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• Hector Lopez

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS Facultad de Ciencias - Escuela de Matemática Departamento de Matemática Pura MM-111 Geometría y Trigonometría

1

I Periodo 2020

Conceptos primitivos en Geometría

1.1

Noción de punto

Algunas nociones son las siguientes: 1. La marca que deja un lápiz afilado. 2. La cabeza de un alfiler. 3. La esquina en donde se unen tres paredes. 4. El lugar donde se cruzan dos hilos. 5. Un grano de arena. Como se puede observar, son varias las ideas existentes acerca de la noción de punto. ¿Cuál es la representación geométrica de un punto? Usualmente, cuando se habla de puntos y se quiere representarlos en papel y lápiz, se suele dibujar una "bolita rellena" o una "cruz". Además, a los puntos se les denota por letras mayúsculas.

1.2

Noción de recta

Algunas nociones son las siguientes: 1. Un cabo de hilo extendido y tenso. 2. Las intersecciones de las caras de una caja. 3. El borde de una hoja de cuaderno. ¿Qué otras nociones se podrían agregar a las anteriores? Invente dos nociones más. Se debe tener presente que las nociones de los conceptos son sólo eso: nociones, ideas, entre otras. No se pretende tratar de definir los conceptos primitivos en base a las nociones, pues estos conceptos no tienen definición. ¿Cuál es la representación geométrica de una recta? Usualmente, cuando se habla de rectas y se quiere representarlas en papel y lápiz, se suele dibujar una "raya" con un par de flechas en sus extremos; las flechas quieren dar a entender que las rectas son infinitas, ya que en geometría, cuando se habla de rectas, se sobreentiende que son "líneas" que se extienden infinitamente. Además, a las rectas se les denota con letras minúsculas o por medio de dos letras mayúsculas, las cuales corresponden a dos puntos que pertenecen a la recta.

← → Recta l o AB El concepto de recta va muy ligado al de punto, pues se dice que en una recta hay infinitos puntos. Es como tener un punto a la par del otro y al unirlos forman una recta.

1.3

Noción de plano

Algunas nociones son las siguientes: 1. Un campo de fútbol. 2. La hoja de un cuaderno. 3. El piso de una casa. 4. La mesa sobre la cual rueda una bola de billar. Resumen guía metodológica de Geometría Plana

5. La pared de un aula. Estas son sólo algunas nociones que dan una idea de plano; sin embargo, a nivel matemático, los planos no tienen límites, es decir, se extienden infinitamente (similar a las rectas) por lo que sólo es posible representar una parte del mismo. ¿Cuál es la representación geométrica de un plano? Los planos se suelen representar por medio de cuadrados, rectángulos o romboides. Se denotan por medio de una letra del alfabeto griego o por tres letras, que corresponden a tres de sus puntos dibujados en su representación.

De acuerdo a la teoría de Conjuntos, diremos que un punto "pertenece" (o "no pertenece" dependiendo el caso) a una recta o a un plano, mientras que de una recta se dice que esta o no "contenida" en un plano

2

Algunas definiciones y postulados

Son los postulados que nos manifiestan la existencia de los elementos primitivos y los enlaces entre ellos.

2.1

Definiciones

1. Tres o más puntos están alineados o son colineales si y sólo si están en una misma recta. 2. Cuatro o más puntos son coplanares si y sólo si están en un mismo plano. 3. Dos rectas se intersecan o se cortan si y sólo si tienen un punto común. 4. Dos rectas que se cortan en un punto se llaman rectas incidentes. 5. El espacio es el conjunto de todos los puntos. 6. Una figura geométrica es un conjunto no vacío de puntos.

2.2

Postulados

1. Dos puntos diferentes determinan una recta a la cual pertenecen. 2. A toda recta pertenecen al menos dos puntos diferentes. 3. Dada una recta, existe por lo menos un punto que no está en la recta. 4. Tres puntos no colineales determinan un plano y sólo uno al cual pertenecen. 5. Si dos puntos diferentes de una recta están en un plano, entonces la recta entera está contenida en el plano. 6. Si dos planos diferentes tienen un punto común, entonces tienen por los menos otro punto común. 7. Dado un plano, existe por lo menos un punto que no está en el plano. 8. Cuatro puntos no coplanares determinan el espacio.

