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• Dany Miyasato

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Guía de finanzas para Ingenieros

Cátedra: Economía de la empresa

Año: 2013

Facultad: UTN FRBA

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Ing. Ferreyra Máspero Juan Manuel

UTN FRBA - 2013

Objetivo: El siguiente archivo tiene el objetivo de dar soporte a las clases de Economía de la Empresa pero no por eso reemplaza en ninguna forma la asistencia y los apuntes tomados en clase. Temas que no estén incluidos en este apunte podrán ser tomados si se dieron en clase. Índice: 1) Conceptos e introducción en finanzas ………………………………. pág. 3 a) Diferencia entre ingreso/ganancia y egreso/pérdida………………………….. pág. 3 b) Valor del dinero en el tiempo ………………………………. pág. 4 2) Matemática financiera, conceptos básicos

………………………………. pág. 4

3) Interés simple y compuesto

………………………………. pág. 6

4) Transformación de tasas

………………………………. pág. 14

5) Inflación a) Cálculo de la inflación por períodos b) Cálculo de la inflación por índices

………………………………. pág. 17 ………………………………. pág. 18 ………………………………. pág. 19

6) Negocio bancario

………………………………. pág. 19

7) Descuento de documentos

………………………………. pág. 20

8) Actualización de montos

………………………………. pág. 21

9) Imposición

………………………………. pág. 24

10) Renta inmediata

………………………………. pág. 32

11) Perpetuidad

………………………………. pág. 38

12) Amortización de préstamos

………………………………. pág. 39

13) Calculo de inversiones VAN, TIR y PRI

………………………………. pág. 43

14) Generación de flujo de caja

………………………………. pág. 48

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1) Conceptos e introducción en finanzas a) Diferencia entre ingreso/ganancia y egreso/pérdida Para comenzar a estudiar finanzas debemos tener bien en claro un concepto del cual ya hablamos en la guía de contabilidad. Se acuerdan de la diferencia entre lo devengado y lo percibido? Es exactamente lo mismo! Una empresa puede ser económicamente hablando muy rentable pero financieramente hablando un desastre. Este es un caso muy común en muchas empresas que logran tener un margen de rentabilidad muy grande pero terminan quebrando por problemas financieros. Por ejemplo, el precio de venta unitario es el doble del total de los costos (variables y fijos) unitarios por lo que con cada venta gana el 100% de sus costos pero falta agregar un factor muy importante que es cuando va a cobrar sus ventas. En este ejemplo vamos a suponer que el cada unidad la vendemos a $ 10 y que el total de sus costos unitarios son $ 5. También vamos a suponer que vendemos 1000 unidades al mes y que cobramos las ventas a 5 meses pero nuestros costos los pagamos al contado por lo que vamos a tener el siguiente cuadro:

Ene 1000 10 10.000 5 5.000

Feb 1000 10 10.000 5 5.000

Mar 1000 10 10.000 5 5.000

Abr 1000 10 10.000 5 5.000

May 1000 10 10.000 5 5.000

$ $ $ $

Jun 1000 10 10.000 5 5.000

5.000 $

5.000 $

5.000

5.000 $ $

5.000 $ 5.000 $

5.000 5.000

Unidades a vender PVu Total Ventas CTu Total Costos

$ $ $ $

Ganancia

$

5.000 $

5.000 $

5.000 $

Salida de capital Ingreso de Capital

$ $

5.000 $ $

5.000 $ $

5.000 $ $

Saldo Saldo Acumulado

$ -5.000 $ -5.000 $ -5.000 $ -5.000 $ $ $ -5.000 $ -10.000 $ -15.000 $ -20.000 $ -20.000 $ -20.000

$ $ $ $

$ $ $ $

$ $ $ $

$ $ $ $

Como podemos observar mes a mes cada vez tenemos saldo más negativo hasta que llegamos a los $ -20.000. Estos $ 20.000 son el activo de trabajo que nosotros necesitamos para poder operar puesto que debemos producir 4 meses sin cobrar la venta de Enero (-5000*4 = -20.000). Si la empresa no puede soportar este activo de trabajo tiene que empezar a pedir un préstamo pero como todos sabemos todo préstamo tiene su tasa (nos cobran intereses en función de diferentes factores que tienen que ver con el plazo, riesgos, patrimonio, liquidez, inflación, etc). Por lo dicho anteriormente es muy importante no solo analizar el libro diario de una empresa sino que también es necesario analizarla financieramente y para esto es necesario una series de herramientas que se van a dar en esta clase y van a ser útiles el resto de la carrera, vida profesional y vida personal.

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b) Valor del dinero en el tiempo En esta unidad no voy a comentar nada que ninguno de ustedes nunca haya intuido en su vida de forma natural. El dinero tiene valor en el tiempo porque obviamente es mejor tener 1 peso hoy que el mismo peso mañana. Dando un ejemplo muy sencillo yo quiero comprarme una bebida que sale 1 peso, si yo poseo el dinero hoy puedo satisfacer mi necesidad pero si yo recién mañana voy a tener la disponibilidad del dinero hoy no puedo comprar la bebida por lo que voy a tener que esperar hasta mañana. Si bien este es un ejemplo muy sencillo de la vida cotidiana hablando desde las empresas esta disponibilidad de efectivo puede significar poder o no poder comprar MP para poder producir y no tener la planta parada. Por el ejemplo dado es muy racional decir entonces que si yo presto plata voy a esperar que me devuelvan un poco mas (intereses + capital) así como si alguien me presta plata voy a tener que devolverle un poco mas. Las razones por las cuales el dinero tiene valor en el tiempo son muchas dentro de las cuales podríamos mencionar inflación, riesgo, costo de oportunidad de no disponer del dinero, no satisfacer una necesidad, participar en el negocio del deudor, etc.

2) Matemática financiera, conceptos básicos Toda operación financiera consta de lo siguiente: Cm

Co

n

Donde: - n = plazo de tiempo (X días, X meses, X años, etc) - Co = Capital inicial (ya sea el que pedimos o el que prestamos) - Cm = Capital final (ya sea el que devolvemos o el que nos devuelven una vez finalizado el plazo)

Ahora si nosotros sabemos de antemano que la diferencia entre el capital que prestamos y el capital que nos devuelven es el interés que cobramos podemos plantear la siguiente fórmula: Cm = Co + I Donde: -

I = monto de interés

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También conociendo que el interés se encuentra en función del tiempo podemos afirmar que: I = Co * i * n Reemplazando: Cm = Co + Co i * n Cm = Co * (1 + i * n)

Donde: - i = tasa de interés - n = plazo del préstamo Muy importante: i y n deben están en la misma unidad de tiempo !!

Aclaraciones: - Año civil = año que posee 365 días. - Año comercial = año que posee 360 días. - Meses de 30 días a menos que se aclare la fecha específica. - Cuando no se especifica si la tasa es efectiva, nominal, diaria, etc se toma que la tasa es TNA (tasa nominal anual).

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3) Interés simple y compuesto En esta unidad comenzaremos a ver una gran diferencia entre calcular el interés simple y el interés compuesto. El interés simple es aquel que se calcula de la forma normal que ya vimos anteriormente: I = Co * i * n tiempo)

(recordar que tanto i como n deben estar en la misma unidad de

Como ejemplos podemos dar los siguientes:

- Calcular el interés de un préstamo de $ 10.000 que tiene una tasa nominal anual del 20% por un plazo de 1 mes (interés simple). I = Co * i * n Co = $ 10.000 i = TNA / 12 = 0,2 / 12 mes = 0,01666 / mes n = 1 mes Reemplazando: I = $ 10.000 * (0,01666 / mes) * 1 mes = $ 166,66 Es algo muy simple donde también podríamos haberlo resuelto de otra forma llegando al mismo resultado de la siguiente manera: i = TNA = 0,2 / año n = 1 mes * 1 año / 12 mes = 0,0833 año (al tener que poner el período en año hay que ver cuantos años es 1 mes por lo que se divide por 12 meses para pasar el período a año) I = $ 10.000 * (0,2 / año) * 0,0833 año = $ 166,66

- Calcular el monto que nos van a devolver si prestamos $ 6.000 con una TNM (tasa nominal mensual) del 3 % por un plazo de 166 días. Cm = Co * ( 1 + i * n) Co = $ 6.000

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i = TNM / 30 días = 0,03 / 30 días = 0,001 / días n = 166 días Reemplazando: Cm = $ 6.000 * ( 1 + (0,001 / días) * 166 días) = $ 6.996

Ahora cuando hablamos de interés compuesto estamos teniendo en cuenta un concepto nuevo que se llama capitalización. Este concepto se refiere a cada que plazo calculamos los intereses acumulados y sobre el nuevo monto volvemos a calcular intereses. Parece complicado pero no lo es, en el siguiente gráfico se va a entender de forma muy simple:

Co * (1+i*n)

Co

Interés simple

n = período completo del préstamo/pedido i = tasa nominal del período

Interés compuesto

n

n

Co * (1+i*n) *(1+i*n) * (1+i*n)

Co * (1+i*n) *(1+i*n)

Co * ( 1 + i*n)

Co

n

n

n = período de capitalización i = tasa efectiva del período de capitalización (lo veremos adelante)

Como podemos observar en el interés compuesto se genera un efecto de bola de nieve, mientras más corto el plazo de capitalización mayor va a ser ese efecto, mientras que el interés simple crece de forma lineal el compuesto crece de forma exponencial. 7

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Veamos el siguiente ejemplo en un gráfico donde podremos ver como aumenta de forma exponencial en comparación con el interés simple:

TNA = Co =

90% 100

n en días tasa i simple I simple tasa i compuesto I compuesto Cant. Capitaliz.

