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Academia Regional "TRIUNFADOR"

HABILIDAD MATEMÁTICA

Razonamiento lógico SEMANA 01 Encontramos aquí interesantes ejercicios en los cuales tendrás que poner en práctica tu habilidad e ingenio. En algunos de ellos se utilizaría conocimientos elementales de aritmética y geometría; en otros, reflexión y un modo de pensar lógico. El propósito al proceder así es empezar a ejercitar y desarrollar aún más nuestras capacidades intelectuales. Es cierto que algunos ejercicios son sencillos, pero otros no son tan fáciles de resolver a simple vista y eso es lo que los vuelve interesantes; ya que es posible llegar a la respuesta de cada uno de ellos, de una manera lógica y deducida a partir de los datos mencionados. Se ha dividido esta unidad de manera que sea fácil identificar el tipo de problema y las reglas que se deben respetar para su resolución. Esta división es la siguiente: 1.

b.

Unidas por una faja:

c.

Una encima de otra

Palitos de fósforo: En este tipo de problemas hay que observar cuidadosamente lo que dice el texto y tener cuidado con lo

d.

que se plantea; no olvides que es muy diferente decir «retira»,

En contacto:

«aumenta» o «mueve», ya que en cada una de esas expresiones hay un problema diferente. TENER

EN CUENTA:



No quebrar (romper) palitos para resolver el problema.



No dejar cabos sueltos.



No superponer palitos en el mismo sentido.

e.

Unidas por una faja cruzada:

Ejemplo N° 1: ¿Cuántos palitos, como mínimo, debo cambiar de lugar para que queden solo tres cuadrados iguales? Ejemplo N° 2: Si la rueda M gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda N?

Tenemos que mover solo tres:

4.

Relaciones familiares: Los problemas de parentesco familiar son situaciones que refieren al número de miembros de una familia y parentesco

2.

Poleas: Las poleas tienen dos tipos de giros: horario y antihorario, veamos la posición de dos poleas en situaciones diferentes: a. En el mismo eje:

entre ellos. Estas preguntas tiene como finalidad desarrollar la capacidad de relacionar lazos familiares, considerando que una misma persona puede cumplir varios roles simultáneamente. (Ejemplo: padre, hijo, nieto, tío, etc.) Suegro: padre de mi esposa Cuñado(a) : hermano(a) de mi esposo(a) Nuera: esposa de mi hijo Yerno: esposo de mi hijo Comadres: la relación entre la madrina de mi hijo(a)

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Cuadrado mágico 4 x 4 «Método del aspa»

Ejemplo N° 3: ¿Qué es para mí el hijo del tío de mi hijo si tengo solo un hermano varón?

Cuadrado mágico 5 x 5 «Método de las alitas»

Rpta.: mi sobrino. 5.

Relación de Tiempo - Día de la semana. Se establece una relación entre los tiempos: hoy, ayer, mañana, etc. y los días de la semana (lunes, martes, miércoles, etc.) Se ubicará en cada problema el día de hoy y luego se responderá la pregunta dada.

Ejemplo N° 4: Si el pasado mañana de hace 3 días de ayer fue lunes, qué día es hoy. Domingo

Jueves

Ejemplo N° 6: Al reemplazar cada letra de la palabra UNTECS por las cifras 2; 3; 5; 6; 8; 9 en la figura, se obtiene que la suma de los números ubicados en cada fila, columna y diagonal es la misma. Halle el valor de «x» de la sucesión:

Rpta.: hoy es miércoles. 3.

U-7; N+1; T+2; E+3; C+4; 3S–1; X

Ubicación de números - Cuadrados Mágicos: En estos tipos de ejercicios veremos tu capacidad para cumplir con las metas que te exige el problema.

Ejemplo N° 5: Ubica los números del 1 al 5, de manera que la suma de cada fila sea la misma.

Aplicando lo Aprendido Preguntas 1 a 3 En una empresa se debe formar equipos de dos empleados y dos obreros. Los candidatos para empleados son A, B, C y D, y para obreros, W, X, Y y Z. Se sabe que A no estará en el mismo equipo con Y ni con B, y C no estará en el mismo equipo con Z. Pero, si C está, W está.

Cuadrado dividido en celdas donde la suma de todas sus filas, columnas y diagonales es un número constante; en el caso las diagonales no suman lo mismo se les conoce como cuadrado latino.

1.

Cuadrado mágico 3 x 3 2.

«Método de las alitas»

3.

Si A está en un equipo, ¿cuál de estas parejas puede estar en ese mismo equipo? A) WY B) CY C) AB D) XD E) XX Si C está en un equipo, ¿de cuántas maneras se puede conformar este equipo? A) 4 B) 5 C) 7 D) 3 E) 6 Si W no está en determinado equipo, ¿cuál de las siguientes no puede ser una combinación para tal equipo? A) ADZX B) BDXY C) BDXZ D) BDYZ E) ACXY

Preguntas 4 a 7 Para cumplir con la presentación de una monografía sobre la cultura Chimú, cinco estudiantes, Pedro, Sandro, Bruno, Juan y Ciro, dividieron el trabajo en cinco temas: agricultura, pesca,

12

Academia Regional "TRIUNFADOR" cerámica, metalurgia y arquitectura, y lo distribuyeron cumpliendo las siguientes condiciones: Cada uno debe desarrollar un tema diferente. Si Pedro desarrolla el tema agricultura, Ciro desarrolla el tema pesca. Sandro desarrolla el tema cerámica si y solo si Juan desarrolla el tema metalurgia. Si Bruno no desarrolla el tema arquitectura, Ciro desarrolla el tema agricultura. 4.

5.

6.

7.