2.3

Segmento rectilíneo

Sean A y B dos puntos diferentes de una recta. Al conjunto formado por A y B, y los puntos de la recta que están entre A y B, se le llama segmento rectilíneo y se denota AB

Los puntos A y B son los extremos del segmento y no importa cuál de ellos se escribe primero, es decir AB ≡ BA Resumen guía metodológica de Geometría Plana

2.4

Semirrecta

−→ Un punto O de una recta l y los puntos X de la recta que están al mismo lado de O determinan el rayo OX y se denota por OX Si el punto O no se incluye entonces se tiene una semirrecta y se denota por

−→ −→ Los rayos OX y XO son diferentes. −→ −→ Si O, A y B son puntos colineales y A − O − B entonces OA y OB son rayos opuestos

2.5

Semiplano

Toda recta l, de un plano M, determina dos conjunto llamados semiplanos. La recta se llama borde o frontera del semiplano y no pertenece a él.

Postulado(De la separación del plano) Sea l una recta de un plano M, los demás puntos del plano(diferentes a los de la recta) forman dos conjuntos α1 y α2 disjuntos tales que: 1. α1 ∩ l = α2 ∩ l = α1 ∩ α2 = ∅ 2. α1 ∪ α2 ∪ l = plano 3. Si B ∈ α1 y C ∈ α2 , entonces BC corta la recta l en el punto P 4. Si A ∈ α1 y B ∈ α1 , entonces AB esta en el semiplano α1 5. Si C ∈ α1 y D ∈ α1 , entonces CD esta en el semiplano α2

2.6

Medida de segmentos

En geometría se refiere a menudo a la medida del segmento AB, a la distancia entre el punto A y B, se denota por AB o m( AB) Importante: La distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia entre los números reales correspondientes. En la recta real el número que le corresponde a un punto se llama coordenada del punto Ejemplo:

Resumen guía metodológica de Geometría Plana

La coordenada del punto A es −5, se denota por coor ( A) = −5 La coordenada del punto B es −2, se denota por coor ( B) = −2 La coordenada del punto E es 5, se denota por coor ( E) = 5 la distancia AB es: AB = − 5 − (−2) = − 5 + 2 = − 3 = 3 la distancia CF es: CF = 8 − 0 = 8 = 8 Postulado(Adición de segmentos) Si A, B y C son colineales en ese orden: A − B − C entonces AC = AB + BC

2.7

Congruencia

Dos segmentos AB y CD son congruentes si y sólo si tienen igual medida, y se escribe AB ∼ = CD; entonces AB ∼ = CD ⇔ AB = CD La congruencia se refiere por tanto a la figura geométrica Las propiedades de la congruencia del segmento se enuncian en el siguiente teorema. Teorema 1. Todo segmento es congruente consigo mismo: AB ∼ = AB (Propiedad reflexiva) 2. Si AB ∼ = CD, entonces CD ∼ = AB (Propiedad Simétrica) 3. Si AB ∼ = CD y CD ∼ = EF, entonces AB ∼ = EF (Propiedad transitiva) Se dice entonces que la congruencia de segmentos es una relación de equivalencia.

2.8

Punto Medio

Sea A − M − B. M es punto medio de AB si y sólo si divide a AB en dos segmentos congruentes, AM ∼ = MB

1 Si M es punto medio de AB, entonces se tiene que AM = MB = ( AB), ademas los puntos medios de segmentos congruentes, 2 determinan segmentos congruentes.

3

Ángulos

Un ángulo es la figura geométrica que resulta al unir dos rayos que tienen el mismo punto inicial. Los rayos son los lados del ángulo y el punto común es el vértice del ángulo.

−→ −→ En la figura, la unión de OA y OB es el ángulo AOB de vértice O, y que se denota por ∠ AOB, para indicar la medida del ángulo se escribe m∠ AOB

3.1

Congruencia de ángulos

Dos ángulos ∠ AOB y ∠CDE son congruentes si y sólo si tienen igual medida, es decir

∠ AOB ∼ = ∠CDE ⇔ m∠ AOB = m∠CDE

La congruencia de ángulos, es una relación de equivalencia. Resumen guía metodológica de Geometría Plana

3.2

Bisectriz de un ángulo

−→ Sea el ángulo ∠ AOB y P un punto en el interior de ∠ AOB, OP se llama bisectriz del ángulo si y sólo si determina en él, dos ángulos congruentes.

−→ OP es bisectriz de ∠ AOB, porque ∠ AOP ∼ = ∠ POB Las bisectrices de ángulos congruentes, determinan ángulos congruentes.

