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• Luis Aguirre

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INSTITUTO DE MECÁNICA ESTRUCTURAL Y RIESGO SÍSMICO. FACULTAD DE INGENIERÍA. UNC. MENDOZA.

CURSO DE HORMIGÓN ARMADO REGLAMENTO CIRSOC 101-2005 (Cargas) REGLAMENTO CIRSOC 201-2005 (HoAo) REGLAMENTO INPRES-CIRSOC 103-I-1982 REGLAMENTO INPRES-CIRSOC 103-II-2005 M.Sc. Ing. CARLOS R. LLOPIZ. Prof. Titular Hormigón I y Hormigón II Director IMERIS.

VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO

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CONTENIDO. 1. INTRODUCCIÓN. 2. PRESENTACIÓN DE LA ESTRUCTURA A DISEÑAR Y ANALIZAR. 3. DEMANDAS PARA DISEÑO POR RESISTENCIA. 4. DISEÑO Y EVALUACIÓN DE RESISTENCIAS DE ACUERDO A NORMAS DIN 1045 y ACI-318. 4.1 DIN 1045. 4.2 ACI-318-2005. 5. VERIFICACIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ. 5.1 DEFORMACIÓN INSTANTÁNEA. 5.2 DEFORMACIÓN DIFERIDA. 6. CONSECUENCIAS DE INTRODUCIR LOS EFECTOS DE FISURACIÓN EN LA DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS INTERNOS. 7. REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. 8. DISTANCIA ENTRE LOS APOYOS LATERALES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN Y DE DIMENSIONES DE LOS ELEMENTOS. 9. RESISTENCIAS REQUERIDAS. EVALUACIÓN DE DEMANDAS. APLICACIÓN DE COEFICIENTES DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA φ. 10 EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA A FLEXIÓN. 10.1 ANCHO EFECTIVO EN COMPRESIÓN. 10.2 ANCHO EFECTIVO EN TRACCIÓN. 11 ARMADURAS LONGITUDINALES. 11.1 CUANTÍA MÍNIMA. 11.2 REQUISITOS ADICIONALES PARA DISEÑO SISMO RESISTENTE. 11.3 DISTRIBUCIÓN DE LA ARMADURA DE TRACCIÓN EN VIGAS Y LOSAS. 12. BIBLIOGRAFÍA.

Filename VIGAS-FLEXIÓN Páginas

Emisión 1 ABRIL 2008 31

Emisión 2

Emisión 3

Observaciones

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1. INTRODUCCIÓN. La mayoría de los profesionales de nuestro país, incluidos los de Mendoza, han sido formados en lo referente a estructuras de hormigón armado, bajo la escuela de la norma Alemana DIN 1045, que es la que sirvió de base al todavía en vigencia Reglamento de Estructuras de Hormigón CIRSOC 201, del año 1982. Es fundamental entonces que se haga una transferencia de conocimientos de quienes han recibido formación con las normas de aplicación futura a los efectos de, mediante la difusión y exposición de los fundamentos de dichos documentos, lograr la aplicación efectiva de la misma tanto en nuestra provincia como a nivel nacional. Es de esperar que quienes tienen bajo su responsabilidad la obligación de instrumentar las leyes necesarias para que estos documentos se transformen de uso obligatorio en TODO el país, para TODAS las provincias, en TODOS los municipios y para TODAS las obras, sepan corresponder a los esfuerzos de los profesionales que han estado, están y seguirán aportando las soluciones técnicas que correspondan. Un llamado muy especial se hace a los profesionales que trabajan en las reparticiones públicas para que en forma inmediata se preparen, estudien y analicen la norma, pues del convencimiento y acción de ellos también va a depender en gran parte que los reglamentos se pongan en vigencia en forma efectiva. Hay un principio de ética fundamental que respetar: nadie puede controlar el cumplimiento de una norma si no conoce los fundamentos de la misma. Además, los conocimientos evolucionan, las normas por lo tanto van cambiando, y en consecuencia los profesionales debemos constantemente actualizarnos. El presente trabajo pretende en forma muy rápida y con un ejemplo muy simple, destacar algunas de las diferencias fundamentales entre la DIN 1045 y el ACI-318, a los efectos de comenzar a comprender algunas de las variantes fundamentales que presentará la nueva versión del CIRSOC 201-2005. En cada sección del trabajo se hace notar el cambio en la nomenclatura. Este es uno de los primeros aspectos a que el profesional se debe habituar, al igual que manejar las unidades internacionales ya que la mayor parte de las expresiones matemáticas para definir características de materiales y niveles de resistencia son válidas para dichas unidades. Se supone que el lector ya ha leído y comprendido ciertos conceptos anteriores como son diferentes métodos de diseño y análisis (tensiones admisibles, resistencia y capacidad), niveles de resistencia definidos por el ACI-318, comportamiento a flexión a partir del diagrama Momentos-Curvaturas. En este trabajo varios aspectos se dejan para que sea completado por el lector. De hecho está en la aplicación de la norma la mejor forma de forma de comprender sus fundamentos y de evaluar sus posibles limitaciones y observaciones que se pretendan realizar. La norma debe entenderse que es un patrimonio y problema de TODOS los profesionales y la comunidad en su conjunto, y no de una élite.

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2. PRESENTACIÓN DE LA ESTRUCTURA A DISEÑAR Y ANALIZAR. La Fig. 1 muestra un pórtico de hormigón armado de un vano, luz de 6.0 m, y un piso, altura de 3.0 m. Vamos a suponer que las secciones de hormigón ya han sido predimensionadas, tal que: (i)

Viga de sección rectangular: bw = 25 cm, ancho del alma. d = 46 cm, altura útil. h = 50 cm altura total.

y (ii) columnas de sección cuadrada de 40 cm de lado. Se va a suponer que las características de los materiales a utilizar son: (a) Hormigón: Resistencia característica f´c = 25 MPa = 0.25 ton/cm2 Módulo de Elasticidad Ec = 4700 f c ´= 4700 25 = 23500 MPa = 235 ton/cm2 Deformación máxima de compresión del hormigón ε´cmáx= 0.003 Módulo de Ruptura: f r = 0.70 f c ´= 0.70 25 = 3.50 MPa. = 0.035 ton/cm2 (b) Acero. Acero tipo ADN-420 es decir tensión de fluencia fy= 420 MPa = 4.20 ton/cm2 Módulo de elasticidad Es = 200 000 MPa = 2000 ton/cm2 3. DEMANDAS PARA DISEÑO POR RESISTENCIA. Se va a suponer que las cargas a la que está sometido el pórtico son sólo provenientes de las Acciones Permanentes y una sobrecarga de uso. Para este ejemplo, sin entrar en detalles se adoptan:

Fig. 1. Pórtico de ejemplo de Aplicación Normas.

