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Perímetro del triangulo

Triángulo

Triángulo Triángulo Escaleno

Equilátero

Isósceles

Área del triángulo Conociendo la base y la altura

Conociendo dos lados y el ángulo que forman.

Circunferencia circunscrita a un

Circunferencia inscrita en un triángulo

triángulo

,semiperimetro

Fórmula de Herón.

Ángulos de un triángulo La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

Teoremas

De la

Del cateto

altura

De pitagoras Semejanza de triángulos

Criterios de semejanza de triángulos

1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Criterios de semejanza de triángulos rectángulos

1Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

2Dos

triángulos

rectángulos

son

semejantes

si

tienen

los

dos

catetos

proporcionales.

3Los triángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

F ó r mu l a s d e l a c i r c u n f e r en c i a

. L o n g i tu d e s

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

2. Á r e a s

Área del círculo

Área del sector circular

Área de la corona circular

Área del trapecio circular

Área del segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Área de la lúnula

3. Á n g u l o s en l a c i r c u n f e r e n c i a Interior Central

Exterior Inscrito

Semiin scrito

F ó r mu l a s d e p e r í m e t r o s y á r e a s Definción de triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Un triángulo está determinado por:

1. Tres segmentos de recta que se denominan lados.

2. Tres puntos no alineados que se llaman vértices.

Los vértices se escriben con letras mayúsculas.

Los lados se escriben en minúscula, con la mismas letras de los vértices opuestos.

Los ángulos se escriben igual que los

vértices.

P r o p i e d a d e s d e l o s t r i á n gu l o s 1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

4En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

T r i á n gu l o s i g u a l e s 1Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.

2Dos

triángulos

son

iguales

cuando

tienen

dos

lados

iguales

y

el

ángulo

comprendido.

3Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.

C l a s e s d e t r i án g u l o s s e gú n s u s la d o s

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

C la s e s d e t r iá n g u l o s s e g ú n s u s á n g u lo s Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo isósceles

Dos lados iguales. Triángulo rectángulo Triángulo escaleno

Un El

Tres lados desiguales

ángulo lado

recto

mayor

es

la

hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

P e r ím e t r o d e u n t r ia n g u lo

Triángulo obtusángulo

Un

ángulo

obtuso.

Triángulo

Triángulo Triángulo Escaleno

Equilátero

Isósceles

Área de un triángulo

Área de un triángulo rectángulo

El

área

de

catetos

un triángulo rectángulo es igual al producto de los partido por 2.

Semiperímetro

El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de

sus

lados

partido por 2.

Se denota con la letra p.

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

P = 2 · (a + b) A = b · h

Trapecio

Polígono

A = T

1

+ T

2

+ T

3

+ T

Polígono regular

T a b l a d e á r e a s y v o l ú m e n es Tetraedro

Icosaedro

Octaedro

Dodecaedro

4

Cubo

Prisma

Tronco de pirámide

Ortoedro

Pirámide

Cilindro

Cono

Tronco de cono

Esfera

Área y volumen del casquete esférico

Área del huso esférico y volumen de la cuña esférica

Área y volumen de la zona esférica

Teorema de Thales Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Lado de un cuadrado inscrito

Diagonal del rectángulo

El teorema de Thales en un triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C' , cuyos sus lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Lado oblicuo del trapecio rectángulo

Altura del trapecio isósceles

Aplicaciones del teorema de Pitagoras

Apotema de un polígono regular

Altura del triángulo equilátero

Lado de un triángulo equilátero inscrito

Apotema del hexágono inscrito

Diagonal del cuadrado

G e o m e tr í a a n a l í t i c a p l a n a Vectores Coordenadas de un vector

Expresión analítica del producto escalar

Módulo

Expresión analítica del módulo de un vecto

Expresión analítica del ángulo de dos vecto

Vector unitario

Expresión analítica de la ortogonalidad de

Proyección Suma

Resta

Producto de un vector por un escalar

Producto escalar de vectores

Combinación lineal de vectores

Sistema de referencia

Puntos alineados

Distancia entre dos puntos

Coordenadas del punto medio

Coordenadas del baricentro

Simétrico de un punto

Ecuaciones de la recta

Vectorial División de un segmento

Continua

Paralelas al eje OY

Pendiente Rectas paralelas

Punto-pendiente

General

Rectas perpendiculares

Posiciones relativas Secantes

Explícita

Paralelas

Canónica o segmentaria Coincidentes

Que pasa por dos puntos Ángulo que forman dos rectas

Paralelas al eje OX

Distancia de un punto a una recta

Ecuaciones de las bisectrices Excentricidad

Ecuación de la mediatriz

Cónicas

Ecuación reducida

De eje vertical

Ecuación de la circunferencia De eje horizontal y centro distinto al origen

De eje vertical y centro distinto al origen

Ecuación de la hipérbola

Ecuación reducida

Ecuación de la elipse

Excentricidad Ecuación de la parábola Asíntotas

Ecuación reducida F'(-c,0) y F(c,0)

