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• Edison Mendoza

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sea 𝐿: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 𝑛. 𝐵1 = {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } ⊂ 𝑉, 𝐵2 = {𝐿(𝑣1 ), 𝐿(𝑣2 ), … , 𝐿(𝑣𝑛 )} ⊂ 𝑊. Demostrar que: 𝐿 es invertible si y solo si 𝐵1 linealmente independiente implica 𝐵2 linealmente independiente. 2. Sea 𝐿: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛. 𝐴 = [𝐿]𝐵𝐵 Demostrar que: a. 𝐷𝑖𝑚(𝐿) ≥ 1 ⟷ 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 0 b. 𝐿 es biyectiva si y solo si 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0. 3. Sea V una espacio vectorial de dimensión 2, {𝑢, 𝑣} es base de V a. Mostrar que 𝑢.. = 𝑢 + 2𝑣 y 𝑣 .. = 𝑣 − 𝑢 forman una base de V b. Cuál es la matriz asociada a la transformación lineal T T: 𝑅 2 → 𝑅 2 (𝑥, 𝑦) → 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦) Siendo {𝑢.. , 𝑣 .. } la base de salida y {𝑢, 𝑣} la base de llegada ¿? 4. Sea L : 𝑅 3 → 𝑅 3 una transformación lineal tal que: L (u) = v, L(v) = w, L (w) = u B = {𝑢, 𝑣, 𝑤} es base de 𝑅 3 , donde: u = (1,1,0), v = (0,1,1) 𝑤 = (1,0,1) a. Hallar la matriz asociada a L respecto a B b. Determinar la matriz asociada a L respecto a la base canónica 5. Sea 𝐿: 𝑅 2 → 𝑅 2 una transformación lineal cuya matriz asociada con respecto a la base 𝑎 𝑏 canónica es [ ]. Qué condiciones deben cumplir a, b, c, d para que: 𝑐 𝑑 𝑁(𝐿) = 〈(1,1)〉 𝑒 𝐼𝑚(𝐿) = 〈(−1,1)〉? 6. Demostrar que si 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, … . . , 𝑣𝑛 }, 𝐿 (〈𝑆〉) = 〈𝐿(𝑆)〉. 7. Sea L una transformación lineal 𝐿: 𝑅 2 → 𝑅 2 1 1 (𝑥, 𝑦) → 𝐿 (𝑥, 𝑦) = (𝑘𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑘𝑦) 2 2 a. Para que valores de k de los reales L es biyectiva ¿? 𝐵 b. Calcular [𝐿]𝐵12 , donde 𝐵1 es base canónica de 𝑅 2 𝑦 𝐵2 = {(−1,0), (0, −1)} 8. Sean las bases 𝐵1 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } base de 𝑃2 , y 𝐵2 = {1,1 + 𝑥, (1 + 𝑥)2 , (1 + 𝑥)3 } base de 𝑃3 −1 1 − 1 1 −2 3 A=[ ] 0 1 −3 0 0 1 Hallar: 𝐵 a. L : 𝑃2 → 𝑃3 , tal que, 𝐴 = [𝐿]𝐵12

b. 𝑁 (𝐿), 𝐼𝑚(𝐿), dimensiones y bases 9. Sea 𝑓: 𝑅 3 → 𝑃2 (𝑥) , una transformación lineal y 1 −1 0 𝐴 = [1 0 − 1 ], la matriz asociada a f respecto a las bases canónicas de 𝑅 3 y 𝑃2 (𝑥) 2 −1 −1 representativamente. Hallar: a. f explícitamente b. N (f), Im(f), dimensiones y bases

10. Sea T: 𝑅4 → 𝑅2 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) → (𝑥 + 𝑧, 𝑦 + 𝑤) a. Demostrar que T es lineal b. N (T), Im(T), dimensiones y bases 11. Sea: T: 𝑅 3 → 𝑅 2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) Una transformación lineal, donde: 𝑇(1,0, −1) = (−3,1), 𝑇(2, −1,1) = (4,2), 𝑇(−1,1, −1) = (−1,3) a. 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) b. 𝑁 (𝐿), 𝐼𝑚(𝐿), dimensiones y bases 12. 𝐿: 𝑃4 → 𝑃4 𝑝(𝑥) → 𝐿(𝑝(𝑥)) = 𝑝′′(𝑥) + 𝑥𝑝′(𝑥) + 2𝑝(𝑥) a. Probar que L es un isomorfismo b. Estructurar la inversa de L 𝐵 c. Hallar [𝐿]𝐵𝑐𝑐 , siendo 𝐵𝑐 = {1, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 }, base de 𝑃4

