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POLICÍA NACIONAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA “NUESTRA SEÑORA DE FÁTIMA” DE IBAGUÉ ALUMNO: CÓDIGO : GRADO: 10° A Y B ASIGNATURA : TRIGONOMETRÌA

FECHA :

UNIDAD 4: RAZONES TRIGONOMÈTRICAS

PERÍODO : 1

VALORACIÓN:

GUIA No.1 1. Determina las razones trigonométricas de un ángulo agudo A en posición normal, si el punto P=(x, y) está sobre el lado terminal del mismo. a. P = (2, 4) b. P = (5, 4) c. P = (1, -6) d. P = (-3, 4) e. P = (2, -3) f. P = (-6, -8) 2. Exprese en radianes las siguientes medidas angulares: a.310° b.4/15 de vuelta c. 560° d. 3/5 de vuelta e. -300° h. 2/9 de vuelta i. 7/ 3 de vuelta j. 12/ 25 de vuelta k. -135° 3. Exprese en grados las siguientes medidas angulares a. 19 π . rad b. 28 π . rad c. - 23 π rad d. 2 π rad 12 3 6 3 g. 7π rad h. 25 . de vuelta i. 12 de vuelta 10 6 15 3. Calcular el valor de “a” en cada figura A.

B. a

e. 13/5 de vuelta

g. -1575°

f. 3/10 de vuelta

√ 11

7/2u C.

1u

f. 3383°

32,5°

D.

u a

76°

a

39° 56

a

1,6 u 4. Resuelve los triángulos a. d. β X β 12 u

b.



36° 

X

Y

4,5 u X β

c. 48° 12,5 u

Y 2X  Y

X 5. SOLUCIONAR LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, TENIENDO EN CUENTA LOS SIGUIENTES DATOS: a) ángulo 62°, cateto opuesto 240 cm. B) cateto 6 cm, 8 cm. c) ángulo 40°30’, cateto adyacente 30 cm. D) cateto 8 cm, hipotenusa 12 cm e) ángulo 62° 35’, hipotenusa 4 cm. F) ángulo 30°, hipotenusa 6,8 cm. 6. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS Y CONTESTA LA(S) PREGUNTA(S): A) Desde la azotea de un edificio de 95 metros de altura, se observa un automóvil con un ángulo de depresión de 29°. ¿Cuál es la distancia del automóvil a la base del edificio, medida horizontalmente? B) ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta un edificio de 120 m de altura, cuando el Sol presenta un ángulo de elevación de 38° desde la azotea del edificio? C) Un avión vuela sobre un observador a 450km/ h. Un minuto después para ver el avión, debe mirar con un ángulo de elevación de 26°. ¿A qué altura viaja el avión? D) Un buque navega 45 km al norte y 45 km al oeste. ¿Cuál es el rumbo que debe tomar al buque para regresar al punto de partida? E) Un barco recorre 15 mi con rumbo S56°E; luego recorre 31 mi al S34°O. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida? Si desea regresar, ¿en que dirección debe ir? F) Una avioneta vuela a 250 km/h hacia el suroeste, en una dirección que forma un ángulo de 37° con la dirección este. El viento está soplando a 45km/h en la dirección sureste, formando un ángulo de 53° con la dirección norte. -¿Cuál es la velocidad real (con respecto a la tierra de la avioneta?. -¿Cuál es la medida del ángulo entre la ruta real de la avioneta y la dirección este?

