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1 Angel F. Arvelo [email protected] Problemas difíciles de Probabilidad

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son : Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES, Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”.

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GUIA DE PROBLEMAS DIFICILES DE PROBABILIDAD Por : Angel Francisco Arvelo Luján Sin lugar a dudas, el cálculo de probabilidades es uno de los temas más ricos e inagotables dentro de la Estadística Matemática. A pesar de que tengo más de 40 años enseñando esta asignatura, con frecuencia me encuentro con algún problema que por su originalidad y singular estilo de enfrentarlo , no deja de sorprenderme por lo novedoso de su planteamiento, o por lo inesperado del resultado. Algunos de estos ejercicios los he encontrado en una extensa bibliografía que poseo sobre el tema y que hoy me resulta difícil de precisar por el largo tiempo transcurrido ,otros son de mi propia cosecha, y otros me lo han traído alumnos que después de varias noches de insomnio tratando de resolverlos, me han solicitado colaboración para encontrar la solución. No quisiera que esta colección de problemas (50 aquí, aunque poseo muchos mas), algunos de ellos inéditos, se pierda con el inclemente paso del tiempo, y ese es la única razón que me ha motivado a reunirlos en esta guía. No están ordenados por orden de dificultad, y quizás en un futuro, disponga también del tiempo suficiente para publicar todas las soluciones. He aquí la colección de 50 problemas, con algunas de sus soluciones explicadas de forma detallada. 1º) Una apuesta con dados muy popular en los casinos de Las Vegas es el 7 u 11, que obedece a las siguientes reglas: El apostador lanza un par de dados, y si en ese primer lanzamiento obtiene suma 7 u 11 gana la apuesta, y si obtiene suma 2, 3 ó 12 la pierde. En caso de obtener una suma distinta a las anteriores, el apostador debe continuar lanzando indefinidamente el par de dados, hasta obtener la misma suma que obtuvo en el primer lanzamiento, en cuyo caso gana la apuesta ; o hasta que obtenga suma 7 en cuyo caso la pierde. Calcule la probabilidad que tiene el apostador de ganar la apuesta. Solución: 0,4929 2o) Una colección está formada por 5 fotos de conocidos artistas, y quien la complete ganará un premio. Estas fotos vienen en unas cajas de jabón detergente. Cada caja viene con dos fotos diferentes, y todas las combinaciones posibles de fotos se suponen igualmente probables en cada caja. Si una persona compra 3 cajas de jabón detergente, ¿cuál es la probabilidad de que se gane el premio? Solución: 0,18

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3) Se tienen 3 cajas que contienen cada una, “n” fichas distintas numeradas del 1 al n. Si se selecciona al azar una ficha de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que su suma resulte igual a 2n? Solución: (n+4) (n-1) / 2 n3 4) Un grupo de “m + n” personas se alinean aleatoriamente frente a la taquilla de un teatro, para comprar una entrada cuyo precio es de Bs. 50; “m” de ellas poseen un billete de Bs 50, mientras que “n” poseen un billete de Bs 100. ( m ≥ n) Al abrir la taquilla, el cajero no tiene cambio alguno. ¿Cuál es la probabilidad de que estas personas se alineen de tal forma que el cajero siempre tenga cambio? Solución: (m-n+1) / (m+1) 5) Se reparten aleatoriamente 6 monedas entre 3 personas, de forma que cada persona tenga idéntica probabilidad (1/ 3) de recibir cada una de las monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que cada una de estas personas reciba al menos una moneda? Solución: 20/ 27 6) Un hombre se encuentra en una esquina cualquiera de una ciudad perfectamente cuadriculada, y empieza a caminar en un orden aleatorio. Cada vez que llega a una esquina, escoge al azar una de las direcciones norte, sur, este u oeste con igual probabilidad. Si camina cuatro cuadras, ¿cuál es la probabilidad de que termine su caminata en la misma esquina de donde partió? Solución: 9 / 64 7) En un estante hay 10 pares de zapatos de diferente color y modelo. Si se seleccionan al azar 4 zapatos, ¿cuál es la probabilidad de formar al menos un par? Solución: 0,3065 8) Se selecciona al azar un número del 1 al 100.000 ambos inclusive. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea múltiplo de 2, ni de 3, ni de 15? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 2, de 3, o de 7 ? Solución: a) 0,33333 b) 0,71429 9) Un circuito posee cinco interruptores colocados en la forma como se señala en la figura.