De eje vertical

Ecuación reducida de la parábola

F'(0, -c) y F(0, c)

De ejes el de abscisas y de vértice (0, 0)

De eje horizontal y centro distinto al origen

De ejes el de ordenadas y de vértice Donde A y B tienen signos opuestos .(0, 0) De eje vertical y centro distinto al origen

Hipérbola equilátera

Asíntotas ,

Paralela a OX y vértice distinto al origen

Excentricidad Paralela a OY, y vértice distinto

Referida a sus asíntotas

al origen

G e o m e tr í a e n e l e s p a c i o Vectores en el espacio

Componentes de un vector en el

espacio

Módulo de un vector Vectores linealmente independientes

Distancia entre dos puntos Producto escalar

Vector unitario

Expresión analítica del módulo de un vector

Suma de vectores

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Producto de un número real por un vector Vectores ortogonales

Vectores linealmente dependientes

Proyección

Área de un triángulo

Cosenos directores

Producto mixto

Producto vectorial

Volumen del paralelepípedo

Área del paralelogramo

Volumen de un tetraedro

Puntos

Coordenadas del punto medio de un

segmento

Ecuaciones paramétricas de

la recta Coordenadas del baricentro de un

Ecuaciones continuas de la recta

triángulo

Ecuaciones implícitas de la recta

Puntos alineados Tres o más puntos esán alineados si

El plano

Están en una misma recta , y por tanto el rango de los vectores determinados por

Ecuación vectorial del plano

ellos es 1.

Puntos coplanarios Dos o más vectores son coplanarios si Ecuaciones paramétricas del plano son linealmente dependientes , y por tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2. Dos o más puntos son coplanarios, si los v e c t o r e s d e t e r m i n a d o s p o r e l l o s t a m b i é n s o nE c u a c i ó n g e n e r a l o i m p l í c i t a d e l p l a n o coplanarios.

Rectas en el espacio

Ecuación vectorial de la recta

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Si la recta r y el plano π son

perpendiculares, el vector director de la recta

y el vector normal del plano tienen la misma Ángulos

dirección y, por tanto, sus componentes Ángulo entre dos rectas son proporcionales.

Dos rectas son perpendiculares si Distancias vectores directores son ortogonales. Distancia entre un punto y una recta Ángulo entre dos planos

Dos planos son perpendiculares si vectores

directores son ortogonales.

Ángulo entre recta y plano Distancia entre rectas paralelas

Distancia entre rectas que se cruzan

Sean

y

las determinacion de las rectas r y s.

Distancia de un punto a un plano

Distancia entre planos paralelos

Dominio de una función D = {x

/

f (x)}

Dominio de la función polinómica D =

Dominio de la función racional El dominio es

menos los valores que anulan al denominador .

Dominio de la función radical de índice impar D =

Dominio de la función radical de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial D =

Dominio de la función seno D =

.

Dominio de la función coseno D =

.

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Composición de funciones Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. f o i = i o f = f

F u n c i ó n i n v e rs a o r e c í p r o c a Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. f o f

-1

= f

-1

o f = x

Cálculo de la función inversa

1Se escribe la ecuación de la función en x e y. 3Se intercambian las variables.

2Se despeja la variable x en función de la variable y. Función creciente f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Función decreciente f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Función acotada superiormente Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior.

Función acotada inferiormente Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′ . El número k′ se llama cota inferior.

Función acotada Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente. k′ ≤ f(x) ≤ k

Máximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual

que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Simetría respecto del eje de ordenadas

f(-x) = f(x)

Simetría respecto al origen f(-x) = -f(x)

Funciones periódicas Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica: f(x) = f(x + z T)

Si f es periódica de período T, también lo es f(mx +n), y su período es:

Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con el eje OX Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos f(x) = 0 y resolvemos la ecuación resultante. Punto de corte con el ejes OY Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas calculamos el valor de f(0).

Asíntotas Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Ramas parabólicas Hay ramas parabólicas si:

hacemos

x = 0 y

Rama parabólica en la dirección del eje OY

Rama parabólica en la dirección del eje OX

Formulas de Trigonometría Razones trigonométricas Seno

Coseno

Tangente

Cosecante

Secante

Cotangente

Relaciones entre las razones trigonométricas de dos ángulos

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos que difieren en 180°

Ángulos opuestos

Ángulos negativos

Mayores de 360º

Ángulos que difieren en 90º

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que suman en 270º

Ángulos que difieren en 270º

Identidades trigonométricas sen² α + cos² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α Suma de ángulos

