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• Jose Luis Sosa Inga

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UPAO-Facultad de Ingeniería

Geometría descriptiva

INTRODUCCIÓN

Este módulo contiene el desarrollo de la asignatura GEOMETRÍA DESCRIPTIVA, es un compendio de la teoría y práctica, tomadas de los diversos libros textos, los cuales se mencionan o referencian en el contenido del mismo, el objetivo es que el alumno tenga a disposición los diferentes conceptos, normas, reglas y convenciones usadas en la Ingeniería grafica, necesarias en el desarrollo de la asignatura, y que su vez faciliten el aprendizaje teórico como un nexo importante para el desarrollo de los problemas prácticos que se plantean en la misma, ya sea haciendo uso de los instrumentos de dibujo convencionalmente o software de dibujo asistido por computadora. El contenido de la asignatura está de acuerdo con la sumilla recomendada, cuyo propósito es brindar los conceptos fundamentales para resolver y analizar gráficamente problemas geométricos, además de desarrollar en el estudiante su capacidad de imaginación, criterio para solucionar problemas tridimensionales, propios del Ingeniero civil, para lo cual también deberá conocer las normas y principios que rigen esta disciplina, manejo y uso adecuado de los instrumentos y materiales que son requeridos para su aprendizaje. Contiene nociones básicas y temas fundamentales de la geometría descriptiva, Teoría de las proyecciones ortogonales. Esta asignatura es teórica-práctica, incide en la formación del futuro Ingeniero Civil de tal manera que esté en condiciones de comprender otras asignaturas afines, con creatividad, imaginación e intuición, y además que tenga la capacidad de diseñar, dibujar e interpretar planos y gráficos relacionados con su carrera.

L. Castillo T.

Luciano Castillo Torres

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Unidad 01: Proyecciones Introducción “El dibujo de ingeniería y la tecnología grafica, son el método principal de comunicación entre la ingeniería y cualquier otra ciencia, y como tal, interesa por si misma a todos los adelantos. Los gráficos del diseño de información y construcción, pueden ser el curso más importante de todos los estudios, para la carrera de un técnico o ingeniero. La razón indiscutible de que a los gráficos se los consideren tan importantes, es porque se trata del lenguaje del diseñador, del técnico y del ingeniero, que se utiliza para comunicar a otros, los detalles del diseño y de la construcción”. Charles J. Vierck -Dibujo de Ingeniería. Geometría descriptiva Es la gramática del lenguaje grafico; es la geometría tridimensional que proporciona las bases para las aplicaciones prácticas del lenguaje, y mediante la cual, muchos de sus problemas pueden resolverse en forma grafica. “Las proyecciones desde el punto de vista geométrico, se refiere a la proyección grafica en la que se considera principalmente al observador y al objeto que se quiere representar sobre un plano. Dependiendo como se ubiquen en el espacio estos tres factores, es posible obtener varios tipos de proyecciones tales como, la proyección en perspectiva, la proyección oblicua y la proyección ortogonal”. James H. Earle – Diseño Grafico en Ingeniería. En ocasiones se presentan problemas de dibujos de ingeniería que pueden resolverse rápidamente, si se aplican los principios básicos de las proyecciones ortogonales. En tal sentido debe señalarse desde el comienzo, que para el éxito en la solución de problemas depende en gran medida de la comprensión cabal de estos principios básicos, la capacidad de visualizar las condiciones espaciales y la capacidad para analizar una situación dada. Puesto que estas capacidades son de gran importancia en el Diseño de Ingeniería, es preciso que el estudiante las desarrolle practicando la Geometría descriptiva

dentro del

concepto y la teoría de las proyecciones en el sistema A.S.A. (Tercer cuadrante),que es el sistema con el generalmente se desarrollan los dibujos de ingeniería en América. 1.1 Proyecciones, factores de proyección y planos de proyección. C.L. Deskrép- Geometría Descriptiva Los factores a considerar para determinar una proyección ortogonal, se observan en la figura N° 07

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Plano de Proyección

Rayo Visual

Proyección

Proyectante

Punto Visual

Objeto

Fig. 07

a) Objeto. Sólido o entidad geométrica tridimensional, que se va a proyectar b) Punto visual Lugar a partir del cual se hace la observación(Ojo del observador), para la proyección ortogonal se hace desde el infinito. c) Plano de proyección Es el plano que se ubica delante y paralelamente a una de la caras del objeto, donde se fija la imagen (proyección). d) Rayos visuales Son las líneas de mira que parten desde el ojo del observador hasta tocar un punto particular del objeto que está siendo observado. e) Proyectantes Son las líneas que parten de un punto del objeto y van perpendicularmente hacia el plano de proyección, para fijar la imagen. f) Proyección Es la imagen que se determina en el plano de proyección, mediante las proyectantes.

