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3.

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

6 ME

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

Si mAB = mCD B M

DEFINICIÓN Se denomina circunferencia al lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya distancia a otro punto del mismo plano llamado centro, es constante. Esta longitud constante se denomina radio. M C A

R

Entonces: AB = CD ; OM = ON

O N

4.

D

H

A C

Si:

D

AB // CD //

P B

O

A

B

C

D

m

Entonces:

m n T

Centro

: O

Radio

: OP , OP = R

Cuerda

: CD

Diámetro

: AB , AB = 2R

Secante

:

m

Tangente

:

n

Arco

: CD , CTD

Flecha o Sagita: MH Punto de tangencia : T Longitud de la circunferencia: 2R Área del círculo: R2  = 3.1416 ó  = 22/7

mCT = mTD

m

T

5.

mAC = mBD ;

Si: PA y PB son tangentes y O es centro. P

 

A

Entonces: PA = PB ;  = 

O B

CÍRCULO Es aquella superficie plana determinada por la unión de una circunferencia y su región interior.

PROPIEDADES L

1.

O



T

TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita. C

Si:

L es tangente

a

b

OT es radio

Se cumple: a + b = c + 2r

r

Entonces:

OT 

L

;

=90°

A

B

c

Nota Inradio : Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio : Radio de la circunferencia circunscrita.

2. Si: O es centro

ON  AB

TEOREMA DE PITHOT O A

M N

B

Entonces: AM = MB ; mAN = mNB

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la C b suma de las B longitudes de los otros dos lados. c

a Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730 A

d

D

Circunferencias Concéntricas Se cumple: a+c = b+d

R

r O

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES Circunferencias Exteriores 1.

R

r

O1

Si AB + CD = 24 m y BC + AD = 40 m. Calcular PQ. B

O1 O2 > R + r

P

O2

C

Circunferencias Tangentes Exteriores R

r

O1

A

O1 O2 = R + r

O2

2.

Q

D

Si AB = 6, BC = 2,5 y AD = 8. Hallar CD A

Circunferencias Secantes R

r

O1

C

R – r < O 1 O2 < R + r B

O2

3.

El perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia es 36 cm. Determinar la longitud de la mediana de dicho trapecio.

4.

Hallar la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un trapecio isósceles cuyas bases miden 2 y 8.

5.

Del gráfico, calcular el inradio del triángulo ABC, si:

Circunferencias Tangentes Interiores R

r O1 O2

T

D

O1 O2 = R – r PQ = 2, ( PQ es la sagita de la cuerda BC ). B

Q

Circunferencias Interiores R

P r

53°

O1 O2 < R – r

A

O1 O2

6.

C

En un triángulo ABC, E es el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado BC , M es el punto medio de BC . Si AC – AB = 8. Hallar EM.

-2-

Circunfere ncia

3. 7.

Si MN = 12 y ND = 4. Calcular AB. B

tangencia del círculo inscrito con el lado AB . A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

C

4.

8.

Los lados de un triángulo ABC son: AB = 7, BC = 11 y AC = 12. Calcular la distancia del vértice A al punto de

En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia cuyo punto de tangencia con BC es M. Si AC = 10 y el perímetro del triángulo es 42, hallar BM. A) 11 B) 10 C) 9 D) 12 E) 13

A M D el lado AD se Se tiene un cuadrado ABCD,Nsobre traza una semicircunferencia interior, luego desde C se traza una tangente a la semicircunferencia la cual

5.

Si el perímetro del triángulo ABC es 10. Hallar “R”.

corta a AB en F. Hallar el perímetro del triángulo BCF si el lado del cuadrado mide 7. 9.

R

En la figura: r = 3 cm. Hallar TC. A r

B

C

T

6.

C

B

C

A

A

1.

2.

N

C

6 5 4 3 2

Calcular el semiperímetro de un triángulo rectángulo, sabiendo que el inradio mide 2 m y el circunradio mide 6,5 m. A) 12 B) 13 C) 15 D) 21 E) 28

8.

Un sector circular tiene un ángulo de 60° y 15 m de radio. Hallar el radio de la circunferencia inscrita en el sector circular. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 30

9.

Haciendo centro en los vértices de un triángulo ABC de lados 5, 7 y 8 se trazan circunferencias tangentes exteriormente dos a dos. Hallar el radio de la circunferencia menor. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

B

M

A) B) C) D) E)

7.

que une los puntos medios de AM y CN mide 18 m.

2,5 5 7,5 10 N.A.

Hallar “R” si AB = 5 y BC = 12.

