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Paso 4 - Realizar Simulaciones Aplicando Herramientas Tipo Software. Autor: OSCAR VANEGAS LANDINEZ Código: 80052296. Grupo 208052_2 Programa de Ingeniería de Telecomunicaciones Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería ECBTI Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Bogotá, Colombia [email protected] [email protected]

abstract-- The following report presents the process of design and implementation of a Sound Equalizer system, developed from Kaiser FIR Pass-Band Filters, to which certain frequency range values will be assigned to verify the behavior of the filters. with audio files normally of music, to analyze how the frequency variations; of these filters, the impulse response will be obtained through the Matlab application, graphing the Simulink exported data of each component filter of the system. Additionally, the theoretical foundations of the Finite Impulse Response Filters will be addressed, relating their main characteristics, equations and block diagram, and this will define the nature and operation of the Kaiser FIR Filter with which the equalizer is mounted. I.

INTRODUCCION

El siguiente reporte del Grupo 208052_2, abordara las temáticas del paso número 4 en el cual se diseñará un ecualizador con el que se pueda obtener una función de Transferencia de tipo H(z) que sea posible en aproximación a una respuesta en Frecuencia deseable. Dicho proceso requiere el diseño de filtros que obtengan la función de transferencia donde la respuesta en magnitud o en fase, se especifique en el filtro; para lo cual se dispone de 4 tipos de filtros básicos que operan según la respuesta en magnitud; es de anotar que si estos filtros no se puedan realizar con los valores requeridos, es necesario mitigar las características de bajada del filtro en las bandas de paso y rechazo de banda proporcionado para tener tolerancias aceptables.

Para la actividad se elige un filtro FIR (Finite Impulse Response); Filtro de Respuesta Finita con los valores establecidos en la guía de actividades con el fin de conformar un ecualizador de sonido y ponerlo a prueba con muestras de Audio que manejan un valor de 44100Hz de frecuencia, normalmente esta magnitud la manejan pistas musicales en formato MP3. A partir de la selección del filtro, se procede a recopilar los datos técnicos y teóricos mas relevantes de su naturaleza y funcionamiento. En estos complementos teóricos, se relacionará el correspondiente Diagrama de Bloque, ecuación que lo describe, especificaciones de la ventana seleccionada, ecuación correspondiente y variables de la ecuación antes mencionada con el fin de tener las bases para el diseño del ecualizador propuesto en la práctica. La parte practica consiste en el diseño, ensamble y puesta en marcha de un Sistema ecualizador de sonido conformado esencialmente de 5 filtros de tipo FIR; este sistema estará simulado en la herramienta Simulink de Matlab, para lo cual se procederá a realizar pruebas de sonido con los archivos de audio haciendo variaciones, verificando los datos y posteriormente exportándolos al área de trabajo de Matlab con el fin de obtener las graficas de transferencia y respuesta a impulso

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II.

1.



Su hardware es sencillo de instalar, por las cuestiones de realimentación que a diferencia de los filtros IRR, se producen errores.



La respuesta ala impulso de estos filtros coincide con el vector de coeficiente 𝑏𝑖− lo que quiere decir que son equivalentes.



Los transitorios iniciales de estos filtros tiene duración finita.



Para su diseño, se basan en la aproximación directa de la respuesta en magnitud especificada con los requerimientos adicionados en la fase sea lineal o mínima; el diseño de uno de orden M se hace encontrando la longitud (M+1) de la respuesta al impulso de h[n] o las (N+1) muestras de su respuesta en frecuencia H(ω).

