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• Sindy Linet Valverde Fernández

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FÍSICA - PREU Lic. Jaime A. Huacani Luque Edición

2 v=2m/s

¡ Lo mejor en la práctica de la ciencia alucinante !

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

“A toda la juventud estudiosa del País, por un Perú mejor” &&&&&&&&&&&&&&&&&&&

FÍSICA - PREU Autor: Lic. Jaime Alberto Huacani Luque Derechos Reservados Prohibida la reproducción de esta obra por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del autor Diagramación y Composición John E. Mamani Machaca SEGUNDA EDICIÓN: marzo del 2010 PUNO - PERÚ

♦ Presentación

Como una contribución a la formación del educando de nuestra patria, me es grato presentar el texto de física, para el Quinto Grado de Educación secundaria, resultado de un proceso de investigación, motivo por el deseo ofrecer un auxiliar útil para la delicada labor de mis colegas que tienen a su cargo la dirección del desarrollo de la línea de acción de educativa de física.

♦ Introducción...……………………………………………… Pág. 7

El inicio del estudio de la física presentar serias dificultades tanto por la naturaleza misma de esta ciencia por las circunstancias de edad, preparación previa, etc, que acompañan a los alumnos. Por estas razones he estimado necesario utilizar un lenguaje sencillo, claro y conciso, sin con ello me aporte del enfoque científico y técnico, propio de la física. Con este objetivo he preparado el presente texto de física, que estimo podrá utilizarse con provecho y sin dificultad en todos los centros educativos del Perú.

♦ Estática II…………………...………………………………..Pág. 61

La publicación de un libro de física, casi siempre con lleva a la presentación o planteamiento de nuevas alternativas en la metodología de la enseñanza del curso en mención; es en tal sentido que el autor incluye en casi todos los capítulos el apoyo matemático de producto escalar y vectorial de vectores así como el análisis diferencial e integral en los cálculos matemáticos. El autor realiza el desarrollo del curso formando como base al “Educando modelo” quien carece inicial mente de los conocimientos de la física elemental, para luego ir profundizando progresivamente el tema respectivo para alcanzar finalmente un nivel competitivo, dependiendo lógicamente de las metas del estudiante.

♦ Análisis Dimensional……………..…………………………Pág. 13 ♦ Análisis Vectorial…………………………………………….Pág. 33 ♦ Estática I……………………………...……………...………Pág. 44

♦ Movimiento Rectilíneo Uniforme…….…………………….Pág. 75 ♦ Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado…………………Pág. 85 ♦ Movimiento Vertical de Caída Libre……………………….Pág. 98 ♦ Movimiento Parabólico……………………………………..Pág. 108 ♦ Dinámica…………………………………………………….Pág. 120 ♦ Trabajo……………………………………………..………..Pág. 135 ♦ Potencia…………………………………...………………...Pág. 144 ♦ Energía………………………………………………………Pág. 149 ♦ Hidrostática……………………………………...………….Pág. 158 ♦ Termometría………………………………………………..Pág. 169 ♦ Calorimetría………………………………………...………Pág. 172 ♦ Dilatación Térmica…………………………………………Pág. 182 ♦ Electrostática……………………………………………….Pág. 190

Finalmente, no quiero terminar sin antes agradecer la valiosa ayuda de mi familia en especial, así como también de mis amigos y colegas quienes de una u otra forma colaboraron en la elaboración de este material. Autor

FÍSICA

HISTORIA DE LA FÍSICA La Física nació como un resultado de la lucha del hombre contra las condiciones adversas y de la búsqueda de utensilios o materiales necesarios para subsistir. Desde épocas muy remotas los hombres observaron la naturaleza. Los griegos, herederos de las tradiciones científicas egipcias y babilónicas, son los primeros en ocuparse sistemáticamente de la física, y no soleen relación con los problemas inmediatos planteados para la técnica sino también en el contexto más vasto y teórico de las concepciones del mundo. En los comienzos de su desarrollo, la física se considera como una ciencia dedicada a estudiar todos los fenómenos que se producen en la naturaleza. De allí que durante muchos años recibió el nombre de filosofía natural y aun es este el nombre con que se la denomina en las cátedras de física Experimental en muchas Universidades de Gran Bretaña (Inglaterra). En la Edad Media su estudio se inicia con ALHAZEN, quien desarrollo la óptica geométrica, Galileo Galilei es el iniciador de la física Moderna. En la mecánica establece formulas del movimiento pendular, de los proyectiles, composición de la luz, velocidad de la luz, del sonido, defendió la teoría heliocéntrica, etc. Isaac Newton es la figura cumbre de esta época, descubre y utiliza el calculo infinitesimal, expone la ley de la gravitación universal explica la descomposición de la luz, etc. Por otro lado, a partir del siglo XIX la física restringió su campo, limitándose a estudiar más a fondo un menor número de fenómenos denominados fenómenos físicos, separándose los demás par formar parte de otras ciencias naturales. En este siglo se estudia a profundidad la electricidad; se admite la naturaleza ondulatoria de la luz; se conceptúa el electrón, el fenómeno

Fotoeléctrico, se descubren los rayos X y se inicia el estudio de radiactividad. A comienzo del siglo XX, destacan la teoría de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad de EINSTEIN; la obtención y aplicación de la energía nuclear. E n 1919 se descubre la primera reacción nuclear por Rutherford en1939 se hace funcionar la primera pila atómica por el científico Fermi; se realizan las primeras aplicaciones bélicas y al mismo tiempo se realizan aplicaciones científica de la energía nuclear. Actualmente se están perfeccionando las técnicas experimentales; destacando los avances realizados en electrónica, especialmente el nacimiento y desarrollote la cibernética; también se realizan exploraciones del espacio, por medio de satélites artificiales y vuelos espaciales. Asimismo el descubrimiento de los rayos LASER, que se aplican en la cibernética, geología, medicina, etc.

LA CIENCIA La palabra ciencia proviene del latín scire, que significa conocer, por lo tanto la ciencia, es el conjunto de conocimientos que se han ido acumulando a lo largo de la historia de la humanidad; es el estudio de las leyes que rigen los diversos aspectos de la naturaleza; el saber; es una actividad de la inteligencia del hombre; otros la definen como un método para solucionar problemas a un intento para buscar explicaciones a los fenómenos naturales. La Ciencia es parte del proceso social de la humanidad y su método se emplea en cualquier área de investigación y del conocimiento; a la vez que sus aplicaciones en los procesos técnicos hacen posible el mejoramiento de las condiciones de la humanidad. Una de las características más importantes de la ciencia, es que sus conclusiones deben estar de

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acuerdo con la experiencia, lo que plantea la necesidad de modificar la ley cuando se ha comprobado que es totalmente valida. Esto es, la ciencia no esta acabada, ni ha culminado su desarrollo, la ciencia se encuentra en continuo renacer.

HOMBRE Y CIENCIA Basta mirar a nuestro alrededor para darnos cuenta de cómo se producen una serie de fenómenos aceptados por la inmensa mayoría de las personas, sin mas explicaciones; los cuerpos dejados libres en el espacio caen, el rayo de luz se quiebra al penetrar en el agua, la energía del sol llega a la Tierra, el agua se evapora, etc. Una de las características mas sorprendentes del hombre es la aceptación de estos y otros innumerables fenómenos sin plantearse al porque de ellos. El hombre acepta con facilidad todo aquello que le es familiar, sin adoptar una actitud critica en su observación. Cualidad fundamental que distingue al científico, hombre con curiosidad critica, de aquel que no lo es. Solo el hombre por excelencia, el hombre inteligente de mente libre, es capaz de hacer avanzar la ciencia al observar, no solo viendo, sino haciéndolo de manera critica, planteándose interrogantes, que de forma disciplinada y ordenada procurara resolver.

OBJETOS DE LA FÍSICA El objetivo fundamental de la física consiste en explicarlos fenómenos naturales que ocurren en la Tierra y el universo; a partir de ella se pueden desprender las predicciones que se consideren mas convenientes. La predicción del comportamiento de un fenómeno natural, se realiza con la ayuda de un sistema de leyes que han sido deducidas de la observación experimental. Así por ejemplo en el movimiento vertical de un cuerpo que cae, podemos predecir que su velocidad aumenta a medida que se aproxima al pìso, debido a la aceleración de la gravedad y que el tiempo que demora en caer dependerá de su altura.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE A continuación daremos a conocer dos palabras muy importantes que el lector no debe olvidar. DEFINICIÓN: Es la explicación exacta y clara de una cosa. CONCEPTO: Es una idea que concibe el entendimiento. Es una opinión o juicio expresado en palabras. Si intentáramos dar una definición a la física, prácticamente seria imposible por lo tanto la física no tiene definición.

CONCEPTO DE FÍSICA La física se esfuerza siempre en presentar una imagen clara del mundo que nos rodea; estudia las interacciones de la materia con la materia o con la engría por consiguiente: FENÓMENO: Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de las diversas formas de engría; existen muchos fenómenos. En esta oportunidad nos ocuparemos solo de tres. A. FENÓMENO FÍSICO: Es el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura intima. Se caracteriza por ser reversible. B. FENÓMENO QUÍMICO: Es el cambio que sufre la materia experimentando una alteración en su estructura química. Se caracteriza por ser irreversible, es decir, el cuerpo no vuelve a ser jamás lo que inicialmente era. C. FENÓMENO FÍSICO - QUÍMICO: Este fenómeno tiene algunas características del fenómeno físico y otras del químico.

PARTES DE LA FÍSICA Mecánica.- Constituye la parte fundamental de la física y sobre ella se basan las otras ramas de la física. La mecánica se encarga de estudiar los fenómenos relacionados con los movimientos o

FÍSICA

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equilibrios de los cuerpos, así como las fuerzas que actúan en ellos. Calorimetría.- Estudia las mediciones referentes al calor tanto en los sólidos como en los fluidos, así como las consecuencias que produce. Acústica.- Estudia los fenómenos relacionados al sonido. Electricidad.- Estudia el efecto que producen los electrones al trasladarse de un punto a otro. Óptica.- Estudia la luz, su naturaleza, sus fuentes de producción y los fenómenos que experimenta. Magnetismo.- Estudia las propiedades referentes al imán. Electromagnetismo.- Estudia las interacciones entre los campos electrónicos y magnéticos. Física Nuclear.- Se encarga de estudiar el núcleo y su estructura atómica. Física Moderna.Estudia los fenómenos relacionados con la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, tiene como figura al gran científico del siglo XX: Albert Einstein.

MÉTODO CIENTÍFICO Método de estudio sistemático de la naturaleza que incluye las técnicas de observación, reglas para el razonamiento y la preedición, ideas sobre la experimentación planificada y los modos de comunicar los resultados experimentales y teóricos. 1. OBSERVACIÓN: Es la recolección ordenada de datos. Observar significa hacer una descripción de un objeto o fenómeno utilizando directamente los órganos de los sentidos o indirectamente, por medio de instrumentos la observación consiste en. Estudio de un fenómeno que se produce en sus condiciones naturales. La observación debe ser cuidadosa, exhaustiva y exacta

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Las observaciones son cualitativas (describen cualidades o características como color, sabor, olor, etc.) y cuantitativas (maneja cantidades y requiere mediciones precisas del uso de instrumentos) A partir de la observación surge el planteamiento del problema que se va a estudiar 2. HIPÓTESIS: Es una explicación tentativa del problema o una respuesta temporal que se da al mismo. Consiste en suponer provisionalmente cual es la causa que posiblemente determina los hechos observados. Que puede ser verdadero o falso lo que quedara demostrado mediante la experimentación. Existen ciertas pautas que han demostrado ser de utilidad en el establecimientote la hipótesis y de los resultados que se basan en ellas; estas pautas son: probar primero las hipótesis más simples, no considerar una hipótesis como totalmente cierta y realizar pruebas experimentales independientes antes de aceptar un único resultado experimental importante. 3. EXPERIMENTACIÓN: Durante esta fase, el científico trata de probar su hipótesis bajo un experimento controlado, lo que indica planificar los medios que la permitan hacer observaciones mediciones, etc. La experimentación consiste en el estudio de un fenómeno, reproducido generalmente en un laboratorio, en las condiciones particulares del estudio que interesa, eliminando o introduciendo aquellas variables que puedan influir en el. Se entiende por variable todo aquello que pueda causar cambios en los resultados de un experimento. En un experimento siempre existe un control o un testigo, que es la parte del mismo no sometido a modificaciones y que se utiliza para comprobar los cambios que se producen, de forma que queda repetirlo cualquier experimentador que disponga del material adecuado.

FÍSICA

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Los resultados de un experimento pueden describirse mediante tablas, gráficos y ecuaciones de manera que puedan ser analizados con facilidad y permitan encontrar relaciones entre ellos que confirmen o no las hipótesis emitidas.

4. CONCLUSIÓN: Esta tapa es la culminación del método científico. La conclusión es la evaluación y contrastación de los datos registrados que permite generalizar los hechos y establecer deducciones respecto al problema planteado con lo cual termina el proceso de investigación.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Cuando la hipótesis es verificada por investigadores, se considera entonces como valida y pasa a considerarse como una teoría. Según algunas investigadoras, el método científico es el modo de llegar a elaborar teorías, entendiendo estas como configuración de leyes. Mediante la inducción se obtiene una ley a partir de las observaciones y medidas de los fenómenos naturales, y mediante la deducción se obtienen consecuencias lógicas de una teoría. Así mismo debe permitir hacer predicciones de nuevas relaciones y fenómenos que se pueden comprobar experimentalmente.

MÉTODO CIENTÍFICO (Ejemplo Ilustrado)

OBSERVACIÓN Los cuerpos metálicos en épocas de verano incrementan sus dimensiones

HIPÓTESIS Una moneda es un cuerpo metálico, si lo frotamos se debe calentar. El calentamiento del cuerpo implica incremento de su temperatura es la razón, de este fenómeno.

EXPERIMENTO Calentamos la moneda por frotamiento o usando un mechero para que el calentamiento sea mayor. Si comparamos las dimensiones de la moneda antes y después del proceso de calentamiento notaremos que sus dimensiones se han incrementado ligeramente al aumentar la temperatura.

CONCLUSIÓN (Nivel macroscópico) El calentamiento de un cuerpo metálico es la causa de su dilatación.

FÍSICA

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LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

GUIA DE PRACTICA DE LABORATORIO Nº 01

FÍSICA

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LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

3.5.

¿QUÉ ES LO QUE HA SUCEDIDO CON LA CERA DE LA VELA?

3.6.

AL CONSUMIRSE LA VELA. EXISTIRA ALGUNA RELACION CON LOS CAMBIOS QUE SUFRE LA MATERIA.

MÉTODO CIENTÍFICO

I.

OBJETIVO. Poner en práctica los procesos del método científico a través de un trabajo experimental.

II.

III. 3.1.

Vela Fósforo Recipiente

¿QUE PUEDES HACER CON LA VELA?

¿CREES QUE LA VELA SUFRA CAMBIOS EN SU ESTRUCTURA?

¿QUE TIPO DE CAMBIOS? Si la rompes:……………………………………….. Si la enciendes:…………………………………….. Si la trituras:……………………………………….. 3.4.

DESPUES DE LA PRÁCTICA REALIZADA ANOTA TUS CONCLUSIONES. a)…………………………………………………… b)…………………………………………………… c)…………………………………………………… d)……………………………………………………

DESCRIBE LA VELA Y HAZ UN LISTADO (10)

a)…………………………………………………… b)…………………………………………………… c)…………………………………………………… d)…………………………………………………… 3.3.

3.7.

PROCEDIMIENTO.

a)……………………………………….. f)………………………………… b)……………………………………….. g)………………………………… c)………………………………………... h)………………………………… d)……………………………………...… i)………………………………… e)………………………………………… j)……………………………….. 3.2.

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………..

MATERIALES.

¿CUAL DE LOS PASOS ANTERIORES TE DEMUESTRA QUE ES UN CAMBIO QUE PUEDE MODIFICAR SU ESTRUCTURA INTERNA? ……………………………………………………………………………….. Porque……………………………………………………………………...…………………… ……………………………………………………………..

3.8.

¿CUÁL SERIA TU FUNDAMENTO CIENTIFICO? …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

FÍSICA

Análisis dimensional El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos “dimensiones”, los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales.

MAGNITUD FÍSICA En nuestra vida cotidiana todos tenemos la necesidad de medir longitudes, contar el tiempo o pesar cuerpos, por ejemplo podemos medir la longitud de una tubería, el volumen de un barril, la temperatura del cuerpo humano, la fuerza de un atleta, la velocidad del bus; todas estas son magnitudes o cantidades físicas.

Clasificación de las Magnitudes Fines del Análisis Dimensional • El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. • Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. • Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).

Según su origen: • Magnitudes Fundamentales • Magnitudes Derivadas Según su naturaleza: • Magnitudes Escalares • Magnitudes Vectoriales A) MAGNITUDES FUNDAMENTALES Llamados también magnitudes base y reconocidas por el Sistema Internacional de Unidades (S.I) sirven para formar todas las magnitudes existentes, se reconocen siete magnitudes fundamentales a saber:

UNIDAD

DIMENSIÓN

Longitud

Metro (m)

L

Masa

Kilogramo (kg)

M

Temperatura Termodinámica

Segundo (s) Kelvin (K)

B) MAGNITUDES DERIVADAS En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente forma:

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES Todo número, ángulo o función trigonométrica que se encuentra como coeficiente, tiene como ecuación dimensional igual a la unidad. Ejemplo: 1) 20kg 2) Sen30° 3) π/5

[x L iMbiTciOdiIeiJf Ng Donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se conocen como dimensiones.

Ejemplo: Ec. Dimensional 1) 20Senx → [20]senx = [1]senx = 1 2) P3 → [P]3 = (ML-1T-2)3 = M3L-3T-6 Donde: “P” es presión.

Ejemplo: Área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor, etc.

T

θ

Ejemplo: Área, volumen, trabajo, energía, calor, etc.

longitud,

Ejemplo: Velocidad, gravedad, etc.

aceleración,

Las ecuaciones dimensionales cumplen con todas las reglas del álgebra excepto la suma y la resta. Ejemplo: A - B → [A - B] ≠ [A] - [B] A + B → [A + B] ≠ [A] + [B] Donde A y B son magnitudes conocidas.

tiempo,

D) MAGNITUDES VECTORIALES: Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesitan la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente definida o determinada. fuerza,

ECUACIONES DIMENSIONALES

Ec. Dimensional → [20kg] = 1 → [Sen30°]=1 → [π/5] = 1

Todo número o función trigonométrica que se encuentra como componente conserva su valor.

C) MAGNITUDES ESCALARES Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de medida.

MAGNITUD

Tiempo

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PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD En toda ecuación dimensional para que se encuentre correctamente escrita, todos sus miembros deben tener las mismas dimensiones. Ejemplo: “GENERAL” Si:

A+ B = C-D →[A]=[B]= [C]= [D]

Aplicación: Llamadas también “fórmulas dimensionales”, son expresiones matemáticas que colocan a las

Intensidad de Corriente Eléctrica

Ampere (A)

I

magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.

Intensidad Luminosa

Candela (Cd)

J

Notación:

Cantidad de Sustancia

Mol (Mol)

N

Si: A se lee como magnitud "A"; entonces: [A]: se lee como “ecuación dimensional de A".

d Vit+

at 2

→ Ec. Dimensional Homogénea

2 2

[d] = [Vit] =

at 2

-1

-2

2

L = LT T = LT T

2

[d] = [V t]= [a t] [2] L=L=L

FÍSICA

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LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÓRMULAS DIMENSIONALES MÁS USUALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL En el cuadro siguiente encontrarás las fórmulas dimensionales de las magnitudes derivadas más usadas, las cuáles deberás de aprender en su totalidad para el buen aprendizaje y dominio de este tema. MAGNITUD DERIVADA

FÓRMULA

FÓRMULA DIMENSIONAL

ÁREA

(longitud)2

L2

VOLUMEN

(longitud)3

L3

VELOCIDAD

longitud tiempo

ACELERACIÓN

velocidad tiempo

LT-2

FUERZA

masa × aceleración

MLT-2

TRABAJO

fuerza × distancia

2

ML T

ENERGÍA

W

ML2T-2

POTENCIA

trabajo tiempo

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LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

CALOR

Energía

ML2T-2

PERIODO

tiempo

T

FRECUENCIA

1 tiempo

T-1

VELOCIDAD ANGULAR

frecuencia angular

T-1

ACELERACIÓN ANGULAR

velocidad angular tiempo

T-2

LT-1

fuerza × tiempo

MLT-1

CARGA ELÉCTRICA

I×tiempo

IT

INTENSIDAD DE CARGA ELÉCTRICA

fuerza carga eléctrica

POTENCIAL ELÉCTRICO

trabajo carga

ML2T-3I-1

Potencial I

ML2T-3I-1

IMPULSO

-2

ML2T-3 RESISTENCIA ELÉCTRICA

CAUDAL

volumen tiempo

L3T-1

DENSIDAD

masa volumen

ML-3

GRAVEDAD

aceleración

LT-2

PESO

masa × gravedad

MLT-2

PESO ESPECÍFICO

peso volumen

ML-2T-2

PRESIÓN

fuerza área

ML-1T-2

TORQUE

fuerza × distancia

ML2T-2

MLT-3I-1

FÍSICA

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PROBLEMAS

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

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RESUELTOS

2

[m] = PROBLEMA 03

PROBLEMA 01 ¿Cuál deben ser las dimensiones de A y B para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta?

Dimensionalmente, homogénea

para

2

que

(B + S) sea

Solución

2

[K]= ML

Wsenθ 2

2 −2

[A ] =

2

2

−1

n

R

]=[ ][ ][ ]

T

D

2

[E] = 3 2

L

[E ] =

3

( )

2 −2

ML T

2

2

Solución

del

LT

=A

−2

[A] =

1

LT

−1

2

−1

1

que

A+

hallar las

1 B

+C

sea

= [C] (3)

(2)

De las igualdades de (1) y (2)

[A] =

1

2

= L T [ϕ]

=L2T 4,

B

B

(1)

2

1 B

[A]= [B] = 1 ........... (4)

2

) [ϕ]1

= (LT

A

1

2

−1

D

2

θ

para

análisis

1

sea

−1

Solución

Dimensionalmente, homogéneo.

2pgϕ

PA [V]= 1i[g][ϕ]

m+

B

dimensiones de C.

[ V]=[g ]12 [ϕ] 21

Dimensionalmente, para que

−2

1 + C es dimensionalmente

correcto y, además,

P( A−B )

V

nA

2

PROBLEMA 07

(V es una velocidad; A y B son áreas; p y p`, densidades; y g, la aceleración de la gravedad).

(B − nH) sea

L=1i[ ] [H] = L

=1i[K]θ

[K ] = ML T

2 (p`−p) gϕ

=A

H

[K ][T ]

2

Si el polinomio A +

3

V

KT

2

2

Determina las dimensiones de ϕ en la siguiente ecuación:

[B] = [nH ] [B] = [n][H ]

homogéneo.

3

[D]

PROBLEMA 05

Por reglas dimensional.

−2 3

ML T L = N [ R ]θ

nA

3

L 6 = [C]L (1)L

2

Solución

Solución

2

= [C][L −1iL] 1+

D

homogénea

correcta, y que p es presión; V, volumen; n, cantidad de sustancia; y T, temperatura.

V

D

+

Solución Dimensionalmente, para que

Determinar las dimensiones de R, sabiendo que la expresión pV = nRT es dimensionalmente

dimensiones de la constante K, conocida como constante de Boltzamann?

3

[C] = ML−8 T −2

2

KT

2

En ella, E es la energía cinética, T es la temperatura absoluta del gas. ¿Cuáles son las

2

(p es una presión; B, un diámetro; A, un área; por ultimo, m y n, constantes adimensionales)

PROBLEMA 02

D

2

ML T

nA

p = C (B − nH ) m

D

1iL

−1

correcta, ¿Cuáles son las dimensiones de C?

i1

2

nA

−2

−2

PROBLEMA 04

M L +L [A] = ML2T −2 2 [A] ML −2 =T

[p][

ML T

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente

S

+

[p] = [C][B − nH] m +

[m][L] =[K] 2 ML =[K]

Para finalmente calcular las dimensiones de A

ML T

p = C (B − nH ) m

2

2

+ S) [A] = m(B [ W ][ senθ ] [ m ] B2+

3

E =

reemplacemos

−1

[B] = L [B] = L

remplacemos en A =

2 2

mL + K sea

Dimensionalmente, para que homogéneo.

[B] =[S] 2

PROBLEMA 06 Para el cálculo de la energía cinética promedio de las moléculas un gas ideal monoatómico se utiliza la relación de Boltzmann.

Ahora finalmente para hallar las dimensiones de C

mL 2 =[K ]

2

]

[D]= L2

en: (m es una masa; L, una longitud; e, un espacio; y t un tiempo)

Solución

2

correcta, halla las dimensiones de K: 2

2

m(B + S)

[D]

2

Y = mL + K mLe + 2t 4t

(W es trabajo; m, masa; y S, área)

[n]2 [A

1= 1 i(L ) 2 [D]

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente

Wsenθ

A=

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Del dato:

A

1

R = ML2T −2N−1θ −1

4 2

n

L

[ ]

[ m] =

=[ B ϕ] D

2 =L2T

[ϕ] =L

[A]= L2T 4 [B]..........(5)

Reemplazando la ecuación (5) en (4)

FÍSICA

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LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

[A][B] = 1

[

V] =

2 4

LT

2

[B][B]=1 −2

[

−4

[B] = L T

LT

2

)

(

−1 −2

2

LT

3

[ ] = [ ]=

V = 8640

[g]

Donde L es su longitud; d, su diámetro; t, el tiempo transcurrido; u, una constante numérica; y u, un ángulo. Determinar las dimensiones de C y

P D Ry ω

2

ML T

LC V = 8640

[V ] = [8640] [V ] =1i

−3 2

2

ML T

[L][C] [d t]

y

−3

−3

−1

z

De las igualdades de (1) y (2)

[V ] =

[e ] = o M [F ]

LT −z

T

x =1 −3x + y = 2 y =5 z=3

hélice del motor del avión es; 5

P = DR ω

(2)

[B] = LT

[

3

PROBLEMA 10 Halla el exponente al cual debe estar elevado el tiempo t y las dimensiones del momento de fuerza

Mo [L C][ ]

es

dimensionalmente correcta, hallar [K ]

PK

c=

2

Dd

Solución 2 [P][K ] [D][d ]

[c] =

0 = −2 + x x =2

) (L) (−zT )

x −3x+y

Sabiendo que la siguiente expresión

(c es velocidad; P, presión; D, densidad; d, diámetro)

x

L = LT T 0 −2+x LT = LT

x −3x y

=M L

PROBLEMA 13

−1

ML T −1

LT

De las igualdades de (1) y (4)

y

=M L −3

−2

= [K ] ML

] LT

−1

LT

[Mo ] L = MLT −2 [Mo ] 2 −2 = ML T

= [K ]

−1

= [K ]L

−3

L

LT 12

−2

T

−2 −1

[K]= L12 PROBLEMA 14

PROBLEMA 11 Si la ecuación mostrada es dimensionalmente correcta:

Por lo tanto la formula para la potencia de la

= [B] (3)

(4)

[e]=[A t]x

z

De las igualdades (1) y (3)

[V]=[B]−1

(3)

(2)

z

Igualamos los exponentes de los términos semejantes.

[L][C] i1=[B]i1 [ d t]

[V(1) ] =

= (ML

ML T

iu = B senα 2 d it [L][C] [ d t] [u]=[B] [senα]

(1)

Igualamos los exponentes de los términos semejantes.

Solución

x

[ ]

[F ]

Dado que la ecuación es dimensionalmente correcta entonces:

[P]=[D] [R] [ω]

Solución

[senθ ]

De las igualdades de (1) y (3)

B.

Por principios de homogeneidad.

[P ] = Newton

F

de la hélice R, y de la velocidad angular con que gira ω . Halla la formula para dicha potencia se esta se encuentra al multiplicar cada uno de los factores mencionados.

x

2

Por lo tanto estas unidades pertenecen a:

o

x [L] [ M o] [g] = [A t] = [F ]

[e] = [v ] La potencia P de la hélice del motor de un avión esta en función de la densidad de aire D, del radio

iu + B senα LC 2 d it

=

s

M

[ ] [ ]

LT 2

PROBLEMA 08

senθ

kgm

[2][L] = [3][A t] x = [Mo ]

PROBLEMA 09

La velocidad con la que viaja un cometa esta dada por:

x

=

T

2

[A]= LT A

e = v

[P]=

3At

g

[C]= L

4 −1 −2

C

[e] = v

−1 LT = [C] LT

[A]= L T [B] [A L ] T L

−2

2L

4

−4

[P] = MLT

Por principio de homogeneidad

2

2

−2

LT [P] = ML T

Solución

L[C]

[B] = L T ..........(6) Reemplazando la ecuación (6) en (5)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

aceleraciones y f, fuerza)

d t] =

−1

20

(e es espacio; v, es velocidad; L, longitud; A y g,

[L][C]

2

FÍSICA

La expresión

F=

(x + ym)(ymngh) z (log 25 + y )

es una

ecuación homogénea.

2

f=

2BA

(F es fuerza; m. masa; n, escalar; h, altura; y g, aceleración)

WPlogn

(f es frecuencia; B, masa; A, aceleración; y W, velocidad) ¿Cuáles seran las unidades de P en el S.I.?

