• Author / Uploaded
• Elmer José

• Categories
• Inclinarse
• Mecánica
• Ingeniería mecánica
• Mecánica clásica
• Física y matemáticas

Citation preview

2.4.-ANALIS DE FEXION EN VIGAS Las vigas son los tipos de elementos más comunes en estructuras, particularmente en ingeniería Civil y Mecánica. Una viga es un elemento estructural cuyas función primaria es la de soportar cargas transversales y transmitirlas a los soportes. A pesar de que una viga es un elemento en 3D, ésta se modela como un elemento en 1D debido a que una de sus dimensiones en considerablemente mayor a las otras dos. A esta dimensión se le llama eje longitudinal o eje de la viga. La intersección de los planos normales a la dimensión longitudinal de la viga se le llama sección transversal. Un plano longitudinal es aquel que pasa a través del eje de la viga ( Fig. 1.1). Una viga resiste cargas transversales principalmente mediante la flexión. Esta flexión produce esfuerzos a compresión de un lado de la viga y esfuerzos a compresión en el otro lado. Las dos regiones se separan por una superficie neutra de esfuerzo cero. La combinación de los esfuerzos a tensión y compresión produce un momento a flexión interno. Este momento es el mecanismo primario que transporta las cargas a los apoyos.

Figura 1.1: Elemento Viga10

Se aplica el método de los elementos finitos a estructuras que trabajan a flexión, como son las vigas de uno o varios tramos y las estructuras reticuladas formadas por vigas y soportes. Al modelar estas estructuras emplearemos elementos finitos unidimensionales, utilizando como funciones de interpolación los polinomios de Hermite

TEORIA DE EULER-BERNOULLI La teoría clásica (Bernoulli-Euler) de vigas se basa en las siguientes suposiciones:  Los desplazamientos verticales (flechas) de todos los puntos de una sección transversal son pequeños e iguales a los del eje de la viga.

 El desplazamiento lateral es nulo (esto es el coeficiente de Poisson se asume cero).  Las secciones transversales normales al eje de la viga antes de la deformación, permanecen planas y ortogonales a dicho eje después de la deformación.

Figura1.2: Viga deformada de acuerdo con la teoría de Euler- Bernoulli. Observe que las secciones planas y ortogonales a la fibra media de la viga se conservan planas y ortogonales al eje medio de la viga después de la flexión.

De acuerdo con las hipótesis anteriores el campo de desplazamientos de un punto cualquiera se puede escribir como: 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑧𝑡𝑎𝑛(𝜃)(𝑥) = −𝑧 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝜔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜔(𝑥) Campo de deformaciones 𝜀𝑥 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝜀𝑦 =

𝜕𝑣 =0 𝜕𝑥

𝜀𝑧 =

𝜕𝜔 =0 𝜕𝑥

𝜕𝜇 𝑑2𝑤 = −𝑧 2 𝜕𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑤(𝑥) ≈ −𝑧𝜃(𝑥) 𝑑𝑥

𝛾𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝜕𝜇 𝜕𝑣 + =0+0=0 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝛾𝑥𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝜕𝜇 𝜕𝜔 𝜕𝜔 𝜕𝜔 + =− + =0 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝛾𝑦𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝜕𝑣 𝜕𝑤 + = 0+0 =0 𝜕𝑧 𝜕𝑦

Campo de esfuerzos Al reemplazar en la ley de Hooke

usando un coeficiente de Poisson igual cero se obtiene:

𝜎𝑥 (x,y,z)=E(x) 𝜀𝑥 = -z E(x) 𝜎𝑦 (x,y,z)=0 𝜎𝑧 (x,y,z)=0 Momento flector

Figura 1.3:

𝑑2 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 2

El momento flector M es aquel que produce tracción en la fibra inferior de la viga M(x) = - ∬𝐴(𝑥) 𝑧 𝜎𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 𝑑𝑧 2

𝑑 𝑤(𝑥) =∬𝐴(𝑥) 𝑥 𝐸(𝑥) 𝑑𝑥2 2

= E(x) I(x)

𝑑2 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 2

= E(x) I(x) X(x) Donde X(x)=

𝑑2 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 2

es la curvatura del eje dela viga en el punto x y I(x)=∬𝐴(𝑥) 𝑧 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 es el

momento de inercia en la posición x con respecto al eje y.

