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ÁLGEBRA I – MAT 100. Formulario 1

Álgebra I 1. 2. 3. 4.

Contenido: Álgebra de Boole Teoría de Conjuntos Relaciones Binarias Funciones.

1. Lógica y

MAT – 100

3. Tabla de Verdad. Si: 2𝑛 = # Combinaciones 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡, … , 𝑧 ⏟ 𝑛 Proposiciones

4. Propiedades Lógicas. (Leyes Lógicas) 1) Ley de Idempotencia. 𝑝∨𝑝=𝑝 ; 𝑝∧𝑝 =𝑝 2) Ley Asociativa. 12 p. por: J. Jaime Apaza M. (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 = 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 = 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) Álgebra de Boole

1. Lógica. 3) Ley de Identidad. Parte de la matemática que estudia a las 𝑝∨𝐹 =𝑝 ; 𝑝∧𝑉 =𝑝 proposiciones. Analiza si una proposición es 4) Ley de Negación. falsa o verdadera. El Algebra de Boole ~(~𝑝) = 𝑝 constituye un sistema centrado en el 1 y 0. 𝑝 ∨ ~𝑝 = 𝑉 ; 𝑝 ∧ ~𝑝 = 𝐹 2. Conectivos Lógicos. 1.Conjunción (∧) (𝑦) (Serie). 5) Ley Conmutativa Ambos deben p q p∧q 𝑝∨𝑞 = 𝑞∨𝑝 ; 𝑝∧𝑞 = 𝑞∧𝑝 ser verdad V V V para que sea V F F 6) Ley Distributiva. verdadera. F V F 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) F F F 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) 2.Disyunción Inclusiva (∨) (𝑜) (Paralelo). Basta que una p q p∨q 7) Ley de Absorción de ellas sea V V V 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) = 𝑝 verdadera 𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑝 V F V para que sea 𝑝∨𝑉 =𝑉 ; 𝑝∧𝐹 =𝐹 F V V verdadera. F F F 8) Ley de De Morgan. 3.Implicación (→) (entonces) ~(𝑝 ∧ 𝑞) = ~𝑝 ∨ ~𝑞 El antecedente p q p→q ~(𝑝 ∨ 𝑞) = ~𝑝 ∧ ~𝑞 es verdadero y V V V el consecuente V F F 9) Implicación. es falso F V V 𝑝 → 𝑞 = ~𝑝 ∨ 𝑞 entonces es F. F F V 10) Doble Implicación. (∧) 4.Doble implicación (↔) (si solo si) 𝑝 ↔ 𝑞 = (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝) Si las p q p↔q 𝑝 ↔ 𝑞 = (~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝) proposiciones V V V 11) Disyunción Exclusiva. son iguales es V F F 𝑝 ⊻ 𝑞 = ~(𝑝 ↔ 𝑞) verdadera. F V F 𝑝 ⊻ 𝑞 = (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝) F F V * Negación Alternativa. 5.Disyunción Exclusiva (⊻) (ó) 𝑝/𝑞 = ~𝑝 ∨ ~𝑞 Si las p q p⊻q Analogías. ∧≡× ; ∨≡ + ; 𝑉 ≡ 1 ; 𝐹 ≡ 0 proposiciones V V F son iguales es V F V 5. Circuitos Lógicos. falsa. AND ∧ (∙) Serie. F V V p q Operación p∧q p∙q F F F V V V 1 6.Negación:(~) (𝑛𝑜) 1∙1 =1 p ~p Contradice a la V F F 0 1∙0 =0 V F proposición. F V F 0 0∙1 =0 F V F F F 0 7.Conjunción Negativa o Binegación 0∙0 =0 () (Ni … Ni … ) p q pq Si las OR ∨ (+) Paralelo. V V F proposiciones son p q Operación p∨q p+q V F F falsas es V V V 1 1+1 =1 F V F verdadera. V F F 1 1+0 =1 F F V F V F 1 0+1 =1 8.Negación Alternativa o Anticonjunción F F F 0 0+0 =0 ( /) (no es cierto que … y … ) Si las p q p/q Convenciones para probar: proposiciones V V F  Si p es V hay paso de corriente. son V F V p = 1 p es V; Estado V. verdaderas es F V V  Si p es F no hay paso de corriente. falsa. F F V ~p = 0 ~p es F; Estado F.

