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• Frank Bula

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Medida de la velocidad de la luz

DETERMINCION EXPERIMENTAL DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN DIFERENTES MEDIOS, UTILIZANDO PULSOS CORTOS DE LUZ.

LABORATORIO DE ÓPTICA

OBJETIVOS 1. Realizar el montaje para la realización de la medición de la velocidad de la luz utilizando pulsos cortos de luz. 2. Obtener la medida de la velocidad de la luz en aire. 3. Medir la velocidad de la luz en el agua, en un cable coaxial y en un bloque de resina sintética. 4. Obtener el coeficiente de refracción relativo entre el aire y la resina sintética.

PREINFORME 1. Investigue la evolución histórica de cómo se obtuvo el valor de la velocidad de la luz. 2. Consulte de que factores depende la propagación y la variación de la velocidad de la luz cuando viaja en diferentes medios.

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA La velocidad de la luz en el vacío es por definición una constante universal de valor 299.792.458 m/s. Se denota con la letra C, proveniente del latín celéritās (en español celeridad o rapidez), y también es conocida como la constante de Einstein. La rapidez a través de un medio que no sea el "vacío" depende de su permitividad eléctrica y permeabilidad magnética y otras características electromagnéticas. En medios materiales, esta rapidez es inferior a "c" y queda codificada en el índice de refracción.

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En modificaciones del vacío más sutiles, como espacios curvos, efecto Casimir, poblaciones térmicas o presencia de campos externos, la rapidez de la luz depende de la densidad de energía de ese vacío. Una consecuencia en las leyes del electromagnetismo (tales como las ecuaciones de Maxwell) es que la rapidez c de radiación electromagnética no depende de la rapidez del objeto que emite la radiación. Así, por ejemplo, la luz emitida de una fuente de luz que se mueve rápidamente viajaría a la misma rapidez que la luz proveniente de una fuente estacionaria (aunque el color, la frecuencia, la energía y el momentum de la luz cambiarán, fenómeno que se conoce como efecto Doppler).

Medida de la velocidad de la luz LA PROPAGACIÓN DE LA LUZ Por medio de las ecuaciones de maxwell podemos demostrar que la luz es una onda electromagnética, y a través de ella poder obtener la velocidad de propagación de la onda, es decir la velocidad de la luz. Las cuatro ecuaciones de Maxwell, descritas por Heaviside, son consideradas los Principios de la Teoría Electromagnética, que corresponden a cuatro fenómenos básicos que no tienen demostración teórica. Es importante recalcar que de estas ecuaciones se deducen todas las leyes conocidas del electromagnetismo, conformando una teoría clásica completa. Ellas son:

  B  E   t  D      D  H  J  t  B  0

(1) (2)

(4)

(5)

Aplicando la igualdad vectorial en ambos miembros de la primera ecuación de Maxwell, resulta:

     B  2     E      E   E       t 



(7 ) (8)



 

(9)

Usando la segunda ecuación (divergencia nula) y considerando que la derivada temporal y el rotor son operaciones que conmutan pues operan sobre variables independientes, queda:



   2 E   B t



(10)

Finalmente, reemplazando el rotor (tercera ecuación) obtenemos

  2E  E  0  0 2 t 2

(11)

Análogamente, haciendo el mismo procedimiento completo a partir de la tercera ecuación, llegamos a la siguiente relación:

  2B  B  0  0 2 t 2

(6)

Cabe esperar que los campos sean idénticamente nulos en todo el espacio, puesto que, además de ser la solución trivial de las ecuaciones planteadas, estamos acostumbrados a asociar los campos con sus fuentes, en este caso inexistentes.

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Veamos la demostración matemática.

(3)

Supongamos estar en el vacío, es decir sin materia ni cargas ni corrientes, y asumamos válidas y sin restricciones las ecuaciones de Maxwell que, en estas condiciones, son las siguientes:

  B  E   t  E  0   E   B  0  0 t  B  0

Una vez más la intuición nos engaña pues, como veremos, este sistema de ecuaciones tiene solución distinta de cero, siendo ello un resultado asombroso y extraordinario por el cual el campo electromagnético adquiere categoría de ente físico real.

(12)

Los campos E y B se propagan, como era obvio de acuerdo al análisis de la Hipótesis de Maxwell, en conjunto. Esta es una ecuación vectorial de ondas, es decir tres ecuaciones escalares de D’Alembert, que admiten solución no nula.