Los planos principales de proyección De acuerdo con la posición del punto visual, se consideran: Plano horizontal Considerado cuando el observador se ubica sobre la parte superior del objeto. Plano frontal Luciano Castillo Torres

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Considerado cuando el punto visual se ubica frente del objeto. Plano de perfil También denominado lateral se considera cuando el punto visual se ubica a un lado del objeto. Estos tres planos de proyección son ortogonales, es decir, son perpendiculares forman ángulos diedros de 90o . Ver la figura

entre sí

No 1.1 (a) y (b).

1.2 Tipos de proyección

Pto. Visual Superior

Pto. Visual Superior

Pto. Visual Superior

90

(a) FIG. No 1.1

(b) PLANOS DE PROYECCION

Proyección Cónica Las rectas visuales parten de un foco de proyección (él se supone cerca del objeto), formando un haz divergente y denso de rayos visuales. El tamaño de la proyección depende de la distancia entre el foco, el plano y el objeto proyectado. Fig. 08

Fig.08

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Proyección Paralela o cilíndrica El foco de proyección se supone en el infinito y los rayos proyectantes serán entonces paralelos.Fig.09

Fig.09

Proyección Ortogonal En la proyección ortogonal, la vista se produce mediante proyectantes paralelas que forman un ángulo de 90° con el plano de proyección. Proyección Oblicua En la proyección oblicua, la vista se produce mediante proyectantes paralelas que forman un ángulo diferente de 90° con el plano de proyección. Fig. 2.3

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Y

1.2.1 Descripción de la forma de los objetos Como es importante registrar las formas y tamaños de los papel

de

dibujo,

es

obvio

que

deben

ALTURA

objetos tridimensionales sobre un plano de un pliego de seguirse

procedimientos de reconocimientos de las figuras en sus dibujos y bocetos. Las tres dimensiones en el espacio

Z

Todo objeto o sólido posee o tiene tres dimensiones: - anchura

(eje X)

- Profundidad (eje Z) - Altura

(eje Y)

1.2.2 Proyección Ortogonal

En la proyección ortogonal, la vista se produce mediante proyectantes paralelas que forman un ángulo de 90° con el plano de proyección. En la figura No.2.1 (a), se observa cómo están ubicados los planos de proyección en el espacio, en relación con el objeto que se va a proyectar, además la ubicación de los puntos de vista del observador, en (b) se muestra el abatimiento de los planos Horizontal y el de Perfil para formar un solo plano común con el plano frontal de proyección. En (c) se presenta el plano

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X

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común, es decir, la hoja o plano de trabajo en la cual el ingeniero o dibujante debe representar un objeto tridimensional, que puede variar de tamaño según las dimensiones del mismo. Como los planos de proyección son de tamaño infinito y, por lo tanto, no es necesario que posean perímetro, resulta innecesario indicarlo, sin embargo, las intersecciones de estos planos, líneas de dobles o de pliegue, generalmente se dibujan para ayudar principalmente en la solución de problemas de geometría descriptiva. 1.3 Elementos de geometría descriptiva en el depurado Las Distancias Son las longitudes perpendiculares a los planos principales de proyección medidas desde un punto del objeto. Cota Es la distancia medida verticalmente desde un punto hacia el plano Horizontal. Alejamiento Es la distancia medida horizontalmente desde un punto hacia el plano Frontal. Apartamiento Es la distancia medida horizontalmente desde un punto hacia el plano de perfil. Ver la Figura No 1.1 (c). 1.3.1 Depurado Se determina con el abatimiento de los planos Horizontal y de Perfil hasta que coinciden en un mismo plano con el plano Frontal. Ver la Figura No 1.1 (d).

Ah Atras

Ah

A

Ap

H

Delante

F Izq.

Af

Arriba P Arriba Derecha. Delante

Atras

Apartamiento Af

Abajo

Apartamiento

(c) (d) Figura No. 1.1

Proyeccion de un punto

1.3.2 Líneas auxiliares usadas en geometría descriptiva Luciano Castillo Torres

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Abajo

Alejamiento Ap

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Líneas de pliegue Son líneas que representan la intersección o articulación diédrica de dos planos adyacentes. Se representan por: H/F, F/P, H/1, F/1, 1/2. Etc. Líneas de referencia Son líneas que parten desde la proyección de un punto en un plano, a la proyección del punto en el plano adyacente, haciéndolo perpendicularmente a la línea de pliegue y paralelas entre sí. Ver la Figura No. 1.1 (e).

1.3.3 Notaciones Minor C. Hawk – Geometría Descriptiva. H

:

Indica la posición del plano horizontal de proyección

F

:

Indica la posición del plano frontal de proyección

P

:

Indica la posición del plano de perfil de proyección

1, 2, 3, etc. :

Indica la posición de planos auxiliares en orden correlativo.

Las letras mayúsculas del alfabeto así como los números se utilizan para indicar la posición de puntos. Las letras minúsculas del alfabeto así como los números se utilizan para acompañar a las anteriores e indicar la posición de la proyección del punto, ejemplo: Ah, Af, Ap, A1, A2 , etc. 1.3.4 Planos Adyacentes Se consideran a los plano vecinos que se ubican uno al lado del otro y se limitan por líneas de pliegue por ejemplo H/F, F/P, H/1, etc.