ACTIVIDADES A DESARROLLAR

Cada estudiante escogerá un (1) tipo de filtro que desee diseñar, y reportará en el foro su decisión, esto con el fin de que cada estudiante diseñe un ecualizador (banco de filtros) diferente. A continuación, se muestra la lista de filtros: Tipos de filtro Pasa Banda (Bandpass) 

IIR Butterworth



IIR Chebyshev tipo I



IIR Chebyshev tipo II



IIR Elliptic



FIR Window Hamming



FIR Window Gaussian



FIR Window Hann



FIR Window Rectangular



FIR Window Kaiser

Si el Filtro es FIR, el estudiante deberá realizar el informe con los siguientes parámetros:

Si el Filtro es FIR, H(z) es un polinomio 𝑍 −1 com coeficientes reales de la forma: 𝑁

𝐻(𝑧) = ∑ 𝑏[𝑛]𝑍 𝑛=0

Un filtro ideal debe satisfacer los criterios de diseño tal como un filtro H(ω).



Se toma la DTFT inversa de la H(ω) para obtener h[n] donde h[n] es doblemente infinita y no causal, por lo que no se puede realizar. ℎ𝐿𝑃[𝑛] =



No son recursivos, puesto que todos sus coeficientes 𝑎𝑖 de la ecuación en diferencias son cero (0), estando cuantizados, lo que permite que la estructura del filtro sea estable, sin necesidad de realimentar la salida a la entrada del filtro, por ende, no hay oscilación.

sin(𝜔𝑐 𝑛) , −∞ < 𝑛 < ∞ 𝜋𝑛



Se trunca usando una ventana, rectangular o cualquiera, de tal manera que M+1 coeficientes de h[n] sean retenidos y los otros se descarten.



Al obtener un filtro de longitud finita (orden M), ht[n], aun no es casual.



Se desplaza la secuencia truncada h[n] a la derecha aplicando retardos en M/2 muestras, así la primera muestra está en n=0.



La respuesta del impulso resultante ht[n-M/2] es un filtro FIR causal y estable con respuesta en magnitud y en fase casi idéntica que el filtro original.

Los Filtros de Respuesta al Impulso Finita se caracterizan por: En su diseño con fase son perfectamente lineales ya que en el procesamiento de señal no hay retardo de unas frecuencias frente a otras.

𝑛=0



FILTROS FIR (Finite Impulse Response)



= ∑ ℎ[𝑛]𝑍 −𝑛

En el diseño de un filtro FIR que cumpla con las especificaciones, se consideran los siguientes pasos:

Para esta actividad se elige el filtro FIR Window Kaiser

Concepto básico de filtro FIR y un diagrama de bloque y ecuación que lo describa.

𝑁 −𝑛

3

𝑁

sin ((𝜔𝑐 (𝑛 − )) ℎ𝐿𝑃[𝑛] =

2

𝑀

𝜋 (𝑛 − )

𝑀 , 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀, 𝑛 ≠ 2

𝐵𝑛 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 "𝑏" (𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠) 𝑍 −1 = 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒 1 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

2

ℎ𝐿𝑃[𝑛]

𝜔𝑐 𝑀 = ,𝑛 = 𝜋 2

Si la fase lineal es deseada, los coeficientes del filtro h[n], deben satisfacer las restricciones de simetría h[n]=+/- h[M-n] Para eficiencia computacional, el orden mínimo del filtro M que satisface los criterios de diseño deben ser usados. La relación de la entrada y la salida con el dominio del tiempo se da por la ecuación llamada ecuación en Diferencias 𝑀

𝑦[𝑛] = ∑ 𝑏𝑘 𝑥[𝑛 − 𝑘] 𝑘=0

En el diagrama los retardos 𝑍 −1 representan la señal en el instante anterior, la segunda son dos veces la anterior y se diagrama en forma sucesiva hasta llegar al instante N. Los coeficientes del filtro se representan en 𝑏0 hasta 𝑏𝑛 donde se multiplica la entrada en el instante anterior al retardo en uno, por 2 en el siguiente retardo y así sucesivamente. La salida y[n] se da por la suma de todas las contribuciones de la señal actual y las anteriores. La respuesta al impulso del filtro FIR se da ante un estímulo delta, o respuesta al impulso del sistema que resume en que si se introduce un impulso se obtiene la respuesta al impulso, de esta manera se puede examinar como se comporta el sistema al introducir un impulso.