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Cada interruptor puede estar en dos posiciones, abierto (no permitir el paso de corriente) o cerrado (permitir el paso de corriente), y la posición de cada uno es independiente de la de los demás. Si cada interruptor tiene una probabilidad “p” de estar cerrado, ¿Cuál es la probabilidad de que pase corriente desde A hacia B? Solución: 2 p2 + 2 p3 -5 p4 + 2 p5 10) Dos personas "A" y "B", juegan una secuencia de juegos independientes, en donde "A" tiene una probabilidad constante "p" de ganar cada juego, y "B" una probabilidad también constante de "q"=1-p, de ganar cada juego. "A" gana un premio, si logra ganar "m" juegos antes de que "B" gane "n" juegos; caso contrario, "B" gana el premio. a) Obtenga una expresión para la probabilidad de que "A" gane el premio. b) En el caso particular m=4 , n=2 , p=2/3 ,determine: b.1) Probabilidad de que "A" gane el premio. b.2) Si "A" ganó el premio, ¿cuál es la probabilidad de que "B" haya ganado algún juego? i n 1

 m  1 i  i (1  p)  m 1 

Solución: a) pm   i0

b.1 ) 112 / 243 b.2) 4 / 7

11) A un apostador le dan dos cartas al azar de un mazo que contiene “n” cartas numeradas del 1 al n (n ≥ 3); y posteriormente le dan una tercera carta al azar, entre las “n-2 “ restantes. Si el número de esta tercera carta está comprendido entre los números de las dos primeras, gana la apuesta. Calcule la probabilidad de ganar la apuesta. Solución : La probabilidad es 1/3 para cualquier valor de “n” 12) "n" personas lanzan cada uno, una moneda bien balanceada. En caso de que uno de los participantes obtenga un resultado distinto al de todos los demás, gana un premio; y en caso de que esto no ocurra, se procede a una segunda vuelta, en donde cada jugador lanza la moneda por segunda vez, y así sucesivamente, hasta que alguien gane el premio. a) ¿Cual es la probabilidad de que se necesiten exactamente "k" vueltas, para entregar el premio ?. b) ¿Cual es la probabilidad de que se necesiten por lo menos "k" vueltas, para entregar el premio? Solución; a) n 2(1-n) [1 – n 2(1-n)] (k-1) b) [1 – n 2(1-n)] (k-1)

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13) Una persona tiene “n” billetes de distinta denominación. Cada billete lo rompe en dos mitades, y luego aparea al azar de dos en dos, las 2n mitades resultantes. ¿Cuál es la probabilidad de que los n billetes queden todos perfectamente apareados ? . Solución: 2n n! / (2n)! 14) En un depósito de combustible hay cinco tanques en línea recta, tal como se indica en la figura: 1 2 3 4 5 Se hacen dos disparos independientes sobre los tanques. La probabilidad de cada uno de los disparos haga impacto sobre cada tanque es 1 , 102 , 103 , 102 y 101 respectivamente, y la de que falle 101 . 10 El depósito se incendia, sólo si los dos disparos dan sobre un mismo tanque, o sobre dos tanques vecinos. a) Calcule la probabilidad de que el depósito se incendie. b) Si se produjo el incendio, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los disparos haya impactado en el tanque N o 3? c) Si no se produjo el incendio, ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de los disparos haya fallado? Solución: a) 0,51 b) 11/17 c) 19 / 49 15º) El valor de los coeficientes a, b y c de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c = 0, se decide mediante tres lanzamientos de un dado. El número obtenido en el primer tiro se le asigna “a”, el del segundo a “b” y el del tercero a “c”. ¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación resulte con raíces reales? Solución: 23 / 108 16º) Sobre una circunferencia se seleccionan tres puntos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que estos tres puntos queden sobre una misma semicircunferencia? Solución: 3 / 4 17º) Se lanza un dado hasta que hayan salido todas las seis caras posibles. ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario lanzarlo más de 8 veces? Solución: 0,8860 18º) En un campeonato de futbol intervienen 2 n equipos, entre los cuales se destacan los equipos “A” y “B” . El campeonato se desarrolla en “n” vueltas. En cada vuelta se hace un sorteo aleatorio, y a cada equipo le toca en suerte jugar contra uno cualquiera de los contrarios. El ganador clasifica para la siguiente vuelta mientras que el perdedor queda eliminado. Suponiendo que todos los equipos tienen igual habilidad para jugar futbol y que por lo tanto la probabilidad de que cualquiera gane un partido es ½, y que además

