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• Miguel Angel Alvarez

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Niña María

Habilidad Matemática

1

Niña María

Conteo de Figuras En este capítulo contaremos figuras geométricas utilizando figuras geométricas utilizando uno de los siguientes métodos.

1. Conteo simple

Cuántos triángulos hay en la siguiente figura:

Resolución: c b

d

e

a



Triángulos con



1 letra: a, e, d



3



2 letras: ab, be, cd, ed



3

3 letras: abc 4 letras: bcde

Total de triángulos:



Rpta.: 9 triángulos

2. Conteo por inducción

cantidad





Resolución: Utilizaremos el razonamiento inductivo:



Casos

1 ×3

1 3 2

2 ×3

1 6 2 3 . . .

+

1 1 9

En la siguiente figura, ¿cuántos triángulos se pueden contar en total?

Forma

1 1



N° de triángulos

159

2

3 ×4 2 . . .

En el problema:

1 2 3 4 5 6

2

6 ×7 2

= 21

Rpta.: 21 triángulos.

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

CONTEO DE FIGURAS

Trabajando en clase Básico

6. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

1. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

8. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? 3. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?



Intermedio 4. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

Resolución: 5.6 = 15 2

Resolución 6.7 . 6.7 ⇒ 441 Rpta.: 441 cuadriláteros 2 2

9. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

10. ¿Cuántos sectores circulares hay en la siguiente figura?

7.8 = 28 2 9.×10 = 45 2

⇒ 15 + 28 + 45 = 88 Rpta.: ∴88 segundos 5. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

11. Un alumno tiene una hoja cuadriculada de 15 por 15, si traza la diagonal principal a esta hoja, ¿cuántos triángulos como máximo se pueden contar? 12. Hay en total en la figura:

HABILIDAD MATEMÁTICA

160

Nivel C

CONTEO DE FIGURAS Resolución 1 2 3

2

3

4

5

6 14. Cuántos sectores circulares hay en la figura mostrada.

N° de cuadrados: 3 × 6 + 2 × 5 + 1 × 4 = 32 Rpta.: 32 cuadrados 13. En la siguiente figura, ¿cuántos cuadriláteros regulares hay en total?

161

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

CONTEO DE FIGURAS

Tarea Básico

Intermedio

1. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 6 b) 5

c) 4 d) 8

e) 7

2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 10 b) 12

c) 13 d) 15

5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

e) 16

3. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 105 b) 220

c) 124 d) 260

e) 130

6. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 20 c) 26 e) 28 b) 25 d) 24 7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?



a) 28 b) 46

c) 40 d) 42

e) 36

4. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

a) 20 b) 22

HABILIDAD MATEMÁTICA

c) 25 d) 30

a) 14 b) 15

c) 16 d) 17

e) 18

8. ¿Cuántos sectores circulares hay en total?

e) 35

a) 20 b) 10

162

c) 25 d) 24

e) 21

Nivel C

CONTEO DE FIGURAS

Avanzado 13. ¿Cuántos cuadrados hay en total?

9. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 90 b) 75

c) 72 d) 92

10. Henry tiene una hoja cuadriculada de 12 por 12, si traza la diagonal principal a esta hoja, ¿cuántos triángulos como máximo se pueden contar? a) 156 d) 150 b) 160 e) 152 c) 154

a) 400 b) 418

c) 441 d) 430





a) 21 b) 22

c) 23 d) 44

e) 55

a) 60 b) 20

c) 40 d) 25

e) 45

a) 26 b) 21

c) 22 d) 23

e) 24

15. ¿Cuántos sectores circulares hay en la figura mostrada?

e) 445

12. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura?

c) 72 d) 64

14. ¿Cuántos cuadriláteros irregulares hay en total?

e) 81

11. Calcula el número total de cuadriláteros.

a) 60 b) 56

e) 45

163

Claves 01.

a

06.

d

11.

c

02.

c

07.

a

12.

a

03.

e

08.

e

13.

e

04.

c

09.

a

14.

c

05.

a

10.

a

15.

a

HABILIDAD MATEMÁTICA

2

Niña María

Problemas sobre Ecuaciones Definiciones previas 1. Igualdad

Si la ecuación tiene una sola incógnita, a la solución también se le llama raíz.

2. Identidad

Ejemplo: ZZ a + 3 = 7 → Solución o raíz a = 4 ZZ a2 = 36 → Solución o raices a = 6 o a = –6



Es la relación que existe entre cantidades que tienen el mismo valor.



Es la igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica para todos los valores de las letras llamadas incógnitas. Ejemplo: YY (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

3. Ecuación

Es la igualdad relativa que se verifica para determinado(s) valor(es) de la incógnita. Ejemplo: YY La ecuación: 8x – 5 = 19 Se verifica solo para x = 3

Para resolver ejercicios de planteo de ecuaciones, se debe comprender el enunciado (texto) del ejercicio dado; es más si es posible debes relacionarlo con la realidad, y a partir de ella, interpretarlo y traducirlo de una expresión textual a una expresión matemática.



Solución de una ecuación

Se denomina así al valor de la incógnita que, cuando es reemplazado en la ecuación, verifica la igualdad.

Lenguaje textual

Planteo

Lenguaje matemático

Pautas para plantear un ejercicio

En todo ejercicio debemos: 1. Identificar la incógnita 2. Traducir el enunciado, de la forma textual a la forma simbólica.

FORMA TEXTUAL

FORMA SIMBÓLICA

1. El doble, de un número aumentado en 20. 2. El doble de un número, aumentando en 20. 3. Tres números consecutivos. 4. Tres números pares consecutivos. 5. Pepe tiene el triple de Carlos. 6. La suma de dos números es 50. 7. La diferencia de dos números es 20. 8. Un número aumentado en su quinta parte. 9. Dos números son entre sí, como 2 es a 5. 10. Un número es el doble de otro y un tercero es la suma de los dos primeros disminuido en 5.

164

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES

Trabajando en clase Básico 1. ¿Cuál es el número cuyo triple excede en 9 al séxtuplo de 4? 2. Calcula el número cuyo cuádruplo excede en 30 a su suma con 6. 3. Encuentra cuatro enteros consecutivos, de modo que el triple del tercero menos el segundo dé como resultado el último. Intermedio 4. Encuentra un número, que disminuido en 5/8 de él resulta 240.



Resolución: x – 5 x = 240 ⇒ 8x – 5x = 240 × 8 8 3x = 240 × 8 ⇒ x = 80 × 8 ⇒ x = 640

5. El dinero que tiene Paco, disminuido en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuánto tenía Paco? 6. Anna tiene 2 veces más de lo que tiene Bertha, si Anna le da S/.18 a Bertha entonces tendrían la misma cantidad, ¿cuánto tienen entre las dos?

7. Si ganara S/.880 tendría 9 veces lo que me quedaría si perdiera S/.40. ¿Cuánto tengo?

8. Una yuca pesa 8 kg más media yuca; ¿cuánto pesa una yuca y media? Resolución: x = 8 + x ⇒ 2x = 16 + x 2

⇒ x = 16 x + x ⇒ 3x 2 2 ⇒ 3(16) ⇒ 24 2

9. Una piña pesa 17 kg más media piña. ¿Cuánto pesan 3 piñas y media? 10. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12 se tiene el cuádruplo del menor. Calcula la suma de los números. 11. En una sala donde el largo mide el doble del ancho. Si el largo se disminuye en 6 m y el ancho se aumenta en 4 m, la superficie de la sala no varía. Calcula la superficie de la sala.