6. Álgebra de Boole. Propiedades. 1) Ley de Idempotencia. 𝑥+𝑥 =𝑥 ; 𝑥∙𝑥 =𝑥 2) Ley Asociativa. (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) (𝑥∙𝑦)∙𝑧 = 𝑥∙(𝑦∙𝑧) 3) Ley de Identidad. 𝑥+0=𝑥 ; 𝑥∙1=𝑥 4) Ley de Negación. 𝑥=𝑥 𝑥+𝑥 =1 ; 𝑥∙𝑥 =0 5) Ley Conmutativa 𝑥+𝑦=𝑦+𝑥

;

𝑥∙𝑦 =𝑦∙𝑥

6) Ley Distributiva. 𝑥 + ( 𝑦 ∙ 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑧) 𝑥 ∙ ( 𝑦 + 𝑧 ) = (𝑥 ∙ 𝑦) + (𝑥 ∙ 𝑧) 7) Ley de Absorción. 𝑥 + (𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑥 𝑥 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 𝑥+1=1 ; 𝑥∙0 =0 8) Ley de De Morgan. 𝑥+𝑦 =𝑥∙𝑦 𝑥∙𝑦=𝑥+𝑦 Analogías. ∧≡× ; ∨≡ + ; 𝑉 ≡ 1 ; 𝐹 ≡ 0 7. Funciones Booleanas. (Compuertas Lógicas) 𝑥 𝑦 Función (+) 0 0 OR (paralelo) 0 1 1 0 1 1

Función (∙) AND (serie)

𝑥 0 0 1 1

𝑥+𝑦 0 1 1 1

𝑦 0 1 0 1

Función NOT

𝑥∙𝑦 0 0 0 1

𝑥 1 0

𝑥 0 1

Función NOR (NOT + OR)

𝑥 0 0 1 1

𝑦 0 1 0 1

𝑥+𝑦 1 0 0 0

Función NAND (NOT + AND)

𝑥 0 0 1 1

𝑦 0 1 0 1

𝑥∙𝑦 1 1 1 0

Función EXOR (OrExcluyente)

𝑥 0 0 1 1

𝑦 0 1 0 1

𝑥⊕𝑦 0 1 1 0

𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦

© 26.02.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 1.

ÁLGEBRA I – MAT 100.

8.

Simbología: Digital, Logo y Ladder

9. Mapas de Karnaugh. Ejemplo: Encontrar una representación como suma minimal de productos para la función booleana: 𝑓 = ∑𝑚 = ( 0 ,1 ,3 ,4 ,7 )

6. Ley de Conjunción (LC) 𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 7. Ley de Adición (LA) 𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 8. Ley del Dilema Constructivo (DL) 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 → 𝑟 𝑞 → 𝑠 𝑟 ∨ 𝑠 9. Ley de la Doble Negación (DN) ~(~𝑝) 𝑝 10. Ley de De Morgan (LM) ~𝑝 ∧ ~𝑞 ~𝑝 ∨ ~𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ~( ) ~(𝑝 ∧ 𝑞 ) 11. Leyes Conmutativas (LCM) 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑞 ∧ 𝑝 𝑞 ∨ 𝑝 12. Ley de Simplificación Disyuntiva (SPD) 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 Otra notación para las leyes anteriores: Ley de Modus Ponendo Ponens (PP) 𝑝 → 𝑞 , 𝑝 |~𝑞