𝑦[𝑛] = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 La salida del filtro es el resultado de la sumatoria de las entradas en instantes anteriores, empezando en 0, por ende la salida empezara sumando la entrada en ese momento multiplicando por el valor de sub 0, la entrada en el instante -1 (-k) y sucesivamente hasta llegar a – M, en resumen, todas las entradas desde la actual hasta la -M se suman multiplicándolas por un factor diferente lo que se denomina orden del filtro.

Figura 2. Respuesta al Impulso Filtro FIR Fuente: https://www.draw.io/#G1lUfVq-EgwjIa6rp-B5-MFr0oMwRcfEgP

Figura 1. Diagrama de Bloque para Filtro FIR Fuente: https://www.draw.io/#G1lUfVq-EgwjIa6rp-B5-MFr0oMwRcfEgP

En la respuesta al impulso del filtro FIR coincide con el vector de coeficientes, la única contribución seria la de entrada, se multiplica por 𝑏0 los valores de 𝑍 −1 estarían en 0 ya que parten de un sistema en reposo y la saluda sería el resultado de 𝑏0 = 0 ℎ[𝑛] = [𝑏0 𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑁 ]

𝑥[𝑛] = 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑥[𝑛 − 𝑁] = 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑁 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑦[𝑛] = 𝑆𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 (𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎)

Definición específica de la ventana escogida (Por ejemplo, Hamming, Gaussian, etc)

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En el diseño de filtros FIR utilizando ventanas se deben tener en cuenta las siguientes características:  

Lóbulo principal angosto.

Reducir la altura del lóbulo lateral el cual causa ondulaciones.



Reduccion del fenómeno de Gibbs.



Minimizar el orden del filtro.



El Fenómeno de Gibbs puede reducirse empleando una ventana suavizadora que disminuye a zero, suavizando las ondulaciones de la señal.

2 𝑥 𝑘

20

Incremento de la atenuación en la banda de rechazo.





Las series infinitas se calculan para un numero finito de términos hasta lograr una exactitud, generalmente se usan 20 terminos.

𝐼0 (𝑥) ≅ 1 + ∑ [ 𝑘=1

( ) 2

𝑘!

]

𝜔𝑝 =Frecuencia de corte en la banda de paso. 𝜔𝑝 =Frecuencia de corte en la banda de paro. 𝛿𝑝 =Valor pico del rizo en la banda de paso. 𝛿𝑠 =Valor pico del rizo en la banda de paro. Se realiza los cálculos correspondientes:

Pueden ser posibles varias funciones ventanas, que pueden reducir el ancho del lóbulo y banda de rechazo, donde la ventana rectangular tiene el ancho mas angosto del lóbulo principal, pero de poca atenuación en el lóbulo lateral



Rizo mínimo de dB

∝𝑠 = −20𝑙𝑜𝑔10 (𝛿𝑠 ) ó −20𝑙𝑜𝑔10 (𝛿𝑠 ) (min{𝛿𝑠 , 𝛿𝑝 }) 

Ancho de banda de la transición normalizada:

Ecuación de la ventana.

∆𝜔 = 𝜔𝑠 − 𝜔𝑝

Definición de variables de la ecuación anterior.



Parámetros de la Ventana:

Ventana Kaiser. 𝛽 Siendo la ventana ajustable más empleada, tiene la forma: 2

𝑀

𝑛− 2

𝐼0 = 𝛽 √1 − (

𝑀

)

2

{



𝑀 𝑛− 2 𝑀

2

𝑀+1={

2

) 

},0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀

𝐼0 (𝛽)

∝𝑠 −

7.95 +1 2.285∆𝜔 5.79 , ∆𝜔

∞

𝐼0 (𝑥) ≅ 1 + ∑ [ 𝑘=1

2 𝑥 𝑘

( ) 2

𝑘!

