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Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

SILABO 1.

DATOS GENERALES 1.1

Nombre de la Asignatura

:GEOMETRIA DESCRIPTIVA

1.2

Código

:IC-142

1.3

Créditos

:4

1.4

Tipo

:Obligatorio

1.5

Requisito

:

1.6

Plan de Estudios

:2004

1.7

Semestre Académico

:2016-II

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 1.8

Duración

:

16 semanas

1.9

Período de inicio y término

:

22/08/2016 22/12/2016

1.10

Docentes Responsables

:

Ing° Luis Alfredo Vargas Moreno 1.11

N° horas de clases semanales 1.11.1 Teóricas

:

3

1.11.2 Prácticas

:

2

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 1.12

1.13

Lugar 1.12.1 Teoría 1.12.2 Práctica

:H-219 :H-219

Horario 1.13.1 Teoría

:Lunes 09-11 hrs. :Martes 11-13 hrs.

1.13.2 Práctica

:Martes 17-18 hrs.

1.13.1 Teoría

:Jueves 15-17 hrs. :Viernes 17-19 hrs.

1.13.2 Práctica

: jueves 109-10 hrs.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 2.

SUMILLA

3.

Según el plan curricular, la sumilla es la siguiente: conceptos fundamentales, el punto, la recta, el plano, intersecciones, paralelismo y perpendicular, ángulos distancias y giros. OBJETIVOS

3.1 General: Dar a los estudiantes los conocimientos de diferentes problemas que se puede presentar con los elementos geométricos. 3.2 Específicos: proporcionar los fundamentos y procedimientos básicos para proyectar puntos, rectas y planos situados en el espacio en un plano de representación (representacion bidimensional).

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SISTEMA DE EVALUACIÓN Se evaluara por medio de la rendición de dos exámenes, el promedio se obtendrá aplicando la siguiente relación matemática:

Examen Parcial  Examen Final PF= 2

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REFERENCIA BIBLIOGRAFICA Geometría Descriptiva, Alejandro Miranda Castro. Geometría Descriptiva, Colección Shaum. Geometría Descriptiva, Jorge Días Mosto.

Geometría Descriptiva, Steve Mc. Slaby.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 6.0 Programa Analítico - Practico SEM FECHAS

CONTENIDO

RESP.

01

27/08/15 I.- INTRODUCCIÓN: Definición, Proyección, Tipos LAVM de proyección: proyección cónica, proyección cilíndrica, proyección ortogonal, planos de proyección, línea de pliegue, planos auxiliares: plano auxiliar de elevación, plano auxiliar de inclinación, plano auxiliar sucesivo, plano auxiliar sucesivo al plano H, plano auxiliar sucesivo a F, proyección de un punto en los planos principales de proyección: cota, alejamiento y apartamiento.

02

Depurado, sólido, proyección isométrica del sólido, LAVM proyecciones principales del sólido, proyección de un punto en un plano auxiliar: con respecto a H, con respecto a F, proyección auxiliar de un sólido, proyecciones sucesivas: con respecto a H,

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 SEM

FECHAS

CONTENIDO

RESP.

03

Con respecto a F, problema, posición relativa de LAVM dos puntos, ejemplo. II.- LA RECTA: punto contenido en una recta, propiedades,

04

Posiciones particulares de una recta: recta LAVM horizontal, recta frontal, recta de perfil, recta vertical, recta normal, recta orto perfil, recta de posición general,

05

Características de una recta de posición general: LAVM orientación de una recta, verdadera magnitud de una recta, pendiente de una recta, posiciones relativas de dos rectas: rectas que se cortan, rectas que se cruzan, rectas paralelas,

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FECHAS

CONTENIDO

RESP.

06

Rectas perpendiculares. III.- EL PLANO: LAVM formación del plano: por medio de tres puntos no colineales,

07

Por medio de una recta y un punto fuera de LAVM ellas, por medio de dos rectas que se cortan, por medio de dos rectas paralelas,

08

Planos notables o particulares: plano horizontal, LAVM plano frontal, plano de perfil, plano vertical, plano normal, plano ortoperfil, plano de posición general,

09

EXAMEN PARCIAL

LAVM

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CONTENIDO

RES

10

Recta contenida en un plano, punto contenido en un LAVM plano, rectas notables en un plano: recta horizontal, recta frontal, recta de perfil

11

plano de canto, verdadera magnitud de un plano, orientación de un plano, pendiente de un plano, recta de máxima pendiente,

12

IV.- INTERSECCIONES: intersección entre recta y LAVM plano, métodos del plano de canto y plano cortante, intersección entre dos planos, métodos del plano de canto y planos cortantes

13

V.- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD: LAVM paralelismo entre recta y plano, paralelismo entre dos planos, perpendicularidad entre recta y plano, perpendicularidad entre dos planos,

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 SEM

FECHAS

CONTENIDO

RESP.

