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LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Un problema algebraico La NECESIDAD de resolver ecuaciones ha dado lugar a los distintos CONJUNTOS NUMÉRICOS Resolviendo ecuaciones…  x-1=0 x=1 solución en N  x+1=0 x=-1 solución en Z  2x=3 x=3/2 solución en Q  x2=3 x=√3 solución en I

Un problema algebraico ¿La ecuación

x2 = -1 tiene solución en R? No Por eso se introduce un nuevo conjunto: C, los números Complejos

i = √-1

Un problema algebraico Los conjuntos numéricos

Algo de historia S. I a. de C. (En el Maediterráneo se extiende el Imperio Romano)

S. XVI Felipe II Miguel de Cervantes Nicolás Copérnico

S. XVII

Herón de Alejandría

Obtiene raíces negativas resolviendo pirámides

Tartaglia y Cardano

Obtienen raíces negativas al resolver ecuaciones polinómicas de grado 2 y 3

Descartes

Introduce el término “Número imaginario”

Euler

Introduce la notación “i”

Gauss

Extiende su uso

Último Austria (Carlos II) Francisco de Quevedo Isaac Newton

S. XVII Último Austria (Carlos II) Francisco de Quevedo Isaac Newton

S. XIX Guerras Napoleónicas Gustavo A. Becquer Louis Pasteur

1. Aspectos básicos de los nº complejos Unidad imaginaria:

i = √-1

→ i2 = -1

NOTACIÓN

z = {a+bi/ a,b números reales} Ejemplos: 3-5i, -7+i, 2+4i… a es la parte real bi es la parte imaginaria

CLASIFICACIÓN DE LOS COMPLEJOS Sea: z = a + bi un número complejo  si b = 0 → z = a es un número real. si b ≠ 0 → z=a + bi es un número complejo  si a = 0 → z = bi es un número imaginario puro

si a = 0 , b = 0→ z = 0 es complejo nulo

Igualdad de Complejos Igualdad: Dos números complejos son iguales cuando sus partes reales son iguales y la imaginarias también: z1 = a + bi y z2 = m + ni z1 = z2 ↔ a = m y b = n Ejemplo:

z1 = 5 - bi y z2 = a + 3i son iguales Entonces: a = 5 y b = -3

Opuesto de un Complejo el opuesto de z = a + bi es –z = -a - bi Ejemplo:

el opuesto de z = 2 + 3i es –z = -2 - 3i el opuesto de z = -2 + 3i es –z = 2 - 3i el opuesto de z = -2 - 3i es –z = 2 + 3i

Conjugado de un Complejo El conjugado de z = a + bi es z = a - bi El conjugado de z = a - bi es z = a + bi Ejemplo:

el conjugado de z = -2 + 3i es z = -2 - 3i

el conjugado de z = -2 - 3i es z = -2 + 3i

Actividad 1 1. Da tres ejemplos: Números complejos: Números reales: Números imaginarios puros: 2. Sea z=-3+5i El opuesto es: -z = El conjugado es: z = 3. ¿Cuánto deberían valer las letras para que estos números complejos sean iguales? z= 3 - bi y z= a + 5i z=4 - bi y z=m – 5i

REPRESENTACIÓN DE UN COMPLEJO FORMA BINÓMICA

z = a + bi

Ejemplo:

z = 3 + 5i

FORMA CARTESIANA

z = (a , b)

z=(3;5)

Representación Gráfica A cada punto del plano le corresponde un Número Complejo z = a + bi y viceversa a es un número real: lo representamos en el eje horizontal (Eje Real) b es un número real: lo representamos en el eje vertical (Eje Imaginario)

Por eso se habla del PLANO COMPLEJO o PLANO DE GAUSS

Representación Gráfica

Observa que: •El número complejo z=3+2i •El punto P(3,2) •Y el vector libre de componentes v=(3,2) coinciden

ACTIVIDAD EJEMPLOS. Representa en forma binómica, cartesiana gráficamente los siguientes números complejos y determina su opuesto y conjugado. Realiza una tabla z1=2+5i z2=-3-3i z3=i z4=8 z5=-6i z6= 1/2 z7=-7+i z8=4-5i z9= 2-i z10= 4-2i

Aspectos básicos de los complejos Resolución de ecuaciones en C: En el conjunto de los números complejos, las ecuaciones polinómicas de segundo grado sin solución real tienen dos soluciones complejas conjugadas Ejemplo:

Operaciones con Complejos Adición de Complejos

Ejemplos: a) (3 - 5i) + (2 + 9i) = 5 + 4i b) (-2 + i) - (6 - 2i) = -8 + 3i c) 2 + (1- i) = 3 - i

Operaciones con Complejos Multiplicación

Ejemplo: (3-5i)·(2+9i) = 6 + 27i -10i - 45i2 =6 + 45 + 27i - 10i =51+17i ¿Qué pasa si multiplicamos un número por su conjugado?

(a+bi)·(a-bi) =a.a-abi+bia-bbi2 = a2-b2

Operaciones con Complejos División: Se multiplica y divide por el conjugado del denominador

Ejemplo: Dividir:

2  4i i

Ejemplo: Dividir:

2i 3i

Potencias de la Unidad Imaginaria • Las potencias de i son:

i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2 · i = -1 · i = -i i4 = i2 · i2 = -1· -1 = 1 i5 = i4 · i = 1 · i = i i6 = i5 · i = i· i = -1 i7 = i6 · i = -1· i = -i i8 = i7 · i = -i· i = 1

Potencias de la Unidad Imaginaria 4k

1

i 1

4 k 1

i

i i

4 k 2

 1

i i i i

4 k 3

 i

28

37

i

1042

i

2083

 1  i