𝑓 = 𝑥 𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 Solución: el correspondiente Mapa de Karnaugh es: 𝑦𝑧 𝑦𝑧 𝑦𝑧 𝑦𝑧 𝑦𝑧 2. Teoría de Conjuntos. 00 01 11 10 𝑥𝑧 1. Conjunto. 1 1 1 0 Es una colección, reunión o agrupación de 𝑥 0 0 1 3 2 objetos cualesquiera llamado elementos. 2. Determinación de Conjuntos. 1 0 1 0 𝑥 1 Por Comprensión: 4 5 7 6 𝐴 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑍 , 1 ≤𝑥 ≤ 9} Por lo tanto, como suma minimal de Por Extensión: productos: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 𝐴 = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 } Los grupos (agrupaciones de 1) a formar 3. Conjuntos Especiales. máximo:  Conjunto Finito: 2𝑛 = 1 , 2 , 4 , … con 𝑛 = 0 , 1 , 2 , 4 , … 𝐴 = {𝑥/𝑥 es Un dígito impar } En las combinaciones 00 01 11 10 no pueden 𝐴 = { 1 ,3 ,5 ,7 ,9 } cambiar los 2 digitos al mismo tiempo.  Conjunto Infinito: 10. Reglas de Inferencia. 𝐴 = {𝑥/𝑥 es Un número par } 1. Ley de Modus Ponendo Ponens (PP) 𝐴 = { 0 ,2 ,4 ,6 ,… } 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 ∨ 𝑞  Conjunto Universo: 𝑼 𝑝 ( 𝑝 ) Conjunto de referencia. 𝑞  Conjunto Vacio: ∅ 𝑞 2. Ley de Modus Tollendo Tollens (TT) Carece de de elementos. 𝑝 → 𝑞 ~𝑝 ∨ 𝑞  Sub Conjunto: ~𝑞 Si todos los elementos de A ( ~𝑞 ) pertenecen a B. ~𝑝 ~𝑝 𝐴 ⊂ 𝐵 = A es un subconjunto de B. 3. Leyes de Modus Tollendo Ponens (TP) 𝐴 ⊂ 𝐵 = A esta incluido en B. 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞  Complemento de un Conjunto 𝑨𝒄 . ~𝑝 ~𝑞 𝐴𝑐 formado por elementos que no 𝑞 𝑝 pertenecen a A. 4. Ley de Silogismo Hipotético (SH)  Conjunto Potencia. 𝑝 → 𝑞 Si: 2𝑛 = # Subconjuntos 𝑞 → 𝑟 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … , 𝑧 ⏟ 𝑝 → 𝑟 5. Ley de Simplificacion (LS) 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝

𝑞

𝑛 Elementos

Ejemplo: 𝑁 = {1 , 2} 𝑃(𝑁) = 22 = 4 𝑃(𝑁) = {1 , 2 , (1 , 2) , ∅} 4 elementos

4. Número de Elementos (Cardinalidad) 1) 𝑛(𝐴∪𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴∩𝐵) 2) 𝑛(𝐴∪𝐵∪𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − −𝑛(𝐴∩𝐵) − 𝑛(𝐴∩𝐶) − 𝑛(𝐵∩𝐶) + 𝑛(𝐴∩𝐵∩𝐶) 3) 𝑛(𝐴−𝐵) = 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐴∩𝐵) 5. Operaciones con Conjuntos. Unión 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} Intersección 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} Inclusión 𝐴 ⊂ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵} Complemento (𝐴𝑐 )𝑐 = 𝐴 𝐴𝑐 = {𝑥/𝑥 ∉ 𝐴 } 𝐴𝑐 = 𝑈 − 𝐴 Diferencia 𝐴 − 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 } Diferencia Simétrica 𝐴 △ 𝐵 = {𝑥/ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} Conjunto Potencia Si: 2𝑛 = # Subconjuntos ⏟ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … , 𝑧 𝑛 Elementos

6. Propiedades de Conjuntos. (Leyes de Conjuntos) 1) Ley de Idempotencia. 𝐴∪𝐴 = 𝐴 ; 𝐴∩𝐴 = 𝐴 2) Ley Asociativa. (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) 3) Ley de Identidad. 𝐴∪∅ = 𝐴 ; 𝐴∩𝑈 = 𝐴 4) Ley del Complemento. (𝐴𝐶 )𝐶 = 𝐴 𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = 𝑈 ; 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = ∅ 𝑈 𝐶 = ∅ ; ∅𝐶 = 𝑈 5) Ley Conmutativa 𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴 ;

𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴

6) Ley Distributiva. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 7) Ley de Absorción 𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 𝐴∪𝑈 =𝑈 ; 𝐴∩∅=∅ 8) Ley de De Morgan. (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶 9) Diferencia. 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 10) Diferencia Simetrica. 𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴) 𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐵 ∩ 𝐴) 11) Complementarios. 𝑈 𝐶 = ∅ ;

∅𝐶 = 𝑈

Analogías. ∩≡× ; ∪≡ + ; 𝑈 ≡ 1 ; ∅ ≡ 0 © 26.02.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 2.

