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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS FACULTAD DE INGENIERÍA, CI

Decimo semestre Grupo: “C”

HIDRAULICA FLUVIAL ANALISIS GRANULOMETRICO PARA EL LECHO DEL RIO VERDIGUEL

Nombre: Vidal Barron Hilda Mariela

Profesor: Ing. Nájera Blanco Francisco Fecha: Octubre 2016

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas

TAREA Los análisis granulométricos corresponden a 4 muestras superficiales del río Verdiguel, que atraviesa la ciudad de Toluca, estado de México. 1.- Graficar cada una de las muestras con los papeles de probabilidad e indicar con que papel se justa mejor. 2.- Ajustar las cuatro muestras con las funciones de distribución de probabilidad utilizando el método por mínimos cuadrados (indicar los tramos en que mejor se ajusta).

3.- Determinar el ajuste de distribución de probabilidad representativo de las cuatro muestras.

4.- Con el ajuste representativo de las cuatro muestras encontrar los siguientes diámetros característicos d16, d35, d50, d65, d84, d90.

5.- Determinar los parámetros estadísticos de la muestra representativa.

1.- GRAFICAR CADA UNA DE LAS MUESTRAS CON LOS PAPELES DE PROBABILIDAD E INDICAR CON QUE PAPEL SE JUSTA MEJOR.

TABLA 1

Malla No.

Abertura mm

3 2 1 1/2 1 3/4 1/2 3/8 1/4 4 10 20 40 60 100 200 Charola

76.2 50.8 38.1 25.4 19.1 12.7 9.5 6.7 4.699 1.651 0.833 0.417 0.246 0.147 0.074

Peso total

Peso retenido gramos

Porcentaje retenido %

Retenido acumulado %

Porciento que pasa %

0 125.10 244.80 170.90 289.70 312.10 1189.99 674.20 709.37 557.28 345.89 217.27 1025.28

0 2.1 4.2 2.9 4.9 5.3 20.3 11.5 12.1 9.5 5.9 3.7 17.5

0 2.1 6.3 9.2 14.2 19.5 39.8 51.3 63.4 72.9 78.8 82.5 100.0

100 97.9 93.7 90.8 85.8 80.5 60.2 48.7 36.6 27.1 21.2 17.5 0.0

5861.89

100

Análisis de Granulométrico. Procedencia: Rio Verdiguel, Toluca estado de México Sondeo: Muestra Numero 1

Papel de probabilidad Aritmética, (Muestra 1).

Papel de probabilidad Semilogarítmico, (Muestra 1).

Papel de probabilidad Logarítmico, (Muestra 1).

Papel de probabilidad Normal, (Muestra 1).

Diámetro, en mm

Papel de probabilidad Log-normal, (Muestra 1).

Por ciento que pasa

Papel de distribución Circular, (Muestra 1).

Diámetro, en mm

Malla No.

Abertura mm

3 2 1 1/2 1 3/4 1/2 3/8 1/4 4 10 20 40 60 100 200 Charola

76.2 50.8 38.1 25.4 19.1 12.7 9.5 6.7 4.699 1.651 0.833 0.417 0.246 0.147 0.074

Peso total

Peso retenido gramos

Porcentaje retenido %

Retenido acumulado %

Porciento que pasa %

0 11.29 49.86 58.25 126.98 173.16 796.86 575.81 423.36 347.27 404.79 258.51 516.58

0.0 0.3 1.3 1.6 3.4 4.6 21.3 15.4 11.3 9.3 10.8 6.9 13.8

0 0.3 1.6 3.2 6.6 11.2 32.5 47.9 59.2 68.5 79.3 86.2 100.0

100 99.7 98.4 96.8 93.4 88.8 67.5 52.1 40.8 31.5 20.7 13.8 0.0

3742.72

100

TABLA 2

Análisis de Granulométrico. Procedencia: Rio Cano, Toluca estado de México Sondeo: Muestra Numero 2

Papel de probabilidad Aritmética, (Muestra 2).

Papel de probabilidad Semilogarítmico, (Muestra 2).

Papel de probabilidad Logarítmico, (Muestra 2).

Papel de probabilidad Normal, (Muestra 2).

Diámetro, en mm

Papel de probabilidad Log-normal, (Muestra 2).

Papel de distribución Circular, (Muestra 2).

Por ciento que pasa

Diámetro, en mm

TABLA 3 Análisis de Granulométrico. Procedencia: Rio Verdiguel, Toluca estado de México Sondeo: Muestra Numero 3

Malla No.