Solución

2

yz

Usando partes de la ecuación, halle:

Dimensionalmente, homogéneo. para que la siguiente ecuación sea correcta:

2 [B][A]

Solución para

x

que (log 25 + y ) sea

[f ] =

2L

x

3At

M[W ][P][logn2] [d t]

[log 25]=[y ] e =v

+ + o g senθ F

T

−1

1iM =

−2 (−1LT )

LT [P]i1

[y ] = 1

FÍSICA

21

Dimensionalmente, homogéneo.

para

que

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

(x + ym) sea

2

Solución

[b] − [b]

Analizando la ecuación y aplicando el principio de homogeneidad

[y ] =

[x] = [y][m] [x] =1iM

[x] = M

F

[x + ym][ymngh] [z][log 25 + y ] −2 −2 [ M +1iM] 1iMLLT L MLT = [ ] =

[z][1+1] 3

MML T

[z]i1 23

−2

MLT = M LT

x

Bk −Ck w=

yz x

−2

D(Ek − F)

2

sea

2

[UNA]=[UNI]=[IPEN] ............. (1) De la expresión (1) se tiene:

[UNI]=[IPEN] [U][N I] = [I][P ][E ][N] [U]=[P][E ] y]

P

[F dimensional

resolvemos

[x ]

[w ] =

−2

−2

2

T [PERU] = ML T 2 5LML [PERU] = M LT −4

−2

2

PROBLEMA 19

2

−1

Sabiendo que la siguiente expresión es 2

dimensionalmente correcta, hallar las dimensiones de [z]

(Ek − F ) sea

L] T

PROBLEMA 17 En la siguiente expresión dimensionalmente

2 ] = [A − y ] [w [z] 2 [w ] = [A][−z[]y ] −2

LT

2

(T −1 )

− LT

(t es tiempo; v, velocidad; y A, presión)

Solución

Por propiedades del analisis dimensional se tiene

log (xt + yv ) = 1

2

[xt + yv]= 1

=

[z] [z ]T −2 = LT −2 [z] = L

[xt] = [yv] = 1 ...........(1) De la expresión (1) se tiene

[xt] = 1 [x][t] = 1

Finalmente hallemos [xyz]

w sen30º= x 2 + A − y 3t πz 2

(w es velocidad angular; A, aceleración; y t, tiempo) Se pide encontrar: [xyz]

[ x] T = 1

−2

[xyz] =1iLT L [xyz L]

T

xy

Klog (xt + yv)= A z

Ahora hallemos “z” de la ecuación (1)

correcta.

([h] − 3 h 2 ([p + π p [ ][ ]) ] [ ][ ]) [y ][log 3] = b − b ([h] [ ] [ ] 2 [ y ] i1= −1i[h]) ([p] +1i[p])

2

2

−2

b−b

2

[ ][E ] = ML T

[PERU] = [P ][E ][R][U]

[x] = (T ) (T ) [x] = 1

[Ek] = [F ] [E ][k] = [F ] −2 −1 MLT M L = [F ]

2

[b] − [b]

Por principio de homogeneidad.

[π ][z]

Hallemos las dimensiones de [PERU]

[x t]2[w ]

L = M[k] [k] = M −1L

M

análisis

Solución

[t ]

[B] = [C][k]

(h es altura; p, presión; y b, aceleración angular) del

2

(Bk −Ck )

[Bk]= Ck

3h) (p +πp)

propiedades

Entonces las dimensiones de [PERU] será:

[y ] = LT

2

Solución

2

sea

De la ecuación (1) se tiene:

homogéneo.

Determinar la expresión dimensional de “y” en la siguiente ecuación:

ylog 3 =

3 [t]

[A]= [y]

Solución

Dimensionalmente, para que homogéneo.

(h −

]

homogéneo.

Dimensionalmente, para que

PROBLEMA 15

Por

sen37º

(B es altura; C, masa; y E, fuerza)

1iML =L

sen30º =

πz = [A − y ]

2 [w ] = [x]2 = [A − y ]........(1) [z] [t] Dimensionalmente, para que [A −

En la ecuación homogénea 2

=

2

[w ]2i1= [x] = [A − y ] 2 1i [ z ] 1i[t]

PROBLEMA 16

2

=

w

[ ]2[

UNA + UNI = IPEN (U es energía; y R, radio)

−2

2

Finalmente hallemos:

yz

L

Si la ecuación indicada es homogénea:

A−y

3t [x]

sen30º

Hallar las dimensiones de “F”

−2

[z] [z]= ML

=

−2

(x + ym)(ymngh)

=

w

−2

T [y ] = ML

Ahora reemplacemos en:

MLT

[b] −1

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 18

x

2

( ) ML T

[y ] =

−2

[h]2 [p] 2

z (log 25 + y )

22

([h] − [h]) ([p] + [p])

[y]=

[x] = [ym]

F=

FÍSICA

[x] = T

−2

De la expresión (1) se tiene

1

[yv ] =

−1

[y ][v

]=1

−1

[y ]LT =1

FÍSICA

23

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

[y ] = L−1T

2

−1

xy

z

24

LT T = [φ ]

Finalmente los exponentes de las magnitudes físicas solo pueden ser números reales; así entonces deducimos que en la expresión original, el término

FÍSICA

Considerando dimensionalmente correcta a la ecuación dada ¿Cuáles son las dimensiones de B, C y R?

[A][x] =[B][x] [A][x] = [B]

[φ ] =L

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución

−1

LT T = [B]

PROBLEMA 21

permite calificarlo adimensional.

como

una

cantidad

Determine las dimensiones de “y” en la ecuación

(x − A) f

homogénea

PROBLEMA 23

Solución

=1

z

En la expresión correcta, hallar la ecuación dimensional de “N”

[B] = [A]

[x][y] = [z] −1 −1 T L T = [z]

k=A

[x − A] = 1 [x] = [A] = 1 ............. (1)

−1

−2

Para que la siguiente expresión física sea dimensionalmente homogénea. Determinar las

Luego remplacemos en la ecuación original dada tg37

[y]=[x ]

dimensiones de “ φ ”

3 −2 4

[x − A][f ] −2

−2

−1

lo g

x+

vt

[y ] = (LT

LT

)

φ

3 4

[y ] = L T

(v es velocidad; y t, tiempo)

Solución

[y ] =

Determinemos las dimensiones de φ a partir de la

− LT −2

−1

T

[x] =

Remplacemos estos valores a la ecuación. 2

N

7

3

LT

−1

−2

[C]L

LT T

2

LT

, de donde

φ 22

reconocemos que lo que esta dentro del paréntesis es necesariamente un ángulo, y por ende es una cantidad adimensional.

θ +

vt

wt −9

N

φ

=1

[θ ] =

vt φ =1

(1)

2

Ax

De la expresión tenemos

vt

=1

φ [v t] =1 [ φ]

x

2

= At 2

= t

2

[x] = [t] Ahora:

[x] = T

−2

2

T =

[C]L

2

1

1iLT −2(ML−1T −2 ) −2 −2 ML T 2

−2

−2

L T = [C]L L T 3 −1 2 −1 L T = [C]L LT −1 3 −1 = [C]L T 3 LT

=1

[C]=1

[N] = 1

2

Como es dimensionalmente homogéneo

−1 2

− ML T )

L

T T = [N]

homogéneo, hallar las dimensiones de “B” Sabiendo:

Solución

3 −1

ML T

3 −1

[w t]

−1

Si el siguiente quebrado es dimensionalmente

Por principio de homogeneidad tenemos

L

−2

2

L

= [número]

[N]

PROBLEMA

P = Ax + Bx + C 2 At + Bt + C ([A] = −1 LT ;[t]= T )

1−

De la expresión (1) tenemos

−1 −2

[2]LT (ML T

=

= [número]......(1)

N

vt

ecuación trigonométrica Sen θ +

wt

sea

[R] = ML−1T −2

Por principio de homogeneidad tenemos

−6 4

( p − R)

[p] = [R]

2

Sen θ +

sea

2

Dimensionalmente, para que homogénea

wt

= número N wt = número

x+

[B]= L

N

Solución

[ x ] = [ A] [x] = LT

wt

(A es aceleración; w, velocidad angular; y t, tiempo)

De la expresión (1) se tiene

PROBLEMA 20

log x+

AB

)

2

1= AB

Por principio de homogeneidad

[z] = L

Dimensionalmente, para que 1− (

tg37

y =x

(A es aceleración; y f, frecuencia)

xy

2

[B] = L

debe ser un número, lo que nos

PROBLEMA 25 Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta,

PROBLEMA 24 La ecuación que permite calcular el caudal (Q) del escape de agua por un orificio es la siguiente:

Q=

CA 1−

2

(AB)

Rv − AE PQ = E ( F + Q )

2g(p − R) γ

(P es peso; R, trabajo; v, velocidad; y A, aceleración)

3

Siendo las unidades de Q = m s ,

se puede calcular [E]

“C” es

coeficiente de descarga, “A” el área del tubo, “g” la aceleración de la gravedad, “p” es presión en el tubo y " γ " es el peso específico.

Solución Dimensionalmente, para que homogénea

(Rv − AE ) sea

[v ][t] = [φ]

[Rv ] = [AE

2

x

A]

= [ Bx ]

FÍSICA

25

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE 2

[R][v ] = [A][E ]

−2

ML T

ML 2 T −2 LT −1 = LT −2 [ E

2 −3

= ML T

[C]

FÍSICA

26

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

[wy −φ]=1 [wy]=[φ] = 1 ........ (1)

[C]= T

M [x ]

−1

] [E ] = ML2T −1

Finalmente remplacemos en: Q

PROBLEMA 26

M

W = mv

αα

Q=A

B

Solución

Como es de notar, nos interesa calcular el valor de "α " y las dimensiones de A, B y C, para así calcular Q Por principio de homogeneidad

[W ] = mv = [Agh] = Bx De la expresión (1) se tiene

[W ] = mv

= M (LT

2

−2

LT

α

−α

adimensional.

calificarlo

como

cantidad

sec 60

[m][v ] i1= 1i

M (LT

−1

)

[π ]

[x ]

PROBLEMA 28

mv sen(wy −φ)=π y

2

−2

dimensiones de “x” e “y”. (m es masa; v, velocidad; w, velocidad angular)

Solución Determinemos las dimensiones de “y” a partir de

z

), de donde

ym

12 2

θ + z

T

2 4

[x]= M L

[θ ] =

PROBLEMA 29

Determinar las dimensiones de “E”, si:

=1

ym =1

(1)

z

De la expresión (1) se tiene

ym =1

E = xz y 2,

z

[y ][m]

=1

[z]

−2

−1

es dimensionalmente correcta.

ML T M = [z]

(d es densidad; m, masa; v, velocidad; y t, tiempo)

[z] = M2L −2T −1

Determinemos las dimensiones de “x”, analizando

Finalmente determinemos las dimensiones de “E”

E= para la función logarítmica log ( m

xt

), del cual

Es dimensionalmente correcta, determinar las

[W]=[B][x]2 2 −2 2 ML T = [B]L

ym

reconocemos que lo que esta dentro del paréntesis es necesariamente un ángulo, y por ende es una cantidad adimensional

Solución

x

z)

−1

función trigonométrica tan(θ +

12

dvlog ( mx ) = y tan θ +ym z ) t (

Si la ecuación dimensional:

(

Hallemos las dimensiones de “z” analizando la

[y ]2

[y ]2

= [x]

tan θ +

ML LT = [y ] [y ] = ML−2 T −1

12

sabiendo así mismo que la expresión:

2

[W]= Bx

[B] = MT

una

ML T [N] = M−1 L−4T 2

[W]=[Agh]

De la expresión (1) se tiene

2

2

[ UNA]=1 [U][N][A]=1 [N 2 ]L =1 2 −2

De la expresión (1) se tiene

[A] = M

x

sen (wy −φ ) =

t

−3

[ ]

) ym

) = [y ]

[d ][v ]i1 = [y ]i1

2

2

Solución

=L T α =2

[W]=[A][g][h] 2 −2 −2 ML T = [A]LT L

mv sen(wy −φ )=π y

[m][v ]

[d][v ] log (

x

2

(P es presión; F, fuerza; A, área; V, volumen; y U, energía)

)α

t ) = y tan(θ +ymz

mx

Los exponentes de las magnitudes físicas solo pueden ser números reales; así entonces deducimos que en la expresión original, el término UNA debe ser un número, lo que nos permite

α

(

Luego encontraremos las dimensiones de “x” elaborando la ecuación dimensional correspondiente de la relación original

, es dimensionalmente correcto.

= [PC].....(1)

[2W ]−2= [m][v ]α −1

ML T

UNA

dvlog mx

T [y ] =1 [y ] = T

2

T

Luego encontraremos las dimensiones de “y” elaborando la ecuación dimensional correspondiente de la relación original

−1

T

¿Cuáles son las dimensiones de “N”?

sec 60

[wy]=1 [ w ][ y]=1

MT

PROBLEMA 27

PF =(FAV)

[x] = M

De la expresión (1) se tiene

α

En un experimento de Física en el laboratorio de la Institución educativa Simón Bolívar de la ciudad Juliaca - Puno. Se comprobó que la relación:

α

C

α

C

Q = M 2T −2

+ PC

(W es trabajo; m, masa; v, velocidad; g, gravedad; h, altura; x, distancia; y P, potencia)

=A

B

5

sec 60

+ Agh − Bx

αα

−2

Q=

Si la expresión propuesta es dimensionalmente correcta, hallar [Q] α

2

=1

T

reconocemos que lo que está dentro del paréntesis es sin lugar a dudas un número real, y por ende es una cantidad adimensional.

mx t

=1

xz 2

y

[E] = [x][z] 2 MT [y ] [E ] = −1 2 −2

ML T 2

−1

la ecuación trigonométrica

sen(wy −φ), de

[m][x]

De la expresión (1) se tiene

[W]=[PC] [ W]=[P ][ C ]

−2

donde reconocemos que lo que está dentro del paréntesis es necesariamente un ángulo, y por ende es una cantidad adimensional.

[t]

(ML =1

T

−1

[E] = M LT −1 2

)

−2

FÍSICA

27

PROBLEMA 30

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

28

2

(P es potencia; W, velocidad angular; R, radio; D, densidad; K, adimensional) Hallar los valores de “x”, “y” i “z”

C

= x x x x

Por principio de homogeneidad de la ecuación que nos da inicialmente, hallemos [M]

∞

3

(m es masa; E, presión; y C, cantidad de

21iMA

x

ML T

3−

=1i(T 2

ML T 2

−3

=T

1 −

2

y

)

z 3

−

L (ML

−x y

z

LM L

Por propiedades del análisis dimensional tenemos: z

[m][E]

2

sec (θ +β)

)

x x x x

=

2

[M](ML T

∞

[C]

−3z

ML T = M L T z=1 ∧ x =3 y−3z=2 y =5

x=

(1)

(

k

(x es distancia; c, velocidad; µk es adimensional) Hallar las dimensiones de “s”:

Por

propiedades

Solución

del análisis (senφ + µ cosφ )k es la unidad.

[x] dimensional

[x]

(senφ + µ cosφ ) = 1k 2

[c]

[2][s ][senφ + µk cosφ] 2

[x] = [c] 1i[s]i1 2 [x] = [c] [s]

(

LT

−1

2

)

x x x

∞

=

[m][E] [C]

−1

−2

ML T = Mi −1 MLT −2 −1 [x] = ML T

Remplacemos en la expresión dada.

[x] =

∞ .........(2)

[C] [m][E 2] = [m][E] x [C] [C]

φ)

PROBLEMA 33

Al profesor Jaime, se le considera una magnitud derivada, 5

cuya

−1

3

)

−2

−1 −2

= L (ML T

2

2

[m][E] = x

3

3

= L (ML T

)

expresión

homogénea

es:

JE =(MAMANI)2

Hallar las dimensiones de “J”, si:

L=

=1

[J][E]

5

2

2

2

= M A NI

3

[J][E ]5 =[M]4 [A] 4 [N I] 2

) −2

2

Remplazando (1) en (2)

c 2is senφ + µ cos

)

Id

[m][E ] = x x x x [C]

2

−2

3

función trigonométrica cos (Id ) , de donde reconocemos que lo que esta dentro del paréntesis es necesariamente un ángulo, y por ende es una cantidad adimensional

2

La trayectoria de cierta partícula sobre una línea recta esta definida por la siguiente ecuación:

−2

Hallemos las dimensiones de “I” analizando la

∞

De la ecuación (1) se tiene

PROBLEMA 31

[J][E ]5 =[MAMANI] 2

[M] = L−6

[m][E] 1i = x x x x [m][E] [C] [ C ] = x x x x...∞

z y−3z −x

−3

1i[M](ML T

Solución y

x

Finalmente calculemos [J]

= pq

movimiento)

2

3

−2 6

[I] = M L

3

Solución [P]=[K ][W ] [R] [D]

−3 2

[I](ML ) =1

que hallar las dimensiones de “M” e “I”

miE

sec (θ +β)

[I][d] =1

Para determinar las dimensiones de “J”, tenemos

Hallar las dimensiones de “x” en la ecuación:

P KW R Dz

2

Solución

PROBLEMA 32

Dada la ecuación de Potencia:

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

5

−6

4

2

−2

4

3

−1

2

−2 6

[J](LT )5 =−10 (L ) (−24 ML T ) (L T ) (M L ) 4 8 −8 6 −2 −4 12 [J](L T

)=L

M LT

[J ]L 5T −10 = L 2T [J] = L−3

LT M L

−10

2

[s] −2

[s] = LT

3 JOHN 2 ) 3 21iMA = log(7)ix + pq − cos (Id MAMANI 2010 y F

(A es energía cinética; d, densidad; p, volumen; q, presión; N, caudal; y E, aceleración lineal)

FÍSICA

29

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

5Qt = 4mD +21 P

W Es dimensionalmente correcta; determine [D] y [P]; si: Q: Caudal ; t: tiempo m: Masa

y

P: Potencia v: Velocidad F: Fuerza E: Energía

y

PROBLEMA 10 v = AW sen53º Es dimensionalmente correcta, determine [W]; si: v: Velocidad A: Longitud

PROBLEMA 06

Si la ecuación:

I = W- F Z Es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si: I: Impulso F: Fuerza

PROBLEMA 03 Si la ecuación: P · V = E · d + QW Es dimensionalmente correcta; determine [E] y [W]; si: P: Presión ; V: Volumen

Es dimensionalmente correcta; determine [K]; si: E: Energía x: Longitud

Si la siguiente fórmula:

Si la expresión dada es dimensionalmente correcta. Determine: [x] e [y] m = masa t = tiempo my + x = mt-2

d · a = cosφ · vn Es dimensionalmente correcta; determine "n"; siendo: d: Longitud a: Aceleración v: Velocidad

Si la ecuación:

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

E · v = Kt + PA Es dimensionalmente correcta; determine [K] y [A] siendo: E: Energía ; v: Velocidad

Determine el valor de "b" para que la fórmula dada sea dimensionalmente correcta.

Rpta.:…………………

t: Tiempo

y

P: Presión

Rpta.:…………………

PROBLEMA 16

PROBLEMA 12

a

M T

2b−a

6 4

=M T

Rpta.:…………………

Q: Caudal

Rpta.:…………………

PROBLEMA 08

PROBLEMA 13

Si la ecuación:

PROBLEMA 04

Q ·V =

Si la ecuación: I = K + mZ Es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si: I: Impulso m: Masa Rpta.:…………………

F X

Si la siguiente fórmula:

+ay

Es dimensionalmente correcta; determine [X] e [y] si: Q: Caudal ; V: Volumen F: Fuerza

y

a: Aceleración

Rpta.:…………………

PROBLEMA 09

PROBLEMA 05

W P·v=K·F-Z·E

v P=k d Es dimensionalmente correcta, determine: [k]; si: P = Presión v = Velocidad d = Distancia Rpta.:…………………

PROBLEMA 14

Si la ecuación:

Si la ecuación:

Rpta.:…………………

PROBLEMA 15 PROBLEMA 11

PROBLEMA 07

Rpta.:…………………

La energía cinética de un cuerpo depende de la masa del cuerpo (m) y de la velocidad (v). Determine la fórmula empírica de la energía cinética.

Rpta.:…………………

Si la ecuación:

1 E = K·x 2 2

d: Aceleración y

Rpta.:…………………

Si la ecuación:

Rpta.:…………………

PROBLEMA 02

fuerza de tensión (F) que soporta la cuerda, su masa (m) y su longitud (ℓ).

PROBLEMA 15

W: Energía

Rpta.:…………………

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

t: Tiempo Rpta.:…………………

si:

Si la ecuación:

30

Es dimensionalmente correcta; determine [K]; si: F: Fuerza

Es dimensionalmente correcta; determine [K] y [Z];

PROBLEMA 01

FÍSICA

t

= 3F - 2Kt

Determine la fórmula que permite calcular la velocidad (v) de propagación de una onda transversal en la cuerda, si ésta depende de la

Dada la siguiente fórmula: E2 A = Senθ · Bx+y · C · Dz Dimensionalmente correcta; determine: x+y+z; siendo: A: Fuerza ; B: Masa C: Longitud ; D: Densidad E: Tiempo Rpta.:…………………

PROBLEMA 17

Determinar la fórmula dimensional de: F =(

Presión)(Volumen) Frecuencia

Rpta.:…………………

FÍSICA

31

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

PROBLEMA 11

Halla: [A] si: 2

k=

a→ altura b → área a) L4 d) L

95v

a .b

B = AC; C =

(c - 25)

b) L4 e) L5

c) L2

v → volumen B → área a) L-4 d) L

2

2

b) L2 e) L-2

c) L6

PROBLEMA 02

ABK K =2nP2n

C c) L3

A → fuerza C → masa B → tiempo a) ML -1T d) MLT

2

b) MLT -2 e) LT-1

c) LT-2

a) MLT d) T-2L-2

b) MLT e) Faltan datos

ecuación es

-2

c) T

PROBLEMA 04 Calcula la ecuación dimensional del peso de un cuerpo. (m→ masa) a) M d) L2

b) MLT e) LT-2

x → 4 Newtons y → 15 litros a) ML4T-2 d) MLT

c) L4

c) L3

a) F d) M2

b) MLT-2 e) M

c) LT-2

c

es dimensionalmente correcta.

v → volumen t → tiempo h → altura a) LT d) T-1

a) MVR

b) L2T e) T-2

V R

d) M -5 2

b) LT e) LT-3

Z = PK + y → masa k → aceleración a) M d) 1

h+b t

c) LT-1

c) L3

PROBLEMA 17

- 2)

c) L T

b)

MV

2

c) MR

R

e) MV2

Cuando un cuerpo adquiere movimiento (velocidad) se dice que posee energía cinética (Ek) que depende de la masa (M) y la velocidad (V). Halla la fórmula de la EK. ( [ Ek ] = ML2T-2)

Calcula: [z]

Hallar [a.b.c] si: V= a+

2

PROBLEMA 14

PROBLEMA 09 De problema anterior hallar [z]: a) ML4T-2 b) 1 d) T-2 e) MLT-2

b) LT e) MLT-2

PROBLEMA 18

PROBLEMA 10

PROBLEMA 05

a) LT d) LT-1

k → presión

En un movimiento circular un cuerpo experimenta una fuerza resultante llamada fuerza centrípeta (fcp) que depende de la masa (m) de la velocidad (v) y del radio de giro (R). Halla las fórmulas de la fcp.

D → densidad W → trabajo -2

b) MLT-2 e) L3

c) LT-4

PROBLEMA 13

y

c) MLT-2

Cuando un cuerpo es lanzado sobre una superficie horizontal rugosa experimenta una fuerza opuesta a su movimiento llamada rozamiento. Calcula la ecuación dimensional de rozamiento.

b) MLT-2

W = D (A k = xy - z

a → diámetro e → adimensional

PROBLEMA 16

Calcula [y]

Halla: [k]

N = Ke2(bc - a2)

Del problema anterior si: (c→ altura ) Halla [b] a) L b) L-1 d) L2 e) L-2

F → fuerza a→ área e → adimensional

PROBLEMA 08

Halle [N]:

a) LT-2 d) L

PROBLEMA 12

a) LT-2 d) ML3T-2 e) LT-1

PROBLEMA 03

-2

c) T-1

F = x k e2ka;

Si la siguiente expresión es adimensional, halla [K]

Halla [A]/[B] si la siguiente dimensionalmente correcta : A = v2 + BC C → fuerza

b) T-3 e) T-4

Halla [x] si:

Hallar [K]

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 15

a) T-2 d) T

PROBLEMA 07

P → adimensional a) L b) L2 d) 1 e) L-1

32

Halla [k] si: a = k v ekt es dimensionalmente correcto. a → aceleración e → adimensional v → velocidad

PROBLEMA 06

Calcula [K]

FÍSICA

c) LT-1

x p-y

V 2

a) M b) MLT-2 e) LT

c) LT-2

2

b) MV

2

2

d) M

e) V

2

2

3

c) MV

2

FÍSICA

34

continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante ( R ) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo

2° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenadas (Rx, Ry) 3° Se calcula el módulo de la resultante aplicando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.

del último vector.

ANÁLISIS VECTORIAL

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Ejem. Sean A ,B y C vectores

R

A 2

R

Vector resultante:

Es verdaderamente importante que reconozcas que en nuestra naturaleza algunos fenómenos físicos requieren algo más que números y unidades físicas para quedar plenamente explicados. Para detallar algunos fenómenos se usa el Vector, y las magnitudes físicas que lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales. VECTOR.- Es un segmento de recta orientado (flecha), que nos permite representar gráficamente

α

R=A+B

• La física utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales. y

Dirección Módulo

θ

•

A

Línea de acción

A

Casos Particulares: a) Si α=0°(A↑↑B) R = A + B = Rmáxima

B)

R=

x

VECTOR UNITARIO

β

α

Es aquel vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.

C

A

R

2

A +B

u= β

b) MÉTODO DEL TRIÁNGULO

B

Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que están uno a continuación del otro. Gráficamente se construye un triángulo, trazando

Polo

0

β

A

B

R= B+ A= A+ B Módulo de R R2 = A2 + B2 - 2ABCos β

x

A

EXPRESIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR

α

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

denotará como: V = (x;y), llamado par ordenado. Asimismo puede establecerse la siguiente identidad.

sí.

V =(x; y) = xɵi + yɵj

y

A

x

Ay

Donde β = 180° - α. Cosβ= -Cosα Nota: En el triángulo vectorial también se cumple la ley de Senos.

A=Au

R=A+B+C

Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre

Vector resultante:

R

A

A

Si x e y son las componentes rectangulares de un vector V , entonces su expresión cartesiana se

el vector resultante desde el origen del primer vector hasta el extremo del segmento vector.

En general un vector se representa de la siguiente forma.

A = Módulo del vector A

2

Tgθ = y R

C

Construimos el polígono vectorial

b) Si α=180°(A↑↓B) R = A - B = Rmínima

Módulo de Origen x Dirección

A=A ∠ θ

B

R2 = A2 + B2 + 2ABCosα

Rx +Ry

R=

Módulo de R:

B

c) Si α = 90° (A a una magnitud vectorial. Los elementos de un vector son (Ver Fig. 1):

A

2

A A

Componentes rectangulares del vector A Se cumple que: Ax = ACosα Ay = ASenα

y

Ejemplo: De la figura podemos afirmar que: ɵ ɵ A = 3i + 4 j =(3;4) B = 5 ɵi + 3ɵ j =(-5; 3) ɵ ɵ C = 6 i-3 j =(6; - 3)

θ = Dirección del vector A Y

α

MÉTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE a) MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen. Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas.

γ

R θ

β

A A

Senθ

B =

Senγ

C =

Senβ

B

c) MÉTODO DEL POLÍGONO Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. Es un método grafico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a

Ax

x

d) MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES Permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores .Pasos a seguir.

4 (-5;3)

A

B -5

(3;4) 3

O

X 3

C +6i-3j

1° Se halla las componentes rectangulares.

FÍSICA

35

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

PROBLEMAS RESUELTOS

36

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 05

PROBLEMA 07

Calcula la resultante en el siguiente sistema.

Halla la resultante en:

3u

PROBLEMA 01

Luego:

La resultante máxima de dos vectores es 18 y la suma mínima de los mismos es 6. Calcula el módulo de la resultante cuando forman los vectores 90°.

Ry

R

2

∴ R = 25 =5

Calcula R: si:

2A = 24

→

A = 12

→

→

→

Por el teorema de Pitágoras: R2 = A2 +B2

A A = 5; B = 4; C = 3

144 + 36 ∴ R=65

→

→

B

C

sus

8

5

5 3

2

4

2

7

→Ry

a

Eje “x”: Rx

→

R

Ry

PROBLEMA 04 Si la suma máxima de dos vectores es 28 y el cociente de sus módulos es 4/3. Calcula el módulo del mayor.

Solución: →

→

A = 4k = 3k

PROBLEMA 08 Halla el ángulo “α” si la resultante se encuentra sobre el eje “x”.

a Por el método del paralelogramo

30

2

2

R=

a +a +2(a)(a)Cos60°

R=

2a +2a

2

α

15 3

2

45°

1 2 = 3a 2 ∴

∴ El mayor es 4k = 16

2

R

60°

Reemplazando en (1) B

4k + 3k = 28 k=4

2

(12) +(12)

∴ R = 12

a

Smax = A + B = 28 .. (1)

A 4k = B 3k

de

Rx

R=

→

Sean los vectores A y B

Por el teorema Pitágoras.

Solución: Ordenando el sistema

Eje “y”: Ry→ = 7+3 + 2 - 5 - 4 = 3 Ry = 3

120°

∴ R =4

= 8 +5 + 2 - 4 -7 = 4

Rx → = 4

= 20Sen37° = 20 x 3/5 = 12 (↑)

R→ = 4( → )

4

Solución:

= 20Cos37° - 4 = 20 x 4/5 - 4 = 12 (→)

a

R→ = 15 - 8 - 3 = 15 - 11

→

→

→Rx

En la figura calcula el valor de la resultante:

= 3(5) - 2(4) - (3)

PROBLEMA 02 Calcula la resultante del sistema de vectores mostrados.

20Cos37°

PROBLEMA 06

Reemplazando los módulos con respectivos signos. →

4

∴ R = 4u (↑)

Solución: R

B

20

Ry = 4 + 3 + 2 - 5 = 4

→

Luego:

20Sen 37°

→

R=3A−2B−C

B= 6

7

Solución: Descomponiendo el vector de módulo 20u.

Rx = 3 - 3 = 0 Eje “y”: ↑(+); ↓(-)

PROBLEMA 03

R2 = (12)2 + (6)2→ R =

Eje “x”: → (+); ← (-) →

Smin = A - B = 6

37°

3u

Smax = A + B = 18

R

4

Solución:

R = (4) + (3)2 = 16 + 9

→

4u

2u

2

Sean los vectores A y B

A

5u

3u

Rx

Solución: →

20u

Por el teorema de Pitágoras: R2 = Rx2 + Ry2

15 2

R=a

Solución:

3 Descomponiendo el vector de módulo 30 y 15 2 .

FÍSICA

37

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Rmin = 0 = A - B

30 Senα

15

2

sen45°

R2 = 2(15)2 - 2(15)2 ×

25 5.15.7 5.5

15 2 cos45°

Por dato:

→Ry

R=

450 − 126 = 324 C

PROBLEMA 11

1

30

2×

2

Dados los vectores:

= 30Senα

A =(−3; 2) ɵ ɵ B = 2i− 3j ɵ ɵ C = 5i+ 2j

= Senα → Senα = 1/2 ∴ α = 30°

PROBLEMA 09 Se tienen dos vectores coplanares y concurrentes cuyos módulos son 3 N y 5 N respectivamente. Determinar el ángulo que ellos deben formar entre sí para que su vector suma tenga por módulo 7 N.