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D= Cargas permanentes (Dead) = 4.0 ton/m, y suponemos que NO incluye el peso propio de la viga que es de 0.30 t/m (total carga muerta 4.3 t/m). L= Cargas Accidentales (Live) = 2.0 ton/m. En el criterio de combinación de cargas para aplicar el método por resistencia radica una de las principales diferencias con la normas DIN. Hay que recordar que éstas, adoptan como coeficiente de seguridad, por ejemplo, 1.75 para flexión y se acerca hacia el valor de 2.1 cuando se combina con fuertes compresiones. Se justifican estos valores en función del tipo de falla que se espera que ocurra en la pieza: dúctil o con aviso para flexión y frágil para flexión fuerte con compresión o compresión pura. En definitiva, para diseño a flexión con el uso de tablas, ref.[1], en la misma se entra con los momentos de servicio, y las mismas tienen incorporado el factor γ= 1.75, para obtener los parámetros que completen el diseño de la sección. Si quisiéramos hacer una comparación directa entre ambas normas para ver las demandas que cada una exigiría para flexión, habría que someter a la viga del pórtico a las siguientes combinaciones de carga: (i) • (ii)

DIN 1045: U= 1.75 D + 1.75 L

CIRSOC 201-2005 y ACI-318-2005.

Hasta versión anterior ACI-318-1999, la combinación exigida era U= 1.4D + 1.7L. Sin embargo, a partir de la v-2002 adopta los mismos factores de mayoración para las cargas que están en el reglamento de Nueva Zelanda NZS:3101:1995, es decir: • •

U= 1.4 D U= 1.2 D + 1.6 L

donde con U se denota según el ACI-318 la “Resistencia Requerida o Última ”. Se ve entonces que en términos de demandas en las vigas, la combinación para diseño por resistencia es bastante mayor en las DIN con U= 11.025 t/m, 31 % mayor, que en la nueva versión del ACI-318 que da U= 8.36 t/m. Este aspecto tiene importancia a la hora de comparar incidencias desde el punto de vista económico, entre las versiones CIRSOC 201-1982 y CIRSOC 201-2005. Sin embargo, la verdadera comparación se debe hacer al final del proceso de diseño. Habrá que ver entre otros aspectos cómo se evalúan los suministros y los requisitos de detalle. En la Fig. 2 se muestra en definitiva el diagrama de demandas de momentos flectores, donde para este caso particular, el momento a eje de columna y en el centro del tramo de la viga son prácticamente iguales en valor absoluto. Las demandas CIRSOC 201-1982 son de 25 tm y las de la versión 2005 son de Mu = Mr = 19 tm, obviamente con la diferencia del 31 % antes mencionado. Se ve que la suma de los momentos positivos más negativos debe dar el valor de (ql2/8) en cada caso, es decir lo que indica la estática. Se aclara que para este análisis se han tomado las secciones como NO fisuradas. Sobre este tema se vuelve luego.

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Fig. 2. Momentos según CIRSOC-2002. Secciones no fisuradas.

4. DISEÑO Y EVALUACIÓN DE RESISTENCIAS DE ACUERDO A NORMAS DIN1045 = CIRSOC-201-1982 Y ACI-318 = CIRSOC-201-2005. Pregunta: para los mismos valores de demandas de momentos, alguna de las normas requiere más armadura que la otra?. De esta manera se respondería automáticamente qué pasaría si las demandas fueran diferentes, como en el ejemplo, donde con combinación DIN hay que soportar 25 tm y con combinación ACI sólo 19 tm.

4.1. DIN 1045. Tomamos para ambas normas Mu = 19 tm. Como se dijo antes, para la versión anterior se entraba en tablas con el valor del momento en condición de servicio, es decir M = 19 tm/1.75 = 10.86 tm. Con la relación: kh =

d M b

=

46 10.86 0.25

= 6.98

y para acero de βs = 42/50 y hormigón H21, resulta:

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Ks = 0.48

kx=0.34

kz= 0.87

con

εb1=0.338 % εs = 0.50 %

10.86 As = x0.48 = 11.33cm 2 0.46 para lo cual se pueden elegir 2φ25 mm + 1φ16 mm, que suministran 11.83 cm2.

Fig. 3.(a) Diagrama Tensión-Deformación para el hormigón según DIN 1045.

La Fig. 3(a) y 3(b) respectivamente muestran las suposiciones de leyes constitutivas para hormigón y acero que establece la norma DIN, mientras que la Fig. 3(c) marca los límites para los distintos estados, desde tracción, flexión, flexocompresión y compresión. El parámetro fundamental que marca una gran diferencia con el ACI es que la DIN limita la deformación máxima del acero al 0.5 %, con el argumento de que se controla la fisuración, y se estima que con esa limitación se acotarían las fisuras a espesor total de 5 mm por metro de viga (por ejemplo, 5 fisuras de 1 mm cada una). Como dato ilustrativo, se menciona que en general los códigos dan anchos de fisuras máximos entre 0.2 mm a 0.4 mm para cargas de servicio. Por el contrario, como se verá en el curso, la norma ACI-318 exige que para que el elemento sea considerado dúctil, y se le aplique el mínimo coeficiente de reducción, la deformación máxima de tracción en el acero debe ser mayor del 0.5 %.

Fig. 3(b). Diagrama TensiónDeformación para el Acero según DIN 1045.

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Fig. 3(c). Diagramas de Deformación admitidos por DIN 1045.