14

VI.- DISTANCIAS: menor distancia de un punto LAVM a una recta, menor distancia de un punto a un plano, menor distancia entre dos rectas que se cruzan,

15

Menor distancia horizontal, menor distancia con LAVM pendiente dada. VII.- ANGULOS: ángulo entre recta y plano método del ángulo complementario, ángulo entre dos planos, método del ángulo suplementario.

16

EXAMEN FINAL

LAVM

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CAPITULO 1

INTRODUCCION

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DEFINICION • La Geometría Descriptiva es una ciencia matemática de dibujo que permite, por un sistema de proyecciones, representar rigurosamente en un solo plano (hoja del dibujo) las formas del espacio de una, dos y tres dimensiones. Nos permite estudiar, medir y definir los cuerpos del espacio en su exactitud absoluta. Es el instrumento preciso y gráfico de la Geometría del Espacio. Hay que tener presente como hecho fundamental que la Geometría Descriptiva es dibujo y que todo el valor matemático de sus aplicaciones depende de la precisión del dibujo que las exprese. No dibujar con ese sentido de rigor es contradecir el espíritu mismo de esta ciencia y restarle su verdadera utilidad.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Proyección Si se tiene: O= 0jo del observador

A= Objeto P= plano de proyección

La intersección del rayo proyectante OA con el plano P, es la proyección del objeto en dicho plano, denominado Ap.

Tipos de Proyección

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Proyección Cónica Es aquella donde los rayos de proyección forman una superficie cónica partiendo estos del ojo del observador fijo.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Proyección Cilíndrica Es aquel tipo de proyección donde el observador no se mantiene fijo, los rayos proyectantes son paralelos a una orientación predeterminada.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Proyección Ortogonal Es la proyección cilíndrica con la particularidad que los rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección

Nota.-El desarrollo de la geometría descriptiva, esta basado en el tipo de proyección ortogonal.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Planos de Proyección El espacio puede ser dividido en cubículos por medio de dos planos perpendiculares entre si llamados planos principales horizontal (H) y frontal (F). Así mismo se tiene un tercer plano principal perpendicular a los anteriores, denominado plano principal de perfil (P).

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 En geometría descriptiva para la especialidad de ingeniería se trabaja en el tercer cubículo.

En geometría descriptiva para la especialidad de arquitectura se trabaja en el primer cubículo. Línea de Pliegue.- Es la recta de intersección de dos planos de proyección. Planos Auxiliares.- son planos que son perpendiculares a los planos principales de proyección.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Plano Auxiliar de Elevación

H

F

F

H 1

1

P1 ┴ PH Es un plano perpendicular al plano principal H.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Plano Auxiliar de Inclinación

H F 1

H F 1

P1 ┴ PF Es un plano perpendicular al plano principal F.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Planos Auxiliares Sucesivos.- son aquellos planos que son perpendiculares a los planos auxiliares. Plano Auxiliar sucesivo al plano H.-

H F

H

F

1

P2 ┴ P1

1 2

2

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Plano Auxiliar sucesivo al plano F.-

H

H

F

F 1

2

1

P2 ┴ P1

2

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Proyección de un Punto en los planos principales de proyección.-

AH

del

Alejamiento.- Distancia del punto al plano F. Apartamiento.Distancia del punto al plano P.

P

H cota

Cota.- Distancia punto al plano H.

F

A AP AF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Depurado.Si los planos H AH de proyección del espacio se hace contener en un solo H plano se llama F depurado.

AF

AH AH

H F

A AF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H

AH H

AH

F

P

Alej.

AH H F Cota

AF

A

P

AP AF AP

Apart. Alej.

AP

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AH H F

AF

AP F P

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 SÓLIDO.- Un sólido es un objeto que esta compuesto por una serie de vértices y aristas.

PROYECCIÓN ISOMETRICA DE UN SÓLIDO.En esta proyección al sólido se le aprecia como un objeto espacial teniendo a través de la vista la forma de dicho sólido.

Para poder dibujar un solidó en proyección isométrica esta se comienza trazando dos ejes perpendiculares, uno horizontal y otro vertical y además dos ejes que hagan 30° con el eje horizontal.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 El sólido se dibuja inscrito en el paralelepípedo formado por el eje vertical y los ejes inclinados

720,00

H

F 0 0,0 72 72

0,0 0

P

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PROYECCIONES PRINCIPALES DE UN SÓLIDO.-

H 2

Para hallar las vistas principales de un sólido, se proyecta sobre los 15 planos principales cada uno de los vértices del sólido en cada uno de los planos principales, para luego uniendo estos determinar las aristas del F sólido.