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7. Propiedades de la Diferencia. 𝐴 − 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 } 1) 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 2) 𝐴 − 𝐴 = ∅ 3) 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴 4) 𝐴 − 𝐴𝐶 = 𝐴 5) 𝐴 − ∅ = 𝐴 6) 𝐴 − 𝑈 = ∅ 8. Propiedades de Diferencia Simétrica. 𝐴 △ 𝐵 = {𝑥/ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} 1) 𝐴 △ 𝐴 = ∅ 2) 𝐴 △ 𝐵 = 𝐵 △ 𝐴 3) 𝐴 △ 𝐴𝐶 = 𝑈 4) 𝐴 △ ∅ = 𝐴 5) 𝐴 △ 𝑈 = 𝐴𝐶 (𝐴 △ 𝐵) △ 𝐶 = 𝐴 △ (𝐵 △ 𝐶) (𝐴 ∪ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∪ (𝐵 × 𝐶)

mediante regla o una función proporcional 2) Simétrica: nos permite establecer pares ordenados. Es ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 existe un (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅. (para Una relación se da entre dos elementos y un todos los pares) conectivo. ∀𝑥, ∀𝑦 ∈ 𝐴: ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 ∀(𝑥, 𝑦): 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑥 𝑅 𝑦 ≡ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 } Ejm: sea 𝐴 = {1,2,3,4} la relación será: 𝑅 es el conjunto d los pares ordenados. 𝑅 = {(1,2), (1,1) , (2,3), (2,1), (3,2)} ⏟ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵/ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 (1,1)

No Simétrico: Es para algún par (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 no existe un (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅. ∃𝑥, ∃𝑦 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅 ∃(𝑥, 𝑦): 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 Ej: 𝑅 = {(1,2), (1,1) , (𝟐, } ⏟ ⏟ 𝟑) , (2,1), (3,3) ⏟

