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• Jordy Robinson Caichihua Vergara

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FLEXION EN VIGAS Un

elemento

estructural

razonablemente

largo

respecto

a

jas

dimensiones de su laterales y que soporta cargas perpendiculares a su eje longitudinal se denomina viga. Cualquier miembro estructural, ya sea un eje, un trabe en un puente o en un edificio, etc; que se flexiona bajo la aplicación de cargas, puede considerarse como viga. Al igual que los diagramas de fuerza normal y de momento torsor, los diagramas de fuerza cortante y de momento flector proporcionan información importante para determinar la fuerza cortante y el momento máximos en una viga. Una vez determinado el momento flector

interno en una sección

cualquiera de la viga se puede calcular el esfuerzo por flexión. El diseño de una viga incluye 2 partes: en la primera se determinan los esfuerzos internos así como las deflexiones (flecha) producidas por las cargas. La segunda parte está relacionada con la selección del material y la mejor sección transversal que resista tales esfuerzos y deflexiones. Tipos de Vigas.- La clasificación más generalizada consiste en agruparlas en: vigas estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas. P

P1

w

M

P2

Vigas simplemente apoyadas P1

P3

P2

w

Vigas con voladizo P1

w

Vigas en voladizo

Figura (6.1 a) Ejemplos de vigas isostáticas 1

P

Vigas Isostáticas. Son aquellas en las cuales puede determinarse las reacciones en los apoyos con las ecuaciones de equilibrio. Una viga simplemente apoyada, descansa sobre soportes en sus extremos que permiten la rotación.- Una viga en voladizo está fija (sin rotación) en un extremo. Vigas Hiperestáticas. Cuando se tiene mayor número de reacciones incógnita que ecuaciones de la estática, se dice que la viga es estáticamente indeterminada.- Una viga en voladizo con apoyo en el extremo, una viga con doble empotramiento y una viga apoyada sobre tres o más apoyos (viga continua), son ejemplos de vigas hiperestáticas.

Figura 6.1 b Ejemplos de vigas hiperestáticas

4.1 Relaciones entre carga, Fuerza Cortante y Momento Flector Las cargas normalmente pueden ser: peso propio de la viga, concentradas, distribuidas (uniformemente o no), y par. Para el cálculo de reacciones, las cargas distribuidas pueden remplazarse por sus resultantes que actúan en el centro de gravedad del área de la carga distribuida.- Las reacciones son las fuerzas y/o pares que actúan en los soportes. El cortante vertical V (N o Kgf) en cualquier sección es una suma algebraica de todas las fuerzas que actúan paralelas a (y sobre) un lado de la sección: V = ∑Fv. El momento flexionante M (N-m o Kgf-m) en cualquier sección es la suma algebraica de los momentos de las fuerzas externas que actúan sobre la viga en un lado de la sección, respecto a uno de los ejes principales centroidales de inercia de la sección. 2

CONVENCIÓN DE SIGNOS. La Figura (6.2) ilustra la convención de

signos que se usa comúnmente para la interpretación correcta de las ecuaciones y diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.

V

(+)

(+)

M

M

V

M

V

(-)

M

V (-)

a)

Considerando el efecto de cargas externas

(+)

M

M

V

(+)

V b) Considerando las fuerzas internas en la sección Figura 6.2.

Convención de signos para fuerza cortante y momento flector en las vigas.

Los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector

Son gráficos que muestran la magnitud de la fuerza cortante o del momento flector a lo largo de la longitud de la viga. La construcción del diagrama de fuerzas cortantes y del diagrama de momentos flectores se simplifica gracias a ciertas relaciones existentes entre carga, fuerza cortante y momento flector. A fin de obtener estas gráficas matemáticas, considérese la figura (6.3) que ilustra un ejemplo de viga 3

simplemente apoyada que soporta una carga distribuida w N/m

Fig. 6.3 Viga con carga uniformemente distribuida

Separamos el tramo de viga de longitud

∆x

y trazamos el diagrama de

cuerpo libre correspondiente:

Condición de equilibrio:

∑ F y =0

V −( V + ∆ V )−w ∆ X=0 W ∆ X =−∆ V → w=

−∆ V ∆X

En el límite, para: ∆ x → 0 dV =−w ( 6.1 ) dx

Esta relación indica que la pendiente

dV /dX

de la curva de fuerza

cortante (para la viga del ejemplo) es negativa, y numéricamente igual a la carga distribuida en ese punto. También, escribiendo el equilibrio de momentos:

∑ M C → ( M + ∆ M )−M −V ∆ X +W ∆ X +( ∆2X )=0 '

4

Ordenando convenientemente se tiene: ∆M 1 =V − W ∆ X ∆X 2

En el límite, para V=

∆ x → 0 se tendrá: dM dx

(6.2)

(pendiente de la curva de momentos) Integrando (6.2) entre las secciones C y D XD

M D −M C =∫ Vdx (6.3 ) XC

Lo que nos indica que,

M (¿ ¿ D−M C ) ¿

es el área bajo la curva de fuerza

cortante entre C y D. Construcción de los diagramas V y M Según lo indicado para V, se deduce que en la sección de la viga donde se aplica una carga concentrada, en el diagrama de las fuerzas cortantes deberá aparecer un salto brusco de magnitud igual a la de la fuerza exterior. - En forma similar, en la sección donde se aplica un par de fuerzas, en el diagrama de los momentos flectores deberá aparecer un salto brusco de magnitud igual a la de este par de fuerzas exterior. Para vigas que no soportan momentos distribuidos (que originan flexión), al dibujar los DFC y DMF, así como al comprobarlos, debe usarse las relaciones diferenciales (6.1) y (6.2) entre M, V y w y las que de estas se deducen. Deducciones esenciales de las relaciones (6.1) y (6.2):

1. La fuerza cortante es la pendiente de la recta tangente al diagrama de 5

momentos flectores en la sección dada; y la intensidad de la carga distribuida (w) lo es de la tangente al diagrama de fuerzas cortantes. 2. En la sección de la viga donde la fuerza cortante es cero el momento flector tiene un valor extremo y en la sección donde la fuerza cortante pasa bruscamente por su valor nulo, el gráfico de M pierde su monotonía. 4. En cada tramo de la viga la variación de la magnitud del momento flector entre dos secciones cualquiera es igual al área del diagrama de las fuerzas cortantes entre estas dos secciones; siempre y cuando no actúe sobre este tramo pares concentrados exteriores. 5. Si el eje x va dirigido hacia la izquierda desde el extremo derecho de la viga, entonces: V=

dM dX

6. La concavidad de la curva del diagrama de momentos tiene la misma dirección que la carga distribuida.

En general, es conveniente trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector por debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga.

En la figura (6.4) se muestran diagramas para algunos tipos de carga comunes; cualquier viga tendrá una o más combinaciones de éstas.

6

w (x)

w

P

RA

RA

RB

RB

+

+

+ -

-

-P/ 2

+

-

Curva de3er grado

2

WL /8

DMF

RB

curva parabolica

P/2

DFC

RA

+

7

+

Figura (6.4) Ejemplos de diagramas de fuerza cortante y momento flector Ejemplo 6.1. Para la viga cargada según se muestra, trazar los diagramas de fuerza contable y momento flector. y

50 KN w = 30 KN/m

B x

A

3,00 m

C

1m 8

1,5 m

D

Calculo de reacciones: ∑Mc = 0

( 30 ×4 ) ×2+50 ×1−830× 1.5 R A =¿ × 0.75 ¿ 4 R A =64.06 KN ∑FY = 0 Rc= ( 30× 5.5+50 )−64.06 RC =150.94 KN

Conocidas las reacciones en los apoyos, procedemos al trazado de los diagramas de fuerza contante y momento flector siguiendo las instrucciones dadas anteriormente. y

50 KN w = 30 KN/m

B x

A C RC

RA 64,06 45 DFC (KN)