3.3

Clasificación de ángulos

1. Un ángulo es agudo si y sólo si su medida es mayor que 0o y menor que 90o , y un ángulo es obtuso si y sólo si su medida es mayor que 90o y menor que 180o . Un ángulo es recto si su medida es 90o 2. Dos ángulos se llaman ángulos complementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 90o , y se dice que uno es el complemento del otro. 3. Los complementos de ángulos congruentes, son congruentes. ( Teorema) 4. Dos ángulos son suplementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 180o , y se dice que uno es el suplemento de otro. 5. Los suplementos de ángulos congruentes, son congruentes. ( Teorema) 6. Dos ángulos coplanares se llaman ángulos adyacentes si y sólo si tienen un lado común y los otros do lados están situado en semiplanos diferentes cuyo borde contiene el lado común

−→ ∠ AOP y ∠ BOP son ángulos adyacentes porque tiene el lado OP en común 7. Si dos ángulos son adyacentes y suplementarios, se dice que forman un par lineal

−→ ∠ AOP y ∠ BOP son ángulos adyacentes porque tiene el lado OP en común, ademas son suplementarios o porque m∠ AOP + m∠ BOP = m∠ AOB = 180 , entonces ∠ AOP y ∠ BOP forman un par lineal 8. Dos ángulos cuyos lados son rayos opuestos, se llaman ángulos opuestos por el vértice.

∠ AOB y ∠COD son ángulos opuestos por el vértice ∠ AOD y ∠ BOC también son ángulos opuestos por el vértice 9. los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (Teorema) En la figura anterior: ∠ AOB ∼ = ∠COD y ∠ AOD ∼ = ∠ BOC Resumen guía metodológica de Geometría Plana

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Rectas Paralelas y Perpendiculares

4.1

Perpendicularidad

Si la rectas l1 y l2 se cortan formando un ángulo recto se dice que son perpendiculares y se escribe l1 ⊥ l2

Si la rectas l1 y l2 se cortan en P, y A ∈ l1 y B ∈ l2 , entonces la definición de perpendicularidad se cumple para los rayos y los − → − → segmentos, y se escribe PA ⊥ PB y AB ⊥ PB Teoremas 1. Dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos 2. Si dos rectas incidentes forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares.

4.2

Mediatriz de un segmento

Se llama mediatriz de un segmento a la recta que es perpendicular al segmento en el punto medio de éste

l es mediatriz de PQ si y sólo si l ⊥ PQ y PM ∼ = MQ La distancia entre una recta y un punto que no está en la recta es la medida del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. Si el punto dado está sobre la recta, la distancia es cero.

4.3

Rectas paralelas

Dos rectas coplanares son paralelas si y sólo si no se cortan o son coincidentes. El paralelismo es una relacion de equivalencia. El paralelismo también se aplica a los rayos o segmentos de rectas paralelas.

Teoremas 1. Dos rectas coplanares son paralelas sin son perpendiculares a una misma recta. 2. Dos rectas paralelas a una tercera recta, son paralelas entre si.

5 5.1

Paralelas y ángulos especiales Recta transversal o recta secante

Una recta es transversal a dos o más rectas coplanares si y sólo si las interseca en dos puntos diferentes.

Resumen guía metodológica de Geometría Plana

La recta t es transversal a las rectas l y m, pero la recta s no es transversal a las rectas n y r Cuando dos rectas son cortadas por una transversal se forma ocho ángulos

Cuatro de los ángulos están por "fuera"de las rectas l y m, y se llaman "ángulos externos", son los ángulos 1, 2, 7, 8. Los otro cuatro ángulos se llaman ángulos internos, son los ángulos 3, 4, 5, 6. Estos ángulos reciben los siguientes nombres: 1. Ángulos alternos: Son los ángulos a diferentes lados de la secante. En la figura son los ángulos: 1 y 2; 1 y 3; ... ; 1 y 7. 2. Ángulos alternos internos: Son las parejas de ángulos interiores no adyacentes que están situados a diferentes lados de la transversal. En la figura, 4 y 6; 3 y 5. 3. Ángulos alternos externos: Son las parejas de ángulos exteriores no adyacentes que están situados a diferentes lados de la transversal. En la figura, 1 y 7; 2 y 8. 4. Ángulos correspondientes: Son las parejas de ángulos no adyacentes, uno interior y otro exterior, que están situados al mismo lados de la transversal. En la figura, 1 y 5; 4 y 8; 2 y 6; 3 y 7.