]

∝𝑠 > 21

}

∝𝑠 < 21

Determinación de la Ventana Kaiser:

𝛽 =es un parámetro ajustable que compensa la anchura del lóbulo principal y la atenuación del lóbulo lateral

𝛽 √1 − ( 𝑊[𝑛] = 𝐼0 = {

𝐼0 {𝑥} = Funcion modificada de Bessel de orden cero de primer tipo de la forma:

∝𝑠 > 50𝑑𝐵 21 ≤∝𝑠 ≤ 50𝑑𝐵 } ∝𝑠 ≤ 21𝑑𝐵

Longitud del filtro, M+1:

}

𝛽 √1 − ( 𝑊[𝑛] = 𝐼0 = {

0.1102(∝𝑠 − 8.7), = {0.5842(∝𝑠 − 21)0.4 + 0.07886(∝𝑠 − 21) 0,

𝑀 𝑛− 2 𝑀

𝐼0 (𝛽)

2

2

) },0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀

Se obtiene el filtro realizando la multiplicación del filtro ideal hi[n] con W[n]. 2.

Cada estudiante diseñará cinco (5) filtros en la herramienta Simulink de Matlab, específicamente utilizará el bloque FDA TOOL para diseñar los filtros.

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Todos los filtros deben ser del mismo tipo, por ejemplo, si se escogió IIR Butterworth, entonces los cinco (5) Filtros diseñados deben ser IIR Butterworth. Cada uno de los filtros tendrá los siguientes rangos de frecuencia: Filtro Rango (Hz) Tipo

1 20 Hz – 200 Hz Pasa Banda

2 200 Hz – 500 Hz Pasa Banda

3 500 Hz – 2Khz Hz Pasa Banda

4 2 Khz – 8 Khz Pasa Banda

5 8 Khz – 20 Khz Pasa Banda

A continuación, con la herramienta de Simulink se diseñan los filtros de acuerdo a los parámetros solicitados:

Figura 4. Diseño de parámetros para el Filtro 2 Fuente: Elaboración Simulink-Matlab

Figura 3. Diseño de parámetros para el Filtro 1 Fuente: Elaboración Simulink-Matlab Figura 5. Diseño de parámetros para el Filtro 3 Fuente: Elaboración Simulink-Matlab

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Figura 6. Diseño de parámetros para el Filtro 4 Fuente: Elaboración Simulink-Matlab

Figura 7. Diseño de parámetros para el Filtro 5 Fuente: Elaboración Simulink-Matlab

3.

Se exportarán los coeficientes de cada uno de los cinco filtros, los cuales equivalen a la respuesta el impulso en el filtro FIR, y a los coeficientes de la función de transferencia en los filtros IIR (matriz SOS). Para ello deben dirigirse al menú archivo – exportar command window – coeficientes. Cuyos coeficientes deben graficarse mediante la función plot de Matlab.

Diseñados los filtros, se procede a exportar sus datos a Matlab

Figura 8 y 9. Proceso de exportación de datos de los filtros Fuente: Elaboración Simulink-Matlab

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Fuente: Entorno-Matlab

Figura 12. Grafica Respuesta al impulso para Filtro FIR Kaiser No.2 Fuente: Entorno-Matlab Figura 10. Evidencia de archivos exportados al entrorno de trabajo Fuente: Elaboración -Matlab

Con los datos exportados de cada filtro se realiza el grafico de respuesta al impulso para cada filtro:

Figura 13. Grafica Respuesta al impulso para Filtro FIR Kaiser No.3 Fuente: Entorno-Matlab

Figura 11. Grafica Respuesta al impulso para Filtro FIR Kaiser No.1

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[b,a] = sos2tf(SOS);

Y para obtener la respuesta al impulso, podrán realizarlo con el siguiente comando:

[h,t] = impz(SOS);

Y para graficar :

plot(t,h)

Figura 14. Grafica Respuesta al impulso para Filtro FIR Kaiser No.4 Fuente: Entorno-Matlab

Figura 15. Grafica Respuesta al impulso para Filtro FIR Kaiser No.5 Fuente: Entorno-Matlab

4.

Para los estudiantes que hayan escogido un filtro IIR, exportarán el matriz SOS y de ella podrán obtener los coeficientes de la función de transferencia con el siguiente comando:

5.