3 4 16 6

5 8

7 17 13

1 14

18 10

9

12 11

P

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 2,15

3,16 4,8

H

5,9

2 3 4

6

7

16

15 6

17,13

5 8

18,10

7 17

H

1

14

12

13

1

11 F

14

18 10

12 11

F

3

2

1,15

4

5

6,16

7,8

17

18

5,4,3,2 6,7

8,16

13,10

9,15

17,18

14,13 12,10 11,9

F

11,12,14,1

P

9

P

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Proyecciones de un punto en un plano Auxiliar a) En un plano auxiliar de elevación

H 1 H

AH

AH

1

A1

F

H A 1

F Cota

AF

A1

AF

A1

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b) En un plano auxiliar de inclinación

Depurado A1

H 1

AH

H F A

AH AF

H Cota

F

AF

A1

1 A1

1

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Depurado AH

F

Cota

F

H

AF

Cota

H

Alej.

Alej.

AH

AF F

1

A1

F

1

A1

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Proyecciones auxiliares de un sólido

1 H

H O

O,P

N K J

M

G

F C

H

B

F

30°

30°

A

F,E

K,L

C,D

J,I

B,A

J,K,N,O

B,C,F,G

H

D

F

N,M

L,M

E

I

G,H

P I,P

D,E A,H

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H A P

D

E

I G 1

1 H

O,P

F

G,H

N,M

F,E

K,L

C,D

J,I

B,A

J,K,N,O

B

M

CF

O KN J O,P

H O

H

N K J

B,C,F,G

M

L,M

F

G

F

H

G,H

N,M

F,E

K,L

C,D

J,I

B,A

J,K,N,O

B,C,F,G

L,M

C B

H

D

F

30°

I,P

D,E A,H

E

I 30°

H

L

A

P

I,P

D,E A,H

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H A P

D

E

H

I G B

M

O KN J O,P

H F

O

H

K J

G,H

M

F,E

K,L

C,D

J,I

B,A

C B

B,C,F,G

E

I

H

D

L,M

D,E A,H

30°

F I,P

G

F

N,M

J,K,N,O

N

30°

L

CF

1

A

P

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Proyecciones Auxiliares Sucesivas.a) Con respecto al Plano H. A

H

H

1

F A

F

A

A A

A A

A 2

1

2 1 1

1 H

H

H F

A

2

2

F

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 A

2

2 1 A A

1

1

H

H

H F

A

F

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a) Con respecto al Plano F. AH H

AH 2

F A 1

AF

H F F 1

A1

A2

1 2

A1 A2

AH H F F 1

AF

1 2

A1 A2

AF

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Problema-. Determinar las proyecciones 1, 2 y 3 que faltan del punto A. 2

1

AH

1 3 2

H H F AF

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Solución 2

A1

1

A3

3 2

A2

AH

1 H H F

AF

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Posición relativa de dos puntos.Se refiere a la posición de un punto con respecto a otro. Ejemplo.- Ubicar el punto A, con respecto al punto B.

AH BH

H F

AF BF

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AH BH

H F

N

Detras E

Derecha

Encima

AF Derecha

BF

Solución -El punto A esta 3cm arriba o encima de B. -El punto A esta 4cm a la izquierda u oeste de B. -El punto A esta 2cm atrás, detrás o al norte de B.

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CAPITULO 2

LA RECTA

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LA RECTA.Una recta se obtiene por medio de la unión de dos puntos.

B

A

B

A

Las proyecciones de una recta, en una proyección determinada, se obtienen uniendo las proyecciones de dos puntos en dicha proyección.

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BH

BH AH

AH

H F

H F

AF

AF

BF

BF

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Problema.-

Graficar la proyección frontal del punto Si un punto se encuentra contenido en M, si se sabe que pertenece a una recta, este se encontrara contenido la recta AB. en todas las proyecciones de la recta.

Punto Contenido en una recta.-

BH

MH AH

B M A

H F AF

BF

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Solución.-

Propiedades.BH

MH AH H F

Si un punto esta contenido en una recta, este divide a la recta en cierta proporción; esta proporción se conserva en todas las proyecciones que tenga la recta. Es decir:

AF

AM

AH M H AF M F   M B M H BH M F BF

MF BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Problema.Graficar las proyecciones del punto M, si se sabe que esta contenido en la recta AB y además se cumple que AM/MB=1/2

BH AH H F AF

BF

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Solución.-

BH

BH AH

AH

H F

H F

AF

AF

BF

BF

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BH

MH

AH

AH

H F

H F

AF

AF

BF

BH

BF

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BH

MH

Posiciones Particulares de una recta.-

AH Son aquellas rectas que tienen características especiales, con respecto de los tres planos principales de proyección (H, F, P).

