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LICEO BICENTENARIO GREGORIO CORDOVEZ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS MARCELO OSSES BASCUR

GUIA DE EJERCICIOS N°1 – TERCEROS MEDIOS UNIDAD NUMEROS: CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS APRENDIZAJES ESPERADOS

-

CONTENIDOS O CONCEPTOS CLAVES

-

Reconocer los números complejos como una extensión del campo numérico de los números reales. Utilizar los números complejos para resolver problemas que no admiten solución en los números reales. Resolver problemas aplicando las cuatro operaciones con números complejos.

-

NOMBRE:

I.

FECHA

Utiliza la unidad imaginaria i para representar cada expresión 1.

√−1

2.

√−2

3.

−√−3

4.

7.

√−16

8.

√−25

9.

2√−48

10. √−49

11. −

16. −√−96𝑎𝑥

17. √−84𝑎𝑏 2

13. −√−𝑏 2 II. 1. 3.

5. III.

14. √−4𝑥 2

15. √−5𝑎2 𝑏 2

3√−7

5.

−2√−9 1 25

6.

−√16

12. √−𝑎

√−200

18. √−

16 25

𝑎4

Escribe las siguientes expresiones utilizando la unidad imaginaria i √−𝑥 2 𝑦 − √−25𝑥𝑦 2 √−4𝑥 2 2𝑥

√−

∙

√−9𝑥 3𝑖√𝑥

25𝑥 2 4𝑥

2.

√−𝑥𝑦 + √−4𝑥 − √−9𝑥𝑦 + √−16𝑥

4.

√−

12 9𝑥 2

∙ √−27𝑥 2

∙ √−36𝑥

Desarrolle las siguientes expresiones

1.

√−16 − √−49

2.

√−25 − √−36

3.

6.

√−4 ∙ √−25

7.

√11 ∙ √−11

8.

11. 𝑖√18 + √−18

IV.

Definición de la unidad imaginaria. Raíz cuadrada de números negativos. Potencias de i. Números Complejos. Representación de números complejos. Igualdad de números complejos. Conjugado de una complejo. Modulo de un complejo. Adición de complejos. Multiplicación de complejos. Reciproco de un complejo. División de complejos.

12. (𝑖√5)

2

√−36 − √−225

(3√−2) ∙ (−√−50) 13. 𝑖 ∙ 8𝑖

√−3 ∙ √−3

4.

√−11 + √−15

5.

9.

𝑖 −1

10. √2𝑖 + 3√2𝑖

14. (−3𝑖√6)

2

15. (√2𝑖) ∙ (√3𝑖)

Simplifica las siguientes expresiones

1.

𝑖 3743

2.

𝑖 49 ∙ 𝑖 87

3.

𝑖 34 ∙ 𝑖 305 + 𝑖 78 ∙ 𝑖 116

4.

3𝑖 5 − 4𝑖 8 + 2𝑖 11 − 𝑖 9

5.

𝑖 79 ∙ (2𝑖 33 − 3𝑖 28 )

6.

(3𝑖)8 : (𝑖 26 + 𝑖 403 )

7.

4𝑖 ∙ (2𝑖 3 − 4𝑖 6 + 𝑖 7 )

8.

𝑖 719 ∙ 𝑖 65 + 𝑖 80 ∙ 𝑖 101

9.

(−3𝑖)3 + (2𝑖)6 : (12𝑖 15 )

10. 𝑖 ∙ (2𝑖 7 − 5𝑖 6 + 𝑖 6 ) + 𝑖 5

1

LICEO BICENTENARIO GREGORIO CORDOVEZ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS MARCELO OSSES BASCUR

Escribe un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 que cumpla el requisito indicado en cada caso.

V. 1. 2. 3.

Su parte real es irracional y es el triple que su parte imaginaria. Es un imaginario. Es un número real negativo

VI.

Determina los valores de a y b que satisfagan cada igualdad

1.

𝑎 + 𝑏𝑖 = 5

2.

𝑎 + (𝑏 − 3)𝑖 = 7𝑖

3.

(𝑎 − 2) − (𝑏 − 1)𝑖 = 5

4.

2(𝑎 + 𝑏𝑖) = 3 − 4𝑖

5.

3𝑎 + 𝑏𝑖 = 2 − 7𝑖

6.

𝑎 + 𝑏𝑖 = −4 + 6𝑖

7.

2𝑎 + 3𝑏𝑖 = −11 + 7𝑖

8.

2𝑎 + 3𝑏𝑖 = −11 + 7𝑖

VII.

Escribe la expresión que corresponde a cada número complejo de la siguiente representación gráfica.

1.

𝑍1 =

2.

𝑍2 =

3.

𝑍3 =

4.

𝑍4 =

5.

𝑍5 =

6.

𝑍6 =

VIII. Representa los siguientes números complejos en el plano de Argand. 1.

5 + 2𝑖

2.

−1 + 𝑖

3.

−2 − 11𝑖

4.

−3 − 𝑖

5.

6.

5−𝑖

7.

3 − 2𝑖

8.

−3𝑖 + 4

9.

4 + 2𝑖

10. 4𝑖 − 2

4.

3 − 7𝑖

5.

9.

(√2 , 0)

10. (√5 , 2√3)

IX.

7 − 3𝑖

Escribe el conjugado de los siguientes números complejos.

1.

√5 𝑖

2.

6.

(2 , 3)

7.

4 7

𝑖

(0 , −1)

3.