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Planos Anexos Se consideran aquellos que se encuentran separados por otro plano por ejemplo el horizontal y el de perfil están separados por el plano frontal. Es importante identificarlos por lo que a partir de ellos se toman las distancias para proyectar los puntos en el proceso de las proyecciones.

1.4 Proyección del Punto y posiciones relativas Para analizar la proyección de un punto, es necesario conocer algunos elementos, terminología y notaciones que se usan en geometría descriptiva Proyección Horizontal del punto A

Linea de Referencia

Linea de Pliegue Linea de Pliegue

Linea de Referencia

Proyección Frontal del punto A

Linea de Referencia

Proyección de Perfil del punto A

Problemas Resueltos J. Nakamura M.- Geometría Descriptiva. 1.-Determinar las posiciones relativas de los puntos M y N en los depurados mostrados en (a) y en (b).Fig. 11

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Mf

Nh

Mp Mh

Nf

Np

H F

F P

Nf

(a)

Mf (b)

Fig.11

Solución a) En la proyección frontal el punto M se encuentra ubicado respecto del punto N arriba y a la izquierda, en la proyección de perfil se encuentra arriba y delante del punto N. b) En la proyección horizontal el punto N se encuentra ubicado respecto del punto M atrás y a la

derecha, en la proyección frontal se encuentra arriba y a la derecha del

punto M. 2.- Dadas las proyecciones H y F del punto A, determine las tres proyecciones

de los

puntos A y B , conociendo que el punto B se encuentra ubicado 2 cm detrás y 2 cm debajo del punto A, y 3 cm. a la derecha de A.Fig.12 Solución Derecha Bh

Ah

Ah

H

H

F

F Af

Atras

Af

Ap DerechaBf

F P

F P Fig 12

1.4.1 Graficación de un punto por Coordenadas

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Bp

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Con el objeto de determinar las proyecciones horizontal y frontal de un punto en el depurado, se

adoptado

un

sistema

convencional

de

coordenadas, de tal forma que dándose tres números se ubican las proyecciones mencionadas. Por ejemplo se tiene un punto M (a, b, c), las proyecciones Mh y Mf se determinaran según se indica en la figura N° 2.4.5(a).

En la figura 2.4.5 (b) se muestran las proyecciones de los puntos: A (2,4,10) y B(5,5,12) y del segmento C (4,2,10) D (8,5,8). Referencia del libro G. descriptiva de J. Nakamura. Pag. 6 y 7.

Fig. 2.4.5 (a)

Fig. 2.4.5 (b)

1.5 Principios del dibujo en varias vistas Luciano Castillo Torres

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a- Las vistas frontal y superior están siempre sobre la misma línea vertical V.LATERAL 2da. POSICION

b- Las vistas frontal y lateral están sobre la misma línea horizontal, excepto cuando se emplea la segunda posición.

V.HORIZONTAL

V. FRONTAL

c- El frente del objeto en la vista superior mira hacia la vista frontal. V. LATERAL DERECHA

d- El frente del objeto en la vista lateral mira hacia la vista frontal. e- La profundidad de la vista superior es la misma que la profundidad de la vista lateral. f- El ancho de la vista superior es el mismo que el de la vista frontal. g- La altura de la vista lateral es la misma que la altura de la vista frontal. h- Una vista tomada desde arriba es una vista superior y debe dibujarse por arriba de la vista frontal i- Una vista que se toma desde la derecha con respecto al frente seleccionado, es una vista lateral derecha y debe dibujarse a la derecha de la vista frontal. J- Una vista que se toma desde la izquierda, es lateral y debe dibujarse a la izquierda de la vista frontal. k- Una vista tomada desde abajo es una vista de fondo y debe aparecer por debajo de la vista frontal. 1.5.1 Aplicaciones de proyecciones ortogonales Ejercicios y problemas Completar líneas faltantes en las vistas dadas Identificación y determinación de vistas correspondiente a sólidos y viceversa Luciano Castillo Torres

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Completar vistas faltantes.

1.6 Visibilidad de las proyecciones La visibilidad nos muestra como se encuentran el objeto en el espacio por ello en el trazado de las proyecciones de un objeto es muy importante indicar los puntos y líneas que son visibles y los que no lo son. Las aristas visibles se trazan con líneas continuas y las ocultas con líneas punteadas. En los planos principales de proyección, las visibilidades serán las siguientes: Visibles los puntos que estén arriba, invisibles los puntos que estén abajo Vista Frontal: Visibles los puntos que estén delante, invisibles los puntos que estén detrás Vista de Perfil: Visibles los puntos que estén a la derecha, invisibles los puntos que estén a la izquierda. Fig.13 y 14

Fig. 13

Reglas de Visibilidad

a) Es visible el contorno de toda proyección, en cualquier plano de proyección b) En general las proyecciones de un objeto se mostrarán el plano: Fig.14

Horizontal: Visibles los puntos que están arriba e invisibles los que están abajo

Frontal: Visibles los puntos que están delante e invisibles los que están detrás. Luciano Castillo Torres