H F AF MF BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Es aquella recta que es paralela al plano principal H, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM)

Recta Horizontal.-

VM

A

VM

H

AH

BH

F

B P

AF BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Es aquella recta que es paralela al plano principal F, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM)

Recta Frontal.AH

H A

F

BH

AF VM

VM

B BF

P

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Recta De Perfil.BH

H

AH

AH

B VM

F

Es aquella recta que es paralela al plano principal P, se proyecta en este en verdadera magnitud (VM) BHH

BH B APP

BA FF

VM

VM

BF

BP

H F

AF

A

P AP

ABFF

BAPP FP

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Recta Vertical.-

Es aquella recta que es perpendicular al plano principal H, se proyecta en este como un punto y en F en verdadera magnitud (VM)

AH F

BH BH

H F

A

VM

VM

AF BF

B

P

AF

VM

H

AH

B

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Recta Normal.BH

Es aquella recta que es perpendicular al plano principal F, se proyecta en este como un punto y en H en verdadera magnitud (VM)

H

BH

AH

F

VM

B AF

A BF

P

H F

AH

A

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Es aquella recta que es perpendicular al plano principal P, se proyecta en este como un punto y en H y F en verdadera magnitud (VM)

Recta Ortoperfil.AH

H

VM

F

AH

BH

VM

B

VM

BF

BH

H F

A AF

VM

BP

AP P

AF

VM

BF

FP

AP

BP

H F

BH H A B

H

H

A BPP

BAFF

VM BAPP FP

ABFF AH BH

BH

VM

AF

BF

H F

AF

AH

A

VM

BH

H F

VM

H F

AH

BF

VM BF

FP

AP

BP

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Recta De Posición General.BH

H

AH

BH

AH

F AF

A

H F

B AP BF

BP P

AP

AF

BF

FP

BP

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Definición Es aquella recta que no es paralela ni perpendicular a ninguno de los planos principales de proyección (H, F, P), razón por la que en ninguno de estos planos se proyecta en verdadera magnitud (VM)

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Características de una recta de posición general.Orientación.- La orientación de una recta, se mide por medio de un ángulo que hace la AH proyección horizontal de la recta con respecto al eje norteH sur y dirigido al este u oeste

BH

F

Problema.Hallar la orientación de la recta AB.

AF

BF

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Solución.-

BH

N

53° O

AH H F

OAB  N 53E OBA  S 53O

E

Verdadera Magnitud.Se consigue por medio de una vista auxiliar paralela a una de las proyecciones de la recta.

S

AF

BF

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Solución.-

Problema.- Hallar la verdadera magnitud de la recta AB.

B

1

VM

BH

H BH

A

AH

AH

H F

H F

AF

AF

BF

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Pendiente de una recta.Es la tangente del ángulo que hace la recta con respecto al plano horizontal. B



H A

Tg   mAB Nota.En Geometría Descriptiva, para poder medir la pendiente de una recta, la recta tiene que encontrarse en verdadera magnitud en una vista auxiliar de elevación, porque en esta vista el plano horizontal se ve como una línea o de canto.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Solución-

1

VM

Problema.- Hallar la pendiente de la recta AB.

B

BH

H BH

A

AH AH

H F

H F

AF AF

BF

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 B

B

1

VM

VM

1

H

H BH

A

BH

A

AH

AH

H F

H F

AF

AF

B

mAB  Tg 29

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 B VM

Nota.- la pendiente de una recta se da siempre en porcentaje y ascendente ( )o descendente ( )

1 H 29º

BH

A

mAB mAB

0.55  Tg 29  1 0.55 x100   55% 1x100

AH H F AF

mAB  55%  BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Posiciones Relativas de dos rectas.Viene hacer la posición entre dos rectas, de las que tenemos: Rectas que se cortan.Son aquellas rectas que tienen un punto en común. Si dos rectas se cortan estas determinan un plano

B A

X C

D

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Problema.- Hallar la proyección frontal de la recta CD, si se sabe que CH se corta con la recta AB. CH

1

BH

AH

BH

AH D

H F

Solución.-

D

H F

DF AF

AF CF

1

CF BF

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 D

Rectas se Cruzan.Son aquellas rectas que no tienen un punto en común ni en su prolongación ilimitada.

A X

B

Dos rectas se cruzan no determinan un plano.

C

Problema.- Determinar si las rectas AB y CD se cortan o se cruzan

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Solución.CH

CH

1

BH

BH

AH

2

AH DH

H F

DF AF

DF AF

1

BF

BF C

DH

H F

2

CF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 CH

3

AH

4

BH

DH

H F

DF AF

3 4

CF

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Rectas Paralelas.Son aquellas rectas, que no se cortan ni se cruzan, dos rectas paralelas siempre forman plano. A

B C

D

Si dos rectas son paralelas, todas sus proyecciones se verán en forma paralela, excepto en una donde se proyectan como dos puntos.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Problema.- Determinar la proyección frontal del punto D, si se sabe que las rectas AB y CD son paralelas. DH CH

BH

Solución.DH CH AH

AH

H F

H F

AF CF

AF CF

BF

BH

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 DH CH

BH

AH H F AF CF

BF

DF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Rectas Perpendiculares.Dos rectas son perpendiculares cuando forman entre si el ángulo de 90°, estas rectas pueden cruzarse o se pueden cortar. H

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Caso a)

b

a

b

a

) VM

( ah

bh

(VM

)