165

Avanzado 12. Divide 254 en tres partes tales que la segunda sea el triple de la primera y 40 unidades mayor que la tercera. Da como respuesta la segunda parte.

Resolución 2° = x 1° = x 3° = x – 40 3 x + x – 40 + x = 254 3 ⇒ x + 2x = 294 3 x + 6x = 294 × 3 ⇒ 7x = 294 × 3 ⇒ x = 42 × 3 x = 126

13. Divide 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20. 14. Un muchacho compró el triple de lápices que de cuadernos. Cada lápiz le costó a S/.0,5 y cada cuaderno S/.0,6. Si por todo pagó S/.14,7, ¿cuántos lápices y cuántos cuadernos compró?

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES

Tarea Básico 1. ¿Cuál es el número cuyo doble excede en 10 al quíntuple de 8? a) 10 c) 18 e) 25 b) 50 d) 16 2. Calcula el número cuyo duplo excede en 20 a su suma con 5. a) 25 c) 12 e) 18 b) 10 d) 30 3. Se tiene cinco números enteros consecutivos de modo que el triple del tercero menos el menor resulta el mayor. Calcula el número mayor. a) –10 c) 2 e) 3 b) –8 d) 4 4. Calcula el número mayor, si la suma de tres números consecutivos es 69. a) 20 c) 22 e) 18 b) 24 d) 23 Intermedio 5. Jorge tiene el triple que Henry, si Jorge le da S/.20 a Henry entonces tendrían la misma cantidad, ¿cuánto tienen entre los dos? a) S/.60 c) S/.20 e) S/.45 b) S/.80 d) S/.50 6. Si ganara S/.200 tendría 6 veces lo que me quedaría si perdiera S/.20, ¿cuánto tengo? a) S/.10 c) S/.35 e) S/.18 b) S/.20 d) S/.64 7. La suma de tres pares consecutivos es 72. ¿Cuál es el número menor? a) 40 c) 62 e) 12 b) 22 d) 80

HABILIDAD MATEMÁTICA

8. Estuve en una competencia y me enfrente a 180 rivales, gané a 22 rivales menos de los que no gané. ¿A cuántos gané? a) 501 c) 158 e) 22 b) 202 d) 79

9. La diferencia de dos números es 40. Si el mayor se disminuye en 10 se tiene el doble del menor. Calcula el número mayor. a) 40 c) 70 e) 258 b) 10 d) 15 10. En una sala donde el largo mide el doble del ancho. Si el largo se disminuye en 4 m y el ancho se aumenta en 6 m, la superficie de la sala no varía. Calcula la superficie de la sala. a) 6 m2 c) 9 m2 e) 18 m2 2 2 b) 4 m d) 10 m 11. Un número más la mitad de su mitad es igual a 100. ¿Cuál es el número? a) 20 c) 50 e) 10 b) 40 d) 80 12. Di a mi hermano los 2/7 de lo que tenía y a mi primo, 380 soles. Si aún me queda 3/8 de lo que tenía al principio, ¿cuánto tenía inicialmente? a) S/.1120 c) S/.1480 e) S/.1400 b) S/.1220 d) S/.1020 Avanzado 13. Divide 196 en tres partes, tales que la segunda sea el doble de la primera y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20. ¿Cuál es la mayor de estas partes? a) 36 c) 89 e) 72 b) 86 d) 88

166

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES 14. Paolo compró el doble de borradores que de cuadernos. Cada borrador costó S/.2 y cada cuaderno S/5. Si por todo pagó S/.144. ¿Cuántos cuadernos compró? a) 16 c) 18 e) 35 b) 12 d) 20

a) 32 b) 21

15. En un banquete, había 8 invitados sentados en cada mesa, luego trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados más en cada mesa. ¿Cuántos invitados había?

167

c) 64 d) 96

e) 100

Claves 01.

e

06.

d

11.

d

02.

a

07.

b

12.

a

03.

c

08.

d

13.

d

04.

b

09.

c

14.

b

05.

b

10.

e

15.

d

HABILIDAD MATEMÁTICA

3

Niña María

Problemas sobre Ecuaciones II Seguiremos analizando formas verbales y simbólicas

FORMA VERBAL

1. 2.

FORMA SIMBÓLICA

El doble del cadrado de un número _______________________________________

__________________________________________

El cuadrado del doble de un número. _______________________________________

__________________________________________

3. _______________________________________

(x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 __________________________________________

4. _______________________________________

3x + 2x + x + x 2 __________________________________________

5. La mitad de un número, aumentado en 20. _______________________________________

__________________________________________

6. La mitad, de un número aumentado en 20. _______________________________________

__________________________________________

7. _______________________________________

Pedro: 3x; Pablo: 6x; Luis: 9x + 2 __________________________________________

8. _______________________________________

x+2 + x+4 + x+6 __________________________________________

9. El exceso de 50 sobre un número es igual al exceso del número sobre 20. _______________________________________

__________________________________________



10. La quinta, la sexta y la tercera parte de un número es igual a 80.

_______________________________________

__________________________________________

Nota Es recomendable tratar de trabajar con una incógnita y con números enteros

168

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES II

Trabajando en clase Básico 1. En una reunión hay 40 personas, cuando se retiran 8 varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es 10. ¿cuántos varones quedaron? 2. Un tonel lleno de vino vale S/.900, si se sacan de él 80 litros vale solamente S/.180. ¿Cuál es la capacidad del tonel? 3. En un banquete, habían sentados 8 invitados en cada mesa, luego se trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados en cada mesa. ¿Cuántos invitados había? Intermedio 4. En una granja se observan 40 animales y 100 patas, entre cerdos y gallinas. ¿Cuál es la diferencia entre el número de animales de cada especie?



Resolución: C + G = 40 ...... (1) 4C + 2G = 100 (÷2) 2C + G = 50 ..... (2) (2) – (1): 2C + G = 50 (–) C + G = 40 ⇒ G = 30

C = 10

Rpta.: 30 – 10 ⇒ 20

5. Tengo 66 soles entre monedas de 5 y 2 soles. Si el número de

monedas de 5 soles excede en 2 al número de monedas de 2 soles, determina la cantidad de monedas que tengo.

nemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves. ¿Cuál es el número de palomas en dicha granja?

6. Un cuadro con su marco vale S/.200, y el mismo cuadro con un marco que vale la mitad que el anterior vale S/.170. ¿Cuánto vale el cuadro sin marco?

11. En un triángulo rectángulo el triple del cateto menor excede en una unidad al cateto mayor, pero le falta una unidad para ser igual a la hipotenusa, ¿cuál es la longitud del cateto mayor? Avanzado

7. Tengo 69 caramelos, si le doy a cada uno de mis sobrinos tantos caramelos como sobrinos tengo me sobran 5 caramelos. ¿Cuántos sobrinos tengo?

8. Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: Si al cuádruplo mi nota le resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene?

