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• Sebastián Fallas Mora

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HIDRODINÁMICA APLICADA

Introducción; En los temas anteriores de Mecánica de Fluidos se introdujeron las bases para los aspectos aplicados de la Hidrodinámica. Numerosas son aquellas aplicaciones que podemos observar a nuestro alrededor y podríamos citar entre ellas la aerodinámica aplicada a naves espaciales, aviones, vehículos automotores terrestres, barcos, submarinos y edificaciones estacionarias. El trasiego de combustibles, acondicionamiento de aire, acopio y distribución de agua potable, sistemas de evacuación pluvial y disposición de aguas servidas en nuestras ciudades, producción de energía hidroeléctrica, riego y control de inundaciones, entre otros, sin considerar la enorme cantidad de equipo y maquinaria que utilizamos que funcionan de acuerdo con las leyes de la Mecánica de Fluidos. Prácticamente cualquier obra civil posee dispositivos que hacen uso de la mecánica de fluidos, indispensables para desempeñar la función para la cual fueron construidas. Y no pocas de ellas adolecen de problemas que impiden su funcionamiento normal o incomodan constantemente a sus usuarios; inundaciones endémicas en diversas partes del país que generan millones de pérdidas y miles de damnificados, avalanchas controlables y predecibles, sistemas de disposición de aguas negras inoperantes, abastecimiento parcial de agua potable y un sin fin de problemas que atacan constantemente a nuestros pobladores. De allí la importancia que el futuro ingeniero adquiera un conocimiento sólido en esta disciplina y sus aplicaciones en nuestra sociedad, pues muy pocas veces en su vida profesional, enfrentará algún proyecto que no utilice dichos conocimiento, directa o indirectamente. Las aplicaciones que se analizarán a continuación se enmarcan dentro del flujo a presión en tuberías; el flujo libre será objeto de estudio en cursos posteriores. De esta manera se pretende abarcar las bases comunes de la Mecánica de los Fluidos para estudiantes de ingeniería civil y mecánica. Estas notas no pretenden, ni mucho menos, sustituir los excelentes textos que sobre la materia existen en el mercado, algunos de los cuales se encuentran recomendados en el programa del curso. Tan sólo pretende ser una guía de estudios para los estudiantes, que deberán ampliar los temas aquí tratados en los respectivos textos, donde encontrarán ejemplos más extensos y problemas propuestos para completar su preparación. Bajo esa perspectiva ha sido escrita la presente guía.

1. ECUACIONES BÁSICAS DEL ESCURRIMIENTO DE LOS FLUIDOS Los fenómenos físicos están sujetos a los tres grandes principios conservacionistas que son la base de la Mecánica. Los fluidos no escapan a tales limitaciones observadas inquebrantablemente en la naturaleza, aún para objetos que se desplazan a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Ellos son el Principio de la Conservación de la Masa, el Principio de la Conservación de la Energía y el Principio de la Conservación de la Cantidad de Movimiento. Los fluidos, a diferencia de los cuerpos sólidos estudiados en los cursos de Mecánica, no forman una unidad geométrica invariable durante su desplazamiento y su geometría puede variar hasta no tener relación alguna con la geometría original, a diferencia de los cuerpos deformables estudiados en los cursos de Mecánica del Sólido. De hecho, el estudio de los fluidos contempla dos categorías, dependiendo de la cantidad de materia estudiada: la Dinámica Molecular en que se estudian unas cuantas moléculas de los fluidos (y otros materiales) bajo muy diversas condiciones de temperatura y presión, y la Mecánica del Continuo (que incluye a la hidráulica) en la que se estudian cantidades tales de materia que el comportamiento molecular ya no se manifiesta. Esta última abstracción conlleva aparejadas algunas imprecisiones que hacen necesario la introducción de coeficientes experimentales en la mayoría de las ecuaciones derivadas. El objeto mínimo de estudio de la Mecánica del Continuo es aquella cantidad de materia de un fluido que aún conserva todas las características de la totalidad masa involucrada. No se consideran aspectos electromagnéticos pues éstos son característicos del comportamiento molecular que se suponen ausentes cuando está presente una cierta cantidad de materia. Sin embargo, ellos se manifiestan bajo algunas circunstancias y son considerados casi sin hacer referencia a su carácter electromagnético, como es el caso de la Tensión Superficial. Debemos también discernir entre aquellos flujos en que las variables presión y velocidad se mantienen constantes en el tiempo en un mismo lugar, y aquellos en que varían. El primero se conoce como Flujo Permanente y el segundo como Flujo No Permanente o Transitorio. A lo largo de este tratado estudiaremos el Flujo Permanente solamente, aunque el segundo es muy importante en la mayoría de fenómenos involucrados en las obras de ingeniería más comunes y es el objeto de un curso posterior. En Flujo Permanente tanto la velocidad como la presión en un mismo punto son constantes en el tiempo, aunque éstas varían de un punto a otro del Sistema. Por Sistema nos referimos a un Volumen de Control o al objeto que estemos estudiando. El caudal, que es una medida de la masa por unidad de tiempo que escurre, es constante a lo largo de todo el Sistema. El caudal se designará por Q y tiene unidades de m3/s, la velocidad por v y posee unidades de m/s mientras que la presión la utilizaremos en la forma

p

γ

y posee unidades de presión por unidad de peso o m, don-

de γ es el peso específico del fluido que se esté estudiando, por lo que este término es la altura de la columna de dicho fluido. Las únicas variables involucradas son la presión y la velocidad., puesto que el caudal es la velocidad dividida entre el área del escurrimiento.

1.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD El Principio de la Conservación de la Masa establece que la Masa que ingresa a un Sistema debe ser igual a la que lo deja más la Masa que se almacenó en el Sistema. Si utilizamos i para ingreso, e para egreso y a para almacenamiento, tal principio puede ser puesto en forma de ecuación de la siguiente manera:

Mi = Me + Ma Discutiremos en detalle lo que significa el último término de la derecha de la ecuación. El almacenamiento puede ocurrir de diferentes maneras. Podría suceder que el Sistema contara con un dispositivo de almacenamiento o embalse, o que el fluido se comprimiera o descomprimiera y redujera o aumentara su tamaño dando cabida a más o menos masa por unidad de volumen. En el primer caso, la altura del fluido en el embalse variaría con el tiempo para dar cabida a más o menos masa y la presión en la base del embalse variaría con el tiempo, por lo que ya no se trataría de Flujo Permanente sino de Flujo No Permanente. La segunda posibilidad implica que nuestro fluido sea compresible. De ser esto así, la densidad de nuestro fluido deberá variar con la profundidad puesto que aquella es sensible a la presión, que varía con la profundidad de acuerdo con la Ley de Variación Hidrostática de Presiones. También para que ocurra almacenamiento la densidad sería variable en el tiempo y con ella la presión del fluido, llegando de nuevo a la conclusión de que el Flujo sería No Permanente. Pero dijimos que estudiaríamos el Flujo Permanente, por lo que nuestro Sistema no admite dispositivos de almacenamiento de masa o embalses y que el fluido es incompresible; estos casos se estudiarán en cursos posteriores. Nosotros trataremos el caso de que

Mi = Me En otras palabras, la Masa que entra al Sistema debe ser igual a la que lo abandona. Esa Masa es igual a la densidad por el caudal por un determinado tiempo. Si llamamos a la sección por donde ingresa el fluido como 1 y a 2 por donde lo abandona,

ρ ⋅ Q1 ⋅ Δt = ρ ⋅ Q2 ⋅ Δt De donde obtenemos lo que habíamos comentado atrás; que el caudal es el mismo en todo el Sistema o que Q1 = Q2. Dicha ecuación es más útil de la siguiente manera:

v1 A1 = v2 A2 Que involucra las velocidades y las áreas del flujo en las secciones 1 y 2 y que se conoce como la Ecuación de Continuidad para Flujo Permanente, válida para Flujo Libre o Flujo a Presión, puesto que no hicimos ninguna suposición particular en su derivación. Ejemplo a. La velocidad por una tubería de 30 cm de diámetro es de 0.50 m/s. ¿Cuál es la velocidad en la boquilla unida al extremo del tubo y que tiene 7.50 cm de diámetro? Llamaremos 1 a una sección dentro del tubo y 2 a una sección en la boquilla: Así, de acuerdo con la Ecuación de Continuidad, v1A1 = v2A2 o bien, v2 = (30/7.50)2V1 = 8.0 m/s. Ejemplo b. En una sección 1 de un canal rectangular de ancho de base B = 2.00 m (Área A = BY, donde Y = profundidad del agua) la velocidad es 0.50 m/s y la profundidad vale Y = 1.50 m. En otra sección del mismo canal la velocidad es 1.00 m/s. ¿Cuánto vale la profundidad del agua en esta última sección? De nuevo v1A1 = v2A2, por lo que Y2 = (0.50/1.00)*1.50 = 0.75 m.

1.2 ECUACIÓN DE ENERGÍA El Principio de Conservación de la Energía establece que la Energía permanece constante en el tiempo y a lo largo de un Sistema. Generalmente, en los sistemas que estudiamos si las variables permanecen constantes en el tiempo (Flujo Permanente), la energía permanece constante en un mismo punto. Así que estableceremos la Ecuación de Energía entre los puntos 1 y 2. El punto 1 es por donde ingresa el fluido y lo llamamos punto o sección agua arriba y el punto 2, por donde egresa el fluido, el punto o sección aguas abajo. Llamando la Energía Potencial con P, la Energía Cinética con K y la Energía Disipada por Fricción como F, el Principio de Conservación de la Energía establece que:

P1 + K1 = P2 + K 2 + F1− 2 La energía al inicio debe ser igual a la energía al final más la energía que se pierde entre el inicio y el final. La Energía Potencial consta de dos términos; la Energía de Posición (Z) debida a que los puntos 1 y 2 no estén a la misma elevación y la Energía de Presión (T) que es el trabajo ejercido por las fuerzas debidas a la presión, la cual es diferente en los puntos 1 y 2. Así,

Pi = Z i + Ti Suponiendo, sin pérdida de generalidad, que el área del flujo es la misma para las secciones 1 y 2 y que éstas están separadas una distancia L, la Energía de Posición vale

Z1 = mgz1 = ρALgz1 Z 2 = mgz2 = ρALgz2 Donde z es la elevación de cada punto. La Energía de Presión vale la Fuerza = Presión por Área por Distancia:

T1 = p1 AL T2 = p2 AL La Energía Cinética vale:

1 2 1 mv1 = ρALv12 2 2 1 1 K 2 = mv23 = ρALv22 2 2 K1 =

Finalmente, la Energía Disipada por Fricción puede interpretarse que es el trabajo realizado por las fuerzas de fricción o Esfuerzo Cortante entre el fluido y las paredes del ducto donde tiene lugar el flujo. Ese cortante actúa en un área compuesta por el perímetro de la sección (conocido como Perímetro Mojado) multiplicado por la longitud entre las secciones. Suponiendo que ambos perímetros P son iguales,

F1− 2 = τ 0 PL2

Reuniendo todos los términos y dividiendo entre

z1 +

p1

γ

+

ρgAL

v12 p v2 τ L = z2 + 2 + 2 + 0 2g γ 2g γ R

Donde R = A/P se conoce como Radio Hidráulico. Varios investigadores han estudiado el esfuerzo cortante en las paredes de los conductos bajo variadas condiciones de trabajo. Existe una relación entre el esfuerzo cortante en la pared y la velocidad del flujo (que puede ser determinada por Análisis Dimensional, ver el capítulo siguiente) que es generalmente aceptada:

τ 0 = λρ v 2 Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior se tiene que

z1 +

p1

γ

+

v12 p v2 L v12− 2 = z2 + 2 + 2 + 2λ 2g γ 2g R 2g

Finalmente, el coeficiente λ ha sido ampliamente estudiado por numerosos investigadores como Nikuradse, Moody, Colebrook, White, Darcy, Weisbach y otros, llegando a la conclusión de que

λ=

f 8

Siendo f el Coeficiente de Fricción de Darcy-Weisbach que depende de la rugosidad de las paredes del ducto, del fluido y de las condiciones del flujo. Por último, sustituyéndolo en la ecuación anterior

v12 p2 v22 f L v12− 2 z1 + + = z2 + + + γ 2g γ 2g 4 R 2g p1

Esta es la Ecuación de Energía también conocida como la Ecuación de Bernoulli en honor a quien la dedujo por primera vez, aunque sin considerar las pérdidas de energía. Ahora bien, esta ecuación es aplicable tanto a Flujo Libre como a Flujo a Presión y el último término son las pérdidas de energía entre el punto 1 y el 2. Si existen varias velocidades entre 1 y 2, se sumarían los términos correspondientes a las pérdidas debidas a cada velocidad. Además, también existen Pérdidas Locales, también conocidas como Pérdidas Menores, las cuales ocurren en lugares de muy corta longitud como son, cambios locales de geometría u obstáculos en el paso del flujo. Por tal razón se suele sumar un término adicional que representa la suma de las pérdidas locales entre las secciones 1 y 2, de la siguiente manera:

z1 +

p1

γ

+

v12 p v2 f L v12− 2 = z2 + 2 + 2 + + ΣhL 2g γ 2g 4 R 2g

Para Flujo Libre el penúltimo término se suele expresar de una manera diferente y será estudiado más adelante. Para Flujo a Presión, como el fluido llena completamente el conducto, el término R

es conocido y función de las características geométricas del mismo. Si el conducto es circula de diámetro D, se tiene que

A πD 2 D R= = = P 4πD 4 Así que para Flujo a Presión en conductos circulares, la ecuación de energía queda de la siguiente forma:

v12 p2 v22 L v12− 2 z1 + + = z2 + +α + f + ΣhL γ 2g γ D 2g 2g p1

Donde se ha introducido el Coeficiente de Corrección de la Energía Cinética (Coriolis) α para considerar el efecto de que la velocidad en el conducto no es uniforme, sino que posee una variación en función de la altura sobre el mismo.

v( y ) dA α=∫ 3

3

V A Las Pérdidas Locales o Menores se suelen expresar como un coeficiente K multiplicado por la carga de velocidad. K representa el Coeficiente de Pérdida Local para el obstáculo o cambio geométrico particular y se muestra tabulado en numerosas referencias, habiendo sido obtenido a partir de datos de laboratorio.