𝑅 es una correspondencia entre los elementos del conjunto 𝐴 con los elementos del conjunto 𝐵. es decir: 𝑥 𝑅 𝑦 Observaciones: 𝑅 ⊂ (𝐴 × 𝐵) Dominio El dominio de una relación es el primer (1,1) ? (3,3) elemento del par ordenado (𝑥, 𝑦). Asimétrico: 𝐷𝑅 = { 𝑥 ∈ 𝐴 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 } Es ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 no existe un (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅. Imagen La imagen de una relación es el segundo ∀𝑥, ∀𝑦: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅 elemento del par ordenado (𝑥, 𝑦). ∀(𝑥, 𝑦): 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 𝐼𝑅 = { 𝑦 ∈ 𝐵 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 } 9. Concepto de Pertenencia e Inclusión Ejm: 𝑅 = {(1,2), (3,2), (2,4)} 3. Relación Inversa. Pertenencia ∈ : ∀ ninguno tiene que tener su simétrico. Sea el par ordenado (𝑥, 𝑦) donde (𝑦, 𝑥) sera la Para expresar que un elemento pertenece a un relación inversa. conjunto. 3) Transitiva: 𝑅−1 = { (𝑦, 𝑥) / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 } Inclusión de Conjuntos ⊂ : ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴: Hay un par ordenado (𝑦, 𝑥) siempre que Se dice que A esta incluido en B, o que A es (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅. sub conjunto de B, si todos los elementos del Ejm: 𝑅 = {(1,2), (1,4), (2,4), (1,1) } ⏟ conjunto A pertenecen al conjunto B. (1,1) 4. Cuantificadores. No Transitiva: Cuantificador Existencial.- ∃𝑥 ∶ 𝑝(𝑥) 10. Conjunto de Partes. 3 ∃𝑥, 𝑦, 𝑧 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∉ 𝑅 Significa que hay al menos un elemento 𝑎 Ejemplo: 𝐴 = {𝑎 , 𝑏 , 𝑐} 𝑃(𝐴) = 2 = 8 Ejm: 𝑅 = {(2,4), (3,2), (4,1), (1,1) } que pertenece al universo. ⏟ 𝑃(𝐴) = {{𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑏, 𝑐}, 𝐴, ∅ } (1,1) Cuantificador Universal.- ∀𝑥 ∶ 𝑝(𝑥) 8 elementos 2𝑅4 ∧ 4𝑅1 pero 2𝑅1 ; 3𝑅2 ∧ 2𝑅4 pero 3𝑅4 Significa que todos los elementos 𝑥 de U V 𝑎∈𝐴 {{𝑎}} ⊂ 𝑃(𝐴) V Atransitiva: hacen que 𝑝(𝑥) sea verdadera. {𝑎} ∈ 𝐴 {𝑎} ∈ 𝑃(𝐴) V F ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧: {𝑎} ⊂ 𝑃(𝐴) F F 𝑎⊂𝐴 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∉ 𝑅 5. Relación de Igualdad. {𝑎} ⊂ 𝐴 {𝑎, 𝑏} ∈ 𝑃(𝐴) V V Toda relación en la que se pueden sustituir Ejm: 𝑅 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,2)} Ninguno cosas entre sí sin alterar el significado propio 4) Antisimétrica: F ∅∈𝐴 ∅ ⊂ 𝑃(𝐴) V de esa relación. Propiedades: Si todo par (𝑥, 𝑦) y su traspuesta (𝑦, 𝑥) V ∅⊂𝐴 ∅ ∈ 𝑃(𝐴) V Reflexiva: 𝑎 = 𝑎 pertenecen a la relación entonces 𝑥 = 𝑦. F 𝐴∈𝐴 𝐴 ∈ 𝑃(𝐴) V Simétrica: 𝑎=𝑏 → 𝑏=𝑎 (𝑥 = 2) ∀ 𝑥, ∀ 𝑦,: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 → 𝑥 = 𝑦 V 𝐴⊂𝐴 𝐴 ⊂ 𝑃(𝐴) F Transitiva: 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑐 → 𝑎 = 𝑐 Ejm: 𝑅 = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1)} {∅} ⊂ 𝑃(𝐴) V F 0∈∅ 𝑥=2 ∧ 2=𝑦 →𝑥=𝑦 1𝑅2 ∧ 2𝑅1 → 1 = 2, es V. Idem (3,4), (4,1) {𝑐} ⊂ 𝑃(𝐴) F V 𝑎 ∈ 𝑃(𝐴) 6. Propiedades de Relaciones. 7. Relaciones de Equivalencia. 1. Reflexiva: 𝑥 𝑅 𝑥 1) Reflexiva: ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 3. Relaciones. Una 𝑅 es reflexiva si dado un 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 2. Simétrico: 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 (Conceptos previos) este 𝑥 este relacionado consigo mismo. ∀𝑥, ∀𝑦 ∈ 𝐴: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 1. Par Ordenado. ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅 𝑥∈𝐴→𝑥𝑅𝑥 3. Transitiva: 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 → 𝑥 𝑅 𝑧 Un par ordenado costa de dos elementos ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴: Ejm: sea 𝐴 = {1,2,3,4} la relación será: ( 𝑥, 𝑦 ) donde 𝑥 es el 1er elemento (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅 (2,2), (3,3), (4,4), (2,3)} 𝑅 = {(1,1), (componente), 𝑦 es el 2do elemento. Clases de Equivalencia. Producto Cartesiano. Sea ≈ una relación de equivalencia. La clase No Reflexiva: 𝐴 × 𝐵 es el conjunto de todos los pares de equivalencia de 𝑎 (que contiene a 𝑎) se Una 𝑅 es no reflexiva si dado un 𝑥 ∈ 𝐴 tal ordenados entre dos conjuntos 𝐴 y 𝐵. define como el conjunto de todos los 𝑥 de A que este 𝑥 no este relacionado consigo mismo. 𝐴 × 𝐵 = { (𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 } tales que sean equivalentes al 𝑎. (𝑥, ∃𝑥 / 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥) ∉ 𝑅 ∃𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥R𝑥 Propiedades: 𝐾𝑎 = {𝑥 ∈ 𝐴⁄ 𝑥𝑅𝑎} / 𝑎 ≡ 𝑥 (2,2), (3,3), (𝟑, Ej: 𝑅 = {(1,1), 𝟒) } (4,4) ∉ 𝑅 1. 𝐴 × 𝐵 tiene 𝑛 × 𝑚 elementos. ⏟ Conjunto Cociente: ? 2. 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 Areflexiva: 𝑅 𝑅 2. Concepto de Relación. = {𝐾𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐼 } = {𝐾1 , 𝐾2 , … } Una 𝑅 es areflexiva si dado un 𝑥 ∈ 𝐴 tal que Propiedad de los elementos de un conjunto ≡ ≡ este 𝑥 no esta relacionado consigo mismo. que quedan sujetos a un vínculo o propiedad Conjunto Índice: ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥, 𝑥) ∉ 𝑅 𝑥∀; 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥R𝑥 determinada. Es el conjunto formado por los representantes Una relación es un subconjunto o igual al Ejm: 𝑅 = {(1,2), (3,4), (1,3)} de cada clase de equivalencia producto cartesiano de 𝐴 × 𝐵, de la que ∀ ninguno tiene que ser par (1,1), (2,2), … 𝐼 = {𝑎 ∈ 𝐴/ 𝐾𝑎 es 𝑅 de equivalencia en A} © 26.02.18, Jabier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 3.

