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• José Carrión

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2. FUERZAS DISTRIBUIDAS

3.1 Fuerzas distribuidas. En los cálculos de ingeniería, se encuentran frecuentemente cargas distribuidas sobre una superficie dada según una u otra ley. Examinemos algunos ejemplos más simples de fuerzas coplanares distribuidas. Un sistema plano de fuerzas distribuidas se caracteriza por su intensidad q, es decir, la magnitud de la fuerza en la unidad de longitud del segmento cargado.

La intensidad se mide por Newton o kilogramos fuerza divididos entre metros (N/m o kgf/m). 1) Fuerzas distribuidas uniformemente a lo largo del segmento de una recta (fig. 73, a). Para tal sistema de fuerzas, la intensidad q es una magnitud constante. Realizando cálculos estáticos se puede sustituir este sistema de fuerzas por su resultante Q. El módulo es.

Qaq

( ) La fuerza Q está aplicada en el centro del segmento AB. 2) Fuerzas distribuidas, de acuerdo con una ley lineal, a lo largo de un segmento de recta (fig. 73, b). Como ejemplo de este tipo de carga pueden servir las fuerzas de presión del agua sobre una presa: cerca del fondo, estas fuerzas alcanzan el máximo y se reducen a cero cerca de la superficie del agua. La intensidad q de estas fuerzas es una magnitud variable que crece desde cero hasta una cantidad máxima q m . La resultante Q de tales fuerzas se determina de la misma manera que la resultante de las fuerzas de gravedad actuantes sobre una lámina triangular homogénea ABC. Puesto que el peso de una lámina homogénea es proporcional a su área, su módulo será 1 Q  a qm 2 a La fuerza Q está aplicada a la distancia del lado BC del triángulo ABC (véase § 57, p. 3 2).

3) Fuerzas distribuidas de acuerdo a una ley arbitraria a lo largo de un segmento de recta (fig. 73, c). La resultante Q de tales fuerzas, por analogía con la fuerza de gravedad, será igual al área de la figura ABDE, medida en una escala adecuada, y pasará por el centro de gravedad de esta área (la definición de los centros de gravedad de áreas se estudiará más adelante).

4) Fuerzas distribuidas uniformemente por un arco de círculo (fig. 74). Como ejemplo de tales fuerzas pueden servir las fuerzas de presión hidrostática sobre las paredes de un vaso cilíndrico. De la simetría se ve que la suma de las proyecciones de estas fuerzas sobre el eje Oy perpendicular al eje de simetría Ox es nula. Por consiguiente, su resultante Q está dirigida a lo largo del eje Ox. El módulo es, Q  Qx   (ql k ) cos  k , donde ql k es la

fuerza que actúa sobre el segmento de arco de longitud l k ,  k es el ángulo formado por esta fuerza y el eje Ox. Pero del dibujo se ve que l k cos  k  y k Entonces, sacando el multiplicador común fuera del paréntesis (fuera del signo de la suma) obtendremos:

Q   qy k  q y k  qAB

De este modo

Q  qh

(41)

Donde h es la longitud de la cuerda que limita el arco A B .

máximas q m y q ' m

Problema 30. Una viga de consola AB, cuyas dimensiones están indicadas en el dibujo (fig. 75), está sometida a una carga de intensidad q 0 kgf/m distribuida uniformemente. Despreciando el peso de la viga y considerando que las fuerzas de presión sobre el extremo empotrado están distribuidas según la ley lineal, determinar la magnitud de las intensidades de estas fuerzas; siendo b = 2a.

Solución. Sustituimos las fuerzas distribuidas por sus resultantes Q, R y R’ donde según las fórmulas (39) y (40)

1 1 qm a , R '  q ' m a , 2 2 y componemos las condiciones de equilibrio (37) para las fuerzas paralelas que actúan sobre la viga:

Q  q0 b , R 

F

ky

 Q  R  R '  0,

a

b

a

 m ( F )  R 3  Q( 2  3 )  0 c

k

Sustituimos aquí Q, R, R' por sus valores y al resolver estas ecuaciones hallamos definitivamente b2 b2 b b ' ; q  ( 3  4 ) q0  2 ) q m 0 2 2 a a a a Sabiendo que b = 2a obtendremos qm  16 q0 , q ' m  20 q0 .