10. Si Flor cuida a Dignito, entonces ¿a quiénes cuidarán Alexis, Emi, Pierina y Deysi, respectivamente? A) Cesítar, Robertito, Jesusito y Josesito B) Jesusito, Cesítar, Robertito y Josesito C) Robertito, Jesusito, Cesítar y Josesito D) Cesítar, Jesusito, Robertito y Josesito E) Cesítar, Jesusito, Josesito y Robertito Preguntas 11 a 14 Cuatro hermanas son interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso: Carla: «Verónica fue». Verónica: «María fue». María: «Verónica miente al decir que fui yo». Patricia: «Yo no fui».

Todas las siguientes listas indican los temas que pueden haber desarrollado Pedro, Sandro, Bruno, Juan y Ciro, respectivamente, EXCEPTO: A) agricultura, cerámica, arquitectura, metalurgia y pesca. B) agricultura, metalurgia, arquitectura, cerámica y pesca. C) arquitectura, cerámica, pesca, metalurgia y agricultura. D) arquitectura, cerámica, agricultura, metalurgia y pesca. E) metalurgia, agricultura, arquitectura, cerámica y pesca.

11. Si la madre sabe que solo una de ellas dice la verdad, ¿quién se comió el chocolate? A) Carla B) Verónica C) María D) Patricia E) Deysi.

Si Bruno desarrolla el tema cerámica, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? I. El tema agricultura no puede ser desarrollado por Bruno. II. El tema arquitectura puede ser desarrollado por Pedro. III. El tema pesca es desarrollado por Ciro. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D)Sólo III E) Sólo I y III

12. Si tres de ellas miente, ¿quién dice la verdad? A) Carla B) Verónica C) María D) Patricia E) No se puede precisar 13. Si tres de ellas dicen la verdad, ¿quién miente? A) Carla B) Verónica C) María D) Patricia E) No se puede precisar

Si Pedro desarrolla el tema agricultura, ¿de cuántas maneras pueden distribuirse los temas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Más de 4

14. Si solo una de ellas miente, ¿quién se comió el chocolate? A) Carla B) Verónica C) María D) Patricia E) No se puede precisar

¿Cuál de los siguientes temas no puede ser desarrollado por Bruno? A) Metalurgia B) Cerámica C) Pesca D) Arquitectura E) Agricultura

Preguntas 15 a 17 La policía detiene a tres amigos sospechosos de un asesinato y al interrogarlos responde: Gerónimo : «Yo soy el asesino» Gerardo : «El asesino es Gerónimo» Gustavo : «Yo no soy el asesino»

Preguntas 8 a 10 Alexis, Flor, Emi, Pierina y Deysi son niñeras y esta tarde, cada una de ellas debe cuidar solo a uno de los siguientes niños: Josesito, Robertito, Dignito, Cesitar y Jesusito. Ellas se distribuyen el cuidado de los niños teniendo en cuenta las siguientes condiciones: * Cada una debe cuidar a un niño diferente. * Emi no cuidará a Jesusito, a menos que Alexis cuide a Cesítar. * Flor cuida a Dignito, solo si Pierina no cuida a Jesusito. * Alexis no cuidará a Jesusito. * Si Deysi no cuida a Josesito, Flor lo cuidará. 8.

Alexis, Flor, Emi, Pierina y Deysi pueden cuidar respectivamente a: A) Josesito, Cesítar, Jesusito, Robertito y Dignito. B) Josesito, Dignito, Cesítar, Jesusito y Robertito. C) Jesusito, Josesito, Cesítar, Robertito y Dignito. D) Dignito, Cesítar, Jesusito, Josesito y Robertito. E) Cesítar, Josesito, Jesusito, Robertito y Dignito.

9.

Si Flor cuida a Cesítar, entonces ¿quiénes pueden cuidar a Jesusito? I. Pierina II. Deysi III. Emi A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Ninguna

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15. Si solo hay una culpable, entonces es necesariamente cierto que: I. todos dicen la verdad. II. todos mienten. III. Gustavo miente. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Todos 16. Si se sabe que solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién es el asesino y quién dice la verdad, respectivamente? A) Gerardo – Gerónimo B) Gerardo – Gustavo C) Gustavo – Gerónimo D) Gustavo – Gerardo E) Gerónimo – Gerónimo 17. Considerando que puede haber más de un asesino y que solo uno de ellos miente, entonces es necesariamente cierto que: I. Gerónimo miente. II. Gustavo es culpable del asesinato. III. Gerónimo es culpable del asesinato. A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) Todas E) Solo I y IV

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A) 20

Se tiene un tablero con 16 casillas (cuatro filas y cuatro columnas).

2.

Las filas del tablero son A, B, C y D, mientras que las columnas con un número diferente: 7; 9; 11; 12; 13; 15; 17; 18; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 30 y 40.

D) 30

E) 25

40

B C

C) 22

Colocar los números del 2 al 10 en cada uno de los círculos pequeños mostrado, de tal manera que la suma de los números de cada circunferencia mediana y grande sumen lo mismo. Dé como respuesta dicha suma.

son P, Q, R y S. Además se cuenta con dieciséis fichas, cada una

A

B) 21

15 11

D P

Q

R

S

a) 26

Algunas fichas ya han sido colocadas en el tablero, tal como se muestra en la figura. La distribución de las fichas en el tablero

3.

cumple las siguientes condiciones: Los números en las filas B y D están ordenados en forma creciente, de izquierda a derecha. Los números en las columnas P y S están ordenados en forma creciente, de arriba hacia abajo. Los números ubicados en la fila B son múltiplos de 3. Los números ubicados en la columna S con consecutivos.

b) 27

c) 28

d) 29

Un cuadrado mágico multiplicativo es tal que el producto de los números de cada fila, columna y diagonal sea el mismo; si las casillas del cuadrado del diagrama se llenan con enteros positivos de modo que se formen un cuadrado mágico multiplicativo. ¿Cuál es el valor de x?