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8. Relaciones de Orden. 2. Tipos de Funciones 5. Composición de Funciones. 1.Relación de Orden Amplio.(rel. d orden) La composición de las dos funciones Función Inyectiva. A un elemento del Dominio, “le corresponde 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 y 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 es una nueva  Reflexiva. solo uno de la Imagen”. No afecta el que función 𝑔 ⃘ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐶 denotada por:  Antisimétrica. algún elemento de la Imagen no participe. ( 𝑔 ⃘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))  Transitiva. 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 𝑆𝑖: 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2 2.Relación de Orden Parcial y Total. Se lee: “ 𝑓 compuesta con 𝑔 de 𝑥 ” No Inyectiva, si algún elemento de la Imagen, Si R es una relación de orden amplio ( ℎ ⃘ 𝑔 ⃘ 𝑓 )(𝑥) = ℎ es correspondencia de varios elementos del definido en un conjunto A. (𝑔(𝑓 ) ) (𝑥) Dominio. 1) 𝑎 ≠ 𝑏 → (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ∨ (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅 Propiedades 2) ∃𝑎, ∃𝑏/(𝑎, 𝑏) ∉ 𝑅 ∧ (𝑏, 𝑎) ∉ 𝑅 1. 𝑔 ⃘ 𝑓 ≠ 𝑓 ⃘ 𝑔 Función Sobreyectiva. 3. Relación de Orden Estricto (Total) Si es: 2. ( 𝑔 ⃘ 𝑓 ) ⃘ ℎ = 𝑔 ⃘ ( 𝑓 ⃘ ℎ ) Participan todos los elementos de la Imagen. Areflexiva Si ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 𝑅 𝑥 3. ( 𝑔 + 𝑓 ) ⃘ ℎ = 𝑔 ⃘ ℎ + 𝑓 ⃘ ℎ No afecta el que algún elemento de la Imagen, Asimétrica Si ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅: 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥 4. ( 𝑔 ∗ 𝑓 ) ⃘ ℎ = ( 𝑔 ⃘ ℎ ) ∗ ( 𝑓 ⃘ ℎ ) sea correspondencia de varios elementos del Transitiva ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴: 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑥𝑅𝑧 Dominio. No Sobreyectiva, si algún elemento de la 6. Función Inversa. Relación de Orden: (otros autores) refl. 2 ≤ 2 Sea el par ordenado (𝑥, 𝑦) donde (𝑦, 𝑥) sera la Imagen no participa. Antisimétrica: 𝑎𝑅𝑏 → 𝑏𝑅𝑎 𝑎 < 𝑏 → 𝑏 < 𝑎 Función Inversa. ∀𝑦 ∈ 𝑅𝑓 , ∃𝑥 ∈ 𝐷𝑓 / 𝑦 = 𝑓(𝑥) Transitiva: 𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑏𝑅𝑐 → 𝑎𝑅𝑐 𝑓 −1 = { (𝑦, 𝑥) / 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 } Función Biyectiva. 𝑎 0 |𝑥| = { 𝑥 1. Intersección con el Eje 𝑥: hacer 𝑦 = 0 Una función es un conjunto de pares −𝑥 Si: 𝑥 < 0 2. Intersección con el Eje 𝑦: hacer 𝑥 = 0 ordenados de elementos tales que ningunos Propiedades: |𝑥|2 = 𝑥 2 √𝑥 2 = |𝑥| = ±𝑥 3. Simetría con el Eje 𝑥: hacer 𝑦 = −𝑦 dos pares distintos tienen el mismo primer Traslación de graficas de valor absoluto: elemento. 4. Simetría con el Eje 𝑦: hacer 𝑥 = −𝑥 𝑦 − ℎ = |𝑥 − 𝑘| 𝑉(ℎ, 𝑘) Dados dos conjuntos A y B y una relación R 5. Simetría con el Origen: 9. Función Signo. en 𝐴 × 𝐵, R es una función si para todo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(−𝑥, −𝑦) 𝑥0 1 llegada. Esto se expresa: potencia decreciente de "𝑥" (variable) 𝐷𝑓 =] − ∞, ∞[ ; 𝐷𝑓 = [−1 , 0 , 1 ] 𝑓∶ 𝐴→𝐵 𝑓 es una función de 𝐴 en 𝐵 luego igualar a cero el coeficiente de mayor 10. Función Parte Entera. Dominio. potencia de "𝑥" Es aquella función definida por: El dominio de una función es el primer 7. Asíntotas Verticales: 𝑦 = ℎ 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ ; si: 𝑦≤𝑥