1  2   2 (13) Ecuación de D' Alembert v t2 2

Medida de la velocidad de la luz Siendo v la velocidad de propagación. Por ejemplo, una solución simple es la de una onda plana propagándose según el eje x. Por comparación con la ecuación de D’Alembert, podemos determinar la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío, cálculo simple que da como resultado (maravilloso) la velocidad de la luz:

v

1

0  0

c

(14)

Los términos 𝜇 y 𝜖 son la constante de permeabilidad magnética y la constante de permitividad eléctrica respectivamente. Conociendo los valores:

0  4 107 NA2  0  8.85  10 12 Resulta:

F m

c  3 10 8

m s

La dirección de propagación de la luz esta dada por la dirección del vector de poynting el cual es perpendicular a la dirección del campo eléctrico y magnético, que a su vez también son perpendiculares. EL EQUIPO NECESARIO El equipo esta conformado por el aparato para medir la velocidad de la luz y dos espejos de desviación y sirve para medir la velocidad de la luz a partir del camino recorrido y el tiempo de pulsos luminosos. El aparato consta de un LED emisor pulsos muy cortos de luz roja, donde el ancho es de aproximadamente 20 ns. Estos pulsos recorren el camino S mostrado en la figura 1, reflejándose en el espejo triple grande d1. Luego de su recorrido de ida y

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vuelta, de longitud conocida, los pulsos de luz son convertidos a pulsos de tensión y observados con un osciloscopio, mediante el cual se determina el tiempo transcurrido. EL TRAYECTO DE LA LUZ. La luz de la fuente luminosa, un LED rojo claro (λ = 615nm) de alta potencia, emite pulsos de luz con una frecuencia de 40 kHz. La luz se refleja en el espejo semitransparente que actúa como divisor de haz b, dando lugar a un “rayo de referencia” en la dirección de la ventana la otra mitad del haz atraviesa por la ventana como “rayo de medición” y es enfocada por la lente (f = 200 mm) en el triple espejo grande que se encuentra a una distancia S del aparato. El espejo hace que el haz vuelva nuevamente por el mismo camino que de ida (ver figura 1). El divisor de haz b que está dentro del aparato de medición refleja hacia abajo la luz que retorna en dirección al fotodiodo e. Este diodo receptor convierte los pulsos de luz, en pulsos de tensión que van a ser registrados en el osciloscopio como “señales de tiempo” . El triple espejo pequeño ubicado directamente sobre genera un pulso de referencia con un retardo despreciable y no interfiere con el rayo a medir. Si se desplaza la posición del triple espejo grande una cantidad ∆S del tal manera que el recorrido de los pulsos de luz varíen 2∆S, entonces la señal de tiempo se desplazara hacia la derecha una cantidad ∆t en el osciloscopio. La velocidad de la luz podrá ser determinada realizando una grafica de la distancia ∆S en función de la separación temporal ∆t. Para llevar a cabo la medición absoluta del tiempo t requerido por un pulso de luz para recorrer el camino 2S, se necesita además de la señal , un pulso de referencia para el punto cero, la cual se genera mediante el espejo triple pequeño . La diferencia de tiempo entre y es el tiempo t que la luz requiere para recorrer el camino S.

Medida de la velocidad de la luz

Figura 1. Principio esquemático de la medición de la velocidad de la luz, usando pulsos cortos de luz.

MEDIDA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN UN CABLE COAXIAL ¿Que es un cable coaxial? El cable coaxial consiste en un conductor de centro aislado que se cubre con un protector como lo muestra la figura 2. Es usado para llevar señales de radio, de video, y las señales de los datos.

señal de referencia a través de una unión T, y por otro lado como señal de medición en un cable coaxial de longitud L. la señal recorre el cable y se refleja en el terminal abierto sin variación brusca o en un terminal cerrado con variación brusca. Después de un recorrido, 2S, las señales arriban al osciloscopio en un tiempo de recorrido t desplazada respecto a las señales .

MEDIDA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN UN MEDIO Contrario a lo que sucede con las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas viajan más lento en medios de mayor densidad.

Figura 2. Componentes de un cable coaxial.

