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Solucionario de la Actividad de Aprendizaje 1 de Estadística Inferencial Actividad de aprendizaje 1.1. 1. n X X² 1 3 9 2 9 81 3 15 225 4 21 441 5 42 1764 6 30 900 7 6 36 8 9 81 9 6 36 10 15 225 11 21 441 12 24 576 13 33 1089 14 9 81 15 12 144 Sumas: 255 6129 Todos los datos de cobro son múltiplos de 3, tal que el dato 32 en realidad debe ser 33. a) Media de muestra:

X 

x n



255  17 15

b) Varianza de muestra.

S

2

X 

2

  X  / n 2

n 1



6129 2552 / 15  128,14 15  1

Estimación puntual de la varianza de población.

σˆ 2  S 2  128,14 c) Estos datos corresponden a los costos cobrados al grupo de llamadas según el tiempo en minutos completos directamente o redondeados hacia arriba, tal que con esta muestra se puede estimar el valor promedio cobrado por cada llamada.

Esta muestra no es apropiada utilizar para estimar el tiempo promedio de llamada porque existirán casos de redondeo del tiempo hacia arriba, tal que no se sabe el tiempo real para cada una de las llamadas de la muestra considerada. 2. Relación

n 40   0,057  0,05 N 700

Es necesario el uso del factor de corrección. a) Error estándar estimado de la media.

σˆ X 

S N  n 1,2 700 40     0,18 N 1 700 1 n 40

b) Intervalo de confianza del 90% para la media. Por ser el tamaño de muestra n>30 se aplica la distribución normal.

IC  X  Z .σˆ X

Área = 0,90/2 = 0,45: Z = 1,65

IC  4,3 1,65 0,18  4,3  0,297; LI  4,3  0,3  4,0 ; LS  4,3  0,3  4,6

Existe el 90% de confianza que el verdadero número promedio de errores por página en su trabajo estará comprendido entre 4,0 y 4,6 errores. 3. n  55; p  x / n  10/ 55  0,182 a. Error estándar estimado de la media.

σˆ P 

p (1  p ) 0,182(1  0,182)   0,052 n 55

b) Intervalo de confianza del 90% para la proporción. Ya que tanto np como n(1-p) ≥ 5 se aplica la distribución normal.

IC  p  Z .σˆ P

Área = 0,90/2 = 0,45: Z = 1,65

IC  0,1821,65 0,052 0,182 0,086; LI  0,182 0,086 0,096 ; LS  0,182 0,086 0,268

Existe el 90% de confianza que la verdadera proporción de población de asistentes al cine que verán la película por segunda vez estará comprendida entre 0,096 y 0,268. 4. n  21; X  72; S  6,2 Por ser el tamaño de muestra n < 30 y se desconoce la desviación estándar de la población se aplica la distribución “t”.

IC  X  t .

S n

Para el 98% y n-1 = 20: t = 2,528

IC  72  2,528

6,2  72  3,42 ; LI  72  3,42  68,58 ; LS  72  3,42  75,42 21

Existe el 98% de confianza que la verdadera media para el índice de placa dentobacteriana de la población de la parte norte de la provincia estará comprendida entre 68,58 y 75,42 errores. 5. n  9; X  31; S  9 Por ser el tamaño de muestra n < 30 y se desconoce la desviación estándar de la población se aplica la distribución “t”.

IC  X  t .

S n

IC  31 1,86 

Para el 90% y n-1 = 8: t = 1,86

9  31 5,58 ; LI  31 5,58  25,42 ; LS  31 5,58  36,58 9

Existe el 90% de confianza que la verdadera media mensual de accidentes producidos en la población de Manabí estará comprendida entre 25,42 y 36,58. 6.

n  ?; NC  95% Tamaño de muestra para estimar la proporción a favor de la propuesta. Sea error de muestreo: E = 5%. Área = 0,95/2 = 0,475: Z = 1,96

Z Tamaño de muestra para estimar la proporción: n  p 1  p   E

2

a) Con proporción desconocida (se aplica p = 0,50) 2

 1,96  n  0,501  0,50   384,16  384  0,05  Para cumplir con las características de la investigación para determinar la proporción deseada, es necesario un tamaño mínimo de muestra de 384 personas. b) Con proporción estimada p = 0,75 2