Solución:

B

D

B D

Rpta.:…………………

a) Grafique los vectores.

b) Determine: S = 2A + 3B c) Determine el módulo de la resultante de los vectores.

PROBLEMA 02 Determine el módulo y la dirección de los vectores indicados; si cada lado de la cuadrícula es de 1u.

A

B

Solución:

B

A

a)

C

y

D

3

θ

7

A

C

2

Rpta.:…………………

x

5 2

A

A

∴ R = 18

15 2 Cos45° = 30Senα

15

PROBLEMA 04 Si cada lado de la cuadrícula mostrada es de 1u; complete el siguiente cuadro:

C

Luego:

15

PROBLEMA 01

R2 = 2x(15)2 - 2. 1

= 0

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

Determine el módulo y la dirección de los vectores indicados; si cada lado de la cuadricula es de 4u.

7

30Cosα

38

A = 15

Rmax = 30 = A + B B = 15 R2 = A2 + B2 + 2ABCos106° R2 = 152+152+2(15)(15)(-Sen16°)

15 3

FÍSICA

C

2

R = A + B + 2ABCosθ 72 = 32 + 52 + 2(3)(5) Cosθ 49 = 34 + 30Cosθ 15 = 30Cosθ

B

Rpta.:…………………

b)

S = 2A + 3B Cosθ = 1

S = 2(−3iɵ+ 2ɵj) + 3(2ɵi − 3ɵj) ɵ ɵ ɵ ɵ S = −6i + 4 j + 6i −9j S =−5ɵ j

2 ∴ θ = 60°

PROBLEMA 10 La resultante mínima de dos vectores es cero y u resultante máxima igual a 30µ. ¿Cuál debe ser el módulo de su resultante cuando los citados vectores formen un ángulo entre si de 106º?

Solución: Sean los vectores A y B

c)

R = A +B +C R =−3iɵ+ 2ɵj + 2iɵ− 3ɵj + 5iɵ+ 2ɵj R = 4i ɵ+ ɵj

PROBLEMA 05 Exprese los siguientes cartesiana.

PROBLEMA 03

vectores

en

A

Dados los vectores: B

A = (2 ; 8) B =−3i ɵ+ 8ɵ j C =−4i ɵ− 3 ɵj a) Grafique los vectores. b) Determine el módulo de la resultante delos vectores. c) Determine el módulo de:

S = 3A −B + 2C

D C 1u 1u

Rpta.:…………………

forma

FÍSICA

39

PROBLEMA 06

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

40

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 10

Exprese los siguientes cartesiana.

vectores

en

forma

Se dan:

A = 5ˆi-4ˆj

1u A

y

B = –8 ˆi + 8 ˆj

B

1u

Determine el vector resultante R y su módulo.

Si:

A de modo que la resultante del conjunto de

Determinar el vector AB

A = mˆi + ˆnj

y

a) (-24, -2) b) (-1, -24) c) (-24, -1) d) (-12; -1) e) (-6;-1)

Determine: resultante.

PROBLEMA 07 Si los orígenes de los vectores coinciden con el origen de coordenadas; grafique:

A = 2ˆi + 3ˆj

;

B = –3iˆ+ 4ˆj

C = –3i-5ˆ

ˆj

; D = 6ˆi-8ˆj

m

y

n

x

A

ɵ ɵ = 7i+ 3j B =−8i ɵ+ 9ɵ j A

y

Rpta.:…………………

Dados:

A = 3iˆ+ 4ˆj

y

el

conjunto

de

vectores,

|c |=+4. a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3

a

4u

37° 5u

PROBLEMA 07 Calcular la resultante del conjunto de vectores Si AB =4m y BC=10m; además: ABCD es un rectángulo B C

c

a

a) 5m b) 10m c) 15m d) 8m e) 20m

b

b A

D

Calcular F1 , si la fuerza resultante del conjunto de

Del gráfico, determine:

fuerzas es cero. Si

F = (4;3); 2

B = 5ˆi + 2ˆj

F = (-3;4); 3

F = (-8;-6), donde:

Determine el vector resultante R y su módulo.

PROBLEMA 06 Determinar el módulo de la diferencia de los vectores mostrados:

hallar:

PROBLEMA 03

PROBLEMA 13

c) -2 5

b) -2 e) N.A.

5

a) 2u b) 3u c) 4u d) 3.5u e) 6u

R = 2a + b −3c sabiendo que: | a |=3; | b |=7

PROBLEMA 12

Determine: S = 2A − B

PROBLEMA 08

C (+16, -5)

PROBLEMA 02 Dado

Rpta.:…………………

a) 2 d) 2

siendo 8ˆi +12ˆj , su

Rpta.:…………………

Si:

y

37°

B = 4 ˆi + 5 ˆj Rpta.:…………………

PROBLEMA 05 Dado los vectores A =(4;2) y B =(2,6)

10

PROBLEMA 11

D

PROBLEMA 01 Calcular el par ordenado que representa al vector

vectores sea nula

Rpta.:…………………

C

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

4

C=6A−4B

R = F + F2 + F3 + F4 = 0 .

Rpta.:………………… B

PROBLEMA 08 En el sistema de vectores, el vector resultante tiene un módulo de 15 y posee una dirección de 53 calcular A y

1

a) (7; -1) c) (-7; -1)

b) (-1, -7) d) (-7; 1)

B

e) N.A.

8 2

A

PROBLEMA 09 PROBLEMA 04

Se dan: A

A = 5ˆi + 2ˆj

y

B = 7 ˆi + 3 ˆj Determine el vector resultante R y su módulo.

M = F 1- F 2+ F 3- F 4

así:

Si cada cuadrícula es de 1u. F

=(24;18),

1

Rpta.:…………………

F

=(+14+25),

2

además:

F

a) 4

b) 4 3

d) 4 2

e) 2 2

x

C

=(6,8),

3

(2;-5)

F =(+12;5) 4

Rpta.:…………………

45°

Hallar el módulo de M . Si dicho vector se define

c) -4

a) (-15;-9) d) (3; 4)

b) (9;12) e) (5;3)

c) (15;9)

FÍSICA

41

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE y

PROBLEMA 09

F 2

Dos fuerzas coplanares dan una resultante máxima de 22u y una resultante mínima de 8u. Calcular el módulo del vector suma sí forman un ángulo de 53º a) 10u b) 15u c) 20u d) 25u e) 30u

d) 8

53°

a) 8 d) 16

3 -10 3 -16

b) 8 3 +16

c) 16 3 -8

e) N.A.

45° c) 16

PROBLEMA 15

Sea A = (2;3); B = (4;-3) y C = (-6,+6) Hallar:

A+2B+C d)

b) 3

7

c) 7

e) 9

Se tiene dos vectores de módulo 5u y 8u calcule la resultante cuando ambos vectores formen un ángulo de 120º. a) 3u b) 5u c) 7u d) 9u e) 8u

2

e) 2a 2

BC =7m; ABCD es un rectángulo Además: AM= 5 MD 2

Si ABCD es un paralelogramo y “M” es punto medio de AB. Hallar “x” en función de los vectores a y b . B

C

-b a) a 3 + 2b b) a 5

e) - 3 +5

Dos vectores se encuentran aplicados a un mismo punto. Si uno de ellos mide 15 u y el otro 7u Calcular el módulo del vector suma, si el ángulo formado por ellos mide 53°. a) 20 b) 15 c) 10 d) 25 e)N.A.

La mínima resultante de dos vectores es 3u. Cuando forman 60º entre sí su resultante es 93 .

6 - 3b d) a 7

Calcular el valor de los vectores a) 12 y 9 b) 8 y 5 d) 6 y 3 e) N.A.

e)

M

a

b) 16 y 12 e) 12 y 9

c) 16 y 9

PROBLEMA 25

b D

A

d) 75°

e) 53°

4 PROBLEMA 26

PROBLEMA 21

PROBLEMA 17 b

PROBLEMA 24 La resultante de dos vectores es 20 u y forma con el vector de menor módulo un ángulo de 37°. Los vectores forman entre sí 53°. Calcular la medida

Determinar el ángulo que deben formar dos vectores A y B, para que el módulo de su resultante suma sea igual al de su resultante diferencia. a) 45° b) 60° c) 90°

x

2a - b c) 7 y 4

PROBLEMA 23 Se tienen dos vectores coplanares y concurrentes cuyos módulos son 3 N y 5 N respectivamente. Determinar el ángulo que ellos deben formar entre sí para que su vector suma tenga por módulo 7 N. a) 60° b) 30° c) 45° d) 53° e) 74°

de cada vector. a) 15 y 7 d) 12 y 7

a

C

B

3 +3

PROBLEMA 20

c)

PROBLEMA 16

Calcular el módulo de la resultante, si AB =3m y

c) a 3

b) 2ª

3

d) 2a

- a - 2b

PROBLEMA 12

a) 1u b) 3u c) 5u

PROBLEMA 19

a) a

Se tiene dos vectores coplanares de módulos 4u y 2u. Que ángulo deben formar entre si para que el módulo de su vector suma sea 28 u. a) 45º b) 30º c) 53º d) 60º e) 37º

PROBLEMA 11

a) 5

c) 180

e) 12

Si de uno de los vértices de un cuadrado de lado “a” se trazan vectores a los otros vértices. Hallar el módulo de la resultante

PROBLEMA 14

R1

e) F.D.

3

c)

PROBLEMA 22

3

d) 90

b) - 3 +3

a) 3 d) 3

Calcular: 15 A − 15B − 15C a) 100 b) 90

R2

d) 16 2

e) 6u

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

1

Si: R2 =20u.

b) 8

2u

Si: A = B = C = 6.

x

F 3

a) 8 2

c) 4 2 u

b) 4u

PROBLEMA 18

45°

PROBLEMA 10

53°

42

a) 8u

10

30°

En el siguiente sistema de vectores calcular R

FÍSICA

Hallar el valor del vector resultante de los tres vectores mostrados

Hallar | R |, si R=A+B

En la figura P+Q =(-

3 ;3), sí P = m

| A | = 2 3u

y

| B | = 4u

y d) 4u e) 2u

8u A

Q =n. Calcular: m+n

(y)

B

P M

D

120°

PROBLEMA 13 Calcular el módulo de la resultante; se sabe que dicha resultante se encuentra a lo largo del eje X.

8u

30°

8u

A

Q

30°

60°

a) 1u d) 4u (x)

30° b) 2u e) 5u

c) 3u

FÍSICA

43

PROBLEMA 27

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 31

En el siguiente sistema de fuerzas calcular F1, si F2=80 3 N y F3=F

Del gráfico; indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: A

F1

Al suspender un bloque en un resorte, observamos que el resorte se estira (es la acción del bloque sobre el resorte) y a su vez el resorte va deteniendo al bloque (es la acción del resorte sobre el bloque) a esta acción mutua se le conoce como interacción. También si empujamos un triciclo, levantamos una silla, jalamos un cuerpo, etc., existe interacción.

F3 30° 210°

C

B 1u

F2

a) 240N d) 360N

b) 120N e) F.D

c) 180N

•

A = –3iˆ+ 3ˆj

( )

•

B = 5u

( )

•

B +C = 6ˆi + 2ˆj

( )

a) VVF d) FVF

PROBLEMA 28 El módulo de la diferencia de dos vectores A y B es igual al módulo del menor de ellos. ¿Hallar el ángulo que hacen los dos vectores, si:

b) VVV e) FVV

c) FFV

PROBLEMA 32

Del gráfico determine: C = 5A - 3B.

A+B

1u

= 5

A

A-B a) 30° d) 53°

acción del resorte sobre el bloque

1u

b) 45° e) 74°

B

a) 78 d) 8

b) 80 e) 10

c)

69

a) 2ˆi - 24ˆj

b) 2ˆi + 24ˆj

d) −2ˆi + 24ˆj

e) 2ˆi +12ˆj

Hallar el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados. F

La resultante de dos vectores es 2 7+2 3u . Calcular el ángulo que forman entre sí, siendo sus módulos igual a: 3u y 5u. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 82°

F

m)

• Para medir con que intensidad y en qué dirección se dá la interacción, entre dos cuerpos, utilizamos la “fuerza” cuya unidad de medida es el Newton (N). • En toda interacción a una de las acciones se le llama simplemente acción y a la otra reacción siendo sus medidas las fuerzas de acción (FA) y la fuerza de reacción (FR) respectivamente. Donde: →

→

FA =−FR

⇒

F =A R F

Tercera ley de Newton

c) −2i - 24ˆj

PROBLEMA 33

PROBLEMA 30

-15

4. Interacción nuclear débil: Es la que existe en la desintegración que experimentan algunas partículas al hallarse en núcleos inestables. Un ejemplo es la desintegración radiactiva beta. Estas fuerzas tienen un alcance de 10-19m.

1. Interacción gravitacional: Se manifiestan como atracción entre dos cuerpos por causa de sus respectivas masas. Un ejemplo es la atracción gravitacional entre la tierra y el sol.

PROBLEMA 29 cuando forman 60° entre si su resultante es: 93 ¿cuál será el módulo de la resultante cuando los vectores formen 90° entre si?

En la naturaleza todos los cuerpos están interactuando con otros de alguna manera y podemos encontrar cuatro formas bien definidas de interacción, éstas son:

alcance (10

1u

c) 60°

La mínima resultante de dos vectores es 4 3 y

acción del bloque sobre el resorte

Estas fuerzas son de cortísimo

2. Interacción electromagnética: Éstas se deben a una propiedad inherente a todos los cuerpos denominado “carga eléctrica”. Las fuerzas son eléctricas si las cargas están en reposo y magnéticas si las cargas están en movimiento.

Se le conoce también como el principio de acción y reacción. El hombre ejerce una fuerza de acción y la

F α

α

F α α

F=20N α=30º α

α

F F F

a) 0

b) 20 3

d) 20(2 + 3)

e) 20(2 − 3)

c) 40 3

3. Interacción Nuclear Fuerte: Esta interacción es la que mantiene dentro del núcleo de un átomo a los protones y neutrones, venciendo las repulsiones eléctricas entre los primeros. Esta interacción surge de la teoría de los Quarks, en la cual los protones y neutrones están conformados por un trío de Quarks cada uno.

F

F pared le responde con una fuerza de reacción de igual valor.

FÍSICA

45

FUERZAS USUALES 1, Fuerza elástica (Fe) Se presenta en la parte interna de los cuerpos elásticos, actúan oponiéndose a la deformación. El inglés Robert Hooke fue el primero que estableció la relación entre la fuerza interna (F) de un resorte y su respectiva deformación (x):

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE 4. Tensión (T) Es una fuerza interna que aparece en hilos, cuerdas, cables, etc. oponiéndose a los efectos de alargamiento por causa de fuerzas externas que actúan en los extremos de aquellos. Esta fuerza se grafica haciendo un corte imaginario.

T

Corte Imaginario

NOTA: La ley de Hooke es utilizada en los dinamómetros que son instrumentos para medir las fuerzas. 2. Fuerza de Gravedad (Fg) Es aquella fuerza con la cual la tierra atrae a todos los cuerpos que se encuentren en sus cercanías. Es directamente proporcional a la masa, estando concentrado en un punto llamado “centro de gravedad, c.g.” siendo un vector dirigido hacia el centro de la Tierra. 3. Normal (FN ) Es aquella fuerza debido al contacto entre dos superficies siendo perpendicular a la superficie de contacto y saliendo de ella la fuerza normal evita que el cuerpo se hunda en la superficie donde se apoya.

Fg Fg

Fg

5. Compresión (C) Es también una fuerza interna que surge en los cuerpos rígidos cuando se les intenta aplastar por acción de fuerzas externas, provocando acercamiento entre las moléculas, las que a su vez generan una fuerza electromagnética de repulsión, siendo ésta la compresión. Haciendo un corte imaginario.

• Tener presente que la fuerza de rozamiento cinético (fk) actúa tangencialmente al plano de contacto oponiéndose al deslizamiento y presenta un módulo constante.

V=0

CC

f =µ F k

FN

Corte imaginario NOTA: Las fuerzas de compresión

(C),

tensión (T) y normal (N) son moleculares, siendo por lo tanto de origen electromagnético. 6. Fuerza de Rozamiento (Fr ) Consideremos el siguiente sistema:

V=0

2 fr

+F

¡Ufff! ¿Por qué no resbala este bloque Haciendo una ampliación en la zona de contacto se tiene dos superficies rugosas

kN

µk : Coeficiente de rozamiento cinético. Rpiso 2 N

• Si el cuerpo no resbala respecto de la superficie la fuerza de rozamiento se llamará “fuerza de rozamiento estático (fs)”.

F

fk

Piso fr

Rpiso =

F

F

FN F

Rpiso: Reacción del piso sobre el cuerpo.

FN

FN

• Si el cuerpo resbala sobre la superficie, la fuerza de rozamiento se llamara “fuerza de rozamiento cinético fK”.

• Por lo anterior, cuando un cuerpo intenta resbalar o resbala sobre una superficie, siendo éstas ásperas, surge una fuerza apuesta denominada fuerza de rozamiento o fuerza de fricción (fr).

T

x

k: constante de elasticidad o de rigidez del resorte.

• Podemos notar que, aunque la superficie en contacto parece perfectamente pulida existen asperezas o irregularidades en dichas superficies. Las superficies presentan entrantes y salientes como una superficie de dientes.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Fg

F=kx

Se ha aplicado una fuerza (F) al extremo del resorte, observándose que se estira una longitud (x).

46

• Debido a las irregularidades entre las superficies en contacto estos se engranan, o muerden, entre sí causando por ello una dificultad al deslizamiento del cuerpo.

Ley de Hooke

F

FÍSICA

• Tener presente que la fuerza de rozamiento estático (fs) actúa tangencialmente al plano de contacto oponiéndose al posible deslizamiento y presenta un módulo que es variable. Fg

F

Piso fs

FN 0

≤ f ≤ f s

máx

Cuando el Cuando el cuerpo no cuerpo está intenta resbalar a punto de resbalar

fs max =µ Fs N µs : Coeficiente de rozamiento estático.

Recuerda que: “Entre dos superficies ásperas µ > µs k ”

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) Un diagrama de cuerpo libre es aquel gráfico donde se representan todas las fuerzas externas reales que actúan sobre un cuerpo. Para realizar un D.C.L. debemos hacer lo siguiente: a) Aislar el cuerpo o sistema de quién queremos hacer el D.C.L. b) Graficar la fuerza de gravedad, vertical y hacia abajo. c) Graficar los demás fuerzas analizando sus contactos con otros cuerpos. Ejemplo: Aislando la esfera y graficando las fuerzas externas.

FÍSICA

47

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

48

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS

• Hay tres fuerzas sobre el cuerpo y cuyas líneas de acción no son paralelas. T

• Como el cuerpo está en reposo, las fuerzas actuantes en el cuerpo deben dar una resultante nula; dicho de otra forma: “la fuerza resultante debe ser cero”.

FN

PROBLEMA 01 Si el sistema se encuentra en equilibrio calcula el valor de la tensión si: m=35kg. (g=10m/s2)

• ΣF(→) = ΣF( ← ) 50N = fr Luego: 50N = µk × N 50N = µ k × 100

Fg

∴ µ k = 0,5

EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN: Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación cuando su velocidad no cambia en el transcurso del tiempo; es decir, está en reposo o con M.R.U. V=cte.

V=0

reposo

M.R.U.

NOTA: Cuando un cuerpo está en equilibrio de traslación se cumple: ΣF(→)=ΣF(←) ΣF(↑)=ΣF(↓)

• Por nuestros conocimientos de los vectores y sus propiedades sabemos que: Si un grupo de vectores dan resultante cero, podemos formar con ellos un polígono, colocando los vectores uno a continuación del otro.

PROBLEMA 03 Un bloque de 30 kg está suspendido mediante las cuerdas A, B y C. Si el sistema se encuentra en equilibrio, calcula la tensión que se produce en cada cuerda.

m

• Por lo anteriormente expuesto; con las fuerzas sobre el cuerpo podemos construir un triángulo. Así: “Polígono de fuerzas o método del triángulo”

F2 a

b

D.C.L (bloque) Por equilibrio ΣF( ↑ ) = ΣF (↓ ) T = 350N

T

c

Consideremos una persona que sostiene sobre su cabeza una roca. Cuántas fuerzas mantienen al cuerpo en reposo.

• Haciendo un análisis geométrico del triángulo de fuerzas, los módulos de las fuerzas son proporcionales a las longitudes de los lados del triángulo. F1 a Algo más que debemos conocer de este caso (equilibrio de tres fuerzas no

=

C

mg=350N

Solución: D.C.L del nodo “O”

PROBLEMA 02

F = g c b

Fg

F2

O

300N 50N

m línea de → acción de F1

TC

TA

µK

TC

Por equilibrio TC=300N

Por el método del triángulo.

Solución:

TA=3k

D.C.L. (Bloque)

53°

Fg = m . g =100N

Luego:

TC fr

5k = 300 k = 60

5k

TA = 3× 60 = 180N

50N 37°

TB

TB = 4× 60 = 240N

k N

F1

TB

V

paralelas) es que las → líneas de acción de → F1 las fuerzas deben F2 concurrir en un punto; decimos C: punto de concurrencia entonces que las fuerzas son concurrentes.

Haciendo el D.C.L. de la roca.

Para el bloque

Si el bloque se mueve con velocidad constante, si m=10kg, calcula el coeficiente de rozamiento cinético. (g=10m/s2)

F2

B O

∴ T = 350N

Triángulo de fuerzas

53°

A

F1

Fg

37°

Solución:

Sabemos que fr = µK × N……(1) Por equilibrio: • Σ F↑ = Σ F ↓ N = fg ⇒ N = 100N

∴

TC=300N TA=180N TB=240N

FÍSICA

49

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

Solución:

PROBLEMA 04 Determina el valor de la fuerza F sabiendo que el bloque de 100N resbala con rapidez constante en la dirección indicada (µc = 0,4).

D.C.L. (bloque)

Tg37° =

100N µs = 160N

F

Solución:

F

50N v = cte

37°

µk

* ∑F↑ = ∑F↓ N = 100N ...(1) * ∑F = ∑F 160 = F + Fr ; 160 = F + 0,7x100

fr = µs x N

40N

∴

Fr

N

=

* ∑F↑ = ∑F↓ (eje “y”)

↓)

2T = 20 + T1 ................... (2)

s

N

Del bloque A: ∑F(↑) =∑F(

↓)

T1 + RP = 200 ......................... (3) (3) en (2):

∴ µs = 0,75

2T = 20 + 200 - RP R

P

T = 10 +100 - 2 ........... (*)

PROBLEMA 07 Del sistema que se indica, el bloque A es de 20kg. y las poleas son de 2kg. (g=10m/s2). a) Para el equilibrio mecánico del bloque B, éste debe tener como máximo una masa de... b) Si la masa del bloque B es de 8kg., ¿qué módulo tiene la reacción del piso?

En (1): 10m =100 - R P 2 B Notar: La masa de B es máxima cuando la reacción del piso es cero (RP=0), es decir, el bloque A está a punto de levantarse. b)

c) Si la reacción del piso es de 100N, ¿qué módulo tiene la tensión en la cuerda 1?

(1)

en (1)

T = 80N

En (2): 2 (80) = 20 + T1 → T1 = 140N En (3): RP = 200 - 140 → RP = 60N c)

g

Si: MB = 8kg.

F = 90N

Se tiene un bloque en un plano inclinado cuando el plano forma 37° con la horizontal, el bloque se encuentra a punto de deslizar. Halla el coeficiente de rozamiento estático entre las superficies.

Por equilibrio Cinético:

De la polea: ∑F(↑) =∑F(

µ .N

= µs

PROBLEMA 06

N

N+30 = 100

4

N

D.C.L. (bloque)

30N

3

Por estar en Mov. Inminente se cumple el Eq. Estático.

fr

Tg37° = µs

Fr

37°

100N

0,7

F

µc

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Del triángulo:

50 v

50

Si RP = 100N en (3) T1 = 200 - 100 → T1 = 100N En (2)

B

2T = 20 + 100 T = 60N

N = 70N……..(1)

A * ∑F

37°

= ∑F (eje “x”)

40N = F + Fr :

Fr = µk x N

40 = F + µk x N

PROBLEMA 08

Solución:

La barra de 8kg. se encuentra a punto de resbalar sobre el plano horizontal rugosa µs=0,75, como se indica. (g=10m/s2).

Solución: D.C.L. (bloque en la barra)

liso

→ F = 40 - 4 × 70

T T

10

T T

T T

B µs=0,75

∴ F = 12N

µ

Fr

M g=20Np

37°

PROBLEMA 05 Determina el valor de la fuerza F si se sabe que el bloque de 100N está a punto de deslizar hacia la derecha.

µs = 160N

F

0,7

37°

mg

T1

N

37° N mg 53° fr

A

M g=10m

T1

B

A Por equilibrio se cumple:

37º

B B

M g=200NA

RP a)

Del diagrama de cuerpo libre se tiene: Para el equilibrio de B. ∑F(↑) = ∑F(

↓)

T = 10 mB ....................... (1)

a) ¿El módulo de la reacción en los apoyos A y B son iguales? b) ¿Qué módulo tiene la fuerza de rozamiento estático en A? c) ¿El módulo de la fuerza normal en B coincide con la reacción del piso? Sustente.

Solución: D.C.L. de la barra que está a punto de resbalar luego actúa fs =µ s N F máx

FÍSICA

51

a)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

37º

53º

RB

θs

FN

RA

tg θs =µ

Fg=mg=80N

3

s=

4

La figura muestra una esfera de 6kg en equilibrio. Sabiendo que la cuerda AB forma un ángulo de medida respecto de la pared vertical. Determine: a) El módulo de la tensión en la cuerda AB cuando la medida del ángulo es 37°. b) El módulo de la tensión en la cuerda AB cuando mide 53°. c) La medida del ángulo sabiendo que el módulo de la reacción de la pared sobre la esfera es 60N.

→

→

B

40N

N

Fg=80N R =50A

Solución:

N

Notamos que el tirángulo de fuerzas es isósceles, luego: RA = RB = 50N

Realizamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera y aplicamos la primera condición de equilibrio. T

T

θ

b) Como la reacción en A tiene 2 componentes se tiene que la fuerza de rozamiento estático en A tiene un módulo de:

θ W

R

fsmáx N

W

θs

FN R =50NA

f

sen θ s

= 50N sen 37º = 30N

• W = fuerza de gravedad = mg W = 60 newtons • R : módulo de la reacción • T : módulo de la tensión a) Reemplazando los datos tenemos: T = 5k

smáx

37º

c) En el apoyo B la superficie es lisa, entonces no existe fuerza de rozamiento estático debido a ello la reacción normal coincide con la reacción del plano. R = F = 50N B

θ

3k=60N

T

60N 37º 4k

θ 60N

Cuando un cuerpo está en equilibrio debido a tres fuerzas no paralelas, deben ser concurrentes y formar un triángulo de fuerzas.

53º

A

53º

B

R =50

=R

c) Reemplazando los datos tenemos: un triángulo rectángulo isósceles. (θ = 45°)

g=10m/s2

θ

Como la barra está en equilibrio FR = 0

smáx

T = 5k

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

A

⇒ θs = 37º

f

52

b) Reemplazamos los datos tenemos:

PROBLEMA 08

µsF N

FÍSICA

NB

4k=60N

53º N=3k

FÍSICA

53

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

54

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA II

PRÁCTICA CALIFICADA I PROBLEMA 01

A

PROBLEMA 01

Si el sistema se encuentra en reposo determine la masa del bloque A. La fuerza de rozamiento sobre el bloque B es de 120N y la polea de 2kg. (g=10m/s2)

Si la esfera de 12kg se mantiene en reposo, determine el módulo de la tensión en el hilo. (g=10m/s2)

g F=100N

A

B

16º 1,6kg

g

Rpta.:…………………

g

1,2kg

Rpta.:…………………

PROBLEMA 05 Determine el módulo de la tensión en A. El bloque es de 40kg. (g=10m/s2; poleas ideales).

PROBLEMA 05 Si cada polea es de 6kg determine el módulo de la fuerza F. (g=10m/s2)

Rpta.:…………………

g

Rpta.:…………………

PROBLEMA 02 53º

A

PROBLEMA 02 Realice el D.C.L. de cada una de las esferas cuyas masas son: mA= 5kg; mB = 3kg, superficies lisas. (g=10m/s2). También efectúe el D.C.L. del sistema de esferas.

Rpta.:…………………

g

F

Un bloque de 10kg se mantiene en reposo en un plano inclinado liso, tal como se muestra. Determine el módulo de la tensión en el hilo. (g=10m/s2)

Rpta.:…………………

PROBLEMA 06 Si las poleas son ideales, determine el módulo de la tensión en P. (g=10m/s2)

PROBLEMA 06 ¿Cuál es el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque B en reposo? (g=10m/s2)

g

g 53º

Rpta.:…………………

P

Rpta.:…………………

PROBLEMA 03 Si el bloque A está a punto de subir, determine el módulo de la tensión en P y la masa del bloque A. (g=10m/s2). g P

PROBLEMA 03 Rpta.:…………………

3kg

¿El módulo de la tensión en cada cuerda es? El cuerpo es de 120N.

PROBLEMA 07

A

37º

Cuál es el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque B. (g=10m/s2; poleas ideales).

5kg

53º B

Rpta.:…………………

PROBLEMA 07 g

C

g

Si el bloque se encuentra en reposo determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre él. (g=10m/s2) g

Rpta.:…………………

PROBLEMA 04 Determine el módulo de la tensión en A y la masa del cuerpo B para que el sistema se encuentre en reposo. Considere polea ideal. (g=10m/s2)

Rpta.:………………… 10kg

PROBLEMA 04 20kg

Rpta.:…………………

37º

Determine el módulo de la fuerza de tensión en el hilo AB si el sistema está en reposo. (g=10m/s2)

10kg 6kg

Rpta.:…………………

FÍSICA

55

PROBLEMA 08

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 11

Si el resorte está estirado 10cm, determine el módulo y la dirección de la fuerza de rozamiento sobre el bloque de 10kg para que se mantenga en reposo. (g=10m/s2; K=200N/m)

FÍSICA

56

PROBLEMA 14

Calcular la tensión T en la cuerda, si el sistema se encuentra en equilibrio, el bloque pesa 100N. Desprecie el peso de las poleas.