1.3 ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO De acuerdo con la Segunda Ley de Newton

ΣF =

d (mv ) dt

La cual establece que la suma de fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la derivada con respecto del tiempo, de su Cantidad de Movimiento. Así que cualquier cambio en la masa, la velocidad o ambas, genera una fuerza en la dirección de ese cambio o, visto desde la perspectiva contraria, cualquier fuerza aplicada a un cuerpo resulta en una variación de su masa, velocidad o ambas. También existe un Principio de la Conservación de la Cantidad de Movimiento que establece que ésta se conserva en el tiempo y a lo largo de un Sistema. Como sólo estudiamos Flujo Permanente, la Cantidad de Movimiento se mantiene en el tiempo y estableceremos la ecuación entre los puntos 1 y 2 del Sistema. De esta manera, la ecuación anterior se puede expresar de la siguiente forma:

Σ F = ρQ(β 2 v2 − β1 v1 ) v( y ) dA β=∫ 2

2

V A

Y esa es la Ecuación de Cantidad de Movimiento, donde se ha introducido el Coeficiente de Corrección de la Cantidad de Movimiento (Boussinesq). Obsérvese que al ser una ecuación vectorial, la fuerza resultante está en la dirección del cambio en la velocidad. También, dicha ecuación puede ser descompuesta y analizada en sus componentes cartesianas. Las fuerzas deben incluir todas las acciones que actúan sobre el volumen de control, como son, fuerzas gravitatorias, esfuerzos cortantes, y otras. Las suposiciones que hemos hecho en la derivación de las ecuaciones son: •

Flujo Permanente: si bien casi nunca existe en la naturaleza, constituye un punto de equilibrio a que tiende todo flujo y es un límite superior o inferior de todo flujo real. Puede ser utilizado, por lo tanto, para analizar la capacidad última de un dispositivo hidráulico.

•

Fluido Incompresible: tampoco existe en su forma pura en l naturaleza. Sin embargo, para condiciones usuales de trabajo de obras de ingeniería, el agua puede ser considerada como incompresible en casi todas las circunstancias. Por lo tanto, a lo largo del curso no se tratará con flujo de gases sino casi exclusivamente de agua, por lo que el curso se denomina Hidráulica. Condiciones Promedio: Hemos utilizado en la derivación de las ecuaciones de condiciones y variables medias. Existen otras dos formas de expresar dichas ecuaciones; su forma diferencial y su forma integral. Ambas pueden encontrarse en las referencias del curso y su uso se considera en cursos posteriores. Ambas coinciden con las aquí obtenidas para las suposiciones utilizadas.

•

2. PARÁMETROS ADIMENSIONALES MÁS COMUNES En la mecánica de fluidos existen varios números o parámetros que son característicos del flujo del fluido y de las propiedades que éste posea. Siguiendo la tradición cada parámetro recibe el nombre de algún científico o ingeniero destacado, generalmente quien lo utilizó por primera vez.

2.1 NÚMERO DE REYNOLDS (R) En 1880 Osborne Reynolds, estudió la transición entre el flujo laminar y turbulento a través de un tubo. Reynolds pudo descubrir que el parámetro:

R=ρ

VD

μ

=

VD

υ

[2.1]

Donde:

V

:

Velocidad media del fluido.

D

:

Longitud característica.

ρ

:

Densidad del fluido.

μ ,v

:

Viscosidad dinámica y cinemática respectivamente.

Constituye un criterio mediante el cual, se puede determinar el estado de un flujo. Reynolds encontró que el flujo turbulento siempre pasaba a ser laminar, cuando al disminuir la velocidad se hacía que R valiera menos de 2000. Este índice es el Número de Reynolds Crítico Inferior. Para tuberías convencionales el flujo cambiará de laminar a turbulento cuando R se encuentra en el rango de 3000 a 4000. El significado físico de R se puede establecer más claramente cuando se escribe en la forma:

R=ρ

VL

μ

=

ρ ⋅ V 2 L2 ⎛ μ ⋅V ⎞

⎜ ⎟⋅L ⎝ L ⎠

2

Donde:

(ρ ⋅ V )⋅ L 2

2

→

⎛ μ ⋅V ⎞ 2 ⎟⋅L → ⎜ ⎝ L ⎠

(Presión dinámica) × (área) = fuerza de inercia (Esfuerzo viscoso) × (área) = fuerza viscosa

R = Fuerzas inerciales /Fuerzas viscosas De acuerdo con esta relación de fuerzas el Número de Reynolds es el parámetro adimensional de mayor importancia en los problemas con dominio de la viscosidad.

2.2. NÚMERO DE FROUDE (F) William Froude junto con su hijo Robert Edmundo, establecieron que el parámetro:

F=

V gL

[2.2]

Donde:

V

:

Velocidad media del flujo.

L

:

Longitud característica.

g

:

Aceleración de la gravedad.

Resultaba significativo para los fluidos que presentaban una superficie libre, o sea en aquellos en los cuales la gravedad jugaba un papel primordial. Ellos encontraron que cuanto menor era este número mayor era la importancia de la gravedad y viceversa. Según este criterio los flujos en canales se podrían clasificar, para características permanentes, en: - Flujos subcríticos: F < 1 - Flujos críticos: F = 1 - Flujos supercríticos: F > 1 El significado físico se establece al elevar al cuadrado el Número de Froude:

F2 =

V 2 ρ ⋅ V 2 L2 = gL ρ ⋅ gL3

Donde:

(ρ ⋅ V )⋅ L

→

ρ ⋅ gL3 →

Fuerza de gravedad o peso

2

2

(Presión dinámica) × (área) = fuerza de inercia

F = Fuerzas de inercia / fuerzas gravitacionales

2.3 NÚMERO DE EULER (E) Utilizado inicialmente por el matemático Leonhard Euler es también denominado Coeficiente o Parámetro de Cavitación y está representado como:

E=

ΔP V2 ρ 2

Donde: ΔP

: Presión local - Presión corriente.

ρ,V

: Propiedades del flujo.

[2.3]

Su significado físico se obtiene al multiplicar y dividir por un área

E=

Fuerza _ de _ Pr esión ΔP ⋅ L2 = 2 V Fuerza _ de _ Inercia ρ L2 2

Este número es de gran importancia cuando se estudian las pérdidas de energía en una conducción con base en la diferencia de presiones entre dos puntos determinados.

2.4 NÚMERO DE MACH (M) En el año de 1870, el físico Ernest Mach, introdujo el parámetro:

M =

V c

[2.4]

Donde: V

: Velocidad flujo.

c

: Velocidad de propagación del sonido en el fluido. Valores comunes de c c

Velocidad (m/s)

Aire

340

Agua

1,460

Acero

5,000

Este número es fundamental para caracterizar los efectos de compresibilidad en un flujo cuando las variaciones de densidad debidas a la presión son de gran importancia en los flujos de alta velocidad. La velocidad de propagación del sonido en un fluido se puede encontrar mediante las ecuaciones de Continuidad y Cantidad de Movimiento para Flujo Permanente en un conducto con cambios bruscos de velocidad, presión y densidad; además el módulo de elasticidad volumétrico de un fluido (K) esta relacionado con la velocidad del sonido:

c=

K

ρ

= kRT

R es la Constante Universal de los Gases Ideales, T la temperatura y k la Relación de Calor Específico, por lo que la segunda ecuación se aplica a gases. De esta forma el Número de Mach también es de importancia en los problemas con predominio de la elasticidad. Su significado se observa al elevar el número al cuadrado, es decir,

M2 =

V 2 ρ ⋅V 2 Fuerza _ de _ Inercia = = 2 c K Fuerza _ de _ Elasticidad

Este número permite clasificar los flujos en: Subsónico M < 1 Sónico M=1 Supersónico M > 1 Cuando se tiene un fluido incompresible, K es infinita y por lo tanto M = 0; para M ≈ 0.3 los efectos de compresibilidad son despreciables.

2.5 NÚMERO DE WEBER (W) Este número es el parámetro adimensional de semejanza en los problemas con predominio de la tensión superficial y viceversa. Este parámetro está definido como:

ρ ⋅V 2L W = σ

[2.5]

Donde: σ = tensión superficial

El Número de Weber raramente se emplea en la derivación de las ecuaciones de movimiento y requiere la presencia de superficies libres, pero cuando se trata de cuerpos de grandes dimensiones, como buques, su efecto es muy pequeño. Solamente en aquellos casos en que las fuerzas de tensión superficial gobiernan el movimiento y forman ondas capilares en pequeños canales ó movimiento capilar en suelos. Su importancia en los problemas de ingeniería hidráulica se limita al modelaje físico de fenómenos hidráulicos. Su importancia aparece en el estudio de interfaces gas-líquido, líquido-líquido o líquido-sólido, además de afectar la descarga de orificios y vertederos con cargas muy pequeñas. Su significado físico aparece cuando se multiplica y divide por L.

W =

ρ ⋅ V 2 L2 Fuerza _ de _ Inercia = σ ⋅L Fuerza _ de _ Tensión _ Superficial

2.6 NÚMEROS DE PRANDL (Pr) Y STANTON (St) Convección Forzada: un fluido que fluye a través de un conducto cerrado a una cierta velocidad promedio V donde existe una diferencia de temperatura entre el fluido y la pared del tubo.

Variable

Símbolo

Dimensión

Diámetro tubo

D

L

Densidad fluido

ρ

M/L³

Viscosidad fluido

μ

M/LT

Cp

*Q/MT°

Conductividad térmica

k

Q/TLT°

Velocidad

V

L/T

Coeficiente transformación calor

h

Q/TL²T°

Capacidad calorífica

*Q: calor T°: temperatura

Al utilizar el Método de Buckinghan de agrupamiento de variables, se encontró que el número requerido de variables adimensionales es tres. Se escoge como grupo principal ρ, μ, Cp, V y se producen los siguientes grupos Π.

π1 = R = ρ

VD

μ

π 2 = Pr = μ

Cp k

π 3 = St =

h ρ ⋅ VC p

[2.6]

El primero es el Número de Reynolds, el segundo el Número de Prandtl y representa la relación entre la difusión de calor con la difusión de momentum. El tercero es el Número de Stanton, una relación entre el calor introducido a un fluido en movimiento y el calor disipado por el movimiento de dicho fluido.

2.7 NÚMERO DE GRASHOF (Gr) Convención natural: Transferencia de calor por convección natural desde una pared plana vertical hacia un fluido adyacente. En este caso, la velocidad que no corresponde al grupo de variables ya que es el resultado de otros efectos asociados a la transferencia de energía. Se involucran variables que se relacionan con la circulación de fluidos. Puede encontrase analizando la relación correspondiente a la fuerza boyante (flotación) en término de la diferencia de densidad debida al intercambio de energía.

ρ = ρ 0 (1 − β ⋅ ΔT )

Fboyante = (ρ 0 − ρ )g

Donde:

β

: Coeficiente de expansión térmica.

ρ0

: Densidad global.

ρ

: Densidad del fluido detrás de la capa calentada.

Fboyante = βρ 0 gΔT

Variable

Símbolo

Dimensión

L

L

Longitud significativa Densidad fluido

M/L³

Viscosidad fluido

M/LT

Capa calorífica fluido Conductividad térmica fluido

Cp

Cp

k

Q/tLT°

Coeficiente expansión térmica fluido

1/T°

Aceleración gravedad

L/T2

g

Diferencia de temperatura

T

Coeficiente transformación calor

T°

h

Q/tL²T°

Del Teorema Π de Buckinghan indica que el número de parámetros independientes aplicables a este problema es 9 - 5 = 4. Si se escoge L, μ , k, g y β como variables principales se obtiene:

π1 =

μ ⋅Cp k

π2 =

= Pr

gρ 2 L3

π 3 = β ⋅ ΔT

μ

π4 =

hL = Nu k

Pr es el Número de Prandtl y Nu es el Número de Nuselt y refleja la intensidad de la advección con respecto a la difusión de calor. El producto entre π 2 y π 3 es el Número de Grashof y se utiliza en la correlación de datos de la convección natural.

Gr =

gβ ⋅ ΔTρ 2 L3

μ

[2.7]

2.8 NÚMERO DE SCHMIDT (Sc) La difusión molecular de gases y líquidos difiere por un factor de aproximadamente 106, el cual indica la relativa movilidad molecular de estas dos fases de la materia. Los datos experimentales para la difusión molecular se expresan frecuentemente en términos del Número de Schmidt que relaciona la difusividad molecular de momentum con respecto de la difusividad de masa. La difusividad moleculares se han definido así: Difusividad del momento

d=

Difusividad térmica

α=

Difusividad de la masa

Sc =

μ ρ

k ρ ⋅Cp

D AB

υ D AB

=

μ ρD AB

[2.8]

Tiene una importancia en la transferencia convectiva de masa análoga al Número de Prandtl en la transferencia convectiva de calor. Este número para líquidos es del orden de 1000 y para gases es cerca de 1.

2.9 NÚMERO DE CAUCHY (Ca) El Número de Mach admite otras variantes de acuerdo con el tipo de flujo. Si es compresible, la densidad depende de los cambios de presión de acuerdo con la ley dada por

c=

K

ρ

= kRT

La cual es la misma ecuación tratada en el Apartado 3.4. El cuadrado del inverso del Número de Mach se conoce como Número de Cauchy y su expresión es

Ca =

v2 v2 = ρ K c2

[2.9]

Y es un cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de elasticidad del fluido.

2.10 NÚMERO DE ROSBY (Rs) Un elemento de fluido en rotación constante es capaz de sostener movimiento de propagación de una ola a lo largo del eje de rotación con simetría axial. La elasticidad genera el mecanismo restaurador que hace posible la propagación dichas olas. Existe una variedad de distribución de vórtices en el fluido en que la elasticidad y su efecto están presentes, pero centraremos la discusión en el caso de un elemento de fluido que se puede considerar como un cuerpo rígido homogéneo en rotación (equilibrio relativo). Tales sistemas de flujos de rotación exhiben un número interesante de propiedades las cuales aún están siendo estudiadas. Efecto restaurador de la fuerza de Coriolis: La fuerza centrífuga por unidad de masa puede ser escrita como

Fc =

1 2 ∇(Ωμ ) 2

Es equivalente en su efecto a una contribución para la presión (cuando la densidad es constante). Llamando p, la presión modificada que incluye la fuerza centrífuga y las fuerzas de gravedad, la ecuación de movimiento con velocidades μ relativa a los ejes de rotación con una velocidad angular Ω.

∂μ 1 + μ ⋅ ∇μ + 2Ωμ = − ∇p ∂t ρ Sólo la componente de μ en un plano normal a Ω (plano lateral) es envuelto, y la aceleración de Coriolis tiende a cambiar la dirección de esta componente y evidentemente tiende a restaurar un elemento a su posición inicial en el plano lateral. La extensión a la cual el efecto restaurador restringe el desplazamiento del elemento de fluido depende de las magnitudes relativas de fuerzas actuando en el fluido; además de otras fuerzas, en el

presente contexto las fuerzas son inerciales. Si U = μ y L es una medida de la distancia sobre la cual μ varía apreciablemente, la relación de la magnitudes de los términos μ∇μ y 2Ω μ es del orden de

Rs =

U LΩ

[2.10]

El valor de la relación se conoce como Número de Rosby. Expresa una conveniente medida de la importancia de la Fuerza de Coriolis. Cuando este valor es mayor que 1 puede causar una ligera modificación del flujo patrón, cuando es menor que 1, la tendencia de la Fuerza de Coriolis para oponerse a cualquier en un plano lateral es dominante. Cuando su valor es cercano a 1 se manifiesta una interesante mezcla de efectos.