Resolución 4x – 40 = 20 – x 5x = 60 x = 12

9. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado sumado al mismo es igual al doble del número, más el triple del mismo? 10. En una granja se tienen: palomas, loros y gallinas, sin contar las palomas tenemos 6 aves, sin contar los loros te-

169

12. Un número es 3 veces menor que otro. Si la suma de ambos es 420, calcula su diferencia. Resolución: Mayor Menor 4x x 4x + x 5x = 420 x = 84 Rpta: 4x – x 3x = 31841 = 2552 13. ¿Cuál es el número cuyo duplo, aumentado en su mitad más su tercera parte, da como resultado 102? 14. En un triángulo rectángulo el triple del cateto menor, excede en una unidad al cateto mayor, pero le falta una unidad para ser igual a la hipotenusa, ¿cuál es la longitud del cateto mayor?

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES II

Tarea Básico 1. En una fiesta hay 50 personas, cuando se retiran 7 varones y 4 damas, la diferencia entre ellos y ellas es 27. ¿Cuántos varones quedaron? (Hay más varones que mujeres) a) 34 c) 33 e) 42 b) 30 d) 40 2. Un tanque lleno de cerveza vale S/.1200, si se sacan de él 40 litros vale solamente S/.600. ¿Cuál es la capacidad del tanque? a) 72 l c) 80 l e) 58 l b) 70 l d) 55 l 3. En un festín, había 10 invitados sentados en cada mesa, luego se trajeron 6 mesas más y entonces se sentaron 5 invitados en cada mesa. ¿Cuántos invitados había? a) 50 c) 75 e) 65 b) 60 d) 80 4. Al multiplicar un cierto número por 81, este aumenta en 144 000. ¿Cuál es dicho número? a) 2000 c) 1900 e) 1750 b) 1925 d) 1800 Intermedio 5. En una graduación hay 100 personas, cuando se retiran 8 varones y 5 damas, la diferencia entre ellos y ellas es 47. ¿Cuántas mujeres quedaron? a) 10 c) 12 e) 22 b) 20 d) 18 6. Un tonel lleno de gaseosa vale S/.850, si sacan de él 60 litros vale solamente S/.425. ¿Cuál es la capacidad del tonel? a) 120 l c) 80 l e) 130 l b) 100 l d) 200 l

HABILIDAD MATEMÁTICA

7. En un ropero, el número de camisas excede en 10 al número de pantalones. Si se triplicara el número de pantalones y se duplicara el número de camisas, entonces el exceso del número de camisas sobre el número de pantalones sería de 9 unidades. ¿Cuántas camisas hay? a) 20 c) 18 e) 10 b) 19 d) 21 8. Calcula el número de hojas de un libro sabiendo que si arrancamos 25 quedaría la mitad de hojas que si el libro tuviera 50 hojas más. a) 80 c) 100 e) 95 b) 90 d) 75

9. En un establo se tienen caballos, cebras y cerdos, sin contar las cebras tenemos 5 animales, sin contar los caballos tenemos 10 animales y son contar los cerdos tenemos 13 animales. ¿Cuál es el número de cerdos en dicho establo? a) 5 c) 3 e) 7 b) 1 d) 6 10. En un triángulo rectángulo el doble del cateto menor excede en 2 al cateto mayor, si la suma de ambos es 10 u. ¿Cuál es la longitud del cateto menor? a) 2 u c) 4 u e) 6 u b) 1 u d) 5 u 11. Calcula la longitud de un puente, si sabemos que el cuádruple de dicha longitud, disminuida en 80 metros es equivalente al triple de dicha longitud, disminuida en 70 metros. a) 5 m c) 7 m e) 20 m b) 10 m d) 8 m

170

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES II 12. Si ganara S/.300 tendría el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido S/.300. ¿Cuánto tengo? a) S/.300 c) S/.100 e) S/.450 b) S/.600 d) S/.250 Avanzado 13. Un número es 2 veces menor que otro. Si la suma de ambos es 820, calcula su diferencia. a) 400 c) 420 e) 450 b) 410 d) 500

15. Alfredo tiene 20 soles más que Fito, ¿cuánto dinero debería darle Alfredo a Fito para que ambos tengan la misma cantidad de dinero? a) 10 d) 7 b) 11 e) 12 c) 8

14. En un triángulo rectángulo el triple del cateto menor es igual al cateto mayor, si la diferencia del cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del cateto menor es 324. ¿Cuál es la longitud del cateto menor? a) 6 u c) 5 u e) 15 u b) 10 u d) 8 u

171

Claves 01.

c

06.

a

11.

b

02.

c

07.

d

12.

b

03.

b

08.

c

13.

b

04.

d

09.

b

14.

a

05.

b

10.

c

15.

a

HABILIDAD MATEMÁTICA

4

Niña María

Problemas sobre Edades En este tema se debe tener en cuenta que en los problemas intervienen sujetos, tiempos y edades.

Sujetos

Son los protagonistas que, generalmente son, personas y en algunos casos, animales, objetos, etc.

Tiempos

Es uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado se complicaría la resolución del problema.

Resolución

+9



Hace 6 años x–6

Hoy x

Dentro de 9 años x+9



Por condición: x + 9 = 2(x – 6) x = 21



Luego, dentro de 5 años tendrá: 21 + 5 = 26 años

2. Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos

Expresiones comunes en los problemas Tenía, tenías, teníamos, cuando él tenía, hace 3 años, etc. Tengo, tienes, tenemos, mi edad es, tú Presente tienes, la suma de nuestras edades es, etc. Tendré, tengas, dentro de 4 años, él Futuro tendrá, tendremos, etc. Pasado



Utilizaremos un cuadro de edades, con el propósito de razonar ordenadamente.

Edad

Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en años, pero también puede darse en días o meses.

Recuerda No olvides, la diferencia de las edades entre dos sujetos permanece constante Para una mejor resolución de los problemas, clasificaremos a estos en tres tipos:

1. Cuando interviene la edad de un solo sujeto

–6

Pasado

Presente

Futuro

Yo

25

28

35

Tú

27

30

37

Él

12

15

22



Se cumple: YY Las sumas en aspa son iguales: 25 + 30 = 27 + 28 28 + 37 = 30 + 35 12 + 37 = 27 = 22 YY Las diferencia de edades es constante 27 – 25 = 30 – 28 = 37 – 35 27 – 12 = 30 – 15 = 37 – 22

3. Relación con el año de nacimiento YY Si la persona ya cumplió años:

Ejemplo: La edad de Evelyn dentro de 9 años, será el doble de la edad que tenía hace 6 años. ¿Cuántos años cumplirá dentro de 5 años?



YY Si la persona aún no cumple años:



172

Año de nacimiento + Edad = Año actual Año de nacimiento + Edad = Año actual – 1

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE EDADES

Trabajando en clase Básico 1. Hace 66 años Talía tenía la sétima parte de la edad que tiene ahora, entonces su edad actual es: 2. La diferencia de las edades de Coco y Betty es 34 años. La división del mayor entre el menor número da como cociente 3 y por residuo 18. Calcula la edad de Coco, si es el mayor. 3. Grisel tiene 4 veces la edad de Mary. ¿Dentro de cuántos años tendrá Grisel 2 veces la edad de Mary, si Mary cumplirá 15 años dentro de 7 años? Intermedio 4. Un padre tiene 27 años más que su hijo. Hace 10 años la edad del padre era 10 veces la edad del hijo. Calcula la edad actual del hijo. Resolución: Actual Pasado hijo: x x – 10 padre: 27 + x 17 + x 10(x – 10) = 17 + x 9x = 117 x = 23 Rpta.: 23 años 5. La edad de Pedro es la mitad de la de Carlos, y los tres cuartos de la edad de Paola. Si la suma de las tres edades es 65 años, calcula la edad de Paola.

