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• Tatiana Bautista

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Gráficas- ecuaciones empíricas

“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNIVERSIDAD NACIONAL DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA

Gráficas E.A.P: Ingeniería Geográfica Curso: Laboratorio de Física

Profesor: Chicana López, Julio Grupo: jueves de 20:00 -22.00 horas Informe: N° 2

Integrantes:  Miguel Jurado, Milagros  Palomino Torres, Fiorella  Silvestre Jimenez, Brenda  Torres Rojas, Clever

Gráficas- ecuaciones empíricas

Introducción La recolección de datos a través de la observación u otros métodos es necesaria para comprender el comportamiento de distintos fenómenos, pero útil a partir de su procesamiento para poder representarla. Es así que en la física que estudia el comportamiento de los cuerpos, y establece las relaciones preponderantes entre ellas, se estableció una forma de representarlas con la ayuda de gráficas. Una gráfica está constituida por dos ejes en los cuales se colocan las variables a estudiar habiendo una dependiente y otra independiente; ya que su comportamiento se haya basado en el cambio que habrá de una variable respecto a otra. De esta forma se podrá llegar a predecir diversos fenómenos a partir de la correlación de sus variables.

Gráficas- ecuaciones empíricas

Gráficas I.- Objetivos Plantear ecuaciones empíricas que fueron deducidas a partir de una gráfica lineal, realizada con datos debidamente tabulados, de esa forma se podría predecir el comportamiento de los fenómenos.

II.- Materiales    

Hojas de papel milimetrado Hojas de papel semi-logarítmico (3x10) Hojas de papel logarítmico(3x3) Pistoletes

III.- Fundamento teórico Para interpretar los datos experimentales obtenidos en un proceso de investigación muchas veces interesa tabularlos y representarlos gráficamente, con objeto de poner en evidencia el tipo de dependencia existente entre dos magnitudes. De ese modo se logra una interpretación adecuada de los datos recogidos por medio de un proceso de medición. Procedimiento: a) Los datos que se hallaban tabulados deben ser representados en un plano coordenado en una hoja de papel milimetrado. b) Si la representación no es lineal, se procederá a representarlos en una hoja de papel logarítmico y si sucede que tampoco es lineal se procederá a representarlos en una hoja de papel semi-logarítmico. c) Luego que los datos están representados linealmente, se formara la ecuación a partir de la tabla tabulada. d) Existiendo tres casos:  Si la línea recta está formada en la hoja de papel milimetrado, la ecuación que se formara será una ecuación polinómica de 1er grado y se hallara su pendiente e intersección por el método de mínimos cuadrados.

𝒀 = 𝟑. 𝟐𝒙𝟐

Gráficas- ecuaciones empíricas

 Si la línea recta está formada en la hoja de papel logarítmico, se formara será una ecuación potencial y se procederá a usar el método enseñado en clase.

𝒀 = 𝑨𝑿𝑩  Si la línea recta está formada en la hoja de papel semi-logarítmico, que se formara será una ecuación exponencial y se procederá a usar el método enseñado en clase.

𝒀 = 𝑨𝒆𝑩𝑿 Método de mínimos cuadrados Solo aplicable para ajustes lineales Con los datos xi, yi se construirá la siguiente tabla, con la cual a través de las fórmulas se podrá calcular la pendiente” y el intercepto “b”, considerando n cómo la cantidad de datos recolectados.

xi x1 x2 . . xn

yi y1 y2 . . yn

xiyi x1y1 x2y2 . . xnyn

xi2 x12 x22 . . xn2

∑ 𝒙𝒊

∑ 𝑦𝑖

∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

∑ 𝑥𝑖 2

m= n∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 - ∑ 𝒙𝒊 ∑ 𝑦𝑖 n ∑ 𝑥𝑖2- (∑ 𝑥𝑖)2 ∑ 𝑥𝑖 2

b = ∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑦𝑖 - ∑ 𝒙𝒊 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

n∑ 𝑥𝑖 2 - (∑ 𝑥𝑖)2

La fórmula experimental es la ecuación de la recta, y= mx + b ∑ 𝑥𝑖 2

Gráficas- ecuaciones empíricas

Para casos de ajustes no lineales

Método aplicado para hallar la ecuación potencial

xi

yi

Xi=log xi

Yi=log yi

Xi Yi= log xi log yi

Xi2=(log xi)2

x1 x2 . . xn

y1 y2 . . yn

Logx1 Logx2 . . Logxn

Logy1 Logy2 . . Logyn

Log x1 Logx1 Logx2 Logy2 . . Logxn Logyn

(Logx1)2 (Logx2)2 . . (Logxn)2

∑ 𝒍𝒐𝒈𝒙𝒊

∑ 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖

∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖

∑(𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖)2

m= n∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖 - ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖 n ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖2- (∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖)2

b = ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 2 ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖 - ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 ∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖

n∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖 2 - (∑ 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖)2

∑ 𝑥𝑖 2 2 Luego de haber obtenido de m y n se reemplaza, considerando que m=B y A=10b ∑los𝑥𝑖valores para obtener la ecuación Y=AxB.