 1,96  n  0,751  0,75   288,12  288  0,05  En este caso, es necesario un tamaño mínimo de muestra de solo 288 personas, es decir se reduce el tamaño necesario de muestra en 96 personas. c) Con proporción estimada p = 0,25 2

 1,96  n  0,251  0,25   288,12  288  0,05  En este caso, se mantiene el tamaño mínimo de muestra de solo 288 personas necesarias, porque el valor de proporción estimada de éxito es complementario con el literal anterior. 7. n  ?; E  0,5kg; S 1,2kg; NC  95%

Para Área = 0,95/2 = 0,475: Z = 1,96

Tamaño de muestra para investigar el peso medio de resistencia de las bolsas.

2

 Z .S   1,961,2  n    22,13  22    E   0,5  2

El tamaño mínimo aparente de muestra necesario es 22 fundas de plástico para cumplir con los requerimientos de la investigación, sin embargo, para que sea válido el uso de la distribución de probabilidad normal, el tamaño mínimo de muestra apropiado es 30 fundas plásticas.

Actividad de aprendizaje 1.2. 1. μ  $144 ; σ  $52; n  121; X  $151; α  0,10 Prueba de hipótesis para la media de una muestra de cola superior 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : μ  144. Comisión promedio por venta es igual a 144 dólares.

H1 : μ  144. Comisión promedio por venta es mayor a 144 dólares. 2.- Nivel de significancia: α  0,10 3.- Estadística de prueba. Por ser el tamaño de muestra n>30, la distribución muestral para la media se aproxima a la distribución de probabilidad normal.

Zp 

X  μ 151144   1,48 S / n 52 / 121

4.- Regla de decisión. Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,40: Zc = 1,28

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp > 1,28. 5.- Decisión.

Como Zp = 1,48 > 1,28 no se acepta la Ho, entonces al nivel de significancia del 10% se concluye que la comisión promedio de sus clientes es mayor que el promedio de la industria en forma significativa. 2. μ  0,57%; σ  0,10%; n  15; X  0,33%; α  0,01 Prueba de hipótesis para la media de una muestra de cola inferior 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : μ  0,57. Tasa promedio de aumento de consumo de gasolina es igual a 0,57%.

H1 : μ  0,57. Tasa promedio de aumento de consumo de gasolina es menor a 0,57%. 2.- Nivel de significancia: α  0,01 3.- Estadística de prueba. A pesar que el tamaño de muestra n < 30, pero se conoce la desviación estándar de la población, todavía es adecuado usar la distribución de probabilidad normal.

Zp 

X  μ 0,33  0,57   9,30 σ / n 0,10 / 15

4.- Regla de decisión. Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,49: Zc = -2,33

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp . 5.- Decisión. Como Zp = -9,30 < -2,33 se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 1% se concluye que el aumento en el uso de la gasolina se redujo como resultado del embargo y sus consecuencias, en forma significativa. 3. Datos (del ejercicio 2): μ  0,57%; σ  0,10%; n  15; X  0,33%; α  0,01(Z  2,33) Límite critico inferior de la prueba de hipótesis de cola inferior.

LI  μ - Z 

σ n

 0,57  2,33

0,10  0,51 15

Probabilidad de cometer error tipo II: β

Zβ 

LI  μ1 σ/ n

Potencia de la prueba: 1-β 1.- Para μ1  0,50%

0,51 0,50  0,39 0,10/ 15 Area  0,1517

Zβ 

Probabilidad β = 0,50-0,1517 = 0,3483 Potencia de prueba: 1-β = 1-0,3483 = 0,6517 2.- Para μ1  0,45%

0,51  0,45  2,32 0,10 / 15 Area  0,4898

Zβ 

Probabilidad β = 0,50-0,4898 = 0,0102 Potencia de prueba: 1-β = 1-0,0102 = 0,9898 3.- Para μ1  0,40%

0,51  0,40  4,26 0,10 / 15 Area  0,50

Zβ 

Probabilidad β = 0,50-0,50 = 0,0 Potencia de prueba: 1-β = 1-0,0 = 1,0 Según los resultados anteriores, se puede concluir que conforme se aleja el valor verdadero de la media de su valor inicial, la potencia de la prueba disminuye. 4. π  0,35; n  3000 ; p  x / n  950 / 3000  0,3167 ; α  0,05

Prueba de hipótesis para la proporción de una muestra de cola inferior 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : π  0,35. Proporción de compradores en espera es igual a 0,35.