Momento de inercia

Centro de gravedad, área y momento de inercia al rededor del eje y para algunas secciones transversales de viga

Consideremos una viga cuya sección transversal tiene un momento de inercia I(x) y está sometida a flexión debido a cualquier tipo de carga transversal (Fig. 1.4a). Una vez elegido el sistema de ejes x, z de una viga, se consideran positivos la carga concentrada Q, la carga distribuida por unidad de longitud q(x) y los desplazamientos w(x) que tengan el sentido del eje z. Asimismo, se consideran positivos los pares M o y los giros 𝜃 de sentido que corresponden al giro que lleva el eje x sobre el eje z. z

z

V

V+ dV

Del equilibrio de la rebanada (Fig. 1.4b), se deduce ∑𝑄 = 0

-V + (V + dV) + q(x)dx = 0 𝑑𝑉 𝑑𝑥

∑ 𝑀𝑧 = 0

+ q(x)=0 ………………..(I)

-M+(M+dM)+Vdx- q(x)dxH =0. 𝑑𝑀 𝑑𝑥

= - V ………………..(II)

Derivando dos veces esta expresión, se obtiene la ecuación diferencial de gobierno de la viga que trabaja a flexión 𝑑2 𝑑2𝑤 (𝐸𝐼 2 ) − 𝑞(𝑥) = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Si E e I son contantes a lo largo de la viga, la ecuación anterior se reduce a:

𝑑4𝑤 𝐸𝐼 2 − 𝑞(𝑥) = 0 𝑑𝑥

Elemento finito hermitico de dos nodos: Observe que tanto w como

𝑑𝑤 𝑑𝑥

deben ser funciones continuas de x a lo largo de la viga de acuerdo

con el PTV (continuidad C1); por lo tanto, para garantizar la continuidad de de la viga, se necesita tener en cada nudo tanto w como

𝑑𝑤 𝑑𝑥

𝑑𝑤 𝑑𝑥

en todo los puntos

como variable (desplazamiento vertical

y pendiente)

Cuatro condiciones diferentes perfectamente una variación cubica de la flecha: 𝜔 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥 + 𝛼2 𝑥 2 + 𝛼3 𝑥 3 Las constantes 𝛼1 se calculan armando el sistema de ecuaciones 𝜔1 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥12 + 𝛼3 𝑥13 (

𝑑𝜔 ) = 𝛼1 + 2𝛼2 𝑥1 + 3𝛼3 𝑥12 𝑑𝑥 1

𝜔2 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥2 + 𝛼2 𝑥22 + 𝛼3 𝑥23 (

𝑑𝜔 ) = 𝛼1 + 2𝛼2 𝑥2 + 3𝛼3 𝑥22 𝑑𝑥 2

Se puede escribir convenientemente

𝜔 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑥 + 𝛼2 𝑥 2 + 𝛼3 𝑥 3

𝜔(𝜉) = 𝑁1 (𝜉)𝜔1 + Ñ1 (𝜉)(

𝑑𝜔(𝜉) 𝑑𝜔(𝜉) ) 1 + 𝑁2 (𝜉)𝜔2 + Ñ2 (𝜉) ( ) 𝑑𝜉 𝑑𝜉 2

Es decir:

𝜔(𝜉) = [𝑁1

Dónde: 𝑁(𝜉) =Matriz de forma del elemento

Ñ1

𝑁2

𝜔1 𝑑𝜔(𝜉) ( ) 𝑑𝜉 1 Ñ2 ] 𝜔2 𝑑𝜔(𝜉) ( ) [ 𝑑𝜉 2 ]

𝑎(𝑒) =Vector de desplazamientos nodales Las funciones de forma pertenecen a la familia de los llamados polinomios de Hermite 𝑁1

1 𝑁1 = (2 − 3𝜉 + 𝜉 3 ) 4

𝑑𝑁1 1 = (−3 + 3𝜉 2 ) 𝑑𝜉 4

𝑑 2 𝑁1 1 = (6𝜉) 𝑑𝜉 2 4

Ñ1

Ñ1 =

1 (1 − 𝜉 − 𝜉 2 + 𝜉 3 ) 2

𝑑Ñ1 1 = (−1 − 2𝜉 + 3𝜉 2 ) 𝑑𝜉 2

𝑑 2 Ñ1 1 = (−2 + 6𝜉) 𝑑𝜉 2 2

𝑁2

1 𝑁2 = (2 + 3𝜉 − 𝜉 3 ) 4

Ñ2

𝑑𝑁2 1 = (3 − 3𝜉 2 ) 𝑑𝜉 4

𝑑 2 𝑁2 1 = (−6𝜉) 𝑑𝜉 2 4

1 Ñ2 = (1 − 𝜉 + 𝜉 2 + 𝜉 3 ) 2

𝑑2 Ñ2 1 = (2 + 6𝜉) 𝑑𝜉 2 2

𝑑Ñ2 1 = (−1 + 2𝜉 + 3𝜉 2 ) 𝑑𝜉 2

Dónde: 2

𝜉 = (𝑥 − 𝑥𝑒 )