30 7,5% 7,5 7,5% 7,50 1

Periodo de capitalización 1 mes

60 15,0% 15 15,6% 15,56 2

90 22,5% 22,5 24,2% 24,23 3

120 30,0% 30 33,5% 33,55 4

150 37,5% 37,5 43,6% (ya vamos a ver como calcularlo) 43,56 5

$ 50

$ 45 $ 40

Monto de Interés

$ 35 $ 30 $ 25

I simple

$ 20

I compuesto

$ 15 $ 10 $5 $0 30

60

90

120

150

Dias

Nota: darse cuenta que si el período de capitalización es igual al período del plazo es exactamente lo mismo hacer interés simple que compuesto, lo corroboraremos mediante fórmulas más adelante

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Ya habiendo entendido la diferencia entre los dos conceptos vamos a ver como calcular el interés compuesto. La fórmula para calcularlo es la siguiente: i = { [ 1 + TN… / ( período … / período de cap.) ]ˆ (plazo / período de cap.) } – 1 Donde: - TN… = es la tasa nominal que nos dan que puede ser anual, mensual, diaria, etc. - Período … = el período de la tasa nominal (o sea si la tasa nominal es anual, este período va a ser de 1 año, 12 meses, 360 días o en la unidad que uno quiera pero si o si debe representar 1 año; así como si la tasa nominal es mensual, este período va a ser de 1 mes, 30 días, 0,0833 años o en la unidad que uno quiera pero si o si debe representar 1 mes). - Período de cap. = período de capitalización del interés. Muy importante: debe estar en las mismas unidades que el “período …” y que “plazo”. - Plazo = es el período durante el cual se realiza el préstamo. Una vez determinada la tasa calculamos el monto del interés de forma muy sencilla: I = Co * i Nota: no multiplicamos por n por ya el período esta metido dentro de la tasa i Cm = Co * (1 + i) Nota: Darse cuenta que a menor período de capitalización, mayor va a ser el efecto de bola de nieve! Antes de comenzar con algunos ejercicios voy a demostrarles que no siempre el interés compuesto da más intereses que el simple. Pareciera que me estoy contradiciendo pero la realidad es que si el período de capitalización es mayor al plazo del préstamo generamos el efecto contrario al de la bola de nieve.

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Déjenme mostrarles de forma gráfica lo que estoy diciendo con el mismo ejemplo anterior solo que cambiando los datos: TNA = Co =

90% 100

n en días Tasa i simple I simple Tasa i compuesto I compuesto

30 7,5% 7,5 6,6% 6,6

Período de capitalización 150 días

60 15,0% 15 13,6% 13,6

90 22,5% 22,5 21,1% 21,1

120 30,0% 30 29,0% 29,0

150 37,5% 37,5 37,5% 37,5

180 45,0% 45 46,5% 46,5

210 52,5% 52,5 56,2% 56,2

60

50

Monto Interés

40

30

I simple I compuesto

20

10

0 30

60

90

120

150

180

210

Días

Como pueden observar cuando el plazo < al período de capitalización estamos elevando a un número menor que 1 por lo que achicamos el número (elevar un número a la ½ es lo mismo que hacer la raíz cuadrada). Recién cuando llegamos al plazo de 150 días el interés simple = interés compuesto y de ahí en adelante empieza el efecto ya comentado.

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Vamos a hacer un par de ejemplos para terminar de entender la fórmula: - Obtengo un préstamo de $ 4.000, con una TNA del 50% por un plazo de 6 meses. a) Calcular el interés simple. b) Calcular el interés compuesto si se capitaliza cada 1 mes. c) Calcular el interés compuesto si se capitaliza cada 8 meses. a) I = Co * i * n I = $ 4.000 * 0,5 / 12 meses * 6 meses = $ 1.000 b) Comenzamos calculando i i = { [ 1 + TN… / ( período … / período de cap.) ]ˆ (plazo / período de cap.) } – 1 Donde: - TN… = TNA (para este ejercicio) = 50 % - Período … = Período anual = 12 meses - Período de cap. = 1 mes - Plazo = 6 meses Reemplazamos i = [ 1 + 0,5 / ( 12 meses / 1 mes) ˆ ( 6 meses / 1 mes ) ] – 1 = 0,277534 = 27,75 % I = Co * i = $ 4.000 * 0,2775334 = $ 1110,14 Como podemos observar se cumplo lo explicado anteriormente en donde el interés compuesto es mayor que el interés simple puesto que el plazo de capitalización es menor al plazo. c) Comenzamos calculando i i = { [ 1 + TN… / ( período … / período de cap.) ]ˆ (plazo / período de cap.) } – 1 Donde: - TN… = TNA (para este ejercicio) = 50 % - Período … = Período anual = 12 meses - Período de cap. = 8 meses - Plazo = 6 meses Reemplazamos i = { [ 1 + 0,5 / ( 12 meses / 8 meses) ]ˆ ( 6 meses / 8 meses) } – 1 i = 0,2408 = 24,08 % I = Co * i = $ 4.000 * 0,2408 = $ 963,23 Como podemos observar en este caso se trata de un interés inferior al simple puesto que el período de capitalización es mayor al plazo.

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- Queremos comprarnos un auto de $ 60.000 pero actualmente solo tenemos $ 47.200. Si el banco nos ofrece un plazo fijo con una TNA del 26% capitalizable cada 10 días, cuantos días deberíamos tener el plazo fijo para comprar el auto? (considerar año comercial y redondear hacia arriba en plazo múltiplo de 10) En este caso si bien parece más complejo el problema se resuelve de la misma forma que el anterior solo que nuestra incógnita en vez de ser el monto del interés es el plazo del plazo fijo. Comenzamos planteando los datos de forma ordenada: Cm = $ 60.000 Co = $ 47.200 TNA = 26% Período de cap. = 10 días (vamos a colocar todos los datos en días para simplificar las unidades) Como no sabemos el plazo todavía no podemos plantear la fórmula para calcular el interés compuesto puesto que tenemos dos incógnitas que son i y plazo. Por eso primero podemos saber cuanto es i planteando la siguiente fórmula: Cm = Co * ( 1 + i) $ 60.000 = $ 47.200 * ( 1 + i) i = 27,11864 % Sabiendo i ya podemos plantear la fórmula para calcular el interés compuesto: i = { [ 1 + TN… / ( período … / período de cap.) ]ˆ (plazo / período de cap.) } – 1 0,2711864 = { [1 + 0,26 / ( 360 días / 10 días)] ˆ (plazo / 10 días) } – 1 0,2711864 + 1= [1 + 0,26 / ( 360 días / 10 días)] ˆ (plazo / 10 días) Ahora si se preguntan como lograr despejar el plazo y no se acuerdan lo vieron en análisis 1. Utilizando el logaritmo de ambos lados podemos bajar lo que está elevado y pasarlo como multiplicando (es una de las propiedades del logaritmo) por lo que de esa forma lo resolvemos. Ln ( 1,2711864) = Ln [1 + 0,26 / ( 360 días / 10 días)] ˆ (plazo / 10 días) Ln ( 1,2711864) = (plazo / 10 días) * Ln [1 + 0,26 / ( 360 días / 10 días)] Calculamos los logaritmos naturales y obtenemos lo siguiente: 0,239951 = (plazo / 10 días) * 0,007196

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Plazo = 333,45 días = 340 días Corroboramos que hayamos realizado bien las cuentas! i = { [1 + 0,26 / ( 360 días / 10 días)] ˆ (333,45 días / 10 días) } – 1 i = 0,2711864 ¡OK! - Pedimos un préstamo con una tasa nominal bimestral del 6%. El monto solicitado fue de $ 15.000 por 3 meses. El préstamo capitaliza semestralmente. Calcular el monto a devolver. En este ejercicio prestar mucha atención a los períodos de tiempo porque como pueden observar el plazo < período de cap. Como ya lo mencionamos el interés compuesto debería ser menor al simple así que vamos a corroborarlo al final del ejercicio. Planteamos la fórmula: i = { [ 1 + TN… / ( período … / período de cap.) ]ˆ (plazo / período de cap.) } – 1 Datos: TN… = Tasa nominal bimestral = 6 % Período … = 1 bimestre = 2 meses Período de cap.= 6 meses Plazo = 3 meses i = { [ 1 + 0,06 / ( 2 meses / 6 meses) ]ˆ ( 3 meses / 6 meses) } – 1 i = 8,6278 % Cm = Co * (1 + i) Cm = $ 16.294,17 Con interés simple hubiese sido: Cm = $ 15.000 * (1 + (0,06 / bimestre) * (1,5 bimestre)) = $ 16.350 > $ 16.294,17

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4) Transformación de Tasas En esta unidad vamos a empezar a ver de donde sale esa fórmula mágica que nos permite calcular el interés compuesto y como transformar cualquier tasa al período que nosotros queramos. -

Movimiento entre tasas nominales

Para cambiar el período de una tasa nominal a otra tasa nominal es algo muy sencillo. TNA -> TNMensual ===> TNMensual = TNA / 12 TNA -> TNDiaria ====> TNDiaria = TNA / 360 (en caso de año comercial) TNMensual -> TNDiaria =====> TNDiaria = TNMensual / 30 TNMensual -> TNA =====> TNA = TNMensual / (1 / 12 ) Y todas las variaciones posibles! -