La norma aclara, como sucede con el ACI, NZS y otras normas, que se ha adoptado estos diagramas que no pretenden representar una situación real de distribución de tensiones sino que su aplicación es relativamente sencilla y ha dado buenos resultados desde el punto de vista de la práctica profesional. Como se verá más adelante, el ACI, al igual que la norma de nueva Zelanda NZS:3101, y la inglesa CP110, adoptan un diagrama aún más simplificado que tiene muchas ventajas desde el punto de vista de aplicación práctica. En la Fig. 3(c) que representa la gama de deformaciones admitidas para los estados límites, se incluye la variación del coeficiente de seguridad, que como se ve no es menor de 1.75, llegando a 2.1 para compresión.

Fig. 4(a). Curva tensión – deformación idealizada para el comportamiento del hormigón en compresión.

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Fig. 4(b) Curva tensión - deformación que publica ACINDAR para sus aceros ADN - 420.

4.2 ACI-318-05 = CIRSOC 201-05. Toda viga lleva armadura de compresión, A´s, y de tracción, As, para su armado correcto. Además, se debe reconocer el hecho de que para el estado último, y para el rango de armaduras normales, el eje neutro está muy arriba, por lo que para calcular el momento resistente aproximado se puede utilizar la siguiente expresión simplificada, que presupone que el baricentro de las fuerzas de compresión por flexión del hormigón coincide con el baricentro de la armadura comprimida:

(

M n = As f y d − d ´

)

(1)

donde: Mn = Resistencia Nominal a flexión. As = Armadura traccionada. d´ = distancia del borde comprimido a baricentro de armadura comprimida. Además, según el ACI, debe ser: Md = φ Mn ≥ Mu = Mr donde Md = es la resistencia de diseño o confiable.

(2)

10

Fig. 4(c) Modelo de comportamiento en flexión para el estado de rotura según el ACI-318.

Por ello, para calcular la armadura necesaria en una primera aproximación, se puede aplicar la siguiente expresión: As =

Mu = φf y d − d ´

(

)

1900tcm = 12cm 2 t 0.9 x 4.2 2 (46 − 4 )cm cm

Se ve entonces que los requerimientos de armadura por aplicación de las tablas de la DIN y de la fórmula aproximada son muy similares, con lo que, de cumplir la siguiente verificación del ACI, podemos responder la pregunta antes formulada: para iguales momentos, en este caso las demandas de armaduras son similares. Adoptaríamos la misma cantidad y los mismos diámetros antes seleccionados. A continuación, se pasa a verificar si dichas armaduras satisfacen los requerimientos de resistencia del ACI. La Fig. 4 muestra relaciones constitutivas que permiten explicar las suposiciones adoptadas por el ACI para resistencia a flexión. La Fig.4(a) muestra la relación constitutiva de Hognestad. El ACI toma una simplificación de ésta con un modelo Rígidamente Elástico-Perfectamente Plástico, RE-PP, con máxima tensión de hormigón igual a 0.85f´c, y máxima deformación de 0.003. La aplicación a flexión se ve en la Fig. 4(c). La Fig.4(b) muestra una curva típica f-ε para el acero, aunque el ACI adopta un modelo Linealmente Elástico-Perfectamente Plástico, LE-PP, con máxima tensión igual a la de fluencia, pero sin imponer otro límite a la deformación del acero que la que corresponde a la rotura por tracción. Tal cual se dijo antes, esta es una diferencia fundamental con respecto a la DIN que exige εt< 0.5 %. Por supuesto que para diseños con cuantías normales la deformación estará bastante lejos de la que corresponde a rotura por tracción.

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Fig. 5. (a) Sección transversal de la viga en tramo.

(b) Esquema de Armaduras Longitudinales.

La Fig. 5(a) muestra la sección transversal adoptada para ser verificada. La Fig. 5(b) muestra en forma esquemática la viga, donde se ve que en forma preliminar se coloca igual armadura para las zonas de máximo momento positivo y negativo. Con el programa SECAN, ref.[10], se verifican los tres estados límites: fisuración del hormigón armado en tracción, fluencia del acero en tracción y rotura por compresión del hormigón (falla completa de la pieza). La siguiente Tabla I resume los resultados más importantes a los efectos de este ejercicio: Tabla I. Síntesis de Análisis a Flexión.

Estado Mcr My Mn

Momento M (tm) 4.39 20.30 21.20

Curvatura ϕ (rad/cm)x10-6 6 66 444

Eje Neutro c (cm) 25.25 14.23 6.76

Tensión Ho. f´c (t/cm2) 0.032 0.15 0.21

Def. Acero εt (%) 0.012 0.21 1.70

La Fig. 6 muestra la representación gráfica del diagrama Momentos-Curvaturas, Mϕ. Se pueden obtener las siguientes conclusiones: •

La deformación del acero en tracción es 1.70 %, es decir supera con amplitud el límite de 0.005, por lo cual el factor de reducción de capacidad se puede tomar igual a φ=0.9. De todas maneras está bastante lejos de la máxima posible que el código exige que para ese acero ADN-420 sea mayor del 12 %.

•

La resistencia de Diseño según el Código ACI-318 es entonces Md = 0.90 Mn = 0.90x21.20=19.08 > 19 tm. Esto es un buen diseño si NO se desea tener sobre resistencias innecesarias y a veces perjudiciales.

•

La ductilidad de la sección se cuantifica aproximadamente como µϕ= 444/66≅ 7, es decir bastante aceptable.

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•

El brazo elástico z resultó prácticamente igual al supuesto, por lo que la fórmula aproximada es muy apropiada.

Fig. 6 Diagrama Momento-Curvatura para la Sección de Fig. 5.

En el diagrama se indica además el módulo de rigidez a flexión (EI), el cual será de mucha utilidad más adelante cuando se verifiquen las condiciones de rigidez. Como conclusión de la comparación de resistencias supuestas por ambas normas, se ve que, y era predecible, para ambos reglamentos el suministro de dicha sección de hormigón armado es casi el mismo. La historia hubiera sido diferente si cada norma hubiera tomado en cuenta el endurecimiento de post-fluencia que existe en el acero, ver Fig. 4(b), ya que la DIN lo hubiera ignorado al frenarse en el 0.5 % y en el ACI debería aparecer algún incremento ya que la deformación del acero llegó a casi el 2%. La gran diferencia que existe en ambas normas es que para el ACI-318 el estado último está identificado con la rotura de la pieza por compresión, después que el acero desarrolló su deformación de tracción que dicho estado le permitió. Ello posibilita una mejor aproximación a la verdadera resistencia última (no es la “verdadera” pues se ignora el endurecimiento) y lo que es muy importante, permite la cuantificación de la ductilidad de la sección. Por el contrario, la norma DIN obscurece en cierta forma el verdadero significado de resistencia última o de rotura al imponer la limitación en la deformación del acero, y no permite cuantificar la ductilidad disponible.