Para el análisis de los tiempos de recorrido en cables coaxiales, las señales obtenidas por reflexión de los pulsos de luz en el espejo triple pequeño sobre la ventana , deben alimentar el osciloscopio, por un lado como

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Esto se debe a la absorción de energía irradiada por parte de los átomos que conforman el medio en el cual se propaga la onda. Entonces se puede decir que la velocidad de la onda electromagnética depende del medio en el cual ella se propaga. Más exactamente los factores de absorción están relacionados directamente con la permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del medio. Así podemos definir el índice de refracción de un medio, talque:

Medida de la velocidad de la luz

√

𝜇 𝜇

Entonces tenemos que la velocidad de la luz en un medio se puede redefinir en términos del índice de refracción, que es característico de cada medio, como:

MATERIALES 1 Aparato Emisor-Receptor de pulsos para la medición de la velocidad de la luz 1 Bloque de resina sintética 1 Tubo hermético de 1m de largo 1 Lente con montura, f = 200 mm

Los medios que transmiten luz no son magnéticos normalmente y, por tanto Km difiere de uno por no más de una diez milésima parte. Así la constante dieléctrica Ke es la que determina la velocidad de la luz en un material dieléctrico. Recordemos que la constante dieléctrica es, en efecto una medida de la respuesta de los dipolos a un campo aplicado. Si el campo eléctrico aplicado varia con una frecuencia elevada los dipolos puede no tener tiempo para responder, y no se pueden emplear las constantes dieléctricas estáticas en este caso de un campo E rápidamente variante. Entonces si analizamos la propagación de la luz en un medio, debemos tener en cuenta que la constante dieléctrica está en función de la frecuencia de la luz, así la velocidad de la luz en el medio depende además, de la frecuencia o la longitud de onda de la misma. Para nuestra experiencia, al interponer un medio en la trayectoria de la luz, podremos determinar la velocidad de propagación de ésta en dicho medio. De tal manera, que la velocidad de luz se puede determinar por medio de la siguiente ecuación:

1 Banco de óptica con perfil normal 2 Soportes ópticos, H: 90 mm, B: 50 mm 1 Osciloscopio de dos canales, ancho de banda ≥ 20 MHz 3 Cables para alta frecuencia BNC, 1 m 1 Escala de madera ó cinta métrica 1 Base de soporte grande en forma de V 1 Varilla de soporte, 100 cm 1 Par de mordazas múltiples 1 cable coaxial con conectores BNC, 50Ω , largo ≥ 10m 1 unión T, BNC 1 unión recta, BNC 1 adaptador, BNC/4 mm, bipolar 1 conector puente 1 resistencia variable STE, 1kΩ

Donde Sm es la longitud del medio en el cual se propaga la luz y tm el tiempo en recorrer la distancia 2Sm.

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Medida de la velocidad de la luz

PROCEDIMIENTO Para la realización de esta experiencia es necesario no solo disponer de los materiales adecuados sino también tener una muy clara idea del montaje que se debe realizar. En la figura 3 se muestra de manera grafica el montaje de los elementos. El emisor de pulsos se debe colocar en una base fija y balanceada, se recomienda que sea en un jinetillo al igual que el lente de enfoque (f = 200 mm) ambos sobre el banco óptico de perfil normal verificando que el haz proveniente del emisor pase a través de la lente y sea enfocado sobre el espejo triple que debe estar a una determinada distancia asegurado en una base de soporte, sería muy conveniente que el haz choque de manera perpendicular y justo en el centro del espejo, de esta manera el haz será regresado al receptor del aparato y por medio de las conexiones aparato-osciloscopio se verán reflejado en el osciloscopio el tiempo que tarda el pulso en hacer este viaje

Configure el osciloscopio con las indicaciones que se muestran en la tabla 1.

Tipo de funcionamiento Canal I Línea nula Triggerizado Nivel de trigger Deflexión de tiempo Atenuación X Intensidad

Monocanal CC, 5 – 100mV/cm Sobre el borde interior del reticulado Externo, CA, + flanco creciente Automático 0.1- μs/cm, cal

Tabla 1. Configuración del osciloscopio para la medición de la velocidad de la luz

Figura 3. Montaje del experimento para obtener el valor de la velocidad de la luz usando pulsos cortos.

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1x máxima

Medida de la velocidad de la luz

MEDIDA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN EL AIRE CON PULSO DE REFERENCIA Coloque el triple espejo pequeño sobre la ventana Co de tal manera que se vea el pulso de referencia en el osciloscopio. Varíe la distancia del triple espejo grande, logrando que se vean dos picos separados en el osciloscopio. Mida el tiempo de separación entre los dos picos, el de referencia y el reflejado por el triple espejo grande. Tome varias medidas de tiempo para diferentes corrimientos del espejo triple grande (ver figura 4(a)).

Figura 4(b). Se muestra el corrimiento del pulso reflejado, proporcional al corrimiento del espejo triple grande. Sin hacer uso del pulso de referencia.