6. Cuando tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora. ¿Cuál será tu edad cuando yo tenga el doble de la edad que tienes, si en ese entonces nuestras edades sumarán 56 años? 7. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Si cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 90 años, ¿qué edad tenía yo cuando tú naciste?

8. Katy nació en 19aa y en 19bb cumplió 4a + 5b años. ¿Cuál fue el año en que tuvo, (a3 + 3b)?

Resolución: Nació Cumpleaños 19aa 19bb 19bb – 19bb = 4a + 5b 11b – 11a = 4a + 5b 2b = 5a ⇒ a = 2 y b = 5 Luego (a3 + 3b) años = 23 + 3(5) = 23 años ⇒ 1922 + 23 = 1945 Rpta.: 1945

9. Una persona que nació en 19ab observa que en 19ba cumplirá a + b años. ¿Qué año será cuando cumpla a × b años?

173

10. Si a la suma del año en que nací con el año en que cumplí 18 años, le restamos la suma del año actual con el año en que tendré 30 años, resultaría mi edad actual, menos 52 años. ¿Qué edad tendré dentro de 8 años? 11. La raíz cuadrada de la edad que tendrá un joven dentro de 7 años, más la raíz cuadrada de la edad que tuvo hace 2 años, es igual a nueve. ¿Cuál es su edad? Avanzado 12. La edad de Rodrigo es la tercera parte de la edad de su papá. Si ambas edades suman 48 años, ¿cuántos años tendrá Rodrigo dentro de 5 años?

Resolución: Rodrigo: x 4x = 48 Papá: 3x x = 12 Rpta.: 12 + 5 = 17 años

13. Hace 14 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo. Si ahora es solamente el doble, ¿cuánto sumaban sus edades hace 14 años? 14. Un hombre nacido en la primera mitad del siglo XIX, tenía «x» años en el año x2, ¿en qué año nació?

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE EDADES

Tarea yo tenga el doble de la edad que tienes, si en ese entonces nuestras edades sumarán 112 años? a) 32 años c) 36 años e) 45 años b) 34 años d) 48 años

Básico 1. Hace 50 años la edad de Lucero era la sexta parte de la edad que tiene ahora. Calcula su edad actual. a) 35 años b) 40 años c) 55 años d) 60 años e) No se puede determinar 2. La diferencia de las edades de Carolina y Bertha es 20 años. Si se divide las edades de la mayor entre la menor, da como cociente 2 y por residuo 5. Calcula la edad de Carolina, si es la de mayor edad. a) 15 años c) 25 años e) 35 años b) 20 años d) 30 años 3. Ghumara tiene cinco veces la edad de Melannie. ¿Dentro de cuántos años Melannie tendrá la mitad de la edad de Ghumara? a) 3 años b) 4 años c) 5 años d) 6 años e) No se puede determinar 4. Mi mascota tiene el triple de la edad que yo tenía cuando ella nació. Si actualmente tengo 5 años más que mi mascota, ¿cuántos años tiene mi mascota? a) 6 años c) 12 años e) 18 años b) 9 años d) 15 años Intermedio 5. Cuando tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora. ¿Cuál será tu edad cuando

HABILIDAD MATEMÁTICA

6. Alfredo le dijo a Roberto: «Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes; pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años», la edad de Alfredo es: a) 24 años c) 28 años e) 35 años b) 26 años d) 30 años 7. En 2012, la edad de mi padre fue el doble de la mía; y en 2020, su edad y la mía estarán en la relación de 12 a 7. ¿Cuántos años cumpliré en 2016? a) 20 años c) 22 años e) 24 años b) 21 años d) 23 años 8. Un padre le dice a su hijo: «Hace 8 años mi edad era el cuádruple de la edad que tú tenías, pero dentro de 8 años solo será el doble». ¿Qué edad tiene el hijo? a) 8 años c) 16 años e) 32 años b) 14 años d) 24 años

9. Si a la suma del año en que nací con el año en que tuve 22 años, le restamos la suma del año actual con el año en que tendré 58 años, resultaría mi edad actual, menos 90 años. ¿Qué edad tendré dentro de 9 años? a) 29 años d) 39 años b) 32 años e) 42 años c) 36 años

174

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE EDADES 10. La raíz cuadrada de la edad que tendrá mi padre dentro de 15 años, más la raíz cuadrada de la edad que tuvo hace 2 años, es igual a diecisiete. ¿Cuál es la edad de mi padre? a) 65 años b) 66 años c) 68 años d) 70 años e) No se puede determinar 11. La edad de un niño será, dentro de 4 años un cuadrado perfecto, hace 8 años su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años? a) 20 años c) 22 años e) 24 años b) 21 años d) 23 años 12. La suma de las edades de Pedro y Raúl es 48, al acercarse Javier, Pedro le dice: «Cuando tú naciste, yo tenía 4 años, pero cuando Raúl nació tú tenías 2 años». ¿Cuál es la edad de Javier? a) 22 años c) 25 años e) 28 años b) 23 años d) 26 años

a) 18 años b) 23 años c) 25 años

d) 27 años e) 30 años

14. Un hombre nació en la segunda mitad del siglo XX, tenía «x» años en el año x2. ¿En qué año nació? a) 1980 d) 1980 b) 1868 e) 1892 c) 1806 15. Si tuviera 15 años más de la edad que tengo, entonces lo que faltaría para cumplir 78 años sería los cinco tercios de la edad que tenía hace 7 años. Qué edad tendré dentro de 5 años. a) 31 años c) 33 años e) 35 años b) 32 años d) 34 años

Avanzado 13. La edad de Jandhir es la cuarta parte de la edad de su tío. Si ambas edades suman 75 años, ¿cuántos años tendrá Jandhir dentro de 10 años?

175

Claves 01.

d

06.

c

11.

a

02.

e

07.

e

12.

b

03.

e

08.

c

13.

c

04.

d

09.

c

14.

e

05.

d

10.

b

15.

c

HABILIDAD MATEMÁTICA

5

Niña María

Móviles En el presente capítulo vamos a seguir aplicando resolución de ecuaciones, pero con móviles. Estos móviles van a ir a velocidad constante y en forma rectilínea, de tal forma que no habrá aceleración. Como sabemos, la fórmula para aplicar el MRU es: v

20 × 18 → es el factor de conversión

//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=/

A

d

Debemos tener cuidado de trabajar en el mismo sistema de unidades. Veamos una forma fácil para convertir unidades de velocidad: 20 m a km s h Resolución 18 20 m × 1km × 3600s 1h s 1000m 5

5

B

d: distancia d = v.t v: velocidad t: tiempo

Recuerda: × 18 5 m

km

× 5 18 km

m

s

Unidades: ZZ Distancia (metros, centímetros, kilómetros, etc.). ZZ Tiempo (horas, segundos, minutos, etc.). ZZ Velocidad (metros/segundo, kilómetros/hora, etc.).

h

h

s

Para resolver problemas con móviles, trata de utilizar la menor cantidad de fórmulas, pues lo más probable es que las olvides.

