tal forma que todas las partículas que están sobre la curva en ese instante tienen sus vectores velocidad tangente a la misma. La figura muestra el esquema de unas líneas de corrientes. Las líneas de corriente indican la dirección del movimiento de las partículas que se encuentran a lo largo de ellas en un instante dado. Es necesario tener en cuenta que a través de una línea de corriente no puede pasar fluido. Regiones de alta densidad de líneas de corriente da lugar a regiones de gran velocidad y viceversa. Las líneas de corriente no se cortan. TUBOS DE FLUJO O DE CORRIENTE Un haz de líneas de flujo se llama tubo de flujo. Si la sección recta del tubo de corriente es suficientemente pequeña, la velocidad en el punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velocidad media en dicha sección. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Tres principios fundamentales fundamentales se aplican al flujo de fluidos:

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a) El principio de conservación de la masa, que sirve para determinar la ecuación de Continuidad. b) El principio de conservación de la energía, a partir del cual se deduce la ecuación de Bernoulli. c) El principio de conservación de la cantidad de movimiento, a partir del cual se deducen ecuaciones para calcular las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

TIPOS DE FLUJO O RÉGIMEN A) FLUJO LAMINAR Cuando las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectoria uniforme, paralela en capas, láminas o planos paralelos deslizándose una capa sobre la otra. En este caso las velocidades de las partículas coinciden con las líneas de corriente. El flujo laminar está relacionado con la viscosidad de la sustancia y por eso se llama también flujo puramente viscoso. En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad. Es la viscosidad en el flujo laminar deja de ser estable cuando es pequeña la viscosidad, o es grande la velocidad o el caudal y se rompe la uniformidad de estos casos transformándose en turbulento. B) FLUJO TURBULENTO Las partículas de fluido se mueven siguiendo trayectorias irregulares desordenadas originando un intercambio de cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra. Técnicamente hablando las componentes de la velocidad tienen fluctuaciones turbulentas al azar que se imponen sobre sus valores medios. Los efectos de viscosidad también están presentes en el flujo turbulento, pero son separados por los esfuerzos portantes en turbulencia. Tanto al flujo laminar como el turbulento ocurren en la naturaleza, pero se considera que el turbulento tiene mayor incidencia. C) FLUJO COMPRESIBLE Cuando su densidad varía con la presión y la temperatura. Ejemplo: gases. En el flujo compresible se distinguen los siguientes tipos:  Flujo subsónico. Cuandoel fluido se mueve con velocidad menores que la del sonido aquí M ˂ 1.

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Para caracterizar estos tipos de flujo se usa un parámetro adimensional que se llama número de Mach, que está definido en la siguiente forma: 𝑉

M=𝑎

D)

E)

F)

G)

V = velocidad del fluido a = velocidad del sonido = 330m/s  Flujo supersónico. Cuando M=1  Flujo sónico. Cuando M = 1  flujo transónico. Cuando parte de un cuerpo tiene un fluido que fluye sobre él con M < 1 y en otra parte del cuerpo tiene el fluido fluyendo con M > 1, de tal manera que en algún punto M = 1. Esta situación se da en los cohetes; también en los aeroplanos. Esto es consecuencia de que la velocidad del sonido y la velocidad del fluido varían sobre el cuerpo; y esta variación se debe a que la temperatura varia sobre el cuerpo, la que da como consecuencia que la velocidad local del sonido varíe. FLUJO INCOMPRESIBLE Corresponde al movimiento de los líquidos. Estos se caracterizan por ser incompresibles para los fines prácticos. La densidad varía poquísimo con la presión y la temperatura que se considera despreciable. Solamente cuando se tratan de problemas que involucran propagaciones sonoras debe considerarse aun liquido como compresible. FLUJO ESTABLE O PERMANENTE Cuando en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes son la misma. Pero puede variar de un punto a otro, es decir; ser variable respecto a las coordenadas espaciales. FLUJO UNIFORME Cuando el modulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido en un instante dado. Es necesario mantener el flujo constante, para tener un fluido uniforme. Ejemplo: un líquido que se bombea a través de una tubería recta de sección uniforme. Si la tubería es curvada o de sección variable se tiene un flujo no uniforme. De acuerdo con las configuraciones o situaciones físicas reales tenemos las siguientes clases de flujos: FLUJO INTERNO

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Se produce cuna tensión de corte ando el fluido fluye confinado dentro de una estructura. Ejemplo: el que se produce en tuberías, canales, boquillas y maquinarias.