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Perfil: Visibles los puntos que están derecha e invisibles los que están a la izquierda. c) Es visible la arista o vértice más cercano al observador, que aparecerá en cualquier vista adyacente como el más cercano a la línea de pliegue común.

d) Es invisible el vértice o arista más lejana del observador si se encuentra dentro del contorno de la proyección. e) Si el vértice de un poliedro convexo se encuentra dentro del contorno de un proyección, todas las aristas que terminan en este punto tendrán la misma visibilidad del vértice. f)

Para hallar la visibilidad de dos aristas que se cruzan en un plano de proyección, trazamos una línea de referencia desde el punto de cruce, hasta encontrar las proyecciones de las dos rectas en el plano adyacente. La primera recta que encuentre dicha línea será visible en el punto de cruce del primer plano.

1.7 Vistas Auxiliares Son proyecciones auxiliares que se toman sobre un plano perpendicular a otro que generalmente son los planos principales de proyección o cualquier otro plano auxiliar. Estas proyecciones auxiliares permiten la vista de un objeto desde una dirección deseada, ayudan a visualizar detalles o características de los objetos que se no ubican paralelamente a los planos de proyección, tales como planos o superficies inclinadas; o ayudan también ha representar detalles internos de las piezas más complejas. 1.7.1 Planos Auxiliares Son aquellos que ocupan una posición

respecto al objeto, que no es la de los planos

principales de proyección, donde el objeto también se proyecta ortogonalmente. Cuando los planos

auxiliares

se relacionan con los planos principales de proyección, estos son

perpendiculares a uno de ellos formando ángulos diferentes de 90o respecto a los otros dos; así tendremos planos auxiliares al plano horizontal, al plano frontal y al plano de perfil, en las figuras 1.4.1 (a), (b) y (c) se aprecian estos planos auxiliares.

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Proyección de una vista auxiliar

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Superficies inclinadas Son aquellas que son perpendiculares a uno de los planos principales de proyección y forman ángulos diferentes de 90 grados con respecto a los otros dos planos de proyección, ejemplo los planos verticales, normales y los perpendiculares al plano de perfil. Para determinar su verdadera magnitud se requiere de una vista auxiliar primaria. Superficies oblicuas Existen superficies o planos de un sólido que se ubican formando ángulos diferentes de 90 grados con respecto a los tres planos principales de proyección. Para determinar su verdadera magnitud se necesita de una vista auxiliar secundaria. Tipos de vistas auxiliares Aunque las vistas auxiliares pueden tener un número infinito de posiciones con respecto a los tres planos principales de proyección, las vistas auxiliares se pueden clasificar en vistas auxiliares primarias y secundarias.

1.7.2 Vistas auxiliares primarias Son aquellas que se proyectan a partir de un plano principal de proyección, para determinar la verdadera magnitud (V.M.) de una superficie inclinada. Las vistas auxiliares primarias pueden ser de tres tipos generales de acuerdo con su posición relativa con respecto a los planos principales. a-Vista auxiliar primaria de profundidad El plano auxiliar es perpendicular al plano frontal de proyección e inclinado con relación al plano horizontal de proyección y de perfil. Aquí la vista auxiliar y la vista horizontal tienen una dimensión común a ambas: la profundidad. b-Vista auxiliar primaria de altura El plano auxiliar es perpendicular al plano horizontal e inclinado respecto al plano frontal y de perfil. La vista auxiliar se proyecta desde la vista horizontal y su altura es igual a la altura de la vista frontal. c-Vista auxiliar de anchura El plano auxiliar es perpendicular al plano de perfil e inclinado respecto al plano horizontal y frontal, se proyecta desde la vista de perfil (lateral) y tiene la anchura como dimensión común con las vistas frontal y horizontal. 1.7.3 Vistas Auxiliares secundarias

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Es frecuente que un objeto tenga una cara inclinada que no es perpendicular a ninguno de los planos principales de proyección. En estos casos es necesario dibujar una vista auxiliar primaria y otra secundaria u oblicua. La vista auxiliar primaria se construye proyectando la figura sobre un plano auxiliar primario perpendicular a la superficie inclinada y a uno de los planos principales. Este plano se localiza a una distancia conveniente. La proyección de la superficie inclinada aparece como una recta en la vista auxiliar primaria, la vista auxiliar secundaria se puede proyectar sobre un plano paralelo a la superficie inclinada. 1.7.4 Planos Auxiliares sucesivos Son planos que se relacionan perpendicularmente con un primer plano auxiliar de proyección, luego con el segundo y así sucesivamente hasta cuando se requieran para lograr una mejor visualización del objeto. Las proyecciones logradas sobre cada uno de los planos son vistas auxiliares sucesivas; en el depurado las notaciones son los números: 1, 2, 3, 4 etc., que se colocan a cada lado de la línea de pliegue. En la figura No. 1.4.2 se aprecia un ejemplo.