H

H

a┴b Si se tiene la proyección de dos rectas en verdadera magnitud y además forman 90º, estas rectas en el espacio son perpendiculares entre si.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Caso b)

a

a b

b

) M V

( ah

bh

H

H

a┴b Si se tiene la proyección de una recta en verdadera magnitud y además la proyección de la otra forma 90º, estas rectas en el espacio son perpendiculares entre si.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Caso c) a



b

a

ah

b

bh

H

H

α≠90º

Si se tiene la proyección de dos rectas que forman entre si un ángulo de 90º y ninguna de ellas se proyecta en verdadera magnitud, estas rectas en el espacio no son perpendiculares entre si.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Conclusión.Para afirmar que dos rectas son perpendiculares entre si, como mínimo es condición que una de las rectas en una proyección cualesquiera debe estar en verdadera magnitud y la otra en esta misma proyección debe formar el ángulo de 90º.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

CAPITULO 3

EL PLANO

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

EL PLANO.Un plano se puede determinar de las siguientes maneras:

1.

Por medio de tres puntos no colineales.

B

B A

A C

C

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

BH

BH

AH

AH H F

H F

CH

CH CF

CF AF

AF BF

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 2.

Por medio de una recta y un punto fuera de Ella

B

B A

A C

C

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

BH

BH

AH

AH H F

CH

H F

CH

CF AF

CF AF

BF

BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 3.

Por medio de dos rectas que se cortan.

BH DH AH

B A

D

H F

CH CF

C

AF Problema.- En el depurado mostrado verificar si las rectas AB y CD determinan un plano.

DF BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

BH DH

1 AH

dos

A

CF 1 DF BF

D C

CH

H F AF

4. Por medio de paralelas.

B

Problema.- En el depurado mostrado verificar si las rectas AB y CD determinan un plano.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

DH

DH AH H F

BH

CH CF

AF

AH H F

CH CF

BH DF

BH

BH AF

DF

Planos Notables o Particulares.Son particulares porque o bien son paralelos a los planos principales de proyección o bien son perpendiculares a los mismos.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

1.- Plano Horizontal

BH AH

BH

H F

AH

CH A AF BF

B

C CF

Es un plano Paralelo al plano principal horizontal, se proyecta en este plano en V.M.

H F AF

VM CH

BF

CF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

2.- Plano Frontal AH

AH

BH CH

BH CH

H A

F

CF

AF

BF

C

B

H F AF

Es un plano Paralelo al plano principal Frontal, se proyecta en este plano en V.M.

CF VM BF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

3.- Plano De Perfil Es un plano Paralelo al plano principal de Perfil, se proyecta en este plano en V.M. CH BH

H

AH

F

C

B

BF CF

BP

cP P

AF

A AP 96

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

4.- Plano Vertical AH

BH

BH CH

CH

AH

H C

F A CF

AF

BF

H F B

CF

AF

Es un plano Perpendicular al plano principal horizontal, se proyecta en este plano de canto o de filo.

BF

97

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

5.- Plano Normal AH

H F

A

BH

BH CH B

AF

AH H F AF

CH BF CF

BF C CF

Es un plano Perpendicular al plano principal Frontal, se proyecta en este plano de canto o de filo.

98

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Es un plano Perpendicular al plano principal de Perfil, se proyecta en este plano de canto o de filo.

6.- Plano OrtoPerfil

AH

AH CH

H

BH

F

A

H F

C CP CF

BF

AP

BH CF

B

AF

CH

P

CP

AF AP

BP

BF

FP

BP 99

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Plano de Posición General Es un plano que no es Paralelo ni Perpendicular a los planos principales de Proyección, por lo que en ninguno de ellos se proyecta en VM o bien de Canto. AH

H

BH

F

CH

A

C CP

AF B

AP

CF BF

P BP 100

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Recta Contenida en un Plano Si una recta se encuentra contenida en un plano, esta debe cortar como mínimo a dos rectas en puntos diferentes, contenidas en dicho plano.

D A

B

1

2 E C

Problema.- en el depurado mostrado en la figura, completar la proyección frontal de la recta DE si esta contenido en el plano ABC. 101

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

BH

DH

BH

DH

BH

DH

1

1

AH

2

H F

CH

1

AH EF

AH

2

EF

CH

H F

2

CF

CF

CF

2

AF

AF BF

2

AF 1

BF

EF

CH

H F

1

BF 102

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Punto Contenido en un Plano.DH

H

1

B

1

AH

A

2

EF

CH

H F

X

2

C

CF EF 2

AF 1

DF

BF

Si un punto se encuentra contenido en un plano, este punto debe encontrase contenido en una recta contenida en dicho plano. 103

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

BH

B A

1

1 X C

2

AH H F

XH 2

CH CF

Problema.- En el depurado mostrado en la figura completar la proyección frontal del punto X si esta contenido en el plano ABC.

