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Iñaki Carrascal Mozo. Movimiento armónico simple. Problemas de Yahoo! Respuestas 1.6 07/01/2013.Pág. 1 de 30

Movimiento Armónico Simple. Iñaki Carrascal Mozo. [email protected] http://www.carrascal.net46.net/fisicas/ v1.0: 16/11/2012. Última actualización: v1.7: 07/02/2013 Autor

Iñaki Carrascal Mozo

Título del documento

Movimiento armónico simple

Fecha creación - Nº preguntas resueltas / páginas cuando fue creado

V 1.0 - 16/11/2012 – 10 preguntas / 9 pág.

Fecha actualización - Nº preguntas resueltas / páginas en la actualidad

V 1.7 – 07/02/2013 - 44 preguntas / 30 pág.

Enlace (Link) del documento

http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal

http://www.scribd.com/doc/113599731/Fisica-Movimiento-Armonico-Simple-by-Carrascal

Puesto 3º en “Los mejores de Física”. 93 % Mejor Respuesta. 81 fans. Nivel 7. 25.680 puntos. 1759 preguntas (07/02/2013)

El 11 de octubre de 2012 me hice miembro de Yahoo! Respuestas y me puse a resolver Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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ejercicios que planteaba la comunidad. Me gustaba el planteamiento de que alguna duda que tuviera alguien pudiera resolverla uno o varios compañeros a través de internet. En (exactamente) un mes alcancé el Nivel 6 (superando los 10.000 puntos). Y en (justamente) dos meses he superado los 17.000 puntos y me he colado hasta el 3º puesto de los “Mejores de Física”. Desde el 07 de febrero de 2013 ocupo el Nivel 7. Soy “Colaborador destacado” en Física, Matemáticas e Ingeniería (y también lo fui en Software). Desde el 23 de noviembre estoy entre los 10 primeros puestos de “Los mejores de Física”, el 03 de diciembre ocupé el 7º puesto, el 15 de diciembre el 5º lugar y el 07 de febrero de 2013, el tercer puesto. He alcanzado un 93 % de Mejor Respuesta. A fecha 07/02/2013 llevo contestadas 1759 preguntas, con 25.680 puntos (nivel 7), tengo un 93 % de Mejor Respuesta, ocupo la 3ª posición de “Los Mejores de Física” y tengo 81 “fans”. A continuación presento unas cuantas preguntas de Yahoo! Respuestas que yo mismo resolví, con la fecha en que lo hice. En la mayoría de ellas he respetado la pregunta original. Quizá haya corregido alguna falta de ortografía o mejorado un poco el enunciado para hacerlo mas claro. Con el tiempo iré ordenando los ejercicios por orden de dificultad creciente. Aunque muchos problemas pueden resolverse de otra forma, creo que las respuestas que he dado son la manera más adecuada de hacerlo, fruto de años de docencia de Física y Matemáticas a nivel universitario. Las respuestas están tal y como las respondí en su momento, con el (sencillo) editor de textos de Yahoo. He procurado poner paréntesis para clarificar las mismas. Las potencias las indico con: ^ (5^4); la raíz cuadrada, con ^(1/2), con SQRT o con “raiz” (ej. raiz (2) = 2^(1/2)); la integral como “integral”. No puedo emplear subíndices (ej. radio de la Tierra: RT; épsilon sub o)... Si alguna de las respuestas es incorrecta, que puede, pues todos somos humanos y de vez en cuando nos confundimos, podéis comunicármelo por correo electrónico: fí[email protected] . Revisaré mi respuesta y la que me indiquéis y la corregiré si es necesario. El 18/11/2012 me agregué al foro100cia y el 09/12/2012 al Grupo de Facebook Ayudémosnos en matemáticas por lo que también he incluido mis respuestas a ejercicios que he resuelto a través del foro o de Facebook. Tras este pequeño prólogo, indico las fórmulas más usuales que aparecen en el tema. Con el tiempo quizá explique cómo usarlas y cómo resolver determinados “problemas modelo”. También señalo otras secciones relacionadas con el capítulo que estamos estudiando con su enlace al documento de Scribd correspondiente. Siempre podéis recurrir a mi página web para consultar mas fórmulas y datos: http://www.carrascal.net46.net/físicas/ y a Wikipedia: http://es.wikipedia.org/ . Podéis difundir este documento entre vuestros compañeros. Respetad, eso sí, el formato del mismo, su autoría y la marca de agua con mi foto. ¿A que molo de pequeño? Este documento se estará actualizando continuamente por lo que es recomendable que consultéis la última versión (actualizada con nuevos ejercicios) desde mi perfil en Scribd: http://es.scribd.com/I%C3%B1akiCarrascal Gracias a quienes habéis preguntado y respondido también. Un saludo a todos y espero que estos problemas os puedan servir en vuestros estudios. Iñaki Carrascal Mozo. Desde Castrillo de Don Juan, un pequeño pueblo de Palencia (España) Si queréis visitar mi pueblo, echad una ojeada a mi web: http://www.castrillodedonjuan.netai.net/

Fórmulas de MAS (by Carrascal) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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2

a=−ω x

Muelle: ω=

x (t )=A cos (ω t+ϕ)

√

ω=2 π f =

2π T

∣v máx∣= Aω

∣a máx∣=A ω2 v 2 =ω2 ( A2− x 2)

1 1 2 1 2 2 2 k l Energía: E c = k ( A −x ) ; E p = k x ; E= k A T ( péndulo)=2 π 2 2 2 m g

