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Punto interior Un punto x A Rn se dice que es interior al conjunto A si existe, al menos, una bola abierta centrada en dicho punto que esté totalmente contenida en el conjunto A.

x es interior a A   r > 0 / Br(a)  A.

Nótese que para que un punto sea interior a un conjunto es condición necesaria que dicho punto pertenezca al conjunto en cuestión. Así pues, si un punto es interior a un conjunto siempre va a ser posible encontrar un conjunto de puntos suficientemente próximos a él tales que pertenezcan al conjunto A. Cuando se calcule el límite de una función en un punto interior de su dominio, a, se tiene la seguridad de que los puntos x a van a tener imagen por pertenecer también al dominio. Interior de un conjunto Al conjunto de puntos interiores de un conjunto A se le denomina interior de A y se designa por

o por Int(A).

Conjunto abierto Un conjunto A Rn se dice que es abierto si todos sus puntos son interiores, es decir, si coincide con su interior. También puede decirse que un conjunto A es abierto si no contiene ningún punto que no sea interior a A. Todas las bolas abiertas son conjuntos abiertos. R n, incluyendo la recta real R, es un conjunto abierto. El conjunto vacío es también un conjunto abierto porque no existe en el vacío ningún punto que no sea interior. Ejemplo: Dado el conjunto A=(1,2 , su interior es Int(A)=(1,2). Sólo pueden ser interiores los puntos pertenecientes al conjunto, por lo que x =1 no es interior

a A. El 1’2 sí es interior, ya que para un radio r = 0’1, por ejemplo, se tiene que B0’1(1’2) A:

B0’1(1’2)=(1’2-0’1, 1’2+0’1)=(1’1,1’3)  (1,2 .

El punto x =2 no es interior, no existe ningún entorno de puntos próximos a 2 que esté formado exclusivamente por puntos del conjunto A. Esto se justifica porque toda bola abierta centrada en x =2 va a contener puntos mayores que 2 (se encuentran a la derecha del 2), y por tanto no pertenecientes al conjunto A:

Br(2)=  x R/  x-2 < r =(2-r, 2+r)  (1, 2 .

El conjunto A no es abierto, pues no todos sus puntos son interiores, el punto x=2 no es interior y pertenece al conjunto. Punto exterior Un punto x Rn se dice que es exterior al conjunto A si existe una bola abierta (entorno abierto) centrada(o) en dicho punto que no contenga puntos del conjunto A. Es decir, es exterior a A si es interior al complementario de A, AC= Rn-A , téngase en cuenta que A AC=Rn, A AC=   . Suficientemente próximos a un punto exterior de un conjunto sólo se encontrarán puntos no pertenecientes a dicho conjunto. Exterior de un conjunto El exterior de un conjunto A es el conjunto de puntos exteriores de A, y se representa con Ext(A).

Ejemplo: El punto x=0 es exterior al conjunto A=(1,2 , pues para r = 0’5 se tiene que:

B0’5(0) A=    (-0’5,0’5)  (1,2 =   .

El punto x =1 no exterior al conjunto A, pues no es interior al complementario de A, es decir, no existe ninguna bola abierta centrada en el punto x =1 que no contenga puntos del conjunto A. En todo entorno centrado en x =1 se encuentra números x >1 (a la derecha de 1) que pertenecen a A.

Br(1)=(1- r, 1 + r)  A = (1, 1+r)     .

Por tanto el punto x =1 no es exterior al conjunto A, ni tampoco interior como se ha visto antes. Tampoco lo es el punto x =2. Estos puntos que no son ni interiores ni exteriores a un conjunto son los puntos frontera del conjunto. El exterior de A es

Ext(A) = (-  , 1)  (2, +  ).

Punto frontera

Un punto x Rn se dice que es frontera del conjunto A si toda bola (entorno) centrada(o) en dicho punto contiene puntos del conjunto A y puntos que no pertenecen al conjunto A, es decir, que pertenecen a su complementario. Otra manera de definir un punto frontera de un conjunto A es aquél punto que no es ni exterior ni interior al conjunto A. x Rn es punto frontera de A si y sólo si

Br(x) A    , Br(x) AC     ,  r > 0.

Así pues, siempre próximos a un punto frontera de un conjunto donde esté definida una función se encuentran puntos de ese mismo conjunto y puntos que no pertenecen a dicho conjunto. Esto hace que el estudio de las propiedades de continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones en un punto sea diferente en un punto interior que en un punto frontera de uno de los conjuntos cuya unión resulte en el dominio de la función. Frontera de un conjunto Al conjunto de los puntos frontera de A se le llama frontera de A y se designa por Fr(A). Nótese que con relación a un conjunto A todos los puntos de R n entran en alguna de las tres categorías de puntos: interiores, frontera o exteriores de A. Así, se puede expresar

Rn = Int(A) Fr(A)  Ext(A).

Ejemplo:

Los puntos frontera de A=(1,2 son sólo dos:

Fr(A) =  1,2 = x R/x = 1   x R/ x = 2 .

Como puede verse los puntos frontera se caracterizan por cumplir, al menos, una restricción en términos de igualdad, es decir, el conjunto frontera, o cada uno de los subconjuntos cuya unión constituye la frontera, debe poder caracterizarse con una ecuación, al menos.