AF BF 104

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

BH

BH 1

1

AH

AH

XH 2

CH

H F

CH

H F

XH 2

CF

CF 2

2

AF

AF 1

1

BF

BF

105

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Rectas Notables Contenidas en un Plano.-

BH 1

AH

Son aquellas rectas que se encuentran contenidas en un plano las mismas que tienen alguna característica en particular.

XH 2

CH

H F

CF XF 2

AF 1

BF

106

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

1. Recta Horizontal.Problema.- Trazar por el punto A, una recta horizontal que este contenida en el plano ABC.

H

AH CH

H F

CF AF B

107

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

1

AH

AH H F

H

H

H

CH

1

H F

CH

H F

CH CF

CF

CF AF

AH

VM 1

AF

1

AF

1

B 108

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

2. Recta Frontal.Problema.- Trazar por el punto A, una recta frontal que este contenida en el plano ABC.

H

AH CH

H F

CF AF B

109

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

BH

BH 1

AH H F

1

AH

CH

H F

CH

CF

CF 1

AF BF

AF

VM

1

BF 110

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

3. Recta De Perfil.-

H

Problema.- Trazar por el punto B, una recta de perfil que este contenida en el plano ABC.

CH

H F

BH CF

AF B

111

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 AH

AH 1

CH

H F

CH

BH CF

H F

CP

BH CF

CP

AF

AF

AP

AP BF

FP

BP

BF

FP

BP 112

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 AH

AH

1

1

CH

H F

CH

BH

H F

CF AF

BH CF

CP

1

AF

CP 1

1

AP

AP BF

FP

BP

BF

FP

BP 113

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Plano de Canto.-

AH 1

BH

CH

H F

AH

BH CF

AF

CP 1

1

VM BF

FP

BP

H F

CH CF

AP

AF BF

114

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

H 1

BH AH H F

VM 1

BH

CH

AH

CF AF

1 BF

H F

VM 1 CH CF

AF

1 BF

115

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1 B1

Plano en Verdadera Magnitud.-

BH

BH AH H F

A1

VM 1 C1

CH

AH H F

CH

CF AF

1 BF

CF AF BF

116

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1 B1 BH AH H F

C1

CH CF

AF

1 BF

2

B1 BH

A1

VM 1

1

H 1

AH H F

A1

VM 1 C1

CH CF

AF

1 BF 117

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 1

H 1

B1

BH AH H F

A1

B2

VM 1 VM

C1

CH CF

AF

2

A2 C2

1 BF

118

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Orientación de un Plano.La orientación de un plano, la da una recta horizontal contenida en el plano; por medio de un ángulo (el menor) que haga esta recta con respecto a los ejes cardinales norte-sur y en dirección al este u oeste.

Problema.Hallar la orientación del plano ABC.

BH AH H F

CH CF

AF BF

119

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

BH AH H F

B N H

VM 1

O

AH HS F

CH

1

VM

CH CF

CF AF

1 BF

E

AF

1 BF

120

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

79

N BH O

AH

OABC  N 79E

° 1

VM

E

CH

HS F

CF AF

1 B

121

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Pendiente de un Plano.La pendiente de un plano, es la tangente del ángulo que hace el plano con respecto a un plano horizontal. La pendiente de un plano se mide en un plano auxiliar de elevación y cuando el plano se proyecta de canto.

BH AH H F

CH CF

AF BF

122

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1

H 1

B1 BH AH H F

C1

CH CF

AF

1 BF

BH

A1

VM 1

B1

AH H F

A1

VM 1 C1

CH CF

AF

1

mABC  Tg 41

BF 123

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1 B1 BH AH H F

VM 1

αº

C1

CH CF

AF

1 BF

A1

0.86 mABC  Tg   1 0.86 x100 mABC   86% 1x100 mABC  86% 124

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Recta de Máxima Pendiente (RMP).-

RM

h

P



De las infinitas rectas que tiene un plano, se tiene una recta entre todas, forma el mayor ángulo con el plano horizontal, a esta recta se le llama Recta de máxima pendiente del plano. H

Una RMP, es α= ángulo de pendiente una recta perpendicular a una recta 125 horizontal del Nota.-La pendiente de la RMP, nos da la pendiente del plano. plano.

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Problema.- Trazar por el punto B, una RMP del plano.

AH

AH H F

BH

BH

BH

H F

CH

1

VM

CF AF

BF

H F

CH

CF AF

AH

1 BF

1

VM

2

CH CF

2

AF

1 BF

126

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

AH H F

1

VM

2

CH CF

RMP

2

AF

Nota.- La pendiente de un plano se da con la orientación hacia donde baja el plano.

RMP

BH

Como la pendiente de un plano esta dada por la RMP del plano, entonces se analizara con que orientación desciende la RMP.

1 BF

127

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1

Problema.- Hallar la pendiente del plano ABC.