13. Sea 𝐿:

𝑃2 → 𝑃2

1 𝑝(𝑥) → 𝐿(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥) − ( 𝑥 − 1) 𝑝´(𝑥) 2 a. Mostrar que L es lineal b. 𝑁 (𝐿), 𝐼𝑚(𝐿), dimensiones y bases 14. Sea 𝐿: 𝑃2 → 𝑅 3 𝑎2 𝑡 2 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎𝑎 → (𝑎2 + 𝑎1 + 𝑎𝑜 , 𝑘𝑎2 − 𝑎1, 𝑎2 − 𝑎1 + 𝑎𝑜 ) Hallar a. El valor de k para que L sea inyectiva b. El valor de k para que dim (L) = 2 c. Una base para la imagen y el núcleo en cada caso anterior d. 𝐿−1 𝑠𝑖 𝑘 = 2 𝐵 e. [𝐿]𝐵𝑐𝑐 , si 𝐵𝑐 son las bases de 𝑃2 → 𝑅 3 respectivamente 15. Sea el espacio vectorial 𝐶 3 (𝐶 3 𝐶, +, . ) 𝐿: 𝐶 3 → 𝐶 3 (𝑧1 𝑧2 , 𝑧3 ) → (𝑧1 − 𝑖𝑧2 , (1 + 𝑖)𝑧1 − 𝑧3 , 2𝑖 𝑧2 − (1 − 𝑖)𝑧3 ) a. Demostrar que L es lineal b. Calcular 𝑁 (𝐿), 𝐼𝑚(𝐿), dimensiones y bases. c. Dar una base B para 𝐶 3 , tal que [𝐿]𝐵𝐵 tenga una columna de ceros 16. Sea 𝐿: 𝑅 3 → 𝑅 3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 , 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧) 𝐵 = {(2,1,0), (−1,1,0), (2,1, −1)}, 𝐵𝑐 base canónica de 𝑅 3 a. Demostrar que L sea biyectiva 𝐵

−1

b. Comprobar que [𝐿−1 ]𝐵𝐵𝑐 = ([𝐿]𝐵𝑐 )

17. Sea 𝐵 = {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 } base de 𝑅 3, donde: 𝑢1 = (1. −1,1), 𝑢2 = (1,0,1), 𝑢3 = (1,1,1) Si 𝐿: 𝑅 3 → 𝑅 3 es una transformación lineal, tal que 𝐵1 = {𝑢2 } es base de 𝑁(𝐿) 𝑦 𝑣2 = 𝐿 (𝑢2 ) = (0, −1,1), 𝑣3 = 𝐿 (𝑢3 ) = (1,1,1) a. Hallar L (𝑥, 𝑦, 𝑧) b. Hallar la matriz asociada a L respecto a B c. L es inyectiva, sobre, ....¿? d. A partir del conjunto {𝑣2 , 𝑣3 } completar una base ortogonal para 𝑅 3 18. Sea 𝐿: 𝑅 3 → 𝑅 3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 , −𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 , 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑘𝑧) a. Hallar la matriz asociada a L respecto a las bases canónicas b. Para qué valores de k , L es un isomorfismo ¿? c. Para qué valores de k la dim (L) = 1 ¿? d. Encontrar una base B para la cual la matriz asociada a L respecto a B tenga una columna de ceros 19. Dadas las funciones f y g de 𝑃2 , tales que: 𝑓(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥) − 𝑝′(𝑥) 𝑔(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥) − 𝑝′′(𝑥) a. Hallar (gof) (p(x)) b. Demostrar que gof es una transformación lineal c. gof es biyectiva ¿? d. Si 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } 𝑦 𝐵1 = {1 − 𝑥, 𝑥 − 𝑥 2 , 1 + 𝑥 2 } son base de 𝑃2 , hallar [𝑔𝑜𝑔]𝐵𝐵1 −6 e. Si [𝑝(𝑥)]𝐵 = (−6) , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 [(𝑔𝑜𝑓)(𝑝(𝑥))]𝐵 4 20. Sean las transformaciones lineales 𝑃2 → 𝑅 3 𝑎2 𝑡 2 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎𝑎 → (2𝑎2 − 𝑎1 + 𝑎𝑜 , 𝑎2 + 𝑎1, 𝑎2 + 2𝑎1 − 𝑎𝑜 ) 𝐿: 𝑅 3 → 𝑃2 (𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎𝑜 ) → (𝑎1 + 𝑎𝑜 )𝑡 2 + (2𝑎2 − 𝑎1 − 2𝑎𝑜 )𝑡 + 𝑎𝑜 𝐵1 = {(2,1,0), (0,1, −1), (1,0,1)} base de 𝑅 3 a. Demostrar que gof es invertible b. Hallar (𝑓𝑜𝑔)−1 𝐿:

