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• Víctor Oliveros Rmz

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F u n c i o n es c o n c a v a s y c o n v e x as Si f y f' son derivables en a, a es:

Cóncava

Si f''(a) > 0

Convexa

Si f''(a) < 0

Intervalos de concavidad y convexidad Para determinar los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos :

1. Se calcula la derivada segunda y se hallan sus raíces.

2. Se forman intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3. Se toma un valor de cada intervalo, y se halla el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cóncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.

4. Escribimos los intervalos.

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de la función:

Ejercicios resueltos de concavidad y convexidad

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de las funciones:

1.

Cóncava:

Convexa

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

5) Funciones cóncavas. Veamos ahora cómo determinar el sentido de la curvatura de una función, para ello definamos los siguientes conceptos: Definición 3.-

Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por encima de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia arriba en el punto a si . Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si es cóncava hacia arriba en todos los puntos de ese intervalo. Una función f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por debajo de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia abajo en el punto a si

. Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si es cóncava hacia abajo en todos los puntos de ese intervalo.

6) Determinación de los intervalos de concavidad. Veamos cómo determinar fácilmente el sentido de la concavidad de una función. Abajo tenemos la gráfica de una función cóncava hacia arriba en la que se han trazado distintas tangentes a esa gráfica.

Si llamamos a esos ángulos  , , , , se tiene que 01