Movimiento de tasas nominales a tasas efectivas (o al revés)

Las tasas efectivas son aquellas que representan la tasa que realmente nos están aplicando en el préstamo. Cabe aclarar que si tenemos una tasa efectiva mensual y nuestro préstamos es por 6 meses entonces la efectiva mensual elevándola por 6 va a ser la tasa que realmente nos están aplicando (vamos a explicarlo nuevamente mas adelante por si no se entendió). La fórmula genérica para pasar de una tasa efectiva de un cierto período a otra tasa nominal de cierto período es la siguiente: TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 Donde: - TE… = Tasa efectiva que puede ser mensual, anual diaria, etc. - TN… = Tasa nominal que puede ser mensual, anual, diaria, etc. - Período de cap. = Período de capitalización. - Período nominal… = período de tiempo de la tasa nominal (recordar que tiene que tener las mismas unidades que el período de capitalización) - Período efectivo… = período de tiempo de la tasa efectiva (recordar que tiene que tener las mismas unidades que el período de capitalización) Como ejemplo si queremos obtener una TEAnual de una TNMensual con capitalización bimestral quedaría de la siguiente forma: TEA = [ 1 + TNM/ (1 mes / 2 meses) ] ˆ ( 12 meses / 2 meses) – 1 Nota: todas las unidades se encuentran en meses, pero hubiese sido lo mismo si usabamos días, años, bimestres, etc. 14

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De la misma manera si despejamos la tasa nominal quedaría la misma fórmula solo que modificada de la siguiente manera: TN… = [ ( período efectivo…/ período de cap.) √(TE… + 1) ] * (período nominal…/ período de cap.) – 1 Ya habiendo visto la fórmula vamos a relacionarla con la fórmula para calcular el interés compuesto: Interés compuesto: i = { [ 1 + TN… / ( período … / período de cap.) ]ˆ (plazo / período de cap.) } – 1 Transformación de tasa nominal a efectiva: TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 Si las analizamos un poco son realmente parecidas y empezamos a ver que: - Período … = período nominal… (ver descripciones cuando se explicaron) - Período de cap. = período de cap. - TN… = TN… (debo ser un genio para sacar estas conclusiones) Plazo período efectivo: Acá se encuentra la diferencia entre las fórmulas!! En el caso del interés compuesto ya estamos elevando al plazo del préstamos puesto que queremos obtener el interés real que nos están cobrando. En el caso de la transformación de tasas ponemos el plazo que nosotros queremos ya sea anual, mensual, etc. Es por esto que cuando nosotros queremos pasar de una tasa efectiva mensual a una tasa efectiva bimestral en vez de multiplicarla por dos debemos elevarla por dos así como si queremos pasar de una tasa efectiva anual a una tasa efectiva mensual debemos elevarla por 1/12. Por si no quedo claro volvemos a repetir que en el caso del interés compuesto la fórmula ya está planteando que calculemos el interés del período del plazo por lo que cuando queremos obtener I simplemente planteamos la fórmula Cm = Co * (1 + i) y como pueden ver no multiplicamos i por nada y tampoco lo elevamos por nada puesto que ya la i la calculamos en función del tiempo del plazo. Vamos a realizar un ejercicio y a relacionarlo con el interés compuesto. - Obtener la TEA de una TNM de 3% capitalizable trimestralmente. Si tuviésemos un préstamo de $ 1000 con la misma tasa (TNM 3% cap. trim.) por un período de 6 meses ¿cuánto deberíamos devolver? Planteamos la fórmula: TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1

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TE… = TEA = incógnita TN… = TNM = 3% Período nominal… = 1 mes Período de cap. = 3 meses Período efectivo… = 1 año = 12 meses Reemplazamos: TEA = [ 1 + 0,03 / ( 1 mes / 3 meses) ] ˆ ( 12 meses / 3 meses) – 1 TEA = 41,158% Ahora cuando queremos calcular cuanto deberíamos devolver podríamos plantar toda la fórmula del interés compuesto pero si realmente conocemos como funciona podemos hacer lo siguiente: TEPlazo = i = ( 1 + TEA ) ˆ (plazo del préstamo / período efectivo anual) - 1 TEPlazo = i = ( 1 + 0,41158 ) ˆ (6 meses / 12 meses) - 1 TEPlazo = i = 18,81% Cm = Co * ( 1 + i) = $ 1.000 * ( 1 + 0,1881) Cm = $ 1.188,1 Para los que no entienden de donde sale esa fórmula tienen que darse cuenta que cuando yo elevo a la 6 / 12 estoy transformando la fórmula de TEA en la de interés compuesto que también la podríamos llamar tasa efectiva del plazo! Como pueden ver si conocen la fórmula y como utilizarla no se pueden confundir. Antes de terminar con esta unidad quiero aclarar un punto que es muy tomado en exámenes y sirve a la hora de tomar una decisión sobre diferentes préstamos o plazos fijos. ¿Cómo comparar tasas? A la hora de comparar diferentes tasas de préstamos o plazos fijos debemos utilizar la TEA. - En caso de que estemos pidiendo prestado deberíamos seleccionar la menor TEA. - En caso de estar realizando un depósito deberíamos seleccionar la TEA más alta.

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5) Inflación En esta unidad comenzaremos a analizar como afecta la inflación a nuestras inversiones de forma tal de poder obtener realmente la tasa que obtuvimos. Primero responderemos la típica pregunta de ¿Qué es la inflación? La inflación en pocas palabras es la pérdida de valor monetario de nuestro activo. Este valor monetario esta muy relacionado con muchos factores del país mismo que emite la moneda como dinero en circulación, crecimiento, riesgo país, expectativas y estimaciones, etc. Esta pérdida de valor es un efecto negativo en nuestro activo por lo que para protegernos debemos sacarle un cierto rendimiento a nuestro activo así evitar pérdidas. Diciéndolo de otra forma si ponemos en el banco un plazo fijo que nos da una TNA del 20% y tenemos una inflación del 20% significa que apenas si mantuvimos el valor del dinero. Esto que nosotros calculamos rápidamente de forma mental no es la típica fórmula que uno se imaginaría. Cualquier diría que: Tasa real = Tasa nominal otorgada – Tasa de inflación (del mismo período) Pero esto NO ES CORRECTO! Veámoslo con un ejemplo práctico: -

Hay una inflación del 15% y yo tengo $100 en un plazo fijo con una tasa del 20%, veamos cuál es la tasa real?

Si utilizáramos la ecuación de atrás llegaríamos a la siguiente conclusión: Tasa real = 0,2 – 0,15 = 0,05 por lo que mi tasa real es del 5% Pero esto no es cierto puesto que lo que antes tenía un valor monetario de $ 100, luego del período de inflación necesitamos $ 115 (o sea un 15% más) y con ayuda del depósito de $ 100 actualmente tenemos $ 120. Conociendo estos valores calculamos entonces cuanto fue realmente la tasa real: Tasa real = ($ 120 - $ 115 ) / ($ 115) = 4,3478% Nota: dividimos por $ 115 porque es lo que actualmente necesitamos para mantener el valor monetario de los antiguos $ 100 Como podemos observar la fórmula que pusimos anteriormente no sirve! Para calcular la tasa real se utiliza otra fórmula que se llama ecuación de Fischer. Ecuación de Fischer: (1 + Tasa nominal otorgada) = (1 + Tasa real) * (1 + tasa de inflación)

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De forma simplificada: ( 1 + tn ) = ( 1 + tr ) * ( 1 + π) De esta forma conociendo 2 tasas podemos obtener la tercera sin ningún problema simplemente despejando. Como se imaginarán la simple utilización de la ecuación es muy sencillo por lo que es altamente improbable que en algún examen se vayan a encontrar con un ejercicio en el cual les den dos tasas y le pidan la tercera, generalmente en vez de darle alguna tasa le van a dar otros datos para poder calcularla. En las anteriores unidades ya vimos como calcular una tasa nominal por lo que en esta unidad nos enfocaremos a como calcular la inflación de un período.

a) Cálculo de inflación por períodos mas pequeños o mas grandes

π1 0

π2 1

π3 2

π4 3

4

Cuando conocemos períodos más cortos de inflación y nosotros necesitamos obtener un período mayor se utiliza la siguiente fórmula: π1-2 = (1 + π1) * (1 + π2) – 1 π1-3 = (1 + π1) * (1 + π2) * (1 + π3) – 1 π1-N = (1 + π1) * (1 + π2) * (1 + π3) ….. (1 + πN) – 1 De la misma forma si de dato nos dan un período superior al nuestro lo que hacemos es dividir por (1 + π) hasta llegar al período que queremos: π1 π2 0

1

2

π1-2 π1 = (1+ π1-2) / (1 + π2) – 1

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b) Cálculo de inflación por índice de precios o índice similar Cuando nos dan el dato de índices de precios u otro similar nos hacen referencia a como aumento el valor de un conjunto de bienes que se utilizan para determinar la inflación. La tasa va a estar determinado por la siguiente fórmula: πN-M = (índice precios período M) / (índice precios período N) – 1 Nota: donde obviamente M > N para que tenga sentido.