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5. VERIFICACIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ. Existe una fuerte diferencia entre los criterios para satisfacer los requisitos de rigidez entre el CIRSOC-201-1982 y el CIRSOC-201-2002. Nuestro problema concretamente se reduce a verificar si: (i) (ii) (iii)

para esas cargas en estado de servicio, para los materiales adoptados, y para las secciones de hormigón armado diseñadas

se cumplen los requisitos de flecha máxima para la viga. Veamos primero lo que hace la norma CIRSOC 201-1982: (a) Sección 17.1.3 dice tener en cuenta fisuración, limitación de las deformaciones y limitación de tensiones bajo cargas móviles. (b) Tomar como módulo del hormigón el de tabla 16, para este caso de H25 le corresponde Ec = 30000 MPa (c) Adoptar como Es = 210000 MPa. (d) Los fenómenos de Fluencia Lenta y Contracción pueden prescindirse de una verificación. Ver CIRSOC201-1982, sección 16.4 (e) Limita los diámetros de las barras para controlar fisuración. (f) Para las deformaciones establece una verificación simplificada a través de limitar la esbeltez a flexión. (g) En forma numérica se pueden verificar las flechas, con los parámetros de materiales antes mencionados, e ignorando la deformación diferida. Para el autor de este trabajo, resulta bastante complicado todo el camino que debe seguir el diseñador para verificar requerimientos en servicio por la DIN. Creo que el ACI-318, tal cual se verá, es más directo, simple de interpretar y práctico. El C-201-2005 establece dos casos bien definidos, por ejemplo para el caso de la viga en estudio: 1.

Si la viga NO va a soportar elementos que sean susceptibles de dañarse por grandes deformaciones, entonces basta una verificación de la esbeltez, que está en función de las condiciones de apoyo. Así por ejemplo:

(a) si la viga tiene apoyos extremos simples, debe ser h≥ L/16 (b) si la viga tiene apoyos continuos, debe ser h≥ L/21 Estos valores son también válidos para losas nervuradas apoyadas en una sola dirección. Se ve que si fuera este el caso, la altura debería estar comprendida al menos entre 0.375 m y 0.285 m. La adoptada fue de 0.50 m por lo que verifica. 2.

Si no cumple la condición anterior (es decir se desea tomar una altura menor), o bien, la viga soporta en forma directa elementos susceptibles de daño por grandes deformaciones, entonces debe calcularse la flecha y compararse

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contra la flecha máxima admisible, que en este caso sería de L/480. Para la viga en estudio la flecha máxima permitida sería de 6000 mm/480 = 12.50 mm. La otra gran diferencia de la nueva norma es que claramente expresa que para evaluar la flecha: (h) Se deben considerar los efectos de la fisuración en la rigidez, y (i) La flecha a calcular debe ser la suma de la instantánea más la diferida. 5.1 Efecto de la fisuración. Deformación Instantánea. Salvo un estudio más detallado, la nueva norma exige que se calcule el módulo de rigidez a flexión, (EI), tomando como valor de Ec = 4700 f c´ = 23500 MPa en este caso (note que la versión anterior le asignaría 30000 MPa, es decir casi un 40 % mayor), y para el momento de Inercia un valor designado como Inercia Efectiva, y que se evalúa mediante esta expresión: M I e =  cr  Ma

3  M   I g + 1 −  cr   M a 

  

3

  I cr ≤ I g 

(3)

donde: Ma = momento actuante máximo para carga de servicio al momento que se evalúa la flecha. Mcr= momento para el estado límite de fisuración, que se puede evaluar mediante: M cr =

fr I g yt

(4)

fr = módulo de ruptura o resistencia del hormigón a flexión por tracción, y se calcula Ec = 0.7 f c´ = 3.5MPa en este caso.

Ig = momento de inercia de la sección bruta de hormigón =

bw h 3 12

yt = distancia del baricentro de la sección de hormigón (sin armadura) a la fibra extrema traccionada. Como a lo largo de la viga pueden existir momentos actuantes, Ma, positivos y negativos, la norma especifica que se debe tomar como Ie un promedio entre los que corresponden a momento positivo y negativo. El NZS en sus comentarios aclara que para un análisis un poco más refinado, se puede tomar un promedio ponderado para tener en cuenta la posibilidad de la mayor incidencia del momento que sea mayor. Para obtener el momento de inercia en estado fisurado, Icr, se podría utilizar el diagrama de momento-curvatura, y de allí obtener el módulo de rigidez a flexión para el estado II, es decir fisurado. Para este caso tendríamos:

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Ig= 2.6x105 cm4

fr = 0.035 t/cm2

yt = 25 cm

Por lo que Mcr = 3.64 x 102 tcm = 3.64 tm (comparar con el de tabla I que tiene además el efecto de la armadura y da un poco mayor, 4 tm). El cociente entones (Mcr/Ma) = 3.64 / 12 = 0.30 (es decir que el M actuante es casi 3.3 veces mayor que el momento de fisuración, ver Fig.6). De la Tabla I: (EI)II = (My – Mcr) / (ϕy - ϕcr) = [(2030 – 400)tcm / (6.5 – 5) 106 1/cm= 27 x 106 tcm2 de donde utilizando el valor de Ec, obtengo Icr = 127000 cm4. Se puede observar que la relación Icr/Ig ≅ 0.50 En definitiva, el momento de Inercia efectivo será: Ie = 0.283 Ig + (1 - 0.283) Icr = 0.022 x 265000 + 0.978 x 127 000 = 130 000 cm4 Es decir que prácticamente el efecto de fisuración reduce, en este caso, en un 50 % el momento de inercia.

Fig. 7. Deformada del pórtico según SAP-2000.

