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• Andrés Robles

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Soluci´ on ayudant´ıa 8 ´ Optica y electromagnetismo Profesores: Caroline Danna, Carlos C´ardenas Ayudantes: Trinidad Novoa, Francisca Vera, Andr´es Robles, Humberto Logercio, Edgar Barriga, Sebasti´an de la Maza.

4 de Junio de 2018

1. Determine la direcci´ on inicial de la deflexi´on de las part´ıculas con carga cuando entran en los campos magn´eticos que se muestran en la figura.

Figura 1 Soluci´ on: Definiremos nuestro sistema de referencia de la siguiente manera: el eje x ˆ apuntar´a hacia afuera de la hoja, el eje yˆ apuntar´ a hacia la derecha y el eje zˆ apuntar´a hacia arriba. La fuerza que siente una part´ıcula que se mueve con velocidad ~v a trav´es de campos electromagn´eticos est´ a dada por la fuerza de Lorentz. ~ + q~v × B. ~ F~ = q E ~ = ~0. De esta manera la fuerza de En este problema s´ olo hay campo magn´etico por lo tanto E Lorentz queda ~ F~ = q~v × B. Como vamos a tener que calcular productos cruz es bueno recordar la ciclidad de este producto antes de continuar, esto es x ˆ × yˆ = zˆ, yˆ × zˆ = x ˆ, zˆ × x ˆ = yˆ.

Si se invierte el orden de multiplicaci´on aparece un signo menos (el producto cruz es anticonmutativo). Adem´ as el producto cruz de un vector consigo mismo es cero. En el caso a), el campo magn´etico est´a dado por ~ = −Ba x B ˆ. 1

Como la part´ıcula se mueve hacia la derecha, su velocidad que expresada como ~v = va yˆ. Luego la fuerza que siente la part´ıcula es F~a = q(va yˆ) × (−Ba x ˆ), F~a = qva Ba (−1)ˆ y×x ˆ, F~a = qva Ba (−1)(−ˆ z ), F~A = qva Ba zˆ. Para el caso b), se tiene ~ = Bb zˆ, B ~v = −vb yˆ. Por lo tanto la fuerza de Lorentz queda F~b = (−q)(−vb yˆ) × (Bb zˆ), F~b = qvb Bb yˆ × zˆ, F~b = qvb Bb x ˆ. Para el caso c) ~ = Bc yˆ, B ~vc = −vc yˆ. Ahora calculamos la fuerza de Lorentz F~c = q(−vc yˆ) × Bc yˆ, F~c = ~0. Por u ´ltimo, para d) tenemos que ~ = Bd (sin (45o )ˆ B y + cos (45o )ˆ z ), √ ~ = Bd 2 (ˆ B y + zˆ), 2 ~v = vd zˆ. Luego, la fuerza de Lorentz queda √

F~d = qvd zˆ ×

! 2 Bd (ˆ y + zˆ) , 2

√ 2 ~ Fd = qvd Bd (ˆ z × yˆ + zˆ × zˆ), √2 2 F~d = qvd Bd (−ˆ x), 2√ 2 F~d = −qvd Bd x ˆ. 2

2

2. Un electr´on ingresa a una regi´ on donde hay un campo magn´etico uniforme, de magnitud B = 0,28 ~ Determine el radio r y la separaci´on p (distancia entre T, con un ´ angulo de 45◦ con respecto a B. espiras consecutivas) de la trayectoria helicoidal del electr´on suponiendo que su rapidez es 3,0×106 m/s. V´ease la figura 2.

Figura 2 Soluci´ on: La velocidad del electr´ on est´ a dada por ~v = v0 cos θˆ x + v0 sin θˆ y,

(1)

donde v0 = 3 · 106 m/s y θ = 45o . Distinguiremos las componentes de la velocidad como una paralela al campo magn´etico (vk ) y una perpendicular (v⊥ ), esto es vk = v0 cos θ, v⊥ = v0 sin θ. La fuerza que siente el electr´ on viene dada por la fuerza de Lorentz ~ F~ = q~v × B, F~ = −e(v0 cos θˆ x + v0 sin θˆ y ) × B0 x ˆ, F~ = ev0 B0 sin θˆ z. Notemos que la fuerza que experimenta el electr´on va en la direcci´on zˆ, por lo tanto el electr´ on es empujado hacia arriba en primera instancia. Adem´as tiene velocidad constante en la direcci´ on x ˆ, de estos hechos vemos que el movimiento ser´a helicoidal tal como se muestra en la Figura 2. Al tener un movimiento helicoidal tenemos que F~ = m~ac , donde ~ac es la aceleraci´on centr´ıpeta y su m´odulo est´ a dado por ac = mv 2 /r. Por lo tanto 2 v⊥ = |F~ |, r v 2 sin θ2 m 0 = ev0 B0 sin θ, r mv0 sin θ r= . eB0

m

(2)