5.2

Teoremas

1. Si dos rectas al ser cortadas por una transversal forman ángulos internos congruentes, son paralelas 2. Si dos rectas al ser cortadas por una transversal forman ángulos correspondientes congruentes, son paralelas 3. Si dos rectas cortadas por una transversal forman ángulos alternos externos congruentes, son paralelas. 4. Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. 5. Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. 6. Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos externos son congruentes.

5.3

Teorema Fundamental del Paralelismo

Si tres o más rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una transversal, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra transversal

Resumen guía metodológica de Geometría Plana

6

Ejercicios 1. Sobre una linea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, donde ( AB)( BD ) = ( AC )(CD ), calcular le valor de ( AB)2 − (CD )2 E= ( AB)(CD ) 2. Sobre una linea recta se ubica los puntos A, B, C, D tal que de AC

3 1 1 + = y 3( AB)(CD ) = ( AD )( BC ), calcular el valor AD AB 8

3. Del gráfico

O es punto medio de AB. Calcular OM, si

( AB)2 + ( MA)( MB) = 81 4

4. Sobre una recta se ubica los puntos consecutivos A, B, C, D, de modo que AB = 3( BC ) = 3(CD ) y ( AC )( AB) = 48, calcule CD 5. Sobre una recta se da los puntos consecutivos A, B, C, D, E, F, determinar MN, sabiendo que AC = 15, BD = 25, CE = 20, DF = 30, siendo M y N los puntos medios de AB y EF, respectivamente.

−→ −→ 6. ∠ AOB y ∠ BOC son dos ángulos adyacentes tales que m∠ AOC − m∠ AOB = 90o , OX es la bisectriz de ∠ AOB y OY es la bisectriz de ∠ AOC. Calcule m∠XOY −→ −→ −→ −→ 7. Cuatro rayos coplanares OA, OB, OC y OD forman ángulos tales que ∠ DOA ∼ = ∠COB, m∠COB = 2m∠ AOB, m∠COD = 3m∠ AOB (a) Calcule m∠ AOB, m∠ DOA, m∠COD (b) Demuestre que las bisectrices de ∠ AOB y ∠COD están sobre la misma recta.

−→ −→ 8. OX, OY son las bisectrices de los ángulos agudos adyacentes ∠ AOB y ∠ BOC, respectivamente, y cuya diferencia de −→ −→ −→ medidas es 40o . OZ es bisectriz del ángulo ∠XOY. Determine el valor del ángulo con lados OZ y OB. −→ −−→ 9. En los ángulos adyacentes suplementarios ∠ AOB y ∠ BOC, se traza la bisectriz ON del ángulo ∠ BOC y OM del ángulo ∠ AON, calcular m∠ BOC si m∠ MOB = 72o . −→ −→ 10. En la figura, se tiene: BA k DE, m∠ B = 30o , m∠C = 80o , calcular m∠ D

11. Demuestre las siguientes proposiciones (a) Las bisectrices de dos ángulos perpendiculares, son perpendiculares o paralelas. Resumen guía metodológica de Geometría Plana

(b) Las bisectrices de dos ángulos de lados paralelos, son perpendiculares o paralelas 12. En la figura, si l1 k l2 , calcule el valor de θ

13. En la figura, si l1 k l2 , calcule el valor de x

Resumen guía metodológica de Geometría Plana

1

Triángulos

1.1

Definiciones

1. Un triángulo es un polígono de tres lados. Se denota por 4 y se escribe 4 ABC. Los puntos A, B, C se llaman vértices del triángulo. 2. Un triángulo es escaleno si y solo si no tienen lados congruentes. Un triángulo es isósceles si tiene dos lados congruentes, el lado que no es congruente se llama base del triángulo isósceles. Un triángulo es equilátero si tiene todos sus lados congruentes. 3. La altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. el punto de intersección de las alturas se llama ortocentro 4. La mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las medianas se llama baricentro y es ademas el centro de gravedad o centroide del triángulo. 5. Se llama bisectriz de un triángulo al segmento de bisectriz del ángulo correspondiente, comprendido entre el vértice y el lado opuesto. El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y es el centro del círculo inscrito en el triángulo. 6. Se llama mediatriz de un triángulo a la perpendicular levantada a cada lado en su punto medio. El punto de intersección de las mediatrices se llama circuncentro y es el centro del círculo circunscrito.

1.2

Teoremas

1. El punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo equidista de los vértices del triángulo. 2. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de medida 30◦ , entonces el cateto opuesto a ese ángulo tiene una medida igual a la mitad de la hipotenusa. 3. El baricentro esta a

2 de la longitud de la mediana, de distancia de cada vértice. 3

4. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180◦ 5. La medida de un ángulo externo en un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes.

