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INSTITUTO TECNOLOGICO DE NOGALES

Numeros Complejos M.C. María Elsa Valenzuela Valdez Ing. S. Karina Reyes Lio 2015

ITN Numeros Complejos

Números complejos. 1.1 Definición y origen de los números complejos. Un Número Complejo es una expresión del tipo un símbolo.

donde

y

son números reales e es

Por ejemplo si tenemos la ecuación:

no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo. Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene:

luego la solución de este problema es un número algo misterioso de la forma

La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo como una entidad matemática nueva. Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por , el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición o bien Una vez hecho esto construimos un conjunto llamado Números Complejos cuyos elementos son combinaciones de la forma donde a y b son números reales. Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por y respectivamente. Así pues, tenemos e . Por ejemplo:

Si un número no consta de parte real podemos decir que es un numero imaginario puro.

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Numeros Complejos ITN

Historia de los números complejos Los números complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Y a pesar de que Bombelli realizó brillantes trabajos publicados en 1572 sobre el uso de números complejos en la resolución de ecuaciones cubicas, los matemáticos de ese entonces consideraban estos números aún como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o Imaginarios. En 1673 el matemático ingles J. Wallis dio la primera interpretación geométrica de los complejos. Su modelo sigue los siguientes pasos: 1) En la ecuación cuadrática:

, donde las raíces son:

2) Si , las raíces son reales y pueden ser representadas por un par de puntos números reales, de acuerdo a la construcción siguiente:

y

sobre los

Ilustración 1. Representación de resultado real de una ecuación cuadrática

3) Si b < c, entonces las soluciones son números complejos. Los puntos y se hallan en el extremo de el segmento , y como éste es más corto que , los extremos no pueden tocar la recta real. Por lo tanto se ha llegado a una gran idea: los puntos y están por encima de la recta real. Ver la figura:

Ilustración 2. Representación de resultado imaginario de una ecuación cuadrática

La representación de Wallis no es igual a la representación moderna, pero fue una buena aproximación. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo z = en el Plano Cartesiano, fue descubierta por dos matemáticos aficionados, en forma independiente: el 3

ITN Numeros Complejos danés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argand, en una obra publicada en 1806. A partir de entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand.

Ilustración 3.Diagrama de Argand

Con esta representación a la mano, los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando imaginarios. En 1831 el matemático alemán Carl F. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma , llamados ahora Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. La operación suma de números complejos está basada en la suma de números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. Ejemplo: Si tenemos dos números:

La suma de estos estaría dada de la siguiente manera:

La resta de números complejos. La resta o diferencia de dos numeras complejos se realiza restando cada parte por separado. Ejemplo: Si se tiene que entonces tenemos:

4

y

y queremos saber el resultado de

,

Numeros Complejos ITN

El producto de números complejos la regla:

y

, donde :

y

se representa por

si

, se resuelve siguiendo

Ejemplo: Encuentre el producto de

El conjugado de un numero complejo número complejo definido por =a-bi.

entonces

, es otro

Ejemplos: Si

entonces

Si

entocnes

Para hacer la división de dos números complejos y , primero se multiplica por el conjugado de y éste resultado se divide entre el módulo al cuadrado de , el cual es un número real.

Si hacemos

y

, tendremos

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ITN Numeros Complejos

Ejemplo: Encuentre el producto de

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. Potencias de i Cuando el exponente es de la división: complejos:

o superior se divide entre , igualando el enunciado a elevado al resto .

Se indican los resultados de la potencia de algunos números

Ejemplos: , de la división: , de la división:

queda 1 por lo tanto:

queda 3 por lo tanto:

Definición. El producto de dos complejos conjugados es: z = a2+b2 suma de los cuadrados de los dos componentes reales. Ejemplo. Efectuar el producto de los números complejos: Solución: 6

y

. .

Numeros Complejos ITN

Módulo o Valor absoluto de un número complejo Definición. Si

es un número complejo, el Modulo de Z es el número real

Observación: Se puede expresar el módulo de la relación

en función de él mismo y de su conjugado, usando

Se puede probar que dicha relación se verifica para todo Luego

. En efecto, pongamos

.

de donde

Ejemplo: Hallar el modulo de

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. Podemos asignarle a cada número complejo en el plano, un radio vector, que conecta al punto con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las , que sería denotado por .

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Ilustración 4.Representación gráfica del ángulo del radio vector de un número complejo

Nota: El ángulo se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. El mismo puede venir expresado en unidades de grados o radianes. De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo rectángulo, con catetos y , e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es igual al módulo del complejo , también conocido como amplitud o argumento de Z. Esto es:

Ilustración 5. Representación gráfica del argumento de un número complejo

Se tiene entonces la Representación de

en Forma Polar:

Recíprocamente, si se conocen las coordenadas cartesianas de calculan de acuerdo a las fórmulas

, entonces

y

se

Y podemos expresar el numero en su forma exponencial:

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. Fórmula de De Moivre para la potencia. Cuando 8

, se obtiene:

Numeros Complejos ITN La potenciación es un caso especial de la multiplicación, (se multiplican las magnitudes y se suman los ángulos) y por consecuencia tenemos que para cualquier número entero y positivo n si dos números complejos son iguales y se multiplican, su producto es:

También para exponentes enteros negativos, siempre que

.