Trabajando en clase Básico 1. Un ciclista corre durante dos horas uniendo las ciudades A y B a una velocidad de 34 km/h. ¿Cuál es la distancia entre ambas ciudades? 2. Juan persigue a Silvana cubriendo una distancia de 50 m en 10 segundos. ¿Cuál es la velocidad de Juan en km/h? 3. Una persona suele caminar con una velocidad de 7,2 km/h. ¿Cuántos metros recorre por cada segundo que transcurra?

Intermedio 4. Dos autos van por una misma autopista en sentidos contrarios uno al encuentro del otro con velocidades de 80 y 70 km/h. Si inicialmente estaban separados 300 km y parten al mismo tiempo: ¿Al cabo de cuántas horas se encuentran? Resolución: 80 km/h 70 km/h 300 km t=

50

300 = 2h Rpta.: 2 h 80 + 70

176

5. A las 8 de la mañana parten dos autos al encuentro desde dos ciudades distantes 1000 km entre sí. Da la hora del encuentro sabiendo que la velocidad del más rápido es 20 m/s y la del más lento es 28 km/h. 6. Dos autos parten al mismo tiempo y en la misma dirección desde dos puntos distantes 80 km entre sí. El auto que va adelante viaja a 50 km/h y el que va detrás viaja a 60 km/h. Si ambos autos parten a las 7 a.m. ¿A qué hora alcanzará uno al otro? HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

MÓVILES 7. Dos microbuses se cruzan en un punto P a las 10 p.m., uno de ellos va a 55 km/h y el otro a 40 km/h. ¿A qué hora volverán a estar separados una distancia de 427,5 km? 8. Liz y Victoria caminan desde dos puntos distintos en sentidos contrarios encontrándose al cabo de 12 minutos. Liz es más veloz que Victoria por 5 m/min. Si al momento de encontrarse Victoria efectuó un recorrido de 120 m; ¿cuál es la distancia que separaba inicialmente a ambas personas? Resolución:

t = 12 min Victoria v

Liz v+5

d

120 m



v = 120 m = 10 m/min



d = (v + 5) × 12 d = (10 + 5) × 12 = 180 m ∴ 180 m + 120 m = 300 m Rpta.: 300 metros

12 min

9. Dos autos que viajan en sentidos contrarios se encuentran al cabo de 8 horas. Si uno de ellos es más veloz que el otro por 10 km por hora de viaje: ¿cuál es la distancia inicial que separa a los autos al partir, si se sabe que el más lento recorrió 320 km hasta el momento del encuentro? 10. Un hombre sale de su casa en automóvil a 20 km/h; luego de cierto tiempo de recorrido regresa a pie a su casa a 5 km/h, llegando a ella después de 5 horas. ¿Cuántos km recorrió a pie? 11. Dos hermanos salen de su casa en dirección al colegio: Uno va en auto a 60 km/h y el otro en bicicleta a 10 km/h, ¿cuántos km hay entre la casa y el colegio, si ambos partieron juntos pero el que iba en bicicleta llegó una hora después?

177

Avanzado 12. Un tren que se mueve a velocidad constante demora 20 segundos en pasar un poste y 70 segundos en pasar enteramente por un puente de 1000 m de largo. ¿Cuál es la longitud del tren? Resolución: Vtren = 1000 m = 20 m/s

(70 – 20)s

Vtren = 20(20 m/s) = 400 m 13. Un camión se demora 4 segundos en pasar delante de un observador y 9 segundos en cruzar un túnel de 25 m de longitud, ¿cuál es la longitud del camión? 14. En un río cuya corriente va a 3 km/h, un bote demora lo mismo para hacer 30 km de bajada que para hacer 18 km río arriba, ¿cual debe ser la velocidad de remado en agua quieta?

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

MÓVILES

Tarea Básico 1. Un móvil recorre una autopista durante cinco horas uniendo dos ciudades a una velocidad de 65 km/h. ¿Cuál es la distancia entre ambas ciudades? a) 13 km c) 125 km e) 325 km b) 24 km d) 245 km 2. Un gato persigue a un ratón cubriendo una distancia de 10 m en 6 segundos. ¿Cuál es la velocidad del gato en km/h? a) 4 km/h c) 8 km/h e) 12 km/h b) 6 km/h d) 10 km/h 3. Jaime acostumbra correr con una velocidad de 10,8 km/h. ¿Cuántos metros recorrerá por cada segundo que transcurra? a) 2 m c) 5 m e) 7 m b) 3 m d) 6 m 4. Un móvil sale de la ciudad A con una velocidad de 90 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro móvil en persecución del primero con una velocidad de 120 km/h. El tiempo que tardará en alcanzarlo será: a) 4 h c) 9 h e) 15 h b) 6 h d) 12 h Intermedio 5. Dos autos que viajan en sentido contrario se encuentran al cabo de 12 horas, Si uno de ellos es más veloz que el otro por 15 km por hora de viaje. ¿Cuál es la distancia inicial que separa a los autos al partir, si se sabe que el más lento recorrió 600 km hasta el momento del encuentro? a) 540 km d) 700 km b) 610 km) e) 780 km c) 7200 km

HABILIDAD MATEMÁTICA

6. Dos móviles se cruzan en un punto M a las 14 horas, uno de ellos va a 2 m/s y el otro a 13 m/s. ¿A qué hora volverán a estar separados una distancia de 2700 m? a) 2:20 p.m c) 3:40 p.m e) 3:35 p.m b) 3:30 p.m d) 2:03 p.m 7. De dos ciudades, distantes 84 km, parten a encontrarse dos móviles, uno con velocidad de 9 km/h y el otro con velocidad de 13 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse si el primero salió 2 horas antes que el segundo? a) 2 h c) 4 h e) 6 h b) 3 h d) 5 h 8. Dos buses salen de una ciudad hacia otra a las 2 p.m. El primero viaja a 40 km/h y el segundo a 30 km/h. ¿A qué hora el primer bus le ha sacado una ventaja de 60 km al segundo? a) 5 p.m. c) 7 p.m. e) 9 p.m. b) 6 p.m. d) 8 p.m.