Método aplicado para hallar la ecuación exponencial

xi

yi

Yi=ln yi

xi ln yi

(xi)2

x1 x2 . . xn

y1 y2 . . yn

Lny1 Lny2 . . Lnyn

x1 Lny1 x2 Lny2 . . xn Lnyn

(x1)2 (x2)2 . . (xn)2

∑ 𝒙𝒊

∑ 𝑦𝑖

∑ 𝑙𝑛𝑦𝑖

∑ 𝑥𝑖𝑙𝑛𝑦𝑖

∑(𝑥𝑖)2

B = n ∑ 𝑥𝑖𝑙𝑛𝑦𝑖- ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑙𝑛𝑦𝑖

n∑ 𝑥𝑖 2 - (∑ 𝑥𝑖)2

P= ∑ 𝑙𝑛𝑦𝑖- B∑ 𝑙𝑛𝑦𝑖

n

Luego de obtener el valor de B y A= 𝑒 𝑃 se reemplaza en la ecuación Y=AeBx

Gráficas- ecuaciones empíricas

IV.- Evaluación 1.- Adjuntar la gráfica de la tabla 1 y hallar la ecuación experimental por el método de mínimos cuadrados. V agua(ml) T(min) 1 2 3 4

100 ∆T (°C) 6,5 13,0 19,5 27,0

150 ∆T (°C) 4,5 9,0 14,0 18,0

Tabulación de datos a) V agua(ml) = 100 xi 1 2 3 4 10

yi 6,5 13,0 19,5 27,0 66

xiyi 6,5 26,0 58,5 108 199

xi2 1 4 9 16 30

Reemplazando datos

m= 4*199 – 10*66 = 6,8 4*30 – (10)2

b=

30*66-10*199 = -0.5 4*30 – (10)2

La ecuación quedaría determinada por: Y= 6,8x-0.5 b) V agua(ml) = 150 xi 1 2 3 4 10 m= 4*136.5 – 10*45.5 = 4.55 4*30 – (10)2

yi 4,5 9,0 14,0 18,0 45.5

xiyi 4.5 18 42 72 136.5 b= 30*45.5-10*136.5 = 0 4*30 – (10)2

La ecuación quedaría determinada por: Y= 4,55x

xi2 1 4 9 16 30

Gráficas- ecuaciones empíricas

Interpretación: En estos casos se puede comprobar que si se halla una recta en la gráfica de la hoja de papel milimetrado por los métodos explicados se puede encontrar su ecuación, en la que a cierta variación de temperatura le correspondería un tiempo. Y se tiene que considerar que no es la misma ecuación para el volumen de 100 ml que para 150 ml. 2.- Si la fuente de calor constante y la temperatura inicial del agua fue de 20°C ¿Cuál es el tiempo que transcurrirá para que el volumen de agua de 100 ml alcance la temperatura de ebullición? El volumen alcanzara el punto de ebullición cuando la temperatura llegue a los 100°C, si su temperatura inicial fue de 20°C existiría una ∆T (80°C). Y a un V agua = 100 ml le correspondería la relación de la ecuación: Y= 6,8x-0.5 Reemplazando datos: Y =6,8 (80)-0.5 = 543,5 El tiempo estimado sería de 543,5 minutos.

3.- Analice, discuta la gráfica obtenida de la tabla 1 ¿Cuál es el significado físico de la pendiente y el intercepto? La pendiente indica la relación proporcional entre ambas variables, así como la medida de variación, existiendo una relación directamente proporcional, ya que a ↑ tiempo será ↑ la diferencial de la temperatura. El intercepto sería el punto donde la recta corta uno de los ejes.

4. Considerando las distribuciones no lineales correspondientes grafique: a)

t = f (h) en papel logarítmico. h (cm) 30 10 4 1

b)

Tiempo de vaciado t (s) 73,0 41,2 18,4 43,0 23,7 10,5 26,7 15,0 6,8 13,5 7,2 3,7

A = f (t) en papel semilogarítmico.

6,8 3,9 2,2 1,5

Gráficas- ecuaciones empíricas

t (días) A (%)

c)

0 100

2 70

3 59

4 49

5 41

6 34

7 27

8 24

t = f (D) en papel logarítmico.

D (cm) 1,5 2,0 3,0 5,0

d)

1 84

Tiempo de vaciado t (s) 43,0 26,7 23,7 15,0 10,5 6,8 3,9 2,2

73,0 41,2 18,4 6,8

13,5 7,2 3,7 1,5

Primero calcule z = 1/D2 y luego grafique t = f (z) en papel milimetrado.

D (cm) 1,5 2,0 3,0 5,0

z = 1/D2

0,45 0,25 0,12 0,04

73,0 41,2 18,4 6,8

Tiempo de vaciado t (s) 43,0 26,7 23,7 15,0 10,5 6,8 3,9 2,2

13,5 7,2 3,7 1,5

* Las gráficas serán adjuntadas a continuación en sus respectivos papeles.

5. Halle el tiempo en que los núcleos de radón sufren una desintegración del 50%. ................................................................................................................................. .............En proceso.. no sale......:(.............voy a hallar la formula ................................................................................................. .................................................................................................................................

9 20

10 17

Gráficas- ecuaciones empíricas

t (s) w

73,0

43,0

26,7

15,0

10,5

3,9

1,5

2.44

1.41

0.89

0.5

0.35

0.13

0.04

6. Calcule

𝒘=

√𝒉 𝑫𝟐

Bibliografía Páginas https://www.uaeh.edu.mx/scige/boletin/prepa4/n3/m8.html http://sralvarezmatematicas.weebly.com/uploads/8/5/6/3/8563709/matematicas_8_pendi ente_e_intercepto.pdf