1.3

Ejercicios

1. Las alturas trazadas a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes. 2. Todo punto sobre la bisectriz de un ángulo, equidista de los lados del ángulo 3. Si la mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es perpendicular a la hipotenusa, entonces el triángulo es isósceles. 4. Si 4 ABC es un triángulo equilátero y M, N, P son puntos sobre los lados AB, BC y AC, respectivamente, tales que AM = BN = CP, entonces 4 MNP es equilátero. 5. Calcular el valor de x

Febrero/2020

6. En la figura, si a + b = 120, calcular el valor de a

I Período 2020

7. En la figura, se tiene que BC ⊥ DE y AC ⊥ BE, entonces x − y =?

9. Calcular el valor de x

8. Calcular BC, si AB = 4 y FC = 2

10. Calcular el valor de x

11. Calcular el valor de x

2

Congruencia de triángulos

2.1

Criterios de congruencia

1. Criterio LAL: Si dos lados y el ángulo incluido de uno de los triángulos son respectivamente congruentes a los lados y el ángulo comprendido en el otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. 2. Criterio ALA: Si los ángulos y el lado comprendido entre ellos es uno de los triángulos son respectivamente congruentes a los ángulos y el lado comprendido en el otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. 3. Criterio LAA: Si dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos en uno de los triángulos son congruentes con sus correspondientes del otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. 4. Criterio LLL Si los lados de uno de los triángulos son congruentes con los lados correspondientes del otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. 5. Congruencia de triángulos rectángulos (a) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos respectivamente congruentes, los triángulos son congruentes. (b) Si dos triángulos rectángulos tienen un cateto y un ángulo agudo respectivamente congruentes, los triángulos son congruentes. (c) Si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos rectángulos son congruentes con la hipotenusa y el ángulo agudo del otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Febrero/2020

I Período 2020

(d) Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y el cateto correspondiente del otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. 6. (Teorema) En todo triángulo a ángulos congruente se oponen lados congruentes.

2.2

Ejercicios

1. En la figura, los triángulos 4 ABC y 4CQP son congruentes, calcular el valor de x

3. En un triangulo 4 ABC, P y Q son puntos de BC y AC, respectivamente. Si AP = QC, AB = PC y m^ BAP = m^ PCQ = 200 , calcule m^ APQ

3

2. En la figura, el triángulo 4 PQR es isósceles, la bisectriz de un ángulo en la base, ^Q interseca al lado opuesto en S. T es un punto en la base PQ tal que ST = PT. SV biseca al ^ PST. Demostrar que ^TSV ∼ = ^ RQS

4. En la figura, AB = CD y AD = EC, calcular el valor de x

Semejanza de triángulos

3.1

Criterios de semejanza

1. Criterio AA: Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente congruentes, entonces son semejantes. 2. Criterio LAL: Si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido congruente, entonces son semejantes. 3. Criterio LLL Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces son semejantes.

3.2

Teoremas

1. Toda recta paralela un lado de un triangulo y que corta los otros dos lados, determina sobre estos lados segmentos proporcionales. 2. Si tres o más paralelas cortan a dos transversales cualesquiera, los segmentos que determinan en una de ellas son proporcionales a sus correspondientes de la otra transversal. 3. en todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa determina dos triángulos rectángulos semejantes entre si y semejantes al triángulo original. 4. La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella.

Febrero/2020

I Período 2020

3.3

Ejercicios

1. En cada una de las figuras siguientes, calcule el valor de x, y, según sea el caso

(a)

(b)

(c) (d) 2. Complete la siguiente tabla de acuerdo a la figura dada

3. Si AB y CD se cortan en O, y AC k BD, demuestre que ( AO)(OD ) = (CO)(OB) 5. Demuestre que los triángulos 4 BCA y 4 BMN son semejantes. Calcular el área del cuadrilátero  AMNC

4

4. Se tiene que 4 ABC ∼ 4 DEF, con AM y DN medianas, AM BC demuestre que = DN EF 6. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 60 cm y uno de los catetos 12 cm. Halle la medida de la altura relativa a la hipotenusa y la distancia del pie de esta altura al punto medio de la hipotenusa. ¿Cuál es la medida de la mediana relativa al hipotenusa?