PROBLEMA 17

La figura muestra un bloque de 4 kg en posición de equilibrio. Determinar la tensión en la cuerda CD . (g = 10 m/s2) 30º

C K

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Un aro fino y liso de peso 5N está sujetado a la pared con ayuda de dos clavos sin fricción. El primero se encuentra dentro de un aro (A) y el segundo está fuera del aro (B). Determinar con qué fuerza el aro presiona sobre cada clavo.

D

g

T

A

T A

Rpta.:………………… Rpta.:…………………

B

Rpta.:…………………

PROBLEMA 09 Una persona de 80 kg se encuentra parada sobre una plataforma de 30 kg de peso. Si el sistema se encuentra en equilibrio y cada polea pesa es de 10 kg, encontrar la reacción de la plataforma sobre la persona. (g = 10 m/s2)

PROBLEMA 12 El sistema físico se encuentra en equilibrio. Calcular la media del ángulo. Donde los bloques: A es de 8N y B es de 6N

PROBLEMA 15 La figura muestra un bloque de peso 10 kg en posición de equilibrio. Calcular la tensión en la cuerda BC . (g = 10 m/s2) C

θ 120º

B

Rpta.:…………………

PROBLEMA 18 Se tiene 3 esferas instaladas, según ilustra la figura, cada una de ellas pesa 60N y su radio es 20cm. Si la longitud de la cuerda que une B y C es 24 cm; calcular la tensión de la cuerda.

60º A

Rpta.:…………………

A B

Rpta.:………………… Rpta.:…………………

PROBLEMA 13

PROBLEMA 10 La figura muestra un sistema de dos poleas móviles de peso 1N cada uno. Hallar la magnitud de la fuerza F, tal que, el bloque de peso 9N permanezca en equilibrio.

A

B

En la figura el bloque W = 20N. Calcular el valor de F para que el sistema permanezca en equilibrio, AB y BC son cables. A 120u B

PROBLEMA 16 Determinar el valor de la fuerza F, para que el sistema se encuentre en equilibrio. Las superficies son lisas, cada esfera es de 5N y tienen igual radio. F: es paralelo al plano inclinado.

F F C W

F

90u 37º

Rpta.:…………………

Rpta.:………………… Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

C

FÍSICA

57

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

58

Determine la deformación del resorte de K=100N/cm en el sistema en reposo. Superficies lisas. (g=10m/s2)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 10

PROBLEMA 07

PROBLEMA 04

Si la reacción del piso tiene un módulo de 40N, determine la masa del bloque. Considere la esfera de 6kg. (g=10m/s2).

FÍSICA

Para mantener a un cuerpo de 40kg en reposo se construye el siguiente sistema de poleas. Determine el módulo de F si las poleas son ideales. (g=10m/s2)

Si el sistema se encuentra en reposo, determine la masa del bloque. Considere que la esfera de 10kg, la polea de 2kg y las superficies lisas. (g=10m/s2)

g

g

F g

g

20kg

a) 1cm. d) 4cm. a) 1 kg d) 8 kg

b) 2 kg e) 10kg

c) 6,5 kg

b) 2cm. e) 5cm.

a) 10N d) 80N

PROBLEMA 05 Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque A para que se mantenga en reposo mB=10kg y la polea (2) es de 1kg. (g=10m/s2)

PROBLEMA 02 ¿Cuál debe ser el módulo de la fuerza F que se debe ejercer para mantener el sistema en reposo? Las poleas son de 2kg cada una. (g=10m/s2)

(1)

g

g

a) 3kg d) 8kg

c) 3cm.

(2)

b) 20N e) 100N

b) 5kg e) 9kg

c) 7,5kg

c) 40N

PROBLEMA 11

PROBLEMA 08 Una persona trata de poner en movimiento un gran bloque de granito. Si el módulo de la fuerza horizontal que ejerce depende del tiempo según F=0,5t, donde F está en Newton y t en segundos y el valor máximo de la fuerza de rozamiento tal que el bloque no resbale es de 300N. ¿En qué instante t el bloque empieza a resbalar?

Si el sistema está en reposo, determine el módulo de la tensión en A y la masa del bloque (g=10m/s2; poleas ideales)

53º

F

a) 10N d) 80N a) 10N d) 80N

b) 20N e) 100N

c) 40N

b) 20N e) 100N

c) 40N

PROBLEMA 06 Si el sistema carece de rozamiento y las poleas son ideales, determine la masa del cuerpo B para que esté en reposo. (g=10m/s2)

PROBLEMA 03 Un sistema masa resorte se encuentra en equilibrio en la situación A y al colocar otro bloque idéntico al anterior (m=10kg) alcanza el equilibrio en la situación B. Determine la constante de rigidez del resorte. (g=10m/s2)

a) 2min d) 7min

b) 3min e) 10min

c) 5min

PROBLEMA 09 Si la esfera es de 8kg, determine el módulo de la fuerza que le ejerce la pared. Superficies lisas. (g=10m/s2)

g

a) 40N; 4kg c) 50N; 3kg e) 80N; 4kg

b) 50N; 4kg d) 60N; 2kg

PROBLEMA 12 Si el sistema se encuentra en reposo determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque A. La esfera es de 5kg (g=10m/s2)

g

g

20kg K

53º

K

a) 10 kg. d) 40 kg.

A 10cm B

a) 500N/m d) 1000N/m

b) 700N/m e) 1200N/m

c) 800N/m

b) 20 kg. e 50 kg.

c) 30 kg.

a) 60N d) 80N

b) 20N e) 100N

c) 40N a) 10N c) 25N e) 40N

b) 20N d) 30N

FÍSICA

59

PROBLEMA 13

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 16

El bloque mostrado se encuentra en reposo tal como se muestra. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque. (g=10m/s2) g

FÍSICA

60

PROBLEMA 19

Un bloque metálico liso, es empujado contra una esquina formada por el plano inclinado AB y el muro BC. Si las reacciones del plano y del muro son 100N y 50N respectivamente, averiguar el peso del cubo. La fuerza externa F es horizontal.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 22

Si la barra AB mostrada en la figura es de 48N y la tensión en la cuerda CD que la sostiene es de 52N, hallar la fuerza de reacción en el pasador A, sabiendo que esta fuerza es horizontal. D

El bloque de 10 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la diferencia entre las tensiones T1 - T2. (g = 10 m/s2) 53º

B

C 37º

53º

5kg

a) 5N d) 10N

b) 7N e) 20N

C

F

5kg

B

c) 8N

a) 125 N d) 50 N

PROBLEMA 14

A

Si el resorte está estirado 10cm determine el módulo de la fuerza de rozamiento sobre el bloque A, las poleas son de 1kg cada uno y el sistema está en reposo.

a) 50 N d) 80 N

37º

b) 60 N e) 90 N

c) 70 N

PROBLEMA 17

K=500N/m 37º

b) 15 N e) Ninguna

c) 20 N

PROBLEMA 23 La esfera de 12 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la diferencia entre las tensiones: T2 - T1. (g = 10 m/s2)

El bloque de 4kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la diferencia entre las tensiones T1 - T2. (g = 10 m/s2)

37º T1

8kg

a) 20N d) 30N

b) 40N e) 50N

120º

19kg

c) 60N

30º

T1

30º

T2

53º T2

T

a) 72 N d) 34 N

A

PROBLEMA 15 Un hombre de 70 kg está en una plataforma suspendida como se muestra. Calcular la fuerza que ejerce la persona para mantener el equilibrio. La polea móvil pesa 50N.

c) 25 N

A

a) 10 N d) 25 N

PROBLEMA 20

El sistema físico se encuentra en equilibrio. Determinar la tensión T en la cuerda. Desprecie el peso de las poleas, los bloques A y B de 2N y 10N respectivamente.

g

b) 75 N e) 200 N

a) 2 N d) 7 N

b) 4 N e) 8 N

c) 6 N

a) 40 N d) 5 N

b) 20 N e) 0 N

La barra AB mostrada en la figura, de 12N se encuentra en equilibrio apoyado en una pared vertical y en un plano inclinado completamente lisos. Si la fuerza de reacción en el apoyo A es de 5N, hallar la la fuerza de reacción en el apoyo B.

PROBLEMA 24

La esfera de 60 kg se encuentra en equilibrio, apoyada en dos superficies lisas. Determine el módulo de las reacciones en los puntos de apoyo A y B.

El bloque de 60 kg se encuentra en equilibrio. La polea móvil de masa despreciable puede deslizarse sobre el cable inextensible de 5m de longitud cuyos extremos A y B están fijos a las paredes verticales separadas 4m entre si. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s2) B

A

A

c) 24 N

c) 10 N

PROBLEMA 21 PROBLEMA 18

b) 96 N e) 14 N

A

B B

53º a) 150 N d) 300 N

b) 200 N e) 350 N

c) 250 N a) 11 N d) 15 N

b) 12 N e) Ninguna

c) 13 N

a) 800 N y 100N c) 800N y 1000N e) 200 N y 800 N

b) 6000 N y 1000 N d) 300 N y 400N

a) 300 N d) 600 N

b) 400 N e) 800 N

c) 500 N

FÍSICA

INTRODUCCIÓN

sobre cuerpos rígidos. Por ejemplo al hacer girar

Centro de giro

d2

F2

d1

F1

→

F3

ser, un par de fuerzas paralelas, de direcciones

mismo cuerpo. Así por ejemplo: al abrir una puerta →

se aplica una fuerza F y la rotación se produce, la →

puerta aplica esa misma fuerza F a los goznes, y estos reaccionan aplicando a la puerta una fuerza →

igual y opuesta -F . Notamos a la puerta sometida →

→

a un par de fuerzas, F y - F , esto quiere decir, que en la rotación, hay una cupla que la produce. Pero estos efectos de rotación es necesario medirlos, de allí la necesidad de agregar un nuevo

→

como la distancia del centro de momentos, a la línea de acción de la fuerza (perpendicular trazada desde el centro de rotación a la recta donde actúa la fuerza), es decir:

Momento de una Fuerza ( M ) F

Se denomina momento de una fuerza, o torque, a aquella magnitud vectorial que mide lo cuanto es capaz una fuerza de causar movimiento de rotación a un cuerpo en torno a un punto o recta denominado centro o eje de rotación. Por ejemplo consideremos el caso de que una persona intenta aflojar una tuerca de una llanta de un camión. 0,2 m

MF o = 0

O

F

Línea de acción de F

d O

Segunda Condición de Equilibrio F

Centro de rotación La dirección del momento de una fuerza es perpendicular al plano definido por la línea de acción de la fuerza y el centro de rotación y su dirección se denomina por la regla de la mano derecha. MF

intensidad con que tiende a rotar un cuerpo.

o

d

BRAZO DE PALANCA (d) Supongamos que un cuerpo rígido (por ejemplo una barra) gira alrededor de un punto (centro de giro) por la acción de una fuerza, definiremos brazo o palanca a la distancia medida perpendicularmente desde el centro de giro hasta la recta de acción de la fuerza. Así tenemos en la

Si la línea de acción de una fuerza pasa por el centro de rotación, o centro de momentos, el momento producido por dicha fuerza es nulo.

M F = F×d

Comentamos anteriormente que el efecto que una fuerza produce a un cuerpo es cambiar su estado de movimiento y deformarlos, pero además esta es capaz de producir un efecto de rotación, cuando este puede rotar alrededor de un cierto punto.

concepto físico que vendría a ser: Momento de una fuerza o torque, la cual nos expresa la

Por convención se consideran positivos los momentos relacionados con una rotación antihoraria y negativos los relacionados con una rotación horaria.

(F) por el brazo de dicha fuerza (d) , definida

una cupla responsable de ella. Una cupla, viene a

contrarios y de igual intensidad, aplicadas a un

¿En cuál de los dos casos la persona, aplicando la misma fuerza, producirá mayor efecto de rotación?

El módulo del momento de una fuerza se determina multiplicando el módulo de dicha fuerza

d3

un destornillador, un tirabuzón, la llave de un caño, etc. Cuando se produce una rotación hay

rotación antihoraria mientras que otras, una rotación horaria.

Es obvio que en el segundo caso. Esto se explica por la mayor distancia que existe entre la fuerza aplicada y el eje de rotación.

Es muy común alrededor nuestro, observar efectos

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

En un primer caso la fuerza se aplica a 0,2m de la tuerca y en un segundo caso se aplica a 0,3 m.

figura mostrada varios brazos o palancas: d1, d2, d3.

de rotación por causa de las fuerzas que actúan

62

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier punto, es nula. Matemáticamente, para el caso de fuerzas coplanares, se debe cumplir que la suma aritmética de los momentos relacionados con rotaciones antihorarias debe ser igual a la suma aritmética de los momentos relacionados con rotaciones horarias.

∑M

F 0

+

=

F

∑ M0

−

O 0,3 m

F

Cuando sobre un cuerpo sólo intervienen fuerzas coplanares (todas se encuentran en un mismo plano), alguna de ellas tenderán a producir una

En general, un cuerpo se encontrará en equilibrio rotacional cuando se cumplen las dos condiciones de equilibrio.

FÍSICA

63

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS

30N

D.C.L (barra) por la 2° Ley de Newton.

d

4n 37°

3n O

O

Tomando momentos respecto al punto “O”

T

6m

línea de acción de F d 3m

60N

M

F

M

Solución: =

0

F

M + +

∑ 0 ∑ 0 30 50 - M ∑M 0= M30N 0 0

∑10

M

F

El momento resultante respecto de un cierto

0

punto es la resultante de los momentos generados por cada una de las fuerzas. En

T× 3n = 60× 5n

−

0

∴ T = 100N

10N

(-)

3m

Determina la resultante de las fuerzas mostradas en la figura y su posición respecto de la articulación ubicada en el punto “A”. La barra es imponderable.

F=N25

O

5m (+) A

30N

6m

F

Por criterio puramente geométricos deducimos que d = 4 m Luego el momento de la fuerza F respecto del punto O será:

Reemplazando:

6m

2m

∑M 0= 50×5 - 30×2 - 10×8 ∑M 0=

F

2m

4m

8N

0

F W

0

Solución:

Luego: M

0

Re s

El segundo método implica en descomponer

=+75 − 60

la fuerza F en una componente horizontal y una componente vertical y luego determinar

0

M

∑M 0 =

+

10 N.m 1

Tomando momentos con respecto al punto “A”. 40N

PROBLEMA 02

Calcula la compresión de la barra AB de peso despreciable si la carga W pesa 60 N.

30N

A

4m

2m

2m 8N

R

37°

B

30

40

El signo positivo indica que el efecto de rotación neto de la barra es en sentido antihorario.

el momento producido por cada una de estas y finalmente sumar algebraicamente estos. 8m

O

PROBLEMA 05 4m

4m Fx =60N

8m 12

O

8

MA =MA +MA -MA -MA

R MA = 30 × 6 + 40 × 10 - 12 × 2 - 8 × 8

W

= 15 N⋅ m 0

Determinar el valor del momento de la fuerza F = 100 N respecto del punto O.

12N

A

0

M =−30 N ⋅ 2m⇒ M =−60 N⋅ m

Res

∴

F

M =+400 N⋅ m

El signo positivo es porque la rotación que la fuerza produce al cuerpo es en sentido =75N⋅ m antihorario.

M0 = 25 N ⋅ 3m⇒ M0 W

12N

250 - 60 - 80

F

4m

37°

M = 100 N⋅ 4m ⇒

W=30N 50N

5m 5m

40N

O

3m

este caso, se obtiene sumando algebraicamente cada uno de ellos.

PROBLEMA 03

0

O

60N

-M

(-) 6m

2m

= M

53°

1m

Solución:

50N T

Este problema vamos a resolverlo por dos métodos. El primer método consiste en determinar previamente la distancia del centro de momentos a la línea de acción de F.

O

5n

3m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución:

Si la barra homogénea de 3kg. se le aplica una fuerza vertical F = 25 N, determinar el módulo del momento resultante respecto del punto O. (g=10m/s2). F

10N

2m

64

PROBLEMA 04

Solución:

PROBLEMA 01 Calcula el momento resultante respecto al punto “O”

FÍSICA

Fy =80N

F

4m Fx

30 MA = 180 + 400 - 24 - 64

∴

37°

Fx

M0 = 60 N⋅ 4m ⇒ M0 = 240 N⋅ m 30

M

A

= 492N.m

F

37°

F

M

y

0

F

= 80 N⋅ 8m ⇒ M

y

0

= 640 N⋅ m

FÍSICA

65

Luego: M

Re s 0

M

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

∑M

=−240 + 640 Re s 0

0

=

FÍSICA

66

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

∑M 0

T(3) = 30(4)

= 400 N⋅ m

B

53º

T = 40 N El momento resultante, es el momento producido por la fuerza F que es la resultante de los componentes

Del triángulo de fuerzas construido se deduce que:

37°

A

A

5m

T = 40

PROBLEMA 06 Si la masa de la barra homogénea mostrada es de 3 kg , determinar el módulo de la tensión de la cuerda horizontal y de la reacción en el pasador (g=10m/s2).

4,5 kg 30 R

a)

Realizamos el DCL de la barra; como la

3m

O

Solución:

Veamos la forma alternativa de resolver este

módulo ni la dirección de la reacción que

problema.

ejerce la articulación sobre la barra; por lo

Teniendo presente la concurrencia de las tres

tanto en el DCL se trazarán las componentes

fuerzas, y que d = 4 m, se deduce de la

Hagamos DCL de la barra, teniendo presente que las tres fuerzas deben ser concurrentes, y apliquemos la segunda condición de equilibrio tomando momentos respecto del punto O.

Construyamos el triángulo de fuerzas

∑

Fy = 0 ⇒ T − mg = 0 ⇒ T = mg = (2,5kg) (10m / s T = 25 newtons T = 25N

3m RM

T

A

b)

37°

2

)

Hacemos el diagrama de cuerpo libre de la barra homogénea.

T

T

5m

θ

3 m

3m

30 Fg= 30

25N

4,5 N

RV

+

R

53º Tomando momentos respecto de A y aplicando la segunda condición de equilibrio.

d = 4m

Resolviendo el triángulo rectángulo notable

∑M

formado se deduce que:

la propiedad de la base media que d= 4 m. A partir de este momento existen dos maneras de llegar a la solución de este problema. La primera forma consiste en aplicar la segunda condición de equilibrio, respecto del punto O, determinar el valor de la tensión T y finalmente construir el triángulo de fuerzas.

mg

rectangulares de esta articulación tanto en la

θ = 37°

θ

Cuando la fuerza de gravedad de la barra actúa en su punto medio, se demuestra, por

T

dirección horizontal como vertical.

figura que:

teniendo presente esto:

O

Hacemos el diagrama de cuerpo libre del bloque:

barra está articulada en A, no sabemos el

R = 50N

R

Determine: a) El módulo de la tensión en la cuerda. b) La cantidad de masa de la barra homogénea. c) Las componentes rectangulares en la rótula A.

Solución:

Solución:

8m

37º

3m

T = 40N

G

= ∑ MA

=M

a

45 N A

∴

53º

37º

A

T⋅ 3m = 45 N⋅ 8,

PROBLEMA 07

a

F

0

T MA

R = 50N

Si la barra de una masa despreciable se encuentra en equilibrio tal como se muestra. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10m/s2).

F

B

F

-

Rx Ry

T =120N

PROBLEMA 08 La figura muestra una barra homogénea AB. El bloque de 2,5 kg se encuentra en equilibrio.

De la segunda condición de equilibrio, la suma de momentos respecto del punto A es igual a cero.

∑

M

=0 A

FÍSICA

67

25N

a sen53º − F(a)sen53º = 0

FÍSICA

50N(a)sen53º = F(a)sen53º

PROBLEMA 01

Solución: Fg=mg=100N a

B

7N 25N

RB

C.G. 37º

a

A

16º

ℓ

ℓ

liso

Rpta.: .........................................................

B 24N

37º

RA

G 50N Rx

A

37º

a)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 04

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ( ) Si la suma de momentos sobre un cuerpo rígido es nula, entonces no hay traslación. ( ) Si la suma de fuerzas sobre un cuerpo rígido es nula, entonces no hay rotación. ( ) Si la suma de momentos sobre un cuerpo rígido es nula y a la vez la suma de fuerzas también es nula, entonces el cuerpo está en equilibrio total.

D.C.L. de la barra homogénea.

Hacemos la descomposición rectangular de la tensión:

68

PRÁCTICA CALIFICADA

a) Sobre la barra actúan 4 fuerzas (sustente si es verdadero o falso). b) Las reacciones en A y B son iguales. c) ¿Qué módulo tiene la fuerza de rozamiento estático en B?

Resolviendo tenemos: F = m⋅ g = 50N Entonces la masa de la barra es: m = 5 kg c)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

En el apoyo A la reacción es perpendicular a la superficie horizontal, es decir es vertical. Como sobre la barra están actuando 2 fuerzas verticales, entonces la reacción en B necesariamente debe ser vertical dirigida hacia arriba. Notar que sobre la barra actúan 3 fuerzas,

PROBLEMA 02

Si la barra homogénea de 8kg se encuentra en equilibrio, determine el módulo de la tensión en la 2

cuerda BC. (g = 10 m / s ) . C 53º A

B

Rpta.: .........................................................

PROBLEMA 05

La figura muestra una placa ingrávida cuadrada en equilibrio. Determinar el módulo de la fuerza F. 30N

La barra homogénea de 4 kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la cuerda BC.

1m

F

b)

Ry De la primera condición de equilibrio se cumple que:

∑

Fx = 0 ⇒

Fx = 0 ⇒

M

Ry + 7N − 50 = 0

c)

⇒ Ry = 43N El módulo de la fuerza de reacción en A se determina mediante el teorema de Pitágoras: 2

2

R x + Ry

RB C.G.=

30N

M

RA C.G.

⇒ RA (a) =RB (a)

RA = R B

Rpta.: .........................................................

ΣF(↑) = ΣF(↓) 2RB = 100N ⇒ RB = 50N Notar que la reacción en B tiene 2 componentes: La fuerza normal (FN) y la fuerza de rozamiento estática (fs)

Sobre la barra quebrada de masa despreciable se aplica un sistema de fuerzas. Determinar el momento resultante respecto del pasador en A. Además: AB = BC = CD = DE = 2m.

fs

10N

D

E

37º

Fs = RB sen 37º f = 50 3 A

¿A qué distancia de B se debe colocar el apoyo fijo para que la barra de masa despreciable y 3,0 m de longitud, permanezca en equilibrio?: Las poleas son ideales.

A

B

B C

37º

B

37º

Rpta.: .........................................................

20N

FN

rugoso

liso

2kg

PROBLEMA 06

PROBLEMA 03

PROBLEMA 09 La barra homogénea de 10kg se encuentra en equilibrio como se indica:

30º

A F

Rx − 24N = 0

RA =

B

=

⇒ Rx = 24 N

∑

C

luego, decir que actúan 4 fuerzas es falso. Al tomar momento en el centro de gravedad (C.G.) se tiene:

s

( ) 5

R =50B

N

30N A

4kg 10kg

⇒ f = 30N s

Rpta.: .........................................................

Rpta.: .........................................................

FÍSICA

69

PROBLEMA 07

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 10

La barra homogénea de 2kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la 2

cuerda BC. Además: AB = BD (g = 10 m / s )

FÍSICA

70

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

F

PROBLEMA 14

Si la barra de 2kg se encuentra sometido a las fuerzas que se indica. Determine el momento resultante respecto al punto “O”. (g=10m/s2).

La barra homogénea de 2kg está suspendido de la cuerda y apoyado en la articulación O. ¿Qué módulo tiene la tensión en la cuerda? (g=10m/s2).

A

4a

2a

O C

2m

Rpta.: ......................................................... A

2

F =10N

D

B

3m

37º

30º

F =20N

PROBLEMA 18

1

La barra de 2kg está en reposo como se indica.

1kg

Rpta.: ......................................................... Rpta.: ........................................................

Rpta.: .........................................................

PROBLEMA 11 PROBLEMA 08 La barra homogénea de 4 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en

Determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). (g=10m/s2)

Si el momento resultante respecto al punto “O” es +10N.m. Determine el módulo de la fuerza F1. (Barra homogénea de 2kg). (g=10m/s2) F1

2

la cuerda. Además: AG = GB. (g = 10 m / s )

PROBLEMA 15

(1)

Del sistema que se indica. Determine la deformación del resorte de K=20N/cm, si la barra

a

es homogénea de 4kg. (g=10m/s2)

O

53º

C.G.

5a

Clavo Liso

5a

1m

37º

37º

1kg

Rpta.: ......................................................... 30º A

G

B

Rpta.: ........................................................

Rpta.: ......................................................... Rpta.: .........................................................

PROBLEMA 12 La barra homogénea de 2kg se encuentra afectado a las fuerzas que se indica. Para dicha posición ¿La barra gira o no? F =10N

PROBLEMA 09

1

Para la posición mostrada determine el momento de F1, F2 y F3 respecto del punto “O”.

PROBLEMA 16 Considerando barra de masa muy pequeña. ¿Qué módulo presenta la tensión en la cuerda? (g=10m/s2) 80kg

F =10N 2

2m 3m

Rpta.: .........................................................

O 2m

PROBLEMA 13

F =10N2

F =20N1 3m

La barra homogénea de 4kg se encuentra sin girar respecto al punto “O”. ¿Qué módulo tiene la fuerza F1? (g=10m/s2) F1

3

3m

F =30N

Rpta.: ........................................................

5m

O

3m

Rpta.: ........................................................

Rpta.: .........................................................

PROBLEMA 17 La barra homogénea de 4kg está en reposo como se indica. Determine el módulo de la máxima fuerza (F) que se debe aplicar en A para mantener el equilibrio.

FÍSICA

71

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

O

72

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE 4m

PROBLEMA 07

6m

La barra homogénea de 5kg permanece en posición mostrada (horizontal), determine la masa del bloque.

PROBLEMA 04

Para la posición mostrada determine el momento de la fuerza F1 y F2 respecto al punto “O”.

FÍSICA

La barra homogénea de 5kg se encuentra afectado a las fuerzas que se indica. Para dicha posición. ¿La barra estará girando o no? y ¿Cuál es el momento resultante respecto al punto “O”?

2m

g

F =20N1 F =30N

a) 100N d) 200N

4m

0,5m

1

b) 50N e) 125N

c) 75N

3m 2

F =20N

a) 7,5 kg d) 2,5kg

F =20N2

a) -60Nm; +80Nm b) -120Nm; +160Nm

c) 5kg

2

PROBLEMA 08

a) -12Nm c) sí gira; +12Nm e) sí gira; -12Nm

b) no gira; 0 d) no gira; +6Nm

Determine el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda si la plancha cuadrada homogénea de 30kg permanece en reposo. (g=10m/s2)

PROBLEMA 02

PROBLEMA 11 La barra homogénea de 6 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en

0,5m O

c) +60Nm; -80Nm d) -80Nm; +60Nm e) 200Nm; -150Nm

la cuerda. Además: AG = GB (g = 10 m / s ) .

g

O 0,5m

F =20N

PROBLEMA 05

2m

Para la posición mostrada determine el momento de la fuerza F1, F2 respecto al punto “O”.

2

0,5m

a) 10 N d) 25 N a) 120N d) 50N

3a

37º

A

Si la barra homogénea de 14kg está en reposo. Determine el módulo de la tensión en la cuerda.

1

F =30N

b) 150N e) 90N

a) 5 N d) 8N

b) 6N e) 9N

c) 7N

B

b) 15 N e) 30 N

c) 20 N

PROBLEMA 12 La barra homogénea AB de 4 kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la

PROBLEMA 09

37º

G

c) 300N

7a

53º

a) -6Nm; +25Nm b) 6Nm; -24Nm c) 12Nm; 18Nm d) 20Nm; 28Nm e) -30Nm; +40Nm.

Si la barra de 8kg se encuentra en equilibrio. Determine el módulo de la fuerza de tensión en la cuerda. (g=10m/s2).

cuerda (1). (g = 10 m / s )

2

(2) PROBLEMA 06

PROBLEMA 03 Si el momento resultante respecto al punto “O” es cero. ¿Qué módulo tiene la fuerza F1? (barra homogénea de 1,2kg) (g=10m/s2)

W

A

53º

a) 10N d) 40N

F1

a) 16/25 N

b) 25/16 N

d) 6 N

e) 5 N

b) 20N e) 50N

c) 30N

2kg a) 10 N d) 40 N

b) 20 N e) 50 N

c) 30 N

PROBLEMA 10

4a

c) 4,8N

B

53º

O

b) 3,6N e) 6,4N

(1)

La barra homogénea de 5kg esta en equilibrio. Determine el módulo de la tensión en la cuerda.

a

a) 3,2 N d) 5,2N

b) 3kg e) 10kg

c)8 N

Si la barra homogénea de 30kg se mantiene en la posición horizontal, determine el módulo de la fuerza con la que el joven jala la cuerda. (g=10m/s2)

PROBLEMA 13 La figura muestra una estructura ingrávida en equilibrio, determinar el módulo de tensión en la cuerda BC. (g = 10 m / s 2 )

FÍSICA

73 2m

C

PROBLEMA 16

FÍSICA

74

PROBLEMA 19

La figura muestra una barra ingrávida en equilibrio. Hallar el módulo de la fuerza F.

W 8kg

B

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 20

Si la masa de la barra horizontal AB homogénea es 4,5 kg determinar el módulo de la tensión en la

2

Desprecie la masa de las poleas. (g = 10 m / s )

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Calcular el módulo de la tensión en las cuerdas (1) y (2) que mantienen en equilibrio a la placa

2

cuerda que lo sostiene. (g = 10 m / s

2

)

triangular homogénea de 6 kg. (g = 10 m / s )

4m A a) 30 N d) 60 N

F

b) 40 N e) 70 N

(1)

c) 50 N

A

2a

a

A

8kg W

PROBLEMA 14 La figura muestra la barra ingrávida AE en equilibrio. Determinar el módulo de las reacciones en los puntos de apoyo. Además: AB = BC = CD = DE. 20N

30N

a) 5 N d) 40 N

b) 10 N e) 60 N

PROBLEMA 17

E B

C

D

(g = 10 m / s ) C

B

37º a) 40 y 60 N

b) 45 y 65 N

c) 100 y 10N

d) 35 N y 75 N

3kg

e) Ninguna A

PROBLEMA 15 La barra ingrávida AB se encuentra en equilibrio. Desprecie el peso de las poleas. Determine la masa

a) 90 N d) 60 N

c) 70 N

b) 80 N e) 50 N

2

de P. (g = 10 m / s )

A

L

PROBLEMA 18 2L

La barra homogénea de 4 kg se encuentra en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión.

