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INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICO INDUSTRIAL “PEDRO A. OÑORO” DE BARANOA. Con Reconocimiento Oficial mediante Resolución Nº.04154 de Agosto 13 del 2009 Expedida por la Secretaría De Educación Departamental Plantel Oficial de Educación Técnica Industrial

DANE.: 108078000215 NIT.: 802, 016,204-5 **************************************************************************************** AREA: Matemáticas GRADO: 10°A, B, C PERIODO: Segundo TEMA: Técnicas de Conteo Mecanismo de trabajo: Una vez hayas comprendido la temática, debes resolver los ejercicios en tu cuaderno de manera ordenada, con letra legible, colocando tu nombre completo, fecha y curso, luego tomar unas fotos de ese desarrollo y enviarlas el 22 de julio de 2020 al correo:[email protected]. TÉCNICAS DE CONTEO Las técnicas de conteo son estrategias matemáticas usadas en probabilidad y estadística que permiten determinar el número total de resultados que puede haber a partir de hacer combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Este tipo de técnicas se utilizan cuando es prácticamente imposible o demasiado pesado hacer de forma manual combinaciones de diferentes elementos y saber cuántas de ellas son posibles. Analicemos las siguientes situaciones. Situación 1: Se tiene tres sabores de helado, fresa, chicle y chocolate. Si Juan puede escoger dos sabores diferentes de esos tres, ¿cuántas y cuáles opciones tiene? Solución: Se podría resolver este problema haciendo manualmente las combinaciones: fresa y chicle, fresa y chocolate, chicle y chocolate, por lo tanto, Juan tiene 3 opciones. Situación 2: Si Marta tiene las 27 letras del abecedario y debe tomar 4 de ellas, ¿cuántas opciones tiene? Solución: Al intentar hacerlo manualmente, se tienen las combinaciones: abcd, abce, abcf, abcg, abch,…,abcz, abde, abdf,...,abdz,…,wxyz. Como podrás analizar este tipo de ejercicio es bastante tedioso para hacerlo manualmente, por lo tanto, se recomienda hacer uso de las técnicas de conteo. TIPOS DE TÉCNICAS DE CONTEO 1. Principio Multiplicativo Si tenemos un experimento el cual puede ocurrir de “n” maneras diferentes, un segundo experimento que tiene “m” maneras diferentes de ocurrir, y el experimento es uno seguido del otro entonces tenemos n·m posibilidades de que este pueda ocurrir. Este principio puede generalizarse a cualquier número de experimentos. Ejemplo 1: Cuántos posibles modelos de sudadera recibirá la dueña de un almacén, si sabe que las sudaderas vienen en cuatro colores (rojo, negro, azul y blanco) y en tres tallas diferentes (S, M, L) Solución: Para hacerlo más claro podemos ayudarnos con un diagrama del árbol, los cuales constituyen un instrumento eficiente para listar, contar y analizar los posibles resultados en una sucesión de eventos En este diagrama se pueden contar 12 modelos. Si aplicamos el principio multiplicativo, podemos analizar que en esta situación hay dos experimentos, “el ser de un color” y “el ser de una talla”, el primero puede ocurrir de 4 formas diferentes, pues hay cuatro colores, y el segundo puede ocurrir de 3 formas diferentes, pues hay tres tallas, y si tenemos un tercer experimento de combinar talla y color y queremos saber cuántas modelos resultan, entonces se multiplica 4 por 3, dando como resultado 12, la misma cantidad que se contó con el diagrama de árbol.

Ejemplo 2: Calcular cuántos números enteros diferentes de tres cifras se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si no pueden repetirse. Solución: Si es un número de tres cifras, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes y finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los cinco últimos dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos: 7x6x5 = 210 números 2. Principio aditivo Es una técnica de conteo en probabilidad que permite medir de cuántas maneras se puede realizar una actividad que, a su vez, tiene varias alternativas para ser realizada, de las cuales se puede elegir solo una a la vez, es decir, si un suceso “A” se puede realizar de “m” maneras diferentes, y otro suceso “B” se puede realizar de “n” maneras diferentes, entonces, el suceso A o el suceso B, se realizarán de m+n formas diferentes.