2.11 NÚMERO DE BOUSINEQ (B) El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo se representa por una relación de las fuerzas de la inercia a las fuerzas de gravedad (R es el Radio Hidráulico)

B=

V 2 gR

[2.11]

2.12 NÚMERO DE CAVITACIÓN El Número de Euler se usa frecuentemente como el Coeficiente de Presión:

Cp =

2Δp ρ ⋅V 2

[2.12]

El Número de Cavitación es una forma del coeficiente de presión cuando se utiliza un origen de referencia para medir la presión. Es factible que la presión de referencia sea de vaporización o la de cavitación; si la presión de vaporización es el origen de referencia se tiene que

σv = 2

p − pv ρ ⋅V 2

[2.13]

Y si el origen es la presión de cavitación, entonces resulta que:

σc = 2

p − pc ρ ⋅V 2

[2.14]

El Número de Cavitación se utiliza para evaluar la disposición de turbinas o bombas a cavitar y permite su dimensionamiento para evitar los daños de tal fenómeno.

2.13 NÚMERO DE VEDERNIKOV (Ve) El flujo uniforme se hará inestable cuando la velocidad del flujo es muy alta o la pendiente del canal es muy pronunciada. Cuando esto sucede, la inestabilidad de la superficie libre se caracteriza por la formación de una serie de olas rodantes. Vedernikov utilizó cierta aproximación de SaintVennant para desarrollar un criterio que se conoce como Número de Vedernikov.

Ve =

χ ⋅ ζ ⋅V Vω − V

[2.15]

donde:

χ

: Exponente del radio hidráulico en la fórmula general del flujo uniforme.

V

: Velocidad media.

Vω

: Velocidad absoluta de las olas de disturbio en el canal.

ζ = 1− R

dP dA

: Factor de forma de la sección del canal. R es Radio Hidráulico, P es Perímetro Mojado y A es el Área.

El denominador de la ecuación anterior es igual a la velocidad c de las ondas o la velocidad crítica, por lo que el Número de Vedernikov puede expresarse en función del Número de Froude como se nuestra a continuación.

Ve = χ ⋅ ζ ⋅ F

[2.16]

2.14 NÚMERO DE STROUHAL (S) Para números de Reynolds grandes (60 < Re < 5000) las ondas en el flujo se incrementan en amplitud y se enrollan en torbellinos. El remolino tras el cilindro no está establemente fijado pero es alternamente formado y separado de un lado a otro. Este fenómeno se conoce como calle turbulenta y es caracterizado por una formación periódica de torbellino. Von Karman ha presentado teóricamente que el modelo de formación de torbellinos es estable si la relación de la separación h a la longitud L es h/L = 0.28. Mediciones confirman esta relación en la parte inicial del flujo. Conforme aumenta la distancia del objeto, el espaciamiento h tiende a incrementarse.

h

En particular interés son las medidas de la frecuencia del torbellino esparcido, los cuales son expresados en términos de un parámetro adimensional conocido como Número de Strouhal:

S=

fd V0

[2.17]

Donde d es el diámetro del cilindro, f es la frecuencia de la emisión de vórtices y V0 es la velocidad relativa del cilindro con el medio fluido. Las mediciones experimentales indican que la frecuencia es función del número de Reynolds. El tamaño de la estabilidad detrás de un cuerpo sumergido en el flujo generalmente es un factor adverso en tanto que representa la dispersión de gran cantidad de energía, por tal razón se busca siempre estabilizar la forma de los cuerpos para reproducir el gradiente adverso de la presión o retardar el punto de separación mediante el rizado artificial de la superficie.

2.15 NÚMERO DE GALILEO (Ga) Resulta del producto entre el Número de Reynolds y la razón entre las fuerzas gravitatorias y las de rozamiento. La expansión del lecho de un río o canal, que se produce para una determinada velocidad de lavado puede encontrarse mediante varias fórmulas. Varios métodos han sido propuestos, como el de Arboleda, Fair, Geyer y Ricther. La velocidad de sedimentación está relacionada con el número de Reynolds mediante:

Vs =

υ d

R

Donde VS es la velocidad de sedimentación, ν es la viscosidad cinemática, R es el Número de Reynolds y d es el diámetro de los granos. Existe una relación funcional entre el Número de Reynolds y el Número de Galileo que al combinarla con la expresión anterior nos brinda

Ga = g

(Gs − 1)d 3 υ2

[2.18]

Donde g es la gravedad local y Gs es la densidad relativa de los granos sumergidos. Existen aún más números adimensionales de utilidad práctica, más los anteriores cubren los aspectos generales de la aplicación usual de Ingeniería Hidráulica y Sanitaria: desde el flujo a presión en tuberías, el flujo libre en canales, el transporte de sedimentos, la dinámica de las lagunas de oxidación hasta las emisiones de temperatura en sistemas de enfriamiento de Estaciones de Bombeo, Plantas Hidroeléctricas, Atómicas y de procesos industriales. Cada uno expresa el equilibrio relativo entre dos o más fuerzas que hacen que la naturaleza de los flujos se modifique según predomine una u otra fuerza, confiriéndole al flujo sus características especiales. De allí la importancia de tales parámetros que encierran la síntesis del comportamiento y la comprensión de los fluidos en movimiento. A continuación se realizará una aplicación del Análisis Dimensional y la importancia de los Grupos Adimensionales al estudio de las pérdidas de energía en tuberías y canales.

2.16 ECUACIÓN GENERAL DEL ESCURRIMIENTO DE UN FLUIDO Considerando un escurrimiento que se efectúa en un conducto de cualquier forma definido por: • •

L : Una de sus dimensiones lineales característica L1,L2, … Li: Las otras dimensiones lineales con respecto a la primera.

El fluido desde el punto de vista de su movimiento, estará definido por las siguientes propiedades físicas: • • •

Su densidad ρ, medida de su inercia o resistencia a las fuerzas que tienden a modificar su movimiento. Su viscosidad absoluta μ, medida de su fricción interna. Su tensión superficial σ.

Para cualquier tiempo su estado estará definido por la velocidad del sonido c en el fluido. Si el escurrimiento está afectado por el peso del fluido, naturalmente dependerá de la intensidad de la gravedad g. La experiencia demuestra que para un conducto tal y con un fluido así definido, existe una relación entre la velocidad del fluido o su gasto másico con la diferencia de presiones ΔP medida entre dos puntos de posición definida por Lp. Procederemos a encontrar por análisis dimensional la relación entre estas variables y la importancia que puedan tener en el escurrimiento, las otras características. Función variables: F(L,L1,L2,.Li,ρ ,μ ,σ ,c,g,V,Δ P) = 0 Variables geométricas: L, L1, L2,...Lp Variables Cinemáticas: V, c, g. Variables dinámicas: ρ,μ ,σ ,ΔP Matriz dimensional sistema FLT L

L1

L2

V

c

g

ρ

μ

σ

ΔP

F

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

L

1

1

1

1

1

1

-4

-2

-1

-2

T

0

0

0

-1

-1

-2

2

1

0

0

Número de variables, para L1 y L2: m = 10 Características de la matriz (ρ, μ , σ ): n = 3 Número grupos: π i = 7 Variables repetitivas: L, V, ρ Método de solución: Hudsaker- Rightmire -1 2 2 [L] = L, [T] = LV , [F] = ρ V L

π 1 = L1/L,

π 2 = L2/L,

Función resultante:

π 3 = c/V,

π 4 = gL/V2 π 5 = μ /ρ VL

π 6 = σ /ρ V2L,

π 7 = ΔP/ρ V2

⎡ L L L c gL ΔP ⎤ μ σ f1 ⎢ 1 , 2 , i , , 2 , , , 2 2 ⎥ ⎣ L L L V V ρ ⋅ VL ρ ⋅ V L ρ ⋅ V ⎦

Al invertir los parámetros π 3, π 4, π 5, π 6, y extraer la raíz cuadrada de π 4 se obtiene:

⎡ L L L V V ρ ⋅ VL ρ ⋅ V 2 L ΔP ⎤ f2 ⎢ 1 , 2 , i , , , , , ⎥ μ σ ρ ⋅ V 2 ⎦⎥ ⎣⎢ L L L c gL En donde:

M =

V → c

R=ρ

VL

μ

F=

Número de Mach

→

V → gL

W =ρ

Número de Reynolds

E=

V 2L

σ

Número de Froude

→ Número de Weber

ΔP → Número de Euler ρ ⋅V 2

Despejando el coeficiente de presión se obtiene:

ΔP = ρ ⋅ V 2 f 3 (

L1 L2 Li , , , M , F , R, W ) L L L

Donde el valor de f3 debe ser determinado analítica o experimentalmente.

2.17 Consideraciones Generales Para flujo en tuberías (conducto lleno), la acción de la gravedad no influye en la caída de presiones (ΔP), por lo que se puede eliminar el Número de Froude F. Para diámetros comerciales (D ≥ 1 cm.) la tensión superficial no tiene efecto alguno y por lo tanto no es necesario considerar el Número de Weber W. Para el flujo permanente de un líquido incompresible a temperatura constante la compresibilidad no es importante, eliminándose el Número de Mach M. Se concluye entonces que:

ΔP = ρ ⋅ V 2 f 4 (

L1 L2 Li , , , R) L L L

Para tuberías la longitud característica es su diámetro, es decir L = D; L1 es la altura proyectada por las rugosidades (ε) en la pared del tubo, L2 es la longitud entre las cuales se determina la caída de presiones, L3 el espaciamiento de la rugosidad φ’, L4 es un factor de forma (m) que depende del aspecto de las rugosidades, por lo tanto:

ΔP = ρ ⋅ V 2 f 4 (

L ε φ' m , , , , R) D D D D

[2.19]

Es razonable suponer que la caída de presión en la tubería varíe linealmente con la longitud, es decir, duplicando la longitud del tubo se duplica la caída presión tal como se observa experimentalmente, de manera que se tiene:

ΔP = ρ ⋅ V 2

ε φ' m L f 5 ( , , , R) D D D D

Al emplear el peso específico del fluido (γ) la expresión toma la forma:

ΔP

γ

=

V2 L ε φ' m f 5 ( , , , R) g D D D D

[2.20]

La caída de presión por unidad de peso en una longitud dada y sin variación de diámetro se conoce como la pérdida de carga o energía disipada por fricción o longitud hf:

hf =

ε φ' m V2 L f 5 ( , , , R) g D D D D

[2.21].

Para el cálculo de flujo en tuberías se emplea generalmente la Ecuación de Darcy-Weisbach, expresada como:

hf = f

L V2 D 2g

[2.22]

hf =

8 fL Q2 gπ 2 D 5

En la cual el término f es llamado factor fricción; es adimensional para que la ecuación produzca el valor correcto de las pérdidas, por lo tanto no debe ser un valor constante sino que depende de las variables agrupadas en la función 5 (f5), por lo tanto:

f = f5 (

ε φ' m

, , , R) D D D

Función que incluye las características geométricas de la conducción y las propiedades del flujo y que debe comprobarse experimentalmente. En 1839 Hagen obtuvo experimentalmente, trabajando en tubos circulares y R < 2000, que la caída de presión variaba linealmente con la viscosidad, la longitud y el gasto e inversamente proporcional a la cuarta potencia del diámetro, es decir:

ΔP =

128μLQ πD 4

[2.23]

Donde la rugosidad del tubo no afectaba esta caída de presión .En 1840 Poiseuille obtuvo la misma expresión y en 1856 Weidemann la dedujo analíticamente. Al confrontar esta ecuación con la propuesta por Darcy-Weisbach se deduce que el factor de fricción es solamente función del Número de Reynolds, ó sea:

f =

64 R

[2.24]

Como se comentó anteriormente, Reynolds pudo clasificar experimentalmente los flujos, según la relación existente entre la viscosidad, la velocidad y el diámetro de la tubería en Laminares (R < 2000) y Turbulentos (R > 4000).

En 1933 H. Blasius fue el primero en obtener correlaciones para los resultados experimentales de flujo turbulento en tubos lisos. Sus resultados los presentó mediante una fórmula empírica válida para Reynolds 4000 < R < 100,000:

f =

0.3164 R 0.25

[2.25]

En los años 1932 − 1933, J. Nikuradse comprobó la validez de la expresión ε /D (rugosidad relativa) en sus experimentos con tubos de rugosidad artificial lograda con granos de arena. Para esto utilizó tres diámetros de tubos en cuyos interiores pegó granos de arena de tamaño (ε) prácticamente constante. Los experimentos demostraron que para ciertos valores de ε /D, los valores correspondientes a f vs R quedaban incluidos en una sola curva sin importar el diámetro real del tubo. No se pudieron variar los valores de φ y m pero se comprobó la validez de la ecuación [2.21]. Las teorías modernas para flujo viscoso incompresible y permanente han relacionado los esfuerzos cortantes producidos en las paredes de los tubos con el factor de fricción y la velocidad promedio, según la rugosidad del tubo. Para tubos lisos se obtuvo la expresión:

1 = As + Bs Ln( R f ) f La cual según los experimentos realizados por Nikuradse, en la misma categoría de tubos, se transforma en:

1 = −0.80 + 0.86 Ln( R f ) f 1 = −0.80 + 2.0 Log ( R f ) f

[2.26]

Para tubos rugosos con flujo completamente desarrollados, las teorías modernas, expresan el factor de fricción como:

1 m φ' ε = f 2 ( , ) + Bs Ln( ) D D D f La misma que según las experiencias de Nikuradse, se expresa como:

ε 1 = 1.14 − 0.86 Ln( ) D f ε 1 = 1.14 − 2.0 Log ( ) D f

[2.27]

Estas ecuaciones fueron deducidas por Von Karman en 1930. Cuando se aplicaron estas expresiones a tuberías comerciales, se encontraron diferencias con los experimentos de Nikuradse, lo mismo que una zona en la cual no eran válidas las ecuaciones (zo-

na transición liso-rugoso). Estas diferencias se observan en la Figura 2.1 y se han explicado a partir de los conceptos de subcapa o la película laminar y la no uniformidad de las rugosidades artificiales en tamaño y distribución.

FIGURA 2.1 Diagrama de Colobrook.

En 1938 C. Colebrook ideó una fórmula semi-empírica para la transición entre flujo liso y de completa turbulencia en tuberías comerciales, como:

ε ε 1 2.51 2.51 = −0.86 Ln( + ) = −2.0 Log ( + ) 3.71D R f 3.71D R f f Actualmente se acepta que el parámetro 9.33 ≥

R

ε D

R

ε D

[2.28]

f clasifica los flujos turbulentos así:

f ≥ 200 → Liso Transición Rugoso

En 1944, L. F. Moody construyó una de las cartas más útiles para determinar el factor de fricción en tubos comerciales nuevos, Figura 2.2. La carta expresa el factor de fricción como función de la rugosidad relativa (ε /D) y del Número de Reynolds. Los valores de la rugosidad absoluta se determinan mediante la fórmula de Colebrook-White luego de que se han calculado experimentalmente f y R. La carta de Moody se emplea para el agua una temperatura constante a (15°C − 60°F) y para el aire a presión atmosférica estándar a la misma temperatura.