B

2

Además: AG = GB. (g = 10 m / s ) C

W 0,5kg

G

30º

A

B

P 1kg

a) 0,5 kg d) 2 kg

b) 1 kg e) 2,5 kg

c) 1,5 kg a) 60 N d) 30 N

b) 50 N e) 20 N

c) 40 N

a) 10 N d) 50 N

B

B

2a

a) 1 y 5N d) 6 y 6N

1kg Q

2

A

53º

37º a

c) 20 N

La barra AB es homogénea y de 6 kg. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda BC.

60N

(2)

b) 20 N e) 100 N

c) 30 N

b) 4 y 2N e) Ninguna

c) 3 y 3N

FÍSICA

76

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Tiempo de encuentro a partir de: d

Se denomina así a aquel movimiento que se V1

d V

V=d t

t

tenc =

d V +V 1

t

1

2

d t V

m s m/s

km h km/h

cm s cm/s

Vm =

T

1 km = 1000m 1 m = 100cm 1 km = 105 cm

a) De: k

1h = 60 min 1min = 60 segundos 1h = 3600 segundos

30t + 40t = 700

Un móvil debe recorrer 400km en 12 horas con M.R.U a la mitad del camino sufre un desperfecto que lo detiene 1 hora. ¿Con que rapidez debe continuar su marcha, para llegar 1 hora antes de lo establecido?

Solución: 6h

km h s 18 m 20 × = 72 km/s s 5

4h

A

TIEMPO DE ALCANCE Y TIEMPO DE ENCUENTRO

d V1

talc =

V1 − V2

d = eAC

d=

20 2 + 15 2 ∴ d = 25m

Solución: t1

Tramo AB V=e

t

V2

d

b) Calculo de la distancia (d)

B

b) De: m a Tiempo de alcance se obtiene a partir de la siguiente relación:

e=5× 4+3× 5e

Una persona ubicada entre 2 montañas emite un sonido al cabo de 2s escucha el primer eco y luego de 1s, escucha el segundo eco. Determina la separación entre las montañas.(Vsonido=340m/s en el aire)

v

A

a) Calculo del recorrido (e) e = eAB + eBC

PROBLEMA 04

12h 1h

V1

A

= 35m

a

h s km 5 18 × = 5 m/s h 18

; Vm = rapidez media.

Total

d

5 m/s

De la figura: e1 + e2 = 700

l

d

4s

UNIDADES

CONVERSIÓN DE RAPIDEZ

Tota

40m/s 2

Vmp =total ; rapidez media promedio.

T

t

PROBLEMA 02

d

C

B 30m/s

EQUIVALENCIAS

Además:

3 m/s 5s

∴ t = 10s

t=d V

Solución:

Solución:

caracteriza porque su velocidad V permanece constante en el tiempo. Esto implica que el móvil se mueve en línea recta y su rapidez de movimiento no cambia en el tiempo. En este tipo de movimiento el desplazamiento experimentado por el móvil es proporcional al tiempo transcurrido, lo que equivale a decir que el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. d=V⋅ t

V2

Dos móviles van al encuentro desde dos puntos distantes igual a 800m con rapideces constantes de módulos: 30m/s y 40m/s. Halla el tiempo que demoran para estar separados 100 m por primera vez.

Seguidamente se dirigen en dirección este con una rapidez constante de 3m/s durante 5s. Determina el recorrido y la distancia durante el tiempo que fue observado el bote.

t2

t1

00 4h

t2

V=2

1

∴

V = 50

2

km h

PROBLEMA 03 Un bote navega en aguas tranquilas durante 4s. Con rapidez constante de 5m/s en dirección norte.

De la figura : i) t1 + t1 = 2s

t1 = 1s

ii) t2 + t2 = 3s

t2 =1,5s

d = e1 + e2

FÍSICA

77 d = Vs. t1 + Vs. t2 = 340 (t1 + t2) d = 340 (1 + 1,5) ∴ d = 850m

PROBLEMA 05 Dos móviles parten separados inicialmente 900m con rapidez constante de 12m/s y 8m/s en direcciones contrarias uno al encuentro del otro simultáneamente. Calcula el tiempo que transcurre hasta estar separados 300m por segunda vez.

Solución: t

t

V1=12m /s

V2=8m/s

1

2

1

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

De la figura: t1 = t2 d1 = 30t d2 = 40t Luego: por el teorema de Pitágoras (40t)2 + (30t)2 = (500)2 Resolviendo ∴ t = 10s.

78

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución:

ii) dN - x + dP = 91 5t - x + 9t = 91

Según el enunciado:

13t = 91

VA =50km/h ; VB=40km/h

∴ t=7h 50km/h

t

t

40km/h

PROBLEMA 10 Si un tren pasa por un puente de 580m B

PROBLEMA 07

A

Un móvil recorre tramos iguales con rapideces constantes tal como se muestra en la figura. Determina la rapidez media del móvil durante todo

frente a una persona en 6s. Calcula la longitud del d = ??

V

V 2n

tren.

100

10 te = = h 50 + 40 9

su recorrido n

2

V 3n

d = 50 ×

300

A

C

B

completamente en 35s con rapidez constante. y

d

D

Solución: i)

10 500 = km 9 9

V

t = 35s

V

A

∴ d = 55.6 km

A

De la figura: d1

+

Solución:

d2 = 1200

(12 . t) + (8 . t) = 1200

V

n

V

2n

PROBLEMA 09 V

Dos móviles “M” y “N” parten simultáneamente desde una ciudad “A” hacia una ciudad “B”, en ese mismo instante sale otro móvil “P” desde la ciudad “B”. Se sabe que la distancia AB es 91Km y las rapideces constantes de los móviles son 6Km/h, 5Km/h y 9Km/h respectivamente. Calcula el tiempo en que “N” equidista de “M” y “P”.

3n

20t = 1200 ∴ t = 60s

A

D

Sabemos que:

PROBLEMA 06 Dos autos separados por una distancia de 500m parten con rapideces constantes de 30m/s y 40m/s en direcciones perpendiculares y dirigiéndose a un mismo punto. Luego de cuanto tiempo se cruzarán.

Solución:

Vm = d Vm =

Vm =

3d t

AB

BC

3V 2n

1

3d

=

+t +t

CD

3n

d Vn

+

6km/h

t

+ d 2n 3n V V

t

∴ Vm =

3V n 1+V +V

V

V

B

9km/h

M

P

Para el punto “B” d = V.t

A 5km/h

t

t

L = V x 6 ………. (2) Reempl. (2) en (1) :

N

2n

Dos puntos “A” y “B” distan entre si 100Km, de “A” sale un móvil que tardará dos horas en llegar a “B”, de “B” sale otro móvil hacia “A”, a donde llegará en 2,5 horas. Halla a qué distancia de “A” se cruzan. 40m/s

t

3n

PROBLEMA 08

2

6s B

Observador

A

x 91km

d=500m

O

580 + L = v.35………(1) ii)

o

d

n

V +V +1

t

d = v.t

t

Solución: 30m/s

C

B

Para el punto “A” :

De la figura: i)

dN + x = dM 5t + x = 6 t t=x

x

B

580 + 6V = 35V 580 = 29 V → V = 20m/s. ∴

L = 120m

FÍSICA

79

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 11

Solución:

5m/s

t sonido (vuelta)

A

Haciendo dos pistas paralelas para observar mejor lo que ocurrirá.

muro

5m/s 4s

80

Respecto de este observador, el móvil “1”

t sonido (ida)

Dos amigos parten desde un mismo punto y en la misma dirección con rapideces iguales a 5m/s y 36m/h. Luego de 2 minutos que distancia los separará.

FÍSICA

a)

(M.R.U.)

desplazarse respecto a él una distancia de 35

constante.

m.

Note que cuando la esfera llega a “C”, la Como:

C d

d

5m/s

su dirección, luego la esfera en el tramo A-B-C y al rebotar C-B-A no

PROBLEMA 14 La esfera de un material elástico se mueve sobre una superficie horizontal lisa, como se indica. Si al llegar a la pared la esfera rebota manteniendo su rapidez:

dM + (dAC + dCB) = 2d 120s

10m/s

5 × 4 + 340 × 4 = 2d 10 + 680 = d

2

∴ d = 690m

d

De la figura: d2 - d1 = d...(1) →

d = V.t

1200 - 600 = d ∴ d =600m

PROBLEMA 12

Dos móviles se mueven en vías paralelas en direcciones contrarias con velocidades de módulos V1=2 m/s y V2=3m/s. Si inicialmente se encuentran separados 25m, en la forma que se indica, determinar después de qué tiempo la separación será 10m por segunda vez. V1

Una persona se dirige hacia un muro con rapidez constante de 5m/s si lanza un grito cuando pasa por el punto “A”. Calcula la distancia del punto “A” al muro si escucha el eco luego de 4s. (Vsonido = 340m/s) 5m/s

muro

V2

b)

ttot = tA-B-C + tC-B ............... (1) t

B

C

Solución:

Solución:

A−B−C

tC-B =

a) La esfera en el tramo A-B-C y al rebotar CB-A, ¿experimenta M.R.U? b) Despreciando el intervalo de tiempo del choque. El tiempo que demora la esfera en ir de A-B-C y retornar de C-B es........... c) Para el caso (b) el desplazamiento que experimenta la esfera es ..........

25 m

El tiempo que demora la esfera en ir de A-B-C y retornar C-B es:

V = 5m/s A

PROBLEMA 13

10 × 120 - 5× 120 = d

=

dA −B−C

=

30

V dB-C

=

V

= 6s.

5 20 5

= 4s.

en (1) ttot = 10s.

c)

El desplazamiento (d) es aquel vector que parte de la posición inicial y llega a la posición final.

Inicial

tA-B-C

La forma más simple y elegante de resolver este problema es ubicarse en uno de los móviles y observar el movimiento del otro.

V = 5m/s

V = 5m/s

V = 5m/s

A d

A

B

B Final

C

d = 10 i m

A d

t=? (1)

5m/s

Solución:

Obs. (V=0)

V = 5m/s

Según el enunciado el joven sigue su marcha

V = 5m/s

tC-B

V = 5m/s

(2)

hacia el muro con la misma rapidez hasta que escucha el eco. Entonces nos piden “d”

permanece

experimenta M.R.U.

Luego:

1

velocidad

rel

35 m = 5m / s ⋅ t t=7s

Para el sonido:

la

velocidad cambia debido al cambio de

⋅ t

=V rel

tsonido (ida) + tsonido(vuelta) = 4s 120s

En el Movimiento Rectilíneo Uniforme

posee una velocidad de módulo 5m/s y debe

B dM

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

25 m

10 m

A

B

C

C

FÍSICA

81

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

82

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 05

Analice la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones respecto del movimiento mecánico: • Depende del sistema de referencia elegido. • Sus características sólo dependen de la trayectoria descrita por el móvil. • Es absoluto.

PROBLEMA 01

Si los móviles realizan M.R.U. determine la distancia que los separa luego de 10s desde la posición mostrada. 20 m/s

300 m 30 m/s

Rpta.:…………………

Un barco recorre 5 km hacia el Norte y seguidamente 12km hacia el Este. Determine el recorrido (e) y la distancia (d) del barco en dicho tramo. Rpta.:…………………

PROBLEMA 03

Rpta.:…………………

PROBLEMA 06 Si los móviles realizan M.R.U. determine luego de cuántos segundos desde las posiciones mostradas, el tren “A” estará 200m. delante de “B”. Los trenes viajan en vías paralelas. A

Una esfera ensartada en un alambre rígido desciende con velocidad constante. Si la sombra “s” que se proyecta en el piso tiene una rapidez de 24cm/s, determine la rapidez (en m/s) de la esfera. alambre rígido

54 km/h

200 m

B 100m

PROBLEMA 06

Un auto que realiza un M.R.U. recorre “D” metros en 10s y “D + 150” metros en 22,5s. Determine la rapidez del auto a) 2m/s b) 4m/s c) 8m/s b) 12m/s e) 15m/s

36 km/h

300 m

La gráfica corresponde a dos autos: “A” y “B”. Determine la velocidad de dichos autos. X(m)

S

A

Rpta.:…………………

B 40

PROBLEMA 04 Si la camioneta emplea 0,5s en cruzar el poste “A”. ¿Luego de cuántos segundos desde la posición mostrada terminará de pasar por el poste “B”? La distancia entre los postes es de 52,5m.

a) 20s d) 45s

b) 30s e) 50s

0

5

10

t(s)

c) 35s

PROBLEMA 07 Las esferas mostradas realizan un M.R.U., ¿a qué distancia del poste las esferas se encontrarán juntas?

10 m/s

20 m/s

80 m

a) 20m d) 40m

40 m

b) 25m e) 45m

c) 35m

PROBLEMA 08

Un auto realiza un M.R.U. con 30m/s. Cuando el auto está 850m antes de llegar a una persona parada en el costado de la pista se revienta un neumático. ¿A qué distancia de la persona se encuentra el auto cuando el primero escucha el sonido? Vsonido = 340m/s a) 775m. b) 790m. c) 820m. d) 750m. e) 800m.

Dos pequeñas esferas viajan con M.R.U. en vías paralelas tal como se muestra en el gráfico. ¿Luego de cuántos segundos la distancia que las separa es la menor posible? 10 m/s

180 m 37° 20 m/s

PROBLEMA 05 Rpta.:…………………

4 m/s

PROBLEMA 03 Un tren emplea 10s en ingresar a un túnel de 500m de largo y 15s en mantenerse completamente dentro del túnel. ¿Cuál es la longitud del tren? El tren realiza M.R.U. a) 120m b) 200m c) 220m d) 250m e) 500m

PROBLEMA 04

37°

5 m/s

30 m

Rpta.:…………………

PROBLEMA 07

Dos personas realizan M.R.U. tal como se muestra. Luego de cuántos segundos, a partir del instante mostrado, estarán separados 20m por segunda vez.

PROBLEMA 02 Un tren de 250m de largo y que realiza un M.R.U. emplea 10s en mantenerse completamente dentro de un túnel de 500m de largo. ¿Cuánto tiempo empleó el tren en cruzar el túnel? a) 30s b) 15s c) 35s d) 20s e) 25s

100 m

PROBLEMA 02

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Si las esferas realizan un M.R.U. determine la distancia que las separa luego de 8s. (AO = 200m; BO = 110m)

a) 2s d) 7,5s

b) 5s e) 8s

c) 7s

40 m/s

54 km/h Pilar

A

Rub én

Rpta.:…………………

B

O

PROBLEMA 08

Una hormiga camina por el borde de una regla graduada. Si en t = 6s se encuentra en la marca 5cm. y en t = 10s se encuentra en la marca 45cm, determine la rapidez de la hormiga. Rpta.:…………………

PROBLEMA 09 ¿Cuál es el intervalo de tiempo que transcurre desde que la esfera “A” se cruza con “B” hasta que lo hace con “C”?

20 m/s

5 m/s

a)

100m

d) 130m

b) 110m e) 150m

5 m/s

7 m/s

c) 120m 60 m

60 m

FÍSICA

83

a) 2s d) 7s

b) 3s e) 8s

c) 4s

PROBLEMA 10 A partir de la gráfica para dos autos “A” y “B” determine la distancia que los separa en t = 60s X(m)

t(s)

b) 6m e) 24m

c) 12m

PROBLEMA 11 En la figura calcula el tiempo que tarda el móvil en llegar al otro extremo si experimenta un M.R.U. 3m/s

2m/s

faja transportadora

b) 15s e) 12s

Un buque se traslada hacia el Este con una rapidez de 20Km/h. En un instante determinado, un segundo buque que se dirige al norte con una rapidez de 15Km/h, se halla a 125km al sur del primero. Determina la menor distancia de separación entre los buques. Considera MRU para ambos buques. a) 80Km b) 90km c) 100km d) 120km e) 125km

PROBLEMA 16

60m

a) 10s d) 30s

Una pelota de goma es lanzada hacia una pared vertical con rapidez constante de 20m/s, si la pared se encuentra a 400m y la pelota rebota horizontalmente perdiendo el 25% de su rapidez inicial. Calcula luego de cuanto tiempo estará a 250m del punto de lanzamiento. a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

PROBLEMA 15

37°

a) 5m d) 18m

PROBLEMA 14

FÍSICA

84

PROBLEMA 19 Un carro que se dirige a la rapidez de 20m/s toca la bocina en un instante determinado oyendo el chofer el eco después de 5 segundos. Determina la distancia del carro al obstáculo en el instante que se tocó la bocina, si la rapidez total del sonido es 340m/s. a) 1500m b) 1600m c) 1700m d) 900m e) 1900m

PROBLEMA 20

16°

0

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

c) 20s

Dos móviles van en la misma dirección. El móvil de adelante viaja con una rapidez (d/4)m/s y el móvil de atrás con (d/2)m/s; si inicialmente estaban separados dKm. ¿Qué tiempo emplearán en distanciarse nuevamente dKm.? a) 8000s b) 7000s c) 6000s d) 5000s e) 4000s

Dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto en sentido opuesto con rapideces constantes de 9m/s y 6m/s. Si después de recorrer 80m y 160m respectivamente ambos retornan. ¿A que distancia del punto de partida se vuelven a encontrar? a) 124m b) 125m c) 128m d) 127m e) 126m

PROBLEMA 21 Dos nadadores parten simultáneamente de uno de los extremos y en la misma dirección de una piscina de 90m de longitud con rapideces constantes de 3m/s y 2m/s. Considerando que no pierden tiempo en voltear. ¿Después de que tiempo se cruzan por segunda vez? a) 52s b) 53s c) 72s d) 55s e) 56s

PROBLEMA 22 PROBLEMA 12 Un niño ubicado en la orilla de un lago escucha una explosión a una distancia “d” de la orilla sobre el lago si el tiempo del sonido en el aire es 7s más que el tiempo del sonido en el agua. Calcula a que distancia ocurrió la explosión. Considera: (Vsonido(aire) = 340m/s) (Vsonido (agua) = 2720m/s) a) 2640m b) 1700m c) 850m d) 2720m e) 3225m

PROBLEMA 13 Calcula la distancia entre los puntos “P” y “Q” si un móvil que viaja a 2m/s tarda 8 minutos más que viajando a razón de 10m/s. a) 1100m b) 1200m c) 1330m d) 1400m e) 1500m

PROBLEMA 17 Si la rapidez del sonido en el agua es de 1700m/s y en el aire 340m/s. Determina a que distancia de la orilla y sobre la superficie del agua explotó una bomba, si la diferencia de tiempos entre el sonido transmitido por el aire y el agua es de 80 segundos. a) 30Km b) 31Km c) 32Km d) 33Km e) 34Km

En la figura el muchacho se desplaza a 5m/s y los móviles “A” y “B” a 20m/s y 10m/s respectivamente. ¿Al cabo de qué tiempo el muchacho escucha el choque entre A y B? (V sonido =340m/s) A

120m

PROBLEMA 18 Dos móviles “X” e “Y se mueven con movimientos uniforme, observándose en cualquier momento que la distancia entre ellos es el triple de la distancia del móvil “Y” al punto de partida. Halla la relación de rapideces entre “X” e “Y” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 13s d) 16s

B

450m

b) 14s e) 17s

c) 15s

PROBLEMA 23 Dos partículas A y B se encuentran separados 200m, si parten una hacia la otra con rapideces constantes de 20m/s y 50m/s. ¿qué distancia

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE separa a las partículas cuando B pasa por el punto de partida A? a) 50m b) 60m c) 70m d) 80m e) 90m

PROBLEMA 24 Dos móviles A y B parten simultáneamente de un mismo punto. El móvil A se desplaza a 2m/s en dirección este, mientras que B se desplaza a 1m/s en dirección norte 30° este. Determina la distancia que los separa luego de 10s. a) 8 d) 11

3m 3m

b) 9 4 m

c) 10 3 m

e) 12 3 m

PROBLEMA 25 Dos trenes de 50 y 100m de longitud se encuentran uno frente al otro, siendo la distancia entre sus partes delanteras de 1350m. Si parten simultáneamente uno hacia el otro con rapideces constantes de 50m/s y 25m/s. Determina después de que tiempo logran cruzarse completamente. a) 17s b) 18s c) 19s d) 20s e) 21s

PROBLEMA 26 Dos trenes con rapideces opuestas V 1 y V2 demoran 6s en cruzarse completamente, pero sólo 5s si las rapideces son V1 y 3V2/2. ¿Cuánto demorará uno en sobrepasar al otro si ambos viajan en el mismo sentido con las rapideces V1 y V2? a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

PROBLEMA 27 Una carreta es llevada por un caballo que mantiene en todo momento una rapidez constante. En cierto instante se rompen las riendas y la carreta queda libre deteniéndose al cabo de 10s, instante en el cual se encuentra a 80m del caballo. Hallar la rapidez del caballo. a) 14m/s b) 15m/s c) 16m/s d) 17m/s e) 18m/s

FÍSICA

86

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME variado Se usa el signo: Se denomina así a aquel movimiento rectilíneo

En movimiento acelerado

que se caracteriza porque su aceleración a

En movimiento desacelerado

permanece constante en el tiempo (en módulo y

d = 1 (4)(6)2 -

V0 : Rapidez inicial (m/s)

velocidad aumenta o disminuye uniformemente al

•

Vf : Rapidez Final (m/s)

transcurrir el tiempo, esto quiere decir que los

•

a

cambios de velocidad son proporcionales al tiempo transcurrido, o, lo que es equivalente, en

• •

e6to seg = 2 x 11 ∴ e6to seg = 22m

Un móvil aumenta su rapidez en 8 m/s durante 2s, recorriendo 20 m. Halla su velocidad inicial y final es m/s.

a=4m/s2

•

Solución: Recuerda que

t d

: Módulo de la Aceleración (m/s2)

e = v.t + 1

at2

2

: Intervalo de Tiempo (s) : Distancia (m)

40 = 2.t +

tiempos iguales la velocidad del móvil aumenta o disminuye en una misma cantidad.

DV V -V 8 m/ s = f i= = 4m/s2 t t 2s

a=

1 (4) t2 2

2s

Vi

2

2t + 2t - 40 = 0

ECUACIONES DEL MRUV

t

-4

t

5

∴ t=4s

t

V +V i)

Vf

A

d

B

FÓRMULA

1°

Vf = V0 ± a⋅ t

d=

i

PROBLEMA 02

Una partícula parte del reposo y experimenta una aceleración constante igual a 4 m/s2. ¿Qué distancia recorrerá en el sexto segundo de su movimiento?

Solución: N°

V0 =0

t

a=4m/s

5s

2

t

2

Vi + Vf =

2× 2 2

0 =20 ……. (1)

ii) Vf = Vi + at Vf - Vi = 8

6s

Vf a

t2 + t - 20 = 0

Vi

(4)(5)2

PROBLEMA 03

t

dirección). En este tipo de movimiento el valor de la

2

Solución: 2m/s

Leyenda:

2

Un móvil parte con una rapidez inicial de 2m/s y desarrolla un M. R. U. V. Con una aceleración de 4m/s2. Calcula el tiempo que tarda en recorrer los primeros 40m.

1

……………..…

(2) De (1) y (2) sumando: Vf = 14m/s En (1)

1 2°

d = V0 ⋅ t ± 2

2

2

2

a⋅ t

3°

V = V ± 2a⋅ d

4°

d = V0 + Vf 2 ⋅ t

f

0

∴

e6to seg d = Vot + 1 De la figura: d6to seg = d6s - d5s

2

at2

Vi = 6m/s

PROBLEMA 04 En los primeros dos segundos de movimiento un móvil recorre 8m en una pista horizontal, y un los siguientes 2 segundos recorre 16 m. Halla la aceleración del móvil.

FÍSICA

87

Solución: 2s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

Luego:

equidisten de un punto Q distante a 1000m del punto de partida.

V -V fi

2s

a

88

a =

Vi

Solución:

t V1=0

A

B

a=3

C

V4

=

2

∴ a = 7m/s

2

aAB = aBC = aAC Tramo AB:

2

PROBLEMA 06

d = Vit + 1 at2

(1)

2

3m/s2

Tramo AC

Q

e1 = 1 a1t

2

a1

2

e1= 1000 + x

e2 = 1 a2t2

e2= 1000 - x

2

Un auto pasa por un punto “A” con cierta rapidez luego de 4s pasa por otro punto B con una rapidez igual a tres veces su rapidez inicial. Si la distancia entre A y B es 112m. Calcula su aceleración.

Solución:

t1

a2

Sabemos que:

d = V.t +

a.t

3V

a .t a .t 1 + Vi.t + 2 2 2

2

1

2

2

A

B

PROBLEMA 08

A

Dos partículas se encuentran separadas 400m; si se acercan una hacia la otra a partir del reposo y

Solución:

a1

t

a2

t + tD = 73s .................. (1) dAB +

t 1

dBC

= 150m

MRUV

d = 1,3t + 1 a(7)2 = 150

V2=0

V1 =0

3t2 + 5t2 = 2(64) t2 = 16

C

t + tD + 7 = 80

MRU = 64

B

De la figura:

2

= 64

a=4m/s2

= 5t2

acelerando a razón de 1,5ms 2 y 2,5m/s2. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que estén separados una distancia igual a la inicial?

2

2

a .t +a .t

a

2

7s t

2

∴ t = 20s Nos piden el tiempo de encuentro en el M.R.U.V. De la figura: d1 + d2 = 64m………... (1)

Vi.t +

∴ t = 20s

tD

2

2000

En (1):

t = 4s

t2 = 800

2 8 2 t = 800 4

1,3m/s

1000 - x = 1 (4) t

2

2

2

∴ t = 4s

2 1,3t + 98 = 150

13 t = 52 10 t = 40s

Sabemos que:

PROBLEMA 07

(I) V2

V +V

2

2

5

×

Solución: 2

t2

a = 2m/s2

PROBLEMA 05

V+3V

2

1 t2 +

1000 + x = 1 (6) t2

1

∴

112 =

×

Un muchacho caminando a 1,3m/s recorre cierta distancia y luego se detiene un cierto tiempo para descansar. Reinicia luego su recorrido acelerando a 4m/s2 durante 7s. Halla el tiempo que estuvo detenido si en total ha recorrido 150m al cabo de 80s de haber partido inicialmente.

2

Solución:

8=8a

d

2

3

Luego:

Efectuando: Ec(2) - 2 × Ec(1)

V

2

a1t2 + 1 a2 t2 = 800

PROBLEMA 09

2

(2)

2

1

De la figura:

5m/s2

1

24 = V.4 + 1 a.16

2

P

Si dos autos parten desde el reposo con direcciones contrarias uno al encuentro del otro con aceleración constantes de 3m/s2 y 5m/s2. Calcula luego de cuanto tiempo se cruzarán.

2 8 = V.2 + 1 a.4

6m/s2 t a=4m/s2

V2=0

De la figura (II) e1 + e2 = 800m

1

t

1 P

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

=

i

2

.4

f

.t V = 14m/s

Dos móviles A y B parten del reposo simultáneamente de un punto P, y se desplazan en un mismo sentido con aceleraciones de 6m/s 2 y

V1

Reemplazando en (1) ∴ tD = 33s 2 1 4m/s2. Halla el tiempo que

debe pasar para que (II)

FÍSICA

89

PROBLEMA 10

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE dAB =

Un móvil pasa por dos puntos A y B de la 2

carretera acelerando a 4m/s demorándose 12s si su rapidez al pasar por B es el triple de su rapidez al pasar por A. Halla la distancia AB

Solución:

Luego : t2 =

a=4m/s2

Vo=?

= 5s

Si un auto inicia su recorrido con rapidez inicial de

Vf -V t

20m/s y pisa los frenos el conductor deteniéndose al cabo de 5 segundos. Calcula el recorrido total. Solución:

i

v = 24m/s

5s

12

20m/s

Vf+V

dAB =

t

b) En el tramo PN el móvil desacelera: ⇒ Vf = V o - at ⇒

Vf = 0

a

3v+v

i

2

N

detenerse tendría una rapidez de 6m/s, luego, la distancia que recorre en el último segundo será: V +V d = M N tMN 2 6 + 10 ⇒ d = ( 2 ) 1 = 3m.

PROBLEMA 12 dAB=??

dAB =

M

Vf=0

VN = Vp - at o

∴ eAB = 576m

PROBLEMA 11

f

.t d

=

M.R.U. 2

at = V.t 2 Reemplazando los datos, tenemos: 0 +1(0,5)t.t= 20t

Vo t +

2 Resolviendo: t = 80 segundos El policía alcanza al auto después de 80s. b) Cálculo de la distancia que recorre el policía, con M.R.U.V. 1 2 + at d= V ⋅ t 2 o 2

2 (0,5)(80)

d = 1600 m El policía recorre 1,6 km hasta alcanzar el automóvil.

V +V

2

1

d=0+

Vo = 48m/s i

M.R.U.V.

( )

c)

(V+V ) Sabemos que: d =

al automóvil, entonces las distancias que recorren ambos son iguales: d(policía) = d(auto)

Reemplazando los1 datos, tenemos:

O=V -6 8

t

2

a) La rapidez del automóvil es 72 km/h equivalente a 20 m/s. Si el policía alcanza

a) Dado que la aceleración del móvil es 6m/s2, esto indica que 1s. antes de

B

v-v

1s.

3V

A

4= 3

V=6m/s

210 42

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución:

t=8s

2

P

∴ ttotal = t1 + t2 = 19s

Por teoría, sabemos: a=

90

a=6m/s

Tramo BC: (M.R.U) d = V.T → 210 = V.t2

12s

V

(0 +42) × 14 → dAB = 294m 2

FÍSICA

o

f

t

total

Si un auto partiendo del reposo acelera a razón de 3m/s2, si como máximo puede experimentar una rapidez de 42m/s. Calcula el mínimo tiempo que tardará en recorrer 504m.