Abertura mm

Peso retenido gramos

3 2 1 1/2 1 3/4 1/2 3/8 1/4 4 10 20 40 60 100 200 Charola

76.2 50.8 38.1 25.4 19.1 12.7 9.5 6.7 4.699 1.651 0.833 0.417 0.246 0.147 0.074

0 402.32 194.14 270 190.98 209.85 160.16 190.55 171.24 339.93 302.04 302.04 293.63 289.42 382.02 508.95

Porcentaje retenido % 0 9.6 4.6 6.4 4.5 5.0 3.8 4.5 4.1 8.1 7.2 7.2 7.0 6.9 9.1 12.1

Peso total

4207.26

100

Retenido acumulado % 0 9.6 14.2 20.6 25.1 30.1 33.9 38.5 42.5 50.6 57.8 65.0 71.9 78.8 87.9 100.0

Porciento que pasa % 100 90.4 85.8 79.4 74.9 69.9 66.1 61.5 57.5 49.4 42.2 35.0 28.1 21.2 12.1 0.0

1. Papel de probabilidad Aritmética, (Muestra 3).

Papel de probabilidad Semilogarítmico, (Muestra 3).

2. Papel de probabilidad Logarítmico, (Muestra 3).

Papel de probabilidad Normal, (Muestra 3).

Diámetro, en mm

3. Papel de probabilidad Log-normal, (Muestra 3).

4. Papel de distribución Circular, (Muestra 3).

Por ciento que pasa

Diámetro, en mm

TABLA 4 Análisis de Granulométrico. Procedencia: Rio Verdiguel, Toluca estado de México Sondeo: Muestra Numero 4 Malla No.

Abertura mm

3 2 1 1/2 1 3/4 1/2 3/8 1/4 4 10 20 40 60 100 200 Charola

76.2 50.8 38.1 25.4 19.1 12.7 9.5 6.7 4.699 1.651 0.833 0.417 0.246 0.147 0.074

Peso total

Peso retenido gramos

Porcentaje retenido %

Retenido acumulado %

Porciento que pasa %

0 239.92 114.83 136.70 199.35 134.00 146.61 146.26 259.92 208.93 153.31 162.58 178.80 106.61 128.71

0.0 10.4 5.0 5.9 8.6 5.8 6.3 6.3 11.2 9.0 6.6 7.0 7.7 4.6 5.6

0.0 10.4 15.3 21.2 29.8 35.6 41.9 48.2 59.5 68.5 75.1 82.1 89.8 94.4 100.0

100.0 89.6 84.7 78.8 70.2 64.4 58.1 51.8 40.5 31.5 24.9 17.9 10.2 5.6 0.0

2316.52

100

1. Papel de probabilidad Aritmética, (Muestra 4).

Papel de probabilidad Semilogarítmico, (Muestra 4).

Papel de probabilidad Logarítmico, (Muestra 4).

2. Papel de probabilidad Normal, (Muestra 4).

Diámetro, en mm

3. Papel de probabilidad Log-normal, (Muestra 4).

4. Papel de distribución Circular, (Muestra 4).

Por ciento que pasa

Diámetro, en mm

2. AJUSTAR LAS CUATRO MUESTRAS CON LAS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UTILIZANDO EL MÉTODO POR MÍNIMOS CUADRADOS (INDICAR LOS TRAMOS EN QUE MEJOR SE

MUESTRA No. 1

120

100

80

60

40

20

0 0.01

0.1

Muestra No.1

1

Log. (Muestra No.1)

10

AJUSTA).

El papel, con el mejor ajuste para la muestra de suelo, es el logarítmico, al realizar el análisis por mínimos cuadrados, se tiene finalmente una recta sobre los puntos.

100

MUESTRA No. 2 120

100

80

60

40

20

0 0.01

0.1

1 Muestra No.2

10 Log. (Muestra No.2)

El papel, con el mejor ajuste para la muestra de suelo, es el semilogarítmico, al realizar el análisis por mínimos cuadrados, se tiene finalmente una recta sobre los puntos.

100

MUESTRA No. 3 120

100

80

60

40

20

0 0.01

0.1

1 Muestra No.3

10 Log. (Muestra No.3)

El papel, con el mejor ajuste para la muestra de suelo, es el semilogarítmico, al realizar el análisis por mínimos cuadrados, se tiene finalmente una recta sobre los puntos.

100

MUESTRA No. 4 120.0

100.0

80.0

60.0

40.0

20.0

0.0 0.01

0.1

1

10

-20.0 Muestra 4

Log. (Muestra 4)

El papel, con el mejor ajuste para la muestra de suelo, es el semilogarítmico, al realizar el análisis por mínimos cuadrados, se tiene finalmente una recta sobre los puntos.