FIGURA 2.2 Diagrama de Moody.

Se debe tener en cuenta que todos los valores de ε /D corresponden a tubos nuevos, en condiciones relativamente buenas. Para períodos relativamente largos de servicio se hacen presentes los efectos de la corrosión y en las paredes de los tubos se depositan los elementos de cal y herrumbre. Esta formación de depósitos incrementa de modo apreciable la rugosidad en la pared y disminuye el diámetro de la tubería. Para tener en cuenta el aumento de la rugosidad con el tiempo, Colebrook y White establecieron una relación lineal que puede expresarse por:

ε = ε0 +α ⋅t Donde: ε0

: Altura rugosidad tubos nuevos (m).

ε

: Altura rugosidad en tubos después de t años (m).

t

: Tiempo en años.

α

: Tasa crecimiento asperezas (m/año).

Tratándose de tuberías para agua, la tasa de crecimiento depende considerablemente de la calidad del agua y de las condiciones locales. Los ingleses opinan que a falta de datos experimentales confiables, el envejecimiento de los tubos de hierro fundido puede ser estimado para las condiciones medias, aplicando la expresión ( α en mm/año):

2 Log (α ) = 6.6 − pH Esta expresión pone en evidencia la importancia de la acidez del agua pH en el fenómeno de la corrosión. pH

α (m/año)

5.5 0.00305

6.0 0.00203

6.5 0.00113

7.0 0.00063

7.5 0.00038

8.0 0.00020

8.5 0.00011

3. FLUJO DE UN FLUIDO REAL Los problemas de flujos de fluidos reales son mucho más complejos que el los fluidos ideales, debido a los fenómenos causados por la existencia de la viscosidad. La viscosidad introduce resistencia al movimiento, causando, entre las partículas del fluido y entre éstas y las paredes limítrofes, fuerzas de corte o de fricción que se oponen al movimiento; para que el flujo sea posible, debe realizarse trabajo contra estas fuerzas resistentes Durante el proceso parte de esa energía se convierte en calor. La inclusión de la viscosidad permite también la posibilidad de dos regímenes de flujo permanente diferentes y con frecuencia situaciones de flujo completamente diferentes a los que se producen en un fluido ideal. También los efectos de viscosidad sobre el perfil de velocidades invalidan la suposición de la distribución uniforme de velocidades.

3.1 LOS EXPERIMENTOS DE REYNOLDS Reynolds demostró por primera vez las características de los dos regímenes de flujo de un fluido real, laminar - turbulento, por medio de un sencillo aparato. Por la tubería fluye agua, cuyo flujo se controla desde A. Por el tubo B fluye tinta desde C. El caudal se determina volumétricamente y conocido el diámetro se determina la velocidad media en la conducción. Reynolds descubrió que para velocidades bajas en el tubo de vidrio, el filamento de tinta proveniente de C no se difunde sino que se mantiene sin variar a lo largo del tubo, formando una línea recta paralela a las paredes. Al aumentar la velocidad el filamento ondula y se rompe hasta que se confunde o mezcla con el agua del tubo. Reynolds dedujo que para velocidades bajas las partículas de fluidos se movían en capas paralelas, deslizándose a lo largo de láminas adyacentes sin mezclarse. Este régimen lo denominó flujo laminar. Y el régimen cuando hay mezcla lo nombró turbulento.

FIGURA 3.1 Experimento de Reynolds

Reynolds pudo generalizar sus conclusiones acerca de los experimentos al introducir un término adimensional, que posteriormente tomó su nombre, como:

R=

ρ ⋅ VD μ

R=

VD

υ

R=

4Q πDυ

Mostró que ciertos valores críticos definían las velocidades críticas superior e inferior para todos los fluidos que fluyen en todos los tamaños de tubos y dedujo así el hecho de que los límites de flujo laminar y flujo turbulento se definían por números simples. Encontró que el límite superior del flujo laminar correspondía a 12,000 < R < 14,000 pero este número es indefinido y dependiente de varias condiciones incidentes como: 1. 2. 3.

La quietud inicial del fluido en el tanque. La forma de entrada del tubo, y La rugosidad del tubo.

Muchos experimentos han demostrado que el R crítico inferior tiene un valor aproximado de 2,100. Que entre 2,100 y 4,000 existe una zona de incertidumbre y que a partir de 4,000 se desarrolla flujo turbulento.

3.2 FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO En el flujo laminar la agitación de las partículas del fluido es solo de naturaleza molecular y están restringidas a moverse en trayectorias esencialmente paralelas, debido a la acción de la viscosidad. El esfuerzo cortante entre capas adyacentes en movimiento se determina por la viscosidad y está definido por la Ley de Newton de la Viscosidad:

τ =μ

dV dy

Si por la rugosidad de la tubería o por cualquier otro obstáculo se perturba el flujo, las perturbaciones se amortiguan rápidamente por la acción viscosa. En el flujo turbulento las partículas de fluido no permanecen en capas, sino que se mueven en forma heterogénea a través del flujo, deslizándose mas allá de otras partículas y chocando con algunas otras de forma azarosa, lo que produce un mezclado rápido y continuo del flujo. Como la turbulencia es un movimiento por completo caótico de pequeñas masas de fluido a través de pequeñas distancias en todas las direcciones, al tener lugar el flujo, es imposible determinar y caracterizar matemáticamente el movimiento de las partículas individuales del fluido. Sin embargo, considerando el movimiento promedio de las agregaciones de partículas de fluido o por medio de métodos estadísticos se pueden obtener relaciones matemáticas. El primer intento de expresar en forma matemática el esfuerzo de corte turbulento fue hecho por Boussinesq (1877), tomando como analogía la ecuación de flujo laminar:

τ =η

η

dV dy

[3.1]

es la viscosidad de remolino, que es función de la estructura de la turbulencia (propiedad del flujo) y puede variar punto a punto a través del fluido. Como regularmente se encuentran presentes en un flujo tanto la acción viscosa como la turbulenta se expresa el esfuerzo como:

τ = (η + μ )

[3.2]

dV dy

Prandtl (1926) relacionó las velocidades de turbulencia con las características generales del flujo, bajo la proposición de que por la turbulencia se transportan pequeñas agregaciones de partículas de fluido una cierta distancia promedio, l, desde ciertas regiones de una velocidad hasta regiones de otra velocidad. Denominó a la distancia l como distancia de mezclado y propuso la viscosidad de remolino que:

η = ρ ⋅l2

[3.3]

dV dy

Esta expresión, aunque en muchos aspectos es satisfactoria, tenía la desventaja de que l era una función desconocida de y. Von Karman propuso, después de comparar las propiedades de los perfiles de velocidades en el flujo turbulento y la variación acompañada de l con y, que:

l =κ

dV dy d 2V dy 2

[3.4]

κ es una Constante Universal del Flujo Turbulento conocida como Constante de von Karman, no obstante que mediciones modernas han demostrado que si varía alrededor del valor 0.40. Normalmente la viscosidad de remolino es mucho mayor que la viscosidad dinámica del fluido y la ecuación de Prandtl-Karman resultante para el esfuerzo es: τ = ρ ⋅κ 2

(dV

(d V 2

dy )

4

dy 2 )

2

[3.5]

En el caso del flujo cerca de una pared limitante, la turbulencia se influencia fuertemente por la pared y se espera que la velocidad en la vecindad de la pared se aproxime a cero, se puede suponer entonces que la longitud de mezclado varíe de forma directa con la distancia a partir de la pared, es decir, l = κ ⋅ y Reemplazando esta relación en la ecuación anterior se obtiene:

τ = ρ ⋅ κ 2 y 2 (dV dy )2

[3.6]

Se encuentra entonces que la variación lineal de l cerca de las paredes da un perfil de velocidades promedio.

3.3 FLUJO DE FLUIDOS A LO LARGO DE LÍMITES SÓLIDOS En la práctica, el flujo de un fluido esta afectado, hasta cierto grado, por los límites sólidos sobre los cuales se desplaza. La experiencia demuestra que la velocidad de la capa de fluido adyacente a la superficie vale cero. Al visualizar un flujo sobre una superficie limítrofe bien se puede imaginar como una capa de fluido muy delgada o adherida a la superficie y un aumento continuo de la velocidad del fluido al alejarse éste de la superficie, siendo su magnitud dependiente del esfuerzo cortante. El flujo laminar que ocurre sobre límites sólidos lisos a rugosos posee las mismas propiedades, estando el esfuerzo cortante dado por la Ley de Newton de la Viscosidad. La rugosidad super-

ficial no tiene ningún efecto en tanto que estas sean pequeñas en relación con el tamaño de la sección transversal del flujo. Para el flujo turbulento la rugosidad de la superficie limítrofe afecta las propiedades físicas del movimiento del fluido. Cuando ocurre flujo turbulento sobre límites sólidos lisos, este se encuentra siempre separado del límite por una subcapa de flujo dominada por la viscosidad y conocida como Capa Límite. En la subcapa viscosa el esfuerzo se da por las ecuaciones para flujo laminar y a partir de este límite por la expresión de Prandtl-Karman.

FIGURA 3.2 Distribución de velocidades en límite liso.

La subcapa viscosa aunque ha recibido un espesor arbitrario n no implica una demarcación definida entre la región laminar y la turbulenta. La investigación ha demostrado que este espesor varía con el tiempo y además disminuye cuando se aumenta el número de Reynolds. En el flujo turbulento sobre superficies rugosas se disipa energía por el trabajo realizado en la generación continua de turbulencia debida a las protuberancias de la rugosidad, en tanto que en las superficies lisas, se realiza trabajo a expensas de la energía disponible en el fluido contra el esfuerzo de corte debido a la acción viscosa.

3.4 DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES Dado que en el fluido real la distribución de velocidades no es uniforme por acción del esfuerzo cortante, es necesario hacer alteraciones en los métodos de cálculo de la carga de velocidades y en el flujo de momento. El Coeficiente de Coriolis ( α ) corrige la cabeza de velocidad en los flujos reales donde se considera que este coeficiente no varía en la misma sección transversal del conducto, pero si a lo largo del mismo. La expresión para este coeficiente se deduce por balance de energía cinética en el conducto como:

∫ v dA 3

α=

1 V2

A

[3.7]

∫ vdA A

Donde V es la velocidad media y v es la velocidad a una distancia r, medida desde el eje de la conducción según la expresión de velocidades. Las pruebas realizadas por Stanton y Panell (1914) han demostrado que la razón de la velocidad promedia a la máxima en una tubería de acción transversal circular varía con el número de Reynolds, como se muestra en la tabla siguiente: Reynolds

V v =1α

100,000

0.50

0.55

0.71

0.76

0.78

0.80

0.81

Como la velocidad de flujo de agua en las tuberías es siempre de índole turbulento (R > 10,000), se puede decir en general que la velocidad promedio del agua en una tubería es aproximadamente el 80% de la velocidad máxima. Los experimentos realizados por Bazin y otros, indican que para el agua que fluye con movimiento turbulento en una tubería recta, el coeficiente de Coriolis tiene un valor aproximado de 1,06 y que para flujo laminar tiene un valor de 2,0. En general para flujo turbulento, se puede asumir que α es constante a lo largo del conducto y que el valor de uno no implica mayores errores en el calculo de la carga de velocidad. Para corregir el flujo de momento, se utiliza el Coeficiente de Boussinesq ( β ) dado como:

∫ v dA 2

β=

1 V

A

∫ vdA

3.8

A

Aunque este coeficiente presenta en su cálculo valores más bajos que α también es válido asumirlo para flujo turbulento como igual a la unidad.

4. FLUJO DE FLUIDO EN TUBERÍAS 4.1 ECUACIÓN DE LA ENERGÍA - FUERZAS DE RESISTENCIA La solución de los problemas prácticos del flujo en tubos resulta de la aplicación del principio de la energía, la ecuación de continuidad y los principios y ecuaciones de la resistencia de fluidos. La resistencia al flujo en los tubos es ofrecida no solo por los tramos largos, sino también por los accesorios de tuberías tales como codos y válvulas, que disipan energía al producir turbulencias a escala relativamente grandes. La Ecuación de la Energías Totales (Bernoulli) para el movimiento de fluidos incompresibles en tubos es:

Z1 +

p1

γ

+

α1V12 2g

+ H B = Z2 +

p2

γ

+

α 2V22 2g

+ H T + ∑ hf + ∑ hL

Línea Alturas Totales

V2 2g p

γ

Línea Alturas Piezométricas

Z N.R. FIGURA 4.1 Energía de un flujo en conductos cerrados.

H =Z+

Línea de Alturas Totales

p

γ

+

2g p P=Z+

Línea de Alturas Piezométricas Total de Pérdidas por Fricción entre 1 y 2

∑ hf

γ

Total de Pérdidas Locales entre 1 y 2

∑h

Energía aportada por Bomba Energía retirada por Turbina

HB HT

En los problemas prácticos

α

αV 2

L

se considera como 1 por las siguientes razones:

1. En flujos turbulentos a apenas es ligeramente mayor a uno. 2. Aunque en un flujo laminar α es grande, las cargas de velocidad son despreciables en comparación con los otros términos.

4.1

3.

α tiende a cancelarse porque aparece a ambos lados de la ecuación y se considera que su variación es poca a lo largo del conducto.

Por lo tanto la aplicación de esta ecuación se basa en un entendimiento de los factores que afectan a las pérdidas de energía y de los métodos que se disponen para calcularla. Para flujo permanente, la ecuación de fuerzas entre dos puntos a lo largo del conducto esta dada por:

FP + FW − F f = ρ ⋅ Q ⋅ (V2 − V1 ) Donde: Fp son las fuerzas debidas a la presión, Fw es la componente del peso del fluido, Ff es la fuerza de oposición (Fricción) y β es el Coeficiente de Boussinesq y se ha simplificado bajo las mismas suposiciones que el coeficiente α . Para sección constante (A1 = A2), en la longitud L, se pueden simplificar las ecuaciones, sabiendo que V1 = V2. De la ecuación de Momentos se obtiene:

FP = ( P1 − P2 ) A → ΔP − γ ⋅ ΔZ = γ ⋅ hf Donde Δ Z = Z2 - Z1. Dicha ecuación la caída de presión con las pérdidas de energía, las fuerzas que se oponen al movimiento y la componente del peso del fluido cuando Δ Z ≠ 0. El peso del fluido entre las dos secciones será: γ AL sen θ , el cual dado en términos de Δ Z será: γ( Δ Z)A. Relación que se puede igualar a la ecuación anterior al multiplicar por el área resultando que:

F f = γ ⋅ A ⋅ hf Ecuación que relaciona la fuerza que se opone al movimiento de un fluido y las pérdidas de energía ocasionadas por esta fuerza.