9. Nataly dispone de 12 horas para salir de paseo, para ello sale de su casa en bicicleta a 18 km/h; luego de cierto tiempo de recorrido regresa a pie a su casa a 6 km/h. ¿Cuál es el espacio total que recorrió Nataly? a) 25 km c) 90 km e) 480 km b) 48,2 km d) 108 km 10. Dos hermanas salen de su casa en dirección al colegio: Una va en bicicleta a 24 km/h y la otra a pie a 6 km/h, ¿cuál es la distancia que hay entre la casa y el colegio, si ambas partieron a la vez pero la que iba a pie llegó una hora después? a) 5 km c) 7 km e) 10 km b) 6 km d) 8 km

178

Nivel C

MÓVILES 11. Un tren, para atravesar un túnel de 600 m de longitud, tarda 80 s y en pasar delante de un observador tarde 30 s. ¿Cuál es la longitud del tren? a) 240 m c) 360 m e) 630 m b) 306 m d) 420 m 12. Juan camina a 2 km/h del punto A a B y regresa trotando a 3 km/h. Si en total demora 10 h en ir y volver. Calcula la distancia AB. a) 12 km c) 36 km e) 42 km b) 24 km d) 28 km Avanzado

más en recorrer 12 km. ¿Cuál es la velocidad del barco? a) 3 km/h c) 5 km/h e) 8 km/h b) 4 km/h d) 6 km/h 15. Pepito y Cuchita discuten en una de las esquinas de una avenida; de pronto, Cuchita da por terminada su relación partiendo ambos en direcciones perpendiculares con velocidades de 16 m/s y 12 m/s, respectivamente. ¿Después de qué tiempo estarán separados una distancia de 90 m? a) 4 s c) 6 s e) 7 s b) 4,5 s d) 5 s

13. Un tren demoró 1 minuto en pasar por un semáforo y 4 minutos en atravesar un túnel de 2400 m de longitud. ¿Cuánto tardará en cruzar un puente de 1200 m de longitud? a) 90 s c) 150 s e) 450 s b) 120 s d) 300 s 14. Cuando un barco navega a favor de la corriente demora 2 horas en recorrer 12 km, pero cuando navega en contra de la corriente demora 4 horas

179

Claves 01.

e

06.

d

11.

c

02.

b

07.

b

12.

b

03.

b

08.

d

13.

c

04.

c

09.

d

14.

b

05.

e

10.

d

15.

b

HABILIDAD MATEMÁTICA

6

Niña María

Problemas sobre Intervalos Intervalos de tiempo y campanadas

En este tema revisaremos los ejercicios de intervalos de tiempo relacionados con la vida diaria que involucran a las campanadas. Aquí aplicaremos técnicas de razonamiento inductivo.

Ejemplo: Un campanario tarda 8 segundos en dar 5 campanadas. ¿Cuánto tiempo tardará en dar 8 campanadas? Resolución:

ZZ El campanario de la Catedral de Lima da 11 cam-

panadas en 5 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 8 segundos?

I I I I I I I I I I 1a 3a 4a 5a 6a ......................... campanada 2a campanada

1c

2a campanada

Analizamos el siguiente gráfico: N° cortes N° partes N°estacas 1 2 3 2 3 4 3 4 5 .. .. .. .. . . . . n–1

n

n+1

Para figuras cerradas Veamos los siguientes gráficos:

4 campanadas determinan 3 intervalos

3 3 3

4 4 4

. ..

N° cortes: 2 N° estacas: 2 N° partes: 2

. ..

1a campanada 2a



Tiempo 8 x

Cortes y estacas

3a



5c

. . .. ..

2a

3 campanadas determinan 2 intervalos

4c

2 4x = 7 . 8 x = 14



. ..

1a campanada

3c

Observación: Se puede usar la regla de tres: N° campanadas N° intervalos 5 4 8 7

11a

2 campanadas determinan 1 intervalo

1a campanada

2c

2 2 2 2 Piden: Tiempo total = N°intervalos × tiempo de cada intervalo tT = 7 × 2 tT = 14

Donde I será el intervalo que hay entre campanada y campanada. Para este tipo de ejercicios no trabajaremos con las campanadas en sí, sino con el número de intervalos que estas determinan. Es decir: I

8s

n n n

N° de cortes = N° de estacas = N° de partes Longitud total = Perímetro de la figura Longitud unitaria Longitud de cada espacio

3a 4a

180

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE INTERVALOS

Trabajando en clase Básico 1. Un campanario tarda 12 segundos en dar 7 campanadas. ¿Qué tiempo empleará en dar 12 campanadas? 2. Un campanario tarda 20 segundos en dar 7 campanadas. ¿Qué tiempo empleará en dar 13 campanadas? 3. Un tronco de árbol es seccionado en trozos de 11 cm de largo c/u para leña; para esto se han efectuado 20 cortes. ¿Cuál fue la longitud inicial del tronco? Intermedio 4. Un joyero cobra S/.25 por partir una barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto tendré que pagar si deseo partirla en seis pedazos?

Resolución: 2 pedazos = 1 corte 6 pedazos = 5 cortes ⇒ 1 corte – S/.25 5 cortes – x x = 5 × 25 = S/.125

5. Un sastre, para cortar una cinta de tela de 20 metros de largo, cobra S/.10 por cada corte que hace, si cada corte lo hace cada 4 metros. ¿Cuánto cobrará por toda la cinta? 6. Calcula el número de estacas de 8 metros de altura que se re-

quieren para plantarlas en una línea recta de 300 metros, si se sabe que entre estaca y estaca la longitud debe ser de 4 m. 7. En una reunión se encuentran 12 personas y todos se saludan, ¿cuántos saludos se realizarán en dicha función? 8. Pedro toma tres pastillas cada 15 minutos. ¿Cuántas pastillas tomará desde las 10 a.m. hasta las 2 p.m.? Resolución:

N° intervalos = Tiempo total

tiempo unitario

= 240 min = 16

15 min



N° de tomas = N° intervalos + 1 = 16 + 1 = 17 N° de pastillas = 3 × 17 = 51 pastillas

9. Una enfermera aplica una inyección a una paciente cada 4 horas. ¿Cuántas inyecciones aplicará en 1 día? 10. En un terreno rectangular de 60 metros de ancho y 80 metros de largo, se plantan árboles en el perímetro y en las diagonales, espaciados 10 metros, ¿Cuántos árboles hay? 11. En un campeonato de fútbol que consiste en dos ruedas y

181

donde todos juegan contra todos, ¿cuántos partidos se jugarán si dicho campeonato está integrado por 16 equipos? Avanzado 12. Si en un campeonato donde juegan todos contra todos se juegan un total de 78 partidos, ¿cuántos equipos participaron en dicho campeonato?

Resolución; Para «n» equipos:



⇒ n(n – 1) = 78 2



n (n – 1) = 156 ↓ ↓ 13(13 – 1) = 156 ⇒ n = 13

13. Un campeonato está conformado por 20 equipos, estos están divididos en dos grupos de 10, jugando todos contra todos en sus respectivos grupos, luego de esto clasifican los 4 primeros de cada grupo, jugando estos todos contra todos, ¿cuántos partidos se juegan en total en dicho campeonato? 14. Se debe cercar un parque de forma triangular (equilátero), de manera que haya 20 postes en cada lado (incluyendo las esquinas) ¿cuántos postes se necesitan?