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La Fig. 7 muestra la deformada obtenida con SAP-2000 en un modelo el en cual la viga se ha cargado con el 100 % de la carga D y el 50 % de la carga L. Esto es porque la norma aclara que cuando se calcula la flecha y se van a tomar efectos de larga duración, se debe considerar la parte de sobrecarga que se considere que actuará en forma casi permanente. Para este caso se ha supuesto el 50 %. En ese modelo, cuando NO se degrada la rigidez por fisuración, la flecha máxima es de 6.7 mm. Sin embargo, al aplicar lo que dice la norma, degradando en un 50 % la rigidez de la viga, la flecha se incrementa a 10 mm. Acá parecería que termina el problema porque los 10 mm son menores que los 12.50 mm que salen de L/480. Sin embargo, se deben incorporar los efectos de larga duración. 5.2 FLECHA DIFERIDA. La flecha total debe ser la suma de la flecha instantánea más la diferida. Esta última toma en cuenta los efectos de fluencia lenta y contracción del hormigón, ver ref. [11]. Salvo un estudio más detallado, la norma ACI-318 permite calcular la deformación diferida como el producto de un factor λ por el valor de la flecha instantánea. Dicho factor está dado por:

λ=

ξ 1 + 50 ρ ´

(5)

donde ξ es un factor que depende del tiempo considerado, y toma el valor de 0.70 para carga a un mes, pero llega a 2 como valor máximo para cargas con más de 5 años, y ρ´ es la cuantía de armadura en compresión en el centro de la luz de los apoyos en caso de voladizo [ver ref.12, sección 6.7(d), pág.209]. Para el caso en estudio, y suponiendo como A´s = 2φ25 mm = 2 x 4.91 cm2 = 9.82 cm2, corresponde ρ´= 0.0084, por lo que λ=1.40. En definitiva, la flecha total que tendría esa viga después de 5 años sería: f= 10 mm + 1.40 x 10 mm = 24 mm > 12.50 mm por lo cual se ve que NO cumple el requerimiento de flecha si sobre la viga hubiera un tabique o elemento de cierre susceptible de dañarse por grandes deformaciones. Por el contrario, si la viga NO soportara elemento frágil alguno, la flecha máxima admisible se puede aumentar a l/240 = 6000 mm/240 = 25 mm, y ahora, aunque en forma muy ajustada, se verifica la condición de rigidez. Note la importancia de contar con cuantía en la zona de compresión para disminuir los efectos de la contracción y la fluencia lenta, es decir de la deformación diferida. Si la cuantía fuera nula (podría ser el caso de una losa en la zona central), el factor λ se hace igual a 2, por lo cual la flecha total es 3 veces el valor de la instantánea en condición de sección fisurada, por lo cual cumplir con los requisitos de rigidez puede ser difícil. Si la cuantía de compresión llegara al 2 %= 0.02, entonces el factor λ vale 1.0, por lo cual ahora la diferida es igual a la instantánea. Es importante destacar la gran diferencia con la CIRSOC 201-1982, que prácticamente ignoraba el efecto de deformaciones a largo plazo.

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La Fig. 8, del CIRSOC-201-2005, comentarios, muestra la variación del momento de inercia efectivo Ie en función de la relación entre el momento actuante y el que provoca la fisuración del hormigón.

Fig. 8. Variación del momento de Inercia Efectivo en función de la relación de momentos actuantes y de fisuración.

El código de Nueva Zelanda NZS:3101, en la sección 3.3.2.3 especifica un concepto similar para la evaluación de la deformación diferida, y toma una expresión que, utilizando al misma notación del ACI-318, sería:

λ = [2 − 1.2(As´ / As )] ≥ 0.6

(6)

La Fig. 9, de ref.[6], muestra la variación del factor anterior en función de la relación de armaduras de compresión y tracción, y de la duración de la carga.

Fig. 9. Factor para calcular la deformación a largo plazo.

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6. CONSECUENCIAS DE INTRODUCIR EFECTOS DE FISURACIÓN EN LA DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS INTERNOS. Una pregunta que surge inmediata es cómo deberían calcularse los esfuerzos internos para el diseño por Resistencia: con sección fisurada o en estado I (estado uno)?. Al respecto veamos qué dice la norma: (j) En la sección 8.6.1. dice que idealmente en los análisis se debería contemplar las variaciones de (EI) y de (GJ) por efecto de fisuración y plastificación. Adoptar un conjunto de hipótesis razonables y mantenerlas, es decir ser coherente, durante todo el análisis. En el C.8.6.1 dice, por ejemplo para pórticos, tomar o bien (EI) sin fisurar para todos los elementos, o bien tomar (EI)/2 para las vigas y sin fisurar las columnas. (k) En la sección 9.5.2.2 dice que para flechas tener en cuenta fisuración y armaduras, que es lo que se hizo antes. La inclusión de las armaduras aumenta el momento de fisuración. (l) A su vez, el IC-103-II-2005, sección 2.2.2, dice que para acciones que incluyan al sismo, se deben usar coeficientes de reducción de Ig para lograr valores de Ie. Da una tabla guía, obtenida del código de Nueva Zelanda. Si se han tenido en cuenta los efectos de fisuración para cargas de servicio, con más razón habría que tenerlos en cuenta para obtener los esfuerzos internos ante cargas mayoradas. La Fig. 2 mostró que M+ = M- = 19 tm. Los momentos flectores obtenidos con SAP-2000 para cargas en estado último, cuando se ha degradado la rigidez de las vigas por efectos de fisuración en un 50 % se transforman ahora, como muestra la Fig. 10, en 21.60 tm en apoyo y 16 tm en tramo. Si bien se sigue conservando la suma constante de momentos máximos (verificar siempre la estática), debido a que la rigidez de las columnas es comparativamente mayor con respecto a la viga que en el caso anterior, el momento en el apoyo crece y baja el de tramo. De todas maneras, dado que la sección crítica de diseño está en las caras de las columnas, se puede hacer uso de la opción de obtener los momentos a caras de columnas, que es lo que se muestra en la Fig. 11.

Fig. 10. Momentos en Vigas luego de Degradar su Rigidez a flexión al 50 %, manteniendo las columnas sin degradar.

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Fig. 11. Momentos en estado fisurado, pero con rigid-offset s/SAP-2000.

