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EJEMPLO PRACTICO APELLIDOS Y NOMBRE: HUANCACHOQUE ARIAS RONALD CÓDIGO: 122030 En la figura N° 01 se muestra el agua retenida en el embalse de una presa de concreto del proyecto Pallallaje ubicada en la provincia de Espinar a una latitud de 14°49’01’ y a una altitud de 3927 msnm . Una fuga bajo los cimientos establece una distribución de presión bajo la presa como se indica. Si la profundidad del agua, h, es demasiado grande, la presa se desplomara en su línea de base aguas abajo (punto A). Para las dimensiones que se proporcionan determinar el tirante máximo de agua para los siguientes anchos de la presa: 6, 9, 12, 15 y 18 m; realizar el análisis en una longitud unitaria de la presa, para una temperatura promedio de 7.2°C. El peso específico del concreto es de 2400 kgf/m3 La variación de la gravedad g, depende de la latitud y altitud mediante la relación de 𝑔 = 9.7803(1 + 0.0053 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑) ∗ (1 − 0.0000003 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑)

En la figura N°02 se muestra la variación de la densidad frente a la temperatura, para el ejemplo ajustar a una distribución del tipo potencial.

SOLUCIÓN: Hallando la gravedad tendremos que:

𝑔 = 9.7803(1 + 0.0053 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑) ∗ (1 − 0.0000003 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑) Dónde: 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 = 14°49’01’ 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 = 3927 msnm Reemplazando tendremos que: 𝑔 = 9.7803(1 + 0.0053 ∗ 𝑠𝑒𝑛2𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑) ∗ (1 − 0.0000003 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑) 𝑔 = 9.7803(1 + 0.0053 ∗ 𝑠𝑒𝑛214°49’01’) ∗ (1 − 0.0000003 ∗ 3927)

g = 9.772563482

m s2

Hallando el valor del peso de la presa:

γc =

W V

γc ×V =W Dónde: γc = peso especifico del concreto Puesto que analizamos para un metro lineal de espesor de la presa el volumen será igual que el área numéricamente W =γc ×1 ×l ×24 W =γc ×l ×24 Analizando y realizando el diagrama de cuerpo libre:

Dónde:

F 1=γ × b ×h ×

h 2

F 2=γ × b ×ht × Fa=γ ×ht ×l

ht 2× sinθ

Fb=

γ × h ×l γ × ht ×l − 2 2

F 3=Fa+ Fb=

γ × h× l γ × ht × l + 2 2

Realizando sumatoria de momentos con respecto al punto A para reemplazar las fuerzas Fa y Fb por una fuerza F3 tenemos que:

∑ Ma=0 F 3 ×Y 3=Fa× l+ Fb ×l ×

2 3

Fa ×l + Fb ×l × Y 3=

2 3

γ × h× l γ ×ht ×l − + γ × ht ×l 2 2

2 3 Y 3= γ × h× l γ × ht × l + 2 2 Fa×l+ Fb ×l ×

1 3 × Fa+ 4 × Fb Y 3= × 3 γ ×(h+h t) Reemplazando los valores de Fa y Fb:

1 Y 3= × 3

γ ×h ×l γ × ht × l − ) 2 2 γ ×( h+ht )

3 × γ × ht ×l+ 4 ×(

1 ht ×l+2 ×h ×l Y 3= × 3 (h+ ht ) Ahora por sumatoria de fuerzas de equilibrio en el punto A tenemos que:

∑ Ma=0

F2×

ht 2× l h +W × −F3 ×Y 3−F 1 × =0 3 ×sin θ 3 3

γ ×b × ht ×

ht ht 2×l γ × h ×l γ ×ht ×l 1 ht ×l+2 ×h ×l h × +γc ×l ×24 × − + × × −γ ×b × h× × 2× sin θ 3 ×sin θ 3 2 2 3 (h+ ht ) 2

γ ×b × ht ×

ht ht 2×l γ × h ×l γ ×ht ×l 1 ht ×l+2 ×h ×l h × +γc ×l ×24 × − + × × −γ ×b × h× × 2× sin θ 3 ×sin θ 3 2 2 3 (h+ ht ) 2

Transformando el valor del peso específico del concreto al sistema internacional: 2400 kgf/m3= 23 535.96N/m3 Reemplazando los valores conocidos tendremos la siguiente ecuación: 76.6097 × ( 576+ l 2) + 376575.36× l 2=4903.02 ×l × ( h+3 ) ×

3 ×l+2 ×h ×l +1634.34 ×h 3 3 × ( h+3 )

Reemplazando para los valores de, l = 6, 9, 12, 15 y 18 tendremos el valor de h Usando el software Scientific WorkPlace 76.6097×(576+L²)+376575.36×L²=4903.02×L×(H+3)×((((3×L+2×H×L))/(3×(H+3)))) +1634.34×H³=0 PARA L=6 76.6097×(576+6²)+376575.36×6²=4903.02×6×(H+3)×((((3×6)+(2×H×6))/(3×(H+3)))) +1634.34×H³=0, Solution is: {[H=14.426]} PARA L=9 76.6097×(576+9²)+376575.36×9²=4903.02×9×(H+3)×((((3×9)+(2×H×9))/(3×(H+3)))) +1634.34×H³=0, Solution is: {[H=18. 300]} PARA L=12

76.6097×(576+12²)+376575.36×12²=4903.02×12×(H+3)×((((3×12)+(2×H×12))/ (3×(H+3))))+1634.34×H³=0, Solution is: {[H=21. 520]} PARA L=15 76.6097×(576+15²)+376575.36×15²=4903.02×15×(H+3)×((((3×15)+(2×H×15))/ (3×(H+3))))+1634.34×H³=0, Solution is: {[H=24. 288]} PARA L=18 76.6097×(576+18²)+376575.36×18²=4903.02×18×(H+3)×((((3×18)+(2×H×18))/ (3×(H+3))))+1634.34×H³=0, Solution is: {[H=26. 712]} Los valores hallados son: l = 6; entonces h =14.426 l = 9; entonces h = 18.300 l = 12; entonces h =21.520 l = 15; entonces h =24.288 l = 18; entonces h =26.712



Para resolver el ejercicio primero debemos de hablar ciertos valores con los cuales inicialmente no contamos: T (°C) 0 10 20 30 40

T (°K) 273.15 283.15 293.15 303.15 313.15

ɗ (Kg/m3) 1000 1000 998 996 992

50 60 70 80 90 100



323.15 333.15 343.15 353.15 363.15 373.15

988 983 978 972 965 958

Hallando la densidad para una temperatura de 7.2 °C y ajustando a un modelo potencial tenemos:

ɗ (Kg/m3) 1010 1000

f(x) = 2196.42 x^-0.14 R² = 0.92

990 980 970 960 950 940 930 260

280

ɗ = 2196.4*T-0.139 ɗ = 1003.42577

300

320

340

360

380