Esp. Yaneth Posso Castro

Pág. 02 (GUIA 1-10° 2015) G) El ángulo de elevación de la azotea de un edificio es de 53° desde un punto P. Desde ese mismo punto, el ángulo de elevación hasta el tope de una antena sobre el edificio es de 60°. La distancia desde el punto P hasta el tope de la antena es de 60m. - ¿Cuánto mide la antena, en metros? - ¿Cuánto mide el edificio, en metros? -¿Cuál es la distancia entre P y la base del edificio? H) Desde la azotea de un edificio de 10 m de altura, una cámara de vigilancia enfoca una persona. El ángulo de depresión de la cámara es de 25°. Determina a qué distancia de la base del edificio está la persona observada. I) Una torre del servicio de guardacostas está a 120m sobre el nivel del mar. Desde la torre, el ángulo de depresión de un barco en el mar mide 15°. ¿Qué tan lejos está el barco de la base de la torre? J) La cuerda de una cometa mide 40m, se mantiene tensa y se encuentra atada al piso por uno de los extremos formando un ángulo de elevación de 37°. Calcula la altura a que se encuentra la cometa. K) Un avión está volando a una altura de 10 km. El ángulo de elevación desde un radar en la tierra hacia el avión mide 30°. ¿Cuál es la distancia de separación entre el avión y el radar? L) Para medir la altura de una capa de nubes, una estudiante de meteorología dirige la luz de un fara verticalmente hacia arriba desde el suelo. Desde un punto P situado a 1000 m del faro, se mide el ángulo de elevación de la imagen de la luz en las nubes, siendo éste de 60°. Calcula la altura de la clapa de nubes. -M) Una embarcación que se dirige hacia un islote, observa el extremo superior de un faro de 20 m de alto con un ángulo de elevación de 18°20’; tiempo después de navegar en la dirección del faro, lo observa con un ángulo de elevación de 35°40’. ¿Qué distancia recorrió la embarcación en este intervalo? -N) Desde un embarcación se ve un faro con un ángulo de elevación de 10°15’ y un avión situado justamente encima del faro con un ángulo de 70°25’; si el faro tiene una altura de 20m, calcular a qué altura se encuentra el avión sobre el nivel del mar. Ñ)- Calcular el radio de la circunferencia del paralelo 42° de la Tierra. - Calcular la distancia a la Luna si desde un extremo de la Tierra se observa su centro con un ángulo de 5’ 3’’ respecto a la observación hecha cuando la Luna se encontraba exactamente encima. O) Para alcanzar la cima de un muro de 6 m de altura se utiliza una escalera de 10m. Si la escalera se extiende 2 m más allá del muro, determina la inclinación respecto a la horizontal. P) Desde un faro situado a 70 m sobre el nivel del mar se observa un bote en un ángulo de depresión de 20°30’, ¿a qué distancia está el bote del punto situado a nivel del agua y directamente bajo el punto de observación? Q) Una bandera cuya asta mide 6 m está situada sobre una columna. Desde cierto punto, el extremo superior de la bandera se ve con un ángulo de elevación de 20° y el extremo inferior se observa con un ángulo de 12°30’; calcula la altura de la columna y la distancia al punto de observación. R) Una estatua de 5,5 m de alta está colocada sobre un pedestal. Si desde un punto situado a 25 m se observa el extremo superior de la estatua con un ángulo de 27°40’. ¿Cuál es la altura del pedestal? RR) Paula y Andrés están separados de una torre-antena para televisión. Paula y Andrés están separados 30m entresi, observando la punta de la antena; el ángulo de elevación para Andrés es de 32°, mientras que para Paula es de 20°. Hallar la altura aproximada de la torre de televisión. S) Un barquero que navega con una velocidad de 4m/ seg, desea atravesar un río, cuyas aguas llevan una velocidad de 2,5m/ seg. ¿En qué dirección debe navegar para llegar justamente a un punto situado al frente en la orilla opuesta?

T) Desde un punto situado a una distancia de 100m LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA ES AQUELLA QUE TIENE COMO CENTRO EL ORIGEN DEL PLANO CARTESIANO Y DE RADIO LA UNIDAD. SI LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA CONTIENE EL PUNTO P(X, Y). AL APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS SE OBTIENE QUE PARA TODO PUNTO P(X, Y) SE CUMPLE QUE “X2 + Y2 = 1”

17) RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: GRAFICAR EL TRIÁNGULO Y APLICAR LOS TEOREMAS O POSTULADOS EN EL PROCESO DE SOLUCIÓN. a) Resolver

ABC, en el cual

∡ A = 55°,

b) Resolver el triángulo DEF, en el cual

∡ B =55° y a = 4,5 cm.