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Unidad 02 Proyecciones de la recta, posiciones particulares, puntos contenidos, VM, orientación y pendiente de la recta J. Nakamura N. –Geometría Descriptiva. La recta se define por dos puntos contenidos en ella, es así que, para obtener las proyecciones de una recta es necesario tener las proyecciones de los dos puntos, tal como se aprecia en la figura No 1.2 (a) y (b). Bh Bh Ah

Ah Ap

A B

Af

Bp

H F

Af

Ap

Bf

Bf

(a)

F P

Bp

(b)

Figura No 1.2 Proyección de la recta

2.1 Posiciones Particulares de la recta La recta en el espacio adopta posiciones particulares respecto a los planos principales de proyección. a) Recta Horizontal Está ubicada paralela al plano horizontal de proyección, proyectándose en él en verdadera magnitud (V.M.), y en el plano frontal se proyecta horizontalmente y paralela a la línea de pliegue H/F. b) Recta Frontal Está ubicada paralela al plano frontal de proyección, proyectándose en él en (V.M.), y en el plano horizontal se proyecta horizontalmente y paralela a la línea de pliegue H/F. c) Recta de Perfil Luciano Castillo Torres

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Está ubicada paralela al plano de Perfil, proyectándose en el, en(V.M.), y en los planos horizontal y de perfil se proyecta perpendicularmente a la línea de pliegue H/F. Ah

Xh Mh

Lh Bh

H F

H F

H F

Af

Mf

Yh Yf

Yp

Bf

(a)

Lf

(b)

Figura No. 1.2.1 Posiciones particulares de la recta

Xf

F P

Xp

(c)

d) Recta Vertical Es una recta ubicada perpendicular al plano horizontal de proyección, proyectándose en el de punta, y en los planos frontal y de perfil se proyecta paralela a la línea de pliegue F/P. e) Recta Normal Está ubicada perpendicularmente al plano frontal de proyección, proyectándose en el de punta, y en los planos horizontal y de perfil se proyecta perpendicular a las líneas de pliegue H/F y F/P. f) Recta perpendicular al plano de Perfil Se ubica como su nombre lo indica, proyectándose en el de punta, y en el plano horizontal y frontal se proyecta horizontalmente respecto a la línea de pliegue H/F. En la Figura No. 1.2.2 (d), (e) y (f) se aprecian estas rectas.

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Geometría descriptiva Xh Ah,Bh

Lh

H

H

F

Af

H

Yh

F

Ap

F Xf, Yf

Yp

Xp

Lp,Mp Lf

Bf

Mh

Mf

Bp

F P

F

(d)

P

F P

(e)

(f)

Figura No. 1.2.2. Posiciones particulaers de la recta.

2.2 Puntos contenidos en una recta

Bh

Bh

Oh

Oh

Ah

Ah

H

H

F

F Af

Ap

Af

Op

Of Bf

Bf

Bf

F

P

F

P

Un punto contenido en una recta, pertenece a ella, por lo tanto se observará contenido en todas las proyecciones de la misma. Ver la figura adyacente. 2.3 Rectas que se cortan o intersecan

Son aquellas rectas coplanares que se intersecan, es decir que tienen un punto de intersección común en cualquier plano de proyección que pueda trazarse. Si dos líneas se cortan el punto de intersección de las dos tiene que figurar en ambas líneas en todas las proyecciones. Así en la figura, las líneas AB y CD se cortan en el punto Xh, y porque Xf se encuentra en línea vertical como referencia. Fig.16 Fig. 16 Líneas que se cortan Luciano Castillo Torres

Fig. 17 Líneas que se cruzan 20

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2.4 Rectas que se cruzan Son aquellas rectas que no se intersecan y no son paralelas entre sí, es decir que tienen un punto de cruce en por lo menos una de sus proyecciones. Fig. 17 Visibilidad de Rectas que se cruzan Si dos rectas se cruzan en el espacio, una de ellas estará pasando por encima de la otra, y esto se observa en la vista horizontal y también una de ellas una estará delante de la otra, observándose en la vista frontal, para poder observar claramente esta ocurrencia, a las rectas se les da cierta anchura o en forma de tuberías. Consiste en bajar una vertical desde el punto de cruce en la vista horizontal, hacia la vista frontal hasta tocar a la primera recta, y esta será la recta que está encima. Tomando en punto de cruce en la vista frontal, se lleva una línea vertical hacia la vista horizontal hasta tocar la primera recta, entonces esta será la recta que está delante.Fig.18

Fig.18

2.5 Verdadera Magnitud, orientación y pendiente de una recta J. Dias Mosto – Geometría Descriptiva Luciano Castillo Torres

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Para obtener la verdadera magnitud (VM) de una recta, que no ocupa una posición particular en el espacio, es necesario ubicar un plano de proyección paralelo a ella, denominado plano auxiliar de proyección. A este tipo de recta se le denomina Oblicua. En la figura No. 1.2.2 se aprecia la determinación de La VM. A partir de los tres planos principales de proyección. S1 R1

Rh

Sh

H F

F P

Rf

Rp

R1

R1 Sf

Sp S1

S1

Figura No. 1.2.2 Verdadera Magnitud de una recta.