5

x

4

18. El número de la ficha ubicada en la fila C y la columna S es: A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

1

a) 1 19. Tú no puedes mover las fichas À, Â y Æ. ¿Cuántas fichas de

4.

las otras, debes mover como mínimo para lograr que los

b)2

c) 3

d) 4

e) 5

Del siguiente mini sudoku indicar la suma de los cuatro vértices 18.

números de las tres filas horizontales, las tres filas verticales

3

y las dos diagonales presenten la misma suma?

2

6

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

e) 30

3 6

1

4

6

2

E) 5

5 3

20. Dentro del cuadro de la figura se deben escribir los números entero del 1 al 9 (sin repetir). La suma de los 4 números alrededor de cada uno de los vértices marcados tiene que ser 20. ¿Qué número debe ir en la casilla sombreada?

a) 13

5.

b)12

c) 9

1

d) 10

e) 11

Tache algunos números del siguiente esquema. Con los números que queden, la suma de cada columna y cada fila debe ser 16. ¿Cuántos cincos se han tachado?

18.

A) 1

B) 2

C) 4

D) 7

E) 9

Actividad Domiciliaria 1.

Si se colocan los números de 1 al 10 en los círculos de la figura mostrada de tal modo que los números de cada hilera sumen lo mismo. ¿Cuál es el valor de dicha suma?

a) 0

14

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

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Razonamiento inductivo deductivo SEMANA 02 I.

Para nuestro caso: (2 795 875) 2 = …25 2 + 5 = 7.

RAZONAMIENTO INDUCTIVO Es el tipo de razonamiento que en base a experiencias sencillas nos permite llegar a conclusiones generales. Es decir, mediante el análisis de situaciones sencillas pero con las mismas características del problema original, llegamos a conclusiones con amplia probabilidad de certeza.

EJEMPLO 2: ¿Cuál es la suma de cifras de resultado de Resolución:

Entonces, la suma de cifras de lo pedido es 8 2 = 64.

NOTA: Al hacer una inducción matemática debes probar como mínimo tres casos.

II. DEDUCCIÓN MATEMÁTICA Método por el cual mediante un caso general se obtiene casos particulares. Ø Al razonar de manera inductiva, a veces se llega a conclusiones falsas; esto es lo que se conoce como falsa inducción. Ø No siempre es sencillo inducir, por lo que este tema requiere de mucha práctica. Ø El uso de la lógica inductiva y deductiva es una de las principales formas de encarar la mayoría de problemas.

Para poder facilitar la inducción hay ciertos números que tienes que conocer, como por ejemplo:

-



111111112 ?

Números triangulares:

Números rectangulares:

Algunas conclusiones generales que nos pueden ayudar son: Con adición: Par + Par = par Par + Impar = Impar Impar + Par = Impar Impar + Impar = Par

- Números cuadrados:

Con multiplicación: Par x par = par Par x Impar = Par Impar x Par = Par Impar x Impar = Impar

Algunas cifras terminales:

...0n  ...0 ...1n  ...1

EJEMPLO 1: Calcula la suma de las dos últimas cifras del resultado de (2 795 875) 2

 ...2,  ...2n  ...4, ...8,   ...6,



si n  4 1 

si n  4 2 

si n  4 3 

si n  4

...4, si n  impar

...4n  

...6, si n  par

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1.

...5n  ...5

...6n  ...6

...9n

a) 8372

...9, si n  impar  ...1, si n  par

8.

b) 6162

c) 4422

d) 7024

e) 3080

¿Cuántos palitos hay en total en la siguiente figura?

Observación: Si

a) 277 *  *

9.

n=9 m+p=9 a–c=m+1



Si: a  b  c Calcular:

c) 906

d) 243

e) 324

En una circunferencia se ubican 30 puntos distintos. ¿Cuántos arcos se pueden formar con dichos puntos? a) 435

b) 870

c) 380

d) 465

e) 930

10. Calcular la suma de los términos de la fila 50.

Aplicando lo Aprendido 1.

b) 87

2  a 25

M  ab3  c 2b  4ac  bca

a) 1475 2.

b) 1685

d) 1575

e) 1988

a) 9750 d) 75 200

Calcular: (A – M – N) 1997 si se sabe que:

1A  2 A  3 A  ...  9 A  MN1 a) 0

3.

c) 2088

Si:

b) 1

c) 2

d) 3

b) 12 500 e) 125 000

c) 25 000

11. Halle la suma de todos los números del siguiente arreglo: e) 4

UNO  (U  N  O ) 3 ; 0  ceroo O

Calcule: UN a) 1 b) 5 4.

d) 32

e) 23

d) 13

e) 12

Determinar: P + U + C, si:

PUC  CUP  888

Además: P – C = 4 a) 10 b) 14 5.

c) 3

c) 11

a) 2375

2 2 M  555 ... 556   444 ... 455 

a) 100 6.

b) 200

100 cifras

c) 50

d) 400

7.

b) 730

2

2005 dígitos seis

a) 20 050 d) 18 045

104 cifras

c) 720

d) 740

e) 3375

E  666...666 

N  222 ...222 ...998     999    a) 760

d) 3475

13. Calcula la suma de cifras del resultado de:

e) 80

Halle la suma de cifras del producto P.