2,14 m

-25,94

68,54

-105,94

DMF (KN-m)

-33,75

9

D

Otra alternativa para graficar los diagramas es obtener previamente las ecuaciones de V y M como funciones de x. PROBLEMA 6.2. Trazar diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga con voladizo que se muestra en la figura. 6 KN

3 KN

A

C

B 2m

3 KN/m

2m

E

D 2m

2m

SOLUCIÓN

Equilibrio en la viga

∑ M A =0 R D=

:

RD× 6 – 6×4 – 3×2×7 = 0

72 =12 KN 6

En forma similar: ∑MD = 0 RA× 6 - 3×4 + 3×2×1 = 0

RA=

18 =3 KN 6

Determinadas las reacciones, se completa los valores de las cargas externas actuantes en la viga y finalmente hacemos los diagramas correspondientes.

10

6 KN

3 KN

3 KN/m x

RB

RA 6 3

DFC (KN)

-6 6 DMF (KN-m)

-6

PROBLEMA 6.3. Para la viga (de sección circular) que se muestra, hacer los

gráficos de fuerza cortante y momento flector. Y

Y

P1

P2

P1

P2 Z

P1 = 6 KN 45°

P2 = 8 KN 60°

X

R 100

600.00

1800.00

1200.00

1800.00

600.00

SOLUCIÓN:

Como

P1=6 KN y P2=8 KN

son cargas inclinadas consideramos los planos

de carga x-z y x-y para dibujar los gráficos de fuerza cortante y momento flector de la viga

11

X P2X

P2X Z

P1X

P1X

RAX

RBX

Tenemos, para las componentes de

P1 y P2

en la dirección del eje x:

P1 x =P1=cos 45 ° → P1 x =3 √ 2 KN P2 x =P2 cos 60 ° → P2 x =4 KN

Cálculo de reacciones en los apoyos:RAx y RBx

∑ F Y =0

→

∑ M B =0

→ P1 x (35,4 ) + R Ax ( 4.8 )−P2 x ( 3 ) + P1 X ( 1.8 ) + P2 x ( 0.6 )=0

RAx + RBx = - 0,485

Resolviendo, tenemos: RAx= - 4,363 KN RBx = 3,878 KN

12

X P2X

P2X Z

P1X

P1X

RAX

RBX 4,0

4.24

DFC (KN)

0.12

- 0.12 - 4.12

2,54 2,32

DMF (KN-m)

- 2,4 - 2,62

Considerando ahora como fuerzas concentradas a las componentes de P1 y P2

en la dirección del eje Y.

P1 y =P1 sen 45 ° → P1 y =3 √2 KN P2 y =P2 sen 60 ° → P2 y =4 √ 3 KN

PLANO y – z Cálculo de reacciones

R Ay y R By

:

Ecuaciones de equilibrio:

∑ F Y =0 ∑ M B =0

RAy + TBy = 22,34 −P1 Y ( 5.4 ) + R AY ( 4.8 )−P 2Y ( 3 )−P1 Y ( 1.8 ) −P2Y ( 0.1 )=0

13

Resolviendo tenemos: RAy = 9,83 KN

RBy = 12,51 KN

En la siguiente figura se muestra los diagramas DFC y DMF respectivos. Y P1Y

P2y

P2y Z

P1y

RAy

RBy 6,93

5,58 DFC (KN) -1,34 - 4,24 -5,58 7,5

5,9

DMF (KN-m)

- 2.55

-4,16

Ejemplo 6.4. Construir los diagramas de fuerzas cortantes y momento flector de la viga con articulación flotante. y w A

B Articulación Flotante

2a

C

a

SOLUCION

Para condición de articulación flotante, el momento flector en la sección B es nulo. Para resolver descomponemos la viga en dos: 14

AB: Simplemente apoyado BC: En forma de voladizo

Para ambos tipos de vigas, la figura (6.4) nos proporciona sus respectivos diagramas de fuerza cortante y momento flector.

y w A FB

RA

FB DFC (KN)

RA

w a2 2 DMF (KN-m)