√

Mis respuestas a las preguntas de Yahoo! Respuestas v 1.7 (07/02/2013. 44 preguntas) Pregunta 01. Resuelta el 23/10/2012 Un movimiento oscilatorio armónico posee un período 9 s y en el instante t = 1 s posee una velocidad de 9 m/s y una aceleración de 2 m/s2 . Determinar el ángulo de desfase (o fase) en radianes. Expresar el resultado con dos cifras decimales. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. x = A cos (w t + fi) donde fi es el desfase pedido v = dx / dt = - A w sen (w t + fi) a = d v / dt = - A w^2 cos (wt + fi) w = 2 pi / T = 2 pi / 9 = 0,70 v (1) = 9 = - A w sen (w + fi) a (1) = 2 = - A w^2 cos (w + fi) divido 9/2 = 1/w tg (w + fi) ; recuerda que sabes w tg (w+fi) = pi w + fi = 1,26 rad fi = 1,26 rad - 0,70 rad = 0,56 rad Pregunta 02. Resuelta en octubre de 2012 El arácnido detecta en su red a un insecto de 10^-3 kg, que hace que la red vibre con una frecuencia de 15 Hz. Averiguar la constante elástica de la red. ¿Cuál es la frecuencia si quedase capturado un insecto de 4 g? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Mejor respuesta - Elegida por la comunidad omega = ( k /m )^(1/2) = 2 · pi · f donde f es la frecuencia y k la constante elástica. Despejando k = 4 · pi^2 · f^2 · m sustituye datos en S.I. y se obtiene k en N/m. Ahora sabemos la constante k que es constante, cambia la masa m. Despeja de la ecuación anterior la frecuencia f. Se obtiene: Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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f = ((k/m)^(1/2) ) / (2 · pi). Sustituye el valor de k calculado antes y la nueva masa y ya tienes la frecuencia f. Pregunta 03. Resuelta el 24/11/2012 Cuál es la elasticidad de un resorte si una masa de 5 kg que cuelga de el tiene un periodo de 0.62 segundos Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. la pulsación w de un resorte es w = raiz (k / m ) w = 2 pi / T, luego el periodo es T = 2 pi raiz (m / k) sustituye valores: 0,62 = 2 · pi · raiz (5 / k) de donde k = 513,5 N/m Pregunta 04. Resuelta el 07/11/2012 Un resorte de masa despreciable se encuentra en equilibrio cuando cuelga de el un objeto de 10 g. Calcular la constante elástica al tirar del resorte para q al soltarlo vibre con una frecuencia de 4 Hz, con una amplitud de 2 cm. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. La pulsación w de un resorte de constante elásticas k y masa m (sujeta al muelle) es w = raiz cuadrada (k / m) luego k = m · w^2 recuerda que w = 2 · pi · f luego k = m · 4 · pi^2 · f^2 = 10·10^(-3) · 4 · pi^2 · 4^2 = 6,32 N/m Pregunta 05. Resuelta el 08/11/2012 Un cuerpo de masa 20 kg colgado de un resorte oscila con una amplitud de 3 cm sabiendo que k = 4900 N/m. Determinar la frecuencia del movimiento, el valor máximo de la fuerza recuperadora y la energía cinética máxima del oscilador Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. La pulsación o frecuencia angular en el caso de un muelle de constante elástica k es w = raiz (k / m) = raiz (4900 / 20) = 15,65 rad/s w = 2 · pi · f ; de donde f = w / (2 pi) = 2,49 s F = - k x (ley de Hooke) El valor máximo en valor absoluto será Fmax = k · A = 4900 · 0,03 = 147 N Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Energía cinética máxima = 1/2 · k · A^2 = 1/2 · 4900 · 0,03^2 = 2,205 J Pregunta 06. Resuelta el 16/12/2012 A un resorte se le cuelga un peso de 200 kg y pasa a medir 7 cm. Y cuando se le cuelga un peso de 500 kg pasa a medir 10 cm. Calcular valor de la constante del resorte Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. De la ley de Hooke en modulo, F = k · delta x sea xo la longitud natural del muelle m1 · g = k (0,07 - xo) con m1 = 200 kg m2 · g = k (0,10 - xo) con m2 = 500 kg si divides miembro a miembro 200 / 500 = (0,07 - xo) / (0,10 - xo) 2 (0,10 -xo) = 5 (0,07 - xo) de donde xo = 0,05 m = 5 cm y k = 200 · 10 / (0,07 - 0,05) = 10^5 N/m Pregunta 07. Resuelta el 24/11/2012 La energía en el Movimiento armónico simple es proporcional a: a. La fase inicial. b. El cuadrado de la amplitud. c. El cuadrado de la masa. d. La posición inicial. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Respuesta correcta: B: CUADRADO DE LA AMPLITUD Pues la energía de un oscilador armónico simple, suma de energía cinética: Ec = (1/2) ·m · v^2 = (1/2) · m · w^2 (A^2 - x^2) y energía potencial Ep = (1/2) · m · w^2 · x^2 es E = Ec + Ep = (1/2) · m · w^2 (A^2 - x^2) + (1/2) · m · w^2 · x^2 E = (1/2) · m · w^2 · A^2 Pregunta 08. Resuelta el 06/12/2012 1. Un péndulo simple de 20 m de longitud oscila a razón de 0,2 h2. Cual es la gravedad que experimenta? 2. Como oscilaría este péndulo si estuviera en la tierra ? (periodo, frecuencia, velocidad máxima). 3. Una masa de 2 kilos oscila atada a un resorte horizontal con un periodo de 4 s. cual es la constante elástica del resorte ? 4. Cual es la distancia x que debe separarse el resorte para que cumpla con este Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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movimiento si se usa una fuerza inicial de 2 N ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. El periodo de un péndulo simple es T = 2 · pi · raiz (L / g) siendo L la longitud del péndulo y g el valor de la aceleración de la gravedad en el punto 1) Supongo que 0,2 h2 son 0,2 horas. 0,2·60·60 = 2 · pi · raiz (20 / g) de donde g = 0,0015 m/s^2 No tiene mucho sentido al menos en la Tierra (deberías estar muy alejada de la misma), ¿verdad? Así que supongo que será 0,2 min 0,2·60 = 2 · pi · raiz (20 / g) de donde g = 5,48 m/s^2 2) En la superficie de la Tierra, g = 9,8 m/s^2, por lo que T = 2 · pi · raiz (20 / 9,8) = 8,98 s Recuerda que f = 1 / T = 0,11 Hz w = 2 pi / T = 2 · pi / 8,98 = 0,7 rad/s Para la velocidad máxima necesitaría la amplitud A de las oscilaciones del péndulo, pues v max = A · w siendo A la amplitud. Se supone que separamos "poco" el péndulo de su posición de equilibrio para que se pueda aproximar su movimiento a un MAS. 3) En un muelle w^2 = k / m ; w = raiz (k/m) (2 · pi / T)^2 = k / m de donde k = m · 4 · pi^2 / T^2 k = 4 · pi^2 · 2 / 4^2 = 4,93 N/m 4) De la ley de Hooke, F = - k x en módulo 2 = 4,93 · x de donde x = 0,41 m = 41 cm Pregunta 09. Resuelta el 09/12/2012 (mi pregunta resuelta número 1281 ) ¿Cual es el valor de la gravedad en un lugar donde el péndulo que bate segundos tiene una longitud de 1,00 m? ¡Que atraso experimentaría en un día un reloj que empleara el péndulo anterior en un lugar donde la gravedad es 9,79 m/s²? ¿Cual debería ser la longitud del péndulo en ese lugar para que el reloj marcara el tiempo correctamente! ;) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Si un péndulo bate segundos, su período es de 2 s. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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El periodo de un péndulo es T = 2 pi raiz (L / g) siendo L la longitud del péndulo y g la aceleración de la gravedad 2 = 2 pi raiz ( 1 / g) de donde 1 / pi = raiz (1/g) ; 1 / pi^2 = 1 / g, de donde g = pi^2 = 9,87 m/s^2 El período sería ahora: T = 2 pi raiz (1 / 9,79) = 2,008 s el atraso sera 2,008 - 2 = 0,008 s Si T = 2, l = 9,79 m/s^2 2 = 2 pi raiz (L / 9,79) 1/pi = raiz (L / 9,79) de donde L = 0,99 m Pregunta 10. Resuelta el 12/11/2012 Una masa de 0.5 kg ligada a un resorte posee MAS con 0.8 seg de periodo. Si su energía total es 10 julios 1- ¿cuál es la amplitud de la oscilación? 2- si la longitud de un péndulo simple se reduce a la mitad, ¿cuál es su nuevo periodo? 3- la posición de una partícula dotada de MAS en un tiempo t = T/4 es? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (3) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 1. La energía de un oscilador armónico simple es E = (1/2) · m · w^2 · A^2 10 = (1/2) · 0,5 · (2 · pi / 0,8)^2 · A^2 pues w = 2 · pi / T de donde A = 0,81 m 2. El periodo de un péndulo simple es T = 2 pi raiz (L/g) si la longitud de un péndulo simple se reduce a la mitad, el periodo quedará dividido entre raiz(2) T1 = 2 pi raiz (L2/g) T2 = 2 pi raiz (L2/g) = 2 pi raiz ( (L1 / 2)/g ) = T1 / raiz(2) 3. x = A cos (w t + fi) = A cos (2 · pi · t / T + fi) si suponemos fi = 0, x = A cos (2 · pi · t / T) si t = T/4 ; x = A cos (2 · pi · T / (4 T) ) = A cos (2 · pi · / 4 ) = A cos (pi/2) = 0 O si mantenemos el desfase inicial fi: x = A cos (pi/2 + fi) = - A sen (fi) Pregunta 11. Resuelta el 25/10/2012 Una bola de 50 kg está suspendida de un resorte, cuando se conecta el resorte se estiró 60 cm de su longitud natural. La bala se pone en movimiento con velocidad inicial 0 desplazándola 20 cm por encima de la posición de equilibrio. Asumiendo que no hay resistencia del aire, encuentre una expresión para la posición de la bola en cualquier tiempo t. Cuál es la posición de la bola en el tiempo pi/12 s ? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. colocamos el origen en el punto es que la bola esta estirada 60 cm x = A sen (w t + fi) v = A w cos (w t + fi) considero sentido + hacia abajo x (0) = -20 cm v (0) = 0 La amplitud es evidentemente 20 cm (pues en ese punto la velocidad es nula) calculamos la constante elástica del muelle: F = k x (ley de Hooke en valor absoluto) m · g = k · x, donde x son los 60 cm iniciales k = m g / x = 50 · 9,8 / 0,6 = 816,67 N/m ahora bien, w = raiz(k/m) = raiz (816,67 / 50) = 4,04 rad/s Así pues: x = 0,2 sen (4,04 t + fi) calculamos fi, sabiendo que en t=0, x=-0,2 m -0,2 = 0,2 sen (4,04 · 0 + fi); de donde sen fi = -1 ; fi = -pi/2 = -1,57 rad luego: x = 0,2 sen (4,04 t - 1,57) luego x (t=pi/12) = 0,2 sen (4,04 · pi/12 - 1,57)= -0,098 m Nota: recuerda poner la calculadora en radianes (RAD) Pregunta 12. Resuelta el 31/10/2012 El desplazamiento de una partícula esta dado por la ec. x = 8 sen (2t + pi/3) donde x esta en "cm" y t en "s" calcular: a) frecuencia y el periodo del movimiento b) amplitud del movimiento c) la fase inicial d) la posición, rapidez y aceleración de la partícula en "t=pi/2" [s] E-la máxima rapidez y el tiempo en alcanzarla F-la máxima aceleración y el tiempo en alcanzarla Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Compara la expresión dada con la del oscilador armónico simple x = A (w t + fi) de aquí deducimos que a) w = 2 rad / s w = 2 pi f , de donde f (frecuencia) = w / (2 pi) = 2 / (2pi) = 1/pi Hz T (periodo) = 1/f = pi s b) A = 8 cm c) fi = pi/3 rad d) x (t=pi/2) = 8 sen (2 pi/2 + pi/3) = -6,92 cm recuerda poner la calculadora en radianes RAD para hacer las operaciones correctamente v = d x / d t = 8 · 2 cos (2 t + pi/3) = 16 cos (2 t + pi/3) v (t=pi/2) = -8 cm/s después de haber sustituido t en la expresión anterior a = d v / d t = -16 · 2 sen (2 t + pi/3) = -32 sen (2 t + pi/3) a (t=pi/2) = 27,71 cm/s^2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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e) vmax (en valor absoluto) = 16 cm/s (cuando el coseno vale 1 ó -1) 16 = 16 cos (2 t + pi/3), de donde cos (2 t + pi/3) = 1 2 t + pi/3 = pi (éste es un instante en el que alcanza la velocidad máxima de -16, pero hay muchos instantes donde alcanza dicha velocidad máxima de 16 ó -16) de donde t = 1,05 s f) amax (en valor absoluto) = 32 cm/s^2 (es cuando el seno vale 1 o -1) sen (2 t + pi/3) = 1 2 t + pi/3 = pi/2, de donde t = 0,26 s Pregunta 13. Resuelta el 01/11/2012 a) Una partícula de 29,4 N ejecuta un MAS con un periodo de 1,2 y una amplitud de 36 cm, si la fuerza restauradora vale 16,45 N. Calcular en ese instante la elongación, la velocidad, aceleración, energía cinética, potencial y total. b) Un bloque de 2 kg esta animado con MAS teniendo una amplitud de 13 cm, si su aceleración máxima es de 60 cm/s2 y su velocidad máxima es 30 cm/s. A q distancia de la posición de equilibrio la energía potencial vale 0.05763? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. PROBLEMA A: m = 29,4 / 9,8 = 3 kg T = 1,2 s ; w = 2 · pi · T = 7,54 rad/s A = 36 cm w = raiz (k / m) donde k es la constante elástica del muelle de donde k = m · w^2 = 3 · 7,54^2 = 170,55 N/m En el instante en el que la fuerza es F = 16,45 N de la ley de Hooke: F = - k x -16,45 = - 170,55 · x, la elongación es x = 0,096 m relación entre v y x: v^2 = w^2 (A^2 - x^2) sabida x podré calcular v: v^2 = 7,54^2 (0,36^2 - 0,096^2), de donde v = 2,62 m/s (repasa por si acaso las operaciones) a = - w^2 · x = - 7,54^2 · 0,096 = - 5,46 m/s^2 Energía cinética: Ec = 1/2 · m · v^2 = 1/2 · 3 · 2,62^2 = 10,30 J Energía potencial: Ep = 1/2 · k · x^2 = 1/2 · 170,55 · 0,096^2 = 0,79 J Energía total: E = Ec + Ep = 10,30 + 0,79 = 11,09 J PROBLEMA B. m = 2 kg A = 13 cm a max = 60 cm/s^2 v max = 30 cm/s x? si Ep = 0,05763 J v max = A · w a max = A · w^2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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dividiendo: a max / v max = w , w = 60/30 = 2 rad/s v max = A · w 30 ¿=? 13 · 2 ---> no me cuadra, repasa si has copiado bien el enunciado. Te sobra un dato o haz que cuadre Pregunta 14. Resuelta el 01/11/2012 Un cuerpo atado a un resorte se mueve en un Movimiento Armónico Simple de amplitud 4 cm y de periodo 6 s, cuánto tiempo (mínimo) se demora en moverse desde x= 2 cm hasta x= 0 cm? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. x = A sen (w · t + fi) donde w = 2 · pi / T = 2 · pi / 6 = pi/3 luego x = 4 sen ( (pi / 6) · t + fi) si suponemos que en t = 0 , x = 0, entonces fi = 0 luego x = 4 sen ( (pi / 6) · t ) para que x = 2cm , veamos el tiempo que le lleva: 2 = 4 sen ( (pi / 6) · t ) 1/2 = ( (pi / 6) · t ) pi / 6 = pi / 6) · t de donde t = 1 s es lo que tarda en ir desde x = 0 a x = 2 cm (o desde 2 cm a 0 cm) Pregunta 15. Resuelta el 15/11/2012 Un resorte ideal se hace oscilar horizontalmente, generando un MAS. Si su velocidad inicial es -17.6 (m/s), su periodo de oscilación es 4.0 (s) y su angulo de desface 1.8 (rad). Determine su desplazamiento inicial Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. x = A cos (w t + fi) v = d x / dt = - A w sen (w t + fi) Calculamos la amplitud -17,6 = -A · (2 · pi / 4) sen (0 + 1,8) --> en el instante inicial t = 0 de donde A = 11,51 m Ahora podemos calcular la elongación, pues, x = A cos (w t + fi) x (t=0) = 11,51 · cos (1,8) = -2,61 m Pregunta 16. Resuelta el 18/11/2012 ¿Cómo calculo la distancia de la posición de equilibrio cuando s comprime el resorte? Masa 400 g coeficiente 0,3 se separa la masa 30 cm constante 80 N/m Información adicional: El problema dice así. Un resorte tiene un extremo fijo a una pared y el otro a una masa de 400 g apoyada en un plano horizontal con rozamiento cuyo coeficiente es Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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0,3. Se separa la masa 30 cm de la posición MN de equilibrio. la constante elástica del resorte es80 N/m. Calcular a qué distancia de la posición de equilibrio se detiene cuando se comprime el resorte (punto c) y qué fuerza interviene en el punto b y c. Te agradezco tu ayuda Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Mejor respuesta - Elegida por el usuario que pregunta Explícate un poco mejor. Me das la masa: ok: 400 g Lo que se separa: 30 cm, que "quizá" pueda ser la amplitud (ya te explico después) La constante de equilibrio k = 80 N/m ,ok. Bien, ¿qué es eso del coeficiente 0,3?. Especifica: ¿que es una fuerza de rozamiento donde el coeficiente de rozamiento es mu = 0,3? O por el contrario tenemos un oscilador en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la velocidad Fr = - b v donde el coeficiente b es precisamente 0,3 (que por cierto, tiene unidades). Concreta y te resuelvo. También me vendría bien conocer el nivel que tienes. Lo segundo que te he explicado se ve en la Universidad. Comentario de la persona que pregunta:

Nivel terciario

Iñaki Iñaki Se comprime 0,3 m. El muelle almacena una energía potencial elástica: Ep = 1/2 k x^2 = 1/2 · 80 · 0,3^2 = 3,6 J Iñaki Iñaki Dicha energía se perderá en el trabajo de la fuerza de rozamiento: W = mu · N · s = mu · m · g · s W = 0,3 · 0,4 · 10 · (0,3 + x) donde x es la distancia desde donde esta comprimido hasta donde se detiene; 3,6 = 1,2 (0,3 + x) , de donde x = 3 - 0,3 = 2,7 m. Iñaki Iñaki Desde el punto de equilibrio (antes de comprimir) está a 3 m. La fuerza de rozamiento (en módulo): Fr = mu · N = mu · m · g = 0,3 · 0,4 · 10 = 1,2 N Pregunta 17. Resuelta el 24/11/2012 1. Considerando 2 sistemas I y II cada uno constituido por un objeto que oscila atado a un resorte. La constante elástica del sistema I es el doble de la constante del resorte del sistema II. La masa del objeto I es el doble de la masa del objeto II. ¿Para cuál de los dos sistemas es mayor la frecuencia de oscilación? explica tu respuesta. 2. Qué variación experimenta el periodo de un sistema que consta de un objeto que oscila atado a un resorte horizontal, si se aumenta la amplitud. Explica tu respuesta. 3. Qué variación experimenta el periodo de un sistema que consta de un objeto que oscila atado a un resorte horizontal, si al objeto se le remplaza por otro de mayor masa?. Explica tu respuesta. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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4. En qué posiciones de un objeto con movimiento armónico simple, la fuerza tiene el mismo sentido que la elongación? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. En un resorte, w = raiz (k / m) y T = 2 pi / w = 2 pi raiz (m / k) 1. w1 = raiz (2 k2 / (2 m2)) = raiz (k2 / m2) = w2 la frecuencia es la misma en ambos sistemas 2. ninguna, pues el período no depende de la amplitud. Recuerda que T = 2 pi raiz (m / k) no veo la amplitud por ningún lado 3. el periodo aumenta pues T = 2 pi raiz (m / k), si m aumenta, T aumenta 4. F = m · a, pero a = - w^2 · x. La aceleración es siempre OPUESTA a la elongación. En el punto de equilibrio x = 0, tanto la elongación como la aceleración son nulas. Pregunta 18. Resuelta el 09/12/2012 A un resorte cuando se le cuelga un cuerpo de 10 Kg de masa alarga 2 cm . A continuación se le añade una masa de otros 10 Kg , y se la da al conjunto un tirón hacia abajo , de forma que el sistema se pone a oscilar con una amplitud de 3 cm. Determina : a) T y f del movimiento b) Posición, velocidad, aceleración y fuerza recuperadora a los 0,5 s de iniciado el mismo. c) La diferencia de fase entre ese instante y el inicial. Solución: a) 0,4 s ; 2,5 Hz; b) -8,7.10-4 m ; 0,47 m / s ; 0,21 m/s2; 4,26 N; c) 7,825 rad. Están desfasados los dos instantes en 1,54 rad (se supone que me da los resultados, pero nunca me da eso) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Con la primera información que das "A un resorte cuando se le cuelga un cuerpo de 10 Kg de masa alarga 2 cm" vamos a calcular la constante del resorte. De la ley de Hooke (en módulo) F = k x siendo x el alargamiento producido al aplicar la fuerza F (el peso en este caso) m · g = k · x de donde k = 10·10/0,02 = 5000 N/m La amplitud es de 3 cm. a) En un MAS , w^2 = k/m ahora la masa es de 20 kg w = raiz (k/m) = raiz (5000 / 20) = 15,81 rad/s Pero w = 2 · pi · f luego f = w / (2 pi) = 15,81 / (2 pi) = 2,52 Hz El periodo es el inverso de la frecuencia: T = 1 / f = 1 / 2,52 = 0,40 s ¿ves que van saliendo los resultados? b) x = A cos (w t + f) donde A = 3 cm (lo dices en el enunciado). Supondremos que hemos estirado y en el punto de Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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máximo estiramiento la velocidad es nula (no aplico velocidad inicial alguna) x = 3 cos (15,81 t + fi) derivando obtenemos la velocidad v = -3 · 15,81 sen (15,81 t + fi) en t = 0, v = 0 0 = sen fi, de donde fi = 0 luego x = 3 cos (15,81 t) (en cm) en t = 0,5 s: x = 3 cos (15,81 · 0,5) = -0,16 cm recuerda tener la calculadora en RADianes (no es DEG -grados-). Igual por eso no te salen los resultados. velocidad: v = d x / d t = -3 · 15,81 · sen (15,81 t) en t = 0,5 s: v = -3 · 15,81 · sen (15,81 · 0,5) = -2,45 cm/s aceleración: a = - (k/m) ·x ó a = d v / dt a = - (5000/20) · (-0,16/100) = -0,3877 m/s^2 = -38,77 cm/s^2, o bien: a = d v / dt = -3 · 15,81^2 · cos (15,81 t) en t = 0,5 s: a = -3 · 15,81^2 · cos (15,81 · 0,5) = 38,77 cm/s^2 F = m · a = 20 · 0,3877 = 7,75 N ¿Por que no nos sale el resultado? Por la condición inicial. Yo he supuesto que en t = 0, la velocidad era nula. Veamos cuáles son las verdaderas condiciones iniciales. A la masa de 10 kg le añadíamos otra de 10 kg, el resorte se habría estirado: F = k · x (en modulo) 20 · 10 = 5000 · x , de donde x = 0,04 m = 4 cm. Yo lo que entiendo es que a partir de esta posición (de equilibrio), separo 3 cm de la misma hacia abajo y suelto: es decir x (t=0) = 3 cm y v (t=0) = 0. c) fase inicial: 15,81·0 = 0 fase en el instante t = 0,5 s: 15,81·0,5 = 7,91 rad desfase solicitado: 7,91 - 0 = 7,91 rad. Repasa tu enunciado, a ver si en algún momento dice algo de que la velocidad inicial no es cero. Pero el planteamiento que te he dado es correcto. Pregunta 19. Resuelta el 16/12/2012 Una balanza esta formada por un platillo de masa "m", sustentado por un resorte lineal sin amortiguamiento. Se sabe que al colocar el platillo en el resorte, este sufre un descenso "delta" hasta la nueva posición de equilibrio. Con la balanza en reposo, cae sobre el platillo desde una altura "h" una masa "M = 3m", siendo el choque perfectamente plástico (coeficiente de restitución nulo). Se pide: a) Ecuaciones del movimiento subsiguiente. b) Valor mínimo de "h" para que a lo largo del movimiento la masa se despegue del platillo (se debe considerar que después del primer choque la masa no queda adherida al platillo, pudiendo por tanto separarse llegado el caso). Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. a) ¿Cuando pides las ecuaciones del movimiento, pides las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento del cuerpo o las soluciones a dichas ecuaciones diferenciales? De momento, si h es la distancia a la que se deja caer el cuerpo de masa 3m, llega al punto donde Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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esta el resorte con la masa m con una velocidad que puedes determinar por la conservación de la energía. 3 m · g · h = (1/2) · 3m · v^2 v = raiz (2 · g · h) es la velocidad con la que impacta la masa 3m contra la masa m. Ahora tenemos un choque perfectamente inelástico por lo que dices. En todo choque se conserva el momento lineal p es decir: 3 m · raiz (2 · g · h) = (3 m + m) v siendo v la velocidad con la que salen juntos. v = 3 m · raiz (2 · g · h) / (4 m) v = (3/4) · raiz (2 · g · h) Sigamos. Calculemos la máxima compresión del muelle. Ten en cuenta que la energía cinética de la masa "3m + m" se dedicará a comprimir el muelle: luego (1/2) · 4 m · [(3/4) · raiz (2 · g · h)] ^2 = (1/2) · k · x^2 de aquí sacamos las compresión máxima del resorte, es decir, la amplitud del mas siguiente. Me sale x = A = raiz [(9 m g h) / (2 k)] Vale, la solución de la ecuación del movimiento es x (t) = A · cos (w · t + fi) donde A es la anterior, w = raiz (k / (4m)) y fi lo puedes calcular considerando que el punto de máxima compresión del muelle, t = 0, x = A y v = 0. Es decir fi = 0 luego x (t) = A · cos (w · t) con A = raiz [(9 m g h) / (2 k)] y w = raiz (k / (4m)) Mola el problema. b) Para la segunda parte, te daré una pista. Si estás interesado te lo resuelvo siempre y cuando valores mi respuesta. Deja de estar en contacto con el platillo cuando la reacción normal N es nula. Ten en cuenta este hecho y aplica la segunda ley de Newton. Pregunta 20. Resuelta el 28/12/2012 Una partícula realiza un movimiento armónico lineal respecto a x = 0 con una frecuencia de 0.25 s^-1. Si la elongación inicial es 0.37 cm y la velocidad inicial es nula, calcular: a) El período, la frecuencia y la amplitud. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima. c) La elongación, la velocidad y la aceleración en el instante t=3. Tanto el apartado a como el b me salen sin problemas, siendo los resultados... a) T = 4 s; w = pi/2 rad/s; A = 3.7·10^-3 m b) v (máx) = 5.81·10^-3 m/s; a (máx) = 9.13·10^-3 m/s^2 Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. a) f = 0,25 Hz T = 1/f = 1/0,25 = 4 s A = 0,37 cm b) v max = A · w (en valor absoluto) w = 2 pi f = 2 · pi · 0,25 = 1,571 rad/s v max = 0,37 cm · 1,571 rad/s = 0,581 cm/s a max = A · w^2 (en valor absoluto) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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a max = 0,37 cm · (1,571 rad/s)^2 = 0,913 cm/s^2 c) x = A cos (w t + fi) con A = 0,37 cm, w = 1,571 rad/s x = 0,37 cos (1,571 t + fi) v = d x / dt = - 0,37 · 1,571 · sen (1,571 t + fi) v (0) = 0 = - 0,37 · 1,571 · sen (1,571·0 + fi) de donde fi = 0, luego x = 0,37 cos (1,571 t) x (3 s) = x = 0,37 cos (1,571 · 3) = 0 v = d x / d t = -0,37 · 1,571 · sen (1,571 t) v (3 s) = -0,37 · 1,571 · sen (1,571 · 3) = 0,581 cm/s a = d v / d t = -0,37 · 1,571^2 · cos (1,571 t) a (3 s) = -0,37 · 1,571^2 · cos (1,571 · 3) = 0 Pregunta 21. Resuelta el 04/01/2013 Se cuelga de un muelle una masa m = 10 kg, observándose un alargamiento de 5 cm. Añadimos otra masa m' = 2 m = 20 kg, y tras tirar del muelle hacia abajo, comienza a oscilar con una amplitud de 3 cm. Determinar: a) La frecuencia del movimiento b) La velocidad, la aceleración y la fuerza elástica ejercida por el muelle en el instante inicial y pasados 7 segundos. c) La energía cinética máxima del movimiento. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Con el primer dato que das, calculamos la constante del resorte: De la ley de Hooke (en modulo): F = k · x la fuerza es el peso, m · g = k · x de donde k = m g / x = 10·10/0,05 = 2000 N/m La masa total es m = 10 + 20 = 30 kg la amplitud, 3 cm. a) La pulsación para el caso de un resorte es w = raiz (k/m) = raiz (2000 / 30) = 8,16 rad/s (frecuencia angular) Recordemos que w = 2 · pi · f de donde f = w / (2 pi) = 8,16 / (2 pi) = 1,30 Hz b) En el instante inicial, supondremos que estiramos el muelle 3 cm (la amplitud) y soltamos desde el reposo. v (t = 0) = 0 x (t = 0) = A = 3 cm a (t = 0) = - w^2 · x (t = 0) = - 8,16^2 · 3 cm/s^2 = -200 cm/s^2 = - 2 m/s^2 F (0) = - k x (0) = -2000 · 0,03 N = -60 N Para calcular las magnitudes anteriores en t = 7 s, expresaremos la elongación en función del tiempo: x = A cos (w t + fi) con x (0) = A y v (0) = 0 v = d x / d t = - A w sen (w t + fi) v (0) = 0 = - A w sen fi, de donde sen fi = 0, fi = 0 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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luego x = A cos (w t) = 3 cos (8,16 · t) cm recuerda poner la calculadora en radianes x (7) = 3 cos (8,16 · 7) = 2,47 cm v = dx/dt = - 3 · 8,16 · sen (8,16 · t) a = d v / dt = - 3 · 8,16^2 · cos (8,16 · t) = - 8,16^2 · x a (7) = - 8,16^2 · 2,47 cm/s^2 = -164,38 cm/s^2 = -1,64 m/s^2 F (7) = - k x (7) = - 2000 · 2,47·10^(-2) N = -43,31 N c) Ec (max) = E = 1/2 · k · A^2 = 1/2 · 2000 · 0,03^2 = 0,9 J Pregunta 22. Resuelta el 07/01/2013. Respuesta número 1450 ¿Cuales son las fórmulas de la velocidad y de la aceleración en función de la posición en un MVAS? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. La relación entre la velocidad v y la elongación x es: v^2 = w^2 · (A^2 - x^2) siendo w la pulsación w = 2 pi f = 2 pi / T A la amplitud o elongación máxima La relación entre la aceleración a y la elongación x es: a = - w^2 · x Los valores máximos (en valor absoluto) de la velocidad y aceleración son: v max = A · w a max = A · w^2 Pregunta 23. Resuelta el 12/01/2013 a las 15:20 h (hora española). Mi respuesta número 1462 El periodo de un m.a.s es de 12 s. Si la fase inicial es igual a cero, ¿al cabo de cuánto tiempo de iniciado el movimiento, la velocidad del punto vibrante es igual a la mitad de su valor máximo? ¿Cuánto debe valer la amplitud para que en el instante anterior la elongación valga 3^1/2 m? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. En un MAS, la elongación x = A cos (w t + fi) si suponemos que en t=0, x = A y v = 0 (parte del reposo) fi = 0, por lo que x = A cos (w t) v = - A w sen (w t) El valor máximo de la velocidad es en valor absoluto, es A w. El primer instante en el que ocurre valdría - A w = - A w sen (w t) w t = pi / 2 (2 pi / T) t = pi /2 de donde t1 = T/4 siendo T el periodo si la velocidad es la mitad del valor máximo Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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-A w / 2 = - A w (sen w t2) 1/2 = sen (w · t2) es decir w · t2 = pi/6 (2 pi / T) t2 = pi / 6 de donde t2 = T/12 = 12/12 = 1 s Al cabo de un segundo, alcanza la mitad de su valor máximo. La relación entre la elongación x y la velocidad v es: v^2 = w^2 · (A^2 - x^2) (A w / 2)^2 = w^2 · (A^2 - x^2) de donde x^2 = 3 A^2 / 4 por lo que A = raiz (4 x^2 /3) = 2 x / raiz 3 A = 2 · raiz 3 / raiz 3 = 2 m. Puntuación del usuario que pregunta: 5 de 5 Comentario de la persona que pregunta: Llevaba bastante tiempo intentando averiguar como se hacia y justo un rato después de preguntar di la logre hacer no se ni como jejej pero muchas gracias pq me ha servido para saber si mis procedimientos son correctos.. =) Pregunta 24. Resuelta el 13/01/2013 a las 10:40 h (hora española). Mi respuesta número 1474 Un tambor cilíndrico y macizo de masa 6 kg y diámetro 0,06 m rueda sin deslizamiento sobre una superficie horizontal. El eje del tambor está unido a un muelle de constante 4000 N/m. Determinar el periodo de oscilación de este cuerpo en torno a su posición de equilibro, cuando el muelle está sin estirar ni comprimir. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Haces el dibujo y pintas todas las fuerzas: normal, peso, fuerza elástica el muelle y fuerza de rozamiento: Aplica la segunda ley de Newton para la traslación: sum F = m · a - k x - Fr = m a (*) Fr está en módulo (el signo lo he puesto delante) Tomas momentos respecto de un punto, por ejemplo el centro de masas y aplicaras : sum M = I · alfa siendo I el momento de inercia, que para un cilindro es I = (1/2) · m · R^2 (respecto de un eje que pasa por el centro de masas) Respecto del centro de masas solo crea momentos la fuerza de rozamiento, así pues: Fr · R = (1/2) · m · R^2 · a / R, pues la aceleración angular es alfa = a / R de donde Fr = (1/2) · m · a (en modulo). Sustituye este resultado en la ecuación (*) - k x - (1/2) · m · a = m a de donde - k x = (3/2) · m · a por lo que a = - [(2 k) / (3 m)] · x si comparas esta ecuación con la de un oas. a = - w^2 · x, identificamos w^2 = 2 k / (3 m) de donde w = raiz [(2 k) / (3 m)] y el periodo, T = 2 pi / w = 2 · pi · raiz [ (3 m) / (2 k) ] no tienes mas que sustituir los datos del enunciado para obtener el periodo. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Puntuación del usuario que pregunta: 5 de 5 Comentario de la persona que pregunta: Muchas gracias por tu respuesta. :) Pregunta 25. Resuelta el 18/01/2013 a las 18:07 h (hora española). Respuesta número 1499 Se aplica una fuerza F = -8 x a un cuerpo de masa 2 kg, siendo x la posición en m del cuerpo y F la fuerza en N. ¿cual es la velocidad angular de este movimiento? a) 64 rad/s b) 4 rad/s c) 8 rad/s d) 16 rad/s e) 32 rad/s Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Mas que velocidad angular, yo la llamaría frecuencia angular w. Es un oscilador armónico simple w = raiz cuadrada de (k / m) siendo k = 8 (pues la fuerza F = - k x, ley de Hooke) m=2 w = raiz (8 / 2) = 2 rad / s ¡ No es ninguna de las respuestas ! Pregunta 26. Resuelta el 19/01/2013 a las 00:41 h (hora española). Respuesta número 1512 Una masa de 500 g está suspendida en equilibrio de un muelle de constante 200 N/m. Se estira de la masa 2 cm hacia abajo y se le da una velocidad de 100 cm/s hacia arriba. Obtener la ecuación de su movimiento. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. m = 0,5 kg k = 200 N/m w = raiz (k/m) w = raiz (200/0,5) = 20 rad/s La elongación es : x = A cos (w t + fi) x = A · cos (20 t + fi) debemos sacar A y fi. Para ello nos dan dos datos: x (t = 0) = 2 cm (voy a considerar positivo hacia abajo) y v (0) = - 100 cm/s derivamos primero v = dx / dt = - 20 A sen (20 t + fi) x (0) = 2 cm = A cos fi v (0) = -100 cm/s = -20 A sen fi es decir A cos fi = 2 A sen fi = 5 elevando al cuadrado y sumando obtenemos la amplitud A^2 = 2^2 + 5^2 , de donde A = 5,39 cm Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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estamos en el primera cuadrante (para calcular fi) sen fi = 5 / 5,39 de donde fi = 1,19 rad luego: x = 5,39 · cos (20 · t + 1,19) donde x se mide en cm Pregunta 27. Resuelta el 19/01/2013 a las 15:12 h (hora española). Respuesta número 1525 La frecuencia y el periodo, ¿dependen de la amplitud? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. No. Son independientes de la amplitud de la oscilación. T = 1 / f (relación entre periodo y frecuencia) w = 2 pi f = 2 pi / T Por ejemplo, en una masa unida a un resorte de constante elástica k De la ley de Hooke: F = - k x De la segunda ley de Newton: F = m a de donde m a = - k x por lo que a = - (k/m) x ecuación de un movimiento armónico simple (MAS) a = - w^2 · x donde en el caso del muelle, w^2 = k /m es decir w = raiz (k / m), recuerda que w = 2 pi f = 2 pi / T depende de la constante elástica del muelle y de la masa pero NO DE LA AMPLITUD. No veo la amplitud por ningún lado. Otro ejemplo, del mismo modo puedes deducir el periodo de un péndulo (para pequeñas oscilaciones es un MAS) T = 2 pi raiz (L / g) tampoco veo la amplitud de la oscilación, veo la longitud del péndulo y la aceleración de la gravedad. En un MAS, a = - w^2 · x es una ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes homogénea, cuya solución es: x = A · cos (w · t + fi) donde A (amplitud) y fi (desfase inicial) se calculan de las CONDICIONES (iniciales normalmente) del problema (posición y velocidad). El periodo y la frecuencia dependen de w , pero no de la amplitud. Pregunta 28. Resuelta el 19/01/2013 a las 16:42 h (hora española). Respuesta número 1526 Un muelle vertical de masa despreciable de cuyo extremo se cuelga una masa de 5 g, y cuyo extremo superior esta fijo, se alarga 4 cm aplicándole una fuerza de 0,5 N. Calcula la frecuencia y la energía total del movimiento oscilatorio que se produce al cesar la acción deformadora. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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La constante elástica del muelle se obtiene de la ley de Hooke F = - k x En módulo: F = k x 0,5 N = k · 0,04 m de donde k = 12,5 N/m La pulsación es w = raiz (k / m) = raiz (12,5 / (5·10^(-3))) = 50 rad Como w = 2 pi f f = w / (2 pi) = 50 / (2 pi) = 7,96 Hz La energía total es E = 1/2 · k · A^2 siendo A la amplitud de la oscilación, 4 cm E = 1/2 · 12,5 · 0,04^2 = 0,01 J Pregunta 29. Resuelta el 20/01/2013 a las 18:01 h (hora española). Respuesta número 1539 Si la elongación es máxima, ¿cómo es la velocidad en el movimiento armónico simple? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Nula. La relación entre la elongación x y la velocidad v en un movimiento armónico simple es: v^2 = w^2 · (A^2 - x^2) de modo que si x = A (máxima elongación), v = 0 Puedes deducir la expresión anterior de x = A · cos (w · t + fi) v = d x / d t= - A · w · sen (w · t + fi) eliminando el tiempo, despejando cos (w · t + fi) de la primera y sen (w · t + fi) de la segunda, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro. Pregunta 30. Resuelta el 20/01/2013 a las 18:05 h (hora española). Respuesta número 1540 ¿Alrededor de cuántas posiciones de equilibrio se realizan en el movimiento oscilatorio? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Alrededor de una. El punto x = 0. En efecto, en un oscilador armónico simple, la energía potencial es Ep = 1/2 · m · w^2 · x^2 Los puntos de equilibrio son los puntos que anulan la primera derivada de la energía potencial. d Ep / d x = 0 = m · w^2 · x de donde x = 0 Corresponde además a un mínimo, pues la segunda derivada de la energía potencial es positiva. Ep '' (x) = m · w^2 > 0 , mínimo. Fuente(s): Resuelta el 20/01/2013. Espero te sirva mi respuesta y la valores, no dejándola en "votación" Pregunta 31. Resuelta el 23/01/2013 a las 10:57 h (hora española). Respuesta número 1556 La frecuencia de vibración de un sistema masa-resorte es de 5 Hz, cuando se sujeta al resorte Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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una masa de 4 g ¿cuál es la constante de fuerza del resorte? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. La pulsación w de una masa unida a un resorte es w = raiz (k / m) siendo k la constante elástica del resorte. Ademas sabemos que w = 2 pi f, por lo que 2 · pi · f = raiz (k / m) elevando al cuadrado 4 · pi^2 · f^2 = k / m luego la constante elástica del muelle es : k = 4 · pi^2 · f^2 · m k = 4 · pi^2 · 5^2 · 4·10^(-3) = 3,95 N / m Nota: para demostrar que w = raiz (k/m) de la ley de Hooke: F = - k x de la segunda ley de Newton: F = m a de donde - k x = m a, por lo que a = - (k/m) · x En un oscilador armónico simple, a = -w^2 · x, por lo que identificamos w^2 = k/m Pregunta 32. Resuelta el 23/01/2013 a las 11:01 h (hora española). Respuesta número 1557 Una masa de 200 g esta sujeta a un resorte y realiza movimiento armónico simple con un periodo de 0.25 s, si la energía total del sistema es de 2 J , obtenga a) la constante de fuerza del resorte y b) la amplitud del movimiento. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. La energía es E = 1/2 · k · A^2 siendo k la constante elástica del resorte k = m · w^2 (pues w = raiz (k/m) como ya te he demostrado en otra pregunta que te acabo de responder) a) como w = 2 pi / T = 2 pi / 0,25 = 8 pi k = m w^2 = 0,2 · (8 pi)^2 = 126,33 N/m b) Si E = 1/2 · k · A^2 2 = 1/2 · 126,33 · A^2 , de donde A = 0,18 m = 18 cm Pregunta 33. Resuelta el 23/01/2013 a las 15:39 h (hora española). Respuesta número 1574 Una partícula se mueve con movimiento armónico simple según la ecuación x = 3 cos 1/2pi? Determinar elongación, velocidad angular, amplitud, periodo, frecuencia, angulo de fase, velocidad máxima, y amplitud máxima. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Te falta la "t" del tiempo en la expresión de la elongación. Intuyo que has querido decir x = 3 cos (pi t / 2) Ademas no has puesto paréntesis. No sé si es 1 / (2 pi) o (1/2)·pi. Veras que son cosas distintas. Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Yo voy a considerar que has querido escribir lo que te he señalado antes, es decir: x = 3 cos (pi t / 2) --> esta ya es la elongación en función del tiempo ademas debes señalar en qué unidades trabajas. Supondré que estamos en el Sistema Internacional (S.I.), o sea la elongación en metros y el tiempo en segundos Compara la expresión anterior con la solución de un oscilador armónico simple x = A cos (w t + fi) de donde w = pi / 2 rad /s como w = 2 pi f; entonces la frecuencia es f = w / (2 pi) = 1/4 = 0,25 Hz como T = 1 / f = 1 / 0,25 = 4 s (período) La fase inicial fi es nula La amplitud 3 (m pues he supuesto que trabajamos en el S.I.) La amplitud máxima es la amplitud, 3 m (supongo que querrías decir elongación máxima o quizá aceleración máxima. Velocidad máxima v max = A · w (en valor absoluto) v max = 3 · (pi/2) = 4,71 m/s Y la aceleración máxima (en valor absoluto, por si era eso lo que pedías al final) es amax = A · w^2 = 3 · (pi/2)^2 = 7,40 m/s^2 Pregunta 34. Resuelta el 26/01/2013 a las 16:06 h (hora española). Respuesta número 1592 ¿Qué pasaría si se hiciera un túnel en la tierra perpendicular al centro? Lanzamos una pelota y omitimos todo (temperatura, fricción, etc.) menos las fuerza de atracción Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Si hacemos un túnel que va de un lado de la Tierra a otro la partícula describiría un movimiento armónico simple (MAS). ¿Quieres conocer el período del mismo? De acuerdo con el teorema de Gauss : El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es igual - 4 pi G multiplicado por la masa encerrada por la superficie gaussiana g · 4 pi · r^2 = - 4 pi G m(encerrada) la masa encerrada es ro · 4 pi r^3 / 3 siendo ro la densidad: ro = M / [4 pi R^3 / 3] donde R es el radio de la Tierra y M su masa; r es la distancia del centro de la Tierra al punto es decir g 4 pi r^2 = - 4 pi G r^3 / R^3 de donde g = - G M r / R^3 la fuerza es F = - G M m r / R^3 y es igual a m a de donde a = - G M r / R^3 que es un MAS pues a = w^2 · x siendo w^2 = G M / R^3 y como w = 2 pi / t, puedes sacar el periodo Puntuación del usuario que pregunta: 4 de 5 Comentario de la persona que pregunta: Gracias Pregunta 35. Resuelta el 29/01/2013 a las 20:59 (hora española). Respuesta número 1602 ¿Por qué al igualar la Ec y la Ep en un MAS nos queda: 1/2kx^2=1/4kA^2? Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Se igualan la Ec y Ep para determinar el punto donde sus energías se igualan Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. En un MAS la energía potencial es Ep = 1/2 · m · w^2 · x^2 y la cinética es: Ec = 1/2 · m · w^2 · (A^2 - x^2) La energía total, constante, vale E = 1/2 · m · w^2 · A^2 Si igualamos Ec y Ep, como su suma es la energía total, al ser ambas iguales, valdrán la mitad de la total, es decir Ec = (1/2) · E = (1/2) · 1/2 · m · w^2 · A^2 = 1/4 · m · w^2 · A^2 y Ep = (1/2) · E = (1/2) · 1/2 · m · w^2 · A^2 = 1/4 · m · w^2 · A^2 de aquí que 1/2 · m · w^2 · x^2 = 1/4 · m · w^2 · A^2 en un muelle, w^2 = k / m , por lo que k = m · w^2 quedando: 1/2 · k · x^2 = 1/4 · k · A^2 Pregunta 36. Resuelta el 31/01/2013 a las 15:54 h (hora española). Respuesta número 1611 Teniendo en cuenta la siguiente gráfica, halle: a) amplitud b) periodo del movimiento c) frecuencia d) velocidad angular e) ecuación de la posición f) ecuación de la velocidad g) ecuación de la aceleración Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. a) La amplitud es el valor máximo de la elongación x y en la gráfica vemos que es 3 cm. b) De la gráfica vemos también que le periodo es T = 4 s (es la distancia -horizontal del vértice izquierdo -primer máximo- hasta el siguiente máximo) c) La frecuencia es la inversa del periodo f = 1/T = 1 / 4 = 0,25 Hz d) La velocidad angular es w = 2 pi f = 2 pi / T = 2 pi / 4 = pi / 2 rad /s e) x (t) = A · cos (w t + fi) x (t) = 3 · cos ( pi · t / 2) f) v = d x / d t = - (3 · pi / 2) · sen ( pi · t / 2) g) a = d v / d t = - (3 · pi^2 / 4) · cos ( pi · t / 2) Pregunta 37. Resuelta el 02/02/2013 a las 12:52 (hora española). Respuesta número 1648 ¿Alguien podría explicarme el péndulo simple? Necesito la demostración de la ecuación de péndulo simple. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Un péndulo simple es una masa puntual m situada en el extremo de una cuerda de longitud L y masa despreciable, que se hace oscilar respecto del otro extremo. Supongamos que separamos un poco la masa de la vertical y soltamos. Vamos a ver la ecuación (diferencial) del movimiento. Al separar una cierta distancia y soltar, vamos a "pintar" las fuerzas que actúan sobre la masa m, en una posición arbitraria. Tendremos - la tensión T de la cuerda - el peso m · g que lo descompondremos en una componente en la dirección de la tensión (bueno, opuesta a la tensión) T · cos theta siendo theta el angulo que forma la cuerda con la vertical y otra componente m · g · sen theta que es la que nos interesa - también tendremos una fuerza centrífuga pues en una posición arbitraria (salvo en los extremos), posee una velocidad, pero no interesa pues es perpendicular a la dirección del movimiento. Si escribimos la ecuación del movimiento: sum F = m a - m · g · sen theta = m · a siendo a = L · theta ' ' (segunda derivada del angulo theta) asi pues: m · L · theta ' ' + m · g · sen theta = 0 theta ' ' + (g / L) · sen theta = 0 que es la ecuación diferencial del movimiento y NO ES LA DE UN MAS. Ahora bien, si las oscilaciones son pequeñas, podemos aproximar el sen theta al propio angulo, entonces SÍ ES LA ECUACION DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE theta ' ' + (g / L) · theta = 0 pues es de la forma a + w^2 · x = 0 identificamos w^2 con g / L por lo que w = raiz (g / L) y el periodo será, T = 2 pi / w = 2 · pi · raiz (L / g) La solución de la ecuación diferencial del movimiento es: theta = A · cos (w t + fi) o si prefieres, x (t) = A cos (w · t + fi) donde w es el valor anterior y A y fi se calcular de las condiciones (normalmente iniciales) del problema (por ejemplo , en t = 0 , x vale ... y v vale ...) Pregunta 38. Resuelta el 26/01/2013 a las 10:48 h (hora española). Respuesta número 1588 Un péndulo simple con una longitud de 2.23 m y una masa de 6.47 kg recibe una rapidez inicial de 2.06 m/s en su posición de equilibrio. Si se somete a movimiento armónico simple, determine su periodo, energía total y máximo desplazamiento angular. Ya hice lo siguiente: calculé el periodo como w = 2pi / T, T = 2 pi / w y w = raiz (g/L) entonces T = 2 pi raiz (2.23/9.8) = 2.99 s. Pero como inicialmente me dieron una velocidad (2.06 m/s) no sé si de alguna forma me toca buscar con ese dato "w" (velocidad/frecuencia angular) Para energía total necesito ayuda al igual que para máximo desplazamiento angular, CREO que tendría que usar la formula x = A cos (w t + fi) pero si es así, no se de donde saco ni w, ni amplitud Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. Qué bueno que hayas escrito lo que has intentado hacer en el problema. para la primera parte, el calculo del periodo de las oscilaciones la tienes bien: el periodo es T = 2 pi raiz (L / g) o como tu has hecho, primero sacas w y luego el periodo. La velocidad inicial no influye en esta parte. La energía total de un oscilador armónico simple (tu péndulo lo es para pequeñas oscilaciones) es E = 1/2 · m · w^2 · A^2 (*) necesitas la amplitud, que la puedes obtener de la relación entre la velocidad v y la elongación x v^2 = w^2 (A^2 - x^2) dice el enunciado en la posición de equilibrio x = 0 la velocidad es 2,06, pues sustituyes en la expresión anterior y sacas la A 2,06^2 = 2,10^2 (A^2 - 0^2) de donde A = 0,98 m sustituye ahora datos en (*) para determinar la energía Puntuación del usuario que pregunta: 5 de 5 Comentario de la persona que pregunta: muchiiiisimas gracias. si, lo se puse lo que había hecho porque no me gusta que piensen que soy vaga y solo quiero que me hagan la tarea... solo que la física se me hace complicada Pregunta 39. Resuelta el 23/01/2013 a las 17:15 h (hora española). Respuesta número 1577 Un punto material oscila con movimiento vibratorio armónico simple de amplitud 2 cm y frecuencia 10 vibración por segundo, calcula la velocidad y aceleración máxima. Halla también la velocidad y aceleración en el instante t 1/120. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (3) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. A = 2 cm f = 10 Hz, w = 2 pi f = 2 · pi · 10 = 20 pi vmax (en valor absoluto) = A · w = 2 · 20 pi = 40 pi cm/s amax (en valor absoluto) = A · w^2 = 2 · (20 pi)^2 = 800 pi^2 cm/s^2 x = A cos (w t) con las condiciones iniciales adecuadas para que la fase inicial sea nula x = 2 cos (20 pi t) v = d x / dt = - 40 pi sen (20 pi t) v (t = 1/120) = - 40 pi sen (20 pi / 120) = - 20 pi cm/s a= d v / d t = - 800 pi^2 cos (20 pi t) a (t = 1/120) = - 800 pi^2 cos (20 pi / 120) = -6837,86 cm/s^2