6) Negocio bancario Esta unidad es muy corta y buscamos demostrar de donde sale el conocido “spread” bancario. Se llama spread bancario a la diferencia que hay entre la tasa activa y la tasa pasiva que otorga el mismo. Tasa activa es aquella que se cobra a las personas que piden un préstamo al banco y pasiva se llama a aquella que se otorga a los clientes del banco por realizar plazos fijos. Al igual que en la inflación este spread no va a ser la diferencia sino que se va a utilizar una fórmula muy parecida a la ecuación de Fischer. Para llegar a esta ecuación plantearemos el siguiente esquema:

Cliente 1

$$

Entidad Financiera

$$

Cliente 2

Donde: - Cliente 1 aquel que coloca dinero en la entidad financiera y recibe una tasa pasiva (ip). - Cliente 2 aquel que toma dinero de la entidad financiera y paga una tasa activa (ia). Como calcular la ganancia bruta del banco y spread bancario Ganancia bruta del banco = Capital * [(1 + ia) – (1 + ip)] Costo del banco = Capital * (1 + ip) Ganancia Bruta / Costo = Capital / Capital * [(1 + ia) – (1 + ip)] / (1 + ip) Ganancia Bruta / Costo = [(1 + ia) – (1 + ip)] / (1 + ip) Ganancia Bruta / Costo = [(1 + ia) / (1 + ip)] – 1  Se llama Spread bancario! 19

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7) Descuentos de Documentos El descuento de documentos es un método muy común utilizado por las empresas como forma de financiación (no confundir con factoring que es de facturas y tiene una gestión diferente en cuanto a la responsabilidad). Este método tiene la particularidad que uno posee un documento a cobrar a cierto plazo y un banco en el cual tengamos cuenta corriente nos permite adelantarnos la plata del documento obviamente quedándose con un cierto % de intereses y gastos. El punto clave del descuento de documentos es que nosotros seguimos siendo responsables por el pago de ese documento por lo que únicamente vamos a poder realizarlo en un banco donde tengamos cuenta corriente porque si cumplido el plazo de vencimiento del documento este no es pagado automáticamente el monto es extraído de nuestra cuenta y la gestión de cobro pasaría a manos nuestras (como ya vimos con cuentas de orden en contabilidad). Hay 2 tipos de descuentos: - Comercial: en este descuento el interés se calcula sobre el valor real del documento. - Racional: el interés se calcula sobre el valor recibido por el documento. Cuadro comparativo de ambos: Valor real del documento = N Valor recibido o actual = VA

Tipo de Descuento Comercial (Dc) Racional (Dr)

Descuento sobre N VA

Tiempo

Tasa

Interés

t t

d i

N*d*t VA*i*t

Valor actual o recibido VA = N*(1-d*t) VA = N / (1+i*t)

Cuando el descuento tenga capitalización utilizamos n como plazo de capitalización y nos quedaría lo siguiente: Comercial (Dc)  Racional (Dr) 

VA = N*(1-d)^n VA = N / (1+i)^n

Nota: tener en cuenta que no se utiliza el tiempo puesto que la i o d debe estar en el mismo plazo de la capitalización como ya vimos anteriormente cuando calculábamos tasas efectivas y nominales con capitalización.

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Por último de esta unidad vamos a ver como pasar de una tasa i a una d y viceversa. Esto es muy sencillo y utilizamos la siguiente fórmula: i = d / (1 – d) o d = i / (1 + i)

8) Actualización de los montos Como ya vimos anteriormente el valor del dinero se va modificando en función del tiempo. En esta unidad vamos a ver como actualizar un valor para poder llevarlo al futuro o al pasado y poder comparar y hacer diferentes tipos de análisis. Siempre lo movemos en función de una tasa que esperamos obtener o pagar. Para poder llevar un cierto monto al futuro vamos a utilizar la fórmula ya conocida de interés simple, Valor futuro = valor actual * (1 + i*t) Donde: - i = interés - t = tiempo Nota: debemos tener en cuenta que tanto el interés como el tiempo deben estar en las mismas unidades E interés compuesto en el caso que haya capitalización, Valor futuro = valor actual * ((1 + i) ^ n) Donde: - i = interés - n = cantidad de períodos de capitalización Nota: debemos tener en cuenta que el interés debe ser la tasa efectiva del período de capitalización Con estas fórmulas estamos diciendo que lo que hoy es un cierto monto en el futuro a una tasa i va a significar ese mismo monto + intereses.

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Y cuando tenemos que llevar un valor al pasado usamos la misma fórmula solo que cambiamos los nombres: Valor pasado = Valor actual / (1 + i*t) Y en el caso de que haya interés compuesto, Valor pasado = Valor actual / ((1 + i) ^ n)

Veamos un ejemplo: - Tenemos $ 100 y queremos saber cual va a ser el monto de esos $ 100 dentro de 1 mes a una tasa nominal anual del 12%. Al igual que en los ejercicios de interés simple planteamos la fórmula y resolvemos simplemente: Valor futuro = $ 100 * (1 + 0,12 / 12 meses * 1 mes) Valor futuro = $ 101 Nota: esto significa que dentro de un mes nuestros $ 100 van a valer $ 101 por los intereses obtenidos. - Tenemos $ 100 y queremos saber cual va a ser el monto de esos $ 100 dentro de 6 meses con una TNA del 12% con capitalización mensual. TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TEM = [ 1 + 0,12/ (12 meses / 1 mes) ] ˆ ( 1 mes/ 1 mes) – 1 TEM = i = 1 % Una vez obtenida la i planteamos la fórmula, Valor futuro = valor actual * ((1 + i) ^ n) Valor futuro = $ 100 * ((1 + 0,01) ^ 6) Valor futuro = $ 106,15

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- Tenemos $ 220 y queremos saber cual era nuestro monto 40 días atrás si nos dieron una TNA del 24% (considerar año comercial). $ 220 = Valor pasado * ( 1 + 0,24 / 360 días * 40 días) Valor pasado = $ 214,28

- Tenemos $ 220 y queremos saber cual era nuestro monto 6 meses atrás si nos dieron una TNA del 24% (capitalización trimestral). TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TETrimestral = [ 1 + 0,24 / (12 meses / 3 meses) ] ˆ ( 3 meses / 3 meses) – 1 TETrimestral = i = 6 % Una vez obtenida la i planteamos la fórmula, Valor pasado = Valor actual / ((1 + i) ^ n) Valor pasado = $ 220 / ((1 + 0,06) ^ 2) Valor pasado = $ 195,80 Ustedes estarán pensando si esto ya lo vimos para que nos lo enseña devuelta?? La razón es que debemos manejar muy bien tanto la actualización del dinero para poder entender la siguiente unidad donde veremos imposiciones.

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9) Imposición Se llama imposición a la acción de depositar de forma consecuente cada cierto período de tiempo un cierto monto que va a generar intereses y se va a retirar todo junto en un lapso de tiempo establecido. También cabe aclarar que se capitaliza el capital cada ese período de tiempo en el que se realiza el depósito. ¿Parece complicado? La realidad es que no lo es! Veamos en el siguiente diagrama de que se trata: M1

M2

M3

M4

M5

p

p

p

p

p

i

i

i

i

i

retiro del monto total acumulado + intereses

Donde: - Cada significa que un cierto monto se deposita. - p = período de tiempo entre cada depósito y de capitalización. - i = tasa que se aplica de intereses para la imposición y se encuentra en las mismas unidades de tiempo que p. - M1,2,3,4,5 = Montos que se depositan. Si yo plantease un ejercicio como el del diagrama donde pidiese obtener el monto final acumulado con los intereses ustedes podrían hacer lo siguiente: M1 actualizado = M1 * ( 1 + i) ^ 5 M2 actualizado = M2 * ( 1 + i) ^ 4 M3 actualizado = M3 * ( 1 + i) ^ 3 M4 actualizado = M4 * ( 1 + i) ^ 2 M5 actualizado = M5 * ( 1 + i) ^ 1 Sumamos todo y nos daría el total pero esto es muy largo y engorroso! Y si se dan cuenta siempre sigue una cierta lógica por lo que utilizando un poco de análisis matemático podemos llegar a la siguiente fórmula estándar:

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Imposición adelantada = Monto * ((1 + i) ^ n - 1) / i ) * (1 + i) En donde: - Monto= cuota que pagamos. - i= tasa que se aplica de intereses para la imposición y se encuentra en las mismas unidades de tiempo que los períodos p. - n= cantidad de depósitos que se realizan. MUY IMPORTANTE!! PARA PODER UTILIZAR ESTA FÓRMULA SE DEBEN CUMPLIR CON 3 CONDICIONES: - LA TASA i SIEMPRE DEBE SER LA MISMA - LA CUOTA SIEMPRE DEBE SER LA MISMA (M1=M2=M3=M4=M5) - LOS PERIODOS p DEBEN SER SIEMPRE LOS MISMOS Si cumple con lo mencionado se puede utilizar sin problema la fórmula que va a ser exactamente lo mismo que realizar la actualización de cada monto por separado pero mucho mas eficiente y rápido. Antes de hacer un par de ejemplos voy a aclarar que existen dos tipos de imposiciones: Imposición adelantada Imposición vencida

-

La principal diferencia entre ambas es que en la vencida se considera que en el momento que hago el último depósito retiro todo el monto, en cambio en la adelantada dejo pasar un período p antes de retirar el monto. La que vimos en el diagrama anterior fue la imposición adelantada, mientras que el diagrama de la imposición vencida sería el siguiente: M1

M2

p i

M3

M4

M5

p

p

p

i

i

i

retiro del monto total acumulado + intereses

O sea la diferencia es que cuando realizamos el depósito M5 retiramos todo el capital + intereses por lo que la imposición quedaría de la siguiente manera:

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M1 actualizado = M1 * ( 1 + i) ^ 4 M2 actualizado = M2 * ( 1 + i) ^ 3 M3 actualizado = M3 * ( 1 + i) ^ 2 M4 actualizado = M4 * ( 1 + i) ^ 1 M5 actualizado = M5 * ( 1 + i) ^ 0 (como pueden ver al elevarlo a la 0 da 1 como resultado por lo que no se obtienen intereses por M5) En estos casos la fórmula que vimos anteriormente se modifica sustancialmente quedando lo siguiente, Imposición vencida= Monto * ((1 + i) ^ n - 1) / i ) Nota: la única diferencia es que no multiplicamos * (1 + i) por lo que es vencida Nota: Tener en cuenta que n es la cantidad de depósitos que se realizan, no la cantidad de períodos!! Notación y simbología Las imposiciones se suelen describir con la siguiente simbología: S(m,i,n) En donde: - S= significa imposición - m= puede ser 0 o 1 dependiendo si es adelantada (0) o vencida (1) - i= tasa que utiliza - n= cantidad de depósitos

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Ejemplos: - Queremos comprar un auto dentro de 9 meses por lo que nos proponemos realizar un depósito de $ 10.000 todos los 1ros del mes durante estos 9 meses. El último día del último mes retiramos todo el capital + intereses. Si el auto va a costar $ 99.500 y nos ofrecen una TNA 24% con capitalización bimestral llegamos a nuestro objetivo? Primero realizamos un pequeño diagrama para definir que es lo que queremos realizar:

1

2

p

3

p

4

p

5

p

6

p

7

p

8

p

9

p

p retiro del monto total acumulado + intereses

Como podemos ver nos encontramos con una imposición adelantada puesto que retiramos todo el último día del último mes y los depósitos los realizamos el primer día de cada mes. Para poder resolverlo primero debemos encontrar la tasa efectiva del período p que es cada mes. TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TEM = [ 1 + 0,24/ (12 meses / 2 meses) ] ˆ ( 1 mes / 2 meses) – 1 TEM = i = 1,9803 % Una vez encontrada i planteamos la fórmula de la imposición. Imposición adelantada = Monto * ((1 + i) ^ n -1) / i ) * (1 + i) Imposición adelantada = 10.000 * ((1 + 0,0198) ^ 9 - 1) / 0,0198) * (1 + 0,0198) Imposición adelantada = $ 99.399,09 Respuesta: No llegamos a comprar el auto.

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- Mirta realiza depósitos de $ 250 cada 3 meses con una TNA 12% con capitalización mensual. Luego de realizar el noveno depósito el banco cambia la tasa a una TNA del 16% con capitalización bimestral por lo que Mirta aumenta el depósito en $ 50. Una vez transcurridos 15 meses cuanto plata tiene? Realizamos el diagrama:

1

2

p

3

p

4

p

5

p

6

p

7

p

8

p

9

p

TNA 12% (cm) y monto $ 250

10

p

11

p

p

12

13

14

p

p

p

15

TNA 16% (cb) y monto $ 300

Una vez realizado el diagrama tenemos que obtener las tasas i para cada período: TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TEM = [ 1 + 0,12/ (12 meses/ 1 mes) ] ˆ ( 1 mes/ 1 mes) – 1 TEM = i1 = 1% (del período 1 al 9)

TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TEM = [ 1 + 0,16/ (12 meses/ 2 meses) ] ˆ ( 1 mes/ 2 meses) – 1 TEM = i2 = 1,3245 % (del período 9 al 15) Ahora vamos a utilizar las fórmulas de la imposición para ambos períodos en donde se cumpla que la tasa es constante, el monto es constante y el período es constante. Imposición del 1-9 vencida = Monto * ((1 + i1) ^ n - 1) / i1 ) Imposición del 1-9 vencida = 250 * ((1 + 0,01) ^ 9 - 1) / 0,01 ) Imposición del 1-9 vencida = $ 2.342,13

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Imposición del 10-15 vencida = Monto * ((1 + i2) ^ n - 1) / i2 ) Imposición del 10-15 vencida = 300 * ((1 + 0,01324) ^ 6 - 1) / 0,01324 ) Imposición del 10-15 vencida = $ 1.860,67

Muy bien una vez obtenidas ambas imposiciones no tenemos que simplemente sumarlas porque si pueden ver en el diagrama la imposición 1-9 se encuentra en el período 9 y la imposición del 10-15 se encuentra en el período 15 por lo que no las podemos sumar al no encontrarse en el mismo período entonces que hacemos?? Utilizamos la actualización del dinero para llevar la imposición 1-9 al período 15 por lo que planteamos la fórmula con capitalización, Valor futuro = valor actual * ((1 + i) ^ n) Valor futuro = 2.342,13 * ((1 + 0,01324) ^ 6) Valor futuro = $ 2.534,54 Nota: utilizamos como i = i2 puesto que durante esos períodos de tiempo la tasa que nos ofrece el banco es i2.

Total de dinero que tiene Mirta = $ 2.534,54 + $ 1.860,67 Total de dinero que tiene Mirta = $ 4.395,21 - Cuál debería ser la cuota trimestral para que luego de año y medio obtengamos $ 17.000 con una TNM de 2% capitalizable mensualmente durante el primer año y una TNA 30% capitalizable trimestralmente el resto del plazo. La cuota debe ser la misma durante todo el período. Realizamos el diagrama: 1

2

p

3

p

TNM

4

p

5

p

6

p

TNA

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Obtenemos las tasas: TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TETrimestral = [ 1 + 0,02/ ( 1 mes/ 1 mes) ] ˆ ( 3 mes / 1 mes) – 1 TETrimestral = i1 = 6,12 %

TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TETrimestral = [ 1 + 0,3/ ( 12 mes/ 3 mes) ] ˆ ( 3 mes / 3 mes) – 1 TETrimestral = i2 = 7,5 %

Utilizamos la fórmula de imposición para cada período de tasas constantes, monto constante y período constante. En este punto hay 2 formas de resolver este ejercicio, podemos realizar una imposición adelantada usando las 3 primeras cuotas y luego una vencida con las otras 3 cuotas o una vencida usando las 4 primeras cuotas y luego una vencida con las 2 cuotas restantes. En ambos casos es exactamente lo mismo por lo que lo resolveremos de la primera forma, Imposición del 1-3 adelantada = Monto * ((1 + i1) ^ n - 1) / i1 ) * (1 + i1) Imposición del 1-3 adelantada = Monto * ((1 + 0,0612) ^ 3 - 1) / 0,0612 ) * (1 + 0,0612) Imposición del 1-3 adelantada = Monto * 3,18737

Imposición del 4-6 vencida = Monto * ((1 + i2) ^ n - 1) / i2 ) Imposición del 4-6 vencida = Monto * ((1 + 0,075) ^ 3 - 1) / 0,075 ) Imposición del 4-6 vencida = Monto * 3,2306

Actualizamos la imposición del 1-3 adelantada al período 6: Valor futuro = valor actual * ((1 + i2) ^ n) Valor futuro = Monto * 3,18737 * ((1 + 0,075) ^ 2) Valor futuro = Monto * 3,6834 30

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Sumamos el total de las imposiciones: Total = Valor futuro + Imposición del 4-6 vencida Total = $ 17.000 = Monto * 3,6834 + Monto * 3,2306 $ 17.000 = Monto * 6,914 Monto = $ 2.458,77

Como pueden ver los ejercicios se pueden resolver de forma sencilla siempre y cuando uno sea ordenado y tenga en claro las fórmulas y como utilizarlas. En el caso que un ejercicio les pida determinar el interés de una imposición como podrán ver es imposible despejar el interés por lo que se realiza por método de aproximación (vamos tirando diferentes intereses hasta encontrarnos con aquel que nos da el resultado que necesitamos)

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10) Renta inmediata En el caso de la renta inmediata nos estamos refiriendo a exactamente lo opuesto a la imposición. En este caso vamos a realizar un depósito que nos va a permitir sacar un cierto monto constante cada cierto período de tiempo. Al finalizar la cantidad de períodos deberíamos haber sacado todo el depósito mas intereses. Veamos el siguiente diagrama:

p i

p M1

i

p M2

i

p M3

i

M4

Como podemos observar realizamos el primer depósito y cada un período p sacamos un monto constante. Sin la utilización de alguna fórmula en particular deberíamos llevar cada monto al principio para saber cual es su valor en el pasado y de esa forma determinar el primer depósito, M1 pasado = M1 / (1 + i) ^ 1 M2 pasado = M2 / (1 + i) ^ 2 M3 pasado = M3 / (1 + i) ^ 3 M4 pasado = M4 / (1 + i) ^ 4 Por lo que el primer depósito sería la sumatoria de M1 pasado, M2 pasado, M3 pasado y M4 pasado. Como podemos observar también hay siempre una cierta lógica y utilizando análisis matemático podemos llegar a la siguiente fórmula: Renta inmediata vencida = Monto * [ (1 + i) ^ n – 1 ] / [ (1 + i) ^ n * i ] En donde: - Monto = cuota que retiramos - i = tasa que se aplica de intereses para la renta inmediata y se encuentra en las mismas unidades de tiempo que n. - n= cantidad de retiros que se realizan. 32