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DANE.: 108078000215 NIT.: 802, 016,204-5 **************************************************************************************** Ejemplo 3: Se quiere comprar chocolate, habiendo tres marcas en el supermercado: A, B y C. El chocolate A se vende de tres sabores: negro, con leche y blanco, además de haber la opción sin o con azúcar para cada uno de ellos. El chocolate B se vende de tres sabores, negro, con leche o blanco, con la opción de tener o no avellanas y con o sin azúcar. El chocolate C se vende de tres sabores, negro, con leche y blanco, con opción de tener o no avellanas, cacahuete, caramelo o almendras, pero todos con azúcar. Con base a esto, la pregunta que se pretende responder es: ¿cuántas variedades distintas de chocolate se pueden comprar? Solución: Llamemos W al experimento cantidad de formas de seleccionar el chocolate A, Y al experimento cantidad de formas de seleccionar el chocolate B, y Z al experimento cantidad de formas de seleccionar el chocolate C. Entonces, W = 3 ∙ 2 = 6. Y = 3 ∙ 2 ∙ 2 = 12. Z = 3 ∙ 5 = 15. W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 variedades diferentes de chocolate. Ejemplo 4: Un paquete de software tiene 3 opciones de menú, si la primera tiene 10 sub-opciones, la segunda tiene 15 sub-opciones y la tercera tiene 12 sub-opciones, ¿de cuántas maneras diferentes puede elegir el usuario una sub-opción? Solución: Por el principio aditivo, se puede notar que el usuario solamente puede elegir una sub-opción a la vez: 10 maneras + 15 maneras + 12 maneras = 37 maneras.

¿Cuándo hacer uso del principio multiplicativo o del principio aditivo? Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere de una serie de pasos para ser llevada a cabo, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. Analice que en el ejemplo 1 se trataba de una sola actividad, saber cuántos modelos de sudadera podían llegar y para resolverlo se llevaron a cabo dos pasos, seleccionar color y luego talla, mientras que, en el ejemplo 3 se tenían tres marcas o alternativas para elegir comprar algún tipo de chocolate. ACTIVIDAD No 1 1. Elabore un diagrama de árbol para determinar lo que se indica en cada caso a) Opciones para formar parejas de baile, si hay cinco hombres y siete mujeres. b) Formas de seleccionar un menú, teniendo cinco opciones de ensalada, cuatro de carne, cinco de jugos y tres de postres. 2. Leer, analizar y luego resolver cada una de las siguientes situaciones: a) De la ciudad A a la ciudad B, se puede ir mediante 2 buses o 3 trenes. De la ciudad B a la ciudad C se puede ir mediante 2 barcos, 2 trenes o 3 aviones. ¿De cuántas formas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B? b) Un equipo de fútbol tiene tres estilos diferentes de camisetas, dos de pantalonetas y cuatro de medias. ¿de cuántas maneras diferentes pueden uniformarse para un partido? c) En una biblioteca hay libros de historia, los cuales se presentan en tres editoriales diferentes y cada una de ella maneja 4 tamaños diferentes, y cada tamaño se presenta en 5 colores diferentes. ¿cuántas variedades distintas de libro de historia se puede conseguir en esa biblioteca? d) Si la clave de un candado consta de tres letras (A – B – C) y de cuatro números (1 – 2 – 3 – 4) , ¿Cuántas claves diferentes se pueden formar? PERMUTACIONES Y COMBINACIONES Normalmente usamos la palabra "combinación" sin pensar en, si el orden de las cosas es importante. Observe estas situaciones: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y peras", aquí no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "peras, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y peras", igual, será la misma ensalada. "La combinación de una cerradura es 4-7-2": ahora sí importa el orden. "7-2-4" no funcionaría, ni "2-4-7". Tiene que ser exactamente 4-7-2 Función Factorial (!): Consiste en multiplicar todos los números naturales desde el 1 hasta el número indicado. Ejemplo: si queremos hallar 4! (se lee 4 factorial), debemos multiplicar los números naturales desde el 1 hasta el 4, así: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