4.2 FLUJO LAMINAR Para este tipo de flujo es la viscosidad del fluido la que se opone al movimiento al generar esfuerzos cortantes viscosos según la Ley de la Viscosidad de Newton;

τ =μ

dV dy

dF0 = τ ⋅ dA

Para una longitud L y una distancia r implica que:

0≤r≤R

r = R ⇒V = 0

FIGURA 4.2 Distribución de velocidades en flujo laminar.

dV dV = → dA = 2πrL dy dr dF0 = −2 μπLr

dV dr

El área sobre la cual actúan las presiones es π r2 por lo que

− 2μπLr

dV = πr 2 γ ⋅ h f dr

dV = − 0

γh f rdr 2 μL

∫ dV = −

V

V =

γh f R rdr 2 μL ∫r

γh f (R 2 − r 2 ) 4 μL

Ecuación con la cual se obtiene la velocidad del fluido en cualquier distancia r medida desde el eje y su variación es parabólica por lo cual la velocidad máxima estará donde esta cambie de pendiente, o sea, en el eje del tubo (r = 0). El caudal circulante para el área considerada será dQ = V dA

Q=

hf =

128Lμ ⋅ Q πγD 4

γπh f D 4 128μ [4.2]

Ecuación de Hagen-Poiseuille

La cual puede ser escrita también como

hf =

32υLV 64υ L V 2 64 L V 2 = = VD D 2 g R D 2g gD 2

La cual es idéntica a la Ecuación de Darcy-Weisbach que se derivará a continuación, utilizando un coeficiente de fricción f igual a

f =

64 R

Por último, la velocidad promedio en la tubería es

V =

γ ⋅ hf R2 1 = Vmáx 8μL 2

4.3 DIAGRAMA DE VELOCIDADES Y ESFUERZOS

Figura 4.3: Distribución de Velocidades y Esfuerzos en Flujo Laminar

Para flujo laminar en tuberías se concluye: 1. 2. 4. 5.

No hay velocidad adyacente al límite sólido. El esfuerzo cortante se obtiene de la Ley de Newton de la Viscosidad. El factor de fricción es inversamente proporcional al número de Reynolds. La relación entre velocidad máxima y media es igual a 2.

4.4 FLUJO TURBULENTO Velocidad de Fricción: u* En el flujo turbulento las fuerzas que se oponen al movimiento están caracterizadas por la acción que ejercen las rugosidades o asperezas de las paredes de la conducción, en tanto que la viscosidad del flujo no ejerce oposición importante.

τ 0 : Esfuerzo máximo. F0 = τ 0Aτ, Aτ = π DL = pL Donde π D es el Perímetro de la conducción = p

F f = AP γ ⋅ hf

τ 0 pL = APγ ⋅ hf La relación AP/p, se conoce como radio hidráulico RH, o sea RH = A/p. Para un conducto circular a flujo lleno, se encuentra que RH = D/4.

τ0 =

RH γ ⋅ h f L

=γ

D ⋅ hf 4L

De acuerdo con la evidencia experimental

τ0 = ρ

f 2 V 8

De donde se obtiene la Ecuación de Darcy-Weisbach

hf = f

8 fL L V2 = Q2 D 2 g gπ 2 D 5

Al reemplazar la expresión de Darcy-Weisbach en la ecuación transanterior se obtiene:

τ0 = ρ

f V 8

Estas ecuaciones relacionan el corte en la pared (τ 0) y la densidad del fluido con el factor de fricción y la velocidad media del conducto. Dado que f es adimensional, el término de la izquierda debe tener las mismas unidades de velocidad y esta se conoce como la Velocidad de Fricción:

u* =

τ0 f =V ρ 8

El significado físico de la Velocidad de Fricción es una velocidad que incorpora solamente el corte en la pared y la densidad del fluido, por lo tanto es la misma expresión para cualquier régimen de flujo o textura del límite.

4.5 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS De la expresión de esfuerzos, para un tubo de corriente de radio r concéntrico con el eje de un tubo cilíndrico, se obtiene que:

τ =r

γ ⋅ hf 2L

Lo que demuestra que en un flujo establecido en un tubo, el esfuerzo de corte varía linealmente según la distancia a partir del eje. Como esta relación se ha obtenido sin considerar el régimen de flujo, es por lo tanto aplicable a laminar o turbulento. Del diagrama siguiente, por semejanza de triángulos, se obtiene que

τ0 R

=

τ R− y

→τ =τ0

R− y y → τ = τ 0 (1 − ) R R

FIGURA 4.4 Distribución de esfuerzos en flujo turbulento.

Según esta expresión τ min se encuentra cuando y→ 0 y por lo tanto v→ Vmáx. Para flujo turbulento se igualan las expresiones para el esfuerzo en su variación lineal con la ecuación de Prandlt-Von Karman, que luego de alguna manipulación brindan la siguiente expresión:

Vmax − v 1⎡ y ⎤ y = − ⎢ 1 − + Ln(1 − 1 − )⎥ κ⎣ R ⎦ u* R Sin embargo, esta ecuación no concuerda con las mediciones realizadas por Nikuradse para tubos lisos y de rugosidad artificial, las cuales demuestran que todos los perfiles de velocidad se podrían caracterizar por la ecuación:

Vmax − v y = −2.5 Ln( ) R u*

FIGURA 4.5 Distribución de velocidades en flujo turbulento.

Si se supone que el caudal circulante por toda el área de flujo con velocidad (Vmáx - V ) debe ser igual al integral del caudal que pasa por un anillo a una distancia r, con una velocidad (Vmax - ν ), es decir: R

(VMáx − V )πR 2 = ∫ (VMáx − v) ⋅ 2π ⋅ dr 0

La cual se evalúa remplazando la ecuación tras anterior y r por (R - y) para obtener:

(V

0

⎡ ⎤ y2 y y (2 Ln( ) − 1)⎥ − V )R = 5u * ⎢ RyLn( ) − Ry − 4 R R ⎣ ⎦R 2

max

El término entre corchetes se indefine pata y = 0 pero si tomamos límites es posible obtener la siguiente expresión:

Vmax = V + 3.75u * Sin embargo existe una mejor concordancia con la información experimental cuando se sustituye 3.75 por 4.07, es decir:

Vmax = V + 4.07u * 4.6 FLUJO TURBULENTO EN TUBOS LISOS De la ecuación para perfiles de velocidad:

Vmax − v y = −2.5 Ln( ) u* R Expresada para logaritmos decimales se obtiene:

Vmax − v y = −5.75 Log ( ) u* R La cual se puede manipular como (manipulación de logaritmos)

v Vmax υ u* y u* y = + 5.75 Log ( ) + 5.75 Log ( ) → A + 5.75 Log ( ) u* u* u*R υ υ De las pruebas de Nikuradse para tubos lisos se encuentra que A = 5.50; por lo tanto:

u* y v ) = 5.50 + 5.75Log ( υ u* A partir de esta ecuación se puede derivar una relación para el factor de fricción y el número de Reynolds para flujo turbulento en tubos lisos

1 = 2.03Log ( R * f

f)

La experimentación ha brindado una ecuación similar, de la forma

1 2.51 ) = −0.80 + 2.0 Log ( R f ) = −2.0 Log ( f R f

4.7 FLUJO TURBULENTO EN TUBOS TOTALMENTE RUGOSOS De la ecuación obtenida para tubos lisos, escrita en función de la rugosidad en vez del Número de Reynolds Cortante:

v Vmax ε y y = + 5.75 Log ( ) + 5.75 Log ( ) = A1 + 5.75 Log ( ) u* u* R ε ε Nikuradse demostró que A1 = 8.48 y constante, por lo tanto

y v = 8.48 + 5.75 Log ( ) ε u* Ecuación para Reynolds altos y tubos rugosos, la cual dada en términos del factor de fricción (caso anterior) es:

D 1 = 0.95 + 2.03Log ( ) ε f La cual se ajustó experimentalmente como:

ε 1 D = 1.14 + 2 Log ( ) = −2 Log ( ) 3.71D ε f

4.8 FLUJOS DE TRANSICIÓN Cuando se grafican los valores de experimentales para variadas condiciones de trabajo de la tubería, se obtienen los rangos para los cuales las tuberías se comportan como lisas o rugosas y su respectiva transición. Cuando se comportan como lisas, el término correspondiente a la rugosidad relativa pierde importancia, mientras que cuando se comportan como rugosas, el este término es el más importante. En la transición ambos términos son aproximadamente importantes. Ello sugirió la idea a Colebrook-White de proponer una única ecuación válida para todos los tipos de flujos, con la inclusión de ambos términos dentro del logaritmo. La evidencia experimental respaldó sus suposiciones y hoy día su ecuación se utiliza universalmente. Es la versión analítica del Diagrama de Moody.

⎡ ε 2.51 ⎤ 1 = −2 Log ⎢ + ⎥ f ⎣⎢ 3.71D R f ⎥⎦

[4.3]

La ecuación brinda el valor de f implícitamente por lo que se hace necesario iterarla para encontrar el valor final. Debido a esta complicación, Swamme y Jain (1987) propusieron una versión explícita cuyo error se encuentra alrededor del 1% para las condiciones normales de operación de tuberías a presión:

f =

1.325 5.74 ⎤ ⎡ ε + 0.90 ⎥ Ln ⎢ ⎣ 3.7 D R ⎦

[4.4]

2

Tomando como base los experimentos de Nikuradse, Blasius (1933) dedujo la relación empírica para el Coeficiente de Rugosidad para flujo turbulento en tubo liso y transición (Ecuación [2.25]) que se presenta aquí de nuevo:

f =

0.3164 R 0.25

[4.5]

4.9 Recapitulación La Fórmula de Darcy-Weisback establece la relación entre las pérdidas de energía y la velocidad para el flujo en tuberías bajo cualquier condición de flujo. Cuando se tiene Flujo Laminar, dicha ecuación combinada con la Ecuación de Hagen-Poiseiulle brinda una relación lineal entre las pérdidas de energía y la velocidad con un Coeficiente de Rugosidad tal que

f =

64 R

Si el flujo es turbulento, tubo liso, la combinación de la Ecuación de Darcy-Weisback con la Ecuación de Blasius brinda una relación tal que las pérdidas son proporcionales a la velocidad elevada a la 1.75. Si el flujo es turbulento rugoso, el exponente es igual a 2 y el Coeficiente de Rugosidad se determina con la Ecuación de Colebrook-White. Hidalgo (1987), basándose en el concepto de la pérdida de significancia de la rugosidad de las paredes cuando la Capa Límite excede la altura de sus asperezas, propuso el Criterio de las Ru-

gosidades Límites que establece que si la Rugosidad Relativa es menor a un límite inferior (L) el flujo se encuentra en Condición Tubo Liso y si es mayor que un límite superior (T), el flujo es Turbulento Rugoso Completamente Desarrollado. Si el valor se encuentra entre L y T, el flujo se encuentra en la Transición. Esta última condición se expresa matemáticamente a continuación:

10.67 ε 146.53 = L ≤ ≤ T = 0.85 1.19 R D R Los experimentos concuerdan perfectamente para Flujo Laminar y el exponente de la velocidad para Flujo Turbulento varia entre 1.7 y 2, mostrando que la relación entre la condición liso-rugoso no es abrupta, sino más bien gradual.

5. FÓRMULAS EMPÍRICAS DEL CÁLCULO PÉRDIDAS POR LONGITUD Hipótesis: I. II. III. IV. V. VI.

Conducto circular, recto o ligeramente curvado. Flujo incompresible, densidad constante. Movimiento permanente o permanentemente en promedio. En cualquier sección recta a una distancia de 50 a 60 diámetros, la distribución de velocidades es independiente del punto. La velocidad será paralela a la generatriz de la conducción. La distribución de presiones en la sección recta es hidrostática.

Inconvenientes: I. II. III. IV. V. VI.

Son válidas solamente para cierto rango de diámetro. Son válidas únicamente para ciertos rangos de velocidad. Son válidas para determinados materiales. Algunas tienen coeficientes dimensionales. Se usan para determinados fluidos y ciertas temperaturas. Muchas de ellas no se pueden interpolar.

5.1 LAS FÓRMULAS USADAS EN EL CÁLCULO DE PÉRDIDAS POR LONGITUD

5.1.1 Fórmula de Chezy (1775) Esta fórmula es el intento mas antiguo para expresar algebraicamente las pérdidas de energía y aunque se deduce matemáticamente su aplicación, es empírica. Es válida para conductos cilíndricos y de gran aplicación en canales cuando se supone que la fuerza que se opone al movimiento de los fluidos está asociada con la fuerza de arrastre o dragado que el fluido ejerce sobre las rugosidades de las paredes. Utilizando análisis dimensional se obtiene que la fuerzas de arrastre sobre un cuerpo inmerso en un fluido está dada por:

FD = C D ρ ⋅ V 2 D 2

5.1

Donde: CD = F(R) y D2 significa área. Experimentalmente se ha encontrado que esta fuerza es:

FD =

CD ρ ⋅ V 2 At 2

5.2

Donde CD: Coeficiente de arrastre F(R) y At es el área sobre la cual actúa el esfuerzo.

FD =

CD πD 2 ρ ⋅ V 2 (πDL) = γ ⋅ hf 2 4

5.3

Utilizando la Ecuación de Darcy-Weibach con f = 4C D La Ecuación de Chezy se acostumbra expresar de otra forma como

RH hf L

V =C

V = C RS f

5.4

Donde C es el Coeficiente de Chezy y Sf es la pendiente de la Línea de Energía.

C=

1 6 H

2g 8g R = = CD f n

El Coeficiente de Rugosidad de Manning (ver más adelante) es n.

5.1.2 Fórmula de Darcy (1857) Utilizable para agua únicamente, tuberías de fundición y diámetros comprendidos entre 0.10 m ≤ D ≤ 0.50 m.

hf =

ℑ 4L (α + ) ⋅ V 2 D D

5.8

Para tuberías en servicio α = 5.07*10-4 y ℑ = 1.30*10-5, para tuberías nuevas se utiliza α /2 y ℑ /2.

5.1.3 Fórmula de Flamant

hf = 9.20 ⋅ 10− 4

L 4 V7 D D

Para tuberías de fundición en servicio y D ≤ 1.3 m.

5.9

5.1.4 Fórmula de Manning 2

V=

5.10

1

1 3 hf 2 RH ( ) n L 1

n = RH6

f 8g

Utilizada para tuberías y canales en las cuales n es la Rugosidad de Manning.

5.1.5 Fórmula de Hazen -Williams

V = 0.355 ⋅ CD 0.63 (

5.12

hf 0.54 ) L

C es el Coeficiente de Rugosidad de Hazen-Williams. Valida para 0.50 m ≤ D ≤ 3.50 m, pero hay que ser muy cuidadoso en su utilización, no obstante la popularidad que goza en la Ingeniería Sanitaria. Esta ecuación fue deducida empíricamente con base en aproximadamente 100 mediciones experimentales. Aunque posteriormente se incluyó una mayor cantidad, su uso está sujeto a que se utilicen los mismos parámetros y condiciones experimentales que se utilizaron para derivarla.