-wa2

6.2 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES AXIALES EN VIGAS Hipótesis: 1. El material de la viga observa la Ley de Hooke. 2. El módulo de elasticidad a la tracción y a la comprensión es el mismo. 3. La configuración geométrica de la viga es tal que la flexión y no el pandeo es el modo primario de falla. 4. Las secciones planas originalmente perpendiculares al eje longitudinal de la viga (permanecen planas) y perpendiculares al eje longitudinal después de la flexión: esto es cualquier sección transversal no se encorva ni se 15

alabea. 5. En la viga deformada, los planes de dichas secciones tiene una intersección común; es decir una recta originalmente paralela al eje longitudinal de la viga se convierte en arco de circunferencia. FLEXIÓN PURA Si en los extremos de la viga actúan momentos flectores iguales y opuestos (en el mismo pleno longitudinal), se dice que está sometida a flexión pura. La figura (6.5) ilustra ejemplos de vigas a flexión pura. P

P

M

B B

A

A

P

DFC DFC

M

P a

DMF

DMF

Figura 6.5. Ejemplos de vigas a flexión pura.

Obsérvese que en los tramos de flexión pura la fuerza cortante es nula.

VIGAS CON SECCION SIMETRICA 6.2.1. Flexión Simétrica: Primero estudiaremos los esfuerzos y deformaciones de un elemento prismático que posee un plano de simetría y es sometido en sus extremos a momentos flectores iguales y opuestos Mz que actúan en el plano de simetría. Consideramos el sistema coordenado de manera que el eje Y es eje de 16

simetría y el origen está en el centroide de la sección.

y Mz

z Q

x Mz

Figura 6.6 Esquema de viga sometida a momento flector Mz

En la figura (6.6), el plano de corte Q divide la viga en dos. Separamos la porción izquierda y tracemos su diagrama de cuerpo libre (Figura 6.7), mostrando las figuras internas en el material. La parte superior de la sección, soporta comprensión y la parte inferior tracción; y por lo tanto, el eje Z viene a ser el neutro (sobre cuyos puntos es esfuerzo es nulo). Condición de Equilibrio ❑



F x =0 : ∫∫ σ x dA=0 … .(6.4) A

❑

∑

F x =0 : ∫∫ σ x dA=0 … .(6.4) A

❑



M y =0 : ∫ Z(σ x dA)=0 … .(6.5)

∑

M Z =0 : ∫ Yσ x dA=M Z … .(6.6)

A

❑ A

17

y

dF = xd (Compresión)

y

x

z

M

dF = xd (Tracción)

Figura 6.7 Fuerzas dF actuantes en dA La ecuación (6.4) verifica la característica de par del momento MZ, pues la fuerza de tracción y la comprensión se anulan mutuamente. La ecuación (6.5) resulta trivial si por hipótesis el eje Y es eje de simetría de la sección (nótese que cualquier dA

dA

con Z positivo tiene su “simétrico”

con Z negativo).

Concluimos que

la

(distribución real de esfuerzos es estáticamente

indeterminada) pues la ecuación (6.6) resulta insuficiente. Para obtener la ecuación complementaria analizaremos las deformaciones producidas en el elemento. En la Figura (6.8) se muestra una porción de viga deformada.- La deformación del elemento causada por el momento flector M es medida con la (curvatura) de la superficie neutra.- La curvatura es definida como el inverso del radio de curvatura. Consideramos la fibra paralela a la superficie neutra a una distancia “y”. Podemos escribir para la deformación longitudinal en el tramo CD. ❑

X=

−δ −δ = CD ∆ X

( 6.7 )

18

O

y B

x

D'

C y

x

A'

B'

Línea Neutra

x

Figura 6.8 Esquema de viga deformada Relaciones geométrica: δ=Y ×θ ∧ ∆x = ρ× θ

…. (6.8)

En (6.7): ❑x =

Y ρ

….. (6.9)