Oscilaciones amortiguadas Pregunta 40. Resuelta el 01/12/2012 Un oscilador lineal amortigua un cuerpo de masa m y tiene una frecuencia angular n veces la

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propia del oscilador wo. Determinar en función de los datos mencionados, el tiempo de relajación (tao), el coeficiente de amortiguamiento y el decremento logarítmico. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. lo primero que debes señalar es que n debe ser un número menor que 1 pues en el movimiento del oscilador infraamortiguado wo > gamma y w < wo w = raiz (wo^2 - gamma^2) w^2 = wo^2 - gamma^2 (n wo)^2 = wo^2 - gamma^2 de donde gamma = wo · raiz (1 - n^2) es el coeficiente de amortiguamiento El tiempo de relajación es tau = 1 / (2 gamma) = 1 / [2 · wo · raiz (1 - n^2) ] y el decremento logarítmico es pi / (w · tau) = (pi / w) · tau = = (pi / (n wo) ) · 1 / [2 · wo · raiz (1 - n^2) ] = pi / [2 · n · wo^2 · raiz (1 - n^2)] Fuente(s): En la consulta de tiempo de relajación y decremento logarítmico: http://www.uv.es/ferrerch/mecaweb/esquemec/oscil.pdf Pregunta 41. Resuelta el 02/12/2012 En un movimiento vibratorio sub-amortiguado y lineal, para t = 0 entonces a = ao. Calcular: 1) la variación de la amplitud cuando ha transcurrido un tiempo t (tiempo de relajación), 2) el tiempo que tarda la amplitud en reducirse a la mitad de su valor inicial, en función de t (tiempo de relajación). 3) los valores de la amplitud a medida que el tiempo se va haciendo 2t, 3t… (tiempo de relajación) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. 1) A = Ao · e^(-gamma · t) El tiempo de relajación es tau = 1 / (2 gamma) A = Ao · e^(-gamma / (2 gamma)) A = Ao · e^(-2) A = 0,14 Ao variación de amplitud = delta A = A - Ao = 0,14Ao - Ao = -0,86 Ao 2) A = Ao · e^(-gamma · t) en funcion de tau: A = Ao · exp [-t / (2·tau) ] Ao/2 = Ao · exp [-t / (2·tau) ] 1/2 = exp [-t / (2·tau) ] ln (1/2) = -t / (2·tau) de donde t = 2 · tau · ln 2 Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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pues ln(1/2) = ln1 - ln2 = -ln2 3) A (t = 2 tau) = Ao · exp [-2 tau / (2·tau) ] = Ao / e A (t = 3 tau) = Ao · exp [-3 tau / (2·tau) ] = Ao / e^(3/2) A (t = 4 tau) = Ao · exp [-4 tau / (2·tau) ] = Ao / e^(4/2) en general: A (t = n tau) = Ao · exp [-3 tau / (2·tau) ] = Ao / e^(n/2)