N

Mh

E

S Nh

H F Nf

Mf

2.6 Orientación de una recta Luciano Castillo Torres

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La orientación o rumbo de una recta se determina en el plano horizontal, considerando los puntos cardinales. Ejemplo: Dada la recta MN en sus proyecciones horizontal y frontal, determinar su rumbo. La orientación en las rectas se determina considerando el sentido vectorial, en el orden numérico o alfabético, (1 a 2, 4 a 5, A a B, M a N etc.). En el ejemplo la orientación es Sur 52º Este.Fig.19 2.7 Pendiente de una recta Fig.19

Es la diferencia de alturas (cotas) de dos puntos con respecto al plano horizontal de proyección, separados a una distancia horizontal dada y determinando un ángulo o pendiente.

X1

1 H Xh Y1

Yh H F Yf

Xf

La pendiente se determina cuando la recta está en verdadera magnitud y proyectada a partir del plano horizontal de proyección, puede ser positiva (Punto inicial inferior hacia el punto final superior) o negativa (Punto inicial superior hacia el punto final inferior), se mide en grados o en porcentaje. En el ejemplo de la figura 20, la pendiente es de 24º positiva.

Fig.20

Cuando la pendiente se da en % , es por la relación de altura sobre la longitud, o sea Y/X x 100.Fig.21

Y

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X Fig.21 Ah

2.8 Proyección de Punta de una recta J. Nakamura – Geometría Descriptiva.

Bh

Una recta se proyecta de punta, cuando se

H

ubica perpendicularmente a un plano de

F

A1,B1 Bf

proyección, si la recta no ocupa un lugar particular

en

el

espacio,

entonces

es Af

necesario determinar primero su V.M., para luego mediante un segundo plano

Bf

auxiliar

de proyección obtener la vista de punta. En la

figura

No.

1.2.3

se

aprecia

la

determinación de la proyección de una recta A1

vista de punta.

Figura No. 1.2.3. Proyección de una recta vista de punta.

Problemas Resueltos 1.-Dado el dibujo isométrico del sólido, identifique las rectas que ocupan particular en el espacio.

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una posición

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1 2

4 3

7

9 10

18

5 8

6

14

13

11

15

12

16 17

2.-Determinar la proyección frontal del punto X sabiendo que pertenece a la recta MN.

3.- Determinar la V.M. de la diagonal AB de una caja rectangular de 5 cm de anchura, 2 cm de profundidad y 3 cm. de altura.

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Unidad 03 El plano, proyecciones, posiciones particulares, rectas contenidas en un plano, plano de canto, VM de planos oblicuos J. Nakamura – Geometría Descriptiva. Un plano en el espacio se determina de varias formas (Fig.22): a) Mediante tres puntos no colineales b) Un punto y una recta c) Dos rectas que se cortan d) Dos rectas paralelas .y otras

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Fig.22

3.1 Posiciones particulares del Plano Plano Horizontal Es un plano que se ubica paralelo al plano horizontal de proyección proyectándose en él en V.M. y en plano frontal se proyecta de canto y paralelo a la línea de pliegue H/F. Vea la figura No. 1.3.3 ( a ). Plano Frontal Es un plano que se ubica paralelo al plano frontal de proyección proyectándose en él en V.M. y en el plano horizontal se proyecta de canto y paralelo a la línea de pliegue H/F. Vea la figura No. 1.3.3 ( b ). Plano de Perfil Es un plano que se ubica paralelo al plano de proyección de perfil, proyectándose en él en V.M. y en el plano frontal se proyecta de canto y paralelo a la línea de pliegue F/P. Vea la figura Nº 1.3.3 ( c ).

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Plano Vertical Es un plano que se ubica perpendicularmente al plano horizontal de proyección, proyectándose en el visto de canto (como una recta). Vea la figura No. 1.3.3 ( d ). Plano Normal Es un plano que se ubica perpendicularmente al plano frontal de proyección, proyectándose en el visto de canto (como una recta). Vea la figura No. 1.3.3 ( e ). Plano perpendicular al plano de Perfil Es un plano que se ubica perpendicularmente al plano de perfil de proyección, proyectándose en él visto de canto (como una recta). Vea la figura No. 1.3.3 ( f ).

3.2 Rectas contenidas en un plano Una recta que corta a dos rectas que pertenecen a un plano, esta recta

pertenecerá también a

dicho plano. Vea la figura No. 1.3.1 3.3 Rectas notables de un Plano Son aquellas que están contenidas en un plano y se aprecian en V.M. en una de las proyecciones principales del plano, y se denominan recta horizontal, recta frontal y recta de perfil. Vea la figura No. 1.3.2 Luciano Castillo Torres

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3.4 Recta de máxima Pendiente(fig.23) Es aquella recta que está contenida en un plano y que es perpendicular a todas las rectas horizontales del mismo plano. La pendiente de esta recta es la misma a la del plano.