BH

BH

AH H F

B1

AH

CH

H F

VM 1

CF AF

BF

C1

CH

CF AF

A1

1 BF

128

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1 B1 BH O

AH H F

N

VM 1 S

E

CH

1 BF

mABC

C1

mABC CF

AF

A1

0.86  Tg   1 0.86 x100   86% 1x100

mABC  86% mABC  86% NO 129

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

AH H F

BH

RMP

BH

1

VM

2

CH

RMP

H F

CF

2

AF

AH

1 BF

1

VM

2

CH CF

2

AF

1 BF

130

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 N

BH O

AH H F

2

S

CH C

2

AF

E

1

VM

mABC  86% NO

1 BF

131

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

CAPITULO 4

INTERSECCIONES

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

INTERSECCIONES 1.- Intersección entre recta y plano.El lugar geométrico común entre una recta y un plano, es un punto; siempre y cuando la recta no sea paralela al plano ó la recta no este contenida en el plano. Existen dos métodos: a) Método del Plano de Canto. b) Método del Plano Cortante. 133

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

b) Método del Plano Cortante

ABC

P O

2

1 Q

PCI

PQ  PCI 12  PCI PQ 12  "O "  "O "  PQ y "O "  ABC  ABC PQ es "O "

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Problema.- Hallar la intersección entre la recta PQ y el plano ABC. A

QH

H

PCI QH

AH 2

BH

BH 1

PH

CH CF

PH QF

QF BF

BF PF AF

CH CF

PF AF

135

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

AH 2

PCI

PCI

QH

QH

AH

BH

2

BH

X

O

1

1

CH CF

PH

QF

QF

1

1

O

BF PF AF

CH CF

PH

2

BF

X

PF AF

2

136

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 PCI QH

AH 2

BH

X 1

CH CF

PH

QF

1

BF

X

PF AF

2

2.- Intersección entre planos.-

dos

El lugar geométrico común entre dos planos, es una recta. Existen dos métodos: a) Método del Plano de Canto. b) Método Cortante.

del

Plano 137

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

b) Método del Plano Cortante

P L1  ABC y PCN1 L2  LMN y PCN1 L1

L2

L1

L2

 " P"

 " P "  ABC y " P "  LMN " P " es un punto de int er sec cion de ABC y LMN

138

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Problema.- Hallar la recta de intersección entre los planos ABC y LMN. CH LH AH

MH

BH

CF

LF

NH

AF

MF BF NF

139

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 CH

LH

AH

MH

QH

BH

CF PH

LF

NH

QF

PCNII

AF

MF

PF

PCNI

BF

NF 140

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

CAPITULO 5

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 1.- Recta paralela a un plano 2.- Planos Paralelos 3.- Recta Perpendicular va un plano 4.- Planos Perpendiculares 1.- Paralelismo entre recta y plano.Para que una recta sea paralela a un plano debe ser paralela como mínimo a una recta contenida en el plano Tip.- si en una proyección el plano se ve de canto, la recta se proyecta en forma paralela al plano de canto. 142

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Q P B A C

143

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Problema.- completar la proyección frontal del punto Q, si se sabe que la recta PQ es paralelo al plano ABC.

QH

BH

QH

BH 1

PH

AH H F

CH

PH

AH H F

CH

CF PF

AF BF

CF PF

AF BF

144

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

QH

BH

BH

1

H F

1

PH

AH

QH

CH

PH

AH CH

H F

CF PF

AF

CF PF

AF

1

1

BF

BF

QF 145

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

2.- Paralelismo entre dos planos.Para que dos planos sean paralelos entre si, dos rectas de uno de ellos, deben ser paralelos a dos rectas que se corten del otro plano. B

Tip.- si uno de los planos se proyecta de canto, el segundo plano también se proyecta de canto y ambos se visualizan como dos rectas paralelas.

A C

M L N

146

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Problema.- completar la proyección frontal del plano LMN, si es paralelo al plano ABC.

MH

BH

NH

CH

H F

1

LH

AH

LH

AH

MH

BH

NH

CH

H F

CF

CF

AF

AF

1

BF

MF

BF

LF 147

MF

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

3.- Perpendicularidad entre recta y plano.-

MH

BH 1

LH

AH H F

2 2

NH

CH CF

NF

AF 1

BF

Para que una recta sea perpendicular a un plano, esta debe ser como mínimo perpendicular a dos rectas que se cortan del plano.

LF MF

148

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 P

B A C

Q

149

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

AH

AH H F

H F

CH CF

AF

PH

BH

PH

BH

VM

1

CH

PF

CF AF

PF

1

BF 150

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

PH

BH AH

VM

Si un plano se proyecta de canto, la recta se proyecta en VM y formando el ángulo recto.

1 2

CH

H F

CF AF

VM

2 1

BF

Tips.-

PF

Si el plano se proyecta en VM, la recta se proyecta de punta. 151

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

4.- Perpendicularidad entre dos planos.Para que dos planos sean perpendiculares entre si, una recta contenida en uno de ellos, debe ser perpendicular al otro plano.