De los ejemplos, obtener la forma potencia que se pide 1.

2.

. Si

,

y entonces :

Definición. complejo

Fórmula de De Moivre para la extracción de raíces o radicación de un número

La operación de radicación es inversa a la de potenciación. Para un único número complejo , existen varios complejos , que al elevarlos a la potencia , nos da el mismo complejo . Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de De Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan, han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de . Si al Teorema de De Moivre se eleva a una potencia fraccionaria nos quedaría:

Angulo con suma de un múltiplo de

:

9

ITN Numeros Complejos , si

,

Interpretación geométrica de las raíces -ésimas de . Ver grafica abajo Si

, las raíces quintas son:

,

Observar que todas las raíces tienen el mismo módulo la circunferencia de centro el origen y radio

. Si

dividimos los

radianes en

el de

radianes; el de z3 girando el de

en

es el ángulo de , un ángulo de

partes, cada una de ellas mide

Ejemplos de radicación: , obtener la raíz cúbica. Solución: Si

,

y

,

Si

10



Si



Si

radianes. Así

otra vez un ángulo de

sucesivamente.

Si

. Por eso, las n raíces están situados sobre es . Si

se obtiene girando radianes, y así

Numeros Complejos ITN 

Si

Ejemplo 2 de radicación

  

Cuando Cuando Cuando

: : :

1.6 Ecuaciones polinómicas. En la práctica, en ocasiones, es necesario resolver ecuaciones polinómicas de la forma:

Si ecuación.

son números complejos dados y

es un entero positivo llamado el grado de la

Teorema fundamental del álgebra: Establece que cada ecuación polinómica de ese tipo tiene por lo menos una raíz compleja, en realidad raíces complejas, algunas de la cuales o todas podrían ser idénticas. o

Por el número de términos 1. Ecuaciones binómicas: Las ecuaciones con dos términos. 2. Ecuaciones polinómicas: Las ecuaciones que tienen tres términos y más.

o

Ecuaciones de primer grado y una incógnita. Las ecuaciones de la forma despejar la .

o

son muy sencillas de resolver, basta con

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita. 11

ITN Numeros Complejos Las ecuaciones de la forma

, se resuelven con la formula general:

Ejemplo: Si la ecuación es

con

y

,

.

Teorema: Toda ecuación polinómica cuyos coeficientes sean números complejos y que tenga grado positivo, tiene exactamente raíces o soluciones. Las soluciones no tienen que ser diferentes, puede haber una solución que se repita varias veces. Cuando una solución se repite veces se dice que tiene multiplicidad . Por ejemplo, la ecuación polinómica – tiene 4 soluciones, porque el grado de la ecuación (exponente mayor de la variable x) es 4 y los coeficientes son enteros. Las raíces conjugadas Si una ecuación polinómica con coeficientes reales tiene como solución al número complejo , entonces también tiene como solución a su conjugado – . Ejemplo 1 Hallar una ecuación polinómica con coeficientes enteros que tenga a como soluciones. –

Solución: De acuerdo con el teorema anterior si es su conjugada .

–

multiplicar:

–

es solución, también lo

–

Las soluciones son: por lo tanto:

–

–

–

Obteniendo la ecuación

– –

–

– –

.

Ejemplo 2. Determinar una ecuación de coeficientes reales cuyas soluciones en C sean: Solución: entonces

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–

y a

, .

,

y

Numeros Complejos ITN Para obtener el polinomio efectuamos la multiplicación de los lados izquierdos igualados a cero. Resultando, la ecuación polinómica es: –

Ejemplo 3. Determinar un polinomio de coeficientes reales de grado 4, que tenga por raíces los números complejos y Solución: Si multiplicaciones y simplificando, tenemos que el

,

efectuando

las

Resultado es: La ecuación polinómica:

Ejemplo 4.Dada la ecuación polinómica,

, obtener el conjunto solución

Solución: Factorizando , entonces

,utilizando la ecuación cuadrática:

De

, tenemos las otras dos variables

Finalmente el conjunto solución es:

Ejemplo 5.Dada la ecuación polinómica,

, obtener el conjunto solución

Solución: Utilizando la división sintética

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ITN Numeros Complejos

De este resultado determinamos que es una de las raíces y las otras dos variables se obtienen del polinomio que resulto de la división sintética:

Entonces el conjunto solución es :

Ejemplo 6. Dada la ecuación polinómica, Solución: Primero factorizando De

, entonces y mediante la división sintética

Finalmente el conjunto solución es:

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, obtener el conjunto solución