En otras palabras, la viga podría haberse diseñado para soportar los momentos de la Fig. 9 (si se toman iguales por redistribución son de 16.40 tm) que son del orden del 15 % menor aún que los 19 tm del diseño original. Esto hubiera requerido 10.33 cm2 de armadura de tracción, en vez de los 12 cm2 antes calculados, con lo cual se hubiera ahorrado más armadura de flexión. Lo importante es que esto llevaría a menores armaduras en las columnas y menores armaduras de corte, a la vez que menores problemas para el anclaje, entre otras ventajas. El proceso de revisión del pre-diseño, reajuste del diseño y estudio del detalle es fundamental para optimizar el resultado final.

7. REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. Para el caso en que los momentos hayan sido calculados a partir de un análisis estructural como el desarrollado antes, y no a partir de momentos aproximados por coeficientes dados por uso de tablas como, por ejemplo, el método directo del CIRSOC, cap. 13, es posible la redistribución de momentos. La redistribución de esfuerzos sólo es posible si las secciones tienen ductilidad disponible como para soportar deformaciones plásticas que permitan que otras secciones soporten los incrementos de carga cuando ésta crece. Para ello la cuantía de armadura en tracción debe estar por debajo de ciertos límites. La anterior versión del ACI-318-1999 establecía que la cuantía de armadura en tracción, en general, no podía superar el 75 % de aquella que producía la falla balanceada, ρb . Pero además, si se pretende efectuar una redistribución de momentos la cuantía NO debía superar 0.50 ρb. La expresión para obtener el porcentaje de redistribución era:

  ρ − ρ´    20 1 −    ρ b 

(7)

con la posibilidad de redistribuir hasta un máximo del 20 %. En la nueva versión, 2005, el concepto se mantiene, pero exige que para flexión simple la armadura en tracción para estado límite último se deforme más del 0.005 (si no castiga con una disminución del coeficiente φ, y si se va a efectuar redistribución,

20

dicha deformación no puede ser menor del 0.0075. La nueva versión mantiene el límite del 20 % pero el factor se evalúa como (1000εt). Cuando la deformación ya supera 0.02 (2%) se alcanza el límite de redistribución permitida. Se puede tolerar mayor deformación, pero la redistribución no puede ser mayor del 20 %. De todas formas, el proyecto IC-103-II, sección 2.2.3.3, al igual que el NZS, para el caso de combinación con acción sísmica permite hasta una redistribución del 30 %. Las normas DIN, y por ende CIRSOC 201-1982, permiten una redistribución de hasta el 15 %, límite que colocan, al decir de la norma, para controlar la cantidad y amplitud de la fisuración, pero note que NO permiten al acero pasar del 0.5 %: aparece esto como una contradicción a la necesidad de darle ductilidad a la sección. Si limito εt limito la ductilidad, y por ello pongo en riesgo la redistribución. Los conceptos del ACI y del NZS aparecen como más razonables.

Fig. 12. Curva de comportamiento del hormigón en Compresión según Hognestad

Tabla 3.1 Comparación de criterios de cuantía máxima del ACI-318-1999 vs. 2005.

Versión anterior cuantía

Versión 2005 c/d

εt

observaciones

ρ = ρb

0.6

Falla Balanceada

ρ = 0.75 ρb

0.444

0.002 0.00375, pero adopta 0.004

ρ = 0.50 ρb

0.286

0.0075

Limitación en general Limitación para aceptar redistribución

Como se ve, es importante reflexionar sobre el estado de falla balanceada como concepto físico que permite al diseñador evaluar la disponibilidad o no de ductilidad. En elementos de hormigón armado sometidos a flexión sin axial, la situación de falla balanceada está controlada por la cantidad de armadura en tracción. Sin embargo, como se verá en el capítulo de flexocompresión, cuando está presente el esfuerzo axial, para una sección de hormigón armado dada, la situación de falla balanceada está controlada por el nivel de compresión. Como se observa además, las condiciones de ductilidad, y por lo tanto de falla balanceada dependen de las características mecánicas de los materiales. Note entonces que si bien la norma indica una deformación límite del 0.002 para el acero, esto no será cierto si el acero tiene, por ejemplo, una tensión de fluencia mayor que la especificada. Es por esto

21

que es muy importante conocer las características reales de los materiales. En nuestro medio, el control de calidad en ese aspecto es muy deficiente.

Fig. 13. Esquema para falla balanceada según ACI-318.

Note que la ductilidad de curvaturas para la falla balanceada es 1.0 (no cero), y el diseñador debe alejarse de esta situación pues en ese caso el comportamiento de la sección sería frágil. En vigas, la máxima deformación del acero y por ende la ductilidad está controlada por la cantidad de armadura en tracción. La Fig. 14 muestra la variación de la resistencia a flexión con el área de acero para el caso de la sección de hormigón armado que se muestra en la misma figura. Es evidente que en la región de la región de comportamiento que permite la fluencia por tracción el momento no se incrementa en forma lineal con el aumento de armadura. Esto es porque si bien la fuerza suministrada por el acero se incrementa linealmente, existe al mismo tiempo una reducción en el brazo elástico. En la región donde la falla primaria es por compresión el incremento del momento de resistencia al aumentar el área de acero es extremadamente pequeño porque tanto las tensiones en el acero como el brazo elástico disminuyen con el incremento de acero.

Fig. 14. Resistencia a la Flexión de la sección de una viga simplemente armada con distintos contenidos de armadura de tracción.

22

Fig. 15. Deformaciones del acero en tracción para determinar cuando la sección está controlada por compresión o por tracción. Variación del factor φ

23

8. DISTANCIA ENTRE LOS APOYOS LATERALES DE ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN Y DE DIMENSIONES DE LOS ELEMENTOS. En la sección 10.4, el C-201 establece que a los efectos de evitar la inestabilidad por pandeo lateral, se impone que la distancia entre apoyos laterales de vigas sea menor que 50 b, siendo b el ancho menor de la zona comprimida. En la parte sísmica, el IC-103, sección 2.2.1 y el NZS:3101 en sección 8.5.2 establecen las siguientes limitaciones: Para secciones Rectangulares, y con momentos en ambos extremos se debe cumplir: ln ≤ 25 bw

y

ln h bw

2

≤ 100

(8)

y para secciones Rectangulares de vigas en voladizo se debe cumplir: ln ≤ 15 bw

y

ln h bw

Para secciones T y L con ala y momentos en ambos extremos, se permite que se debe cumplir: ln y ≤ 37.50 bw

2

≤ 60

(9)

alma construidas monolíticamente, y con incrementar los límites en un 50 %, es decir ln h bw

2

≤ 150

(10)

Además, el IC-103, sección 2.2.1.5 impone que si la viga es más ancha que la columna, el ancho de la viga que resiste las acciones de la columna se debe tomar según indica la Fig.16.