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Al igual que en la imposición se deben cumplir las 3 condiciones que ya mencionamos para poder utilizar la fórmula. Al igual que en la imposición hay 2 diferentes tipos de renta inmediata: - Vencida - Adelantada La diferencia entre ambas es la misma que en la imposiciones solo que al revés. El diagrama que vimos anteriormente es de la renta inmediata vencida donde la primera cuota la retiramos luego de 1 período, en cambio en la renta inmediata adelantada la primera cuota la retiramos en el mismo momento en el que realizamos el depósito inicial. Veamos el siguiente diagrama de renta inmediata adelantada:

p M1

i

p M2

i

p M3

i

p M4

i

M5

En este caso sería, M1 pasado = M1 / (1 + i) ^ 0 M2 pasado = M2 / (1 + i) ^ 1 M3 pasado = M3 / (1 + i) ^ 2 M4 pasado = M4 / (1 + i) ^ 3 M5 pasado = M5 / (1 + i) ^ 4 La sumatoria de todos los M pasado me daría el depósito inicial y la fórmula que utilizamos para determinarlo es: Renta inmediata adelantada = Monto * [ (1 + i) ^ n – 1 ] / [ (1 + i) ^ n * i ] * (1 + i) Como pueden ver es igual a la vencida solo que se lo multiplica al igual que en la imposición por (1 + i) Veamos algunos ejemplos:

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- Determinar cual debe ser la tasa efectiva mensual para que un depósito de $ 10.000 nos permita sacar 4 cuotas mensuales de $ 3.000 sacando la primer cuota 1 mes luego de realizar el depósito. Realizamos el diagrama,

p

p

p

p

Como nos piden exactamente la tasa nos salteamos la parte del cálculo de la tasa y planteamos directamente la renta inmediata vencida, Renta inmediata vencida = Monto * [ (1 + i) ^ n – 1 ] / [ (1 + i) ^ n * i ] $ 10.000 = $ 3.000 * [ (1 + i) ^ 4 – 1 ] / [ (1 + i) ^ 4 * i ] Como ya explicamos en imposiciones no podemos despejar la i por lo que comenzamos a tirar opciones utilizando Excel y llegamos a la conclusión que: i = 7,71384% = Tasa efectiva mensual

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- Como el hijo de Marcelo acaba de cumplir 17 decidimos realizar un depósito de $ 500 cada 15 días (considerar todos los meses de 30 días y año de 360 días) con una TNA 18% capitalizable cada 35 días para que cuando cumpla 18 años pueda sacar durante 24 meses una renta constante mensual con una TNA 30% capitalizable cada 7 meses sacando la primer renta el mismo día que se realiza el último depósito de $ 500. a) Cual es el valor de esta renta? b) Si hubiésemos realizado al mes 3, 6, 9 y 12 un depósito adicional de $ 250 podríamos haber expandido la renta constante durante 2 meses mas? (no importa que sobre dinero)

En este ejercicio tenemos una imposición y una renta inmediata por lo que vamos a realizar el diagrama: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Imposición

1 2 3 4

5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Renta inmediata

Calculamos las tasas, Imposición TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TE 15 días = [ 1 + 0,18 / (360 días/ 35 días ) ] ˆ ( 15 días / 35 días) – 1 TE 15 días = i1 = 0,7462%

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Renta inmediata TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TEM = [ 1 + 0,3 / (12 meses / 7 meses) ] ˆ ( 1 mes / 7 meses) – 1 TEM = i2 = 2,33%

Una vez obtenidas las tasas realizamos la imposición: Imposición vencida = Monto * ((1 + i1) ^ n - 1) / i1 ) * (1 + i1) Imposición vencida = $ 500 * ((1 + 0,007462) ^ 24 - 1) / 0,007462 ) Imposición vencida = $ 13.088,51 Este monto lo usamos para realizar la renta inmediata y sacar el monto, Renta inmediata adelantada = Monto * [ (1 + i2) ^ n – 1 ] / [ (1 + i2) ^ n * i2 ] * (1 + i2) $ 13.088,51 = Monto * [ (1 + 0,0233) ^ 24 – 1 ] / [ (1 + 0,0233) ^ 24 * 0,0233 ] * (1 + 0,0233) Monto = $ 701,83 a) La renta es de $ 701,83 b) Realizamos una imposición vencida con el depósito adicional Calculamos la tasa TE… = [ 1 + TN…/ (período nominal…/ período de cap.) ] ˆ ( período efectivo…/ período de cap.) – 1 TETrimestral = [ 1 + 0,18 / (360 días/ 35 días ) ] ˆ ( 90 días / 35 días) – 1 TETrimestral = i3 = 4,5620% Realizamos la imposición vencida Imposición vencida = Monto * ((1 + i1) ^ n - 1) / i1 ) * (1 + i1) Imposición vencida = $ 250 * ((1 + 0,004562) ^ 4 - 1) / 0,004562 )

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Imposición vencida = $ 1.070,53

Si esta nueva imposición la sumamos a la imposición de los $ 500 nos da: Total imposición = $ 1.070,53 + $ 13.088,51 Total imposición = $ 14.159,04

Realizamos la renta vencida suponiendo 26 cuotas (2 cuotas más) Renta inmediata adelantada = Monto * [ (1 + i2) ^ n – 1 ] / [ (1 + i2) ^ n * i2 ] * (1 + i2) $ 14.159,04 = Monto * [ (1 + 0,0233) ^ 26 – 1 ] / [ (1 + 0,0233) ^ 26 * 0,0233 ] * (1 + 0,0233) Monto = $ 715,59 (al ser mayor al monto anterior sabemos que puede cubrir las 2 cuotas extra sin ningún problema) Respuesta: Si, manteniendo la cuota constante se podría aumentar la renta 2 meses y sobraría plata.

A fin de resumen para esta unidad que fue muy larga dejo el siguiente cuadro

Adelant ada Vencida

Imposición Monto * ((1 + i) ^ n -1) / i ) * (1 + i) Monto * ((1 + i) ^ n -1) / i ) * (1 + i)

Renta inmediata Monto * [ (1 + i) ^ n – 1 ] / [ (1 + i) ^ n * i ] * (1 + i) Monto * [ (1 + i) ^ n – 1 ] / [ (1 + i) ^ n * i ]

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11) Perpetuidad Esta unidad es muy sencilla y fácil. Se trata de un depósito que nos permita sacar un cierto monto constante por mes al igual que la renta inmediata pero por infinitos períodos ( n -> infinito) por lo que vamos a analizar la fórmula de renta inmediata: Tiende a infinito

tiende a infinito

Renta inmediata adelantada = Monto * [ (1 + i) ^ n – 1 ] / [ (1 + i) ^ n * i2 ] * (1 + i)

Monto = Renta inmediata adelantada / (1 + i) Nota: Esto significa prácticamente que sacamos únicamente los intereses por lo que no es nada nuevo para ustedes! Ejemplo: - Si queremos tener una perpetuidad con una cuota de $ 1000 mensual, con una TNA 12% con capitalización bimestral que monto deberíamos depositar? Calculamos i, i = { [ 1 + TN… / ( período … / período de cap.) ]ˆ (plazo / período de cap.) } – 1 i = { [ 1 + 0,12 / ( 12 meses / 2 meses ]ˆ ( 1 mes / 2 meses) } – 1 i = 2,956 % Calculamos cuanto debería ser Co para sacar un monto de interés de $ 1.000 I = i * Co I = $ 1.000 = 0,02956 * Co Co = $ 33.826,05

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12) Amortización de préstamos Cuando pedimos un préstamo se definen las cuotas en función de diferentes sistemas que veremos a continuación en donde cada cuota va a ser: R=A+I Donde: - R= Cuota - A= Amortización - I= Intereses Dependiendo los diferentes sistemas va a variar como se cancela la deuda. Los sistemas son: -

Francés Alemán

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a) Francés Se caracteriza por: R = Constante Fórmulas: R = Préstamo * (1 + i) ^ n * i / ( (1 + i) ^ n - 1 ) A=R–I I = i % de la deuda ( Préstamo – A) Préstamo i

2500 2%

R A I n

530,40 480,40 50,00 1

530,40 490,00 40,39 2

530,40 499,80 30,59 3

530,40 509,80 20,60 4

530,40 520,00 10,40 5

$ 600 $ 500

Efectivo

$ 400 R

$ 300

A

$ 200

I

$ 100 $0

1

2

3

4

5

Nro cuota

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b) Sistema alemán Se caracteriza por: Amortización constante Fórmulas: R=A+I A = Préstamo / n I = i % de la deuda ( Préstamo – A) Averiguar una cuota específica: Rm = A + [ Préstamo - ( m – 1) * Préstamo / n ] * i (m es la cuota que queremos averiguar) Préstamo i

2500 2%

R A I n

550,00 500,00 50,00 1

540,00 500,00 40,00 2

530,00 500,00 30,00 3

520,00 500,00 20,00 4

510,00 500,00 10,00 5

$ 600 $ 500

Efectivo

$ 400 R

$ 300

A

$ 200

I

$ 100 $0

1

2

3

4

5

Nro cuota

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Ejemplos Tomamos un préstamo de $ 10.000 con una TNA del 36% con capitalización cuatrimestral a devolver en 4 cuotas mensuales. Calcular el valor de la cuota, cuanto de amortización y de interés de la Nro 2 con: a) Sistema francés b) Sistema Alemán -

a) Comenzamos averiguando la i i = { [ 1 + TN… / ( período … / período de cap.) ]ˆ (plazo / período de cap.) } – 1 i = { [ 1 + 0,36 / ( 12 meses / 1 mes ) ]ˆ ( 1 mes / 4 mes) } – 1 i = 0,7417 % Planteamos la fórmula de la cuota R = Préstamo * (1 + i) ^ n * i / ( (1 + i) ^ n - 1 ) R = 10.000 * (1 + 0,007417) ^ 4 / R = $ 2.546,53 Ahora calculamos los intereses y amortizaciones de cada cuota hasta llegar a la cuota 2. I1 = $ 10.000 * 0,007417 = $ 74,17 A1 = R – I1 = $ 2.546,53 - $ 74,17 = $ 2.472,36 I2 = ($ 10.000 - $ 2.472,36 ) * 0,007417 = $ 55,83 A2 = R – I2 = $ 2.546,53 - $ 55,83 = $ 2490,69 b) La i ya la averiguamos en el punto a) por lo que pasamos a obtener la amortización. A=P/n A = $ 10.000 / 4 = $ 2.500 Ahora averiguamos la cuota Nro 2: Rm = A + [ Préstamo - ( m – 1) * Préstamo / n ] * i R2 = $ 2500 + [ $ 10.000 - ( 2 – 1) * $ 10.000 / 4 ] * 0,007417 R2 = $ 2555,63 I2 = (R2 – A) = $ 55,63 42

