• Author / Uploaded
• Cés Avi Cel

Citation preview

UNIVERSIDAD RICARDO PALMA PEB - MATEMÁTICA BÁSICA

2013 - I

SEMANA Nº 3 NÚMEROS COMPLEJOS

z / z  x iy

; x  R, y  R, i = 1

Re(z)  0  z :imaginario puro



Im(z)  0  z : real puro

2

i :unidad imaginaria compleja; i = -1. Re( z )  x ; Im(z)  y. 1.

zxi y  

Definiciones: Considerando

z = x - iy

Conjugado de z:

z 

Módulo de z:

2.

Propiedades 1. 1. z  0 

3.

Sean z ,w   z 0  z0



2.

z z

3.

zz z

4.

z  z  2 Re(z) ; z  z  2 Im (z) ;

5.

z 

6.

zw  z

2

z  w

7.

 z

z

w z

; w 0

w

Potencias de la unidad imaginaria i o

i  1, i 4

4.



x2  y2

o

4 1

 i, i

o

42

 1, i

o

43

 i .

Forma polar de un número complejo z  (r,θ); z  0; r  z

 se llama argumento principal de z

Eje Imaginario

0    2 ,

z = x + iy

y

y x

De la figura: z = x +i y = r (cosθ +isenθ) Observación: z  xi y Forma Binomial de z:

r  x

O

tg θ =

Forma polar de z:

z = r (cosθ +isenθ)

Forma de Euler:

z = r ei 

Eje Real

5.

Forma polar y exponencial del producto y cociente z  w  z  w [ cos (   )  i sen(   ) ]

z z  [ cos(  )  i sen(  )] w w

Teorema de Moivre

zn 

z

n

z  w  z  w cis (   )

z z  cis (   ) w w

[ cos  n    i sen  n   ] ;

z  w  z  w e i (   )

z  w

nZ .

Raíces del complejo z z 1/ n  z

1/ n

   2k [ cos  n 

    2k    i sen   ] ; k  0,1, 2, ... , (n-1). n   

1

z w

e i (   )

UNIVERSIDAD RICARDO PALMA PEB - MATEMÁTICA BÁSICA

2013 - I

GUIA DE PRACTICAN° 3 I OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 1.

Calcule m y n (números reales) para que se verifique: (2  mi)  (n  5i)  7  2 i

2.

Determine k para que el cociente

3.

k i sea igual a 2  i. 1 i Halle el valor de b para que el producto (3  6 i )(4  b i ) sea:

a) Un número imaginario puro 4.

Dados los números complejos z1  1 i y z2  3  i , calcule: a)

z1  z2  1 z1  z2  i

c) Re 5.



3 z1  z2

 1  z1  z2 z21    2  z1 

b)





d) Im z1  z2



Efectúe las siguientes operaciones y simplifique el resultado a) c)

6.

R: a) b  2; b) b  8

b) Un número real

3(1  i )(4  2 i ) 2  2i

R: 3  6 i

1 i 3  2 i  2  i 1 3 i

R: 

b)

7 13  i 10 10

1 2

Dado el número complejo, z    a)

d) 3

2

2  3 i (4  2 i )(1 i)

R:

9 7  i 20 20

(2  i )2  (1 i)2 3 1 i 2

i pruebe que:

1 z  z2  0

b)

1  z2 z

II MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO 1.

(2  i

Calcule el valor de

5 )(1  i 5 i

3)3

R: 6 2

3

2.

Determine el módulo de z en función de x (variable real), donde z 

3.

Calcule el valor de m

w  c  di . 4.

1 x i 1 x i

  , para que el número complejo 3  mi tenga el mismo módulo que R: m   4

Si la suma de dos números complejos: z  a  b i

y w  c  di , dividida por su diferencia,

es un número imaginario puro, pruebe que z  w . 2

 zw

2



2 z

2

2

Probar que: z  w

6.

Represente geométricamente los siguientes números complejos, sus opuestos (inversos aditivos), su conjugado y finalmente expréselos en su forma polar:

3 i

a) 1 i

c)

b) 1  i

d)  3  i

 w



5.

4

e)

g)

f) 2i

9 4

h)

III. POTENCIAS Y RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO 1. Calcule el valor de: a)

i7 i 2i

7

R: 1

b)

i 9981  i 3254  i 1115 i 197  i

 100

2

i

 444

R: i

UNIVERSIDAD RICARDO PALMA PEB - MATEMÁTICA BÁSICA

2.

z1  1

Considerando

3i

2013 - I

3 i

z2 

y

4

con

sus

representaciones



3 z1  4z 2

polares,

determine: a) z15 z10 2

z1

b)

c)

z2

4

2  2 3 i

3.

Calcule la sexta potencia de

4.

Resuelva las siguientes ecuaciones: b) z 3  1  0

a) z 8  1  0



R: 4096 d) z 4  1  0

c) z 2  2 z  2  0

5.

Determinar las raíces cuadradas de z  8  4 5 i .

6.

Si una de las raíces cúbicas de un número complejo z es 1  i , determine z y las otras raíces cúbicas.

IV

R: w1 

10 

2 i , w2   10 

MISCELÁNEA

1.

Calcule a y b ( R ) de modo que verifique: ( a  b i ) 2  3  4 i

2.

Calcule x  R para que el resultado del producto (x + 2 + i) (x – i) sea un número real.

3. 4.

2i

Si z =

1- i  10  - i +

i

3



3 +1



12

8

, calcule: a)

z3 

1

b)

z3

Arg (z)

c) z

5.

Halle dos números complejos tales que su cociente sea 3, la suma de sus argumentos  / 3 y la suma de sus módulos ocho. Si la suma de dos números complejos es 8 y la suma de sus módulos es 10, determine los números. R: z1 = 4 + 3i ; z2 = 4 - 3i

6.

En un circuito de resistencia R = 1+ i Ohm, se aplica un voltaje V = 5 +( 2 6 ) i . Sabiendo

7.

que V = I R . a) Hallar la corriente total I que fluye por el circuito. b) Separe las corrientes. c) Calcule la corriente eficaz. Obtener el número complejo z que satisfaga la condición: n

z 1  z  2 = 4  2i

8.

Halle " n " en 1  i 

10.

La suma de dos números complejos es 3 + 2i .La parte real de uno de ellos es

12.

13.

4

 1  i 

n

4

 2513 , si nZ+, n>2. 2.

Determine dichos números sabiendo que su cociente es imaginario puro. 3 1 1 r Demostrar: z  i  , si z  , r R 1  2ir 4 4 Calcule: z 

1 



3 i  cos   isen  

2 1  i  cos   sen  

R: z 

.

3

2 2

 cos  2  15º   isen  2  15º  