1

𝐵

c. Hallar F = [(𝑓𝑜𝑔)−1 ]𝐵𝐵𝑐 y G = [𝑓𝑜𝑔]𝐵𝑐1 d. Determinar si 𝐹 = 𝐺 −1 21. Sea 𝐿: 𝑃2 → 𝑃2 𝑝(𝑥) → 𝐿(𝑝(𝑥)) = 𝑝′(𝑥) − 2 𝑝(𝑥) a. Demostrar que L es lineal b. Probar que L es invertible c. Hallar 𝐿−1 d. Hallar la matriz asociada a L respecto a B y 𝐵′, siendo a. 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } 𝑦 𝐵1 = {1 − 𝑥, 𝑥 − 𝑥 2 , 1 + 𝑥 2 } base de 𝑃2 e. Si 𝑝(𝑥) = 2 − 𝑥 + 𝑥 2 , hallar 𝐿(𝑝(𝑥)) usando [𝐿]𝐵𝐵1 22. Sean 𝑓: 𝑅 3 → 𝑅 3 una transformación lineal y 𝐵 = {𝑢, 𝑣, 𝑤} una base de 𝑅 3

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𝑢 = (1,0,0), 𝑣 = (0,1,1), 𝑤 = (0,2,1) 𝑓(𝑢) = (1, −1, 𝑘), 𝑓(𝑣) = (0,1,1), 𝑓(𝑤) = (0,2,1) a. Hallar 𝑓 {𝑥, 𝑦, 𝑧} b. Para que valores de k, L es biyectiva ¿? c. Hallar la base para el núcleo y una base para la imagen de f, cuando esta es biyectiva d. Si k = 2, hallar la matriz asociada a f respecto a B Sean 𝑓: 𝑅3 → 𝑅3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑓 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = (𝑥 + 𝑧, 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦) 𝑔: 𝑅3 → 𝑅3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝑔 {𝑥, 𝑦, 𝑧} = (𝑥, 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) a. Hallar gof y fog b. Demostrar que gof es lineal c. Demostrar que gof es diyectiva 𝐵 𝐵 d. Determinar si se cumple que [𝑔𝑜𝑓]𝐵𝑐𝑐 = [𝑓𝑜𝑔]𝐵𝑐𝑐 Sea 𝐿: 𝑅 3 → 𝑅 3 una transformación lineal, donde: 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) a. Encontrar una base B de 𝑅 3, tal que [𝐿]𝐵𝐵 sea diagonal b. Escribir [𝐿]𝐵𝐵 Sea 𝐿: 𝑉 → 𝑉 una transformación lineal invertible. Si λ es un valor propio de L, cual es el valor propio de 𝐿−1 ¿? Sea 𝑓: 𝑅 2 → 𝑅 2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦, 𝑦), probar que T es una transformación lineal y calcular N(T), Im(T). Sea 𝑓: 𝑅 4 → 𝑅 4 una transformación lineal tal que: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (𝑧 + 𝑤 − 𝑦, 2𝑥 − 2𝑧, 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 3𝑤, 𝑦 − 𝑥 + 𝑧 + 2𝑤), Hallar una base para N (f), Im (f) y su dimensión. Dado 𝑓: 𝑅 4 → 𝑅 3 tal que: a. Probar que T es una transformación lineal. b. Hallar N(T) y dim N(T), dim, Im(T) Halar una transformación lineal 𝑡: 𝑅 4 → 𝑅 3 tal que N(T)= L{(2,1,-1,2),(3,0,1,-1)}. Halar una transformación lineal 𝑡: 𝑅 3 → 𝑅 2 tal que N(T)= L{(1,2,3)}. Sea 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) ∈ 𝑅 4 /𝑥 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 + 𝑐𝑤, 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠}, 𝑊 = {(𝑟, 𝑠, 𝑡) ∈ 𝑅 4 / 𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = 0} dos espacios vectoriales 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que T(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (𝑥 − 𝑦, −𝑎𝑦 − 𝑏𝑧, 𝑦 − 𝑐𝑤) probar que T es una transformación lineal, además determinar N(T), Im(T) y sus dimensiones. Sea V el espacio vectorial de las matrices n-cuadradas sobre K y M una matriz arbitraria en V, defínase 𝑇: 𝑉 ⤑ 𝑉 mediante 𝑇(𝐴) = 𝐴𝑀 + 𝑀𝐴, con 𝐴 ∈ 𝑉, mostrar que T es lineal. Sea T: R5⤑R3 la aplicación lineal definida por: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠, 𝑡) = (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑠 + 4𝑡, 2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 − 5𝑠 + 5𝑡, 𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 − 𝑠 − 2𝑡). Hallar una base y la dimensión de la imagen de T. Sea la transformación lineal 𝑇: 𝑅 2 ⤑ 𝑅 2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦): a. Es T inyectiva b. Hallar la inversa de T, si existe. Una transformación lineal f: R3⤑R2 está definida por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 2𝑧, 𝑦 + 𝑧). a. Hallar la matriz A de f, respecto de las bases {(1, 1,1), (2, 2,0), (3, 0,0)} en R 3 {(2,0),(0,2)} en R2. b. Mediante la matriz A, obtener la imagen de (-2, 2,-2). 𝑎 𝑏 Dada la transformación lineal de 𝑓: 𝑀𝑎𝑡(𝑅)2 → 𝑅 3 definida por: 𝑓 ( ) = (𝑎 + 𝑏 − 𝑐, 𝑎 + 𝑐 𝑑 𝑏 + 𝑑, 𝑏 + 𝑐 + 𝑑). Obtener la matriz A de f respecto de las bases: 1 1 1 0 0 0 0 1 a. {( )( )( )( )} 𝑒𝑛 𝑀𝑎𝑡(𝑅)2 𝑦 {(0,2,1), (2,0,1), (0,1,1)}𝑒𝑛 𝑅 3 1 1 1 1 0 1 1 1 −1 3 b. Utilizando la matriz hallada obtener la imagen de ( ) 2 2