Cuadriláteros

4.1

Definiciones

1. Un cuadrilátero es un polígono convexo de cuatro lados.

4.2

Teoremas

1. Los segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas son congruentes.

Febrero/2020

I Período 2020

2. En todo paralelogramo cualquiera de las diagonales determina dos triángulos congruentes. 3. Todo paralelogramo tiene los lados opuestos paralelos y congruentes. 4. Todo paralelogramo tiene los ángulos opuesto paralelos. 5. En todo paralelogramo las diagonales se intersecan en sus puntos medios. 6. Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, el cuadrilátero es un paralelogramo. 7. Si un cuadrilátero las diagonales se intersecan en sus puntos medios, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 8. si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes, entonces es un paralelogramo. 9. Las diagonales de un rectángulo son congruentes. 10. si las diagonales de un paralelogramo son congruentes, el paralelogramo es un cuadrilátero. 11. Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si y bisectrices de los ángulos correspondiente. 12. Las diagonales de un cuadrado son congruentes, se bisecan, son perpendiculares y bisectrices. 13. En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos(mediana) es paralelo al base y su medida es la semisuma de las medidas de las bases.

4.3

Ejercicios

1. La figura está formada por un rectángulo  ABCD, un triángulo equilátero 4 ABE y un triángulo rectángulo isósceles, calcule la diferencia positiva entre los ^ FBE y ^ DAE

3. En el 4 MPK, el ^K es un ángulo recto y m^ P = 300 . Si KH ⊥ MP, HR ⊥ MK, RQ ⊥ MP y MP = 80, determinar el valor de MQ

Febrero/2020

2. Se dá un paralelogramo y una de sus diagonales. Demostrar que si se trazan segmentos desde los vértices opuestos perpendiculares a la diagonal, entonces dichos segmentos son paralelos y congruentes.

4. En el siguiente cuadrilátero, calcular el valor de x.

I Período 2020

6. Sobre la diagonal DB de un cuadrado √ABCD se marca un punto F, tal que m^ BCF = 150 , FC = 3 6.¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

5. En la figura, AB = BC = CD. Halle el valor de α

5

Polígonos

5.1

Propiedades generales de los polígonos regulares

1. La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es igual a Sα = 180◦ (n − 2) 2. La medida de un ángulo interno de un polígono regular de n lados es igual a m^ I = 3. El valor del ángulo central de un polígono regular de n lados es m^C = 4. El número de diagonales de un polígono regular es D =

5.2

6

180◦ (n − 2) n

180◦ n

n ( n − 3) 2

Ejercicios

1. En un polígono regular, el doble del número de diagonales es 5 veces el número de lados, calcular la medida de su ángulo interior.

2. Si la relación entre el ángulo interior y central de un polígono regular es 3 a 2, hallar el número de lados del polígono

3. Calcular el valor de x, si ABCDEF y APQF son polígonos regulares

4. En la figura, si ABCDEF es un hexágono regular de lado 4. Calcular la longitud de la mediana del trapecio AMNF, si BM = MC y DN = NE

Áreas

En las siguientes figuras calcular el valor del área sombreada

Febrero/2020

I Período 2020

1. En la figura, AB = 30cm

2. En la figura, AB = 8m

3. En la figura, Los puntos C y E son centros de las semicircunferencias, AC = AE = 2cm y AB ⊥ AF

4. En la figura, O es el centro de la circunferencia, 4COD es equilátero, E, F, H son puntos medios, CD = 12m

5. En la figura, AOB es un sector circular, m^ AOB = 600 , OA = 3m y M, N, P son puntos de tangencias

6. El polígono regular ABCDE tiene 25cm de perímetro. Sobre la diagonal AC se marca el punto F de modo que FC = CB y AF = FB. El triangulo 4 BFC tiene 13cm de perímetro y la apotema del pentágono mide 5cm

7. Sea el triángulo 4 ABC cuya área es 60m2 (a) Si se traza la mediana BM relativa al lado AC, calcule el área del triángulo 4 ABM

Febrero/2020

(b) Si se une el vértice B con el punto N sobre AC, de tal forma NC 1 que se cumple que = , calcule el área del triángulo AN 2 4 ABN

I Período 2020

8. Sabiendo que el galon de pintura alcanza para pintar 20m2 , determine cuantos galones se utilizaran para pintar la fachada de la casa de la figura, donde: Ventana(V ) : 3 × 1.2m, Puerta( P) : 1.2 × 1.8m, Puerta( P1) : 3 × 1.8m

Febrero/2020

9. Se muestra la vista en planta de una cancha de fútbol. Se desea conocer cuántos metros cuadrados de césped se tendrá que comprar y cuántos metros cuadrados de cemento se tendrá que colocar en los contornos

I Período 2020