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el resultado de cada juego es independiente de los demás, calcule la probabilidad de que uno de los juegos del campeonato sea A vs. B. Solución : (1/2)n-1 19º) En el festival de cine de Caracas se están exhibiendo tres importantes películas: A , B y C. Una encuesta tomada entre los espectadores reveló la siguiente información:  El 66 % no ha visto A.  El 7% no ha visto ninguna de las tres  El 36% ha visto sólo B  El 10% ha visto sólo A  1/3 de los que han visto C, también ha visto A pero no B.  8% han visto B y C pero no A  12% han visto A y B. Si se selecciona un espectador al azar, encuentre las siguientes probabilidades: a) Que sólo le falte por ver una de las tres películas b) Que no haya visto “C” dado que vio “B”. Solución: a) 0,31 b) 47 / 56 20º) Un jugador de Tenis tiene una caja con 5 pelotas: 3 nuevas y 2 usadas, y selecciona al azar dos de ellas para jugar una primera partida, al final de la cual las devuelve a la caja. Posteriormente selecciona al azar dos pelotas de la caja para jugar una segunda partida. a) ¿Cual es la probabilidad de seleccionar alguna pelota nueva en la segunda partida? b) Si la segunda partida la jugó con dos pelotas usadas. ¿Cuál es la probabilidad de haber jugado la primera partida con alguna pelota nueva? Solución: a) 0,63 b) 36 / 37 21º) Se tienen “n” cartas dirigidas a “n” personas diferentes, y se tienen “n” sobres con sus respectivas direcciones. Una secretaria distraída comienza a colocar aleatoriamente cada carta dentro de un sobre, sin fijarse si este es el que le corresponde. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de las personas reciba la carta que realmente le corresponde? ( 1)i1  1-e-1 = 0,6321 i! i 1

in

Solución:



22º) Sobre un segmento recto se eligen al azar dos puntos cualesquiera que lo dividen en tres nuevos segmentos. ¿Cuál es la probabilidad de que con ellos se pueda formar un triángulo? Solución: 1 / 4 23º) Entre los 1200 estudiantes de Estudios Internacionales de una Universidad, se hizo un estudio para medir su nivel de conocimiento en los idiomas Inglés y Francés,

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clasificándolo en Bueno si podían hablar y escribir en el idioma, Regular si sólo tenían un conocimiento instrumental, o Malo si no lo dominaban. Este estudio arrojó las siguientes cifras  400 hablan bien Inglés.  300 hablan bien francés  40 hablan bien ambos idiomas  100 hablan mal los dos idiomas  200 hablan regular ambos idiomas  250 hablan bien inglés y mal francés.  60 hablan regular francés y mal inglés  El 40% de los hablan bien inglés habla regular francés Si se selecciona un estudiante al azar, calcule las siguientes probabilidades: a) Que no hable bien ninguno de los dos idiomas b) Que hable mal ingles dado que habla regular francés c) Que hable bien inglés dado que habla regular un idioma y bien el otro d) Que hable regular alguno dado que no habla bien ninguno Solución: a) 9/20 b) 6 / 37 c) 11 / 23 d) 22 / 27 24º) Tres familias de turistas, una de cuatro personas y dos de tres personas, son sometidas a una inspección sanitaria al ingresar a un país. Al concluir la inspección, el médico anuncia que entre las 10 personas hay 4 que están infectados. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un miembro de cada una de las tres familias esté infectado? Solución: 3 / 5 25º) Una caja contiene “m” pelotas blancas y “n” negras. Se seleccionan al azar “k” pelotas de la caja y se sacan ( k  m , k  n). A continuación se selecciona una pelota al azar entre las “m +n- k “restantes. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última pelota sea blanca” Solución: La probabilidad es la misma que al comienzo: m / (m + n) 26º) Un avión tiene en su clase económica 250 asientos, distribuidos en 25 filas de diez asientos cada una. Cada fila está identificada con las letras del abecedario, y tiene tres asientos del lado izquierdo del avión, tres del lado derecho, y cuatro centrales. Existen además dos pasillos de circulación, uno izquierdo y otro derecho, que separan a los asientos centrales de los asientos izquierdos y derechos respectivamente. Una pareja de recién casados va a abordar un vuelo en ese avión, y le asignan aleatoriamente dos asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que queden juntos? Solución: 7/1245 27º) Un casino ofrece la siguiente apuesta a sus visitantes: El apostador selecciona con reemplazo cuatro pelotas de una caja que contiene diez pelotas diferentes numeradas del 1 al 10.