H1 : μ  0,35. Proporción de compradores en espera es menor a 0,35. 2.- Nivel de significancia: α  0,05 3.- Estadística de prueba. Ya que tanto np como n (1-p) ≥ 5, la distribución muestral para la proporción se aproxima bien a la distribución de probabilidad normal.

Zp 

p π 0,3167  0,35   3,82 π (1  π ) 0,35(1  0,35) n 3000

4.- Regla de decisión. Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,45: Zc = -1,65

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp < -1,65 5.- Decisión. Como Zp = -3,82 < -1,65 se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 5% la compañía debe concluir que la proporción de personas renuentes ha disminuido, en forma significativa. 5. μ  13veces ; n  7; X  11,6veces ; S  1,3veces ; α  0,02 Prueba de hipótesis para la media de una muestra de 2 colas 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : μ  13. Razón promedio P/U es igual a 13. H 1 : μ  13. Razón promedio P/U es diferente a 13.

2.- Nivel de significancia: α  0,02 3.- Estadística de prueba. Por ser el tamaño de muestra n < 30 y se desconoce la desviación estándar de la población, la distribución muestral para la media se aproxima a la distribución de probabilidad normal, pero se aplica la distribución “t”.

tP 

X  μ 11,6  13   2,85 S / n 1,3 / 7

4.- Regla de decisión. Estadística t crítico, para α = 0,02 de 2 colas y n-1 = 6gl: tc = 3,143 Regla de decisión: Se rechaza la Ho si tp está fuera de ±3,143.

5.- Decisión. Como tp = -2,85 está dentro de ±3,143 no se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 2% se concluye que la acción de las empresas de software en el mercado de valores tiene una razón promedio P/U que no es significativamente diferente de 13 veces. 6. μ  8,1h; n  95; X  7,2h; S 2  16,2h 2 ; α  0,01 Prueba de hipótesis para la media de una muestra de cola inferior 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : μ  8,1h. Tiempo promedio de aprendizaje es igual a 8,1 horas.

H1 : μ  8,1h. Tiempo promedio de aprendizaje es menor a 8,1 horas. 2.- Nivel de significancia: α  0,01 3.- Estadística de prueba. Por ser el tamaño de muestra n>30, la distribución muestral para la media se aproxima a la distribución de probabilidad normal.

Zp 

X μ 7,2  8,1   2,18 S/ n 16,2 / 95

4.- Regla de decisión. Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,49: Zc = -2,33

Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp < -2,33. 5.- Decisión. Como Zp = -2,18 > -2,33 no se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 1% se concluye que no es más fácil aprender a operar las nuevas terminales, en forma significativa.

Actividad de aprendizaje 1.3. 1. Primer medicamento Segundo medicamento

X 2  7,9h S 2  2,1h

X 1  8,5h

S1  1,8h

n 2  80

n1  90 α  0,05

Desviación estándar de diferencia en medias muestrales.

S P  S X 1X 2 

S 12 S 22 1,82 2,12     0,3019 n1 n2 90 80

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de cola superior. 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : 1   2 . Tiempo promedio de horas de alivio es igual con los 2 medicamentos.

H1 : 1  2 . Tiempo promedio de horas de alivio es menor con el segundo medicamento.

2.- Nivel de significancia: α  0,05 3.- Estadística de prueba.

Zp 

X 1  X 2 8,5  7,9   1,99 SP 0,3019

4.- Regla de decisión. Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,45: Zc = 1,65 Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp > 1,65.

5.- Decisión. Como Zp = 1,99 > 1,65 se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 5% se concluye que el segundo medicamento proporciona un periodo de alivio significativamente más corto. 2. Grupo inicial

Grupo final

X 1  $1,059

X 2  $1,089

S1  $0,039 n1  75 α  0,02

S 2  $0,068 n 2  50

Desviación estándar de diferencia en medias muestrales.