q m  (3

Problema 31- Un balón cilíndrico de altura H y de diámetro interior d, está lleno de un gas de presión p kgf/m2. El ancho de las paredes cilíndricas del balón equivale a a. Determinar la intensidad del esfuerzo de la tensión que experimentan las paredes en las direcciones: 1) longitudinal y 2) transversal (la tensión equivale a la razón de la fuerza de extensión y el área de la sección transversal). Solución. 2) Cortamos el cilindro mediante un plano perpendicular a su eje en dos partes y examinamos el equilibrio de una de ellas (fig. 76, b). Sobre ésta, en la dirección del eje del  d2 cilindro, actúan dos fuerzas: la de presión sobre el fondo F  p y la otra es la fuerza 4 Q, resultante de las fuerzas distribuidas por el área de la sección (la acción de la mitad  d2 suprimida). En caso de equilibrio Q  F  p 4 Considerando que el área de la sección transversal equivale aproximadamente a  da, obtendremos el valor del esfuerzo de extensión  1 : Q 1d 1   p kgf/ m 2 da 4a 2) Ahora cortamos la superficie cilíndrica por medio de un plano, que pasará por el eje del cilindro, en otras dos partes y examinamos el equilibrio de una de ellas, considerando que todas las fuerzas están aplicadas a ésta en el plano de la sección media (fig. 76, b). Sobre esta mitad del cilindro actúan: a) las fuerzas de presión de intensidad q  pH , distribuidas uniformemente por el arco del semicírculo. Según la fórmula (41) la resultante de estas fuerzas R  q d  p H d ; b) las fuerzas (la acción de la mitad suprimida) repartidas en las secciones A y B, cuyas resultantes se designan por S1 y S 2 . En vista de que hay simetría S1  S 2  S . De las condiciones de equilibrio obtendremos S1  S 2  R , de donde S 

1 pd H . 2

El área de la sección, por la cual está repartida la fuerza S equivale a aH (el área de la sección del fondo del cilindro se desprecia) y por eso podemos hallar el esfuerzo de tensión de tracción  2 S 1d  p kgf/ m 2 aH 2 a Como se ve el esfuerzo de tensión en la dirección transversal es dos veces mayor que en la longitudinal.

2 

PROBLEMA Determinar la resultante de la carga distribuida que actúa sobre la barra ABC e indicar su dirección, sentido y ubicación.

Solución: Calculamos las resultantes de cada acción de la carga distribuida sobre una línea, sabiendo que dicho valor es igual al área de la figura. Para ello, dividimos en 3 figuras geométricas: 2 rectángulos y 1 triángulo. RECTANGULO EN EL TRAMO AB: Está ubicada en el centro del tramo AB (centro de gravedad del rectángulo formado por la carga distribuida de 500lb/pie con el tramo AB) RECTANGULO EN EL TRAMO BC: Está ubicada en el centro del tramo BC (centro de gravedad del rectángulo formado por la carga distribuida de 500lb/pie con el tramo BC) TRIANGULO EN EL TRAMO BC:

Está ubicada a una distancia de 2/3 de la longitud del tramo BC respecto al punto B (centro de gravedad del triángulo formado por la diferencia de 800lb/pie y 500lb/pie con el tramo BC), es decir, a una distancia 2,67pie respecto al punto B o a una distancia 1,33pie respecto al punto C.

Calculamos la resultante del sistema de fuerzas distribuidas: ∑ Para determinar la ubicación de la resultante, aplicamos el Teorema de Varignon: ∑ (

)

( )

(

)

PROBLEMA 1.36 La resultante de las dos cargas distribuidas triangulares es un par antihorario de 60kN.m. Determinar la intensidad de la carga

Solución: Determinamos las resultantes y orientamos sus direcciones de acuerdo a lo mostrado en la figura 1.73

Calculamos el valor de w0, aplicando el concepto de cupla o par de fuerzas ( )

PROBLEMA Para la estructura mostrada en equilibrio, determinar las componentes de reacción en los apoyos A, E y la tensión en el cable FG

Solución: Efectuamos un corte por el cable y analizamos el equilibrio de toda la estructura. ∑ (

)

( )

(

)(

)

(

)(

) (

(a)

Ahora, efectuamos un corte en el perno B y analizamos el tramo BE ∑ ( ) ( ) (b)

)

(

)

Reemplazamos (b) en (a) y obtenemos:

Luego, analizamos el equilibrio de todo el sistema: ∑

∑

(

)