5.1.6 Fórmula de Maurice Levy Para toda clase de tuberías de fundición y para 0.08 m ≤ D ≤ 3.0 m. •

Para tuberías nuevas:

D ⋅ hf D 2 V = 36.4( (1 + 3 )) 2L 2 •

1

5.14

D ⋅ hf D 2 (1 + 3 )) 2L 2

5.15

Para tuberías en servicio: 1

V = 20.5(

5.1.7 Fórmula de Nougne

hf =

KLV 2 D1.25

Para tuberías en servicio K = 0.002 y K = 0.001 para tuberías nuevas.

5.16

5.1.8 Fórmula de Strickler 2

1

V = KRH3 (

hf 2 ) L

5.17

K depende de la naturaleza del material del conducto. Para fundiciones nuevas y pulidas K = 80 y para fundiciones mal acabadas K = 20.

5.1.8 Fórmula de Scobey

hf =

5.18

C sV 1.90 D1.10

Utilizable en tuberías de acero de gran diámetro. 0.32 ≤ CS ≤ 0.34

5.1.9 Fórmula de Fair-Whipple

Q1.88 hf = 2.02 ⋅ 10 L 4.88 D −3

5.19

Para diámetros pequeños y agua fría.

5.2 Pérdidas Locales o Menores Además de las pérdidas de carga continuas o por rozamiento, vimos que en las conducciones se produce otro tipo de pérdidas debido a fenómenos de turbulencia que se originan al paso de líquidos por puntos singulares de las tuberías, como cambios de dirección, codos, juntas, derivaciones, en general, por cualquier dispositivo que signifique un cambio de geometría, y que se conocen como pérdidas de carga accidentales, localizadas o singulares, que sumadas a las pérdidas de carga por fricción dan las pérdidas de carga totales. 5.2.2. Cálculo de las pérdidas de carga localizadas. Normalmente, las pérdidas de carga continuas son más importantes que las singulares, pudiendo éstas despreciarse cuando supongan menos del 5% de las totales, y en la práctica, cuando la longitud entre singularidades sea mayor de mil veces el diámetro interior de la tubería. Salvo casos excepcionales, las pérdidas de carga localizadas sólo se pueden determinar de forma experimental, y puesto que son debidas a una disipación de energía motivada por las turbulencias, pueden expresarse en función de la altura cinética corregida mediante un coeficiente empírico K.

hL = k

V2 8k Q2 = 2 g gπ 2 D 4

El coeficiente K es adimensional y depende del tipo de singularidad y de la velocidad media en el interior de la tubería. En la práctica y para cálculos rápidos que no precisen de gran exactitud, se suelen adoptar los siguientes valores aproximados de K.

Para tuberías comerciales, el coeficiente de pérdidas menores suele expresarse en función del caudal, tal como se muestra en la ecuación anterior, utilizando un coeficiente m’ de la siguiente manera;

hL = km ' Q 2 de donde m ' =

8 0.0826 = 2 4 gπ D D4

Y los valores comúnmente utilizadops se ilustran en la tabla siguiente.

5.2.3. Longitud equivalente de la conducción. Un método no completamente exacto pero válido a efectos de estimar las pérdidas de carga localizadas consiste en expresarlas en forma de longitud equivalente (Le), es decir, valorar cuántos metros de tubería recta del mismo diámetro producen una pérdida de carga continua que equivale a la pérdida que se produce en el punto singular. Por tanto, la longitud equivalente de una singularidad puede determinarse igualando las fórmulas para el cálculo de las pérdidas por fricción y locales, obteniéndose que

V2 L V2 k = f D 2g 2g

→ Le =

kD f

Este método ha caído en desuso por la simplicidad de los cálculos que hoy en día se realiza utilizando hojas de cálculo o programas especializados en tal efecto. Además, el camuflar las pérdidas locales dentro de las pérdidas por fricción suele ocasionar severos problemas para localizar errores que se cometan en aquellas.

5.4. Pérdidas de carga localizadas de mayor importancia cuantitativa. 5.4.1. Pérdidas localizadas en un ensanchamiento brusco de sección Aunque la tubería se ensanche bruscamente, el flujo lo hace de forma gradual, de manera que se forman torbellinos entre la vena líquida y la pared de la tubería, que son la causa de las pérdidas de carga localizadas.

Aunque en la mayoría de los casos las pérdida de carga localizadas se calculan a partir de la ecuación de pérdidas locales, obteniéndose K empíricamente, en este caso pueden deducirse de forma analítica. Suponiendo que

p1

γ

=

p2

γ

y z1 = z2

Se establece un Bernoulli entre las secciones 1 y 2 para obtener que

Para el caso particular de una tubería que abastece un depósito, el área del depósito es muchas veces mayor que el área de la tubería, por lo que la relación de diámetro de la tubería (D1) a diámetro del depósito (D2) tiende a cero en la ecuación anterior, de donde se obtiene que

k =1

Lo que significa que toda la energía cinética se pierde a la entrada (o salida) de un depósito.

5.4.2. Pérdidas localizadas en un ensanchamiento gradual de sección Son los difusores, en los que se producen, además de las pérdidas de carga por rozamiento como en cualquier tramo de tubería, otras singulares debido a los torbellinos que se forman por las diferencias de presión (al aumentar la sección disminuye la velocidad, y por lo tanto el término cinético, por lo que la presión debe aumentar).

A menor ángulo de conicidad (q), menor pérdida de carga localizada, pero a cambio se precisa una mayor longitud de difusor, por lo que aumentan las pérdidas de carga continuas. Se trata de hallar el valor de q para el que la pérdida de carga total producida sea mínima. Gibson (Torres Sotelo, 1996) demuestra experimentalmente que el ángulo óptimo de conicidad es de unos 6º, y proporciona la siguiente fórmula empírica para calcular las pérdidas de carga totales:

Los valores de l, también según Gibson, son los siguientes:

5.4.3. Pérdidas localizadas en un estrechamiento brusco de sección

En este caso, el flujo continúa convergiendo después de la embocadura durante una cierta distancia, a partir de la cual se produce su ensanchamiento. Por tanto, se formarán turbulencias entre el flujo y las paredes de la tubería, y también entre éstas y la vena líquida contraída, como se indica en la figura. Los valores de K se obtienen de forma suficientemente aproximada en función de la relación entre los dos diámetros:

Caso particular: Tubería a la salida de un depósito (embocadura) En este caso, la pérdida de carga depende del tipo de conexión entre la tubería y el depósito.

(1) Embocadura de arista viva: K»0.5 (2) Embocadura tipo entrante: K»1.0 (3) Embocadura abocinada: K»0.01-0.08, según el grado de abocinamiento. Se puede considerar un valor medio de K»0.5. 5.4.4. Pérdidas localizadas en un estrechamiento gradual de sección (tobera)

Puesto que el líquido aumenta su velocidad al pasar por la tobera, también disminuye su presión. Por tanto, las condiciones no favorecen la formación de torbellinos, siendo casi la totalidad de las pérdidas de carga que se producen debidas al rozamiento. Los valores de K suelen oscilar entre 0.02 y 0.04, por lo que, en la práctica, estas pérdidas de carga se desprecian. 5.4.5. Otras pérdidas localizadas de interés Son importantes por lo extendido del uso de estas piezas especiales las pérdidas de carga producidas en válvulas, codos de distintos ángulos y ramificaciones en “T” (pérdidas por bifurcación o empalme del flujo, ver figura).

5.5. Consideraciones prácticas para evaluar las pérdidas de carga accidentales. 1. Para válvulas, puede tomarse como equivalente la pérdida de carga por rozamiento en una tubería recta de 10 m de longitud y de igual diámetro que el accesorio. 2. En ocasiones, puede tomarse una longitud total de tubería incrementada en un 5 – 20 %, dependiendo de la longitud y el mayor o menor número de puntos singulares. 3. Las pérdidas localizadas en general pueden despreciarse cuando, por término medio, haya una distancia de 1000 diámetros entre dos puntos singulares.

6. CALCULO DEL FLUJO EN TUBERÍAS EN SERIE Las tuberías suelen conectarse entre si de diferentes formas de acuerdo con la función que deben desempeñar. Los diferentes arreglos se estudian por separado puesto que la geometría del conjunto posee características de escurrimiento particulares. Existen las Tuberías en Serie que consisten en tramos de tubería de diferentes características (diámetro, longitud y/o rugosidad) conectadas una detrás de la otra. Estos arreglos suelen utilizarse para el trasiego de fluidos entre dos puntos y la variación de las características se da en función de las condiciones de trabajo de la tubería, buscando la combinación que ofrezca un menor costo.

También se cuenta con las Tuberías en Paralelo que consisten de múltiples tramos de tubería de características diferentes que parten de un punto y se vuelven a unir posteriormente. Este arreglo es típico de sistemas que han ido siendo ampliados en el tiempo, construyéndose ramales independientes que no interrumpan el funcionamiento del sistema existente.

Otro tipo de arreglo muy utilizado son las Tuberías Ramificadas constituidas por varios tramos de tubería que convergen en uno o varios puntos desde orígenes independientes. Son típicas de los sistemas de acopio de fluidos desde diferentes fuentes, para ser conducidos a un almacenamiento común.

Por último se tienen las Redes de Tuberías compuestas por una enorme cantidad de tramos de tubería unidos entre si formando circuitos cerrados. Es típico de los Sistemas de Distribución como por ejemplo, los sistemas de distribución de agua potable en nuestras ciudades.

En el curso de Mecánica de los Fluidos se estudian únicamente las Tuberías en Serie; los otros tres sistemas forman parte del curso de Hidráulica 1. Por tal razón, todo el análisis que continúa se refiere a Sistemas de Tuberías en Serie.

6.1 CALCULO DE TUBERIAS EN SERIE Se consideran conocidos los datos complementarios relativos a la naturaleza y condiciones del fluido: viscosidad cinemática (m2/s), la longitud (m), el material de la conducción, estado y rugosidad (m). 6.1.1 Problema Tipo I: Se conoce el Caudal y el Diámetro de la Tubería. Son los problemas más sencillos de resolver puesto que al conocer el caudal se conocen la velocidad, el Número de Reynolds R y el Coeficiente de Fricción f, con lo que todo lo demás puede ser calculado. Datos: D, Q. Incógnitas: V, hf Procedimiento de Solución; 1. Se establece la Ecuación de Energía del Sistema. 2. Calcule la Velocidad:

V=

Q A

3. Calcule el Número de Reynolds (Utilice

υ = 10−6 m 2 / s ): R =

VD

υ

=

4Q πDυ

4. Si R ≤ 2,000 el flujo es Laminar y debe calcularse el Factor de Fricción como

f =

64 y saltar al paso 10. Caso contrario, el flujo es Turbulento. R

5. Calcule

ε D

6. Utilizando el Criterio de las Rugosidades Límites calcule L =

10.67 R1.19

7. Si

ε D

≤ L → el flujo es Condición Tubo Liso y el Factor de Fricción f debe calcu-

larse utilizando la Ecuación de Blasius y saltar al paso 10. Caso contrario, debe utilizarse la Ecuación de Colebrook-White o Swamme y Jain. 8. Tan sólo para efectos de clasificación, calcule T = 9. Si L ≤

ε D

146.53 R 0.85

≤ T → el flujo es Transición Liso-Rugoso. Si

ε D

≥ T → el flujo es Tur-

bulento Rugoso Completamente Desarrollado. 10. Calcular h f utilizando la Ecuación de Darcy-Weisback. 11. Se calculan las variables que se requieran utilizando la Ecuación de Energía. 6.1.2 Problema Tipo II: Se conocen Pérdidas de Energía y Diámetro de la Tubería. Los problemas de este tipo son más difíciles de resolver puesto que la rugosidad y otras variables dependen de la velocidad que es desconocida y que aparece en las fórmulas elevada a potencias mayores que la unidad. Generalmente implica el uso de iteraciones para alcanzar una solución. Generalmente el flujo se supone turbulento rugoso y algunas veces se supone alguna rugosidad para empezar a trabajar y en otras se supone la velocidad, dependiendo de la naturaleza del problema. No obstante, al final debe comprobarse la validez de cualquier suposición utilizada. Datos: D, hf.

Incógnitas : V, Q

1. Se expresan todas las pérdidas en términos del Caudal o de una única Velocidad utilizando la Ecuación de Continuidad. 2. Se establece la Ecuación de Energía del Sistema. 3. Se supone un Caudal inicial o una Velocidad inicial. 4. Se siguen los pasos 3 a 9 de los Problemas Tipo I. 5. Se calculan las pérdidas h f . 6. Se calcula el Caudal o la Velocidad utilizando la Ecuación de Energía. 7. Se compara el Caudal (Velocidad) calculado con el Caudal (Velocidad) supuesto; si son iguales el ese es el Caudal (Velocidad) requerido. Si no, se supone toma el Caudal (Velocidad) calculado y se devuelve al punto 4. 8. Se calculan las variables adicionales requeridas. 6.1.3 Problema Tipo III: Se conocen Pérdidas de Energía y Caudal. Este caso es de una complejidad parecida al Tipo II debido a que el Factor de Fricción depende del diámetro desconocido. Datos: hf, Q. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Incógnitas : D, V

Se establece la Ecuación de Energía del Sistema. Se despeja el Diámetro. Se supone el Factor de Fricción. Se calcula el Diámetro. Se siguen los pasos 3 a 9 de los Problemas Tipo I. Se compara el Factor de Fricción calculado con el supuesto; si coinciden ese es el Diámetro y el Factor de Fricción requerido. Si no coinciden, se toma el Factor de Fricción calculado y se regresa al punto 4. 7. Se calcula la Velocidad y cualquier variable adicional que se requiera.

6.1.4 Problema Tipo IV: Se conocen Pérdidas de Energía y Velocidad del Flujo. Este tipo de problemas es equivalente al anterior y se resuelven de igual manera. Datos: hf, V.

Incógnitas :D

6.1.5 Problema Tipo V: Se conoce el caudal que escurre por la tubería y debe determinarse el diámetro y las pérdidas. Este tipo de problema es equivalente al Tipo I y se resuelve idénticamente. Datos: V, Q.

Incógnitas : D, hf

6.1.6 Problema Tipo VI: Se conoce Velocidad del Flujo y Diámetro de la Tubería. Igual que el Tipo I. Datos : V, D.

Incógnitas : Q, hf

6.2 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 6.2.1 Problema Tipo I Una tubería de acero remachado con 0.30 m de diámetro y 300 m de extensión conduce 130 l/s de agua a -6 2 15.5 ° C: Rugosidad de tubería 0.003 m, viscosidad 1.127x10 m /s. Determinar la velocidad media y la pérdida de carga.

1.