La relación (6.9) nos indica que la deformación unitaria longitudinal de una fibra cualquiera es directamente proporcional a su distancia “y” de la fibra neutra. Si utilizamos (6.9) en la Ley de Hooke: σ x=

−E ∙y ρ

(6.10)

Que nos muestra que el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia desde la superficie neutra. Ahora, reemplazamos

σX

de (6.10) en la ecuación de equilibrio (6.6)

19

−E ρ ❑ E y (¿∙ y)dA= ∫ y 2 dA PA M Z =−∫ ¿

De estática, la expresión:

∫ y 2 dA

(6.11)

es el momento de inercia de la sección

respecto al eje z.- Reemplazando en (6.11) y ordenando tenemos: Mz 1 = EI z ρ

(6.12)

Que viene a ser la expresión de la curvatura de la línea neutra. Despejando

( E/ ρ) de (6.10) y reemplazando en (6.11)

M z=

−σ x ∙I z Y

(6.13)

Finalmente, el esfuerzo normal: σ x=

−M z y Iz

(6.14)

Cuya presentación gráfica se muestra en la Figura (6.9). El esfuerzo máximo se producirá en Y = Ymáx= C σ máx =

−M Z ×C IZ

(6.15)

(C se toma como C1 ó C2) De (6.14) y (6.15):

σ x=

Y σ C má x

(6.16)

20

y



C1

máx (Compresión)

Superf. neutra

C2

Mz



máx (Tracción)

Figura 6.9. Esquema de la distribución del esfuerzo normal

Para verificar que el eje centroidal Z y el eje neutro coinciden, sustituimos (6.16) en la ecuación de equilibrio (6.5)

∫ Zσ x dA=∫ Z

(

−σ ❑ −Y σ máx dA= máx ∫ ZYdA=0 C C A

)

→∫ YZdA=0 Y de Estática sabemos que: “el producto de inercia con respecto a los ejes y –z será cero, si estos ejes son los ejes centroidales principales de la sección transversal”, con lo que se comprueba que el eje neutro es el eje z.

En la ecuación (6.15) a la relación: S = Iz/c, se le denomina módulo elástico de la sección o momento resistente, y como puede verse depende únicamente de la geometría de la sección.- Valores de “s” para secciones de uso común se encuentra en tablas y manuales. σ m á x=

−M z (6.15 a) S

De esta última relación, se concluye que es recomendable seleccionar una sección transversal con el mayor valor de “S” posible. Ejemplo: Para el caso de una sección rectangular de dimensiones b y h. 21

Su módulo resistente será: y

3

bh IZ 12 1 2 S= → S= = bh C h 6 2

h

z

1 S= Ah 6 b

Por tanto, a igualdad

de áreas “A” de la sección transversal de forma

rectangular, la viga con mayor altura h tendrá el mayor módulo de sección y será más efectiva para resistir a la flexión, salvo limitación por inestabilidad.

ELEMENTOS HECHOS DE VARIOS MATERIALES Para un elemento hecho de dos o más materiales con módulos de Young diferentes, nuestra aproximación para la determinación del esfuerzo normal en el elemento debe ser modificado. La deformación normal mantiene su variación lineal con la distancia “y” desde el eje neutro de la sección porque no depende del material. Sin embargo no podemos asumir que el eje neutro pase por el centroide de la sección transversal. σ x=

−E ∙y ρ

A B

x)A

x)A L. N

x)B

x)B

Figura (6.10) Distribución de esfuerzos y deformaciones en una barra de dos materiales (EA < EB ).