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13) Cálculo de inversiones VAN, TIR y PRI En esta unidad veremos cómo analizar inversiones. Para poder analizar las inversiones tenemos que entender que las mismas se analizan de forma financiera. Durante el primer cuatrimestre estudiamos y comprendimos la diferencia entre lo devengado y lo percibido. En esta unidad este concepto debemos tenerlo en cuenta para evitar cometer errores y entender fácilmente la forma como se analizan. Antes de comenzar con ejemplos y a ver las diferentes variaciones de ejercicios tenemos que tener algunos conceptos muy en claro: -

VAN (Valor Actual Neto): Así como su nombre lo menciona, es un procedimiento mediante el cual podemos calcular el valor presente de un determinado flujo de caja futuro originado por una inversión. Cuando decimos valor presente nos estamos refiriendo a que, como ya explicamos en esta unidad, el valor del dinero va variando en el tiempo (no es lo mismo tener 1 peso hoy que tenerlo dentro de 1 año). En el siguiente gráfico podemos observar cómo va variando el valor de 100 pesos si suponemos una inflación de 15% anual.

La fórmula a la que hace referencia es la siguiente: n

VAN = ∑ t=1

Vt (1+k)t

- Io

Donde: Vt = representa los flujos de caja en cada período Io = representa el desembolso inicial de la inversión n = es el número de períodos considerados k = es la tasa de interés 43

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Esta fórmula nos está diciendo que año a año tenemos que hacer la sumatoria de los flujos de caja y dividirlo por un coeficiente [(1+k)t ] a fin de transformar el valor futuro en un valor actual. El siguiente gráfico muestra un flujo de caja y como año a año aplicamos un coeficiente y la sumatoria total es el VAN. año 0

año 1

año 2

año 3

año 4

año 5

Inversion inicial

Flujo de caja año a año

Coef. Coef. Coef. Coef. Coef. Coef. 0 1 2 3 4 5

Las ganancias año a año les aplicamos su coeficiente y las llevamos al año 0 para sumarlas

Al VAN ser la sumatoria de los valores año a año llevamos al presente puede tener 3 variaciones de resultados: VAN > 0 -> Esto quiere decir que la inversión que estamos analizando y de la cual esperamos obtener un cierto interés k tiene como resultado un interés mayor al que queríamos o sea nos conviene hacer la inversión.

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VAN = 0 -> Esto quiere decir que la inversión que estamos analizando y de la cual esperamos obtener un cierto interés k nos ofrece exactamente ese mismo interés por lo que hacemos la inversión (a diferencia del anterior en este caso nuestra tasa k es la TIR, veremos más adelante que significa). VAN < 0 -> Esto quiere decir que la inversión que estamos analizando y de la cual esperamos obtener un cierto interés k nos ofrece menos interés que el que estamos pretendiendo por lo que no realizamos la inversión. -

TIR (Tasa interna de retorno): es la tasa de rendimiento que genera que nuestra VAN sea igual a 0. Para poder calcular la TIR partimos de la fórmula de la VAN, la igualamos a 0 e intentamos despejar la TIR. n

VAN = ∑ t=1

Vt - Io = 0 t (1+TIR)

Como ya se habrán dado cuenta no hay forma matemática de poder despejar la TIR por lo que tenemos que estimarla. Para estimar la TIR realizamos el cálculo de la VAN con dos tasas cercanas a que el VAN se haga 0 y lo estimamos con trigonometría. El siguiente gráfico explica lo que acabo de mencionar.

TIR real-> TIR estimada->

Tasa 35,00% 40,00% 45,00% 44,47%

VAN 36 17 0 0,1258

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Por si se olvidaron como estimar cuando una recta generada por dos puntos corta el eje X les dejo escrita la fórmula de como estimarlo: Cada recta está compuesta por la siguiente fórmula Y=X*m+b Donde: m = pendiente b = coordenada de origen Para poder construir la recta tenemos los siguientes datos: Punto 1 = (36 ; 35%) Punto 2 = (17 ; 40%) Reemplazamos en la fórmula de la recta: 0,35 = 36 * m + b -> despejamos m -> m = (0,35 – b) / 36 0,4 = 17 * m + b -> despejamos m -> m = (0,4 – b) / 17 Igualamos ambas fórmulas (0,35 – b) / 36 = (0,4 – b) / 17 0,35 – b = 0,4 * 36/17 – b * 36/17 b * ( 36/17 – 1) = 0,4 * 36/17 – 0,35 b = 0,4447 = 44,47 % De esta forma logramos estimar la TIR con un método sencillo. -

PRI (Período de recupero de la inversión): así como su nombre lo menciona, es un indicador que nos muestra en que momento recuperaremos el total de nuestra inversión. Para calcularlo debemos estimarlo en función del primer período en donde nuestro VAN es positivo. Es algo muy sencillo y el siguiente gráfico muestra cómo hacerlo.

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Período Flujo de Caja Coeficiente (10%) [1/(1+0,2)^n] Flujo Actualizado (Flujo Caja * Coef) VAN

0 -$ 100.000 1 -$ 100.000 -$ 100.000

1 $ 30.000

2 $ 28.000

3 $ 32.000

0,9091

0,8264

0,7513

$ 27.273 -$ 72.727

$ 23.140 -$ 49.587

$ 24.042 -$ 25.545

4 $ 40.000 0,6830 $ 27.321 $ 1.776

5 $ 60.000 0,6209 $ 37.255 $ 39.031

A partir del período 4 el VAN se hace positivo por lo que ya podemos decir que el PRI se encuentra entre 3 y 4 años VAN (período 4) =

$ 1.776

Flujo Actualizado = (período 4)

$ 27.321

(Flujo-VAN) / Flujo =

0,94

x

365 = dias al año

341,28

Luego de haber calculado los 341 días podemos afirmar que el PRI = 3 años y 341 días.

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14) Generación de flujos de cajas Primero que nada me gustaría que nos preguntemos cuando decimos flujo de caja a que nos estamos refiriendo exactamente? Nos estamos refiriendo al movimiento financiero de entrada o salida de efectivo en un cierto período de tiempo. Por ejemplo si durante este período de tiempo un empresa compro o vendió mercadería a 90 días esto significa que en el flujo de caja no hubo variación. Cuando se realiza una erogación o cuando se realiza un ingreso de efectivo es cuando tenemos variación. Hago mucho hincapié en este punto porque tenemos que recordar que hay resultados negativos que son no erogables (como las amortizaciones) por lo que tenemos que tenerlo en cuenta a la hora de realizar nuestro flujo de caja. Voy a nombrar y explicar los diferentes puntos que tenemos que tener en cuenta: -

-

-

-

-

Activo Fijo: Al inicio de una inversión (período 0) se genera un desembolso importante de dinero para comprar maquinaria, instalaciones, rodados o todo aquel activo fijo necesario para poder realizar la actividad deseada. A medida que se vayan pasando los períodos el activo fijo se va a ir amortizando y durante el último período vamos a recuperar la inversión de activo fijo (descontándole las amortizaciones o por el valor de recupero que se establezca). Amortizaciones: Las amortizaciones como bien sabemos son un costo pero no son una erogación puesto que es la pérdida de valor de nuestros activos fijos por lo que al momento de calcular las ganancias o pérdidas de un período hay que tenerlas en cuenta. Al considerarlas podemos calcular satisfactoriamente cuanto es el impuesto a las ganancias pero luego de haberlo calculado tenemos que volver a sumar las amortizaciones al flujo de caja puesto que como ya explique no son una erogación. Activo de trabajo: Cuando se establece un activo de trabajo para un cierto período hay que considerar que desde el período anterior ya debemos haber realizado esta inversión para poder realizar la actividad. Si año a año nuestra activo de trabajo varía tenemos que tener cuidado en solo colocar en nuestro flujo de caja las variaciones del mismo (si durante el período 1 necesitábamos $ 100 de activo de trabajo y durante el período 2 aumenta a $ 120, esto significa que en el período 0 generamos la inversión de $ 100 para activos de trabajo y en el período 1 solamente aumentamos la diferencia o sea $ 20). Durante el último período recuperamos la totalidad de activo de trabajo. Ingresos/Ventas: Luego de haber realizado la inversión en activos fijos (o sea desde el período 1) comenzamos a tener ingresos reales por nuestra actividad (ya sea venta, alquiler o lo que sea que estemos realizando). Hay que tener en cuenta cuando estamos cobrando estas ventas a la hora de colocarlas en el flujo de caja. Costos variables: son los costos que se generan para poder obtener ingresos/ventas. Hay que tener en cuenta cuando pagamos estos costos para poder colocarlas en donde corresponden en el flujo de caja.