Fig. 16. Ancho Máximo de Vigas.

24

9. RESISTENCIAS REQUERIDAS. EVALUACIÓN DE DEMANDAS. APLICACIÓN DE COEFICIENTES DE REDUCCIÓN DE RESISTENCIA φ. Para determinar las resistencias demandas y las resistencias suministradas se debe tener en cuenta el mecanismo de colapso que el diseñador prevea para su estructura. La Fig. 17(a) muestra el caso en que se diseña para columna fuerte-viga débil, es decir con articulaciones plásticas en los extremos de vigas, por lo que en ese caso: (i)

obtener las demandas de flexión en las vigas a partir del análisis estructural con las combinaciones: U=1.4D , U=1.2D+1.6LE , U=D+ηL±E

y U=0.9D±E

usando el factor de reducción de resistencia φ= 0.9. (ii)

Diseñar las vigas al corte y las columnas a flexo-compresión y corte a partir de la Sobre Resistencia a flexión de las vigas, Mo, y en este caso se puede utilizar como factores de reducción de resistencia φ=1.0.

Fig. 17(a) Mecanismo De Colapso En Vigas. Fig.(17(b) Mecanismo De colapso en Columnas.

La Fig. 14(b) muestra un caso en que se postulan rótulas plásticas en columnas, por lo que en ese caso se debe proceder así: (i)

Obtener las demandas de flexión en las columnas a partir del análisis estructural con las combinaciones antes especificadas, con el factor de reducción de resistencia φ que corresponda según el tipo de columna y el nivel de carga axial (es decir ver si controla la compresión o la tracción), ver apunte Tema 1, sección 1.7, y Fig. 12 de este trabajo.

(ii)

Diseñar al corte en las columnas y a flexión y corte en las vigas a partir de la Sobre Resistencia a flexión de las columnas, donde se puede utilizar entonces factores de reducción de resistencia φ=1.0.

10 EVALUACIÓN DE LA RESISTENCIA A FLEXIÓN. 10.1 ANCHO EFECTIVO EN COMPRESIÓN. El IC-103-II-05 se remite a lo que especifica el C-201-05, el que se sintetiza en la Fig. 18 y en lo relativo a rigidez, adopta el criterio de la norma de NZS:3101 y ref.[4] (ver NZS 3101:1995-sección 4.3.3.7(c) último párrafo).

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Fig. 18. Anchos Efectivos para Ala en Compresión para evaluar resistencia a flexión.

10.2 ANCHO EFECTIVO EN TRACCIÓN. El IC-103 sigue los lineamientos del NZS:3101, y que se resumen en la Fig. 19(a). En la Fig. 19(b) se muestran los requerimientos de anclaje de las armaduras de la losa para poder ser consideradas como efectivas a tracción.

Fig. 19(a) Anchos efectivos de alas traccionadas de vigas con momentos negativos para sistemas de entrepisos monolíticos. Norma NZS:3101.

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Fig. 19(b). Determinación del número de barras de las losas dentro del ancho efectivo en tracción que están efectivamente ancladas y que pueden tomarse como activas en la resistencia a momentos negativos. Norma NZS:3101.

De todas maneras hay que tener en cuenta la limitación que dice que al menos el 75 % de la armadura de flexión se debe anclar o debe pasar por el núcleo de la columna. 11 ARMADURAS LONGITUDINALES. 11.1 CUANTÍA MÍNIMA. (i)

Para cargas en general, C-201-2005 en la sección 10.5.1, establece que las mínimas cantidades de armadura en la zona de tracción de las vigas debe ser la mayor entre:

ρ≥

ρ≥

f c´ 1 4 fy

(11)

1 .4 fy

(12)

y por ejemplo, para f´c = 25 MPa = 0.25 ton/cm2 y fy= 420 MPa = 4.20 ton/cm2, la cuantía mínima debe ser de 0.0033. Se entiende por cuantía la expresión:

ρ=

As bw d

(13)

donde As representa toda la armadura de tracción, es decir toda la que esté debajo del eje neutro.

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(ii)

Para el caso de vigas L y T, estáticamente determinadas dice el C-201 y el NZS en 8.4.3.2, con el ala en tracción se debe reemplazar a bw por (2bw), lo cual en forma efectiva quiere decir que la cuantía debe ser mayor que:

ρ≥

f c´ 1 2 fy

(14)

2 .8 fy

(15)

ρ≥

Estos incrementos para vigas con ala en tracción se hacen porque el momento de fisuración en esos casos será substancialmente mayor que para la sección rectangular o bien la misma sección bajo momento positivo. En estos casos, claro está, el ρ contiene las armaduras de tracción que estén en las alas. Estos requerimientos de mínima sirven también para carga sísmica, y el propósito es que la resistencia a flexión sea mayor que la que corresponde al momento de fisuración. (iii) (iv)

(v)

Si la armadura colocada supera en 1.33 veces la requerida por cálculo, no es necesario respetar los mínimos. En el caso de losas estructurales y fundaciones de h=cte., se debe usar la armadura mínima para contracción y temperatura usada para losas, es decir que ρ≥ 0.0018 para fy= 420 MPa. Las separaciones máximas son: s ≤ 2.5 veces el espesor del elemento. s ≤ 25 veces el diámetro de las barras de acero. s ≤ 300 mm.