103 cifras

c) 2250

12. Un total de 28 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Suponiendo que todos los presentes se estrecharon la mano una vez, el número de personas fue: a) 28 b) 14 c) 56 d) 8 e) 74

Calcule la suma de cifras del resultado de:

100 cifras

b) 2350

b) 4010 e) 9005

c) 18 005

14. Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar:

e) 750

E = 81 (12345679)2

En la figura se muestra una sucesión de rumas formadas por fichas numeradas. ¿Cuál es la suma de todos los números de la ruma T12?

a) 49 d) 100

16

b) 64 e) 72

c) 81

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15. Calcule la suma de cifras del resultado de operar E:

Actividad Domiciliaria

E = [(55555556) 2 - (55555555)2 ]2 a) 81 d) 54

b) 64 e) 89

c) 49 1.

Calcular el número total de esferitas en:

16. Si:

1376 + 23762 + 33763 + ... + 2037620 = ...abc Calcule (a + b + c)2 a) 25 b) 16 d) 36 e) 9

c) 256

17. Calcule el valor de:

E  111 ... 11  222 ... 22       46 cifras

a) 400 d) 210

23 cifras

De como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 81 b) 60 c) 59 d) 72 e) 69 18

2.

b) 200 e) 420

c) 800

En la siguiente secuencia de figuras, ¿cuántos triángulos habrá en la figura 11?

Calcular la suma de todos los términos del siguiente arreglo: 1.

a) 3226 d) 3026 3. a) 1000

b) 2000

d) 4000

e) 6400

c) 3000

c) 2188

Simplificar: E

(621x 579)  441 (315 x 285)  225

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

x  Z

a) 2500

Halle la cifra terminal de:

A  999...99   

b) 2750

x 2 3

c) 6500

x cifras

a) 1

b) 5

e) 5

4. Al unir los centros de las circunferencias se forman sectores circulares. ¿Cuántos de éstos se contarán en total?

19. Si:

mnpq 4 x12  ...4;

b) 1534 e) 3070

d) 6600 c) 9

d) 4

e) 3

e) 7500

20. Calcular el número total de hexágonos que se pueden contar, considerando el tamaño que se indica en la figura. a) 2500 d) 6600

a) 1250 b) 1225 c) 1500

b) 2750 e) 7500

5. Halle el número total de cuadrados sombreados.

d) 1600 1 2

a) 1250

b) 1225

3

... 51 52 53

c) 1500

d) 1600

c) 6500

a) 441

e) 1275

b) 440 c) 320

e) 1275

d) 896 e) 625

a) 441 Sembrando conocimientos para construir un llaqta saludable

17

b) 440

c) 320

d) 896

e) 625

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Planteo de ecuaciones 1 SEMANA 03 ECUACIÓN: Es la igualdad entre dos expresiones algebraicas con por lo menos una incógnita. ¿QUE ES PLANTEAR UNA ECUACIÓN? «Plantear una ecuación» significa que el enunciado de cualquier problema que se tenga hay que interpretarlo, entenderlo y una vez comprendido, hay que expresarlo en una ecuación matemática, la cual dará la solución al problema planteado.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

ECUACIÓN

Pautas para plantear una ecuación: • Leer el enunciado del problema hasta comprender de que se trata. • Identificar en el enunciado del problema los datos que se tienen y la variable que se busca. • Relacionar los datos con la variable a través de una ecuación. Observamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frases u oraciones traducidas del lenguaje literal al lenguaje matemático: LE N G U A JE LIT E R A L (E N U N C IA D O S )

LE N G U A JE M A T E M Á T IC O (S ÍM B O LO S ) x + (x + 1) + (x + 2) = 153 ó (x – 1) + x + (x + 1) = 153

1.

La sum a de tres núm eros consecutivos es 153.

2.

La edad de Á ngel es dos veces la ed ad d e B eatriz.

3.

La edad de Á n gel es dos veces m ás qu e la edad d e Beatriz.

4.

Yo tengo la m itad de lo que tú tienes, y él tiene el triple de lo que tú tienes.

5.

El trip le de un núm ero, aum entado en 10.

Á ng el Beatriz 2x años x años Á ng el Beatriz 3x años x años Yo Tú Él x 2x 6x 3x + 10, donde x es el núm ero

6.

El trip le, de un núm ero aum entado en 10.

3(x + 10), dond e x es el núm ero

7.

A excede a B en 50. El exceso d e A sobre B es 50. B es excedido por A en 50.

8.

A – B = 50

H om bres M ujeres

En una reunión hay tanto s ho m bres com o el doble del núm ero de m ujeres.

2x 9.

x G asto total: S/.x 2

H e com prado tantas cam isas com o soles cuesta cada una.

Jorg e Javier S/. (x + 50) S/. x

10. Jorge tiene S/.50 m ás que Javier.

A 2  K B 5

11. La relación qu e hay entre 2 núm eros es de 2 a 5. 12. T res núm ero s son resp ectivam ente.

proporcionales

a

3,

4

y

A = 3K; B = 4K; C = 5K

5

18

Academia Regional "TRIUNFADOR" Lo que se ha mostrado son ejemplos de cómo se puede representar simbólicamente en el lenguaje matemático un fragmento de enunciado. Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras. El estudiante debe proceder según requerimientos de cada problema en particular. Observación: Para resolver un sistema de ecuaciones; es conveniente recordar que existen varios métodos, por ejemplo: • Método de reducción • Método de sustitución • Método de igualación • Método de determinantes Ya que para encontrar la respuesta a un problema se debe resolver una o más ecuaciones, es necesario que el estudiante haya aprendido plenamente a resolver ecuaciones en sus diferentes formas.