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-

Impuesto a las ganancias: durante cada período al obtener ganancias se pagan los impuestos correspondientes. Es importante calcular bien los beneficios antes de impuestos (Beneficio antes de impuesto: Ventas – Costos Variables – Amortizaciones – Otros costos), una vez calculado se le aplicará la tasa de impuesto.

Vamos a realizar un ejercicio como ejemplo: Se quiere realizar una inversión con los siguientes datos. Calcular el flujo de caja año a año. Datos del ejercicio: Período Ventas Costos variables Amortizaciones

0

1

2

3

4

5

$0 $0 $0

$ 1.000 $ 500 $ 100

$ 1.500 $ 750 $ 100

$ 2.000 $ 1.000 $ 100

$ 1.000 $ 500 $ 100

$ 1.500 $ 750 $ 100

Inversión inicial de activos fijos de $ 3000 Inversión de activos de trabajo: año 1 y 2 -> $ 500; año 3 y 4 -> $ 750; año 5 -> $ 1000 Impuesto a las ganancias: 35% Con todos los datos otorgados primero calculamos los beneficios antes de impuestos: Período 0

1

2

3

4

5

Ventas Costos variables Amortizaciones

$0 $0 $0

$ 1.000 $ 500 $ 100

$ 1.500 $ 750 $ 100

$ 2.000 $ 1.000 $ 100

$ 1.000 $ 500 $ 100

$ 1.500 $ 750 $ 100

Beneficios a/impuestos

$0

$ 400

$ 650

$ 900

$ 400

$ 650

Una vez calculados los beneficios antes de impuestos creamos la tabla de flujo de caja año a año. Se toman como ingresos porque es un costo no erogable y lo habíamos sacado para calcular el beneficio antes de impuesto.

Ingresos en el ejercicio Beneficios a/impuestos Amortizaciones Valor Residual Act. Fijo Recupero Act. Trabajo

$0 $0 $0 $0

$ 400 $ 100 $0 $0

$ 650 $ 100 $0 $0

$ 900 $ 100 $0 $0

$ 400 $ 100 $0 $0

$ 650 $ 100 $ 2.500 $ 1.000

Total Ingresos

$0

$ 500

$ 750

$ 1.000

$ 500

$ 4.250

Egresos en el ejercicio Inversión Act. Fijo Inversión Act. Trabajo Imp. A las ganancias

$ 3.000 $ 500 $0

$0 $0 $ 140

$0 $ 250 $ 228

$0 $0 $ 315

$0 $ 250 $ 140

$0 $0 $ 228

Total Egresos

$ 3.500

$ 140

$ 478

$ 315

$ 390

$ 228

-$ 3.500

$ 360

$ 273

$ 685

$ 110

$ 4.023

Flujo de caja

Ingresos - Egresos

Como pueden observar, obtener el flujo de caja es algo muy sencillo.

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Una vez calculado el flujo de caja vamos a ver un ejemplo de cómo obtener el VAN, TIR y PRI. Partimos del flujo de caja obtenido en el ejercicio anterior y vamos a suponer que queremos obtener una tasa de rentabilidad de 10%. Período 0

1

2

3

4

5

Ingresos - Egresos Coeficiente (1/(1+k)^n)

-$ 3.500 1,0000

$ 360 0,9091

$ 273 0,8264

$ 685 0,7513

$ 110 0,6830

$ 4.023 0,6209

Ingresos Actualizados VAN (10%)

-$ 3.500 -$ 3.500

$ 327 -$ 3.173

$ 225 -$ 2.948

$ 515 -$ 2.433

$ 75 -$ 2.358

$ 2.498 $ 140

Como podemos observar el VAN se hace positivo durante el período 5 por lo que podemos decir que vamos a realizar la inversión. Para calcular la TIR vamos a estimarla, primero calcularemos el VAN con una tasa del 11% y luego lo estimaremos. Período 0

1

2

3

4

5

Ingresos - Egresos Coeficiente (1/(1+k)^n)

-$ 3.500 1,0000

$ 360 0,9009

$ 273 0,8116

$ 685 0,7312

$ 110 0,6587

$ 4.023 0,5935

Ingresos Actualizados VAN (11%)

-$ 3.500 -$ 3.500

$ 324 -$ 3.176

$ 221 -$ 2.955

$ 501 -$ 2.454

$ 72 -$ 2.381

$ 2.387 $6

0,11 = 6 * m + b -> m = (0,11 – b) / 6 0,1 = 140 * m + b -> m = (0,1 – b) / 140 (0,11 – b) / 6 = (0,1 – b) / 140 (0,11 – b) * 140 / 6 = (0,1 – b) 2,5666 - 0,1 = 23,33 b – b b = 11,0447% La TIR es 11,0447% Ahora calculamos el PRI. Como el VAN (10%) se hace positivo durante el período 5 podemos decir que el PRI se encuentra entre el período 4 y 5. Calculamos el porcentaje que representa el VAN durante el período 5. Ingreso Actualizado Período 5 = $ 2498 VAN Período 5 = $ 140

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PRI = 4 años + (2498 – 140) / 2498 *365 días = 4 años y 344 días De esta forma concluimos con el ejemplo habiendo obtenido el flujo de caja, VAN, TIR y PRI y sabiendo si debemos realizar o no la inversión. Otro ejemplo Una empresa se encuentra analizando invertir en una nueva máquina (Precio: 455.000 $), con la que evalúa realizar un negocio que durará 3 (tres) años. Los datos que dispone son: a) Para amortizar sus Bienes de Uso utiliza el Sistema de Amortización Lineal. b) El período de amortización contable considerado para el equipo bajo análisis es de 10 años, siendo el valor residual a esa fecha de 125.000 $. c) Las ventas previstas en unidades/año son: Año 1 Año2 Año3 30.000 30.000 35.000 d) El Precio de Venta del nuevo producto a comercializar es de 36,00 $/u. e) Su Costo Variable Unitario es de 23,00 $/u. f) Los Gastos Fijos de Fabricación Erogables previstos son:  Salarios: 45.000 $/año  Gastos Varios: 90.000 $/año g) El Activo de Trabajo necesario se estima igual al 25% del Costo Variable Anual previsto. h) La Tasa de Impuesto a las Ganancias que alcanza a la empresa es del 30 % i) La Tasa de Corte que usa para analizar inversiones de estas características es del 28% 1. ¿Qué decisión tomará la empresa respecto de esta inversión, si pretende recuperarla dentro de los 3 años que durará el negocio? 2. Determinar la TIR en forma aproximada.

Primero que todo calculamos la amortización año a año, Amortización = (Vo – Vr) / Vu = (455000 – 125000) / 10 = 33000 Segundo, calculamos el monto de las ventas y el costo año a año AÑO 0 Volumen de ventas Precio de venta MONTO DE VENTAS CV. Unit CV Total Salarios Gastos Amortizaciones COSTO TOTAL……………….. BENEF. antes de Imp. Gcias..

AÑO 1 30000 36 1.080.000

AÑO 2 30000 36 1.080.000

23 690.000 45.000 90.000 33.000 858.000 222.000

AÑO 3 35000 36 1.260.000

23 690.000 45.000 90.000 33.000 858.000 222.000

23 805.000 45.000 90.000 33.000 973.000 287.000

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Una vez obtenido el beneficio antes de impuesto a las ganancias calcular el valor recupero del activo fijo y el activo de trabajo necesario año a año. Activo de trabajo necesario = 25% del costo total AÑO 0 CV Total CALCULO DEL ACTIVO DE TRABAJO

AÑO 1 690.000

AÑO 2 690.000

AÑO 3 805.000

172.500

172.500

201.250

Valor recupero del activo fijo = Valor Origen – Valor Amortizado Valor recupero del activo fijo = 455000 – 99000 Valor recupero del activo fijo = 356000 Con todos los datos calculados ya podemos crear el flujo de efectivo año a año INGRESOS B.a.i. Amortizaciones V.Rec Act.FIJO V.R. Act. TRJO. TOTAL DE INGRESOS……… EGRESOS INVERSION ACT. FIJO ACT. TBJO. I. GCIAS…….. TOTAL DE EGRESOS………

222.000 33.000

222.000 33.000

255.000

255.000

287.000 33.000 356.000 201.250 877.250

627.500

66.600 66.600

28.750 66.600 95.350

86.100 86.100

627.500

188.400

159.650

791.150

455.000 172.500

(Ing - Egr)……. -

Una vez tenemos el flujo de efectivo lo actualizamos con la tasa propuesta 28% (Ing - Egr)……. F act (28%) (Ing - Egr)act…… VAN -

627.500 1,00000 627.500 627.500

-

188.400 0,78125 147.188 480.313

-

159.650 0,61035 97.443 382.870

-

791.150 0,47684 377.250 5.620

Como se puede observar el VAN nos da negativo por lo que no conviene hacer la inversión. Vamos a estimar la TIR, primero calculamos el VAN con tasa 27% y luego creamos la recta para poder estimarlo. (Ing - Egr)……. F act (27%) (Ing - Egr)act…… VAN -

627.500 1,00000 627.500 627.500

-

188.400 0,78740 148.346 479.154

-

159.650 0,62000 98.983 380.170

791.150 0,48819 386.231 6.061

0,28 = - 5620 * m + b 0,27 = 6061 * m + b (0,28 – b) / (-5620) = (0,27 – b) / 6061 52

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- 0,3019 + 1,0784 b = 0,27 – b b = 75,518% La TIR es 75,518%

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