𝑥𝑒 =

𝐿

𝑑𝜔(𝜉) 𝑑𝑥 𝑑 2 𝜔(𝜉) 𝑑𝑥 2 𝑑𝜔(𝜉) 𝑑𝜉 𝑑 2 𝜔(𝜉) 𝑑𝜉 2

=

=

𝑑𝑁1 (𝜉) 𝑑𝜉

𝑑 2 𝑁1 (𝜉) 𝑑𝜉 2

𝜔1 +

𝜔1 +

𝑑2 𝜔(𝜉) 𝑑2 𝑁1 (𝜉) = [ 𝑑𝜉 2 𝑑𝜉 2

𝑑 2 𝜔(𝜉) 3𝜉 =[ 2 𝑑𝜉 2

𝑑𝜔(𝜉) 𝑑𝜉

=

=

𝑑𝜉

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝐿 𝑑Ñ1 (𝜉) 𝑑𝑤 2

𝑑𝜉

(

𝑑𝜉

2

𝑑𝜉 2

2

𝑑𝜉

𝑑𝜉

𝑑𝜉

𝐿 2

2

𝑑 2 𝜔(𝜉) 𝐿2 𝑑𝜉 2

𝑑𝑁2 (𝜉) 𝑑𝜉

)1 +

=

𝑑𝜔(𝜉) 𝐿

=

)1 +

𝐿 𝑑 2 Ñ1 (𝜉) 𝑑𝑤

(

𝑑𝑥

=

𝑑𝜔(𝜉) 𝑑𝜔(𝜉) 𝑑𝑥

𝑥1 +𝑥2

4

𝜔2 +

𝑑 2 𝑁2 (𝜉) 𝑑𝜉 2

𝐿 𝑑Ñ2 (𝜉) 𝑑𝑤 2

𝜔2 +

𝑑𝜉

(

) 𝑑𝜉 2

𝐿 𝑑 2 Ñ2 (𝜉) 𝑑𝑤 2

𝑑𝜉 2

(

) 𝑑𝜉 2

𝜔1 𝑑𝜔(𝜉) ( ) 2 2 2 𝐿 𝑑 Ñ1 (𝜉) 𝑑 𝑁2 (𝜉) 𝐿 𝑑 Ñ2 (𝜉) 𝑑𝜉 1 ] 𝜔2 4 𝑑𝜉 2 4 𝑑𝜉 2 𝑑𝜉 2 𝑑𝜔(𝜉) ( ) [ 𝑑𝜉 2 ]

𝐿(3𝜉 − 1) 3𝜉 − 4 2

𝜔1 𝑑𝜔(𝜉) ( ) 𝐿(3𝜉 + 1) 𝑑𝜉 1 ] 𝜔2 4 𝑑𝜔(𝜉) ( ) [ 𝑑𝜉 2 ]

Aplicando del principio del trabajo virtual (PTV) al análisis estructural 𝑑 2 𝑤(𝑥)

X(x)=

6𝜉 𝑥=[ 2

𝐿

(3𝜉 − 1) 𝐿

𝑑𝑥 2

6𝜉 − 2

𝐿

=

𝑑 2 𝜔(𝜉) 4 𝑑𝜉 2

𝐿2

𝜔1 𝑑𝜔(𝜉) ( ) (3𝜉 + 1) 𝑑𝜉 1 ] 𝜔2 𝐿 𝑑𝜔(𝜉) ( ) [ 𝑑𝜉 2 ]

La matriz de rigidez del elemento viga 1

𝐿

𝐾 𝑒 = ∫−1 𝐵 𝑇 ∗ 𝐸𝐼 ∗ 𝐵*2*dξ 6𝜉

𝐿2

1

𝐾𝑒 = ∫ −1

(3𝜉 − 1) 6𝜉 𝐿 (𝐸𝐼) [ 2 6𝜉 𝐿 − 2

(3𝜉 − 1) 𝐿

6𝜉 − 2

𝐿

(3𝜉 + 1) 𝐿 ] 𝑑𝜉 𝐿 2

𝐿

(3𝜉 + 1) [ ] 𝐿 6𝐿 12 6𝐿 −12 2 𝐸𝐼 2𝐿2 4𝐿 −6𝐿 𝐾 𝑒 = 2 [ 6𝐿 ] 𝐿 −12 −6𝐿 12 − 6𝐿 4𝐿2 6𝐿 2𝐿2 −6𝐿 Por otra parte, el vector de fuerzas nodales equivalentes debido a una carga uniformemente distribuida de intensidad q sobre el elemento es.

𝑓

(𝑒)

1 𝐿 = 𝑞𝐿 [ 2 12

1 𝐿 𝑇 − ] 2 12

El elemento de viga de Euler- Bernoulli de dos .a) Convenio de signos para las fuerzas nodales equivalentes . b) Fuerzas nodales equivalentes para una carga uniformemente distribuida