Problema 3 Un niño le dice a su amigo: «Dame 5 de tus canicas, y tendremos tanto el uno como el otro». Este le responde: «Dame 10 de las tuyas, y tendré dos veces más de las que te queden». ¿Cuántas canicas tiene el niño? A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 Resolución: De lo que dice el niño:



 3(a – 10) = a + 10 + 10 Resolviendo: a = 25  el niño tiene 25 canicas. Respuesta: 25

Problema 1 Si anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy, y lo que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que fue S/. 50 menos que anteayer, ¿cuántos soles debo agregar a mi dinero para poder comprar un pantalón que cuesta S/. 60? A) S/.40 B) S/.50 C) S/.60 D) S/.70 E) S/.80

Aplicando lo Aprendido

Resolución: Según el enunciado, se tiene:

1.

En un taller hay 25 vehículos entre autos y motos. Si tienen 70 ruedas en total, ¿cuántos son autos? a) 15 b) 18 c) 20 d) 17 e) 10

2.

Un padre reparte S/. 53 entre sus 3 hijos. El mayor recibe S/ . 4 más que el menor, y el menor S/. 1 menos que el intermedio. ¿Cuánto recibió el mayor? a) S/.20 b) S/. 16 c) S/. 17 d) S/. 24 e) S/. 30

3.

El doble de un número aumentado en el triple de su consecutivo es 58. ¿Cuál es dicho número? a) 11 b) 21 c) 12 d) 13 e) 11

4.

Tengo (x+3) monedas de 5 soles y (x–2) monedas de 2 soles. Si en total tengo 53 soles, ¿cuál es el valor de x? a) 6 b) 7 c) 12 d) 8 e)11

5.

En una fiesta hay tantos hombres como mujeres. Si se retiran 5 hombres y 10 mujeres, estas serían los 2/3 de los hombres. ¿Cuántos hombres quedan? a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

6.

En un corral hay 13 animales entre conejos y gallinas. Si tienen 42 patas en total, ¿cuántos son conejos? a) 5 b) 6 c) 8 d) 4 e) 9

7.

De lunes a jueves gano diariamente cierta cantidad de dinero y de viernes a domingo gano diariamente S/.5 más que los días anteriores. Si en la semana he ganado S/.120, ¿cuánto gané el sábado? a) S/. 10 b) S/. 25 c) S/. 20 d) S/. 15 e) S/. 12

8.

En un corral el número de gallos es el cuádruple del número de gallinas. Si se venden 4 gallos y 4 gallinas, entonces el número de gallos es 6 veces el número de gallinas. ¿Cuántas aves había inicialmente? a) 33 b) 63 c) 40 d) 50 e) 95

Anteayer Ayer Hoy x

2x

Por dato: 6x – x = 50



x = 10

Luego, hoy tengo: 2(10) = S/. 20 \ debo agregar 60 – 20 = S/. 40 Respuesta: S/. 40 Problema 2 Si al subir una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones, ¿cuántos escalones tiene la escalera? A) 20 B) 40 C) 60 D) 10 E) 50 Resolución:

En el primer caso, se dieron 3 pasos más que en el segundo caso; por lo tanto:

x x  3 4 5 Resolviendo: x = 60 la escalera tiene 60 escalones. Respuesta: 60 Sembrando conocimientos para construir un llaqta saludable

a+5=b–5

a + 10 = b ......(I) De lo que dice el amigo: 3(a – 10) = b + 10 ......(II) Reemplazando (I) en (II):

Por lo tanto, antes de resolver los problemas que se presentan a continuación conviene primero resolver, a manera de práctica los siguientes ejercicios:

6x

HABILIDAD MATEMÁTICA

19

Academia Regional Triunfador

GOBIERNO REGIONAL DE HUANCAVELICA

9.

Un padre tiene 2 hijas y 3 hijos; si a cada hija le da 2 caramelos más que a cada hijo y en total ha repartido 24 caramelos, ¿cuántos caramelos recibió cada hija? a) 4 b) 8 c) 5 d) 3 e) 6

15. Un agricultor desea dividir un terreno de forma rectangular en pequeñas parcelas cuadradas, para ello debe colocar cierto número de estacas en hileras igualmente espaciados tanto a lo largo como a lo ancho y el número de ellas deben estar en la relación de 3 a 2. Hace un primer intento y le faltan 174 estacas, se decide entonares colocar 3 menor en el largo y dos menos en el ancho con lo cual le sobran 96 estacas, calcule el número de estacas disponibles. a) 3120 b) 3200 c) 3000 d) 2844 e) 2780

10. Un apostador tenía S/. 300 y jugó 3 veces. En cada juego perdió S/. 50 más que en el anterior. ¿Cuánto perdió en el juego final, si se quedó sin dinero? a) S/. 50 b) S/. 100 c) S/. 150 d) S/. 200 e) S/. 2

16. Dos cajas contienen un total de 825 naranjas y una de las cajas tiene 125 naranjas más que la otra. ¿Cuál es el valor de la caja que tiene más naranjas, si una docena de naranjas cuesta S/. 3.60?

11. Un cilindro de 1,80 m de altura pesa vacío 15 kg y lleno de petróleo 95 kg. ¿A qué altura deberá llenarse para que su peso sea exactamente igual a su altura expresada en centímetros? a) 10 b) 25 c) 12 d) 15 e) 27

a) S/. 142.50 b) S/. 105 c) S/. 171 d) S/. 152.40 e) S/. 123.50 17. Con el dinero que tengo puedo comprar 20 libros u 80 cuadernos, si al final compre 8 libros, ¿cuántos cuadernos puedo comprar con el dinero que me queda?