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DANE.: 108078000215 NIT.: 802, 016,204-5 **************************************************************************************** si queremos hallar 7! (7 factorial), debemos multiplicar los números naturales desde el 1 hasta el 7, así: 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1 Nota: Para el caso de 0!, se ha asumido que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas situaciones matemáticas. Permutación: Una permutación es un arreglo en donde el orden es importante. Se llama permutación de 𝒏 elementos a cada una de las diferentes ordenaciones que se pueden hacer tomando 𝒓 cantidad de esos elementos. La notación para permutación es 𝑷𝒏,𝒓 donde 𝒏 es el número de elementos y 𝒓 número de elementos por grupo. La expresión para determinar el número de permutaciones es: 𝒏! 𝑷𝒏,𝒓 = (𝒏 − 𝒓)! Combinación: Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es 𝑪𝒏,𝒓 , la cual indica la cantidad de combinaciones de 𝒏 elementos seleccionados, 𝒓 a la vez. La expresión matemática para determinar el número de combinaciones es: 𝒏! 𝑪𝒏,𝒓 = 𝒓! (𝒏 − 𝒓)! Nota: Piensa en un grupo de 3 letras, por ejemplo: A – B – C. En una permutación, ABC y CAB son resultados distintos, pues las letras están en diferentes ubicaciones, pero en una combinación, esos resultados son el mismo. Ejemplo 5: Leer, analizar y luego resolver cada una de las siguientes situaciones: a) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 3 pelotas iguales en 10 cajas, si en cada caja sólo cabe una pelota? b) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 3 pelotas diferentes (azul, verde, rojas) en 10 cajas, si en cada caja sólo cabe una pelota? Solución: Observe que las dos situaciones son muy similares, la única diferencia está en que en el ejercicio “a” las pelotas son iguales, mientras que, en el “b” son diferentes, lo que indica que en la situación “a” no importa el orden, dado que da lo mismo escoger cualquiera de las tres pelotas, lo que no sucede en la situación “b”, pues no es lo mismo escoger la pelota azul o la verde o la roja. Por lo anterior, se determina que el “a” es una combinación y el “b” una permutación, en ambos 𝒏 = 𝟏𝟎 pues las cajas son las que se van a ir seleccionando para ingresar una pelota, y 𝒓 = 𝟑, pues se seleccionaran solo tres para el ingreso de las pelotas. a) 𝑪𝟏𝟎,𝟑 =

𝟏𝟎! 𝟏𝟎! 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟖 × 𝟗 × 𝟏𝟎 𝟕𝟐𝟎 = = = = = 𝟏𝟐𝟎 𝟑! (𝟏𝟎 − 𝟑)! 𝟑! ∙ 𝟕! 𝟏×𝟐×𝟑×𝟏×𝟐×𝟑×𝟒×𝟓×𝟔×𝟕 𝟏×𝟐×𝟑 𝟔

De 120 maneras se pueden colocar 3 pelotas iguales en 10 cajas, si en cada caja sólo cabe una pelota. b) 𝑷𝟏𝟎,𝟑 =

𝟏𝟎! 𝟏𝟎! 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟒 × 𝟓 × 𝟔 × 𝟕 × 𝟖 × 𝟗 × 𝟏𝟎 = = = 𝟖 × 𝟗 × 𝟏𝟎 = 𝟕𝟐𝟎 (𝟏𝟎 − 𝟑)! 𝟕! 𝟏×𝟐×𝟑×𝟒×𝟓×𝟔×𝟕

De 720 maneras se pueden colocar 3 pelotas diferentes en 10 cajas, si en cada caja sólo cabe una pelota.

ACTIVIDAD No 2 1) Un amigo le quiere regalar a otro, dos libros y los quiere elegir entre los 15 que le gustan. ¿De cuántas formas puede hacerlo? 2) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden escribir de forma que no se repitan dígitos 3) Una familia, formada por los padres y tres hijos, van al cine. Se sientan en cinco butacas consecutivas. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse? 4) ¿De cuántas maneras diferentes pueden repartirse 5 cartas a partir de 52 cartas (poker)? 5) ¿Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a partir de un grupo de 10 individuos? 6) Un barco tiene diez banderas diferentes para hacer señales y cada señal se forma colocando 4 banderas en un mástil. ¿Cuántas señales distintas pueden hacer desde el barco?

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