22

El esfuerzo normal en cada material puede determinarse por la conocida relación. σ x= Analicemos

las

−E ∙y ρ

condiciones

(6.10 repetida) de

MZ

equilibrio para un tramo de viga como A

la que se muestra en la figura 6.11.

dFA x

−E A d F A =( σ X ) A × dA= YdA ρ

d F B =( σ X ) B × dA=

B

dFB

MZ

Figura 6.11

−E B YdA ρ

En la sección transversal debe actuar únicamente el par M. ∑ F X =0 → F B−F A=0

(∫ σ X dA )B−(∫ σ X dA ) A=0 EB EA σ X dA ) − (∫ σ X dA )A =0 ( ∫ ρ ρ B

Se sabe que para los momentos de primer orden se cumple: ❑

∫ ydA=Y´ × A →−E A ( Y´ A × A A ) + E B ( Y´ B × A B ) =0 A

(6.18)

Dividiendo entre Ea y haciendo n = Eb / Ea, tenemos: −Y´ A × A A + n ( Y´ B × A B ) =0 Donde

Y´ A

e

Y´ B

son las distancias de la L. N, a los C. G. de la porción de

material A y B respectivamente. Localización del eje neutro.

23

y'

y'A-y

z'

Considérese el sistema de ejes Y’- Z’ para

A

la sección transversal, en el que la

L. N

B

y y'B

Fig. 6.12

y'A

distancia “y” fija la posición del eje neutro e Y´ ' A

´ , Y 'B

son las distancias del eje Z’

a los centros de gravedad de los materiales A y B.

24

De la ecuación (6.18): E A A A Y´ A −E B A B Y´ B =0

De acuerdo a la Figura (6.12) podemos escribir: E A × A A ( Y´ ' A −Y ) −EB × A B ( Y − Y´ ' B ) =0 −Y ( E A A A−E B A B ) + E A A A Y´ ' A −E B A B Y´ ' B =0 de donde: Y=

E A A A Y´ ' A + E B A B Y´ ' B EA A A+ EB AB

(6.19)

Ecuación que determina la posición del eje neutro n=

Con

EB E Y´ ' + n A B Y´ ' B →Y= A A EA A A+ n AB

(6.20)

En general para un elemento de varios materiales: n

∑ Ei A i Y´ ' i

Y = i−1n

(6.21)

∑ Ei A i i−1

ESFUERZO NORMAL MZ

y

dFA

yA z

yB

x dFB

Figura (6.11) repetida

MZ=M

Segunda condición de equilibrio: ∑ M Z =0 : ∫ σ X Y A dA+∫ σ X (−Y B ) dA+ M Z =0

→

EA ❑ 2 E ❑ 1 Y A dA+ B ∫ Y 2A dA=M → ( E A I A + EB I B ) =M (6.22) ∫ ρ A ρ ❑ ρ

Como la curvatura es única y está en relación directa con los esfuerzos. σ A=

−E A Y A 1 −σ A → = ρ ρ EA Y A

σ B=

−E B Y B 1 −σ B → = ρ ρ EB Y B

Reemplazando valores estas expresiones en (6.23) −σ A −M E A Y E A I A + E B I B ) =M → σ A = ( EA Y A E A I A + EB I B σB −M E B Y E A I A + E B I B )=M →σ B= ( EB Y B EA I A+ EB I B

}

(6.23)

Si n = Eb / Ea:

}

−M ∙ Y I A +n I B σ =n σ A B −M ∙Y σB= ×n I A+ n I B →σ A=

(6.24)

Si la viga de dos materiales tiene una sección transversal como la que se muestra la Figura (6.12)

A

B

Fig. (6.12). sección de dos materiales

El momento flexionante M es soportado por los dos materiales: MA + MB = M

(6.25)

Una relación ya obtenida anteriormente, entre la curvatura y el momento flexionante es: σ X=

−M Y 1 M −E Y →σ X = ; = ρ I ρ EI MA MB 1 1 = Λ = ρ EA I A ρ EB IB

→

De (6.26) despejando M A+ M A ×

EB

MA MB = E A I A EB I B (6.26)

y reemplazando en (6.25)

EB I B =M EA I A

M A ( E A I A + E B I B )=M E A I A Luego M A=

M EA I A (6.27) EA I A+ EB I B

M B=

M EB IB EA I A+ EB I B

(6.28)