2

Reemplazando: d=(

Solución:

20+0 ) ×5 2

∴ d = 50m

d total = (48 + 0 ) 8 2 dtotal = 192m.

c) Cálculo de la rapidez del policía, con M.R.U.V: VF = Vo + a⋅ t Reemplazando los datos, tenemos: VF = 0 + (0,5)(80)

V = 40 m / s t1

V0=0

42m/s

t2

42m/s

a=3m/s2 B

A

Tramo AB: (M.R.U.V) → 42 = 0 + 3.t1

Vf = Vo + a . t

t1 = 14s

(V +V ). t dAB =

i

C

F

PROBLEMA 13

PROBLEMA 14

Un móvil experimenta un M.R.U.V. con una aceleración de 6m/s2. Si se sabe que demoró en detenerse 8s: a) ¿Cuántos metros recorrió enel último segundo de su movimiento? qué rapidez se encontraba inicialmente? b) ¿Con ¿Cuántos metros recorrió en total? c)

Solución:

f

2

Como el móvil demoró en detenerse t=8s, entonces está desacelerando con a=6m/s2.

Un automóvil, violando las reglas de tránsito se mueve a 72 km/h en una zona donde la máxima rapidez es 40 km/h. Un policía motociclista arranca en su persecución, del reposo con aceleración de módulo 0,5m/s2, justo cuando el auto pasa enfrente de él. Determinar: a) ¿Después de cuanto tiempo el policía alcanza al auto? b) ¿Qué distancia recorre el policía hasta alcanzar al auto? c) ¿Qué rapidez tiene el policía en el instante que alcanza al auto?

En el instante que el policía alcanza al automóvil, el policía tiene una rapidez de 144 km/h.

FÍSICA

91

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01

PROBLEMA 06

Un cuerpo se mueve rectilíneamente con MRUV con una aceleración constante de módulo 4m/s 2. Si después de 3s de pasar por el punto A su velocidad es de módulo 14m/s, determinar su velocidad cuando pasa por el punto A.

Un móvil se mueve rectilíneamente con una desaceleración de 2m/s2. Si al pasar por un punto el valor de su velocidad es de 12m/s y después de un tiempo T éste se encuentra a 35m de dicho punto, determinar el valor de T.

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 02

PROBLEMA 07

Un cuerpo que se mueve rectilíneamente con MRUV pasa por un punto con una velocidad de 6m/s y 4s. después su velocidad es de 18m/s. Determinar el valor de su aceleración.

Un móvil que se mueve rectilíneamente con MRUV pasa por un punto con una velocidad de 5m/s y 44m más adelante su velocidad es de 17m/s. Determinar el valor de su aceleración.

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

FÍSICA

92

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE del valor de su velocidad cuando pasó por B, determinar su aceleración.

PROBLEMA 11 Un móvil que se mueve con MRU pasa por un punto A con una velocidad 2V y 75m más adelante su velocidad es V. Si el tiempo que se tarda en recorrer dicho tramo es de 5s, determinar el valor de V. Rpta.:…………………

t = 4s. A

t = 2s. B

C

16m.

D 28m.

Rpta.:…………………

PROBLEMA 12

PROBLEMA 16

Un móvil que se mueve con MRUV pasa consecutivamente por los puntos A, B y C. Si cuando pasa por los puntos A y C sus velocidades son de 2 y 14 m/s respectivamente y el tramo que el móvil tarda en recorrer el tramo AB es el doble del que tarda en recorrer el tramo BC, determinar el valor de su velocidad cuando pasó por el punto B.

Si luego de 5s la paloma, que realiza un M.R.U., se encuentra a 25m del auto por primera vez, determine el módulo de la aceleración del auto que realiza un M.R.U.V.

20 m 10 m/s

Rpta.:…………………

PROBLEMA 03 Un cuerpo se mueve con MRUV con una aceleración de -4m/s2. Si cuando pasa por un punto su velocidad tiene un valor de 5V y 2 segundos después su velocidad tiene un valor V, hallar V.

PROBLEMA 08 Un móvil que se encuentra desacelerando a razón de 2m/s2 pasa por un punto A con una velocidad de 20m/s y después de recorrer una distancia d su velocidad es de 12m/s. Hallar d. Rpta.:…………………

190 m

PROBLEMA 13 Un móvil que se mueve rectilíneamente con una aceleración constante de 5m/s2 pasa por un cierto punto y 4s después el móvil se encuentra a una distancia d del punto anterior y posee una velocidad de 28m/s. Determinar d.

Rpta.:…………………

PROBLEMA 04 Un móvil se mueve con MRUV con una aceleración constante de 4m/s2. Si cuando pasa por un punto el valor de su velocidad es de 5m/s, determinar a qué distancia de dicho punto se encontrará luego de 2s.

PROBLEMA 09 Un móvil que se mueve con MRUV con una aceleración constante de 3m/s2 pasa por un punto con una velocidad V y 36m. más adelante su velocidad es 5V. Determinar el valor de V. Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

PROBLEMA 17 La gráfica adjunta indica cómo se comporta la velocidad de dos partículas en el transcurso del tiempo. Si en t = 0 las partículas están juntas, determine la distancia que los separa en t = 10s V(m/s)

PROBLEMA 14 Un móvil que se encuentra desacelerando a razón de 6m/s2 recorre el tramo AB mostrado en la figura en 2s. Determinar su velocidad cuando pasa por el punto B.

20

t = 2s.

Rpta.:…………………

PROBLEMA 05 Un móvil que se mueve rectilíneamente con una aceleración a pa sa por u n p unt o c o n una velocidad de 3m/s y 4s después se encuentra a 28m de dicho punto. Determinar el valor de su aceleración a. Rpta.:…………………

PROBLEMA 10 Un móvil que se mueve con MRUV pasa por un punto A con una velocidad de 10m/s y 3s después pasa por otro punto B con una velocidad de 16m/s. Determinar la distancia AB. Rpta.:…………………

A

B 28m.

Rpta.:…………………

PROBLEMA 15 Un móvil que se mueve con MRUV pasa consecutivamente por los puntos A, B, C y D. Si el valor de s velocidad cuando pasa por D es el doble

0

Rpta.:…………………

10

t(s)

FÍSICA

93

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 01

PROBLEMA 06

Un movil parte del reposo y se mueve con MRUV de modo que recorre 200m en los primeros 10s. ¿Qué distancia recorrió en el tercer segundo de su movimiento? a) 6m b) 8m c) 10m d) 12m e) 14m

Un automóvil disminuye el valor de su velocidad a razón de 4m/s2. Determinar el recorrido realizado en los 2 últimos segundos de su movimiento. a) 3m b) 6m c) 2m d) 8m e) 4m

PROBLEMA 07 PROBLEMA 02 Un movil que se mueve con MRUV recorre en cada segundo 5m más que en el segundo anterior. Determinar el módulo de su aceleración. a) 1m/s2 b) 2m/s2 c) 3m/s2 d) 4m/s2 e) 5m/s2

PROBLEMA 03

Un automóvil que se mueve con MRUV parte con una velocidad de 6m/s y acelera uniformemente a razón de 4m/s2. ¿Qué distancia recorre en el tercer segundo de su movimiento? a) 10m b) 12m c) 16m d) 8m e) 36m

Un móvil que se mueve con MRUV recorre “d” metros partiendo del reposo durante cierto tiempo “t” para luego recorrer 600m más durante los 10 segundos siguientes logrando triplicar su velocidad. Hallar “d”. a) 55m b) 65m c) 75m d) 85m e) 89m

PROBLEMA 04 Un auto que viaja con una velocidad de 36km/h aplica los frenos y se detiene después de recorrer 50m. ¿Qué tiempo demoró en detenerse? a) 2s b) 10s c) 15s d) 20s e) 25s

PROBLEMA 05 Un cuerpo que tiene MRUV sale del reposo desde el punto A. ¿Qué distancia recorre en el tramo CD?

A t=0

a) 5m d) 12m

3m B t=1s

94

PROBLEMA 11 Un tren parte del reposo de una estación y acelera a razón de 4m/s2 durante 10 s. A continuación viaja con velocidad constante durante 30s y finalmente desacelera a 8 m/s2 hasta que se detiene en la siguiente estación. Determine la distancia que separa las estaciones. a) 1,4 km b) 1,8 km c) 1,3 km d) 1,2 km e) 1,5 km

PROBLEMA 12 El bloque mantiene un M.R.U.V. sólo en el tramo “AB”. Si de A a C tardó 8s, determine V.

x C t=2s

b) 8m e) 15m

D t=4s

c) 10m

PROBLEMA 09 Dos autos se encuentran separados 500m y en reposo cuando de pronto comienza a moverse simultáneamente, uno al encuentro del otro, a razón de 0,3 y 0,5m/s2. Determinar después de qué tiempo se encontrarán separados 3 500m. a) 60s b) 100s c) 80s d) 50s e) 40s

PROBLEMA 10 Tres móviles parten de un mismo punto y se mueven en la misma dirección. Los dos primeros con velocidades constantes de 50 y 80m/s y el tercero parte del reposo y se mueve con una aceleración de 13m/s2. Después de qué tiempo los dos primeros móviles equidistarán del tercero. a) 8s b) 10s c) 15s d) 18s e) 25s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE constante, halle esta aceleración si se sabe que a 25m del punto de partida la velocidad de la partícula es 5m/s menos que cuando está a 100 m. a) 0,5 m/s2 b) 1,0 m/s2 c) 1,5 m/s2 2 2 d) 2,0 m/s e) 2,5 m/s

PROBLEMA 16 La velocidad de un bus es de 24 m/s, al fallar el motor va deteníendose uniformemente hasta parar al cabo de 4s, ¿a qué velocidad iba el bus cuando faltaba 3m para detenerse en m/s? a) 1 b) 2 c) 4 d)5 e) 6

PROBLEMA 17 A

PROBLEMA 08

¿Durante qué segundo un móvil que partió del reposo y se mueve con MRUV recorrió el triple de lo que recorrió en el tercer segundo de su movimiento? a) Cuarto b) Sexto c) Octavo d) Décimo e) Duodécimo

1m

FÍSICA

B

C a) 1 m/s d) 4 m/s

b) 2 m/s e) 7 m/s

c) 3 m/s

PROBLEMA 13 Cerca de un poste pasa un tren observándose que junto al poste la velocidad de la trompa es 16 m/s y luego de 7s pasa la cola del tren con una velocidad de 22m/s halle la longitud del tren. a) 123 m b) 133 m c) 143 m d) 153 m e) 163 m

Unos caballos tiran una carreta con una velocidad constante de 10 m/s, al romperse las riendas por la aspereza del camino desacelera la carreta con 2m/s2 mientras que los caballos siguen corriendo con la misma velocidad. Cuando la carreta llegue a detenerse, ¿a qué distancia de ésta se hallarán los caballos?, en metros. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

PROBLEMA 18 Un atleta corre con una velocidad constante de 7 m/s y puede percatarse que a 18m detrás de él viene un coche con una velocidad de 4 m/s y 2m/s2 de aceleración, ¿en cuánto tiempo más el coche estará pasando al atleta? a) 3s b) 4 s c) 5 s d) 6 s e) 7 s

PROBLEMA 14 Un tren de 50 m comienza a ingresar a un túnel de 75m con una rapidez de 20 m/s y justo cuando sale completamente tiene una rapidez de 30 m/s, determinar la rapidez que tenía 2s antes de iniciar su ingreso al túnel. (Considerar que los cambios de la velocidad es uniforme) a) 12 m/s b) 14 m/s c) 16 m/s d) 18 m/s e) cero

PROBLEMA 15 Una partícula parte desde el reposo con aceleración constante, halle esta aceleración

PROBLEMA 19 Desde el mismo lugar parten simultáneamente; un coche y un corredor de fondo, el corredor mantiene una velocidad constante de 6 m/s y el coche parte desde el reposo y acelera en la misma dirección con 4 m/s2, ¿qué distancia separa a los móviles a los 8s de la partida? a) 80 m d) 176 m

b) 90 m e) 196 m

c) 128 m

FÍSICA

95

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Muro

PROBLEMA 20 Para que una flecha salga de una arco con una velocidad de 14 m/s, recorre 0,7m. Halle la aceleración media que el arco produce sobre la flecha, en m/s2. a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150

PROBLEMA 21 Un cuerpo realiza un M.R.U.V. y su velocidad varía según la gráfica. Determine el módulo de la aceleración del cuerpo. V m/s

(V +10) m/s

0

0

2s

a) 2m/s2 d) 5 m/s2

b) 3 m/s2 e) 10 m/s2

c) 4 m/s2

PROBLEMA 22

D b) 305m e) 600,5m

c) 477,5m

PROBLEMA 24 Un auto parte del reposo y acelera a 2m/s2 durante 2s luego se apaga el motor y el auto desacelera debido a la fricción, a razón de 4cm/s 2 durante 10s. Entonces se aplican los frenos y el auto se detiene en 4s más. Calcula la distancia total recorrida del automóvil. a) 39,2m b) 49,2m c) 19,2m d) 39,2m e) 49,3m

PROBLEMA 25

Si la partícula realiza un M.R.U.V. y cruza los ejes x - y con un intervalo de 2,5s, determine el módulo de la aceleración de la partícula. (Vo = 7,5m/s) y(m) 2

Un móvil se mueve sobre una recta con movimiento rectilíneo uniformemente variado, en el primer segundo recorrió 70m y en le tercero 100m. ¿Cuánto recorrió en los dos primeros segundos de su movimiento? a) 155m b) 255m c) 125m d) 115m e) 135m

a) 0,5m/s b) 1m/s

24

2

PROBLEMA 26 2

c) 1,5m/s d) 2m/s

2 2

e)

2,5m/s

16° V0 x(m) L

PROBLEMA 23 En el instante en que el auto empieza a acercarse al muro desde el reposo y con una aceleración constante de 10m/s2 toca el claxon. Determine “D” si el conductor escucha el eco luego de 3s de haber emitido el sonido. (Vsonido = 300m/s)

96

PROBLEMA 28

10 m/s

a) 255m d) 525,5m

FÍSICA

Una motociclista se encuentra a 36m de un auto. Si ambos parten simultáneamente en igual sentido, donde la motociclista lo hace con una rapidez constante de 16m/s y el auto con una aceleración constante de 8m/s2. Halla la mínima distancia que pudo acercarse la moto al auto. a) 16m b) 17m c) 18m d) 19m e) 20m

PROBLEMA 27 Un móvil inicia su movimiento retardado con una rapidez inicial de 60m/s. Si la diferencia de distancias que recorrió en el primer segundo y el último segundo de su movimiento es de 48m. ¿Qué tiempo se tardó en detenerse? a) 1s b) 5s c) 3s d) 2s e) 4s

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 33

Un móvil recorre la distancia AB a una rapidez constante de 20m/s en 10 s. Si inicia el retorno con la misma rapidez desacelerando uniformemente y llegando con rapidez nula al punto “A”. Calcula su rapidez promedio para todo el recorrido. a) 28km/h b) 38 km/h c) 48 km/h d) 58 km/h e) 68 km/h

PROBLEMA 29

Un auto parte del reposo con una aceleración de 760m/s2. En el instante de la partida, se suelta un globo del coche que asciende verticalmente a razón de 5m/s. ¿Qué distancia separa el globo del auto cuando éste alcanzó una rapidez de 24m/s? a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 54

PROBLEMA 34

Un auto se pone en marcha con una aceleración constante de 3m/s2 hasta alcanzar la rapidez de 8m/s, corre a esta rapidez durante cierto tiempo y luego empieza a detenerse con una aceleración negativa constante de 6m/s2, hasta que se detiene. Halla su rapidez promedio si recorrió en total 40m. a) 5,6m/s b) 5,7 m/s c) 5,8 m/s d) 5,9 m/s e) 5,5 m/s

PROBLEMA 30 Un móvil que parte del reposo recorre 30m durante los dos primeros segundos. ¿Cuánto recorrerá en los dos segundos siguientes? a) 70m b) 80m c) 90m d) 60m e) 50m

Un móvil entre el 4° y 6º segundo de su movimiento uniformemente acelerado recorre 20m más que entre el 2° y 4° segundo. Determina su aceleración. a) 1m/s2 b) 2 m/s2 c) 33m/s2 d) 4m/s2 e) 5 m/s2

PROBLEMA 35 Dos móviles que están detenidos y separados por una distancia de 500m parten al mismo tiempo con aceleración constante de 2m/s2 y 3m/s2 desplazándose en el mismo sentido. ¿Qué tiempo emplea el segundo en adelantar 300m al primero? a) 10s b) 20s c) 30s d) 40s e) 50s

PROBLEMA 36

PROBLEMA 31 Un móvil parte del reposo, acelerando a razón de 5m/s2 y luego frena con una desaceleración constante de 2m/s2, si el móvil estuvo en movimiento durante 28 segundos. ¿Cuál es la rapidez máxima que alcanza?

De un mismo punto parten del reposo dos autos A y B, siguiendo trayectorias rectilíneas que forman entre sí un ángulo de 90°. Si sus aceleraciones son de 2m/s2 y 2,8m/s2 respectivamente, halla la distancia que los separa al cabo de 15s.

a) 40m/s d) 10m/s

a) 287m d) 377m

b) 30m/s e) 50m/s

c) 20m/s

c) 277m

PROBLEMA 37

PROBLEMA 32 Dos motociclistas van al encuentro uno del otro, partiendo simultáneamente del reposo de dos ciudades “A” y “B” con las aceleraciones constantes de 3m/s2 y 7m/s2. Si la distancia AB es de 80m. ¿En que tiempo se encontrará? a) 1s d) 4s

b) 387m e) 487m

b) 2s e) 5s

c) 3s

Un automóvil viaja tras un ciclista, a la rapidez de 36km/h. Cuando el ciclista se encuentra a 300m por delante, el automóvil acelera a razón de 1,2 m/s2. Determina en cuanto tiempo lo alcanzará si el ciclista viaja a rapidez constante de 7m/s. a) 20s d) 40s

b) 30s e) 50s

c) 10s

FÍSICA

97

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 38 Un automóvil parte del reposo y acelera uniformemente a razón de 0,5m/s2 durante un minuto, al término del cual deja de acelerar por espacio de un minuto más. Finalmente frena deteniéndose en 10 segundos. Determina la distancia total recorrida. a) 1850m b) 1950m c) 2950m d) 2750m e) 2850m

PROBLEMA 39 Un automóvil parte del reposo y con aceleración constante de 0,3m/s2, conserva este movimiento acelerado durante 2 minutos, al término de los cuales deja de acelerar, manteniendo constante su rapidez alcanzada. ¿Qué distancia recorrerá en los 5 primeros minutos del movimiento? a) 8240m b) 8640m c) 8540m d) 8440m e) 8340m

PROBLEMA 40 Un auto inicia su movimiento en “A” acelerando a razón constante de 4m/s hasta llegar a “B” en 3s cuando pasa por B se accionan los frenos y el auto se detiene 2s después, determina la aceleración constante durante el frenado. a) 3m/s2 b) 4m/s2 c) 5m/s2 d) 6m/s2 e) 7m/s2 2

PROBLEMA 41 Un cohete que inicia su movimiento asciende verticalmente con una aceleración constante de 5m/s2 mientras que el combustible se quema, si el combustible se acaba luego de 200s, determina la altura máxima que alcanza el cohete (g=10m/s2) a) 50km b) 75km c) 100km d) 150km e) 175km

7m/s

V0=0

20cm

a) 4s d) 10s

b) 6s e) 12s

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAIDA LIBRE

PROBLEMA 43 Un móvil pasa por un punto con una rapidez constante de 20m/s, luego de 3s empieza a desacelerar a razón constante de 4m/s2 ¿qué recorrido realizó el móvil desde que pasa por el punto mencionado hasta detenerse?. Considera pista rectilínea. a) 50m b) 60m c) 80m d) 110m e) 100m

Se verifica experimentalmente que si el cuerpo se encuentra cerca a la superficie de la tierra (alturas pequeñas comparadas con el radio de la tierra: Rt=6 400 km) la aceleración de la gravedad se puede considerar constante y su valor aproximado es:

Dos autos, “A” y “B”, que se mueven con M.R.U.V. en la misma dirección, pasan simultáneamente por un punto “P” con 10m/s y 20m/s y aceleraciones de 4 ɵ 2 ɵ 2 i (m/s ) y –2 i (m/s ) respectivamente. ¿A qué distancia del punto “P” estará el auto “B” si “A” se encuentra 25m delante de “B”? a) 30m b) 40m c) 45m d) 60m e) 75m

PROBLEMA 45 Dos autos realizan M.R.U.V. con a1 = 4m/s2 y a2 = 3m/s2. A partir del instante mostrado, determine el tiempo que transcurre hasta que estén separados 100m.

10 m/s

PROBLEMA 42

Este movimiento se puede considerar un caso particular del MRUV donde la aceleración constante (la aceleración de la gravedad) es conocida de antemano. Frecuentemente, el valor de la aceleración de la gravedad g se aproxima a:

g ≈ 10 m / s

Al dejar caer la esfera se inicia un movimiento de caída libre.

al movimiento vertical que describen los cuerpos al ser dejados caer o al ser lanzados verticalmente cerca de la superficie terrestre y sin considerar los

N° 1°

efectos del rozamiento del aire.

Fórmula V = V ± g⋅ t f 0 1 2 h = V0 ⋅ t ± g⋅ t 2 1 2 h = Vf ⋅ t ± 2 g⋅ t

2°

Se comprueba experimentalmente que en el vacío todos los cuerpos, sin importar su inercia, tamaño o forma, se mueven con una aceleración constante denominada aceleración de la gravedad (g).

3°

2

Si en un recipiente donde se ha extraído el aire se sueltan simultáneamente una esfera pesada y una pluma, éstos se moverán de una manera idéntica llegando a la base simultáneamente.

Observ. No hay h No hay V f No hay V 0

2

4°

V f = V0 ± 2g⋅ h

5°

h=

V +V 0 f 2

⋅ t

No hay t No hay g

Observación:

20 m/s a2

b) 3s e) 6s

2

ECUACIONES DEL MVCL

Se denomina Movimiento Vertical de Caída Libre

V

g

i)

76 m a) 2s d) 5s

2

g = 9, 8 m / s

PROBLEMA 44

a1 Un vehículo inicia su movimiento con una aceleración constante de módulo 1m/s2 en el instante que la luz del semáforo cambia a verde, en ese instante un ciclista se mueve a rapidez constante de 7m/s pero está a 20m detrás del vehículo, determina el menor tiempo que debe transcurrir para que dichos móviles estén juntos.

c) 8s

Mov. desacelerado signo (-)

esfera pluma c) 4s g

ii)

Vacío

Mov. acelerado signo (+) V

FÍSICA

99

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

100

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución:

Hallando el tAB: Vf = V0 - gt

V=0

gt = V0

H = VoB x t + ½ gt2

PROBLEMA 01

45 = ½ (10) t → t = 9s 2

Se lanza un objeto, hacia abajo desde una altura de 550m, demorando 10s en llegar al piso. Calcula la rapidez de lanzamiento. (g=10m/s2)

Solución:

2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

10 . t = 20 → tAB = 2

2

t

→ tbajada =3s

Por teoría tAB = tBC = 4s

En (1) tvuelo = 2 x 3 ∴ tvuelo = 6s

Luego:

1s

g

tCD = 5s

Tramo CD:

PROBLEMA 03 V t=10s 550m

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20m/s. Calcula después de que tiempo estará bajando con una rapidez de 6m/s. (g=10m/s2)

Solución: B

2

De la figura: H = Vo(t+1) + ½ g(t+1)2 ...... (1) h = Vot + ½ gt2 …………... (2)

V=0

C

g

6m/s

PROBLEMA 06

H = ½(10) (2+1)2 ∴ H = 45m

PROBLEMA 05

A

i)

Tramo AB: VfB = VoA - gtAB

Si una piedra es lanzada hacia arriba desde cierta altura con rapidez igual a 20m/s y el tiempo de vuelo es 9s. Calcula la altura de lanzamiento.

Solución:

0 = 20 - 10tAB → tAB = 2s ... (1) ii) Tramo BC :

B Vf=0 g

H = 225m

t = 2s Reemplazando en (1)

20m/s

PROBLEMA 02

Solución:

H = 100 +125 ∴

50 = Vo × 10 → Vo = 50/10

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, alcanzando una altura máxima de 45m. Calcula el tiempo de vuelo. g=10m/s2.

2

25 = ½ (10) (2t+1)

550 = Vo × 10 + ½ (10) (10) 2

∴ Vo = V = 5m/s

2

H = 20 x 5 + 10 . (5)

Luego: Restando (1) - (2) H - h = Vo t + ½ g (2t+1)

H = Vot + ½ gt2

gt 2

H = V0 x t +

Una persona que se encuentra en un globo aerostático, que se encuentra elevándose verticalmente con una rapidez de 30m/s, suelta una piedra. Si en el instante que suelta la piedra el globo se encuentra a 35m. de la tierra, determinar a qué altura se encontrará en el instante que la piedra llega a la tierra. (g=10 m/s2) V

Globo

B VB=0

VfC = VoB +g tBC

35 m

6= 10 x tBC → tBC = 0,6s ∴ Me piden tAB + tBC = 2,6s

45m

PROBLEMA 04 Un cuerpo es dejado caer en el vacío sin rapidez

V

20m/s A

C

inicial. Si en el último segundo recorre 25 m, se A

tvuelo = 2tAB

.....(1)

Analizando el tramo BA en la caída

puede concluir que fue abandonado desde una altura igual a:

Solución:

20 m/s H D

En el instante que la persona del globo suelta la piedra, esta posee, respecto de la tierra, exactamente la misma velocidad del globo en módulo y dirección.

FÍSICA

101

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución:

Debido a esto, un observador situado sobre la tierra verá que la piedra sube un poco, alcanza su altura máxima y luego desciende describiendo un MVCL.

C

PROBLEMA 01

2s

Un objeto se lanza hacia arriba con una velocidad de 40m/s. Calcular la altura máxima alcanzada por el objeto. (g = 10m/s2)

VB VB

ts

tb=ts

h

Rpta.:…………………

d

PROBLEMA 02 Un proyectil se dispara con una velocidad de 60m/s hacia arriba. ¿Cuál es la velocidad después de 2s? (g = 10m/s2)

Vo=40m/s A

Rpta.:…………………

j a)

t2 - 6t-7=0 (t-7) (t+1)=0

PROBLEMA 03

x

Dos segundos antes de alcanzar su altura máxima, la piedra está en “B”. Piden: dBC=? V=V-gt C

B

V

dBC = dBC =

globo

(

b)

d = 210 m De donde se deduce que el globo se encuentra en ese instante a una altura de 245 m de la tierra.

PROBLEMA 07

2 20 + 0

c)

a) ¿Cuántos metros recorre 2s. antes de alcanzar su altura máxima? = AB

Rpta.:…………………

)2

t

BC

PROBLEMA 04

⇒ dBC = 20m.

Piden el tiempo de retorno al punto de lanzamiento, es decir, el tiempo de vuelo (tv). tv = 2 ts .......... (1) En el tramo AC la piedra desacelera: VC = VA - gts O = 40 - 10t ⇒ t = 4s s

s

A los 6s. la esfera pasa por “B”, pero de retorno. Luego, el desplazamiento hasta dicho instante será: d=d

d

C

2

En (1): t v = 8s.

Una piedra se lanza verticalmente con una rapidez de 40m/s. (Considerando g = 10m/s2).

VB = 20m/s

+V B

d=30(7)

VB +

AB VA

⇒ d AB

2 En (2): d = 120 J m

= AB

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 50m/s. ¿Al cabo de cuánto tiempo el cuerpo tendrá una velocidad de 40m/s hacia abajo? (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

PROBLEMA 05 Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 20m/s. ¿Qué recorrido realiza la pelota hasta volver al punto inicial). (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

PROBLEMA 06

J ......... (2) t

Un objeto es lanzado hacia arriba con una velocidad de 30m/s. ¿Cuál es su velocidad luego de 2s? (g = 10m/s2)

BC

O = VB - 10 (2) ⇒

De donde deducimos que después de un tiempo t=7s la piedra llega a la tierra. En este tiempo el globo se habrá elevado una distancia. d=V ⋅ t

c) ¿Cuánto es su desplazamiento hasta el instante 6s. de su lanzamiento?

A y

– 35=30t-5t 2

PROBLEMA 07 Un cuerpo parte del reposo y desarrolla un movimiento vertical de caída libre. ¿En cuánto tiempo recorre los primeros 45m y cuál es su velocidad final? (g = 10m/s2)

Rpta.:…………………

g=10m/s2

Sea t el tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo. Utilizamos la fórmula en donde no interviene la velocidad final (2da fórmula): 1 2 h = V0 t − 2 gt

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

B Nivel de Lanzamiento

102

V=0

2s

b) ¿Después de qué tiempo la piedra retorna al punto de lanzamiento?

FÍSICA

20 + 40 ( 2

4

)

Un cuerpo se suelta desde una altura de 80m. ¿Después de qué tiempo llega al piso? (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

PROBLEMA 08 Un cuerpo parte del reposo y desarrolla un movimiento vertical de caída libre. ¿En cuánto tiempo recorre los primeros 45m y cuál es su velocidad final? (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

PROBLEMA 09 Un cuerpo es dejado caer en el vacío. Si en el último segundo de su caída recorre 35m se puede concluir que fue abandonado desde una altura igual a... Rpta.:…………………

PROBLEMA 10 Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad V y emplea un tiempo de vuelo de 4s. ¿Qué altura como máximo logró ascender? Rpta.:…………………

PROBLEMA 11 Desde la parte alta de un edificio se lanza una moneda verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20m/s. Si llega a la base del edificio en 5s, ¿cuál es la altura del adificio y con qué velocidad impacta? Rpta.:…………………

FÍSICA

103

PROBLEMA 12

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Desde un globo aerostático que sube con velocidad constante de 20m/s se suelta una esfera. Determine la separación entre estos hasta que la

impacta a la superficie?

esfera se detenga. (g = 10m/s2)

Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

Un cuerpo parte del reposo y desarrolla un movimiento vertical de caída libre. Se sabe que recorre 45m durante el último segundo de su caída. ¿Cuánto tiempo dura dicho movimiento y cuál es la velocidad final? Rpta.:…………………

PROBLEMA 18 Desde un helicóptero suspendido se suelta una granada que explosiona al impactar con el suelo. Determine qué tiempo transcurre desde que se suelta la granada hasta que el piloto escucha la explosión. (Considere: Vsonido = 360m/s; (g = 10m/s2) V=0

PROBLEMA 14 Una esferita se deja caer desde 45m respecto del nivel del agua y al llegar al agua su aceleración de caída se reduce a la mitad y es codirigida. ¿Qué velocidad tiene la esferita cuando llega al fondo del lago de 160m. de profundidad?