H) FLUJO EXTERNO Es el movimiento del fluido alrededor de objetos tal como ocurre en aerodinámica. La capa de fluido en la inmediata vecindad de una pared solida se llama capa límite y el fluido de su interior debe considerarse como un fluido real, es decir poseyendo viscosidad. En la capa limite hay una tensión de corte y se origina una conversión de energía mecánica en térmica. I) FLUJO ISOTERMO E ISOENTROPICO Es isotermo cuando se produce el flujo sin cambio alguno de temperatura. Es isoentrópico cuando el flujo es adiabático reversible, aquí no entra ni sale calor a través de los límites del fluido. J) FLUJO POTENCIAL, IDEAL O IRROTACIONAL Tiene viscosidad nula, no es turbulento. Durante el movimiento no hay conversión de energía mecánica en térmica. Cuando el fluido ideal esta en reposo todas las partículas tienen la misma energía mecánica total. Sin embargo, cualquiera que sea la naturaleza del flujo han de cumplirse: a) La 2da. Ley de Newton del movimiento para cualquier particular y en cualquier instante. b) La ecuación de continuidad. Cuando se desea analizar el flujo de un fluido en forma más completa deben considerarse además de las dos leyes anteriores. c) La ley de conservación de la energía o primera ley de la termodinámica. d) La segunda ley de la termodinámica. METODOS DE ANALISIS DE FLUJO DE FLUIDOS Recordemos un fluido consta de diversas partículas elementales infinitamente pequeñas cuyas dimensiones son inconmensurables con las dimensiones de otras moléculas y átomos y el fluido llena el espacio que ocupa sin dejar vacíos, o sea representa un medio material continuo.

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Por esta razón el movimiento de un fluido se representa como una deformación ininterrumpida del medio material continuo. El estudio de este movimiento tiene como objetivo expresar en forma matemática las ecuaciones que gobiernan tal movimiento, el que se puede hacer por dos métodos: El de Lagrange y el de Euler:  METODO DE LAGRANGE: este método considera una cantidad determinada del fluido y sigue su movimiento como si se moviera a lo largo de un tubo.  METODO DE EULER: considera un elemento de volumen que esta fijo en el espacio, este se llama “volumen de control” y se considera el flujo de masa, momentum y energía dentro y fuera de este volumen fijo

𝒅𝒙

v

v +𝑑v

por ejemplo, podemos tomar como nuestro volumen de control una pequeña longitud(dx) de un tubo, rodeado de las superficies respectivas que se llaman “superficie de control”, como se puede observar en la figura ECUACION DE CONTINUIDAD En mecánica de fluidos la ley de la conservación de la masa se llama ecuación de continuidad y relación me densidad total del fluido con la densidad de impulso. La masa de fluido (𝑚1 ) que cruza 𝐴1 en (∆𝑡) es: ∆𝑚1 = 𝜌1 ∆𝑉 = 𝜌1 𝐴1 𝑣1 ∆𝑡, De igual forma para (∆𝑚2 ) que cruza 𝐴2 en ∆𝑡 es: ∆𝑚2 = 𝜌2 ∆𝑉 = 𝜌2 𝐴2 𝑣2 ∆𝑡

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∆𝑚1

El flujo de la masa en 𝐴1 es:

El flujo de la masa en 𝐴2 es:

= 𝜌1 𝐴1 𝑣1

∆𝑡 ∆𝑚2 ∆𝑡

= 𝜌2 𝐴2 𝑣2

Como no existen fuentes (aumento de masa) o sumideros (pérdida de masa), se tiene: ∆𝑚1 ∆𝑚2 = = 𝜌1 𝐴1 𝑣1 = 𝜌2 𝐴2 𝑣2 ∆𝑡 ∆𝑡 Como el mismo fluido es homogéneo: 𝜌1 = 𝜌2 , 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 Donde el producto: 𝐴𝑣 = 𝑄 se llama gasto, caudal, flujo de volumen o rapidez de flujo. ECUACION DE BERNOULLI La ecuación fundamental de la hidrodinámica es la ecuación de Bernoulli que relaciona: presión, velocidad y altura de los puntos situados a lo largo de una línea de corriente. Esta ecuación se deduce teniendo en cuenta los siguientes puntos de vista; y por lo tanto es válida para estos casos:  

Flujo permanente, sin rozamiento, incompresible. La aceleración de la gravedad como única fuerza interna que se cumple a lo largo de una línea de corriente.