V=

Q 4Q 4 ⋅ 0.13 = = = 1.839 m 2 s π ⋅ (0.30) 2 A πD

4Q 4 ⋅ 0.13 = = 489,563 → Flujo Turbulento πDυ π ⋅ 0.30 ⋅ 1.127 *10− 6 ε 0.003 3. = = 0.01 D 0.30 ε 10.67 10.67 4. L = 1.19 = = 1.8 *10− 6 ≤ → No es Tubo Liso 1.19 R D (489,563) 2.

R=

5.

T=

ε 146.53 146.53 = = 0.0021 ≤ → 0.85 0.85 R D (489,563)

6. Swamme y Jain f =

7.

1.325 2⎡ ε

5.74 ⎤ Ln ⎢ + 0.90 ⎥ ⎣ 3.7 D R ⎦

Darcy − Weisbach → h f = f

=

Flujo es Turbulento Rugoso

1.325 ⎤ ⎡ 0.01 5.74 Ln 2 ⎢ + 0.90 ⎥ 3 . 7 ( ) 489 , 563 ⎦ ⎣

= 0.038

L V2 300 (1.839) 2 = 0.038 = 6.56m D 2g 0.30 19.6

Si la tubería se sustituye por una tubería de concreto de 0.0003 m de rugosidad se tendría que:

3.

ε D

=

0.0003 = 0.001 0.30

4.

L=

ε 10.67 10.67 = = 1.8 *10− 6 ≤ → No es Tubo Liso R1.19 (489,563)1.19 D

5.

T=

ε 146.53 146.53 = = 0.0021 ≥ → Flujo es Transición R 0.85 D (489,563)0.85

6. Swamme y Jain f =

7.

1.325 5.74 ⎤ ⎡ ε Ln 2 ⎢ + 0.90 ⎥ ⎣ 3.7 D R ⎦

Darcy − Weisbach → h f = f

=

1.325 = 0.020 ⎤ 5.74 2 ⎡ 0.001 + Ln ⎢ (489,563)0.90 ⎥⎦ ⎣ 3.7

L V2 300 (1.839) 2 = 0.020 = 3.51m D 2g 0.30 19.6

Por último, si la tubería fuera de fibra de vidrio con una rugosidad de 0.00000003 se tendría que

3. 4.

ε D

=

L=

0.0003 = 0.000001 0.30

ε 10.67 10.67 = = 1.8 *10 −6 ≥ → 1.19 1.19 R D (489,563)

5. Blasius f =

6.

Condición Tubo Liso

0.3164 0.3164 = = 0.012 0.25 R (489,563) 0.25

Darcy − Weisbach → h f = f

L V2 300 (1.839) 2 = 0.012 = 2.06m D 2g 0.30 19.6

6.2.2 Problema Tipo II Dos depósitos están unidos por una tubería de hierro fundido con una rugosidad de 0.00026 m, 0.15 m de diámetro y 360 m de extensión. Determinar la velocidad y el caudal en el momento en que la diferencia de nivel entre los dos depósitos iguala a 9.30 m. La viscosidad del agua para 26.5º C es de 0.866x10-6 m2/s. A

B

hf

1. Ecuación de Energía del Sistema (Bernoulli entre A y B). p V2 p V2 z A + A + A = z B + B + B + h f + hL ; la presión y velocidad en A y B son nulos, 2g 2g γ γ h f = z A − z B = 9.30m

2. Debido a que están involucradas la velocidad y el Factor de Fricción, relacionados entre si por una ecuación trascendental, la ecuación anterior debe ser resuelta iterativamente. El proceso de cálculo consiste en suponer una velocidad, calcular el Factor de Fricción y despejar la velocidad de la ecuación anterior hasta que las velocidades supuestas y calculadas sean iguales. Ello se muestra en forma de tabla a continuación suponiendo Flujo Turbulento Condición Transición o Rugosa:

Vcalculada

Vsupuesta

f

m/s

Swamme Jain

m/s

1.000 1.785 1.804

0.0238 0.0233 0.0233

1.785 1.804 1.804

Como se supuso Flujo Turbulento Transición o Rugoso, debe verificarse que esta condición se cumpla para los resultados obtenidos. 1.804 ⋅ 0.15 = 312,471 ≥ 2,000 → Flujo Turbulento 0.000000866

R=

VD

L=

ε 0.00026 10.67 10.67 = = 3.09 ⋅ 10− 6 ≤ = = 1.73 ⋅ 10− 3 → Transición o Rugoso R1.19 (312,471)1.19 D 0.15

υ

=

3. La velocidad del flujo es la calculada y el caudal Q = VA = 1.804 ⋅ π ⋅ (0.15) 2 = 31.88L / s 4 6.2.3 Problema Tipo III Determinar el diámetro necesario para que una tubería de acero con rugosidad de 0.000046 m conduzca 19.0 l/s de un fluido que tiene una viscosidad de 2.78x10-6 m2/s, con una pérdida de carga que no exceda 6.0 m en 1200 m de extensión. 1. De las condiciones del problema: h f = 6.00m 2. Debido a que el diámetro se desconoce, también son desconocidos la velocidad y el Factor de Fricción por lo que la ecuación anterior debe ser resuelta iterativamente. El proceso de cálculo consiste en suponer un diámetro, calcular la velocidad y el Factor de Fricción y despejar el diámetro de la ecuación anterior hasta que el diámetro calculado y supuesto sean iguales. Ello se muestra en forma de tabla a continuación suponiendo Flujo Turbulento Condición Transición o Rugosa:

Dsupuesto m

Velocidad

f

Dcalculado

Q/A

Swamme Jain

Ec.Pérdidas

m/s

0.200 0.180 0.170 0.167

m

0.605 0.747 0.837 0.871

0.0223 0.0219 0.0217 0.0217

0.083 0.125 0.155 0.167

Como se supuso Flujo Turbulento Transición o Rugoso, debe verificarse que esta condición se cumpla para los resultados obtenidos. 0.871 ⋅ 0.167 = 52,228 ≥ 2,000 → Flujo Turbulento 0.00000278

R=

VD

L=

ε 0.000046 10.67 10.67 = = 2.59 ⋅ 10− 5 ≤ = = 2.76 ⋅ 10− 4 → Transición o Rugoso R1.19 (52,228)1.19 D 0.167

υ

=

3. El diámetro es el calculado. Sin embargo, debe seleccionarse un diámetro comercial cercano (y mayor) al diámetro obtenido. El más cercano es D = 203.20 mm, por lo que

Dseleccionado

Velocidad

f

Pérdidas

Q/A

Swamme Jain

Darcy-Weisbach

0.0223

2.308

m

m/s

0.203

0.586

m

Con lo cual se cumple con la proposición del problema de que las pérdidas sean menores de 6.00 m. Sin embargo, el cambio de diámetro puede haber inducido un cambio en las condiciones del escurrimiento, por lo que es necesario revisar que la Ecuación de Swamme y Jain siga siendo válida. 0.586 ⋅ 0.203 = 42,791 ≥ 2,000 → Flujo Turbulento 0.00000278

R=

VD

L=

ε 0.000046 10.67 10.67 = = 3.29 ⋅ 10 −5 ≤ = = 2.76 ⋅ 10 −4 → Transición o Rugoso R1.19 (42,791)1.19 D 0.167

υ

=

Por lo que los resultados obtenidos son los correctos.

6.2.4 Problema Tipo IV Una tubería nueva de acero de 150 metros de longitud, transporta de un tanque a otro un fluido que tiene una viscosidad de 0.71x10-6m2/s, con una velocidad media de 1.44 m/s. La rugosidad se puede admitir igual a 0.000046 m. Determinar el diámetro y el caudal sabiendo que la diferencia de nivel entre los dos tanques es de 1.86 m. De las condiciones del problema se tiene que h f = 1.86m y el problema se resuelve de manera similar al anterior, con la diferencia de que la velocidad es conocida.

Dsupuesto m

Velocidad

f

Dcalculado

Dada

Swamme Jain

Ec.Pérdidas

m/s

0.200 0.150 0.146

m

1.440 1.440 1.440

0.0161 0.0171 0.0172

0.137 0.146 0.146

De nuevo hay que seleccionar un diámetro comercial. El más cercano es D = 152.40 mm, por lo que

Dsupuesto m

Velocidad

f

Pérdidas

Dada

Swamme Jain

Darcy Weisbach

m/s

0.152

m

1.440

0.0170

Debe verificarse que el flujo sea Turbulento Transición o Rugoso: R=

VD

υ

=

1.44 ⋅ 0.152 = 309,093 ≥ 2,000 → Flujo Turbulento 0.00000071

1.772

L=

10.67 10.67 ε 0.000046 = = 3.13 ⋅10 −6 ≤ = = 3.02 ⋅10 −4 → Transición o Rugoso 1.19 1.19 R (309,093) D 0.152

Así que el diámetro de 152.4 mm es correcto y el caudal vale

Q = VA =

π

4

(0.152) 2 ⋅ 1.44 = 26.27 L / s

6.3 SISTEMAS EN SERIE Conjunto de tuberías, una luego de la otra, por las cuales pasa el mismo caudal. Por lo general de diferente diámetro y probablemente, pero no necesariamente, de diferente material. Según la Ecuación de Continuidad, el caudal debe ser el mismo en todo el sistema o por cada tubo. Las Pérdidas Totales de Energía, por otra parte, son iguales a la suma de las pérdidas individuales de cada tubería. Matemáticamente hablando, i=n

j =k

i =1

j =1

hfTotal = ∑ hf i + ∑ hL j Casos más Comunes: • Conexión Tanque - Tanque • Conexión Tanque - descarga a la atmósfera.

6.3.1 Conexión Tanque -Tanque

La figura muestra dos tanques conectados por un conjunto de tubos de diferente diámetro y material, por las cuales circula un caudal Q, se supone flujo permanente y fluido incompresible. La ecuación de la energía entre los niveles de los tanques: z1 +

p1

γ

+

V12 p V2 = z2 + 2 + 2 + h f + hL γ 2g 2g

Generalmente las velocidades en los depósitos son nulas y las presiones en ellos son la atmosférica (nulas), lo que significa que la diferencia de nivel entre los dos tanques es igual a la sumatoria de las perdidas de energía entre los dos niveles, la cual expresada por la fricción en los tubos y las perdidas locales. Las pérdidas locales están producidas por: contracción a la entrada, por los cambios de diámetro, válvulas, codos o medidores existentes y por último, por la llegada al segundo tanque. H = Σh f + ΣhL =

L k ⎞ 8 ⎛⎜ Σf j j5 + Σ j4 ⎟ ⋅ Q 2 gπ 2 ⎜⎝ Dj D j ⎟⎠

Donde k es el Coeficiente de Pérdida Local de cada accidente en el Sistema.

6.3.2 Conexión Tanque - Descarga a la Atmósfera

Ecuación de la energía, nivel de tanque y salida:

z1 +

p1

γ

+

V12 p V2 = z s + s + s + h f + hL 2g γ 2g

Normalmente la velocidad y la presión en el depósito son nulas, al igual que la presión a la salida a la atmósfera al final, por lo que la ecuación resultante es:

H = Σh f + ΣhL =

L k 8 ⎛⎜ 1 ⎞ Σf j j5 + Σ j4 + 4 ⎟ ⋅ Q 2 2 ⎜ gπ ⎝ Dj D j Ds ⎟⎠

La única diferencia de esta ecuación con la anterior (Tanque - Tanque) es la carga de velocidad a la salida del Sistema (el último término entre los corchetes).

Accesorio

K

Accesorio

K

Filtro

8.0

Cruceta

0.7

Codos

0.55

Medidor

6.0

Te

0.7

Válvula 2

3.0

Entrada tanque

1.0

•

Tramo filtro - cruceta

Longitud

45.0 m

Longitud

30.0 m

Diámetro

30 cm

Diámetro

15 cm

Rugosidad Tuberías

0.046x10 m

Agua,

1.13*10 m /s

• Válvula 1

Tramo cruceta - tanque 1.0

viscosidad =

-3

-6

2

Ejemplo 6.3.1: Para un caudal circulante de 50 l/s, determinar H. Utilizando las ecuaciones del caso Tanque-Tanque, suponiendo Flujo Turbulento Condición Transición o Rugoso, se utiliza la Ecuación de Swamme y Jain para el Factor de Fricción.

H = Σh f + ΣhL =

L k ⎞ 8 ⎛⎜ Σf j j5 + Σ j4 ⎟ ⋅ Q 2 gπ 2 ⎜⎝ Dj D j ⎟⎠

fj =

1.325 ⎡ ε 5.74 ⎤ Ln 2 ⎢ j + 0.90 ⎥ 3 . 7 D R j j ⎣⎢ ⎦⎥

Si el flujo presenta Condición Tubo Liso se utilizará la Ecuación de Blasius: fj =

0.3164 0.25 Rj

Tramo AF (Filtro - cruceta)

R=

4Q 4 ⋅ 0.05 = = 187,793 ≥ 2,000 → Flujo Turbulento πυD π ⋅ 1.13 * 10 − 6 ⋅ 0.30

L=

10.67 10.67 ε 0.000046 = = 5.66 ⋅10 −6 ≤ = = 1.53 ⋅10 −3 → Transición o Rugoso R1.19 (187,793)1.19 D 0.30

f1 =

1.325 = 0.0231 ⎤ 5.74 2 ⎡ 0.00046 Ln ⎢ + 0.90 ⎥ ⎣ 3.7 ⋅ 0.30 (187,793) ⎦

Σh f + ΣhL =

8 ⎛ 45 8 + 0.70 + 0.50 + 1 + 0.50 + 0.70 ⎞ 2 + 0.0231 ⎟ ⋅ (0.05) = 0.379m 2 ⎜ 5 4 gπ ⎝ 0.30 0.30 ⎠

Tramo FL (cruceta - tanque)

4Q

R= L=

πυD

=

4 ⋅ 0.05

π ⋅ 1.13 *10 −6 ⋅ 0.15

= 375,586 ≥ 2,000 → Flujo Turbulento

10.67 10.67 ε 0.000046 = = 2.48 ⋅10 −6 ≤ = = 1.53 ⋅10 −3 → Transición o Rugoso R1.19 (375,586)1.19 D 0.30

f1 =

1.325 = 0.0268 ⎡ ⎤ 5.74 2 0.00046 Ln ⎢ + 0.90 ⎥ ⎣ 3.7 ⋅ 0.15 (375,586) ⎦

Σh f + ΣhL =

8 ⎛ 30 6 + 0.50 + 0.50 + 3 + 1 ⎞ 2 + ⎜ 0.0268 ⎟ ⋅ (0.05) = 6.675m gπ 2 ⎝ 0.155 0.15 4 ⎠

(

Finalmente H = Σh f + ΣhL

) + (Σh 1

f

+ ΣhL )2 = 0.379 + 6.675 = 7.054 m

Ejemplo 6.3.2: Datos: L1 = 15 m 1.0

D1 = 15 cm -3

= 0.046x10 m

L2 = 30 m = 1.13x10

D2 = 30 cm -6 m2

KA = 1.0 KB = 0.88

/s. Determinar el caudal cuando H = 8.50 m.