100

3. DETERMINAR EL AJUSTE DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD REPRESENTATIVO DE LAS CUATRO MUESTRAS.

MUESTRA NO.1 AJUSTE: FUNCIÓN LOGARITMICA Y = 15.68LN(X) + 52.947 R² = 0.9912

Muestra No. 1 120 y = 15.68ln(x) + 52.947 R² = 0.9912

Porcentaje que pasa

100 80 60

Muestra No.1 Log. (Muestra No.1)

40 20 0

0.01

0.1

1

Diametro, en mm

10

100

MUESTRA NO.2 AJUSTE: FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y = 16.414LN(X) + 56.091 R² = 0.9804

Muestra No.2 120 y = 16.414ln(x) + 56.091 R² = 0.9804

Porcentaje que pasa

100 80

Muestra No.2

60

Log. (Muestra No.2)

40 20 0 0.01

0.1

1

Diametro, en mm

10

100

MUESTRA NO.3 AJUSTE: FUNCIÓN LOGARÍTMICA Y = 11.632LN(X) + 42.84 R² = 0.9892

Muestra No.3

Porcentaje que pasa

120 100

y = 11.632ln(x) + 42.84 R² = 0.9892

80 60

Muestra No.3

40

Log. (Muestra No.3)

20 0 0.01

0.1

1

Diametro, en mm

MUESTRA NO.4 AJUSTE: FUNCIÓN LOGARÍTMICA

10

100

Y = 14.048LN(X) + 36.434 R² = 0.9825

Muestra 4 120.0

Porcemtaje que pasa

100.0

y = 14.048ln(x) + 36.434 R² = 0.9825

80.0 60.0 Muestra 4 40.0

Log. (Muestra 4)

20.0 0.0 0.01 -20.0

0.1

1

10

100

Diametro, en mm

CURVA GRANULOMÉTRICA EFECTIVA O CARACTERÍSTICA

La granulometría efectiva o característica del material que constituye el lecho del rio del que se trata, se determina obteniendo la curva representativa del grupo de curvas de las diferentes muestras, es decir, simulando la toma y el cribado de una macromuestra en este caso de aproximadamente 16.13 kg, constituida por el material de las cuatro muestras analizadas, la curva granulométrica obtenida se representa en la siguiente figura, donde se

aprecia claramente como están distribuidos los tamaños de las partículas, dicha curva es la llamada curva efectiva o característica del material del cauce del que se trata.

Análisis granulométrico. Granulometría efectiva o característica del material que constituye el cauce del rio, constituido por las cuatro muestras tomadas en el lecho del rio

Malla No.

3 2 1.5 1 0.75 0.5 0.375 0.25 4 10 20 40 60 100 200 Charola

Abertura mm 76.2 50.8 38.1 25.4 19.1 12.7 9.5 6.7 4.699 1.651 0.833 0.417 0.246 0.147 0.074

Suma

Peso retenido gramos 0 402.32 434.06 384.83 464.07 703.86 523.31 753.84 802.76 2586.69035 1760.98359 1588.08353 1360.75657 1218.90238 964.41056 2179.51833

Porcentaje retenido % 0 2.49448251 2.69127828 2.38604023 2.87734763 4.36410434 3.24465013 4.67399258 4.97730856 16.0381135 10.9185294 9.84650673 8.43702392 7.55749321 5.97958161 13.5135473

16128.3953

100

Retenido acumulado % 0 2.49448251 5.18576079 7.57180102 10.4491486 14.813253 18.0579031 22.7318957 27.7092043 43.7473178 54.6658472 64.512354 72.9493779 80.5068711 86.4864527 100

Porciento que pasa % 100 97.5055175 94.8142392 92.428199 89.5508514 85.186747 81.9420969 77.2681043 72.2907957 56.2526822 45.3341528 35.487646 27.0506221 19.4931289 13.5135473 0

100 90

PORCENTAJE QUE PASA, %

80 70 60 50 40 30 20

10 0 0.01

0.1

1

10

100

DIAMETRO, MM

Curva Granulométrica efectiva o característica del material que constituye el lecho o cauce del rio.