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Una vez devueltas las cuatro pelotas seleccionadas, y con las diez pelotas dentro de la caja, el apostador vuelve a seleccionar, ahora sin reemplazo, cuatro pelotas de la misma caja. Si en esta segunda extracción, el apostador reproduce los mismos números que seleccionó en la primera extracción gana un primer premio millonario; si logra reproducir tres de los cuatro primeros números, gana un segundo premio, y si logra reproducir dos, gana un tercer premio. Halle la probabilidad que tiene el apostador de ganar cada uno de estos premios. Aclaratoria: Observe que si en la primera extracción, el apostador saca algún numero repetido, queda sin opción para ganar el primer premio.

Solución: 0,0024 , 0,0714 y 0,3510 respectivamente 28º) Un grupo de “k” amigos van a cenar, y para decidir quién de ellos paga la cuenta, utilizan el siguiente procedimiento: A cada uno se le asigna un numero entero diferente de 1 a k, y a continuación se comienza a lanzar una moneda (no necesariamente balanceada con probabilidad p de salir cara y (1-p) de salir sello). Si salen (k-1) caras y 1 sello, ó (k-1) sellos y 1 cara, entonces quien tenga el número correspondiente al lanzamiento en que ocurrió el resultado desigual paga la cuenta. De no ocurrir esto, se continúan realizando nuevos intentos, hasta que se produzca una decisión. a) ¿Qué probabilidad tiene cada uno de ellos de pagar la cuenta? b) Cuando k ≥5, es posible que se deba interrumpir la secuencia de lanzamientos de la moneda, porque ya se sabe que no va a haber decisión, debido a que ya han aparecido dos caras y dos sellos. Suponga que en ese caso se comienza una nueva secuencia de “k” lanzamientos, y que se define la siguiente variable aleatoria: X = Número de lanzamientos de la moneda Encuentre la función de probabilidad de la variable X. Solución: a) 1/k  x  1 px 2 1  p 2   x  11  p x 2 p2 ; Si x  4,5, .,k  1  f(x)=  k 2 k 2 2 k k 2 k 1 k 1  p  1  p   k  1 p 1  p   k  11  p  p +kp(1-p) +kp (1-p); Si x = k

29º) Se lanza K veces una moneda balanceada; la primera vez que aparece una cara se introduce una pelota blanca en una urna y , a partir de entonces, se introduce una pelota blanca por cada cara y una pelota negra por cada sello. a) Calcular el número esperado de pelotas de cada color que contendrá la urna después de los k lanzamientos de la moneda b) Después de los k lanzamientos de la moneda, si es posible, se extrae una pelota de la urna. Determinar la probabilidad de que sea negra. Solución: a) Blancas: k/2, Negras: k/2 – 1 + (1/2)k si k≥2, ó 0 si k=1

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1 1 x k 1 1  k   x 1 2 2 (k  x  1) x 1 2 b) si k≥2 y kЄ 1 1 k 2