36. Sea la aplicación T : 𝑅 2 → 𝑅 2 definida por: 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 3𝑦, 𝑥 + 4𝑦), hallar la matriz T relativa respectivamente a las siguientes bases de 𝑅 2, B={𝑒1 , 𝑒2 }, y B' = B={𝑢1 , 𝑢2 }, donde 𝑒1 =(1,0) , 𝑒2 = (1,3), 𝑢1 = (1,3), 𝑢2 = (2,5). 37. ¿Puede existir alguna aplicación lineal f de 𝑅 2 𝑒𝑛 𝑅 3 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑁(𝑓) =< {(1, −1)} > 𝑒 𝐼𝑚𝑔(𝑓) =< {(1,1,2)} >? En caso afirmativo, determine la aplicación lineal ¿f es única? 38. ¿Puede existir alguna aplicación lineal f de 𝑅 3 𝑒𝑛 𝑅 3 Tal que: 𝑁(𝑓) = < {(1, −1,1)} > 𝑒 𝐼𝑚𝑔 (𝑓) = < {(1,1,2)} >? 39. ¿Puede existir alguna aplicación lineal f de ℝ3 enℝ3 tal que : 𝑁(𝑓) = < {(1, −1,1), (0,1, −1)} > 𝑒 Img(𝑓) =< {(1,1,2)} >?. En caso afirmativo, determinar la aplicación lineal, ¿f es única? 40. Sea 𝑓 Є L(ℝ3 , ℝ3 )tal que, 𝑓(1,0,1) = (1,1,2), 𝑓(0,1,1) = (0,2,1) y 𝑓(1,1,0) = (1, −1,1). Determinar : a. La aplicación lineal f. b. El subespacio vectorial Img f. c. El subespacio vectorial 𝑁𝑓 d. Bases para el Nf y la Img. f. 41. Sea 𝑓ЄL(ℝ3 , ℝ3 ) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑧 − 𝑦 + 𝑧, 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧) a. Determinar el núcleo de f. b. Verificar que la imagen de f es un plano (s.e.v. de dim. 2) Hallar el plano. c. Sea (r,s,t) ЄImg (f). Demostrar que 𝐿 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) / 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑟, 𝑠, 𝑡)} es una recta paralela al núcleo. 42. Sea 𝑓ЄL(ℝ3 , ℝ3 ) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 2𝑥) a. Determinar una base del núcleo de f. b. Verificar que la imagen de f es un plano (s.e.v. de dim. 2). Hallar el plano. c. Sea (2,-3,-1) Є Img(f). Demostrar que 𝐿 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) / 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, −3, −1) } es una recta paralela al núcleo.