∡ D = 60°, d = 5 cm y e =X cm. Esp. Yaneth Posso Castro Pág. 03 (GUIA 1-10° 2015)

c) Determinar la medida de

∡ B y lado c;

ABC, rectángulo en C, en el cual

∡ A Y C, para

ABC, rectángulo en C, en el cual

∡ A=

30°, a = 10 cm y b= 15 cm. d) Determinar la medida de

∡ B=

33°, a = 12 cm y b = 5cm. e) sea

MPQ, rectángulo en P, con

f) Determinar la medida del lado b para

∡ M = 60°,m = 17,2 cm y q = 12,2 cm ABC, en el cual

∡

B = 130°, a = 14 cm y c

= 14 cm. g) Obtener el valor de

∡ F y ∡ D , lado e

DEF, rectángulo en E, en el cual, d= 14 cm,

F = 14 cm . 12) Extraer los datos de un dibujo. Resolver cada triángulo: Determinar la medida de los ángulos y lados de cada triángulo. A Q a) C b) 10,5 c) d) H 14 15 C 35° 10 B A 11 B 40° 73° 28° 16 M 8 P F 42 G L T C e) 18° f) 12,7 g) F h) 12 122° K 4,5 47° 13 21,5 J R S 52° 39°20’ 8 D E A 13 B 13. Resolver los siguientes problemas y contestar la(s) pregunta(s) a) Un poste se encuentra inclinado 10° en dirección opuesta al Sol, cuando el ángulo de elevación del Sol es de 50° y arroja una sombra de 6,3m de largo sobre el nivel del piso. Calcula la longitud del poste. B) Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son 30° y 40°, respectivamente. Los puntos A y B están a 275 km entre sí y el globo se encuentra entre ambos puntos, con el mismo plano vertical. Calcula la altura h del globo sobre el suelo. C) una molécula de agua consiste de dos átomos de hidrógeno y un átomo de oxígeno, unidos con enlaces. La distancia del núcleo de cada átomo de hidrógeno al núcleo del átomo de oxígeno es 9,58 x 10’9 cm y el ángulo que los une es 104,8°. ¿Qué distancia separa los núcleos de los átomos de hidrógeno? ch) Dos barcos viajan en línea recta y en diferente dirección uno a 35km/h y el otro a 50 km/. Dos horas después se encuentran separados el uno del otro 60 km. Calcula el ángulo que los separa en dicho momento.

d) Un teleférico transporta pasajeros desde el punto A, que está a 2100 m de la base de la montaña, hasta la cima de la montaña C. Los ángulos de elevación de A y B hasta C son 30° y 48° respectivamente. e) El piloto de un helicóptero de reconocimiento que vuela sobre el mar a una altura de 2.500 metros, divisa dos embarcaciones que se encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión 62°24’ y 37°18’, respectivamente. Calcular la distancia que separa una embarcación de la otra. f) Un submarino utiliza un sonar para determinar que un barco está a 4 millas al este y que viaja a 10 mi/h con dirección noroeste 62°. Si el submarino viaja a 18 mi/ h, ¿en qué dirección debe desplazarse para interceptar al barco y en qué tiempo lo interceptará? (mi = millas)

g) En un automóvil, la manivela del cigüeñal tiene 7,62 cm de longitud y la biela tiene 22,86 cm. Cuando el ángulo OPA es de 15°, ¿qué tan lejos está el pistón P del centro O del cigüeñal? A 22,86 cm de una montaña desde 7,62 cm 15° P Desplazándose 304,6 m

h) El ángulo de elevación de la cima un punto sobre la tierra es de 42°. Más del punto anterior, el ángulo