R

10. En la figura M y N son puntos medios de AB y BC, hallar el perímetro del triángulo ABC, si el segmento

A) B) C) D) E)

10. Si: AB + AC = 12 y el semiperímetro del triángulo ABC es 12 m. Hallar EB + QC.

Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8. Hallar el inradio. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 14 y el radio de la circunferencia inscrita mide 4. Hallar el perímetro. A) 36 B) 12 C) 48 D) 18 E) N.A.

E

B

O

A

Q

-3-

C

A) B) C) D) E)

6 8 10 12 N.A.

Circunfere ncia

11. En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a 32 unidades, el radio de la circunferencia inscrita mide 6 unidades. Calcular la longitud de la hipotenusa. A) 26 B) 24 C) 32 D) 25 E) N.A.

C) 3 cm D) 5 cm E) 4 cm 19. Si desde un punto que dista 17 m del centro de una circunferencia se puede trazar una tangente que mide 15 m. ¿Cuánto mide el radio de dicha circunferencia? A) 5 m B) 6 m C) 7 m D) 8 m E) 9 m

12. Se tiene una circunferencia cuyo diámetro mide 20. Calcular la longitud de la flecha correspondiente al menor arco determinado por una cuerda MN, si MN = 16. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

20. La tangente trazada desde un punto que dista 2 m de una cirunferencia mide 4 m. ¿Cuánto mide el radio de dicha circunferencia? A) 3 m B) 4 m C) 5 m D) 6 m E) N.A. 21. En la figura el perímetro del triángulo ABC es 40 m y el lado AB = 8 m. Calcular TC.

13. La circunferencia exinscrita al triángulo ABC relativa a BC, determina el punto de tangencia “Q” en la prolongación de AC . Se sabe que AB = 13, BC = 9 y AC = 18. Hallar QC. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

B

14. Sea ABCD en cuadrilátero convexo, tal que mC=mABD=90°, AD=BC + CD, AB = 20. Hallar la suma de los inradios de los triángulos ABD y CBD. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) N.A.

A

C

A) B) C) D) E)

R T A

D

E Q

T

C

A) B) C) D) E)

6m 8m 10 m 12 m 15 m

22. El perímetro de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia es 20 y el lado menor mide 3. ¿Cuánto mide el lado mayor? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

15. Si ABCD es un rectángulo , mTBC = mABT, TB – TE = 2. Hallar “R”. B

Q

P

1 2 3 4 N.A.

23. El perímetro de un triángulo rectángulo es 90 cm y el radio de la circunferencia inscrita, 4 cm. Calcular la longitud de la hipotenusa. A) 39 cm C) 41 cm E) 43 cm B) 40 cm D) 42 cm

16. Calcular el perímetro del triángulo sombreado si: PA = 8 m. P A D A) 4 B) 8 C C) 16 E D) 32 E) N.A. B

24. La mediana de un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia mide 18 cm y uno de los ángulos, 53°. Calcular el radio de la circunferencia inscrita. A) 2 cm C) 8 cm E) 6 cm B) 3 cm D) 5 cm 25. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la altura

17. Se tiene tres circunferencias de radios 1, 2 y 3 unidades, tangentes exteriores entre sí, dos a dos. El radio de la circunferencia inscrita de triángulo formado de unir los centros de las primeras circunferencias es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

BH . Calcular BH, si r1, r2 y r3 son los inradios de los triángulos ABC, AHB y BHC, respectivamente, y r 1 + r2 + r3 = 6 cm. A) 9 cm C) 10 cm E) 6 cm B) 8 cm D) 7,5 cm

18. En la siguiente figura, las rectas PR , PQ y QR

26. Dos circunferencias secantes tienen radios de longitudes 8 y 4. El centro de la menor está sobre la mayor. Hallar la medida del ángulo que forma la línea de los centros con una recta tangente a ambas circunferencias. A) 30° B) 60° C) 15° D) 75° E) N.A.

son tangentes a la circunferencia en los puntos A, B y C, si PR = 9 cm, QR = 7 cm y PQ = 8 cm. Hallar el valor de PC . Q

P

A) 3,5 cm B) 2 cm

B

A

C

R

27. En la figura, AB + CD = AD, hallar (R + r), si BC = 6u. -4-

Circunfere ncia

B R A r

C

A) B) C) D) E)

2m 6m 3m 1,5 m 12 m

D

28. La suma del diámetro de la circunferencia inscrita con el diámetro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo es 18. Calcular la suma de los catetos. A) 6 B) 12 C) 18 D) 36 E) N.A.

-5-

Circunfere ncia