La ecuación de Bernoulli es una forma integral importante de la ecuación del movimiento. Consideremos un fluido no viscoso, irrotacional, estable, incompresible, que se desplaza por un tubo de fluido. Sea 𝑝1 , 𝐴1 , 𝑣1 y ∆𝑙1 elementos del sistema al inicio, figura (a), y 𝑝2 , 𝐴2 , 𝑣2 y ∆𝑙2 después del movimiento de la masa, figura (b). El trabajo debido a la fuerza 𝐹1 = 𝑝1 𝐴1 es 𝑤1 = 𝑝1 𝐴1 ∆𝑙1, y debido a la fuerza 𝐹2 = 𝑝2 𝐴2 es 𝑤2 = 𝑝2 𝐴2 ∆𝑙2 El trabajo efectuado en contra de la fuerza de la gravedad: 𝑤3 = −𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1 )

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El trabajo total: 𝑊 = 𝑤1 + 𝑤2 + 𝑤3 = 𝑝1 𝐴1 ∆𝑙1 − 𝑝2 𝐴2 ∆𝑙2 − 𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ) Como

𝑚 𝜌

= 𝐴1 ∆𝑙1 = 𝐴2 ∆𝑙2 , reemplazando: 𝑚

𝑊 = (𝑝1 − 𝑝2 ) 𝜌 − 𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ) …………………………………(α) El cambio de energía cinética del elemento de fluido es: 1

1

∆𝐾 = 2 𝑚𝑣2 2 − 2 𝑚𝑣1 2 ……………………………………………(β) Como el teorema de Trabajo y Energía expresa: 𝑊 = ∆𝐾, de α y β 𝑚

1

1

(𝑝1 − 𝑝2) 𝜌 − 𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ) = 2 𝑚𝑣2 2 − 2 𝑚𝑣1 2 1

1

𝑝1 + 2 𝜌𝑣1 2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 + 2 𝜌𝑣2 2 + 𝜌𝑔𝑦2 , Ecuación de Bernoulli donde 𝑝 + 𝜌𝑔𝑦 : presión estática,

1 2

𝜌𝑣 2 ∶ presión dinámica.

TEOREMA DE TORRECELLI La sección 𝐴2 > 𝐴1 y

1 1 𝑝1 + 𝜌𝑣1 2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 + 𝜌𝑣2 2 + 𝜌𝑔𝑦2 2 2

Donde: 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝0 , 𝑣2 = 0 (porque 𝐴2 ≫ 𝐴1 ) 𝑣1 2 = 2𝑔(𝑦2 − 𝑦1 ) = 2𝑔ℎ 𝑣1 = √2𝑔ℎ

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TUBO DE VENTURÍ Se usa para medir la velocidad de flujo de un líquido. De la ecuación de Bernoulli: 1 1 𝑝1 + 𝜌𝑣1 2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 + 𝜌𝑣2 2 + 𝜌𝑔𝑦2 2 2 Donde: 𝑦1 = 𝑦2 = 0 1

1

2

2

𝑝1 + 𝜌𝑣1 2 = 𝑝2 + 𝜌𝑣2 2 …………………............(α) De la ecuación de continuidad: 𝐴𝑣1 = 𝛼𝑣2 …………………………………………(β) Por estar el líquido 𝜌´ en reposo: 𝑃𝑐 = 𝑃𝐷 , 𝑃1 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑃2 + 𝜌´𝑔ℎ , 𝑃1 − 𝑃2 = 𝑔ℎ(𝜌´ − 𝜌)……………(𝛾) 1

De (𝛽), (𝛾) en (𝛼): 𝑣1 =

2(𝜌´−𝜌)𝑔ℎ 2 𝛼 ( 𝜌(𝐴2−𝑎2 ) )

TUBO DE PITOT Se usa para medir la velocidad de un gas 1

1

De la ecuación de Bernoulli: 𝑝1 + 2 𝜌𝑣1 2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 + 2 𝜌𝑣2 2 + 𝜌𝑔𝑦2 𝑦1 = 𝑦2 , 𝑣2 ≈ 0 1

𝑝1 + 2 𝜌𝑣1 2 = 𝑝2…………………………….. (α) Por estar el líquido 𝜌´ en reposo: 𝑃1 + 𝜌´𝑔ℎ = 𝑃2 + 𝜌𝑔ℎ 𝑦 𝜌´ > 𝜌 𝑃1 + 𝜌´𝑔ℎ = 𝑃2 ……………………………….. (β) De (𝛽) en (𝛼): 𝒗𝟏=√𝟐𝝆´𝒈𝒉/𝝆

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VISCOSIDAD Y NÚMERO DE REYNOLDS

