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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

7

LA ELIPSE Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado recto) es 5 vértices (± 10,0 ) . Solución:

õ:

Sabemos :

x2

y2 + = 1 → a 2 b2

!

Luego del enunciado : !

CN =

!

a = 10

2 b2 = 5 "! b 2 = 25 a !

Por lo tanto en

a 2 = 100

!:

õ:

x2 y2 + =1 100 25

49

Capítulo 7. LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con x = 1 , C = (1,5 ) , F = (1,8 ) ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.

Solución:

õ:

Del enunciado deducimos : Pero : 2a = 12

"!

a=6

"!

"!

c2 = 9

Luego : c = CF = 3

Sabemos : b 2 = a 2 − c 2 Por lo tanto :

50

õ:

"!

(x − h)2 + (y − k )2 b2

=1

a 2 = 36

b 2 = 36 − 9 = 27

(x − 1)2 + (y − 5)2 27

a2

36

=1

"! b 2 = 27

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Reducir la ecuación x 2 + 4 y 2 − 6 x + 16 y + 21 = 0 a la forma ordinaria de la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la excentricidad. Solución: x 2 + 4 y 2 − 6x + 16y + 21 = 0 Completando cuadrados para x e y :

(x

2

) (

)

− 6x + 9 + 4 y 2 + 4y + 4 = −21 + 9 + 16

(x − 3)2 + 4(y + 2)2 = 4 õ:

(x − 3)2 + (y + 2)2 4

1

=1

De la ecuación tenemos : C = (h,k ) = (3,−2) Luego los vértices de la elipse se obtienen de : !

V = (h ± a,k ) = (3 ± 2,−2) !

   

V1 = (5,−2) V2 = (1,−2 )

También : !

a2 = 4

!

a 2 = b2 + c 2

!

a = ±2 !

!

4 = 1+ c2

! Eje mayor : 2a = 2 × 2 = 4 !

b 2 = 1 ! b = ±1

Cuerda Normal : CN =

! Excentricidad : e =

! !

c2 = 3

!

c2 = ± 3

Eje menor : 2b = 2 × 1 = 2

2b2 2 ×1 = =1 a 2

c 3 =