Oscilaciones forzadas Pregunta 42. Resuelta el 29/11/2012 Un oscilador forzado (sin amortiguamiento) está constituido por un muelle de constante elástica k = 450 N/m y una masa de 2 kg. Se le aplica una fuerza impulsora sinusoidal, cuyo valor máximo es 20N, siendo su frecuencia w = 3 rad/s. a) ¿Cuál será la amplitud de las oscilaciones y el periodo de las mismas? b) ¿Qué energía quedará almacenada en el oscilador en el estado estacionario? c) ¿Qué potencia media absorbe el oscilador en el estado estacionario? d) Repetir los tres apartados anteriores para una fuerza impulsora F = 20 sen (16 t) N. Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. wo^2 = k/m = 450/2 = 225, wo = raiz(225) = 15 rad/s F(t) = 20 · sen (3·t) a) La amplitud de las oscilaciones es: A = [Fo / m] / [ (wf^2 - wo^2)2 + (wf b / m)^2]^(1/2) = [Fo / m] / [ (wf^2 - wo^2)2 + 4 wf^2 gamma^2]^(1/2) si no hay rozamiento, b = gamma = 0, por lo que A = [Fo / m] / [wf^2 - wo^2] Sustituye valores: Fo = 20 N, m = 2 kg, wf = 3 rad/s y wo = 15 rad/s ¿No hay problema, verdad? Para tiempos grandes desaparece el término transitorio de la solución de la ecuación diferencial y prevalece el estacionario de pulsación wf = 3 = 2 · pi · T , luego T = 3 / (2 · pi) = 0,48 s b) Puedes calcular la energía sumando la cinética Ec = (1/2) · m · v^2 y potencial En el estado estacionario, la solución es x (t) = A cos (wf · t + fi) siendo A la amplitud calculada en el apartado anterior y fi vale pi/2 porque no hay rozamiento. tendrás que derivar la x, para sacar v... y la energía potencial elástica ya sabrás como se calcula. Sumas ambas c) La potencia instantánea es p (t) = F(t) · v (t) con la F dada en el enunciado y v la derivada de la x que hemos puesto antes. v = d x / d t = -A · wf · sin (wf · t + fi), recuerda que fi = pi/2 v = -A · wf · cos (wf · t) luego p (t) = Fo · sen (wf · t) · [-A · wf · cos (wf · t)] ¿Sabes hacer un valor medio de una función f (t) en un período T? < f (t) > = (1/T) · integral (de 0 a T) de f (t) · dt Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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pues eso, haces la integral de la p(t) anterior, con resultado evidente d) en este caso wf = 16. Repites las operaciones anteriores. En ninguno de los casos hay resonancia, la cual ocurriría (en este caso donde no hay rozamiento proporcional a la velocidad) cuando wf coincidiera con wo = 15 rad/s (en un caso wf era 3 y en el otro 16). Si necesitas alguna aclaración más, pídelo. Si quieres, valora mi respuesta y te resuelvo tus dudas como comentarios a la pregunta. Pregunta 43. Resuelta el 01/12/2012 Una masa de 0.25 kg esta unida a un muelle cuya constante elástica es k = 200 N/m, siendo la constante de amortiguamiento landa = 3 kg/s. La masa esta impulsada por una fuerza externa F = 5 sen (30 t) N . a) Cual es la amplitud de las oscilaciones? ¿Cual es el ángulo de desface entre la fuerza impulsora y el desplazamiento? b) Si se varia la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a que frecuencia se produciría la resonancia de amplitud? ¿cual sera la amplitud de las oscilaciones en la resonancia? Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (1) Iñaki Iñaki Un Genio es un usuario brillante en una categoría. La pulsación libre, sin amortiguar es wo = raiz (k/m) = raiz (200/0,25) = raiz 800 = 28,28 rad/s La fuerza de rozamiento es Fr = - b · v siendo b = 3 kg /s Ademas tenemos una fuerza externa periódica de valor F = 5 sen (30 t) a) La amplitud de las oscilaciones es: ...........................Fo / m A = ------------------------------------------------------.......raiz [ (wf^2 -wo^2)^2 + 4 · gamma^2 · wf^2 ] gamma = b / (2 m) = 3 / (2·0,25) = 6 s^(-1) sustituye valores y calcula Fo = 5, m = 0,25 ; wf = 30, wo = 28,28; gamma = 6 Es fácil, sólo tienes que sustituir y calcular el valor de la amplitud en metros y el desfase puede obtenerse de ...............wf^2 - wo^2 tg fi = --------------------….........2 · gamma · wf de nuevo sustituye wf = 30, wo =28,28, gamma = 6 me sale tg fi = 0,28, de donde fi = 0,27 rad. b) La resonancia (en amplitud) sucede cuando wf = raiz (wo^2 - 2 · gamma^2) wf = raiz (800 - 2·6^2) = 26,98 rad/s en este caso la amplitud de las oscilaciones es: ...........................Fo A = ------------------------------------------------.......2 · m · gamma · raiz (wo^2 - gamma^2) de nuevo, no tienes mas que sustituir Fo = 5 ; m = 0,25 ; gamma = 6; wo^2 = 800 y tienes el resultado.

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Pregunta 44. Resuelta el 16/12/2012 1. En el laboratorio de Física se tiene un péndulo simple de masa m y longitud l y se pone a oscilar con un periodo T sobre la tierra. Al duplicar únicamente su masa, manteniendo la forma del cuerpo y al ponerlo nuevamente a oscilar en el mismo lugar se puede concluir que su periodo de tiempo. Seleccione una respuesta. a) Se duplica b) Se reduce a la mitad c) Queda igual d) Se cuadruplica 2. Para un movimiento forzado, la amplitud en régimen estacionario depende de: Seleccione una respuesta. a. La velocidad inicial del sistema. b. La frecuencia impulsora. c. la posición inicial del sistema. d. La aceleración inicial. 3. Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje positivo de las x en un movimiento armónico simple a partir del origen en t = 0. Si la amplitud de su movimiento es 2 cm y la frecuencia 1,5 Hz. Las ecuaciones del movimiento son Seleccione una respuesta. a) x(t) = 2 cm sen (3 pi t), v(t) = 6 pi cm/s cos (3 pi t), a(t) = -18 pi2 cm/s2 sen (3 pi t) b) x(t) = 2 cm sen (3 pi), v(t) = 6 pi cm/s sen (3 pi t), a(t) = -18 pi2 cm/s2 sen (3 pi t) c) x(t) = 2 cm cos (6 pi t), v(t) = 6 pi cm/s cos (6 pi t), a(t) = -18 pi2 cm/s2 cos (6 pi t) d) x(t) = 2 cm cos (3 pi), v(t) = 6 pi cm/s cos (3 pi), a(t) = -18 pi2 cm/s2 sen (3 pi) Iñaki http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] http://es.scribd.com/IñakiCarrascal Respuestas (2) Mozo Mozo Un Genio es un usuario brillante en una categoría. PREGUNTA 1 El periodo de un péndulo es T = raiz (L / g). Es independiente de la masa, así que si el experimento lo hacemos en el mismo lugar (g =) y la longitud del péndulo no varia (L =), el período es el mismo. Respuesta correcta: C PREGUNTA 2 La amplitud del termino estacionario es A = [Fo / m] / [ (wf^2 - wo^2)2 + 4 wf^2 gamma^2]^(1/2) vemos que depende de la pulsación wf de la fuerza externa periódica. Respuesta correcta: B PREGUNTA 3 Si f = 1,5 Hz, w = 2 pi f = 3 pi x = A sen (w t + fi) como en t = 0, x = 0, fi = 0 por lo que x = A sen (w t) de momento solo son validas aquellas soluciones en la que w = 3pi (descarta la "c") siendo A la amplitud , es decir 2 cm. De momento: x = 2 sen ( 3 pi t), con x en cm v = dx/dt = 6 pi cos (3 pi t) Iñaki Carrascal Mozo v1.0: 16/11/2012 http://www.carrascal.net46.net/físicas/ fí[email protected] Iñaki Carrascal

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a = dv/dt = - 18 pi^2 sen (3 pi t) Respuesta correcta: A

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