VISCOSIDAD. Es la cantidad de resistencia que ofrece el fluido a los esfuerzos de corte. FLUJO DE LOS FLUIDOS VISCOSOS La viscosidad en los fluidos se debe a las atracciones entre las moléculas del líquido y la de los sólidos que están en contacto con él. El efecto de la viscosidad es hacer más lento el flujo y producir resistencias al movimiento de objetos a través del fluido. La fricción de un fluido aumenta conforme la velocidad aumenta y depende de las formas de los objetos en contacto con el fluido y del fluido mismo (su densidad). El coeficiente de viscosidad (η) aumenta con el aumento de temperatura para gases y en líquidos la relación es inversa con la temperatura. La ley fundamental de la viscosidad es que el valor de la fuerza de la viscosidad es proporcional al área y al gradiente de velocidad (𝜕𝑣/𝜕𝑦 ) que existe en el lugar donde esta situada el área de contacto (A). Ver figura. ∂

𝑓 = ηA (− ∂v ) , en unidades: y

[η] =

𝑔 𝑐𝑚−𝑠𝑒𝑔

= 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒

Sea un flujo de un fluido viscoso, laminar que e desplaza a través de un tubo cilíndrico de diámetro 𝐷 y la presión es función de 𝑥. La velocidad 𝑣 es solo función de 𝑟 y se anula para 𝑟 = 𝑅 = 𝐷/2 , como el flujo es laminar: ∑ 𝐹 = 0 𝐹1− 𝐹2−𝑓= 𝑝1 𝜋𝑟 2 − 𝑝2 𝜋𝑟 2 − (−2𝜋𝑟𝐿η

dv )=0 dr

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Porque para el cilindro de radio 𝑟 y longitud 𝐿 que se encuentra que la velocidad de cada capa es constante. 0

− ∫ 𝑑𝑣 = 𝑣

𝑣=

𝐷⁄ 2

𝑝1− 𝑝2 ∫ 𝑟𝑑𝑟 2ηL 𝑟

𝑝1− 𝑝2 𝐷 2 4ηL

( 4 − 𝑟 2 )………………………….. (α)

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝑣 𝑙𝑟 = 0 =

∆𝑃𝑅 2 4ηL

Hallemos el gasto que pasa a través de todo el tubo (sección lateral), ver figura. 𝐷⁄ 2 𝑣(2𝜋𝑟𝑑𝑟)……………....(β)

𝑄 = °𝑉 = ∫ 𝑣𝑑𝐴 = ∫0

Reemplazando (α) en (β) e integrando: °𝑉 =

𝜋𝑅 4 ∆𝑝 8ηL

, ecuación de Poiseuille.

∆𝑃𝑅 2 1 𝑄 La velocidad media es: 𝑣 = ⁄𝜋𝑅 2 = 8ηL = 2 𝑣𝑚𝑎𝑥

NUMERO DE REYNOLDS Sirve para determinar si el fluido que se desplaza a través de un tubo es o no laminar. Se define: 𝑁𝑅𝑒 =

𝜌𝑣𝐷 η

𝑁𝑅𝑒 ≤ 2000(𝑅. 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟) 𝑁𝑅𝑒 ≤ 3000(𝑅. 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜) η: viscosidad dinámica η

𝑣 = 𝜌 : 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎

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LEY DE STOKES Cuando un fluido viscoso se mueve alrededor de una esfera con régimen laminar o cuando una esfera se mueve dentro de un fluido viscoso en reposo, se ejerce una fuerza resistente sobre la esfera. George Stokes dedujo una expresión: 𝐹𝑅 = 6𝜋η𝑟𝑣 ∑ 𝐹 = 𝑚𝑔 − 𝐸 − 𝐹𝑅 = 𝑚𝑎 Si la esfera parte de reposo 𝑣 = 0 y 𝐹𝑅 = 0 𝐸

𝑎0 = 𝑔 − 𝑚 = 𝑔(𝜌 − 𝜌0 )/𝜌 Esta aceleración inicial origina que su velocidad aumenta y la fuerza de rozamiento también aumenta, hasta que la esfera alcanza una velocidad llamada velocidad límite (constante), su aceleración es nula. 4

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𝑚𝑔 = 𝐸 + 𝐹𝑅 , 3 𝜋𝑟 3 𝜌𝑔 = 3 𝜋𝑟 3 𝜌0 𝑔 + 6𝜋η𝑟𝑣𝑙𝑖𝑚 𝑣𝑙𝑖𝑚 =

2 𝑟2𝑔 9 η

(𝜌 − 𝜌0 )

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