S P  S X 1X 2 

S 12 S 22 0,0392 0,0682     0,0106 n1 n 2 75 50

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de 2 colas. 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : μ1  μ2. Precio promedio de la gasolina regular es igual en las 2 gasolineras.

H1 : μ1  μ2 . Precio promedio de la gasolina es diferente en las 2 gasolineras. 2.- Nivel de significancia: α  0,02 3.- Estadística de prueba. Por ser los tamaños de muestras mayores a 30, la distribución muestral para la diferencia de medias se aproxima a la distribución de probabilidad normal.

Zp 

X 1  X 2 1,059 1,089   2,83 Sp 0,0106

4.- Regla de decisión. Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α/2 = 0,49: Zc = 2,33 Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp está fuera de ±2,33. 5.- Decisión. Como Zp = -2,83 está fuera de ±2,33 se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 2% se concluye que si cambio significativamente el precio de la gasolina regular sin plomo en estos dos estados durante estos tres meses. 3. Método original

Método nuevo

X 1  $688 S 1  $32,63

X 2  $706 S 2  $24,84

n1  16 α  0,05

n2  11

Varianza conjunta (se asume varianzas iguales para las 2 poblaciones).

S p2 

n1 1.S 12  n2 1.S 22 n1  n2  2



(161)  32,632  (111)  24,842  885,64 16 11 2

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de cola inferior. 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : 1   2 . Venta promedio obtenida es igual con los 2 métodos de capacitación.

H1 : 1  2 . Venta promedio obtenida es mayor con el nuevo método. 2.- Nivel de significancia: α  0,05 3.- Estadística de prueba. Por ser los tamaños de muestras menores a 30 y se desconocen los valores de la desviación estándar de cada población, se aplica la distribución de probabilidad t.

X 1 X 2

tp 

1

S p2 

 n1



1  n2 



688 706 1 1 885,64     16 11

 1,544

4.- Regla de decisión. Estadística t critica, para n1 + n2 – 2 = 25gl de una cola y α = 0,05: tc = -1,708 Regla de decisión: Se rechaza la Ho si tp < -1,708.

5.- Decisión. Como tp = -1,544 > -1,708 no se rechaza la Ho, entonces al nivel de significancia del 5% la compañía puede concluir que el promedio diario de ventas no aumenta con el nuevo plan en forma significativa. 4. Bancos de California

Bancos de Pennsylvania

X 1  7,61%

X 2  7,43%

S 1  0,39%

S 2  0,56% n2  8

n1 11 α  0,10

Varianza conjunta (se asume varianzas iguales para las 2 poblaciones).

Sp

2

 n1  1.S 12  n2  1.S 22  n1  n2  2

(11 1)  0,392  (8  1)  0,562   0,2186 11 8  2

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias de 2 muestras independientes de 2 colas. 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : μ1  μ2. Tasa media hipotecaria es igual en los 2 estados. H1 : μ1  μ2 . Tasa media hipotecaria es diferente en los 2 estados. 2.- Nivel de significancia: α  0,10 3.- Estadística de prueba. Por ser los tamaños de muestras menores a 30 y se desconocen los valores de la desviación estándar de cada población, se aplica la distribución de probabilidad t.

tp 

X1 X 2 1 1 S p2     n1 n 2 



7,61  7,43  1 1 0,2186     11 8 

 0,829

4.- Regla de decisión. Estadística t critica, para n1 + n2 – 2 = 17gl de 2 colas y α = 0,10: tc = 1,740 Regla de decisión: Se rechaza la Ho si tp está fuera de ±1,740. 5.- Decisión. Como tp = 0,829 está dentro de ±1,740 se acepta la Ho, entonces al nivel de significancia del 10% se concluye que las tasas de hipotecas convencionales de California y Pennsylvania no provienen de poblaciones con medias distintas en forma significativa. 5. Datos: n  6; α  0,02 Tabla de cálculos para la diferencia media de 2 muestras dependientes. Semana Empleados sin música 1 2 3