Diferencia de ángulos

Ángulo doble

Ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de productos en sumas

Teorema de los senos

Teorema del coseno

Teorema de las tangentes

Probabilidad Ley de Laplace

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles A p(A

B = B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles A p(A

B ≠ B) = p(A) + p(B) − p(A

B)

Probabilidad condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes p(A

B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes p(A

B) = p(A) · p(B/A)

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Teorema de la probabilidad total

p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An ) Teorema de Bayes

0 ≤ p(A) ≤ 1 p(E) = 1

Fórmulas de Álgebra Monomios axn + bxn = (a + b)bxn axn − bxn = (a − b)bxn axn · bxm = (a · b)bxn

+m

axn : bxm = (a : b)bxn

− m

(axn)m = amxn

· m

Productos notables Binomios al cuadrado (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 Binomios al cubo (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

Binomio de Newton

Diferencia de cuadrados a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2) Diferencia cuarta a4 − b4 = (a + b) · (a − b) · (a2 + b2) Trinomio al cuadrado (a + b + c)2 = a2 + b2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

Cocientes notables

Factorización

Factor común a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Doble extracción de factor común x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b) Trinomio de segundo grado a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Ecuaciones

Ecuación de segundo grado ax2 + bx +c = 0

Ecuación bicuadrada ax4 + bx2 + c = 0

Fórmulas de Estadística Moda La moda, Mo, es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li-1 es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal. fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal. fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal. ai es la amplitud de la clase. También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Mediana Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. 1 Si la serie tiene un número puntuación central de la misma.

impar

de

medidas

la

mediana

es

la

2 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. Mediana para datos agrupados

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra

.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. ai es la amplitud de la clase. Media aritmética La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

Cuartiles Los cuartiles son los tres valores de la variable dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Cálculo de los cuartiles 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. 2

Buscamos

el

lugar

que

ocupa

cada

cuartil

mediante

la

expresión

. Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra tabla de las frecuencias acumuladas .

, en la

Deciles Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Cálculo de deciles

Ordenamos los datos de menor a mayor. Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias acumuladas, donde se encuentra

, .

Percentiles Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Cálculo de percentiles Ordenamos los datos de menor a mayor. Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias acumuladas, donde se encuentra

,.

Desviación media La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media .

Desviación media para datos agrupados

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Desviación típica La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados

Coeficiente de variación El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

Coeficiente de variación en tanto por ciento

Puntuaciones diferenciales Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética. xi = Xi − X Puntuaciones típicas Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

Distribuciones bidimensionales Covarianza

Coeficiente de correlación lineal

Recta de regresión de Y sobre X

Recta de regresión de X sobre Y

Fórmulas de inferencia estadística Intervalos característicos El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 - α. El nivel de significación se designa mediante α. El valor crítico (k) como z

α/2

.

En una distribución N(μ, σ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p = 1 - α es: (μ - z

α/2

· σ , μ + z

α/2

z

· σ )

1 - α

α/2

0.90

0.05

1.645

(μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)

0.95

0.025

1.96

(μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )

0.99

0.005

2.575

(μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )

α/2

Intervalos característicos

Teorema central del límite

μ

media de la población

σ

desviación típica de la población

n "normal")

Tamaño de la muestra (n>30, ó cualquier tamaño si la población es

Las medias de las muestras siguen aproximadamente la distribución:

Estimación de la media de una población Intervalo de confianza para la media

Error máximo de estimación

Tamaño de la muestra

Estimación de una proporción

Intervalo de confianza para una proporción

El error máximo de estimación es:

Contrastes de hipótesis 1. Enunciar la hipótesis nula H 0 y la alternativa H 1. Bilateral Unilateral

2. A partir de Determinar:

H0=k

H1 ≠ k

H0≥ k

H1 < k

H0 ≤k

H1> k

un

nivel

de

confianza 1

-

α o el

de

significación α.

El valor zα/2 (bilaterales), o bien z α (unilaterales) La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p' ). 3. Calcular: x o p', a partir de la muestra. 4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un n ivel de significación α. Si no, se rechaza. Contraste Bilateral H0: μ = k (o bien H0: p = k) H1: μ≠ k (o bien H1: p≠ k).

o bien:

Contraste unilateral Caso 1 H0: μ ≥ k (o bien H0: p ≥ k). H1: μ < k (o bien H1: p < k). Valores críticos 1 - α

α

z

0.90

0.10

1.28

0.95

0.05

1.645

0.99

0.01

2.33

α

o bien:

Caso 2 H0: μ ≤ k (o bien H0: p ≤ k).

H1: μ > k (o bien H1: p > k).

o bien:

Errores H0

Verdadera

Falsa

Decisón correcta

Decisión incorrecta:

Probabilidad = 1 - α

ERROR DE TIPO II

Aceptar

ERROR DE TIPO I Rechazar Probabilidad = α

Decisión correcta