de elevación es de 31°. O Calcular la altura de la montaña. h) Dos balsas, A y C, se mueven en línea recta desde el punto B, de tal manera que la recta sobre la que se mueve la balsa C forma un ángulo de 47° con la recta sobre la que se mueve la balsa A, cuya velocidad es el doble de la balsa C. Determinar la distancia que las separa cuando la balsa C ha recorrido 1,5 km. i) Dos de los lados de un triángulo miden 400m y 600m respectivamente, si el ángulo entre ellos mide 46,3°, hallar el área y el perímetro del triángulo. j) La longitud total de un bus articulado es de aproximadamente 18 metros, si la parte de mayor longitud mide 10 metros. Calcular la distancia desde el parachoques delantero hasta el trasero cuando el bus da una curva en la cual las dos partes forman un ángulo de 130°. k) Una embarcación sale de puerto Sol, hacia Platino que está a 300 millas de distancia. Lleva una velocidad constante de 20 mi / h , pero debido a una corriente después de 3 horas la embarcación está fuera de curso por 20°. ¿A qué distancia se encuentra la embarcación de puerto Platino? Esp. Yaneth Posso Castro Pág. 04 (GUIA 1-10° 2015) l) Un avión vuela de la ciudad M a la ciudad W, a una distancia de 400 km, y después vira con un ángulo de 50° y se dirige a una ciudad Z, a una distancia de 200 km. ¿A qué distancia se encuentra la ciudad M de la ciudad Z? ll) Una avioneta se dispone a combatir un incendio forestal. Cuando el piloto vacía las reservas de agua sobre el incendio, 5400 litros de agua caen sobre el suelo, a razón de un litro por metro cuadrado. La siguiente figura representa la si37° 65° tuación 85m m) Un barco que se encuentra en el punto C, es observado desde dos faros ubicados en A y B respectivamente. Desde el faro A se observa el barco con un ángulo de depresión de 20°, y a una distancia de 2,8 km se encuentra el faro B, desde el cual se observa el mismo barco con un ángulo de depresión de 50° ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro A? n) Dos aviones parten al mismo tiempo y vuelan en direcciones que forman un ángulo de 123°, si los aeroplanos mantienen velocidades de 185 mi/h y 170 mi/h, respectivamente, ¿a qué distancia estarán a las 2 h? ñ) Un asta de bandera que está colocada sobe la parte superior de un edificio tiene 7 metros de altura. Desde un punto que está en el mismo plano horizontal que la base del edificio, los ángulos de elevación de la parte superior del asta de la bandera y de la parte inferior de la misma son respectivamente 61° y 56°. Halla la altura del edificio.

o)Un dibujante trabaja, en una escala en la cual 25 metros equivalen a 1 centímetros, el plano de un colegio que tiene un parque triangular cuyos lados miden 75 m, 85 m y 100 m respectivamente. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos y de los lados del triángulo que en el plano representa el parque? p) Una calle tiene una inclinación de 6,6°. Sobre dicha calle hay un poste de 12m de altura. ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta el poste cuando el ángulo de elevación del Sol es de 37,2°. q) Se desea abastecer de agua una pequeña casa de campo aprovechando la presencia de un arroyo que se encuentra cerca de ella. El camino que va de la casa al arroyo mide 220m . Se estima que el ángulo formado entre el camino y El arroyo mide 135°. ¿Cuál es la longitud del tubo que se 175 m necesita para comunicar el punto A del arroyo con la casa?

r) Un barco navega 400 km entre las ciudades A y B, con rumbo N56°O. Desde la ciudad B se dirige a otra ciudad C con rumbo N30°E distante 250 km. Calcula la distancia entre las ciudades A y C y el rumbo que debe tomar si el regreso lo hace directo entre las dos ciudades .

rr) Dos fuerzas actúan sobre un objeto, la magnitud de una fuerza es de 35 N y la otra es de 50 N. Si el ángulo entre las dos fuerzas mide 32,15°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza resultante? s) Una topógrafa requiere determinar la distancia a través de un pantano. Desde un punto C fuera del pantano, la topógrafa localiza un punto B en un lado del pantano. La distancia de B a C mide 1235 m. Después localiza un punto A que está directamente a través del pantano desde B. La distancia del punto A al punto C es de 962 m y el ángulo BAC mide 52,57°. ¿Cuál es la distancia del segmento A B? s) Una colina forma un ángulo de 12,37° con la horizontal. Una antena de 75 pies de altura se instala en la cima de la colina y un tensor debe tenderse desde la parte superior de la antena, hasta un punto sobre la colina a 40 pies de la base de la antena. ¿Cuál será la longitud del tensor? t) Un avión despega del aeropuerto A con una dirección de 313°. Varios minutos después el avión es detectado desde el aeropuerto B a una dirección de 27°. El aeropuerto B está hacia el oeste del aeropuerto A y la distancia entre ambos aeropuertos es de 37 millas. ¿Qué distancia recorrió el avión? U) Una torre de energía en una ladera proyecta una sombra de 31 m. Halla la altura de la torre si, respecto a la horizontal, la colina tiene una pendiente de π/12 rad y el ángulo de elevación del Sol es de π/3 rad.

Esp. Yaneth Posso Castro