Distribuciones teóricas. Las observaciones de quienes se dedican a los estudios de sedimentos naturales llevan a la conclusión de que los tamaños de las partículas que constituyen tales sedimentos no se distribuyen según una ley única. Sin embargo se ha comprobado también, que dependiendo de las condiciones en las que se encuentren los sedimentos en los lechos de los ríos se dan abundantes casos que presentan una tendencia bastante definida hacia cierto tipo de distribución; es decir, existen otros sedimentos que se ajustan mejor a una determinada distribución que otra. LA concordancia entre una distribución real y una teórica difícilmente es perfecta. Las discordancias se tienen casi siempre en los extremos o colas de la distribución: las fracciones

de material muy fino o grueso son las que se alejan de la distribución. Las mayorías de las veces esta colas representan solo una pequeña fracción o porcentaje de material, en estos casos puede aceptarse totalmente la validez del modelo teórico, o bien se indica el intervalo donde se satisface el modelo Distribución Logarítmica Si al dibujar los puntos de la curva granulométrica en papel semilogaritmico, resulta que quedan alineados sobre una recta, significa que los logaritmos de los diámetros de las partículas se distribuyen linealmente. Cuando esto ocurre se dice que la distribución de los tamaños de las partículas es logarítmica.

Distribucion log-log Si al dibujar los puntos de la curva granulométrica en papel logaritmico, resulta que quedan alineados sobre una recta, significa que los logaritmos de los diámetros de las partículas se distribuyen logaritmicamente. Cuando esto ocurre se dice que la distribución de los tamaños de las partículas es log-log.

Distribucion circular

Distribución normal Para saber rápidamente si la granulometria de los sedimentos es o no gaussiana, se dibujan los diámetros de las partículas en papel probabilidad, si resulta que los puntos quedan exactamente alineados sobre una recta, significa que la granulometría sigue una ley normal o gaussiana de probabilidad.

La distribución mejor ajustada por lo tanto es la logarítmica, se procederá a través del método de mínimos cuadrados para realizar el ajuste. Para ello se procede a aplicar logaritmos naturales a los diámetro, en este caso las aberturas de las mallas, para poder trabajar con una gráfica lineal, o en su defecto lo más apegada a ella y poder aplicar el método de la forma Y=ax+b.

D en mm 76.2 50.8 38.1 25.4 19.1 12.7 9.5 6.7 4.699 1.651 0.833 0.417 0.246 0.147

LN(x) 4.33336146 3.92789635 3.64021428 3.23474917 2.94968834 2.54160199 2.2512918 1.90210753 1.54734972 0.50138116 -0.18272164 -0.87466906 -1.40242374 -1.91732269

0.074

-2.60369019

Porcentaje que pasa %

120 100 80

60 40 20 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

LN(x)

El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados. Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado:

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:

Su valor puede variar entre 1 y -1.

Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta e inversa. Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables. Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta y directa. Con lo cual aplicando las expresiones se obtienen los valores de a, b, r. a =13.385 b =48.163 R2= 0.9905

Quedando el ajuste de la distribución de la siguiente manera

Porcentaje que pasa, %

110

90

y = 13.385ln(x) + 48.163 R² = 0.9905

70 50

distribucion real Log. (distribucion real)

30 10 -10 0

20

40

60

80

100

Diametro, mm

4.- CON EL AJUSTE REPRESENTATIVO DE LAS CUATRO MUESTRAS ENCONTRAR LOS SIGUIENTES DIÁMETROS CARACTERÍSTICOS D16, D35, D50, D65, D84, D90.

Con el ajuste realizado a la curva granulométrica se determinaran los siguientes diámetros caracteristicos, de manera que “Y” es la variable dependiente y “X” la variable independiente, es necesario hacer el despeje de la ecuación de ajuste ya que la variable independiente se desconoce y la variable dependiente ya se tiene. La ecuación queda entonces: 𝑥=𝑒

𝑦−48.163 13.385

Los diámetros a encontrar son: D16, D35, D50, D65, D84, D90, loa resultados se resumen en la siguiente tabla

Diámetro característico D16

Tamaño en mm 0.0905

D35

0.37403

D50

1.14711

D65

3.51803

D84

14.54722

D90

22.77499

5.- DETERMINAR LOS PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE LA MUESTRA REPRESENTATIVA.

Malla No.