; ó 0 si k=1

30º) Un autobús llega a una parada en un instante aleatorio entre las 2 pm y las 3 pm, y al llegar espera durante 5 minutos por los pasajeros. Un pasajero decide ir a la parada en un instante aleatorio entre las 2.00 pm y las 2.45 pm, y no está dispuesto a esperar más de 15 minutos por el autobús. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el pasajero logre abordar el autobús? b) Si el pasajero perdió el autobús, ¿cuál es la probabilidad de que éste haya pasado después que él se fue? Solución: a) 71/216 b) 81/145 31º) Para un acto de graduación existen 300 graduandos, y cada uno de ellos sólo puede invitar a sus padres, y a su conyugue en caso de que esté casado. En el caso de los padres, se estima que la probabilidad de que asistan los dos es de 2/5, de que asista sólo uno de ellos es también de 2/5, y de que no asista ninguno de los dos 1/5, mientras que la probabilidad de que asista el conyugue es de 4/5. Se estima que sólo 1/3 de los graduandos está casado. ¿Cuántos asientos habrá que colocar en el salón donde se efectuará la graduación, para que todos los asistentes encuentren asiento con una probabilidad de 0,95 por lo menos? Solución: 459 asientos 32º) En una elección, el candidato “A” obtuvo “n” votos, mientras que el candidato “B” obtuvo “m” votos (n > m). A la hora de hacer el escrutinio se revuelven bien los votos dentro de la urna, y luego se van contando uno a uno. ¿Cuál es la probabilidad de que en algún momento durante el conteo, se produzca un empate entre los votos obtenidos por cada candidato? 2m Solución: mn 33º) Una moneda cilíndrica tiene un radio “r” y una altura “h” (en este caso, su espesor). Al lanzarla al azar sobre una superficie plana y pulida, hay tres resultados posibles, que caiga sobre una de sus dos caras, o que caiga sobre su superficie lateral y salga rodando. ¿Cuál es la probabilidad de este último resultado? 2 arctg ( h / 2r) Solución:  34º) Un examen contiene 99 preguntas ordenadas desde la más fácil hasta la más difícil; de manera que la probabilidad de que un estudiante conteste correctamente la primera pregunta es 0,99, la de que conteste correctamente la segunda pregunta es 0,98, y en general, la probabilidad de que conteste correctamente la i-ésima pregunta es (1- i/100). El estudiante responde de manera independiente todas las

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preguntas, y para aprobar el examen debe contestar por lo menos 60 preguntas correctamente. ¿Cuál es su probabilidad de aprobar? Solución: 0,00714

35º) En una oficina cuyo horario de trabajo es de 8.00 a.m hasta las 4:00 p.m trabajan dos personas. Sin embargo estas personas no son puntuales y suelen llegar cada una con un cierto retraso. El tiempo de retraso de cada una son variables independientes con distribución uniforme en el intervalo 0; 20  minutos. El primero que llega enciende las luces, las cuales permanecen encendidas durante toda la jornada de trabajo, y el último en abandonar la oficina las apaga. Estas personas tampoco son estrictas en su horario de salida, y suelen adelantarla cada una, según una distribución uniforme en el intervalo 0; 15  minutos. El costo por consumo de energía de se estima en Bs. 5 por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un día el consumo de energía sea superior a Bs. 39 ? b) ¿Cuál es el valor esperado del costo diario por consumo de energía? Solución: a) 281/625 , b) 1405/36 = Bs. 39.028 diarios 36º) Una máquina produce piezas cuyo diámetro sigue una Distribución Normal con una desviación estándar de 0,03 mm, y una media “” cuyo valor depende de ciertas calibraciones técnicas que se le hagan. Se ha recibido un pedido para producir unas piezas cuyo diámetro debe cumplir con la especificación (10,00  0,05) mm; y el Ingeniero de Producción estima que el costo de producir cada una de estas piezas es de Bs. 40, y si la misma cae dentro de la especificación, puede ser vendida en Bs. 100. Sin embargo, en caso de que la pieza resulte defectuosa por tener un diámetro inferior a 9,95 mm, se pierde su costo de producción porque no puede ser corregida ni tampoco vendida; mientras que si resulta defectuosa por tener un diámetro superior a 10,05 mm, puede ser corregida y llevada a los límites de especificación. El costo de esta corrección se estima en Bs. 25. Determine el valor de “” en que el Ingeniero de Producción debe calibrar la media, para maximizar la ganancia esperada. (0.03)2 ln 4 = 10,0125 Solución: = 10  0,10 37º) Una persona acude semanalmente a un abasto para realizar sus compras. El número de bolsas que lleva, X, así como el peso total en kilos de las mismas, Y, son variables aleatorias. Se sabe que el número de bolsas está distribuido uniformemente en el conjunto {1, 2, 3}, mientras que el peso total de las mismas es una variable continua con función de densidad condicional:

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 3y 2 si 2x < y L  Y > L / 2 2. X + ( L -.Y) > Y – X  L > 2Y – 2X  Y –X < L / 2 3. ( Y-X) + (L-Y) > X  L > 2X  X < L / 2 En el espacio muestral, estas tres condiciones se cumplen en la región que se señala en la siguiente figura

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El otro caso a considerar es cuando X > Y, que da como zona favorable la simétrica a la anterior, y por tanto la zona donde se puede formar el triángulo corresponde a toda el área sombreada de la figura siguiente:

Por tratarse de una distribución uniforme bidimensional, la probabilidad de poder formar el triángulo es el área favorable entre el área total, y de allí se obtiene que la probabilidad solicitada es:

1 L L   2 1 2 2 2  4 L2

27º) En la primera etapa, el apostador selecciona 4 números con reemplazo del 1 al 10; y puede ocurrir sólo uno de los siguientes cinco eventos excluyentes: A1: Selecciona 4 números distintos A2: Selecciona 3 números distintos y uno repetido A3: Selecciona 2 pares de números distintos entre sí. A4: Selecciona 3 veces el mismo número, y otro diferente A5: Selecciona 4 veces el mismo número La probabilidad de cada uno de estos eventos es como sigue: 10 9 8 7 5040 P(A1 )      10 10 10 10 10000 10 9 8 3 10 9 2 8 10 1 9 8 4320 P(A 2 )              10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10000

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P(A 3 ) 

10 9 2 1 10 1 9 1 270         10 10 10 10 10 10 10 10 10000

P(A 4 ) 

10 1 1 9 360    4  10 10 10 10 10000 4

1  1 P(A 5 )     10  1000  10  Para ganar el primer premio es necesario que ocurra en primer lugar el evento A 1, y que luego al seleccionar los cuatro números sin reemplazo, extraiga justamente los que sacó en el primer intento. La probabilidad de este segundo evento es: 101

4 

Por lo tanto la probabilidad de ganar el primer premio es:

5040 = 0,0024  10  10000   4 

Para ganar el segundo premio, existen dos caminos: Camino 1: Sacar 4 números distintos en la primera etapa, y luego reproducir tres  46    3 1 cualesquiera de ellos en la segunda etapa, cuya probabilidad es:      10    4   4  6     5040  3  1  Por tanto la probabilidad de ganar el 2º premio por este camino es:  10000  10    4 

Camino 2: Evento A2 en la 1ª etapa, y luego reproducir esos mismos tres en la 2ª  3  7     4320  3  1  etapa. Esta probabilidad es:  10000  10    4   4  6   3  7        5040  3  1  4320  3  1     Probabilidad Total del 2º Premio= = 0,0714 10000  10  10000  10      4  4 

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Para ganar el tercer premio existen tres caminos: Sacar 4 diferentes y reproducir 2 después, ó sacar 3 diferentes primero y reproducir 2 después, o 2 diferentes primero y reproducirlos después. La probabilidad total del 3º Premio es:  4  6   3  7   2  8           2 2 5040  2  2  4320  2  2  270 360    (  )     =0,3510 10000 10000 10000  10  10000  10   10        4  4  4  28º) En cada vuelta se realizan k lanzamientos, y la vuelta puede ser declarada:  Con decisión en caso de que salga una única cara o un único sello, en cualquier posición. La probabilidad de esta evento es: kp(1-p)k-1 + k(1-p)pk-1  Sin decisión en caso de que no ocurra el evento anterior, y su probabilidad es 1-( kp(1-p)k-1 + k(1-p)pk-1). El amigo i es seleccionado en una vuelta cualquiera si sale una única cara o un único sello en la posición i , y su probabilidad es: p(1-p)k-1 + (1-p)pk-1 Para que en el amigo i sea el seleccionado en la n ésima vuelta deben ocurrir dos eventos:  No haber decisión en las (n-1) primeras vueltas, cuya probabilidad es 1-( kp(1-p)k-1 + k(1-p)pk-1)n-1  Seleccionar al amigo i en la n-ésima vuelta, cuya probabilidad es p(1-p)k-1 + (1-p)pk-1 Por lo tanto, la probabilidad total de seleccionar al amigo i es: 

