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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

8

LA HIPÉRBOLA Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto A = (2,3 ) , tiene su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus asíntotas es la recta 2y − 7 x = 0 . Solución: Sean Si

‹ 1 y ‹ 2 asíntotas de la hipérbola H .

‹ 1: 2y − 7 x = 0 ! ‹ 2 : 2y + 7 x = 0

Luego : !

H : (2y − 7 x )(2y + 7 x ) = k ! H : 4y 2 − 7x 2 = k → !

Pero : En

A = (2,3 ) ∈

!: H :

H ! 36 − 28 = k ! k = 8

4y 2 − 7 x 2 = 8 !

H:

y2 x2 − =1 2 87

59

Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA

Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en V = (0,±7 ) y e = 4 3 . Solución:

H:

De los datos se deduce : Si :

y2 a2

−

x2 b2

=1

V = (0, ± 7 ) = (0, ± a ) ! a = ±7

Además :

e=

c 4 4 784 = ! c = × a ! c2 = a 3 3 9

Luego : b 2 = c 2 − a 2 =

H:

Por lo tanto :

343 784 − 49 ! b 2 = 9 9 y2 x2 − =1 49 343 9

H : 9x 2 − 7 y 2 = 343 Dada la ecuación de la hipérbola x 2 − 4 y 2 = 4 , hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto). Solución:

H : x 2 − 4y 2 = 4 ! H :

Sabemos :

x2 y2 − =1 4 1

De donde : ! a 2 = 4 ! a = ±2

! b 2 = 1 ! b = ±1

! c 2 = a2 + b2 = 4 + 1 = 5 ! c = ± 5 Vértices :

V = (± a,0 ) = (± 2,0 )

(

Focos : F = (± c,0 ) = ± 5 ,0 Excentricidad :

60

e=

c a

!

) e=

5 2

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Cuerda Normal : CN =

2b 2 2 ×1 = =1 a 2

Eje Transverso :

2a = 4

Eje Conjugado :

2b = 2

Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos F1 = (− 1,1) y F2 = (5,1) y un vértice en V = (0,1) . Solución:

61

Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA

Sabemos :

F1 F2 = 2c = 6 ! c = 3 ! c 2 = 9

 ! C = (h,k ) !   Ahora :

h=2

! C = (2,1)

k =1

! a = CV = 2 ! a 2 = 4 ! c 2 = a 2 + b2 ! 9 = 4 + b2 ! b2 = 5 Por lo tanto :

H:

(x − h)2 − (y − k )2

=1

H:

(x − 2)2 − (y − 1)2

=1

a2

4

b2

5

Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los puntos F1 = (3,4 ) y F2 = (3,−2 ) y su excentricidad es igual a 2. Solución:  ! C = (h,k ) !  

h=3 k =1

! C = (3,1)

Luego : c = F1C = CF2 = 3 9 3 c =2 ! a= ! a2 = 4 2 a 27 9 ! b2 = Sabemos que : b 2 = c 2 − a 2 = 9 − 4 4 Además : e =

Por lo tanto :

62

H:

(y − k )2 − (x − h)2

=1

H:

(y − 1)2 − (x − 3)2

=1

a2

94

b2

27 4

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la elipse: x 2 100 + y 2 64 = 1 . Y las directrices pasan por los focos de esta elipse. Solución: En la elipse :

õ:

x2 y2 + =1 100 64

! a 2 = 100 ! a = ±10

! b 2 = 64 ! b = ±8

! b 2 = a 2 − c 2 ! c 2 = a 2 − b 2 = 100 − 64 = 36 ! c = ±6 De donde : F = (± c,0) = (± 6,0) En la hipérbola :

H:

x2 a2

−

y2 b2

=1

Por condición del problema, obtenemos el valor de c en la hipérbola a partir del valor de a en la elipse. ! c = ±10 ! c 2 = 100

63

Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA

La ecuación de la directriz de la hipérbola : !

x=±

a a2 a2 = =± ca c 10

→

x=±

a e

!

Por condición del problema : x = c ; donde c es un valor obtenido en la elipse. Luego en

!:

a 2 = 60

Seguido : b 2 = a 2 − c 2 Por lo tanto :

H: H:

64

! b 2 = 100 − 60 ! b 2 = 40 x2 a2

−

y2 b2

=1

x2 y2 − =1 60 100

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Dada la ecuación de la hipérbola: (x − 4 )2 16 − y 2 128 = 1 , encontrar las coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto). Solución: Si

(x − 4)2 −

H:

16

y2 = 1 → 128

!

se deduce que C = (h,k ) = (4,0 ) Además : ! a 2 = 16 ! a = ±4

! b 2 = 128 ! b = ±8 2

! c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 128 = 144 ! c = ±12 Vértice :

V = (h ± a,k ) = (4 ± 4,0 ) !

s: Focos : F = (h ± c,k ) = (4 ± 12,0 ) !

     

V1 = (8,0 ) V2 = (0,0 ) F1 = (16,0 ) F2 = (− 8,0 )

Ecuaciones de las directrices : x = h±

a 4 = 4± e 3

!

  

x = 16 3 x=8 3

Ecuaciones de las asíntotas ; en

!:

8(x − 4 ) − y − 128 = k 2

!

[2

  !   

][

]

2 (x − 4 ) + y ⋅ 2 2 (x − 4 ) − y = 0

‹ 1: 2 2 (x − 4) + y = 0 ‹ 2 : 2 2 (x − 4) − y = 0 65

Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA

Cuerda Normal : CN =

66

2b 2 2 × 128 = = 64 = 64 a 4

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos A = (3,−2) y B = (7,6 ) , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el

eje X. Solución:

H:

x2 a2

−

y2 b2

=1

! A = (3,−2) ∈ ! B = (7,6 ) ∈

De

!

y

H: !

":

∴

a 49 a

2

2

−

−

4 b2

36 b2

= 1 →

= 1 →

! "

a 2 = 4 ; b 2 = 16 5

H:

Luego :

9

H: !

x2 y2 − =1 4 16 5

H : 4x 2 − 5y 2 = 16

Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el lugar geométrico de P es una hipérbola. Solución: Sean : !

Vb :

!

Vs : Velocidad del sonido

Velocidad de la bala

Además :

e = v⋅t ! t =

e v

67

Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA

Por condición del problema :

De

!:

!

RP BP BR − = Vb Vs Vs

! RP − BP = Vs ×

! RP − BP = k

68

RP BR BP = + Vs Vb Vs

→

BR =k Vb

(Definición de hipérbola ) LQQD

!