Abertura

3

mm 76.2

Peso retenido gramos 0

Porcentaje retenido % 0

Retenido acumulado % 0

Porciento que pasa % 100

2 1.5 1 0.75 0.5 0.375 0.25 4 10 20 40 60 100 200 Charola

50.8 38.1 25.4 19.1 12.7 9.5 6.7 4.699 1.651 0.833 0.417 0.246 0.147 0.074

402.32 434.06 384.83 464.07 703.86 523.31 753.84 802.76 2586.69035 1760.98359 1588.08353 1360.75657 1218.90238 964.41056 2179.51833

2.49448251 2.69127828 2.38604023 2.87734763 4.36410434 3.24465013 4.67399258 4.97730856 16.0381135 10.9185294 9.84650673 8.43702392 7.55749321 5.97958161 13.5135473

Suma

16128.3953

100

2.49448251 5.18576079 7.57180102 10.4491486 14.813253 18.0579031 22.7318957 27.7092043 43.7473178 54.6658472 64.512354 72.9493779 80.5068711 86.4864527 100

97.5055175 94.8142392 92.428199 89.5508514 85.186747 81.9420969 77.2681043 72.2907957 56.2526822 45.3341528 35.487646 27.0506221 19.4931289 13.5135473 0

Para poder trabajar los datos de una manera mas sencilla y ordenada, para calcular los parámetros estadísticos de la muestra representativa que se indica en la tabla anterior, se procede a hacer la siguiente tabla

Abertura mm 76.2 50.8 38.1 25.4 19.1

Di

63.5 44.45 31.75 22.25

Pi

Di*Pi

Pi*(Di-Dm)2

2.49448251 158.399639 8059.802698 2.69127828 119.62732 3843.848392 2.38604023 75.7567772 1502.312237 2.87734763 64.0209847 699.5441265

Pi*(Di-Dm)3

Pi*(Di-Dm)4

458138.0724 145268.0383 37696.5345 10907.53222

26041641.62 5490019.583 945894.3872 170073.9876

12.7 9.5 6.7 4.699 1.651 0.833 0.417 0.246 0.147 0.074 0.037

15.9 11.1 8.1 5.6995 3.175 1.242 0.625 0.3315 0.1965 0.1105 0.0555

4.36410434 3.24465013 4.67399258 4.97730856 16.0381135 10.9185294 9.84650673 8.43702392 7.55749321 5.97958161 13.5135473

Suma

208.4855

100

69.389259 36.0156165 37.8593399 28.3681701 50.9210105 13.5608136 6.15406671 2.79687343 1.48504742 0.66074377 0.75000188

372.785768 64.03127086 9.723560936 4.569488495 194.524631 320.2332273 358.3433886 337.6518721 315.4992308 256.3163205 589.0348817

3445.414069 284.4488912 14.02471359 -4.378285724 -677.4624968 -1734.273202 -2161.762621 -2136.038631 -2038.489949 -1678.143099 -3888.900553

31843.69986 1263.619644 20.22845258 4.19508352 2359.36926 9392.228176 13041.17162 13512.91496 13171.00286 10987.06572 25675.13059

665.765664 16928.22109

641434.6162

32768900.2

Donde: Pi, tanto porciento de material retenido en cada malla; puede ser variable o constante; equivale a la frecuencia relativa de un intervalo. Di, diámetro correspondiente a la marca de clase de cada intervalo, se calcula como la semisuma de las mallas consecutivas.

Media aritmética de la distribución o diámetro Dm. Se calcula como el primer momento respecto al origen

𝐷𝑚 =

∑ 𝐷𝑖 ∗ 𝑃𝑖 665.765664 = = 6.576 𝑚𝑚 ∑ 𝑃𝑖 100

Variancia de la distribución. Es una medidia de dispersión que toma en cuenta todos los datos, se determina valuando el segundo momento respecto de la media.

∑(𝐷𝑖 − 𝐷𝑚 )2 ∗ 𝑃𝑖 16928.22109 𝜎 = = = 169.282 ∑ 𝑃𝑖 100 2

Desviación estándar aritmética, se calcula como la raíz cuadrada de la variancia

𝜎 = √169.282 = 13.01 Sesgo de la distribución. Es una medida relativa de la simetría e indica el lado donde se localiza la mayor frecuencia o pico de una distribución. (𝑆𝑘 )𝑎 =

∑(𝐷𝑖 − 𝐷𝑚 )3 ∗ 𝑃𝑖 641434.6162 = = 6414.346 ∑ 𝑃𝑖 100

Sesgo estandarizado. 𝑎3 =

𝑆𝑘 6414.346 = = 2.9128 𝜎 3 2202.0739

De manera que es >0, por lo que la distribución esta sesgada hacia la derecha Curtosis de la distribución. Es una medida de la esbeltez o la agudeza de la distribución.

∑(𝐷𝑖 − 𝐷𝑚 )4 ∗ 𝑃𝑖 32768900.2 (𝐾𝑞 )𝑎 = = = 327689.002 ∑ 𝑃𝑖 100 Curtosis estandarizada. 𝑎4 =

𝐾𝑞 327689.002 = = 11.438 4 𝜎 28648.98145

Como a4>3 , La distribución es muy aguda o leptocurtica