MEDIDA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ EN OTRO MEDIO Para obtener el valor de la velocidad de la luz en un medio diferente, (bloque de resina sintética, agua) haga el montaje para medir la velocidad de la luz con pulso de referencia, pero esta vez interponga el bloque o el tubo hermético lleno de agua en la trayectoria del pulso de luz y del triple espejo grande, se debe notar una pequeña variación en la separación temporal de los picos. Figura 4(a). Vista de los picos observados en el osciloscopio. En la imagen se observa la separación temporal entre el pulso de referencia y el pulso reflejado por el triple espejo grande.

Se puede deducir Tb (tiempo que tarda la luz en atravesar el bloque) partiendo de la ecuación siguiente,

T  T0  Tb MEDIDA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ SIN PULSO DE REFERENCIA Retire el espejo pequeño de la ventana Co y coloque el triple espejo grande a una distancia determinada. Una vez tenga el pico de la reflexión de la luz en el osciloscopio, coloque este pico como punto de referencia, luego varíe la distancia del triple espejo grande, y notara que su punto de referencia se ha movido. Determine cuanto fue el corrimiento de este pico. Tome varias medidas variando la posición inicial y final del espejo triple grande (ver figura 4(b)).

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(18)

Donde T corresponde al tiempo obtenido por el osciloscopio (tiempo de viaje fuera y dentro de la resina), T0 el tiempo que tarda el haz en viajar fuera de la resina (ida y vuelta) y Tb el tiempo que tarda el haz en atravesar la resina (ida y vuelta). Tb Se puede obtener conociendo la velocidad de la luz en el aire y la distancia recorrida por la misma en éste medio; así La velocidad de la luz en la resina resulta: Vb 

2X b Tb

(19)

Medida de la velocidad de la luz Donde X b es la longitud del bloque de resina sintética. Finalmente se puede obtener Vb (Velocidad de la luz dentro de la resina), mediante la sgte expresión:

Vb 

2X b 2X 0 T V0

(20)

Donde X 0 corresponde a la distancia del emisor hasta la pared frontal de la resina mas la distancia de la pared lateral hasta el triple espejo, y V0 es la velocidad de la luz en el aire. PARA EL USO DE CABLE COAXIAL. Coloque la unión T al final del cable coaxial en la salida pulsos, una terminal de la T conéctela al canal I del osciloscopio, y la otra al cable coaxial. Además, al final de éste cable, coloque la unión recta y empalme el adaptado bipolar, para mantener abierta o cerrada la señal (ver figura 5). Conecte las señales generadas por el espejo triple pequeño a través de la unión T, directamente al osciloscopio como señal de referencia y al cable como pulso de medición. Esta debe recorrer dos veces el cable de longitud L, reflejándose en el terminal abierto o cerrado, y luego del tiempo tardado t deberá aparecer en el osciloscopio como pulso de referencia .

EVALUACIÓN 1. Grafique los valores obtenidos con pulso de referencia para el triple espejo grande contra el tiempo de separación de la señal reflejada. 2. Determine el valor e la velocidad de la luz en el aire utilizando la grafica anterior y analice los resultados. 3. Grafique los valores obtenidos sin pulso de referencia de la variación de posición del triple espejo grande contra la variación temporal del pulso reflejado. 4. Determine el valor de la velocidad de la luz en al aire utilizando la grafica del numeral anterior y analice los resultados. 5. Con base en los ítems anteriores, explique de manera detallada en que se diferencian las dos formas de obtener el valor de la velocidad de la luz en el aire. 6. Compare y estime un valor promedio y un error absoluto para la medida de la velocidad de la luz en el aire, utilizando los valores de las dos formas. 7. Determine el valor de la velocidad de la luz en un cable coaxial. 8. Calcule la velocidad de la luz en el bloque de resina sintética y en el agua, además obtenga el índice de refracción para ambos.

Figura 5. Montaje del experimento para obtener la medida de la velocidad de la luz en cables coaxiales.

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REFERENCIAS 1. Fundamental Physical Constants: Speed of light in vacuum; c, c0. www.physics.nist.gov. 2. David Halliday, Robert Resnick; Physical Vol. II, cuarta edición, págs. 301 -303; 332 – 336. 3. Grant R. Fowles; Introduction to Modern Optics; second edition; págs.2-7. 4. Guias de Laboratorio Leibold Didactic; LD DIDACTIC GMBH. Leyboldstrasse 1 .D-50354 Hürth. 5. Eugene Hecht Optics (four edition. Addison Wesley, 2002), pag. 12,4346. 6. http://casanchi.com/fis/05_ecuacion esmaxwell01.pdf

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