720 m

Rpta.:…………………

PROBLEMA 19

Un tomate es lanzado verticalmente hacia arriba con V0=30m/s desde la parte superior de un edificio de 80m. de altura. Calcular el tiempo que emplea el tomate en llegar a la base del edificio y con qué velocidad impacta.

PROBLEMA 01 Desde la base de un edificio se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a 60 m/s, si luego de 2s se encuentra en la mitad del edificio (por primera vez). ¿Cuál es la altura del edificio? (g = 10m/s2) a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m

PROBLEMA 02 Un observador situado a 35 m de altura ve pasar un objeto hacia arriba y 6s después lo ve regresar. Con que rapidez fue lanzado el objeto desde el piso. (g = 10 m/s2) a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s

PROBLEMA 03

Rpta.:…………………

PROBLEMA 15

104

Desde cierta altura una barra de 5m. se deja caer y simultáneamente desde el piso se lanza una canica con una rapidez de 50m/s verticalmente hacia arriba. ¿Qué tiempo demora la canica en pasar completamente a la barra? Rpta.:…………………

Rpta.:…………………

Se lanza un objeto hacia arriba con una rapidez de 10m/s. Después de qué tiempo la velocidad será 30 m/s. (g = 10 m/s2) a) 2 s b) 3 s c) 4 s d) 6 s e) 8 s

PROBLEMA 04 Desde lo alto de una torre de 180m de altura, se lanza un objeto hacia arriba con rapidez de 45 m/s. ¿Después de cuanto tiempo dicho objeto llega al piso? a) 3 s b) 4, 5s c) 7 s d) 12 s e) 15 s

PROBLEMA 20 PROBLEMA 16 Desde una altura de 9m se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez V. Determine V si la esfera llega a piso luego de 3s de haber sido lanzada. (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 17

Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Si en el último segundo de su caída libre recorre 25m, ¿desde qué altura se dejó caer y con qué velocidad

PROBLEMA 13

FÍSICA

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 40m/s. ¿Después de qué tiempo retorna al punto de lanzamiento? (g = 10m/s2) Rpta.:…………………

PROBLEMA 05 Un cuerpo se deja en libertad desde cierta altura y se observa que en el último segundo de su caída recorre 20 m. ¿Qué rapidez tiene al impactar en el piso? a) 15 m/s b) 20 m/s c) 25 m/s d) 30 m/s e) 35 m/s

PROBLEMA 06 Desde una misma altura se deja caer un cuerpo y simultáneamente otro se lanza hacia abajo con

una rapidez de 2 m/s. Después de cuánto segundo estarán separados 12 m? a) 2 s b) 4 s c) 6 s d) 8 s e) 10 s

PROBLEMA 07 Un globo aerostático se eleva con una velocidad constante de módulo 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra en llegar el tiempo que tarda la piedra en llegar a la tierra. (g = 10 m/s2) a) 6 s b) 9 s c) 12 s d) 15 s e) 18 s

PROBLEMA 08 Desde la parte superior de una torre se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. A qué distancia del punto de lanzamiento se encontrará luego de segundos? (g = 10 m/s2) a) 85 m b) 95 m c) 105 m d) 115 m e) 125 m

PROBLEMA 09 Un paracaidista después de soltarse de un helicóptero, cae en forma libre 80 m, abre en ese instante el paracaídas lo cual le produce un movimiento desacelerado con a = 2m/s2; llegando al suelo con una velocidad de 2m/s. ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire? (g = 10 m/s2) a) 20 s b) 21 s c) 22 s d) 23 s e) 24 s

PROBLEMA 10 Dos cuerpos se encuentran en una misma vertical en la Luna. En un determinado instante están separados por una distancia de 100 m y tienen velocidades iniciales opuestas de 10 m/s. Al cabo de cuánto tiempo se encontrarán? a) 1 s b) 2 s c) 3 s d) 4 s e) 5 s

FÍSICA

105

PROBLEMA 11 Determine la velocidad de la canica cuando pase por el punto medio del edificio si es lanzada verticalmente hacia abajo con 10m/s. (g = 10m/s2)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE una aceleración de 6m/s2 por efecto del agua. ¿Hasta qué altura de la superficie libre del agua ascenderá? a) 28,8m b) 26,2m c) 25,5m d) 22,5m e) 21,5m

FÍSICA

106

la primera. ¿Qué tiempo se moverá la segunda piedra hasta que la primera logra pasarla? a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s

PROBLEMA 21 PROBLEMA 16 80 m

a) 20m/s d) 50m/s

b) 30m/s e) 60m/s

c) 40m/s

PROBLEMA 12 Un globo aerostático sube verticalmente con rapidez de 20m/s. Cuando el globo se encuentra a una altura de 105m se suelta un tomate. Calcular el tiempo que emplea el tomate en impactar en el suelo y la velocidad de impacto. a) 2s. b) 3s. c) 5s. d) 7s. e) 9s.

PROBLEMA 13 Un proyectil es lanzado verticalmente y hacia arriba desde la parte superior de una torre con V0=30m/s. Si emplea en llegar a la base de la torre 9s, calcular la altura de la torre si en el penúltimo segundo de su movimiento recorre 45m. a) 100m b) 125m c) 135m d) 150m e) 180m

Un globo aerotástico se mueve verticalmente hacia abajo con una rapidez de 20m/s. En un instante dado el piloto del globo lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una rapidez de 35m/s respecto al globo. Simultáneamente el globo desacelera hasta detenerse en el suelo. ¿Cuál debe ser la desaceleración del globo si el objeto llega junto con el globo al suelo? a) 0.5m/s2 b) 1m/s2 c) 1,5m/s2 2 2 d) 4m/s e) 3m/s

PROBLEMA 17 Un objeto cae desde un globo aéreo que baja verticalmente con una rapidez de 15m/s. Determina la altura recorrida por el objeto luego de 10 segundos. a) 650m b) 640m c) 630m d) 620m e) 610m

PROBLEMA 18 Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el fondo de un pozo de 40m de profundidad con una rapidez inicial de 30m/s. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que la piedra pase por el borde del pozo? (g=10m/s2) a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s

PROBLEMA 14 Se deja caer una moneda desde la azotea de un edificio. Cuando pasa junto a una ventana de 2,2m de altura se observa que la moneda emplea 0,2s en recorrer la altura de la ventana. ¿Qué distancia existe entre la cima del edificio y la parte superior de la ventana? a) 5m b) 6m c) 7m d) 8m e) 9m

Una esferita de tecnopor es soltada en el fondo de un lago de 48m de profundidad y asciende con

PROBLEMA 22 Un cuerpo cae libremente y se conoce que recorre entre el momento que toca el piso y el antepenúltimo segundo de caída libre 300m. Halla el tiempo total de caída libre del cuerpo.(g=m/s2) a) 12s b) 13s c) 14s d) 15s e) 16s

PROBLEMA 23 Desde qué altura “H” se debe dejar caer un cuerpo, para que tarde 10s en recorrer los 13/49H que le falta para llegar al piso. (en metros) a) 24600m b) 24500m c) 24700m d) 24800m e) 26800m

PROBLEMA 24 Determina la altura máxima de un objeto que al alcanzar la quinta parte de dicha altura posee una rapidez de 20m/s. (g=10m/s2) a) 23m b) 24m c) 25m d) 26m e) 22m

Determina la altura de un edificio, sabiendo que un hombre, desde el borde de la azotea lanza una piedra verticalmente hacia arriba a 10m/s, esta llega a tierra luego de 8s. a) 220m b) 230m c) 240m d) 250m e) 260m

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio con una rapidez de 30m/s. Otra piedra se suelta 4s después de lanzar

simultáneamente el cuerpo B (esta abajo) se lanza hacia arriba con una rapidez inicial de 50m/h. ¿En que tiempo se encontrarán dichos cuerpos? (g=10m/s2) a) 2s b) 3s c) 4s d) 5s e) N.A.

PROBLEMA 27 Desde el penúltimo piso de un edificio se deja caer una piedra al mismo tiempo que del último piso se lanza hacia abajo otra piedra con una rapidez inicial de 4m/s, la distancia entre cada piso es de 7m. Calcula al cabo de qué tiempo estarán separados las piedras 3m. Dar el tiempo mínimo (g=10m/s2) a) 4s b) 3s c) 2s d) 1s e) N.A.

PROBLEMA 28 Del problema anterior Calcula en que tiempo estarán separados por segunda vez la distancia de 3m las 2 últimas piedras (t máximo) a) 1,5s b) 2,5s c) 3,5s d) 4,5s e) N.A

PROBLEMA 29 Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el techo de un edifico con una rapidez inicial de 30m/s, otra piedra se deja caer 4s después que se ha lanzado la primera. Halla el tiempo en que después de soltar la segunda se encuentran ambas a la misma altura. g=10m/s2 a) 2s b) 4s c) 6s d) 8s e) N.A.

PROBLEMA 30

PROBLEMA 19

PROBLEMA 20 PROBLEMA 15

Hallar la altura que alcanza un cuerpo que es lanzado hacia arriba si un segundo después del lanzamiento tiene una rapidez de 40m/s. (g=10m/s2) a) 123m b) 124m c) 126m d) 125m e) 127m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 25 ¿Qué altura máxima alcanza un cuerpo lanzado desde tierra, si en el último segundo de ascenso recorre la mitad de la altura máxima? (en pies). a) 32 b) 42 c) 34 d) 31 e) 41

Se lanzan verticalmente hacia arriba 2 cuerpos con la misma rapidez inicial de 100m/s. Después de cuanto tiempo se encontrarán a la misma altura si una se lanza 4s después de haber lanzado la primera. g=m/s2. a) 15s b) 14s c) 13s d) 12s e) N.A.

PROBLEMA 26 2 cuerpos A y B se encuentran en una línea vertical separados por una distancia de 100 metros, el cuerpo A (esta arriba) se deja caer y

PROBLEMA 31 Dos piedras se lanzan verticalmente hacia arriba y en el mismo instante, desde A y B con rapideces

FÍSICA

107

de 15 y 22,5m/s respectivamente, para qué instante “t” después del lanzamiento estarán al mismo nivel las 2 piedras. A

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

108

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 35 En el instante mostrado desde el globo aerostático que asciende se lanza un objeto hacia abajo con una rapidez de 8m/s respecto del globo. Si el objeto demora en pasar de A hacia B 2s, determina V(V>8m/s; g=10m/s2) V

B

Vx=15 m/s

Notamos que todo cuerpo que es lanzado al aire con una velocidad cuya dirección no sea vertical describe como trayectoria una curva, tal como se muestra.

Vy=0

C

1s

Vy=0

D Vy=10m/s

a) 1s d) 4s

b) 2s e) N.A.

c) 3s

A

25m

(b)

1s

(a)

80m

15m/s

15m/s E

Vx=15m/s

B

PROBLEMA 32 Un globo está ascendiendo y cuando tiene una a) 20m/s rapidez de 48 pies/s y se encuentra a una altura de d) 28m/s 128 pies, se lanza hacia abajo un lastre con una rapidez de 16 pies/s. ¿En cuánto tiempo el lastre PROBLEMA 36 llegará al suelo? (g = 32 pies/s2) a) 3s b) 6s d) 1s e) 4s

c) 2s

PROBLEMA 33

b) 48pies

d) 46 pies

e) N.A.

c) 26 m/s

VB

C

componentes

D

VA

1) La velocidad

V

en cualquier posición: A; B;

=10m/s Vy

d =V y

g

VC=Vx=15m/s

C

1s

Vx=15 m/s

D

A

dx:

1s

oy

x x alcance horizontal

Vx=15 m/s

E

=15m/s

Vx

dx

t±

d =V t

dy 53°

± gt

Vx=15 m/s

c) 3s Vy=20m/s

oy

Vy=20 m/s

B

4) Finalmente, el movimiento parabólico es compuesto

h V

Movimiento Parabólico

a) h d) 4h

b) 2h e) 5h

A

c) 3h

de Caída Libre

Movimiento Horizontal =

1 2

gt

2

3.2. Horizontalmente: En esta dirección no existe aceleración, entonces V x = CTE ; analizándose como un M.R.U., por tanto:

Vy=0

B

b) 2s e) 5s

sus

y

Vy = V y

horizontalmente dx simultáneamente

PROBLEMA 34 a) 1s d) 4s

,

analizan

Vy cambia, analizándose como un M.V.C.L.; por tanto usaremos:

Y

Se lanzan dos esferas simultáneamente tal como

se

3.1. Verticalmente: En esta dirección sólo existe aceleración de la gravedad, entonces

VD

C; .... siempre es tangente a la parábola. 2) El móvil avanza verticalmente dy

15m

V yV

B

A

g

dx

x

tBC=1s

2V

dx

independientemente.

20m/s

se muestra. Si la esfera lanzada desde A alcanza como máximo una altura “h” respectivamente del piso determina la distancia vertical que separa la esfera, cuando la esfera lanzada desde B, empieza a descender.

Vy=20m/s

3) Al descomponer la velocidad V

VC

20m/s

c) 64 pies

Vy=20m/s

Al analizar el movimiento parabólico de caída libre, debemos tener en cuenta:

Se muestra dos esferas que experimentan MVCL a partir del instante mostrado. Determina cuánto tiempo transcurre hasta que su separación de las esferas se a 25m.

Se lanza verticalmente hacia arriba 2 piedras con intervalo de 1s. la primera tiene una rapidez de 64 pies/s y la otra 112 pies/s. ¿A qué altura sobre el nivel del suelo se encontrarán ambas? (g=32píes/s2) a) 61,44pies

b) 24 m/s e) 30 m/s

(M.R.U.)

Movimiento Vertical +

(M.V.C.L.)

FÍSICA

109

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

110

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución: 10m/s

t

PROBLEMA 01

Vf = Vo - g

La altura de un acantilado es 20m, si desde él se lanza horizontalmente un proyectil con 10m/s. ¿Con que rapidez este proyectil llegará al mar? (g = 10 m/s2)

Solución:

12

V

•

20m

Luego: ts = tb = 5s •

PROBLEMA 03

540km/h, y a una altura de 2000m, si sueltan una bomba que justamente impacta en una base enemiga. ¿A qué distancia horizontal de la base

→V=

Solución:

y

En la vertical V0=0; H=125m

∴ V = 10 26 ≈ 51m/s H = V t+ 0

PROBLEMA 05

540km/h = 150m/s

Vy = 10 × 2 = 20m/s

Solución:

102 + V 2 = 10 1+ 25

enemiga fue soltada la bomba? (g=10m/s ).

20 = ½ (10)t → t = 2s ii) Vf B = Vo + gt

gt

2

2

125 = 5t2 → t2 = 25 → t = 5s En la horizontal (M.R.U)

En la figura halla “d”: V=10m/s

Luego Vi =

En la vertical: (En la subida)

2

2

5

Vf = Vy - gts → Vy = 50m/s

Un avión vuela horizontalmente a razón de Trabajando en la vertical i) H = Vot + ½ gt2

En la horizontal: 100 = 10 × tv → tv = 10s

∴ Hmax = 3m

Vi

En la figura, calcula “V”:

V×2

Vf2 = V02 - 2g Hmax 0 = 6g - 2g Hmax

Vy

PROBLEMA 06

10m/s

Luego:

10

d=V× t

V

Vy

V2 = 6g ........ (1)

10m/s

En la horizontal

∴ d = 10 x 4 = 40m

v

2

V=gx

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

d = V. t 2

2

10 + 20 m/s

100 = V × 5

Base

∴

Vi = 10 5

∴ V = 20m/s

PROBLEMA 07

0m

PROBLEMA 02

En la vertical:

Un proyectil es lanzado con una inclinación de 45°. Si su alcance horizontal es 12m. Determina su altura máxima. Considerar la aceleración de la gravedad en 9,8 m/s2 y despreciar la influencia del aire.

Solución:

Se lanzan cuatro cuerpos con rapideces horizontales de V; 2V; 3V y 4V ubicados a una misma altura “H”. ¿Cuál de ellos llegará primero a la superficie horizontal? (g=10m/s2)

H = Vot + ½ gt2 2km = 1 (10)t2

Solución:

2

2

2000m = 5t t

i) En ese instante

= 20s

V 2

y

∴ d = 150 x 20 = 3000m

V 45° V

PROBLEMA 04 12m

Luego en la horizontal:

o

= m/s

En la vertical Vy0 =0

La rapidez de un proyectil en el punto más alto de su trayectoria es 10 m/s. Si además su alcance

H = 80m

horizontal es de 100m. ¿Cuál fue el valor de la

H = V t+

gt

2

Por teoría el tiempo de caída libre vertical es

0

12 = V × tv ......

(1) En la vertical (M.V.C.L)

rapidez con la cual se lanzó el proyectil? (g = 10 m/s2) aproximadamente.

Solución:

2 80 = 5t2 → t = 4s

el mismo para cada móvil por lo tanto los cuatro móviles llegaron al mismo tiempo a

FÍSICA

111

tierra pero a diferentes espacios por la rapidez horizontal diferentes de cada móvil. En la vertical: (M. V. C. L) H = Vot + ½ gt

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución:

g

15m/s

t

2H

2

En la horizontal (M.R.U) 15m/s

V

d = V.t

s

80m

→ t1 =t2 = t3 = t4 =

2H s g

El tiempo t en la vertical y la horizontal son iguales.

V = 20m/s; Hmax = 80 En la vertical (t caída)

80= ½ (10)t2 → t=4s

En la vertical:

Luego en la horizontal: (M.R.U) 20m/s

d=V× t

H = V0 t +

→ d = dbomba + dtanque V0=0

= 200 × t + 15 × t

3a

a

Solución: Por teoría los tiempos de caída libre son iguales por ser lanzados desde la misma altura. En la horizontal: (d = v . t) dA= 3a = V1 × t1

Un hombre pretende cruzar un río de 40m de ancho, donde la rapidez del hombre es de 6m/s. Si la rapidez del hombre en aguas tranquilas es de 3m/s. Determina el tiempo que tarda en cruzarlo si se lanza perpendicular a la corriente.

Solución: Del enunciado VH = 3m/s ; Vrio = 3m/s

H = V0 t +

gt

2

2

80 = 0 + 5t2 → t = 4s → tv = 8s Luego (horizontal): d = V × tv ; tv = tiempo de vuelo. L

t1 = t2

∴ L = 160m tAC tAB

PROBLEMA 12

Luego dividamos ambas ecuaciones: 40m

3= 4 V

Halla el tiempo que emplea la pelota en su

1 2

PROBLEMA 09 El piloto de un bombardero que vuela horizontalmente con una rapidez de 200m/s a una altura de 80m, divisa un tanque enemigo que se mueve en sentido contrario a él. ¿A que distancia horizontal debe soltar una bomba para hacer blanco en el tanque que se mueve a una rapidez constante de 15m/s?

Reemplazando (1) en (2) 4(5t) = 5t2

= 20 × 8

C

dB= 4a = V2 × t2

∴

2

∴

B

V

2

4x = 5t2 ........ (2)

PROBLEMA 10

B

gt

80m

∴ d = 215 × t = 860m

A

3x = 15.t x = 5t ……… ... (1)

4x

53° 3x

Solución:

H = Vot + ½ gt2

¿En que relación deben estar las rapideces de lanzamiento de la partícula si se desea que caiga en los puntos “A” y “B”?.

5x

L

Calculemos “t” en la vertical:

PROBLEMA 08

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución:

Sabiendo que V = 20m/s. Calcula “L”. (g=10m/s2).

t

H = g t2 → t =

112

PROBLEMA 11

200m/s

2

FÍSICA

VR

VH

recorrido de A hasta B. 15m/s

A

De la figura tAB = tAC El hombre llega por “C” Luego: ∴ tAB =

B

dAB V

H

=

40 3

=

13,3s

53°

t = 4s

FÍSICA

113

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01

114

PROBLEMA 07

2

Una “canica” se lanza en “A”, luego 2s pasa por “B” con una rapidez de 20 m/s. Luego de qué tiempo desde su lanzamiento impacta en el plano inclinado. (g= 10 m/s2)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 10

Se lanza horizontalmente un proyectil sobre el plano inclinado, determine el alcance que logra

PROBLEMA 04

Si el vehículo pequeño describe un MRU, en el instante en que pasa por “A”, se lanza una pelota horizontalmente con una rapidez de 40 m/s. Determine la distancia que se encuentran separadas auto y pelota cuando está última impacta al piso. Desprecie efectos del aire.

FÍSICA

sobre éste.(θ = 45° yg =10m / s )

Una esferita es lanzada como se indica. Si ésta ingresa al agujero sin dificultad, ¿después de cuántos segundos del lanzamiento comienza a ingresar? (g = 10m/s2)

20m/s θ

g B

40m/s

50 m/s

53º

45°

20m A

10m/s

Rpta.: .................

65m

PROBLEMA 05 PROBLEMA 02 Una pequeña esfera es lanzada desde “A” e impacta perpendicularmente en la pared inclinada. Calcular el tiempo que emplea desde su lanzamiento hasta que ocurre el impacto (g = 10 m/s2)

Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

PROBLEMA 11

PROBLEMA 08

Rpta.: ..................

A

Según el gráfico mostrado. Determine el ángulo de inclinación () para el lanzamiento del proyectil. (Considere despreciable la resistencia que ofrece al aire)

53°

Determine luego se que tiempo de haber sido lanzado el proyectil, éste impacta en el plano inclinado. (g = 10 m / s ; α = 60 y θ = 30°)

Si los proyectiles “A” y “B” son lanzados simultáneamente desde las posiciones indicadas, determine en qué relación debe estar su rapidez de lanzamiento para que impacten. (g = 10m/s2) A

α

VA

40m/s

θ

50m/s

30 m VB B 37°

θ 50m/s

60m

Rpta.: ..................

53º

Rpta.: ..................

45º

A

Rpta.: ................

Rpta.: ..................

PROBLEMA 09 Del MPCL se verifica que t

PROBLEMA 06 Luego de lanzar el proyectil se observa que el alcance horizontal es de 60m. Determine la

PROBLEMA 03 La piedra mostrada realiza un movimiento parabólico. si de B a C tardó 2s, determine V. (g = 10 m/s2)

máxima altura que alcanza senθ=8 17

AB

Determine “H”

= 2t

PROBLEMA 12 BC

Una piedra se lanza horizontalmente con una rapidez de 10m/s desde la parte superior de una torre. Si llega a la superficie después de 4s, ¿qué distancia horizontal ha avanzado? (g=10m/s2)

A B

V H

B

Rpta.: .................. 17m

V θ C A C 160m

Rpta.: .................

80m

Rpta.: .................

Rpta.: .................

FÍSICA

115

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS

116

PROBLEMA 06

16º

Dos jóvenes juegan en una pendiente como se muestra. A lanza la pelota con rapidez horizontal de 10 m/s y B recorre con rapidez constante de 5m/s, atrapando la pelota. Determine a qué distancia (en m) se encontraba B respecto de A en el momento del lanzamiento.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 09

En el instante en que una embarcación pasa por el punto “P” se dispara un proyectil para destruirla, tal como se muestra en la figura. ¿Con qué rapidez se disparó el proyectil si la embarcación lleva una rapidez constante y se logra destruirla en la posición “B”? (g = 10m/s2)

A

PROBLEMA 01

FÍSICA

El móvil que resbala por el plano inclinado sale por el punto “A” con una rapidez de 10m/s. Al cabo de qué tiempo impactará con el piso? A 37°

V0 V=30m/s

B

y

37°

53º

10m/s

agua

x

a) 2 s d) 3 s

b) 2,2 s e) 3,5 s

c) 2,5 s

37º a) 18,75 d) 12,51

b) 17,85 e) 11,25

c) 15,87

b) 30m/s e) 10m/s

c) 40m/s

PROBLEMA 07

PROBLEMA 04 5m/s

a) 20m/s d) 60m/s

Un avión se desplaza horizontalmente con rapidez constante de 200m/s. Si de este avión se suelta un proyectil impactando a 2000m del blanco y en el mismo instante que impacta el proyectil se suelta otro proyectil, el cual impacta en el blanco, determine la altura en la cual se desplaza el avión. (g = 10m/s2)

32m

a) 4s d) 4,5s

c) 3,5s

PROBLEMA 10

Se lanza en forma oblicua una pelota con la finalidad de que ingrese a la canasta. Si el lanzamiento se efectúa con una velocidad inicial

V0 = 20 2m / s , calcular el tiempo que demora la pelota en ingresar a la canasta.

Una esfera se lanza horizontalmente con V=30m/s como el diagrama muestra. Calcula: A. El tiempo de impacto. B. La distancia “x”. C. La rapidez con que impacta el móvil. V=30m/s

PROBLEMA 02 Determine la rapidez con que impacta en el liso el 2

a) 600m d) 400m

b) 500m e) 200m

c) 26,5m

V0 15m

m

proyectil. (g =10 m / s ) .

PROBLEMA 05 80m/s

Piso

45°

Desde un helicóptero se suelta un proyectil. Si 2s después se dispara (desde el cañón en tierra) otro proyectil con una rapidez de 50m/s, el cual logra impactar con el primero luego de 2s de lanzar el segundo proyectil, determine d. (g = 10m/s2)

180m

60m

a) 0,5s d) 3s

b) 1s e) 4s

50m/s

A

Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 53° como en el diagrama. Luego de qué tiempo impactará y a que altura impactará?

α

d

PROBLEMA 03 a) 70m d) 90m

b) 60m e) 100m

c) 80m

b) 4s; 120m; 50m d) 3s; 180m; 40m

PROBLEMA 11

Cañón

c) 95 m/s

Determine el intervalo de tiempo de “A” hasta “B”. Si se trata de un MPCL. (g = 10 m/s2)

a) 4s; 100m; 80m c) 3s; 120m; 50m e) 3s; 120m; 30m

PROBLEMA 08

140 m

b) 90 m/s e) 110 m/s

c) 2s

Un proyectil es lanzado como se muestra. Determina su rapidez en el punto más alto de su trayectoria, α=37°; g=10m/s2.

10 m/s

a) 85 m/s d) 100 m/s

b) 3s e) 2s

a) 30 m/s d) 60 m/s

b) 40 m/s e) 70 m/s

c) 50 m/s

V0=50m/s

FÍSICA

117

a) 3s; 80m d) 4s; 80m

b) 2s; 75m e) 3s; 80m

c) 3s; 75m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE a) 15m/s; 20m/s c) 12m/s; 15m/s e) 20m/s; 18m/s

b) 20m/s; 15m/s d) 15m/s; 12m/s

118

PROBLEMA 19

PROBLEMA 16 Se lanza un cuerpo horizontalmente con una rapidez de 40m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en impactar con tierra? (g=10m/s2).

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 22

Un proyectil se dispara con una rapidez de 30 2 m/s. Si impacta en la ventana del edificio con 50m/s. Calcula “x”, si g=10m/s2.

PROBLEMA 12 Un proyectil se dispara con una rapidez de 30 2 m/s y un ángulo de elevación de 45°. ¿Cuál será la máxima altura que alcanzará? (g=10,m/s2)

FÍSICA

Se lanza una pequeña piedra con una rapidez V0 = 10m/s, como en el diagrama se muestra. Si la piedra se introduce en un tubo de modo que el movimiento coincide con el eje del tubo. Calcula los valores de x; y. g=10m/s2.

45°

V0

V0

Hmax

53° 45°

A

a) 30m d) 45m

y

45m

R

b) 35m e) 50m

1,2m

c) 40m a) 4s d) 4,5s

PROBLEMA 13 En el problema anterior. ¿Cuál es el tiempo que el móvil permanece en el aire hasta impactar en el piso? Calcula además el alcance “R”. a) 6s; 120m b) 5s; 180m c) 4s; 120m d) 6s; 180m e) 5s; 100m

b) 3s e) 2s

x

c) 3,5s a) 110m d) 300m

PROBLEMA 20

α a) 23,2m d) 18,2m

En la figura se indican los valores de algunas de las variables cinemáticas del movimiento de un proyectil en 3 posiciones diferentes. El proyectil fue disparado en O. Determina los módulos de sus velocidades en O y P, respectivamente. (g=10m/s2). V =12m/s P

O

37°

b) 13,2m e) 43,2m

60°

c) Sólo III

g 37°

37°

a) 2s d) 5s

b) Sólo II e) Todos

V0

c) 53,2m

En el movimiento parabólico no se cumple: I. En la altura máxima la rapidez es cero. II. La rapidez en todo instante es la suma vectorial de las rapideces de sus movimientos componentes. III. El tiempo de vuelo, depende del ángulo de lanzamiento. a) Sólo I d) Sólo I y II

Se lanza una esfera desde la base de un plano inclinado, como se muestra en la figura, con una rapidez inicial de 5m/s. Halla el alcance horizontal luego que retorna a la base del plano. (g= 10m/s2).

e

PROBLEMA 18 PROBLEMA 15

V2

60°

b) 1,2m; 2,6m d) 8m; 2,6m

PROBLEMA 23

Los dos proyectiles se disparan simultáneamente. Calcular el tiempo de encuentro. - V1- V2 = 4m/s - e = 10m V1

Un avión vuela horizontalmente con una rapidez de 150m/s a una altura de 78,4 m sobre un barco que se mueve a 20 m/s, en la misma dirección pero en sentido opuesto. ¿A qué distancia del barco el avión debe soltar una bomba para que impacte en el barco? (g=9,8m/s2) a) 680m b) 730m c) 846m d) 932m e) 1043m

c) 210m

PROBLEMA 17 Un indio desea clavar perpendicularmente a la pared una flecha. ¿A qué distancia horizontal se debe ubicar el indio para que logre su objetivo. V=30m/s; α=37°. (g=10m/s 2).

PROBLEMA 14

53°

b) 159m e) 400m

x

a) 8,4m; 3m c) 8m; 6m e) 6m; 8m

b) 3s e) 10s

c) 4s

PROBLEMA 21 Desde un globo aerostático que asciende verticalmente con una rapidez de 6m/s, se lanza una piedra horizontal (respecto del globo) con una rapidez Vx=5m/s. Si la piedra impacta en la superficie a 15m, de la vertical del globo, determina desde que altura se lanzó la piedra. (g=10m/s2). a) 15m b) 20m c) 27m d) 25m e) 30m

a) 1m d) 4m

b) 2m e) 5m

c) 3m

PROBLEMA 24 A partir del siguiente esquema. ¿Qué medida tiene “L” en metros? 70m/s

L 37° L

FÍSICA

119

a) 240m d) 180m

b) 220m e) 160m

c) 200m

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE PROBLEMA 28 Calcular el tiempo necesario para que la partícula lanzada con una velocidad de 50m/s colisione con la superficie inferior. (g = 10m/s2)

PROBLEMA 25 Si: V = 50m/s, calcula “α”

DINÁMICA

V0 53°

Dinámica es la parte de la mecánica que estudia la relación que hay entre el movimiento de los cuerpos y la causa que lo produce. En este caso estudiaremos la dinámica rectilínea.