 [1 ( kp 1 p  n1

k 1

 k 1  p  pk-1 )]n1 p 1  p  

p 1  p k 1  1  p  pk-1   

k 1



 [1 ( kp 1  p  n1

k 1

 1  p  pk-1  = 

 k 1  p  pk-1 )]n1

La serie obtenida es una geométrica de razón [1  ( kp 1  p 

k 1

 k 1  p  pk-1)] , de

donde sale que la probabilidad total de seleccionar al amigo i es:

1 1 p 1  p k 1  1  p  pk-1  = k  1   1  [1  ( kp 1  p   k 1  p  pk-1 )] k Es decir que cada uno de los k amigos tiene idéntica probabilidad de ser seleccionado En cuanto a la distribución de la variable X= Número de lanzamientos de la moneda que se realizaran en cada intento, tenemos lo siguiente. 

Los posibles valores de X son 4, 5, 6,…., k .

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

La vuelta es declarada sin decisión en el lanzamiento x cuando en los (x-1) primeros lanzamientos ha salido una sola cara o un solo sello ( y por lo tanto (x-2) sellos o (x-2) caras) y la segunda cara o el segundo sello ocurre en el lanzamiento x= 4,5,…,k-1

Por tanto: f(x) = P (X=x) = (x-1) px-2 (1-p)2 + (x-1)(1-p)x-2 p2 Para x = 4,5, ….,k-1 Se requieren los k lanzamientos de la moneda, en los siguientes casos: 1. La segunda cara o el segundo sello aparece en el k ésimo lanzamiento. Su probabilidad es: (k-1) p2 (1-p)k-2 + (k-1)(1-p)2 pk-2 ( No hay decisión) 2. Todos los k lanzamientos son caras o son sellos. Su probabilidad es: pk +(1-p)k ( No hay decisión) 3. Hay decisión, es decir sale una sola cara o un solo sello. Su probabilidad es: kp(1-p)k-1 + k(1-p)pk-1 Por tanto: f(k) = (k-1) pk-2 (1-p)2 + (k-1)(1-p)k-2 p2 + pk + (1-p)k + kp(1-p)k-1 + k(1-p)pk-1 En definitiva:  x  1 px 2 1  p    x  11  p  f(x)=  k 2 2

k  p  1  p  

k  1

x 2

pk 2 1  p  

p2 ; Si x  4,5, .,k  1

k  11  p 

k 2

p2 +kp(1-p)k 1+kpk 1(1-p); Si x = k

30º) Tomando como origen las 2:00 pm y como unidad de tiempo el minuto, podemos definir las siguientes variables aleatorias: X = Instante en que llega el autobús 0  x  60 Y = Instante en que llega el pasajero 0  y  45 Estas dos variables son independientes, y siguen cada una, una distribución uniforme dentro de sus respectivos intervalos; siendo su espacio muestral conjunto, el rectángulo de vértices (0,0) (60,0) (0,45) y (60,45) El pasajero no logra tomar el autobús, cuando se da uno de los siguientes dos eventos excluyentes: A: El autobús llega después que el pasajero se ha ido. X > Y + 15 B: El pasajero llega después que el autobús se ha ido Y > X + 5 Estos dos eventos están representados dentro del espacio muestral, por las siguientes zonas:

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Por tratarse de una distribución uniforme bidimensional, la probabilidad de una región es el área de la región dividida entre el área del espacio muestral, y por lo tanto, la probabilidad de que el pasajero logre tomar el autobús es: 1 1  40  40   45  45 71 2 = 1 2 45  60 216 1  45.45 P(A) 81 2 P(A A  B)    1 P(A  B) 1 145  40.40   45.45 2 2 31º) Consideremos la siguiente variable aleatoria: Xi = Número de familiares que asisten por parte del graduando i. Esta variable es discreta, y sólo puede tomar los valores 0, 1,2 y 3. Hay que encontrar la función de masa correspondiente a la variable X i Xi = 0 cuando a un graduando casado no le asisten ni sus padres ni su conyugue, o a un estudiante soltero no le asisten sus padres. Por lo tanto: 1 1 1 2 1 11 f(0) = P(Xi=0) =      3 5 5 3 5 75 1 2 1 1 1 4 2 2 26 f(1) = P(Xi=1) =         3 5 5 3 5 5 3 5 75 1 2 1 1 2 4 2 2 30 f(2) = P(Xi=2) =         3 5 5 3 5 5 3 5 75 1 2 4 8 f(3) = P(Xi=3) =    3 5 5 75 11 26 30 8 110 22 E(Xi) = 0   1  2  3   75 75 75 75 75 15 11 2 26 30 8 218 E(Xi2) = 02  1   22   32   75 75 75 75 75 2