Los esfuerzos normales que generan los momentos ecuación (6.14), son: σ A=

MA M Y ; σ B= B Y IA IB

MA

y

MB

según la

Reemplazando (6.27) y (6.28) σ A=

σ A=

−M E A I A Y

( EA I A+ EB I B ) I A

; σB=

−M E B I B XY

( E A I A + EB I B ) I B

→−σ B=

−M ∙Y −M ∙ Y ,σ = → σ B =n σ A I A+ n I B B I A+ n I B

PROBLEMA 6.5

−M E B XY EA I A+ EB I B

(6.24 Repetida)

Determinar el máximo valor de P que se le puede aplicar a

la viga de dos materiales cuya sección se indica, sabiendo que los esfuerzos admisibles a tracción y comprensión son: Acero: σT=1200 kg/cm2

E=2,1 x 106 kg/cm2

σc=800 kg/cm2

E= 0,7 x 106 kg/cm2

Aluminio: σT=1000 kg/cm2 σc= 600 kg/cm2

P

A

2m

B

2m

B 1m

P

8 8 8

B

Ac

Al

8 cm 8 cm

SOLUCION

Por conveniencia, consideramos al aluminio como material A y al acero como material B. Localización del eje neutro: Fórmula (6.20) Y=

( 2 × ( 16 ×8 ) 8+ ( 8× 8 ) 4 ) +3 ( 8 ×8 ) 12 4608 ( 2 ×16 ×8+ 8 ×8 ) +3 ( 8 × 8 )

=

512

=9 cm

Cálculo de los esfuerzos normales: σAcero y σAl Primero evaluamos los momentos de inercia:

I A =2

I B=

[

][

]

1 1 ×8 ×16 3+ ( 8 ×16 ) ×12 + 8 × 83 + ( 8 ×8 ) ×5 2 =5717.33+1642.66 → I A =7364 cm 4 12 12

1 8 × 83+ 8 ×8 ( 7−4 )2=382 cm4 12 P

A

B

2m

P

B 1m

2m

B

50 P

y

DMF kgf-m

c T

T c

Z

(3)

Z'

(1) (2)

(1)

7 cm 9 cm

-100P

Según el DMF de la viga tenemos dos opciones para considerar los valores máximos de los esfuerzos de compresión y tracción: Sección en x=2 m. y la sección en x= 4 m. Sección en x=2 m. Utilizando la ecuación (6.24) para el esfuerzo normal. (σ A )max =

−50 P× (−9 ) =0.04565 P 7360+3 ×832

(σ B) max=

−50 P× ( 7 ) × 3=−0.1065 P 7360+3 ×832

(T)

(C)

Sección en x = 4 m. Corresponde a la ubicación del apoyo B. (σ A )max =

−(−100 P ) × (−9 ) =0.0913 P 7360+3 × 832

(σ B) max=

−(−100 P ) × ( 7 ) × 3=+0.213 P 7360+3 × 832

(C)

(T)

Para determinar el valor máximo de P comprendemos los esfuerzos máximos obtenidos con los esfuerzos admisibles. Material A (aluminio) 0.04565 × P=100

0.0913 × P=600

kgf → P1 =21905,8 kgf cm2

kgf → P 2=6571,74 kgf 2 cm

Material B (acero) 0.213 × P=1200

kgf → P3 =5633,8 kgf cm2

0.1065 × P=800

kgf → P 4=7511,74 kgf cm2

Por lo tanto, 0.04565 × P=100

kgf → Pmax =P3 =5633,8 kgf 2 cm

METÓDO DE LA SECCIÓN TRANSFORMADA Consiste en asumir que la sección transversal es de un solo material (normalmente el de menor E), pero obviamente, de geometría diferente. Veamos seguidamente el análisis respectivo. De las relaciones (6.17) tenemos:

d F B =n ∙ d F A

(6.29)

dF B

podría

Lo que nos indica que la misma fuerza

ser ejercida en un

elemento de área n.dA del material A.- En otras palabras, la resistencia a la flexión de la viga permanecería igual como si ambas porciones fuesen del primer material, estipulado que el ancho de cada elemento de la porción inferior debe multiplicarse por el factor “n 2”.- Nótese que este ensanchamiento (si n>1) o estrechamiento (si n