219 205 226

Semana con música 235 186 204

Diferencia D

Dif media Dm

Cuadrado (D-Dm)²

-16 19 22

3,17 3,17 3,17

367,3611 250,6944 354,6944

4 5 6

198 209 216

Diferencia media: D 

203 221 205 Sumas:

-5 -12 11 19

3,17 3,17 3,17

66,6944 230,0278 61,3611 1330,8333

 D  19  3,17 n

6

 D  D 

2

Desviación estándar: S D 

n 1



1330,8333  16,3146 6 1

Prueba de hipótesis para la diferencia media de 2 muestras dependientes de 2 colas. 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : μD  0. Diferencia media en producción es igual con o sin música ambiental. H1 : μD  0. Diferencia media en producción es diferente con música ambiental. 2.- Nivel de significancia: α  0,02 3.- Estadística de prueba. Por ser el tamaño de muestra menor a 30, se aplica la distribución de probabilidad t.

tp 

D SD / n



3,17  0,476 16,3146/ 6

4.- Regla de decisión. Estadística t critica, para 5gl de 2 colas y α = 0,02: tc = 3,365 Regla de decisión: Se rechaza la Ho si tp está fuera de ±3,365. 5.- Decisión. Como tp = 0,476 está dentro de ±3,365 se acepta la Ho, entonces al nivel de significancia del 2% se concluye que la instalación de equipos de audio para poner música ambiental no ha cambiado la producción en forma significativa. 6. Datos: Viernes

jueves

X 1  11

X 2  24

n1  40

n2  60

p2  24/ 60  0,40

p1  11/ 40  0,275 N  2500; α  0,10 Proporción conjunta: pc 

X 1  X 2 11 24   0,35 n1  n2 40  60

Relaciones:

n1 40   0,016  0,05 N 2500 n2 60   0,024  0,05 N 2500 No es necesario el uso del factor de corrección. Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones de 2 muestras independientes de cola inferior. 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 :π1 π 2. Proporción de acciones que avanzaron es igual para los dos días. H1 : π1  π 2 . Proporción de acciones que avanzaron el viernes es menor que en el día jueves. 2.- Nivel de significancia: α  0,10 3.- Estadística de prueba. Por ser np y n (1-p) mayores a 5 para cada muestra se aplica la distribución normal.

Zp 

p1  p 2 1 1  pc 1  pc .    n1 n 2 



0,275 0,40 1   1 0,35(1  0,35).    40 60 

 1,28

4.- Regla de decisión. Estadística Z critica, para Área = 0,50 – α = 0,40: Zc = -1,285 Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp < -1,285.

5.- Decisión. Como Zp = -1,28 > -1,285 se acepta la Ho, entonces al nivel de significancia del 10% se concluye que no hay suficiente evidencia que una proporción menor de las acciones de la Bolsa de Valores avanzaron el viernes con respecto al jueves.

7. Datos: μ  5,00 pu lg; σ  0,06 pu lg; n  25; X  4,97 pu lg Prueba de hipótesis para la media de una muestra de 2 colas 1.- Planteo de hipótesis.

H 0 : μ  5,00. Longitud media de segmento de tubo cortado es igual a 5 pulgadas.

H1 : μ  5,00. Longitud media de segmento de tubo cortado es diferente a 5 pulgadas. 2.- Nivel de significancia: Sea α = 0,05 3.- Estadística de prueba. A pesar que el tamaño de muestra n < 30, pero la población tiene distribución normal, entonces la distribución muestral para la media también tiene distribución normal.

ZP 

X μ 4,97  5   2,5 S / n 0,06 / 25

4.- Regla de decisión. Estadística Z crítico Para Área = 0,50-α/2 = 0,475: Zc = 1,96 Regla de decisión: Se rechaza la Ho si Zp está fuera de ±1,96; caso contrario se acepta.

Calculo del valor p Para Zp = -2,50: Área = 0,4938 Probabilidad p = 2(0,50-0,4938) = 0,0124 5.- Decisión. Para niveles de significancia α mayores al valor p de 0,0124 se rechazará la Ho, para tales casos la máquina deberá ser recalibrada debido a que la longitud media será significativamente diferente de 5.00 pulgadas. Para el caso particular propuesto de α = 0,05 corresponde al caso señalado tal que para este nivel de significancia será rechazada la Ho.