Una vez diseñados los filtros, cada uno de los estudiantes procederá a ensamblar un ecualizador de sonido, para ello debe agregar el bloque “From Multimedia File” el cual servirá como fuente de entrada (audio) al ecualizador, este audio debe tener como mínimo una frecuencia de muestreo de 44.1 Khz, y los filtros deben estar configurados a esta misma frecuencia de muestreo. También se debe agregar el bloque “Slider Gain” a la salida de cada uno de los filtros, con el fin de controlar el nivel de salida en cada uno de los filtros. Finalmente se sumarán todas las señales con el bloque “add”.

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Figura 17. Montaje de Ecualizador Fuente: Entorno y herramientas Simulink-Matlab

6.

Una vez cada estudiante tenga su ecualizador ensamblado y funcionando, se realizará análisis en frecuencia mediante algún analizador de espectro que tenga Simulink. Recuerden que pueden controlar los “Slider Gain” mientras el modelo está corriendo. Se recomienda usar un tiempo de simulación largo, por ejemplo 200.

Figura 16. Selección de elementos para Ecualizador Fuente: Entorno y herramientas Simulink-Matlab

Figura 18. Prueba de Analizador de espectro con Slider Gain con Valor 1 Fuente: Spectrum Analyzer-Simulink

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Figura 21. Prueba Spectrum Analyzer para pista ARC Fuente: Spectrum Analyzer-Simulink

CONCLUSIONES

Dependiendo de las especificaciones, algunos tipos de ventanas pueden emplearse a excepción de las ventanas Kaiser; ya elegida la ventana el otro parámetro a elegir es el M del filtro; mientras que para las ventanas Kaiser, M y Beta se determinan según las especificaciones de las expresiones. Figura 19 y 20. Prueba de Analizador de espectro con Slider Gain con valores aleatorios Fuente: Spectrum Analyzer-Simulink

Para verificar el funcionamiento del ecualizador con diferentes pistas de audio, se programa con la siguiente pista: Cancion: ARC, Interprete: Pearl Jam; Duracion: 1:05 min; Album: Riot Act (2002). Sony Records.

Se debe realizar el cálculo de los coeficientes de la ventana W[n] para la ventana que se elige para trabajar, mediante el cálculo de los filtros, que determinan la respuesta del impulso ideal hi[n] de las ecuaciones útiles para la respuesta en magnitud, sean pasa bajas, pasa altas entre otros. La multiplicación de los coeficientes de la ventana y el filtro que es ideal se ejecuta para obtener los coeficientes de filtro razonable conocidos como taps o wieghts. Es vital realizar la convolución de la señal con los coeficientes obtenidos del filtro y[n]=x[n]*h[n]. El proceso de ecualización de un archivo de sonido por lo general es el resultado de realzar o atenuar frecuencias y rangos frecuenciales, teniendo en cuenta si hay afectación de la

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claridad, separación, profundidad amplitud, sonoridad, efectos y demás características de un sonido con calidad; es en esto que la frecuencia es la principal protagonista, donde el espectro frecuencial donde pueden reproducir los parlantes y dispositivos de sonido, donde se da que a mayor contenido frecuencial, más rápido se llenara la mezcla. .

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [1] Universitat Politècnica de València - UPV. (2015). Filtros FIR | 21/84 | UPV. Valencia. Es. Video introductorio a los Filtros Digitales de Respuesta de Impulso Finita. Archivo de

video Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación, Universidad Politécnica de Valencia. Clip de video, (8:28 min.). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=ENIFBriOrHI [2]. Universidad de Guanajuato (2018). Filtrado Digital; Lectura 3: Diseño de Filtros FIR. Guanajuato, Me. Documento repositorio Procesamiento Digital de Señales, Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica; Universidad de Guanajuato. Archivo portal http://www.fimee.ugto.mx. Archivo PDF (pág. 1-43). Recuperado de: http://www.fimee.ugto.mx/profesores/arturogp/documentos/Fil trado%20Digital/Lectura%203_Filtrado_Digital.pdf