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE INTERVALOS

Tarea Básico 1. Una campana en seis segundos da cuatro campanadas, ¿cuánto demora en dar 12 campanadas? a) 18 s c) 24 s e) 22 s b) 15 s d) 121 s 2. Un leñador cobra S/.5 por cortar un tronco en dos partes. ¿Cuánto cobrará por cortarlo en seis partes? a) S/.30 c) S/.35 e) S/.20 b) S/.25 d) S/.32 3. Un doctor receta a un paciente dos pastillas cada seis horas, ¿cuántas pastillas deberá comprar el paciente para cinco días? a) 46 c) 52 e) 42 b) 38 d) 56 4. Se quiere sembrar 12 arbustos en cada lado de un parque cuadrado de tal manera que haya un arbusto en cada esquina, ¿cuántos arbustos se necesitan? a) 48 c) 44 e) 42 b) 52 d) 40 Intermedio 5. Una campaña suena cinco veces en 12 segundos, ¿cuánto demora en sonar 10 veces? a) 24 s c) 30 s e) 26 s b) 27 s d) 21 s 6. Un carpintero da cuatro golpes con el martillo en 10 segundos, ¿cuántos golpes dará en 20 segundos? a) 6 c) 8 e) 9 b) 7 d) 5

HABILIDAD MATEMÁTICA

7. Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada ocho horas, ¿cuántas inyecciones aplica en dos días? a) 6 c) 8 e) 12 b) 7 d) 9 8. A lo largo de una avenida de 180 m se siembran árboles cada 20 m, ¿cuántos árboles se sembrarán? a) 8 c) 10 e) 12 b) 9 d) 11

9. Un gallo canta cinco veces en ocho segundos, ¿qué tiempo demora en cantar siete veces? a) 12 s c) 16 s e) 11 s b) 18 s d) 20 s 10. Una enfermera aplica una inyección a un paciente cada seis horas. Si debe aplicar seis inyecciones, indica el tiempo que debe transcurrir. a) 36 h c) 30 h e) 40 h b) 32 h d) 42 h 11. Se sembraron 28 arbustos a lo largo de una avenida cada 3 m, ¿cuál es la distancia entre el primer y el último arbusto? a) 82 m c) 54 m e) 104 m b) 86 m d) 81 m 12. En un campeonato de ajedrez se juegan partidas todos contra todos para decidir al campeón, si en total se juegan 190 partidas, ¿cuántos fueron los participantes? a) 10 c) 12 e) 21 b) 20 d) 18

182

Nivel C

PROBLEMAS SOBRE INTERVALOS

Avanzado 13. Julio tomó dos pastillas cada ocho horas durante cuatro días, ¿cuántas pastillas tomó? a) 26 c) 23 e) 13 b) 42 d) 25 14. Se escuchan ocho campanadas en cinco segundos, ¿cuánto tardan en escucharse 15 campanadas? a) 12 s c) 10 s e) 14 s b) 11 s d) 13 s 15. Se debe cercar un parque de forma rectangular de tal manera que el largo tenga 20 postes y el ancho

183

12 postes, donde hay un poste en cada esquina. ¿Cuántos postes se necesitan? a) 68 c) 60 e) 56 b) 64 d) 52

Claves 01.

e

06.

b

11.

d

02.

b

07.

b

12.

b

03.

e

08.

c

13.

a

04.

c

09.

a

14.

c

05.

b

10.

c

15.

c

HABILIDAD MATEMÁTICA

7

Niña María

Cronometría Ángulo entre manecillas

En este tema analizaremos ejercicios derivados de la relación que existe entre la hora que marca el reloj y el ángulo formado por las manecillas del reloj (minutero y horario). Para este tipo de ejercicios es necesario recordar algunas cuestiones básicas sobre la circunferencia del reloj y las divisiones inscritas en él. 11

12

1

6

Adelantos y atrasos

En este tema trataremos situaciones donde se encuentran relojes con desperfectos (malogrados). + atraso

+ adelanto

30°

2 10 M I 6° 9 3 H 4 8 7

Donde: q: ángulo menor entre manecillas H: hora M: minutos

Hora marcada por un reloj atrasado

M: minutero H: horario

HORA REAL

Hora indicada por un reloj adelantado

– atraso

5

En todo reloj de manecillas normal, se cumple: Lo recorrido por el minutero = 12(recorrido por el horario)

– adelanto

En conclusión: HORA REAL

=

HORA REAL

=

HORA – ADELANTADA

Adelanto

Ángulos entre el horario y el minutero Primer Caso

Cuando el minutero está después del horario:

HORA ATRASADA

+

Atraso

ZZ Uso de la regla de tres:

q = |30H – 11 M| 2

q

Segundo Caso

Cuando el horario está después del minutero:

q

q = | 11 M – 30H| 2



Si un reloj se atrasa 3 minutos cada 10 horas, ¿cuántos minutos se atrasará en 40 horas? ¡Fácil!

Resolución: Aplicando simplemente una regla de tres:



10 h



40 h



x = 40×3 = 12 10 Rpta.: Se atrasará 12 minutos



184

se traza se atrasará

3 min x

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

CRONOMETRÍA ZZ Tiempos transcurridos



En esta sección utilizaremos una línea de tiempo: Resolución:

Tiempo transcurrido Inicio

Entonces:

Tiempo que falta transcurrir Fin

Tiempo total

Tiempo total = Tiempo transcurrido + tiempo que falta transcurrir

Trabajando en clase Básico 1. ¿Qué hora es si el tiempo transcurrido de un día es el doble del tiempo que falta transcurrir? 2. Si un reloj se atrasa dos minutos por hora, ¿qué hora marcará las 5 p.m. si empezó con el desperfecto a las 10 a.m.? 3. ¿Qué hora es si el tiempo transcurrido de un día es la quinta parte del tiempo que falta transcurrir? Intermedio 4. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 8h 16 minutos?

Resolución: H=8 M = 16 ⇒ a = | 11 (16) – 30(8)| 2

reloj, si se sabe que el horario está entre las 6 y las 7 el minutero está sobre las 10.

el día 5/7 de lo que faltaría si es que fuera 3 horas más temprano. ¿Qué hora es?

6. Siendo las 6 a.m. empieza a adelantarse un reloj a razón de 6 minutos cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj cuando en realidad sean las 9 p.m. del mismo día?

10. Cierto día Leonel sale de su casa al colegio cuando el reloj marcaba las 7:23 a.m.; llega a su colegio, cuando el reloj de su colegio marcaba las 7:47 a.m. Luego se dió cuenta de que el reloj de su casa estaba adelantado 8 min y el reloj de su colegio estaba atrasado 5 min. ¿Cuántos minutos se demoró Leonel en ir de su casa al colegio?

5. ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 3:28?

8. ¿Qué hora es si, en este instante, el tiempo que falta para acabar el día excede en 4 horas al tiempo transcurrido? Resolución: Transcurrido x

Faltan x+4

a = |88 – 240| = 152°

⇒ x + x + 4 = 24 h 2x = 20h x = 10h ∴ 10: 00 a.m.

7. Calcula el menor ángulo formado por las agujas de un

9. Si fuera 3 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar

185

11. Un reloj empieza a atrasarse 3 minutos cada media hora, ¿dentro de qué tiempo volverá a marcar la hora correcta? Avanzado 12. ¿A qué hora entre las 3 y las 4, las manecillas del reloj forman 20° por primera vez?



Resolución: H=3 M = ?? x = 20

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

CRONOMETRÍA ⇒ 20 = | 11 M – 30(3)| 2





20 = | 11 M – 90| 2



⇒ M = 12 8 11



∴ 3h 12 8 min 11



70 = 11 M 2

HABILIDAD MATEMÁTICA

140 = M 11

186

13. Entre las 7:00 h y las 8:00 h. ¿A qué hora por primera vez se forma un ángulo de 78°? 14. ¿Qué hora es cuando las manecillas de un reloj están superpuestas entre las 3 y 4 horas?