12. Adolfo se dirige al mercado y compra la misma cantidad en dinero de plátanos naranjas y manzanas, comprando en total 55 frutas. El precio de una naranja excede en S/. 1 al precio de un plátano, el precio de una manzana excede en S/. 1 al precio de una naranja. Si el número de naranjas excede al número de manzanas en tantos plátanos, como se pueden comprar con S/. 5. Calcule el número de cada fruta. Dé como respuesta la diferencia entre plátanos y manzanas. a) 15 b) 20 c) 25 d) 5 e) 12

a) 48

ab(n  1) an  b

b)

an  b ab(n  1)

e)

d)

ab(n  1) nb

c)

c) 36

d) 44

e) 40

18. En una escuela, cada 4 niños disponen de una pelota para jugar. Al cabo de algún tiempo, abandonan la escuela 40 niños. desde entonces, cada 3 niños disponen de una pelota. ¿Cuántos niños hay actualmente en la escuela?

13. Se tiene dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad, el primero se consume en a horas y el segundo en b horas (a > b). Si se encienden simultáneamente ¿dentro de cuánto tiempo la altura del más lento será n veces la altura del más rápido? a)

b) 52

a) 120

b) 160

c) 180

d) 100

e) 80

19. Sebastián cría conejos en la azotea de su casa. El ha observado que si coloca tres conejos en cada conejera, le sobra un conejo; pero si coloca cinco conejos en cada conejera, le sobran tres conejeras. ¿Cuántas conejeras tiene Sebastián?

b(n  1) nb

b(n  1) an  b

a) 5

b) 7

c) 6

c) 8

e) 4

20. Juan reparte 24000 soles en partes iguales a un grupo de personas. Si hubiera incluido 2 personas más, la cantidad de soles que recibió cada uno de ellos hubiera disminuido en 20 soles. ¿Entre cuantas personas repartió Juan los 24000 soles?

14. Con las tablas que sirven para construir una cerca de 40 metros se desea delimitar un jardín de forma rectangular donde uno de sus lados sea la pared de la casa y que el área sea máxima ¿qué dimensiones debe tener dicho jardín? a) 24 y 8m b) 26 y 12 c) 25 y 7,5m d) 20 y 10m e) 22 y 9m

a) 48

20

b) 24

c) 50

d) 32

e) 36

Academia Regional "TRIUNFADOR"

HABILIDAD MATEMÁTICA

Planteo de ecuaciones 2 SEMANA 04 «Plantear una ecuación» significa que el enunciado de cualquier

4.

En una fiesta de etiqueta habían 97 personas. Si en un determinado momento no bailaban 17 hombres y 8 mujeres. ¿Cuántas mujeres había en la fiesta? a) 64 b) 43 c) 25 d) 72 e) 44

5.

Hallar la suma de los dígitos del menor número, tal que al multiplicarlo por 9, se obtenga otro número formado solo por cifras 8 a) 44 b) 48 c) 40 d) 36 e) 42

6.

Los jornales de dos obreros suman S/.60. Si uno de ellos gana S/.12 más que el otro. ¿Cuánto ganan cada uno de ellos? a) S/.12 y S/.48 b) S/.20 y S/.40 c) S/.36 y S/.24 d) S/.18 y S/.42 e) S/.10 y S/.50

7.

Se tiene 200 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de niños. Si se retiran 5 niños, los restantes reciben 20 caramelos más. ¿Cuántos niños había inicialmente? a) 20 b) 16 c) 10 d) 15 e) 30

8.

Cuando compro me regalan 4 cuadernos por cada docena, y cuando vendo regalo 1 cuaderno por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 1600? a) 1214 b) 1216 c) 1212 d) 1208 e) 1206

9.

Luis y Miguel van de Shopping llevando entre ambos 620 soles. Luis gasto 240 soles y Miguel 160 soles. Si quedaron con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tenían cada uno inicialmente? a) S/.300 y S/.320 d) S/.280 y S/.340 b) S/.360 y S/.260 e) S/.250 y S/.370 c) S/.350 y S/.270

problema que se tenga hay que interpretarlo, entenderlo y una vez comprendido, hay que expresarlo en una ecuación matemática, la cual dará la solución al problema planteado.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

ECUACIÓN

Pautas para plantear una ecuación: •

Leer el enunciado del problema hasta comprender de que se trata.

•

Identificar en el enunciado del problema los datos que se tienen y la variable que se busca.

•

Relacionar los datos con la variable a través de una ecuación.

Una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas es la destreza, para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matemático, estableciendo para ello una o más ecuaciones. He aquí un antiguo ejercicio muy sencillo y fácil de traducir. EL CABALLO Y EL MULO Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobres sus lomos pesados sacos. Lamentándose el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas?» Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía».

10. Compré un lote de polos a S/.350 el ciento y los vendí a S/ .60 la docena, ganando en el negocio S/.4500. ¿De cuántos cientos constaba el lote? a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el mulo?

Aplicando lo Aprendido 1.

El producto de dos números impares positivos consecutivos es cuatro veces el menor, más 15 ¿Cuál es el producto? a) 25 b) 35 c) 44 d) 38 e) 50

2.

Dos personas trabajan juntos, ganando diariamente uno 2 soles más que el otro. Después de igual número de días trabajados reciben 240 soles uno y 210 soles el otro. ¿Cuánto gana por día uno de ellos? a) 25 b) 15 c) 24 d) 18 e) 16

3.

