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20 de febrero de 2018

1. Un rayo de luz atraviesa sucesivamente una serie de interfaces planas, todas paralelas (ver figura 1). Cada regi´ on que separan la interfaces tiene un grosor y un ´ındice de refracci´on distinto. (a) Demuestre que la ley de Snell se cumple entre la primera y la u ´ltima regi´on, como si todas las regiones intermedias no existieran. (b) Calcule el desplazamiento lateral de los rayos de emergentes con respecto a los rayos incidentes.

Figura 1: Serie de interfaces planas

2. Un rayo de luz en el aire incide en el prisma rectangular que se ilustra en la figura 2. Este rayo consiste en dos longitudes de onda diferentes. Cuando emerge por la cara AB, se ha dividido en dos rayos diferentes que divergen entre si 8.5o . Determine el ´ındice de refracci´on del prisma para cada una de las dos longitudes de onda.

Figura 2: Prisma rectangular

3. La luz incide normalmente en la cara m´as peque˜ na de un primas con ´angulos de 30o , 60o y 90o . Una gota de l´ıquido se derrama sobre la hipotenusa del prisma (ver figura 3). Si el ´ındice de refracci´ on del prisma es 1.62 encuentre el ´ındice m´ aximo que podr´ıa tener el l´ıquido para que los rayos sufran reflexi´ on total interna en la hipotenusa. 4. El prisma que se muestra en la figura 4 tiene un ´ındice de refracci´on de 1.66, y los ´angulos A son de 25o . Dos rayos de luz m y n paralelos ingresan al prisma. ¿Cu´al es el ´angulo entre los rayos despu´es de que emergen del prisma?

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Figura 3: Prisma

Figura 4: Prisma

5. Un tanque cil´ındrico horizontal de 2.2 m de di´ametro est´a lleno de agua hasta la mitad. El espacio sobre el agua se encuentra lleno de un gas presurizado con ´ındice de refracci´on desconocido. Un equipo emisor de luz l´ aser peque˜ no se mueve a lo largo del fondo curvado del agua y lanza un rayo hacia el centro de la superficie del agua. Usted observa que cuando el l´aser ha recorrido una distancia de s = 1.09 m o m´ as (medida a lo largo de la superficie curva) desde el punto m´as bajo del agua, la luz no pasa al gas. (a)¿Cu´ al es el ´ındice de refracci´ on del gas? (b) ¿Cu´anto tiempo tarda el haz de luz en viajar del equipo emisor al borde del tanque cuando (i) s > 1.09 m y (ii) s < 1.09 m?

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Figura 5: Tanque cil´ındrico

6. Cuando el Sol sale o se oculta y parece estar justo sobre el horizonte, en realidad est´a debajo de ´este. La explicaci´ on de esta aparente paradoja es que la luz solar se desv´ıa un poco uando entra a la atm´ osfera terrestre, como se ilustra en la figura 6. Como nuestra percepci´on se basa en la idea de que la luz viaja en l´ıneas rectas, la percibimos como si viniera desde una posici´on que forma un ´angulo δ sobre la posici´ on verdadera del Sol. (a) Para simplificar, suponga que la atm´osfera tiene densidad uniforme y, por lo tanto, ´ındice de refracci´ on uniforme n, y se extiende a una altura h por encima de la superficie de la Tierra, punto en el cual se desvanece de manera abrupta. Demuestre que el ´angulo δ est´a dado por δ = arcsin(

nR R ) − arcsin( ) R+h R+h

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Figura 6: Desviaci´on de la posici´on aparente del sol 7. Sobre la superficie superior de una placa transparente incide luz que viaja por el aire con un ´angulo θa (ver figura 7). Las superficies de la placa son planas y paralelas entre s´ı. (a) Demuestre que θa = θa0 . (b) Pruebe que el desplazamiento lateral d del haz que sale est´a dado por la ecuaci´on d=t

sin(θa − θb0 ) cos(θb0 )

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donde t es el espesor de la placa. (c) si el ´angulo de incidencia es de 66o sobre la superficie de la placa de vidrio de 2.4 cm de espesor e ´ındice de refracci´on de 1.8. El medio a ambos lados de la placa es aire. Calcule el desplazamiento entre los rayos incidentes y emergentes.

Figura 7: Placa transparente.

8. El ´ angulo de incidencia θa se elige de manera que la luz atraviese sim´etricamente el prisma, el cual tiene un ´ındice de refracci´ on n (ver figura 8). (a) Demuestre que el ´angulo de desviaci´on δ (aquel que hay entre las direcciones inicial y final del rayo) est´a dado por sin(

A+δ A ) = n sin( ) 2 2

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Se sabe que cuando la luz atraviesa sim´etricamente el prisma (como en el caso de la figura 8), el ´angulo de desviaci´ on es m´ınimo. (b)utilice el resultado anterior para encontrar el ´angulo de desviaci´on para un rayo que atraviesa sim´etricamente un prisma que tiene tres ´angulos iguales y n = 1.52. (c) Un cierto vidrio tiene un ´ındice de refracci´ on 1.61 para la luz roja (700 nm) y 1.66 para la luz violeta (400 nm). Si ambos colores pasan a trav´es del prisma sim´etricamente, y si A=60o , encuentre la diferencia entre los angulos de desviaci´ ´ on para ambos colores.

Figura 8: Prisma

9. Un arcoiris se produce por la reflexi´ on de la luz solar en gotas esf´ericas de agua en el aire. La figura 9 muestra un rayo que se refracta en una gota en el punto A, se refleja en la superficie posterior de la gota en el punto B y se refracta de regreso al aire en el punto C. Los ´angulos de incidencia y refracci´ on, θa y θb , se muestran en los puntos A y C, y los ´angulos de incidencia y reflexi´on θa y θr se muestran en el punto B. (a) Demuestre que θaB = θbA , θaC = θbA y θbC = θaA . (b) Demuestre que el ´angulo en radianes entre el rayo antes de entrar a la gota en A y despu´es de salir en C (la desviaci´on angular total del

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rayo) es ∆ = 2θaA − 4θbA + π. (Sugerencia: determine las desviaciones angulares que ocurren en A, B y C, y s´ umelas para obtener ∆). (c) Con base en la ley de Snell, escriba ∆ en t´erminos de θaA y n, el ´ındice de refracci´ on del agua en la gota. (d) Un arco´ıris se formar´a cuando la desviaci´on angular ∆ sea d∆ on se satisface, todos estacionaria en el ´ angulo de incidencia θaA , es decir, cuando dθ A = 0. Si esta condici´ a A los rayos con ´ angulos de incidencia cercanos a θa ser´an enviados de regreso en la misma direcci´ on y producir´ an una zona brillante en el cielo. Sea θ1 el valor de θaA en el que esto ocurre. Demuestre que cos2 (θ1 ) = 31 (n2 − 1). (e) El ´ındice de refracci´on del agua es 1.342 para la luz violeta y 1.33 para la luz roja. Utilice los resultados de los incisos (c) y (d) para obtener θ1 y ∆ para la luz violeta y para la roja. Cuando usted observa un arco´ıris, ¿qu´e color aparece m´as alto sobre el horizonte, el rojo o el violeta?

Figura 9: Combinaci´on de lentes

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