La

recta

máxima

pendiente indica el sentido del recorrido que sigue un objeto cuando rueda sobre este plano. En el plano no existe ninguna recta que tenga mayor pendiente que la recta de máxima pendiente.

Fig.23

3.5 Plano de canto Un plano que no tiene una posición particular en el espacio (plano oblicuo), se

proyecta de

canto (como una recta), cuando una de sus rectas se proyecta de punta. Vea la figura No. 1.3.4.

3.6 Verdadera magnitud de Planos oblicuos

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Un plano que no tiene una ubicación particular en el espacio, es un plano que se proyecta en V.M. sólo en planos de proyección paralelos a él. Por lo tanto para determinar la proyección en V.M. de un plano oblicuo, se necesita primero determinar su proyección de canto, mediante una vista auxiliar primaria, para luego determinar la V.M. en una vista auxiliar secundaria. Vea la figura No. 1.3.5.

Problemas Resueltos J. Díaz Mosto – Geometría Descriptiva 1.-Complete las proyecciones horizontal y frontal de las rectas AN y MC respectivamente, sabiendo que pertenecen al plano ABC.

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2.-Se dan las proyecciones horizontal y frontal del plano ABC, sobre el se encuentra contenido un segundo plano OPQ mostrado solamente en la proyección frontal, se pide completar la proyección frontal del plano OPQ.

Unidad 04 Condiciones de paralelismo, perpendicularidad, distancias e intersecciones entre rectas y planos 4.1 Rectas paralelas Si dos rectas son paralelas en el espacio, sus proyecciones sobre cualquier plano serán también paralelas entre sí.Fig.24 Luciano Castillo Torres

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Fig.24

4.2 Planos paralelos Si dos planos son paralelos entre sí, todas las rectas contenidas en uno de ellos son paralelas al otro plano. La condición mínima para que dos planos sean paralelos entre sí, es que uno de ellos contenga dos rectas paralelas al otro plano.Fig.25 4.3 Recta paralela a un plano Para que una recta sea paralela a un plano debe serlo a por lo menos una recta contenida en dicho plano.26

Fig.25 de planos paralelos

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Fig.26 de recta paralela a un plano

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4.4 Perpendicularidad Fig.27

4.4.1 Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando al trasladarse una de ellas paralelamente así misma hasta cortar a la otra determinan un ángulo de 90°. El ángulo recto formado por dos rectas perpendiculares se proyectará midiendo 90° solamente si una de las rectas está en verdadera magnitud.Fig.27 4.4.2 Recta perpendicular a un plano Si una recta es perpendicular a un plano, lo será a todas las rectas contenidas en dicho plano, la condición mínima para que una recta sea perpendicular a un plano es que lo sea a dos rectas contenidas en el plano.Fig.28 4.4.3 Planos perpendiculares

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Dos planos serán perpendiculares entre sí, cuando uno de ellos contenga una recta perpendicular al otro plano.Fig.29

Fig.28 Recta perpendicular a un plano

Fig.29 Planos perpendiculares

Unidad 5 Distancias, ángulos e intersecciones entre rectas y planos

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Son las distancias relativas que existen entre los diferentes elementos geométricos en el espacio, considerando la menor distancia condicionalmente de acuerdo a las posiciones a como se ubican circunstancialmente. 5.1 Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta, se define como la longitud de un segmento perpendicular trazado desde el punto hasta cortar a la recta., existen varios métodos, como el del plano (Fig.30), recta proyectada de punta, del plano perpendicular, entre otros.

5.2 Menor distancia entre dos rectas Fig.30

La menor distancia entre dos rectas, es la longitud de un segmento perpendicular a dos rectas dadas, para determinarla existen diferentes métodos como: El método de la recta (fig. 31), del plano entre otros conocidos.

Fig.31

5.3

Distancia

de un punto a un plano Se puede determinar mediante el método del plano de canto y recta perpendicular. Luciano Castillo Torres

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5.4 Menor distancia con pendiente dada entre dos rectas que se cruzan Consiste en determinar un plano que contenga una de las rectas, y que sea paralelo a la otra recta, proyectándose ambos en la proyección donde el plano de observa en VM, apreciándose el punto de cruce o vista de punta del segmento que representa la menor distancia y determinándose la pendiente en el plano auxiliar 1, proyectado a partir de la proyección horizontal.Fig.32

Fig.32 Menor distancia con pendiente dada

5.5 Menor horizontal entre dos rectas que se cruzan “Este problema se presenta muy comúnmente en aplicaciones prácticas de la ingeniería, por ejemplo en el caso de querer unir dos túneles de una mina por medio de un tercero de modo que este sea completamente horizontal y lo más económico sería unirlos por el tramo más corto que cumpla esta condición(…) .J. Nakamura. Ver fig.33 Fig.33 Luciano Castillo Torres

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5.6 Distancia paralela a una dirección dada entre dos recta que se cruzan En este caso no se pide menor distancia, esto se debe a que es un caso particular, donde existe solo una recta que corte a las dos dadas y que sea paralela a una tercera. 5.7 Ángulos Existen elementos geométricos que en el espacio forman determinados ángulos, como rectas entre sí, rectas con planos y planos entre sí. Fig. 34

5.7.1 Angulo entre rectas que se cruzan Es el ángulo entre dos rectas, es el determinado por una recta paralela a la otra dada, y que corta a la primera. Existe métodos como el de las rectas en VM (Ver fig.34) y el método del plano.