Nivel C

CRONOMETRÍA

Tarea Básico 1. Las horas transcurridas del día están representadas por un número de dos cifras y el exceso de dicho número sobre 8, representa las horas que faltan transcurrir. ¿Qué hora es? a) 9 a.m. c) 2 p.m. e) 4 p.m. b) 11 a.m. d) 7 p.m. 2. Un barco que zarpa del Callao, llega a Paita un día sábado a las 11 a.m., después de emplear 130 horas. ¿Qué día y a qué hora salió del Callao? a) Martes a las 5 a.m. b) Miércoles a las 9 a.m. c) Martes a las 11 a.m. d) Lunes a la 1 a.m. e) Jueves a las 8 a.m. 3. Si un reloj se atrasa 3 minutos cada hora, ¿después de que tiempo volverá a marcar la hora correcta? a) 10 días c) 8 días e) 20 días b) 15 días d) 12 días 4. ¿A qué hora entre las 5 h y 6 h, el minutero equidista del horario y de la marca de las 12 por primera vez? a) 5 h 13 min d) 5 h 13 1 min 23 1 b) 5 h 14 min e) 5 h 5 min 13 1 c) 5 h 14 min 11 Intermedio 5. ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 7:22 p.m.? a) 96° c) 89° e) 86° b) 90° d) 76°

6. ¿Qué hora es, entre las 2 y las 3 si las manecillas de un reloj forman un ángulo de 6° por segunda vez? a) 2:20 c) 2:12 e) 2:10 b) 2:45 d) 2:30 7. Hace ya 45 horas que un reloj se adelanta 3 minutos cada 5 horas. ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 8 h 50’? a) 9 h 18’ c) 9 h e) 9 h 16’ b) 9 h 19’ d) 9 h 17’ 8. ¿Qué hora es si en este instante el tiempo que falta para acabar el día excede en 5 horas al tiempo transcurrido? a) 8:30 a.m. c) 9:00 a.m. e) 8:00 a.m. b) 9:30 a.m. d) 10:00 a.m.

9. ¿Qué hora es, entre las 3 y las 4, cuando las dos manecillas de un reloj se hallan la una sobre la otra? a) 3 h 16 4 min d) 30 min 11 b) 5 min e) 31 min c) 36 min 10. Tengo un reloj que se adelanta 8’ al día. Se le pone en hora exacta el martes al mediodía. ¿Qué hora marcará a las 18 horas del día jueves? a) 18 h 20’ c) 18 h 19’ e) 18 h 18’ b) 19 h d) 17 h 11. ¿A qué hora después de las 3, el número de minutos transcurridos a partir de las 3 es igual al número de grados que adelanta el minutero al horario? a) 3 h 20’ c) 4 h e) 4 h 20’ b) 3 h d) 3 h 21’

187

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

CRONOMETRÍA

12. Un reloj demora 20 segundos en tocar de la sétima a la decimosegunda campanada. ¿Cuántas campanadas tocará en 44 segundos? a) 11 c) 13 e) 10 b) 12 d) 14 Avanzado

a) 3:30 b) 4:12

e) 4:20

15. ¿A qué hora después de las 3, el número de minutos transcurridos a partir de las 3 es igual al número de grados sexagesimales que adelanta el minutero al horario? a) 3 h 5’ c) 3 h 20’ e) 3 h 8’ b) 3 h 18’ d) 3 h 10’

13. Faltan para las 6 horas tanto como la mitad del tiempo que transcurrió desde las 4:36. ¿Qué hora es? a) 3:36 c) 5:28 e) 5:42 b) 5:30 d) 5:32 14. ¿A qué hora entre las 4 y las 5, las distancias en grados del minutero y el horario (en ese orden) respecto de la marca de las 12 están en la relación de 4 a 3?

HABILIDAD MATEMÁTICA

c) 5:30 d) 2:30

188

Claves 01.

e

06.

c

11.

a

02.

d

07.

d

12.

b

03.

a

08.

b

13.

d

04.

d

09.

a

14.

b

05.

c

10.

e

15.

c

8

Niña María

Repaso 1. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 10 b) 15

c) 24 d) 18

7. Diana le dice a Carolina: «La suma de nuestras edades es 46 y tu edad es el triple de la edad que tenías, cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací». Calcula la edad actual de Carolina. a) 21 años c) 24 años e) 30 años b) 16 años d) 29 años

e) 30

2. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total en la siguiente figura?

a) 210 b) 150

c) 200 d) 218

8. Lucía tenía 10 años cuando Vilma nació, si la suma de sus edades actuales es 20 años más que la edad de Melisa, que tiene medio siglo. ¿Cuántos años tiene Vilma? a) 10 años c) 20 años e) 30 años b) 13 años d) 18 años 9. Estando un león a 180 m de una cebra, se lanza a cazarla. La cebra corre a 22 m/s. Mientras que el león corre a 31 m/s. ¿Qué tiempo dura la persecución? a) 10 s c) 20 s e) 30 s b) 15 s d) 18 s

e) 300

3. Se compra cierto número de relojes por 5625 dólares. Sabiendo que el número de relojes comprados es igual al precio de un reloj en dólares. ¿Cuántos relojes se han comprado? a) 75 c) 35 e) 65 b) 150 d) 85 4. ¿Cuál es el número impar, tal que agregado a los tres pares que le siguen da un total de 125? a) 21 c) 20 e) 30 b) 16 d) 29 5. Los contenidos de vino de dos recipientes son proporcionales a 3 y 5. Si el segundo tuviera 24 litros más de vino, su contenido triplicaría al primero. ¿Cuántos litros contiene el segundo? a) 21 litros c) 20 litros e) 30 litros b) 16 litros d) 29 litros 6. Milagros tendrá cinco veces la edad que hace 9 años tenía, dentro de 55 años. ¿Cuál es su edad? a) 25 años c) 85 años e) 35 años b) 65 años d) 95 años

10. Un alumno de la academia viajando en combi a razón de 40 km/h generalmente llega a tiempo; sin embargo el día que le tocó Razonamiento Matemático llegó con una retraso de 10 minutos debido a que tomó el ómnibus que solo desarrolla 30 km/h por estar recogiendo pasajeros. ¿A qué distancia de la academia toma la combi el estudiante? a) 10 km c) 20 km e) 30 km b) 15 km d) 18 km 11. Un campanario tarda 12 segundos en dar 7 campanadas. ¿Qué tiempo empleara en dar 12 campanadas? a) 22 s c) 20 s e) 30 s b) 15 s d) 18 s 12. Las horas transcurridas del día están representadas por un número de dos cifras y el exceso de dicho número con las cifras invertidas sobre nueve, representa las horas que faltan transcurrir. ¿Qué hora es, si no son las 12 m.? a) 5 p.m. c) 11 p.m. e) 9 a.m. b) 10 a.m. d) 6 p.m.

189

HABILIDAD MATEMÁTICA

Nivel C

REPASO

13. ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 10:34? a) 113° d) 125° b) 10° e) 110° c) 150° 14. Un reloj se atrasa 5 minutos cada 15 minutos, ¿en cuánto tiempo volverá a marcar la hora correcta? a) 36 h c) 80 h e) 33 h b) 18 h d) 9 h

HABILIDAD MATEMÁTICA

190

Claves 01. 02. 03. 04. 05.

c a a d e

06. 07. 08. 09. 10.

a c e c c

11. 12. 13. 14.

a e a a