Q

P

B A C

R 152

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Q

Problema.- trazar por la recta PQ, un plano perpendicular al plano ABC.

P

PH

BH

QH

B

AH

A C

H F

CH CF

R

PF QF

AF BF

153

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

PH

BH AH

VM

QH

1 2

CH

H F

CF AF

VM

2 1

PF QF

BF 154

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

PH

BH AH

VM

QH

1 2

CH

H F

R

CF AF

VM

PF QF

2 1

BF R

155

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

CAPITULO 6

DISTANCIAS

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DISTANCIAS 1.- Distancia de un punto a una recta.-

La distancia de un punto a una recta, esta dada por la perpendicular bajada del punto a la recta.

Q P A

157

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QH

Q

AH

P d

PH A

H F AF

Problema.- Hallar la distancia del punto A a la recta PQ.

PF QF 158

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 A

Q VM

V d=

A

O

H QH

2 1

Q VM

O

1

M

P

AH

O

O

1 A

H QH

P

PH

AH

O

H F

PH

AF PF

H F AF PF

O

O

QF

QF

159

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

2.- Distancia de un punto a un plano.La menor distancia de un punto a un plano, es la perpendicular bajada del punto al plano.

P

B A C

160

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 P

Problema.- Hallar la menor distancia del punto P al plano ABC.

d B A

O C

161

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

PH

BH

P d=

PH

AH

AH

CH

H F

B VM

BH VM

O 1

C

CH H 1

PF

CF

PF AF

AF

CF 1

BF

BF

162

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 P PH O

d=

BH

B

P

VM

O

PH

1

O

AH C H 1 PF AF

BH

VM

O 1

AH

CH

H F

d=

B

CF 1

BF

C

CH

H F

H 1 PF AF

CF 1

O

BF 163

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3.- Distancia entre dos rectas que se cruzan.La menor distancia A entre dos rectas que se cruzan, es una recta perpendicular a ambas.

B

d

C D 164

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 Problema.- Hallar la menor distancia entre las rectas AB y PQ.

QH 1

QH

PH

AH AH H F

BH BF

BH BF

AF

H F

PH PF

PF QF

AF QF 1

165

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

H 1 Q

QH

1

1

AH

vm

BH

H F

BF

A

P

PH

B PF QF

AF 1

166

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1 Q

QH 1

1

vm

=d

AH

BH

H F

BF

A

P

PH

B PF QF

AF 1 167

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1 Q

QH 1

P

PH BH

H F

BF

vm

=d

1

2

A Q

y

AH

1

x

B

PF

P

QF AF

x,y

A

B

1 168

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 H 1 Q

QH 1

P

AH H F

PH

y

BH

x

BF AF

vm

1

2

=d

A

y x

x y

1

Q

B

PF

P

QF x,y

A

B

1 169

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 P

4.- Menor Distancia Horizontal Problema.- Hallar la menor distancia horizontal entre las rectas AB y PQ.

A

vm

1

BH PH

Q

B

H

BH

AH

QH

H F

AH

BF AF

QF

vm

PH

QH

H F BF

QF

AF

PF

PF

170

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 P

1

2

A x

1

P B

H

vm

Q y

BH

Q

PH

B

x,y

A

x

AH

vm

QH

y

H F BF AF

QF

y

x

PF

171

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5.- Menor Distancia Pendiente dada

con

Problema.- Hallar la menor distancia entre las rectas AB y PQ, que tenga un ángulo de pendiente descendente AB hacia CD de 30° de.

BH PH

AH

QH

H F BF

QF

AF

PF 172

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 P

P

A

A

30°

vm

Q

B

BH

QH

1

PH

AH

H

vm

H

vm

AH

BH

1

PH

Q

B

QH

H F

H F BF

BF

QF

QF

AF

AF

PF

PF

173

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 P A

P

A

x,y

30°

vm

y

B

x

Q Q

B

1 2 BH

1

PH

vm

AH

H

QH

H F BF

QF

AF

PF

174

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 P A

P

A

x,y

30°

vm

y

B

x

Q Q

B

1 2 BH x

H y

vm

AH

1

PH

QH

H F BF AF

x

QF

y

PF

175

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CAPITULO 7

ANGULOS

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ANGULOS Angulo entre una recta y un plano (Método del ángulo complementario)

B

 

LM N

A

177

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058 B ß





LM N



Problema.- Hallar el ángulo entre la recta PQ y el plano ABC.

A

Z

  90   178

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

P

B ß

N ABC





LM



QA Z

1

179

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180

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

  90  38   52

181

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

Angulo entre dos planos

182

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Método Del Angulo Suplementario Problema.- Hallar el ángulo entre los planos ABC y PQR.

  180  

183

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184

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

185

Ing. Luis Alfredo Vargas Moreno Movistar 966605573, RPM #032425; RPC 997908058

  180º 110º   70º

186

D B A E C

B A X C