−2 − 𝑖

8.

(0 , )

4 7

−5 + 2𝑖

Determina 𝑍1̅ y 𝑍2̅ para los siguientes números complejos.

X. 1.

𝑍1 = 4 𝑦 𝑍2 = 1 − 2𝑖

2.

𝑍1 = 1 + 2𝑖 𝑦 𝑍2 = 4𝑖

4.

𝑍1 = −3𝑖 + 4 𝑦 𝑍2 = 4𝑖 − 2

5.

𝑍1 = (1 , 4) 𝑦 𝑍2 = (−2 , 3)

XI.

3.

𝑍1 = 3 − 𝑖 𝑦 𝑍2 = −3 + 2𝑖

Representa en el plano de Argand los conjugados de los siguientes números complejos

1.

𝑧 = 5𝑖 + 2

2.

𝑧 = 4𝑖 − 3

3.

𝑧 = 6𝑖 − 15

4.

𝑧 = 4 + 6𝑖

5.

𝑧 = (3 , 12)

6.

𝑧 = (−5 , 2)

XII.

Calcula el módulo de los siguientes números complejos.

1.

𝑖

2.

−6𝑖

3.

√2 𝑖

4.

3 + 4𝑖

5.

5 − 5𝑖

6.

−5 + 12𝑖

2

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XIII. Determina |𝑍̅ |1 𝑦 |𝑍̅ 2 |1 para los siguientes números complejos. 1.

𝑍1 = 𝑖

2.

𝑍1 = −3𝑖

3.

𝑍1 = 𝑖 + 1

4.

𝑍1 = −3 + 3𝑖

5.

𝑍1 = 3 + 2𝑖

6.

𝑍1 = 3 − 𝑖

7.

𝑍1 = −3 + 2𝑖

8.

𝑍1 = 12 + 4𝑖

9.

𝑍1 = −10 − 8𝑖

10. 𝑍1 = −12 − 9𝑖

XIV. Calcula el módulo de los siguientes números complejos.

XV.

Realiza las siguientes operaciones

1.

5 − (2 − 𝑖)

2.

4𝑖 + (4 − 𝑖)

3.

(−1 + 𝑖) + (5𝑖)

4.

3𝑖 + (−2 + 𝑖) + (5 − 4𝑖)

5.

3𝑖 − (−2 + 3𝑖) + (4 + 𝑖)

6.

(1 − 3𝑖) − (2 − 𝑖) + (1 − 4𝑖)

7.

( + 𝑖) + (− + 𝑖)

8.

( − 𝑖) − (− + 𝑖)

9.

(7 − 𝑖) − (1 − 𝑖) + 5

4

1

2

5

2

3

10. (3 + √2 𝑖) + (3 − √2 𝑖)

1

1

1

1

3

2

3

4

3

4

2

5

12. (√50 − √8 𝑖) + (−2√5 + 4√2 𝑖)

11. (4√2 + √3 𝑖) + (2√2 − 2√3 𝑖)

XVI. Dados los números complejos 𝑧1 = 3 − 𝑖 ; 𝑧2 = −3 + 2𝑖 ; 𝑧3 = 4 ; 𝑧4 = 1 − 2𝑖 ; 𝑧5 = 1 + 2𝑖 ; 𝑧6 = 4𝑖 determine lo pedido. 1.

𝑍1 + 𝑍2 =

2.

𝑍2 − 𝑍5 =

3.

𝑍3 − 𝑍6 =

4.

𝑍4 + 𝑍5 =

5.

6.

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑍2 − 𝑍1 =

7.

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑍3 + 𝑍4 =

8.

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑍6 − 𝑍5 =

9.

̅̅̅ 𝑍3 − ̅̅̅ 𝑍4 =

10. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 =

11. |𝑍5 + 𝑍6 | =

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 12. |𝑍 2 −𝑍5 | =

13. |𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍5 |

𝑍2 − 𝑍1 =

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 15. |𝑍 6 − 𝑍3 | =

14. |𝑍3 + 𝑍6 | =

XVII. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números complejos 1.

(4 + 2𝑖) ∙ 3𝑖 =

2.

(2 − 3𝑖)2 =

3.

(6𝑖 + 3)2 =

4.

𝑖 ∙ (−3 − 𝑖)2 =

5.

(3 − 3𝑖) ∙ (2 + 𝑖) =

6.

(𝑖 5 + 𝑖 3 + 𝑖) ∙ (𝑖 − 7)

7.

(7𝑖 − 4) ∙ (5𝑖 + 2) =

8.

(−5 + 𝑖) ∙ (−2 + 3𝑖)

9.

(√2 − 𝑖) ∙ (3 + √2𝑖)

10. (1 + √3𝑖) ∙ (3 − √3𝑖)

11. (4 + 2𝑖) ∙ (−1 + 5𝑖)

XVIII. Realiza las siguientes divisiones 1. 5. 9.

−

3 4𝑖

=

(−2𝑖)2 3−4𝑖 3−𝑖 (3+𝑖)2

2.

=

6.

=

10.

3−4𝑖 2 3−2𝑖 1+𝑖

=

3.

=

7.

√2 1+√2𝑖

=

11.

5 2+4𝑖 3+3𝑖 2+4𝑖

=

4.

=

8.

(2+𝑖)∙(3+2𝑖) 1−3𝑖

2 4+3𝑖 2+𝑖 2−𝑖

=

=

=

3

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4