218  22  218 484 170 34       Var (Xi) = 75  15  75 225 225 75

32 Angel F. Arvelo [email protected] Problemas difíciles de Probabilidad

i  300

El total de asistentes al acto es otra variable aleatoria Y =



i 1

Xi que por el

Teorema Central del Límite puede ser aproximada a una Distribución Normal con 22 34 media 300  = 440, y varianza 300  = 136 15 75 Sea k = Número de asientos disponibles. Se quiere: P(Yk) = 0,95 Tipificando, y teniendo en cuenta la corrección por continuidad se obtiene:  k  0.5  440 k  0.5  440   1.645  k≥ 458.68 459 asientos P Z    0.95  136 136   32º) El espacio muestral puede ser visto como el total de maneras como se puede ir del punto (0,0) al punto (n, m), dando “n” pasos horizontales y “m” verticales

m  n Total de casos posibles =    n 

Los casos favorables son todos aquellos que en algún momento llegan a cortar a la recta y = x, y pudieran ser clasificados en dos tipos: 1) Casos que comienzan por el punto (0,1), es decir casos en donde el primer voto escrutado es a favor del candidato “B”. Todos estos casos son favorables porque para ir desde (0,1) hasta (n, m) , en algún momento tendrá que producirse el corte  m  1 n  con la recta y = x . Total de casos =   n   2) Casos que comienzan por (1,0), es decir casos en donde el primer voto escrutado es a favor del candidato “A”. No todos son favorables. Por cada caso favorable de este tipo existe uno simétrico del otro tipo. Así por ejemplo, el caso AABABB da lugar a un empate al contar el sexto voto, y su simétrico es el contado de derecha a izquierda BBABAA.  m  1 n  Por lo tanto, el total de casos favorables de este tipo es también   n   y de allí, que la probabilidad de que en algún momento se produzca un empate es:  m  1 n  (m  n  1)! 2  2 n    n! (m-1)!  2 m (m  n)! mn m  n 2   n! m!  n 

33 Angel F. Arvelo [email protected] Problemas difíciles de Probabilidad

34º) El resultado de responder cada una de las 99 preguntas, puede ser visto como una variable de Bernoulli en donde; 0 ; si la pregunta i es respondida de manera incorrecta Xi   1 ; si la pregunta i es respondida de manera correcta Para cada una de estas variables se verifica: E(Xi) = 1 – i/100 ; Var (Xi) =( i/100) ( 1- i/100) El puntaje “Y” obtenido en el examen es: Y 

i  99

 Xi i 1

Esta es una suma de variables aleatorias independientes, que a pesar de no estar idénticamente distribuidas, cumple con los requisitos para ser aproximada por el “Teorema Central del límite”; por lo tanto, su media y su varianza son: i  99 i (99)(100)  Y   (1  )  99   49.5 100 2(100) i 1 2Y



i  99



i 1

i  99 i  99 2 i i i i (99)(100)(199) (1  )     49.5   16.665 2 100 100 6(100)2 i 1 100 i 1 100

En consecuencia, la variable “Y” puede ser aproximada a través de una Distribución Normal con estos parámetros, y teniendo en cuenta la corrección por continuidad, se obtiene que la probabilidad de aprobar el examen es aproximadamente: 59.5  49.5 P(Y  59.5)  P(Z  )  P(Z  2,45)  0.00714 16.665 37º) Puesto que la variable X sigue una distribución uniforme en el conjunto {1, 2, 1 3} su función marginal es: fX (x)  ; x = 1,2 ó 3 3

 y2 si x = 1 ; 2