11. A Pedro le quieren vender 200 animales (pollos, patos y pavos) al precio de 1200 soles. Si además se sabe que un pollo le costara 3 soles, un pato 5 soles, un pavo 8 soles y que le van a vender más patos que pollos. ¿Cuál es la suma de cifras del máximo número de pollos que puede comprar? a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e) 17 12. Al entrar a una tienda llevaba en mis bolsillos unos 15 soles en monedas de 1sol y monedas de 20 céntimos. Al salir traía tantos soles como monedas de 20 céntimos y tantas monedas de 20 céntimos como monedas de 1 sol tenía antes. En mi bolsillo me quedaba un tercio del dinero que llevaba antes de las compras ¿Cuánto costaron las compras? a) 9 soles 60 céntimos b) 10 soles 45 céntimos c) 9 soles 45 céntimos d) 10 soles 50 céntimos e) 9 soles 50 céntimos

Quince personas tienen que pagar por partes iguales 9600 soles, como algunas de ellas no pueden hacerlo, cada una de las restantes tiene que pagar 160 soles más para cancelar la deuda. ¿Cuántas personas no pagaran? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Sembrando conocimientos para construir un llaqta saludable

21

Academia Regional Triunfador

GOBIERNO REGIONAL DE HUANCAVELICA

16. Un ómnibus hace servicio de Lima a Huacho y en uno de los viajes recaudó 528 soles por la cobranza de los adultos y 108 soles por los niños, si para cualquier recorrido el pasaje adulto es 8 soles y el de niño 4 soles. Si cada vez que bajó un adulto subieron 2 niños y cada vez que bajó un niño subieron 3 adultos y llegaron a Huacho con 55 adultos y 11 niños

13. Diez personas se forman en círculo. Cada uno escoge un número y revela el número escogido a sus dos vecinos. Cada persona toma el promedio de los dos números de sus vecinos y lo dice en voz alta. La figura muestra los promedios dados en voz alta por cada una de las personas (no muestra el número que cada persona escogió originalmente). ¿Cuál es el número que escogió la persona que dio el promedio 9?

¿cuántos adultos subieron en Lima? a) 16 b) 18 c) 22 d) 24

e) 20

17. Un rectángulo de 30 × 100 cm será agrandado para formar otro rectángulo de área doble, para ello se añade, una tira de igual anchura en sus bordes ¿cuál es el ancho de la tira en metros? a) 0,01

a) 10

b) 12

c) 13

d) 14

d) 114

c) 40

d) 69

e) 0,4

19. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 250 soles. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, Recibiendo cada uno 300 soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? a) 4 b) 5 c) 7 d) 10 e) 6

e) 144

20. Un padre reparte la fortuna entre sus hijos dándoles S/.1 520 a cada uno antes de efectuarse el reparto muere uno de ellos, y la suma que le correspondía se distribuye equitativamente entre los restantes quienes reciben S/.1 900 cada uno. ¿Cuántos hijos eran inicialmente? a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

ahora cada maestro? b)59

d) 0,1

cada una. ¿A cómo se vendió cada pollo antes del medio día? a) 2 soles b) 4 soles c) 6 soles d) 8 soles e) 10 soles

15. En una comunidad existen 1000 alumnos que son atendidos por 19 personas entre maestros y maestras. Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra. Últimamente se decidió aumentar en 8 alumnos más la clase de cada maestra, reduciéndose así las de los maestros. ¿A cuántos niños atienden a) 70

c) 0,3

18. Tres vendedoras de pollo en un mercado tenían, al iniciar el día, 10, 12 y 11 pollos respectivamente. Hasta el mediodía las tres vendieron al mismo precio una parte del total de sus pollos. Después del mediodía, por temor a no vender todos los pollos, bajaron en 2 soles el precio de cada pollo, Al terminar la tarde, las tres vendieron todo y obtuvieron S/. 52

e) 16

14. A una fiesta asistieron 3 grupos disparejos de chicos y chicas, donde al inicio cada uno quiso bailar en su grupo observándose 30 parejas bailando. Cuando se reunieron los sobrantes del 1er grupo con los del 2. do grupo quedaron 10 personas sin bailar, al juntarse los sobrantes del 2. do grupo con los del 3.er grupo quedaron 12 sin bailar, pero al unirse los sobrantes de los tres grupos se vio que todos bailaron. ¿Cuántos asistieron? a) 96 b) 100 c) 104

b) 0,02

e) 58

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Academia Regional "TRIUNFADOR"

HABILIDAD MATEMÁTICA

Edades SEMANA 05 Por condición:

x + 9 = 2(x – 6) x = 21 Luego, dentro de 5 años tendrá: 21 + 5 = 26 años

Actualmente yo soy mayor que tú en 20 años. ¿Cuál seria nuestra diferencia de edades si tu hubieras nacido 10 años antes y yo 10 anos después?

2.

Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos Utilizaremos un cuadrado de edades, con el propósito de

¿… Uhh no sé?

razonar ordenadamente

Causa

En este tema se debe tener en cuenta que en los problemas intervienen: sujetos, tiempos y edades. Sujetos Son los protagonistas que generalmente son personas y en algunos casos animales, objetos, etc.

Se cumple: Las sumas 25 + 30 = 28 + 37 = 12 + 37 =

Tiempos Es uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado se complicará la resolución del problema.

Pasado Presente

Tengo, tienes, tenemos, mi edad es, tú tienes, la suma de nuestras edades es, etc.

Futuro

Tendré, tengas, dentro de 4 años, él tendrá, tendremos, etc.

3.

Aplicando lo Aprendido

No olvides, la diferencia de las edades entre dos sujetos permanece

1.

Yo tenia 18 años y dentro de 20 años tendré el doble de la edad que tengo. ¿Cuántos años tengo? a) 28 b) 20 c) 19 d) 22 e) 23

2.

Tú tienes 16 años, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 44 años. ¿Qué edad tengo? a) 20 b) 16 c) 18 d) 22 e) 19

3.