Sustituyendo los datos en la Ecuación de Energía y despejando Q se tiene que

KV = 1.4 KC =

gπ 2 H

Q=

⎛ k ⎞ L 8⎜ Σfi i5 + Σ j5 ⎟ ⎜ ⎟ D D i j ⎠ ⎝

=

gπ 2 ⋅ 8.50 8(197,530.8642 f1 + 12,345.6790 f 2 + 4,009.8765)

Suponiendo Flujo Turbulento Transición o Rugoso, se procede a resolver la ecuación anterior por iteraciones suponiendo un caudal, calculando los f y calculando de nuevo el caudal utilizando la ecuación anterior

Qsupuesto

f1

f2

L/s

Swamme Jain

Swamme Jain

Qcalculado L/s

50.000 116.851 118.378 118.395

0.0168 0.0159 0.0159 0.0159

0.0170 0.0153 0.0152 0.0152

116.851 118.378 118.395 118.395

Ahora debe verificarse que el flujo sea Turbulento Transición o Rugoso. Para el Tubo 1

R1 = L=

4Q

πυD

=

4 ⋅ 0.118395

π ⋅ 1.13 *10 −6 ⋅ 0.15

= 889,352 ≥ 2,000 → Flujo Turbulento

10.67 10.67 ε 0.000046 = = 8.88 ⋅10 −7 ≤ = = 3.07 ⋅10 −4 → Transición o Rugoso 1.19 1.19 R (889,352) D 0.15

Para el Tubo 2

R1 = L=

4Q

πυD

=

4 ⋅ 0.118395

π ⋅1.13 *10 −6 ⋅ 0.30

= 444,676 ≥ 2,000 → Flujo Turbulento

ε 0.000046 10.67 10.67 = = 2.03 ⋅10 −6 ≤ = = 1.54 ⋅10 −4 → Transición o Rugoso 1.19 1.19 R (444,676) D 0.30

Ejemplo 6.3.3: Calcule el caudal por el sistema y calcule las Líneas de Alturas Totales y Piezométricas. Los Coeficientes de Pérdidas Locales son los siguientes: kA = 1, kB = 0.50, kCD = 0.25, kEF = 0.25 y kG = 1 B

25 A D

E

5

B C

Tubo A–B B –C D–E F–G

Diámetro

F

G

Longitud

mm

m

150 200 75 250

15.00 10.00 5.00 5.00

Rugosidad mm

0.05 0.10 0.05 0.10

Se supone que el flujo es Turbulento en Transición Liso-Rugoso o Rugoso completamente desarrollado. TODA suposición deberá ser verificada posteriormente y la razón de hacerla es para utilizar alguna fórmula para el Factor de Fricción, en este caso, la Ecuación de Swamme y Jain. Establecemos primeramente la Ecuación de Energía entre ambos embalses, recordando que la presión en la superficie de los mismos es nula (igual a la Presión Atmosférica) y que los embalses suelen tener dimensiones tales que las velocidades en los 2 mismos son muy pequeñas, por lo que los términos de las Cargas de Velocidad (v /2g) resultan despreciables.

z A = zG + hf AB + hf BC + hf DE + hf FG + hLA + hLB + hLCD + hLEF + hLG

Introduciendo la Ecuación de Darcy-Weisbach para las Pérdidas por Fricción y la Ecuación de las Pérdidas Locales, la expresión anterior se transforma en

8 gπ 2

⎛ L L k k L L k k k ⎜⎜ f AB AB + f BC BC + f DE DE + f FG FG + 4A + B4 + CD + EF + G4 5 5 5 5 4 4 D D D D D D D D D AB BC DE FG AB AB BC DE FG ⎝

⎞ 2 ⎟⎟ ⋅ Q = z A − zG ⎠

Ahora se pueden sustituir los valores numéricos del problema, para proceder a calcular el caudal.

8 gπ 2

(197,530.8642 f AB + 31,250.0000 f BC + 2,106,995.8850 f DE + 5,120.0000 f FG + 11,276.4475) ⋅ Q 2

= 20

Para calcular el caudal se debe conocer los Coeficientes de Fricción, que a su vez, son función de dicho caudal. Ello implica que la ecuación anterior debe iterarse de la siguiente manera. Se suponen los Coeficientes de Fricción y se calcula el caudal. Con éste se calculan los Coeficientes utilizando la Ecuación de Swamme y Jain y se vuelve a calcular el caudal. Este último paso se repite hasta obtener un valor invariable para el caudal, con una precisión que nos satisfaga. Usualmente, si el caudal se está trabajando en m3/s una precisión de 0.01 m3/s es suficiente. Si el caudal se trabaja en L/s se utiliza 0.01 L/s.

f AB

f BC

f DE

f FG

Q

Swamme

Swamme

Sawmme

Swamme

L/s

0.02000 0.01653 0.01649 0.01649

0.02000 0.01796 0.01792 0.01792

0.02000 0.01829 0.01828 0.01828

0.02000 0.01759 0.01754 0.01754

64.55 67.12 67.14 67.14

El caudal que escurre por el sistema es 67.14 L/s. SIEMPRE Y CUANDO el flujo sea Turbulento en todos los tubos, en Condición Rugosa o Transición Liso-Rugosa. Por lo tanto, se procederá a verificar el tipo de flujo en cada caso. Tubo

Reynolds

A-B B-C D-E F-G

569,902 427,427 1,139,804 341,941

e/D

10.67/R^1.19 Clasificación

3.33E-04 5.00E-04 6.67E-04 4.00E-04

1.509E-06 2.125E-06 6.615E-07 2.772E-06

Turbulento, transición o rugoso Turbulento, transición o rugoso Turbulento, transición o rugoso Turbulento, transición o rugoso

Todos los tubos cumplen con la suposición inicial, por lo que el caudal calculado es correcto. Seguidamente se calcularán las ordenadas de la Línea de Alturas Totales y de la Línea de Alturas Piezométricas.

Punto

Totales Piezom. msnm

msnm

Aantes Adespues Bantes Bdespues

25.000 24.264 23.051 22.683

25.000 23.528 22.315 21.947

C D E F

22.475 22.416 8.071 5.128 5.094 5.000

22.242 10.633 -3.713 5.032 4.999 5.000

Gantes Gdespues

Tanto la Línea de Alturas Totales como la Piezométrica deben partir de la elevación del embalse en A y llegar a la elevación del embalse en G. La diferencia de Energías Totales entre dos puntos es igual a la Pérdida entre esos dos puntos. Como la Pérdida Local se da en un solo punto, para el cálculo de las ordenadas se toma que dicha pérdida ocurre entre los puntos antes y después, en la tabla anterior. La diferencia entre la Energía Total y la Piezométrica, para cualquier punto, es igual a la Carga de Velocidad. Observe que la Altura Piezométrica cae abruptamente en D y es menor a la presión atmosférica en E, para volver a recuperarse en F. Ello se debe a la reducción brusca del diámetro de la tubería entre D y E. En ambos embalses coinciden las Alturas Totales y Piezométricas porque las velocidades en los embalses son nu-

las. La Energía Total SIEMPRE decrece en el sentido del flujo, tal como se muestra. Observe también que toda la altura disponible entre ambos embalses se consume en pérdidas, lo que significa que el sistema se controla de tal manera que escurrirá un caudal tal que haga que las pérdidas sean iguales a la altura disponible. Por último, el resultado sería el mismo si la tubería se encontrara más abajo de donde se encuentra; de hecho su elevación no participa de los cálculos del caudal. Problema 6.3.4; Una Bomba de 250 kW impulsa un caudal de 250 L/s por una tubería de diámetro desconocido. ¿Cuánto vale el Diámetro? Dibuje las Líneas de Alturas Totales y Piezométricas. LCB = 20 m, LBD = 25 m y LDE = 200 m. F

100

E

A

20

D

C B

Para iniciar los cálculos se supondrá que el flujo es turbulento, transición o rugoso, lo que permitirá utilizar la Ecuación de Swamme y Jain para el cálculo del Coeficiente de Fricción. Planteando la Ecuación de Energía (Bernoulli) entre A y F:

zA +

pA

γ

+

v A2 p v + H BOMBA = z F + F + F + ∑ hf AF + ∑ hLAF 2g 2g γ

Por tratarse de embalses en A y en F, de nuevo las velocidades y las presiones son nulas,

H BOMBA = 80 + ∑ hf AF + ∑ hLAF = 80 +

8Q 2 gπ 2

⎛ f CE LCE k C + k D + k E ⎜⎜ + 5 4 DCE ⎝ DCE

⎞ ⎟⎟ ⎠

(1)

Ambos diámetros en la ecuación anterior son iguales y se tiene la Ecuación de la Potencia de la Bomba para resolver el problema.

H BOMBA =

Potencia 250 = = 102.041m γ ⋅Q 9.80 ⋅ 0.25

(2)

La ecuación resultante no se puede resolver directamente puesto que se desconoce f. Suponiendo un diámetro = 200 mm. e iterando las ecuaciones para alcanzar una solución. Diámetro

Re

f

m

Ec.1-Ec.2 m

0.20000 0.25000 0.25027 0.25056

1,591,549 1,273,240 1,271,846 1,270,415 0.25056 1,270,406

0.01210 0.01215 0.01215 0.01215 0.01215

43.69995 0.23805 0.12076 0.00078 0.00000

En la última columna se ha utilizado la diferencia entre las ecuaciones 1 y 2, debido a que se tiene la certeza de que dicha diferencia debe dar cero. En otras palabras, se están buscando las raíces de la ecuación

f ( x) = 0

Dicho problema puede resolverse utilizando el Método de Newton-Raphson el cual es un método iterativo para encontrar las raíces de la ecuación anterior, aún cuando dicha ecuación sea no lineal. Partiendo de la definición de derivada se tiene que

f ' ( x1 ) ≈

f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1

Si se está cerca de la solución, f(x2) ≈ 0 por lo que

x 2 = x1 −

f ( x1 ) f ' ( x1 )

Y ese es el Método de Newton-Raphson; conocido un valor x1 se obtiene el siguiente valor x2. Conocido este se calcula x3 y así sucesivamente hasta obtener la convergencia deseada. Sin embargo, dicho método posee el inconveniente de que debe calcularse la derivada de la función, el cual en algunos casos puede ser muy engorroso. Un método alternativo derivado de este es el Método de la Secante, el cual es general y robusto y pude ser aplicado con toda confianza. Este método sustituye la derivada por la siguiente aproximación

f ' ( x1 ) ≈

f ( x1 ) − f ( x0 ) x1 − x0

Introduciendo dicha derivada en la ecuación de Newton-Raphson se obtiene el Método de la Secante, en el cual se ha simplificado el cálculo de la derivada introduciendo un valor adicional x0. El procedimiento consiste en suponer dos valores iniciales cualquiera y a partir del tercero utilizar el Método de la Secante para calcular el valor siguiente, y continuar así hasta obtener la convergencia deseada.

x2 = x1 −

f ( x1 ) ⋅ ( x1 − x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 )

Dicho método fue utilizado en la tabla anterior con D1 = 0.25, D0 = 0.20 y f(D) = Ec.1 – Ec.2 para obtener el valor del diámetro de 0.25027 y se continuó utilizando hasta obtener la convergencia. El diámetro es 250 mm, muy cercano al diámetro comercial 254 mm por lo que se supondrá que dicho valor es correcto y será el que se continúe utilizando. Como se observa de la tabla anterior, el flujo es turbulento: a continuación se verifica que sea transición o rugoso.

ε D

=

0.01 10.46 = 3.991 ⋅ 10− 5 ≥ 1.19 = 5.700 ⋅10− 7 → Transición _ o _ Rugoso 250 Re

Por lo que se comprueba que el diámetro calculo es correcto. A continuación se calcularán las ordenadas de las Líneas de Alturas Totales y Piezométricas.

Punto

Totales

Piezom.

msnm

msnm

Bantes Bdespues Dantes Ddespues Eantes Edespues

20.000 18.688 17.418 119.459 114.693 114.038 101.330 100.000

20.000 16.011 14.740 116.781 Se suma H BOMBA 112.016 111.360 98.653 97.322

F

100.000

100.000

A C

119.459 Totales

100 Piezométrica

20 B

Ejemplo 6.3.5 25 5 A

12

0

0,5

0,25

C 0,25 50

D 25

B

E 0,5

25

Pot. B =

99.9427

Dos depósitos se unen por tres tuberías como se muestra en la figura. ¿Cuánto caudal escurre de E a A? Dibuje la Línea de Energía y las alturas piezométricas. kW

Bernoulli entre Embalse D y Embalse A

f ( Q ) = H B − Δ Z − Σ hf − Σ hL = 0 D= e= Q= Tubo A-C C-D

350 0.1

350 L/s D e m m 0.35 0.0001 0.30 0.0005

300 0.5

Re

250 mm 0.2 mm

f

Q= Tubo A-C C-D

0.25

0.0002

355 L/s D e m m 0.35 0.0001 0.30 0.0005

1,273,240 1,485,446

0.015 0.023 HB = 1,782,535 0.019 Suma = f(Q) = Re f

1.492 2.348 29.138 4.896 8.736 0.4022 hf

1,291,429 1,506,667

0.015 0.023 HB = 1,808,000 0.019 Suma = f(Q) = Re f

1.534 2.415 28.727 5.036 8.985 -0.2576 hf

1,284,328 1,498,383

0.015 0.023 HB = 1,798,059 0.019 Suma = f(Q) = Re f

1.518 2.388 28.886 4.981 8.887 -0.0010 hf

1,284,301 1,498,351

1.518 2.388 28.887 4.981 8.887 0.0000

B

D-E Q= Tubo A-C C-D

0.25

0.0002

353.048 L/s D e m m 0.35 0.0001 0.30 0.0005

B

D-E Q= Tubo A-C C-D

0.25

0.0002

353.041 L/s D e m m 0.35 0.0001 0.30 0.0005

0.015 0.023 HB = 1,798,022 0.019 Suma = f(Q) = B

D-E

0.25

0.0002

B

− 20 − Σ hf = 0

hf

B

D-E

f (Q ) = H

Punto E.TOTAL Embalse 5.000 E 5.000 B antes 2.510 B desp 31.396 D 28.906 C 26.518 A 25.000 Embalse 25.000

E.Piez. 5.000 2.361 -0.130 28.757 27.633 25.245 24.313 25.000

Comprobaciones;

Re menor: tubo A - B:

Liso 5.74E-07

≤

Transición e/D = 0.00029

≤ → →

Rugoso 0.00094 Transición Swammee & Jain OK.

GRÁFICO DE ENERGÍAS Alturas Totale s y Pie zométricas 35

Elevación (msnm)

30 25 20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

Distancia (m) E.TOTA L

E.PIEZ.

Tubería

90

100

110