Usando los datos conocidos, se obtiene r = 4,3 · 10−5 m. Como en x ˆ el electr´ on avanza con velocidad constante, la separaci´on p viene dada por p = vk T,

(3)

donde T es el per´ıodo del ciclo helicoidal. La frecuencia angular de este movimiento helicoidal, conocida tambi´en como frecuencia ciclotr´onica, viene dada de la ecuaci´on v⊥ = ωr. Usando la expresi´ on encontrada en (2) para r, se tiene mv0 sin θ , eB0 eB0 ω= . m

v0 sin θ = ω

3

(4)

Recordando que T = 2π/ω, usamos (4) en (3) y obtenemos p = v0 cos θ

2πm . eB0

Reemplazando los datos conocidos, obtenemos p = 5,4 · 10−4 m. 3. Por debajo de un anillo conductor horizontal de radio r que conduce una corriente I se coloca ~ forma un ´angulo θ un poderoso im´ an, como se muestra en la figura 3. Si el campo magn´etico B con la vertical en la ubicaci´ on del anillo, ¿cu´al es la magnitud y direcci´on de la fuerza resultante sobre el anillo?

Figura 3 Soluci´ on: La fuerza que siente un cable recto de largo L que conduce una corriente I debido a un campo ~ viene dada por magn´etico B ~ × B, ~ F~ = I L

(1)

~ tiene m´ donde L odulo L y va en la direcci´on de la corriente. El anillo claramente no es un cable recto, por lo tanto para hacer uso de la ecuaci´on (1), tendremos que trabajarla de forma diferencial, esto es ~ dF~ = Id~` × B, donde d~` es un elemento diferencial de camino. Como tenemos un anillo, el diferencial de camino corresponde a un diferencial de arco, o sea d~` = rdϕ(−ϕ). ˆ El signo menos se debe a que la corriente va en direcci´on horaria. Ahora debemos describir vectorialmente el campo magn´etico presente en el espacio. Si nos fijamos en la Figura 3, vemos que el campo magn´etico tiene una componente en zˆ y rˆ, luego ~ = B0 (sin θˆ B r + cos θˆ z ). Luego el diferencial de fuerza nos queda dF~ = −rdϕϕˆ × B0 (sin θˆ r + cos θˆ z ), dF~ = −rB0 dϕ(sin θϕˆ × rˆ + cos θϕˆ × zˆ). El conjunto de coordenadas rˆ, ϕˆ y zˆ, se conocen como coordenadas cil´ındricas, y su producto cruz tiene la siguiente ciclicidad rˆ × ϕˆ = zˆ, ϕˆ × zˆ = rˆ, zˆ × rˆ = ϕ. ˆ

4

Si se invierte el orden en el producto aparece un signo menos (recordar que el producto cruz es anticonmutativo). Con esto presente continuamos calculando la fuerza dF~ = −rB0 dϕ(sin θϕˆ × rˆ + cos θϕˆ × zˆ), dF~ = −rB0 dϕ(sin θ(−ˆ z ) + cos θˆ r), dF~ = rB0 dϕ(sin θˆ z − cos θˆ r), Z 2π rB0 dϕ(sin θˆ z − cos θˆ r), F~ = 0 Z 2π ~ dϕ(sin θˆ z − cos θˆ r). F = rB0 0

En este punto hay que tener mucho cuidado, ya que uno puede pensar que como la integral es en ϕ y a simple vista no hay nada que dependa de ϕ, el resultado quede como F~ = rB0 2π(sin θˆ z − cos θˆ r). Esto no es cierto, ya que rˆ no es un vecto fijo como zˆ, de hecho, est´a dado por rˆ = cos ϕ x ˆ + sin ϕ yˆ. Por lo tanto al hacer la integral en ϕ debemos integrar rˆ. Luego Z 2π  Z 2π ~ F = rB0 dϕ sin θˆ z− dϕ cos θˆ r , 0 0   Z 2π Z 2π dϕˆ z − cos θ dϕ(cos ϕ x ˆ + sin ϕ yˆ) , F~ = rB0 sin θ 0 0  Z 2π Z 2π cos ϕdϕˆ x+ sin ϕdϕˆ y , F~ = rB0 sin θ2πˆ z − cos θ 0 0  2π 2π  ~ F = 2πrB0 sin θˆ z − cos θ sin ϕ x ˆ − cos ϕ yˆ , 0

0

F~ = 2πrB0 sin θˆ z − cos θ [(sin 2π − sin 0)ˆ x − (cos 2π − cos 0)ˆ y] , F~ = 2πrB0 sin θˆ z − cos θ [(0 − 0)ˆ x − (1 − 1)ˆ y] , F~ = 2πrB0 sin θˆ z. Usando un argumento de simetr´ıa no es muy dif´ıcil ver que las componentes en rˆ se iban a cancelar dejando la fuerza s´ olo en zˆ. Bajo el argumento de simetr´ıa nos hubieramos ahorrado todo este engorroso calculo que result´ o ser nada m´as que un simple cero para la componente en rˆ.

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