11.2 REQUISITOS ADICIONALES PARA DISEÑO SISMO RESISTENTE. (i) Para el caso de combinación con sismo, el IC-103 establece, al igual que el NZS, que en zonas potenciales de rótula plástica:

f c´ + 10 ρ≤ 6 fy

(16)

ρ ≤ 0.025

(17)

En el caso de f´c = 25 MPa = 0.25 ton/cm2 y fy= 420 MPa = 4.20 ton/cm2 la cuantía máxima no debe superar 0.0138, es decir el 1.38 %. Note que si se aplica el concepto para una viga simplemente armada, es decir sólo con armadura de tracción (irreal pero sirve como referencia), tal cual se vio en la ref.[2] en ecuación (3.25), hubiera resultado:

ρ ≤ 0.001 f c´ =0.001 x 25 = 0.025

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y si la armadura se limita al 50 % de la falla balanceada, se hubiera usado 0.0125, es decir no más del 1.25 %, similar a lo que da la expresión anterior. La ref.[4] indica que el límite de ρ ≤ 0.50 ρb asegura que al menos se logre una ductilidad de curvaturas de 8 cuando la fibra extrema del hormigón alcanza la deformación de 0.004. (ii) En zona de rótula plástica se exige que A´s ≥ 0.50 As y esto es a los efectos de (a) asegurar una adecuada ductilidad en la rótula; (b) asegurar una mínima cantidad de armadura cuando el sismo se revierta; (c) cubrir posibles variaciones en la distribución de los momentos obtenidos por el análisis estructural y (d) posibilita incrementar la cuantía máxima de tracción. Por ejemplo, si ρ´= 0.75 ρ, el NZS, sección C.8.5.3.2.(b) dice que el ρmáx se puede incrementar en hasta un 30 %. (iii) El IC-103 y el NZS piden que al menos ¼ de la mayor de las armaduras superiores de los apoyos se prolonguen en toda la luz. Esto es para evitar discontinuidades bruscas de armaduras, y poder compensar ciertas desviaciones en la distribución de momentos. El IC-103 exige que las vigas tengan al menos 2φ12 mm arriba y abajo, mientras que el NZS pide 2φ16mm. (iv)

Además se exige que al menos el 75 % de la armadura de flexión dentro del alma, en cada cara debe pasar por el núcleo de la columna o anclarse en él. Si la combinación que controla es cargas verticales, sólo el 75 % de la que requeriría por cargas verticales más sismo es la que debe cumplir tal condición.

11.3 DISTRIBUCIÓN DE LA ARMADURA DE TRACCIÓN EN VIGAS Y LOSAS. En la sección 10.6 del C-201 se establecen las siguientes condiciones: (a) La separación máxima de las armaduras en zonas más cercanas a la cara traccionada deben ser:

s≤

95000 − 2.5cc fs

s ≤ 300mm(252 / f s )

(18) (19)

donde fs es la tensión del acero para cargas de servicio y puede adoptarse como igual a 0.60fy, y cc es el espesor de recubrimiento libre para la armadura de tracción, es decir distancia de la cara traccionada a la superficie de la armadura en tracción. Por ejemplo, si fuera cc = 30mm y fy=420 MPa, por lo que fs = 252 MPa, la primera de las ecuaciones daría que s≤ 302 mm, por lo que se adopta 300 mm. Esta limitación no es válida para ambientes muy agresivos. (b) Para vigas L y T con ala en tracción, parte de la armadura de tracción por flexión se debe disponer dentro del ancho efectivo be según se determinó como ancho efectivo en compresión, o en un ancho 1/10 de la luz, el que sea menor. La Fig. 20 muestra el requerimiento. Si be>l/10 se debe disponer alguna armadura longitudinal en las zonas externas del ala. El reglamento NZS hace la misma

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consideración, pero en vez de tomar como segundo ancho de control l/10 toma el que resulta de la Fig. 21.

Fig. 20 Distribución de Armadura en Alas para Momentos Negativos en Vigas L y T.

Fig. 21 Sección efectiva de las vigas: ancho de losa a considerar.

Sin embargo, en forma clara la NZS, en sección C.8.3.2.4 vuelve a aclarar que el 75 % de As debe pasar por el núcleo de la columna. c. Si la altura efectiva de la viga es mayor de 1.0 metro, se debe colocar armadura distribuida en las caras laterales, en la profundidad d/2, por un total de Ab ≤ As/2, y tal que la separación sea la menor de: sk≤ d/6 sk≤ 300 mm sk≤ 1000 Ab/d-750

(20)

y esta armadura hay que incluirla en la evaluación de la resistencia de la sección.

30

La Fig. 22 muestra el requerimiento del CIRSOC.

Fig. 22. Armadura Longitudinal en las Caras Laterales de Vigas con altura >1.0m

31

12. BIBLIOGRAFÍA. [1] “Reglamento CIRSOC 201-2005”. 2005. [2] Manual de Cálculo de Estructuras de Hormigón Armado. Aplicación de la norma DIN 1045. Osvaldo Pozzi Azzaro. 1981. [3] “Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings”, Tomas Paulay & M.J.N. Priestley, John Wiley & Sons, Inc. 1992. [4] ”Seismic Design of Concrete Structures. The Present Needs of Societies”. Tomas Paulay. 4-EIPAC-99. Mendoza. Mayo 1999. [5] “Cargas y Sobrecargas Gravitatorias para el Cálculo de las Estructuras de Edificios”. Reglamento CIRSOC 101. INTI. Julio 1982. [6] “New Zealand Standard”, NZS, 3101:1995, Parte 1 (Código) y Parte 2 (Comentarios). [7] “Reglamento CIRSOC 201” y Anexos. Tomos 1 y 2. 1982. [8] “SAP-2000: Structural Analysis Program. Versión 7.44. [10] “SECAN: SECtion ANalysis”. Programa de Análisis de Rigidez, Resistencia y Ductilidad de Secciones de Hormigón Armado. C.R. Llopiz. 1986. [11] “Características Mecánicas del Hormigón Armado “. Cátedra Hormigón I. FIUNC. Apuntes de clase. Carlos R. Llopiz. 2002. 54 pág. [12] “Diseño de Estructuras de Concreto“. Arthur Nilson. 12ª. Edición. Mc. Graw Hill. Año 2000. [13] Comportamiento, Resistencia y Deformación de Elementos de Hormigón Armado Sometidos a Flexión. Cátedra Hormigón I FI-UNC. Capítulo 3. 1er. Parte. Agosto 2002. C. R. Llopiz. [14] Apéndice A de Capítulo 1 de Apuntes Cátedra de Hormigón I. FI-UNC. C.R. Llopiz. Julio 2002. [15] Reglamento para Construcciones Sismorresistentes. Construcciones de Hormigón Armado. 2005. INPRES.

Parte

II.

[16] “Características Mecánicas del Hormigón Armado “. Cátedra Hormigón I. FIUNC. Apuntes de clase. C. R. Llopiz. 2002. 54 pág.