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5.7.2 Angulo entre una recta y un plano Es el que forma la recta con su proyección sobre el plano dado, también existen métodos para determinar el ángulo, como el del plano, método de la recta (Ver fig.35), y

el del ángulo

complementario.

Fig.35

5.7.3 Angulo entre dos planos Llamado también ángulo diedro, es el ángulo formado por las intersecciones de los dos planos dados con un plano cortante perpendicular a la recta la recta de intersección de estos planos, se pueden determinar mediante el método de la VM de la intersección cuando es conocida (Ver Fig.36), Planos de canto cuando la intersección no se conoce. Fig.36

5.8 Intersecciones Son relaciones de corte que ocurren entre los diferentes elementos geométricos en el espacio, y para determinarlos se trabaja en el depurado, siguiendo un método establecido. Las rectas que se cortan poseen un punto común que pertenece a ambas, el mismo que se proyecta contenido en las rectas en todas las vistas. Luciano Castillo Torres

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5.8.1 Intersección de una recta con un plano No siempre una recta es paralela a un plano, cuando no lo es, esta deberá tener un punto común con el plano, a este punto se le conoce como intersección de la recta y el plano, y para determinarla existen métodos, como el de la vista de canto. Fig. 37 5.8.2 Intersección de planos La intersección de planos es el segmento de recta común a los planos que se cortan, y se determina por varios métodos como el método de la vista de canto, método de la intersección de una recta con un plano y el método del plano cortante.Fig.38 Fig.37 Intersección de una recta con un plano

Fig.38 Intersección de dos planos

Unidad 6 Dibujos pictóricos Un dibujo pictórico es una ilustración en 2-D de un objetivo 3-D. Mucha gente tiene problemas para visualizar mentalmente el objeto ensamblando las tres vistas estándar en ingeniería (frontal, planta perfil); los dibujos pictóricos transmiten eficazmente su forma, dándole vida a los objetos. Como los dibujos pictóricos son tan fáciles de visualizar, ellos son usualmente utilizados en catálogos, manuales de mantenimiento y en las instrucciones de instalación .Son proyecciones en las que los objetos o sólidos se observan presentando por lo menos tres de sus caras que los conforman, como las proyecciones axonométricas, oblicuas y perspectiva. La proyección Axonométrica puede ser: Isométrica, dimétrica y trimétrica.

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Figura N° 1.6 Posición del objeto para la proyección Axonométrica

6.6.1 Dibujo Isométrico En ocasiones, los objetos se dibujan en proyección isométrica real, es entonces cuando el uso de una escala isométrica resulta inconveniente e impráctico. En su lugar, se utiliza un método conocido en el que se omite todo acortamiento y las longitudes reales se marcan a lo largo de ejes isométricos y líneas isométricas. Para evitar confusión y alejar este

método de la

proyección isométrica verdadera, recibe el nombre de Dibujo Isométrico. En dibujo isométrico, las líneas que aparecen paralelas a los ejes isométricos se Denominan líneas isométricas. Posiciones de ejes isométricos En ocasiones se desea colocar los ejes isométricos principales de modo que un objeto quede en posición adecuada para revelar ciertos aspectos de utilidad, como se aprecia en la figura No. 1.6.2 Ángulos en dibujo isométrico Puesto que los ángulos especificados en grados no aparecen en su tamaño real en un Dibujo isométrico, las mediciones angulares deben convertirse de algún modo en mediciones lineales que se puedan marcar sobre líneas isométricas. Figura N° 1.6.2 Posición de los ejes isométrico

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6.6.2 Proyección oblicua En la proyección oblicua, la vista se produce mediante proyectantes paralelas que forman un ángulo diferente de 90° con el plano de proyección. Por lo general, una cara se coloca paralela al plano de la figura y las líneas de proyección se toman a 45°, donde se muestran la cara frontal y una o más caras adicionales. En la figura No. 1.7 se presentan las proyecciones ortogonal y oblicua de un cubo. Cuando el ángulo es de 45°, la representación se le conoce a veces como proyección de cavalier o caballera.

Figura N° 1.7 Proyección oblicua Esta forma de dibujo se basa en tres ejes mutuamente perpendiculares, a lo largo de los cuales, o paralelos a ellos, se realizan las mediciones necesarias para construir la representación, el dibujo oblicuo se diferencia del isométrico en que en este último, dos ejes siempre son

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perpendiculares entre sí mientras que el tercero (eje que se aleja o recedente) está en ángulo conveniente, como 30°, 45° o 60° con respecto a la horizontal. En la figura No. 1.7.2 se ilustran las proyecciones de Cavalier y el dibujo de gabinete.

Figura N° 1.7.2 Proyección oblicua

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