A Carlos le preguntaron por su edad, este aficionado a los números respondió: «Si al triple de la edad que tendré dentro de tres años, le restan el triple de la edad que tuve hace tres años, obtendrán mi edad». ¿Cuántos años tiene Carlos? a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 18

4.

Alex y Luisa discuten acaloradamente en una de las esquinas de la avenida Arequipa, de pronto dan por terminada su relación partiendo en direcciones perpendiculares con velocidades de 16 y 12 m/s, respectivamente. ¿Después de qué tiempo estos personajes estarán una distancia de 90 m, lamentando su decisión? a) 4 s b) 5 s c) 6 s d) 4,5 s e) 7 s

constante. Para un mejor resolución de los problemas, clasificaremos estos en tres tipos: Cuando interviene la edad de un solo sujeto Ejemplo La edad de Evelyn dentro de 9 años, será el doble de la edad que tenía hace 6 años. ¿Cuántos años cumplirá dentro de 5 años? Resolución

Sembrando conocimientos para construir un llaqta saludable

Relación con el año de nacimiento Si la persona ya cumplió años: Año de nacimiento + edad = Año actual Si la persona aún no cumple años: Año de nacimiento + edad = Año actual – 1

Edad Es un lapso de tiempo pertenenciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en años, pero también puede darse en días o meses. NOTA:

1.

aspa son iguales: + 28 + 35 + 22

La diferencia de edades es contante: 27 – 25 = 30 – 28 = 37 – 35 27 – 12 = 30 – 15 = 37 – 22

Expresiones comunes usadas en los problemas Tenía, tenías, teníamos, cuando él tenía, hace 3 años, etc.

en 27 30 27

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Academia Regional Triunfador

GOBIERNO REGIONAL DE HUANCAVELICA

5.

Carolina tuvo a su primer hijo a los 18 años y 3 años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1995 las edades de los tres sumaban 51 años. ¿En qué año nació Carolina? a) 1965 b) 1970 c) 1981 d) 1950 e) 1956

6.

Cinco alumnos se reúnen a las 15 h un día del año 1992, suman todas sus edades más todos sus años de nacimiento obteniendo 9957. Diga usted. ¿Cuántos faltan cumplir años? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7.

Víctor tiene 32 años su edad es el cuadrúple de la edad que tenía Juan cuando Víctor tenía la tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tiene Juan? a) 36 años b) 26 años c) 29 años d) 30 años e) 28 años

8.

Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que 3, 4 y 5. Si dentro de 2 años será como 5, 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor? a) 12 b) 10 c)16 d) 14 e) 20

9.

Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuando entre los tres tengamos 300 años y yo tenga lo que tú tienes entonces, ¿qué edad tiene Carlos? a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

14. Dentro de 15 años, la edad de Carlos será el doble de la edad de Luis. Calcular las edades actuales de cada uno, si hace 6 años la edad de Carlos era el triple de la edad de Luis. Dar como respuesta la diferencia de ambas edades. a) 42 b) 38 c) 36 d) 32 e) 28 15.

La suma de las edades de un padre y su hijo menor es «p» años, la suma de las edades del padre y el hijo mayor es «q» años. Hallar la edad del padre, si la suma de las edades de los hermanos es «r» años. a) (q + r – p)/2

b) p + q + r/2

d) p + q – p/2

e) (p + q – r)/2

c) (p + q + r)/2

16. En 1977 la edad de un alumno fue el inverso de las dos últimas cifras del año de su nacimiento, lo mismo sucede con su abuelo. Si la diferencia de sus edades es 45 y la edad del abuelo en 1977 fue la inversa de la edad del alumno, calcular la edad del abuelo. a) 51 b) 56 c) 61 d) 66 e) 71 17. Ada tiene la misma edad que Mili y esta es 2 años menor que Richi y 4 años mayor que Pepe. Si Lucho es 1 año mayor que Pepe y este 5 años menor que Enrique, ¿cuántos años menos que Enrique tiene Ada? a) 1 año b) 4 años c) 2 años d) 0 años e) 3 años

10. Para Fiestas Patrias en el año 1995 la suma de las edades de Carlos, Emperatriz y Teresa más los años de nacimiento fue 5983. Si Carlos nació en Junio y Emperatriz en octubre. ¿En qué mes pudo nacer Teresa? a) enero b) Abril c) Mayo d) Marzo e) Setiembre

18. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 19. Dentro de 15 años la edad de Carlos será el doble de la edad de Ana. Hace 6 años la edad de Carlos era el triple de la de Ana. Calcular la suma de sus edades y dar como respuesta la suma de cifras de este resultado. a) 24 b) 16 c) 12 d) 14 e) 15

11. José nació 6 años antes que Juan. En 1970 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1985. ¿En qué año la suma será el doble de la correspondiente a 1985? a) 2000 b) 2001 c) 2005 d) 1998 e) 1995

20. Jorge sumó: 1 año, más 2 años, más 3 años y así sucesivamente hasta la edad actual que tiene, dando como resultado un número de 3 cifras iguales. ¿Cuál es la edad de Jorge? a) 35 b) 34 c) 36 d) 38 e) 50

12. En 1965 la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo. En 1970, la edad del padre fue el quintúplo de la edad de su hijo. ¿En qué año el padre tuvo 64 años? a) 1984 b) 1980 c) 1978 d) 1954 e) 1994 13. Jerry tiene actualmente 20 años, pero cuando Jerry tenga la edad que tiene Lucho, este tendrá la edad que tendría Jerry cuando sus edades sumen 90 años. ¿Cuál es la edad actual de Lucho? a) 20 años b) 40 años c) 30 años d) 10 años e) 25 años

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