45m

V

100

α

inercia de un cuerpo. Si quisiéramos mover dos esferas, una de plástico y otra de plomo, aunque ambas de forma idéntica, resulta más difícil mover la de plomo, porque contiene más inercia, porque tiene mayor masa. La unidad de la masa en el SI es el kilogramo (kg). →

a) 16° d) 53°

b) 30° e) 45°

a) 5s d) 12s

c) 37°

c) 10s

PROBLEMA 29

PROBLEMA 26

Dos objetos son lanzados horizontalmente en direcciones contrarias desde la misma vertical con rapideces de 20m/s y 30m/s y alturas de 80m y 45m respecto del piso respectivamente. ¿Qué distancia separa los puntos de impacto de los cuerpos en el piso? a) 110m b) 120m c) 130m d) 150m e) 170m

Calcula el tiempo de vuelo si en “P” V = 50m/s; θ = 37°. V θ

P

b) 8s e) 15s

320m

PROBLEMA 30 a) 8s d) 10s

b) 6s e) 12s

c) 4s

Las esferas son lanzadas tal como se muestran, determine la distancia que las separa luego de 1s. (g = 10m/s2)

INERCIA: La inercia es una propiedad intrínseca de todos los cuerpos en el Universo. El razonamiento de Galileo sobre el movimiento rectilíneo uniforme, sin la intervención de fuerzas externas es lo que se conoce como Ley de la inercia, que contempla también, por supuesto, a los cuerpos en reposo. LEY DE LA INERCIA Si la fuerza neta sobre un cuerpo es nula, no se producirá cambio alguno en la rapidez o dirección del movimiento del cuerpo. Por consiguiente el cuerpo estará en reposo (caso particular del MRU) o estará moviéndose en línea recta y a velocidad constante. La inercia se manifiesta como la oposición o resistencia al cambio de estado mecánico, cuando sobre un cuerpo queremos cambiar su velocidad.

PROBLEMA 27 →

Que valor tiene “h” en metros, si VB=40m/s. (g=10m/s2)

→

F =0R 53° 37°

45°° A

→

ACELERACIÓN a Cuando un cuerpo cambia su rapidez o la dirección de su movimiento, éste está acelerando. La aceleración expresa la rapidez con que un cuerpo cambia su velocidad. Se expresa en m/s2. →

a=

→

ΔV →(cambio o var iación de velocidad) Δ t →(int ervalo de tiempo) →

CANTIDAD DE MOVIMIENTO P Un cuerpo en movimiento no sólo se caracteriza por su velocidad, también influye la masa. Al producto de la masa por la velocidad de un cuerpo se le llama cantidad de movimiento, momentum ó ímpetu; es una cantidad vectorial, paralela y de igual dirección que la velocidad. →

Reposo

a) 20 2m

b) 30 2m

d) 60 2m

e) 70 2m

c) 50 2m

→

F =0R

→

→

V

V

→

P

→

P = mV

h

MRU VB

a) 40m d) 70m

FUERZA F La fuerza surge cuando dos cuerpos interactúan, en esta interacción la fuerza podría causar el cambio de estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Se mide en Newton (N).

b) 50m e) 80m

60°°

c) 60m

Unidad: Kgm/s

liso

MASA (m) La masa de un cuerpo está involucrada en su movimiento, porque influye en el estado del mismo, la masa es la medida dinámica de la

¿Qué cuerpo tiene mayor cantidad de movimiento? Una pelota de 0,5 kg que se mueve a 10m/s hacia el este, o un automóvil de 500kg que se mueve también a 10m/s hacia el este.

FÍSICA

121

0,5kg

500kg

10m/s

→

P = 0,5×10 i →

“La fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es igual a la razón de cambio de la cantidad de

10m/s

→

∧

P = 500×10 i

P = 5i kg m/s

∧

P = 5000 i kg m / s

La cantidad de movimiento no sólo depende de la velocidad del cuerpo, también depende de la masa (cantidad de inercia). El automóvil tiene mayor cantidad de movimiento que la pelota. ¿Cuál de los cuerpos estudiados anteriormente será más fácil detener? ¿Por qué? La pelota tiene menor cantidad de movimiento, por esta razón, será más fácil cambiar su cantidad de movimiento hasta volverse cero (hasta detenerlo) VARIACIÓN MOVIMIENTO

DE

LA

CANTIDAD

DE

(ΔP)

Para cambiar la cantidad de movimiento de un cuerpo (si su masa es constante), es necesaria la acción de una fuerza neta. La fuerza provocará un cambio en su velocidad de V a V y su cantidad de movimiento cambiará i i

122 F1 a F2

F1 + F2 = ma F1

m(V − V ) f

m

liso

a

i

t f

3. Cuando las fuerzas son perpendiculares. F1

i

F = ma ....

De esta última expresión, al ser la masa constante, nos permite enunciar la ley como sigue: “La aceleración que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa (m), donde la fuerza resultante y la aceleración tienen igual dirección”

N F2 La aceleración tiene la misma dirección que la resultante: R = ma 2

Siendo: R =

F1 + F

FR

i

4. Cuando se conoce la dirección de la aceleración

a = RF m

ΔP = m(V − V ) f

ΔP = mΔV

i

SEGUNDA LEY DE NEWTON La Ley de la Fuerza y la Aceleración cuando la masa no varía El cambio en la cantidad de movimiento se debe a la acción de una fuerza que actuará durante cierto intervalo de tiempo. El cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo se da, tanto si varía su masa como su velocidad; una simplificación de la ley es considerar la masa del cuerpo constante, lo cual significa que consideraremos únicamente el cambio en la velocidad. La segunda ley es expresa en los siguientes términos.

En el sistema internacional de unidades (SI), la unidad de la fuerza es el Newton (N). Así podemos decir que: 1N es la fuerza necesaria para comunicarle a una masa de 1kg una aceleración de 1m/s2.

liso

∴

a = gSenα

DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL • Aplicación al M.C.U

F4

Centro de Giro O

FC

FC

a

F1 + F2 + F4 - F3 = ma

VT

a

a F2senθ

2

CASOS EN DINÁMICA RECTILÍNEA 1. Cuando actúa una sola fuerza

F

mgSenα = ma gSenα = a Perpendicular al plano: N = mgCos

⇒

F3

F1 F2

FR= 1N a=1m/s

Paralelo al plano:

2 2

a

f

a

R

a

a = RF m

− P = mV − mV i

mgcosθ

→ →

a

f

mgsenθ

t

aPf

ΔP = P

N Descomponiendo la fuerza de la gravedad.

mayor fuerza.

V −V F=

mg F2

F1 - F2 = ma La dirección de la aceleración es la de la

Entonces:

F=

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

2. Cuando actúan dos fuerzas paralelas

Como la masa es constante: ΔP = m(V f − V i)

f

de P

FÍSICA

movimiento del mismo, y ese cambio tiene la misma dirección en la que se aplica dicha fuerza” ΔP F= Δt

∧

→

∧

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

liso

F1

VT

F2cosθ

a F2cosθ− F1 = ma

F=ma La aceleración tiene la misma dirección de la fuerza.

5. Cuando un cuerpo resbala por un plano inclinado sin rozamiento.

En esta parte de la Dinámica estudiaremos las condiciones que deben cumplir las fuerzas para que un cuerpo describa una trayectoria circunferencial. El estudio se fundamenta en la 2da Ley de Newton. Como recordaremos, en el movimiento circunferencial el móvil posee dos velocidades

FÍSICA

123

(tangencial y angular). Si el movimiento es circunferencial uniforme la velocidad tangencial se mantiene constante en su módulo pero cambia de dirección permanentemente. La rapidez con que cambia la dirección de la

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE 2.-

¿CÓMO HALLAR CENTRÍPETA?

LA

FÍSICA

124

PROBLEMAS RESUELTOS

FUERZA

De la Segunda ley de Newton:

ΣF↑

PROBLEMA 01

FC = m . ac ............(2) Reemplazando (1) en (2)

Un bloque de masa m=2kg es arrastrado sobre una superficie lisa con una fuerza F=10N. Calcula la aceleración que experimenta dicho bloque.

F

2

c

Vt

2

=wR

.........(1)

R

V

Donde: ac : Aceleración centrípeta, en “m/s2 “ Vt : Rapidez tangencial, medida en “m/s” o rapidez lineal.

w : Velocidad angular, en (rad/s). R : Radio de giro, medido en metros (m) 1.- ¿CUÁL ES LA CONDICIÓN DE TODO MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL? Para que un cuerpo gire con movimiento circunferencial debe existir sobre él una fuerza resultante mayor que cero, dirigida hacia el centro de la circunferencia denominada “fuerza centrípeta”, lo cual origina una “aceleración centrípeta” en su misma dirección.

=

ΣF↓

N+15 = 30N

velocidad tangencial se mide con la aceleración centrípeta.

a =

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FC =m Donde:

2

t

R

* Eje “x”: 2° Ley Newton

m FR = m x a 20 - fr = 3 × a

2

= m(w R)

Solución:

Por la Ley de Newton FR = m × a

20 - 5 = 3.a F

F=m× a 10N = 2kg × a

FC : Es la fuerza centrípeta o fuerza resultante en dirección radial dirigida hacia el centro de rotación, se le mide en newton “N”. a=

3.- FUERZA CENTRÍPETA (FC) Es aquella fuerza resultante en la dirección radial que origina todo movimiento circunferencial. Posee la misma dirección que la aceleración centrípeta.

FC =∑FRADIALES = m.ac -

∑F RADIALES

QUE VAN HACIA

QUE SALEN

EL CENTRO

DEL CENTRO

20 - µ . N = 3 × a

a

m : Es la masa del cuerpo, en “kg”.

FC = ∑F RADIALES

→ N = 15N

10 N 2 kg

=

10 Kg

a = 5m/s2

PROBLEMA 03

2

2 Kg . m/s a = 5 m/s2

Calcula la aceleración del bloque de 3kg si las superficies son lisas.

15N

m

PROBLEMA 02 Un bloque es jalado por la fuerza F=25N sobre una superficie áspera con µ = 1/3; si m=3kg. Calcula la aceleración que experimentará el bloque. F

Solución: Por la 2° ley de Newton

a

a

µ

m

37°

15N

FR = m.a 15 = 3.a A = 5m/s2

Solución:

PROBLEMA 04

D.C.L Bloque 30N

Calcula la aceleración que experimentará el bloque si F=25N, considera superficie lisas.

15N

a 37°

20N

F 53° 5kg

fr N * Eje “y” equilibrio

Solución: Descomponiendo la fuerza F.

FÍSICA

125 20N 25N

50N a 53°

5kg

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Por la 2° Ley de Newton FR = m . a

126

15N

F = 24N

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Por la 2° Ley de Newton: Fr = msist.a

PROBLEMA 08

F=8× 3

N

FÍSICA

Una persona de 50Kg se encuentra dentro de un ascensor y sobre una balanza. El ascensor acelera hacia arriba con 2m/s 2 determina la lectura de la balanza.

F = (M + 2M + M).a Luego: a= F

Solución:

PROBLEMA 07

4M

Solo hay movimientos en la horizontal por lo tanto la fuerza de 15N genera aceleración. Por la 2° Ley de Newton.

En la figura la pelotita pasa por el punto más bajo con una velocidad de 4m/s si la longitud de la cuerda es 2m, halla el valor de la tensión en la cuerda. m=4kg (g=10m/s2)

…. (1)

Haciendo una separación de los bloques (2) y (3)

500N

a

a

a = 2m/s2

FR = m × a

R

F

M

2M

R

M

15 = 5 × a Por la 2° Ley.

a = 3m/s2

La lectura de la balanza es numéricamente

Calcula la masa del bloque con a=2m/s 2. F=60N (g=10m/s2) F

m

Solución:

4M

Por la 2° Ley de Newton

F 4

F-R = 3

4M

R=F

4

R=F T

4

N = 600N

60N

PROBLEMA 10

PROBLEMA 09 60 - m.g = m.a La figura muestra 3 cuerpos en contacto por la acción de una fuerza “F”. La fuerza de contracto sobre el bloque 2 y 3 es:

V

60 = 12m

mg

2

m = 5kg

mg

Eje Radial

1

Por la 2° Ley de Newton En la figura calcula “F” si el bloque acelera con 3m/s2. liso 8kg

3

V=0m/s 2M

T - mg = m × V

2

Solución:

R

T = mV + mg

a

R

Reemplazando datos:

F

2

F

T = 4 ×

(4) 2

0,6m

i) Calculo de la aceleración del sistema.

2

a

M

Fcp = m × acp

F

Solución:

Un bloque es lanzado sobre un plano inclinado rugoso (µk=0.25). Si alcanza una máxima altura de 0,6m respecto a la horizontal. Determina la rapidez del lanzamiento. (g = 10m/s2)

F M

PROBLEMA 06

8kg

R=M. F

N - 500 = 50 × 2

R=2m

Por la 2° Ley de Newton en la vertical.

a=2m/s2

F-R=(M+2M). F

Fr = m.a

Solución:

Fr = m.a

igual a la normal (N).

D.C.L en el punto más bajo

g

Fr= m.a

N

m

PROBLEMA 05

Por la 2° Ley.

37° M

+4 × 10 T = 72N

V0

2M

M

FÍSICA

127

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

128

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

Solución: Vf = 0m/s B

B a fr N

30º

h = 0,6m

m mgCos37° 37°

mgSen37°

V

a) El diagrama de cuerpo libre de los bloques A y B. b) El módulo de la aceleración de los bloques. c) El módulo de la tensión en la cuerda que une a los bloques.

Solución:

mg

37°

a N

En la vertical del plano: Equilibrio N = mgCos37° ...(1)

PROBLEMA 05 Se abandona un bloque de 5kg sobre el plano inclinado como se indica. ¿Qué módulo tiene su velocidad después de 2s? Considere que la fuerza de rozamiento del plano inclinado tiene un módulo de 10N. (g=10m/s2)

Rpta.: ..................

a) D.C.L. (bloque A)

A

PROBLEMA 01 Si el sistema se abandona en la posición que se indica. Determine la tensión en la cuerda. (g=10m/s2)

PROBLEMA 02 Determine el módulo de la aceleración del bloque si se encuentra afectado a las fuerzas que se indica.

En el Tramo “AB”: Calcula de “a”

10N

20N 30N

Rpta.: ..................

Fr = m.a

30º 20N

-mgSen37° - fr = m.a

3 5

−

1 4

T

Si el globo aerostático sube con una aceleración constante de 2m/s2. Determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g=10m/s2)

5kg Liso 5kg

a

Como: g = 10m/s2

Rpta.: ..................

-6-2=a a = -8m/s2

40N

El signo es negativo ya que está en contra del movimiento. Finalmente por M.R.U.V. 2

PROBLEMA 03

D.C.L. (bloque B)

.mgCos37° = m.a

PROBLEMA 06 Determine el módulo de la tensión de la cuerda que une a los bloques A y B de igual masa. (g=10m/s2)

Por la 2° Ley de Nw.

-mg.

Rpta.: ..................

liso

La fuerza de gravedad se representa mediante un vector vertical hacia abajo cuyo módulo es: F = m.g b) Aplicamos la segunda ley de newton a cada bloque: bloque A: T - 10 = (2) (a) ...(1) bloque B: 40 - T = (4) (a) ...(2) sumando las ecuaciones (1) y (2): 40 - 10 = 6a ⇒ a = m/s2 ...(3)

2

VfB =V 0A - 2ª.dAB 0 = v2 - 2.8.1 16 = v2

PROBLEMA 07

Rpta.: ..................

PROBLEMA 04

c) La figura muestra dos bloques A y B de masas 2kg y 4 kg respectivamente. Sabiendo que no hay rozamiento, determine:

2m

3m

F

Determine el módulo de la tensión de la cuerda que une a los bloques A y B. (g=10m/s2) Rpta.: .................. 3kg

v = 4m/s

PROBLEMA 11

La figura muestra dos bloques de masas 2m y 3m. Determine el módulo de la tensión en la cuerda que une los bloques, sabiendo que F = 45N. No hay rozamiento.

PROBLEMA 08 3kg

Calculamos el módulo de la tensión reemplazando (3) en (1): T - 10 =(2) (5) Resolviendo: T = 20 newtons

4kg

Rpta.: ..................

La figura muestra dos bloques de masas 3m y 2m. Determine el módulo de la fuerza de reacción entre los bloques, sabiendo que F = 35N. No hay rozamiento.

FÍSICA

129

F

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

130

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 12

3m

2m

La figura muestra tres bloques A, B y C de masas 5 kg, 3kg y 2kg respectivamente. Sabiendo que no hay rozamiento, determine el módulo de la tensión en la cuerda que une los bloques B y C. (g =10 m / s 2 )

Rpta.: .................

PROBLEMA 09

B

Un hombre de 60 kg se encuentra en el interior de un ascensor parado sobre una báscula, ¿cuánto registrará ésta si el ascensor desciende con aceleración de módulo 5m/s ? Rpta.: .................

PROBLEMA 10

cable sea de módulo 35N. (g = 10 m/s2)

La masa de B es el doble de A y ambos se mueven con rapidez constante. Despreciando la masa de las poleas, determinar el coeficiente de fricción cinético entre el bloque B y el piso.

d) 1,5

b) 2,5 m/s2

m/s2

e) 0,5

PROBLEMA 04 El sistema mostrado tiene M.R.U.V., determine el módulo de la aceleración y el módulo de la tensión 2

(g =10 m / s )

J

A

a) 1,000 d) 0,15

PROBLEMA 13 La figura muestra dos bloques A y B de masas 2kg y 3kg respectivamente. Sabiendo que no hay rozamiento, determine el módulo de la tensión en la cuerda que une a los bloques A y B.

F

b) 0,75 e) 0,25

c) 0,50

(g =10 m / s ) 4kg

K

PROBLEMA 02 Determinar la aceleración máxima del bloque de masa M, tal que el bloque menor de masa m no resbale sobre el bloque mayor. El coeficiente de rozamiento entre los bloques es 0,6 y 0,8. (g =10 m / s 2 )

2

c) 7,5 m/s2

m/s2

en la cuerda JK. La masa de la esfera es 4 kg.

C

Rpta.: ..................

Del techo de una cabina de ascensor, cuelga un bloque de masa 4 kg. Determine el módulo de la aceleración del ascensor para que la tensión en el

a) 5 m/s2

PROBLEMA 01

B

A

2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

a) 7,5 m/s2 y 50 N

b) 7,5 m/s2 y 30 N

c) 7,5 m/s2 y 40N

d) 5,0 m/s2 y 40N

e) 4,5 m/s2 y 50N

m F

PROBLEMA 05 M

Rpta.: ................. A

B

PROBLEMA 11 Determinar el módulo de la aceleración de la cuña de masa “M”, tal que la esfera de masa “m” permanezca en reposo respecto de la cuña. No hay rozamiento. (g =10 m / s2)

Rpta.: ..................

a) 7,50 m/s2

b) 8,50 m/s2

c) 10,50m/s2 e) 1,25 m/s2

d) 12,50 m/s2

La figura muestra dos bloques A y B de masas 5 kg y 2 kg respectivamente. Sabiendo que no hay rozamiento, determine el módulo de la aceleración del bloque A.

PROBLEMA 03

PROBLEMA 14 El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque de 2kg y la superficie horizontal es 0,2. Determine el módulo de la aceleración del bloque. 50N

B

Determinar el módulo de la aceleración de los bloques de masas iguales. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal es 0,5. (g =10 m / s 2 )

A

m

F M

37º

37º 37º

2kg

m m

Rpta.: ................. Rpta.: ..................

a) 1,43 m/s2 c) 3,43 m/s2 e) 5 m/s2

b) 2,43 m/s2 d) 2 m/s2

FÍSICA

131

PROBLEMA 06 Un hombre se encuentra sobre una balanza móvil sobre un plano inclinado. Si la lectora en la balanza indica 30 kg, ¡cuál es la masa real del hombre?. No hay rozamiento. (g = 10 m/s2)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE a) 2m/s2 d) 6m/s2

b) 4m/s2 e) 32m/s2

c) 8m/s2

PROBLEMA 09 Un bloque de 5kg es lanzado sobre un piso horizontal liso. Determine el módulo de la aceleración del bloque cuando el resorte está deformado 2cm. (g=10m/s2) K=50N/M

FÍSICA

132

4s. Halla el coeficiente de rozamiento estático entre el ladrillo y el tablón aproximadamente. a) 0,5 b) 0,58 c) 0,9 d) 1,0 e) 0,75

PROBLEMA 13 Si las masas de los bloques “A” y “B” valen respectivamente 1Kg. y 3Kg. Determina el mínimo valor de “F” horizontal para que el bloque “A” no resbale sobre “B”. Los coeficientes de rozamiento entre los bloques valen 0,4 y 0,2 (g=10m/s2). F

45º b) 40 kg e) 70 kg

a) 30 kg d) 60 kg

2

c) 50 kg

PROBLEMA 07 Un insecto de 50g asciende verticalmente por una pared áspera acelerando a razón de 1m/s2. Determine el módulo de la fuerza de reacción de la pared sobre las patas del insecto. (g=10m/s2)

a) 1N b) 0,5N

a

2

a) 1m/s d) 4m/s2

b) 2m/s e) 5m/s2

PROBLEMA 10

a) 60N d) 120N

Según el gráfico determine la tensión en la cuerda. (mA = mB=10kg). (g=10m/s2)

PROBLEMA 14

b) 20N e) 100N

PROBLEMA 11 La esfera de 4kg se encuentra en reposo respecto del coche. Determine la aceleración del coche si la tensión en la cuerda es de 50N. a

20cm

b) 15m/s2 e) 0

liso

B b) 60 e) N.A

a) 80N d) 20

c) 40

PROBLEMA 15

c) 7,5m/s2

a) Lg/w2

b) g/ w2L

d) 4g/ w2L

e) 3g/ w2L

Un estudiante coloca un ladrillo sobre un tablón y gradualmente levanta un extremo, cuando la inclinación con la horizonte es de 30°, el ladrillo está por deslizar y cuando lo hace recorre 4m en

c) g/ w2 L2

Determina el módulo de la fuerza que ejerce el piso sobre la esfera de 6kg al pasar por el punto “A”. (Desprecie las asperezas y considere que en “A”, la aceleración centrípeta es de 3m/s 2) (α= 60°) q O α

bloque en m/s2

F2

F1 37°

a) 36N d) 12N

PROBLEMA 12 15cm

w

PROBLEMA 18

A

g

α L

La figura muestra un bloque de peso 5N. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es 0,1. Determina la aceleración del

En el instante mostrado el resorte se encuentra sin deformar, determine el módulo de la aceleración del collarín de 10kg cuando pase por A. (Desprecie todo tipo de rozamiento, K=400N/m) a) 30m/s2 d) 5m/s2

Halla el coseno del ángulo que forma la cuerda con la vertical, si la pequeña esfera de masa “m” gira con velocidad angular “w” constante.

c) 100N

A

c) 50N

37º

V

b) 80N e) N.A

F

PROBLEMA 08

PROBLEMA 17

Calcula el máximo valor “F” horizontal para que el cuerpo “A” de 2Kg. que se halla apoyado sobre “B” de 3 Kg. no resbale. Los coeficientes de rozamiento entre los bloques valen 0,4 y 0,2 (g=10m/s2).

liso

a) 10N d) 80N

PROBLEMA 16 Un bloque de 5Kg de masa se coloca sobre un plano inclinado 37° con la horizontal. Si resbala a través del plano con una aceleración de 2m/s 2. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético? a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) N.A

A

B

c) 3m/s

g

c) 0,22N d) 0,2N e) 0,18N

liso

2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

a) 5,4 d) 1,2

b) 3,6 e) N.A

c) 2,4

b) 48N e) 60N

c) 18N

PROBLEMA 19 Sobre una superficie horizontal áspera, se lanza un bloque de 1kg con una rapidez de 10m/s. Si

133

µs=0,8 y µk=0,5 (g=10m/s2). Calcula el tiempo necesario para que se detenga. a) 1s b) 2s c) 3s d) 0,2s e) 4s

PROBLEMA 20 Si la masa de 5kg es jalada por la fuerza “F” de 50N. ¿Con qué aceleración avanza la masa si µ =0,5?. Considera (g=10m/s2) µ=0,

F 37°

5kg

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

b) 3 m/s2 e) 6 m/s2

PROBLEMA 27

PROBLEMA 31

Un joven suelta una esfera de 4kg de la posición mostrada. Si la resistencia que ofrece el aire al movimiento de la esfera es constante y de 20N. ¿Luego de cuántos segundos de ser soltada llega al piso? (g=10m/s2)

Calcula la aceleración que experimenta el sistema mostrado. en m/s2.

w

a) 5 rad/s

a) 3s b) 5s c) 2s d) 4s e) 1s

µe

b) 7 rad/s c) 10 rad/s d) 11 rad/s e) 12rad/s

El bloque mostrado acelera hacia la derecha a razón de 4 m/s2 tal como se muestra. ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento cinético por parte de la superficie áspera. (En N)

m

c) 17 d) 18 e) 20

PROBLEMA 25

a) 64N b) 32N c) 48N d) 45N e) 46N

O

a) 1 rad/s c) 6 rad/s e) 5 rad/s

b) 4/3 rad/s d) 2/3 rad/s

e)

3 m/s2

La esfera de 4kg pasa por la posición más baja con una rapidez de 5m/s. Determina el módulo de la reacción normal en dicha posición. (g=10m/s2) (R=1m).

8Kg

Determina la fuerza de contacto entre los bloques mostrados; las superficies son lisas.

w

d) 7m/s2

A

6Kg 70N

V 4Kg

a) 120N b) 100N c) 150N d) 80N e) 140N

R 5m/s

30N

PROBLEMA 30 ¿Qué valor tiene la fuerza “F” si la masa de 20kg sube a razón de 1m/s2?. No hay rozamiento. (g=10m/s2)

a

PROBLEMA 26 Determina la aceleración del sistema mostrado y la tensión en la cuerda que une a los bloques; respectivamente en (m/s2 y N) las superficies son lisas. 20N

a) 4 y 36 d) 5 y 40

B

a 50N

PROBLEMA 22

L

Sobre un bloque se aplica dos fuerzas coplanares horizontales F1 y F2 de valores 10 3 N. Cada uno y que forman un ángulo de 60° entre sí. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,6 y el bloque pesa 20N. Halla la aceleración del bloque. a) 2m/s2 b) 9m/s2 c) 8m/s2

Determine en cuánto tiempo el niño, que se suelta en A, llega a B. (Desprecie toda forma de rozamiento, g=10m/s2)

30º

Calcula la rapidez angular que desarrolla la masa del péndulo físico mostrado en la figura. L=12,5 m y θ=37°.

θ

7 Kg

PROBLEMA 29

a) 13 b) 14 F

a) 3 b) 5 c) 7 d) 4 e) 8

V

µ a) 10N b) 25N c) 50N d) 30N e) N.A.

3 Kg

PROBLEMA 32

PROBLEMA 28

PROBLEMA 24

PROBLEMA 21

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 23

c) 4 m/s2

Si el bloque “m” avanza a rapidez constante y es accionado por la fuerza “F” de 50N. Calcula la fuerza de rozamiento.

134

Calcula la rapidez angular mínima que le impide resbalar al bloque sobre la superficie cilíndrica de radio 0,4 m y coeficiente de rozamiento estático 0,25.

R a) 2 m/s2 d) 5 m/s2

FÍSICA

5m

FÍSICA

9Kg 11Kg

b) 2 y 38 e) N.A.

m F

60N

c) 3 y 35

30°

a) 120N d) 60N

b) 100N e) 90N

c) 80N

a) 1s d) 4s

b) 2s e) 5s

c) 3s

FÍSICA

136 F V

V F

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE →

→

V

F

F

F F

→

W (V)= A

A = W F(V) ∴ W = -F.dF

∴ WF = +F.d

∴ WF = 0

x

→

x

• Cuando F

forma un ángulo θ con

la

velocidad.

Realizan un trabajo

F θ

x

F2

F1

d

V F3

FR d

cosθ

F4

F

W = F×d cosθ W = Notamos que el trabajo realizado por el oficinista

ANÁLISIS GRÁFICO ( F vs x) • Para = constante:

d

N

∑

W= W

ó también: se diferencia del trabajo del obrero en que este último ejerce continuamente una fuerza sobre el paquete transmitiéndole movimiento mecánico. Dicho trabajo viene acompañado de la superación de ciertas resistencias que pueden ser la gravedad, la fricción, la inercia, etc. Si no se transmite movimiento a un cuerpo, así se le aplique una fuerza no existirá trabajo mecánico por parte de dicha fuerza.

F

V

Y

F

F

X

Realizo un trajo mecánico porque transmito movimiento mecánico V

El trabajo depende de la fuerza “F” y la distancia “d” lograda en un movimiento.

d

x0

La cantidad de trabajo realizada por la fuerza se determina por la expresión.

xf Se observa:

f

d = xF - x0 = Ax W F = F Ax = F (xF -x0)

W =±F×d ¿QUÉ ES EL TRABAJO MECÁNICO? Es el proceso de transmisión de movimientos mecánicos de un cuerpo a otro; dicha transmisión se da por medio de una fuerza.

F

F : módulo de la fuerza (en N) d : distancia desplazada (en m) Unidad: 1 N × m < > Joule (J)

Y F

Consideraciones:

A

• Siempre que la dirección de la fuerza y el de la velocidad coincide el trabajo se considera positivo. Esto significa el paso de movimientos del cuerpo “motor” al cuerpo “movido”. • Si la fuerza es opuesta a la velocidad del cuerpo el trabajo es negativo. Físicamente el movimiento transmite del cuerpo “movido” al cuerpo que ejerce la fuerza. • Si la fuerza es perpendicular a la velocidad el trabajo es nulo.

x

x

0

f

Área: A = F (xf - x0)

X

A = WF •

Este método gráfico, para el calcular el trabajo mecánico realizado por una fuerza constante, también se cumple cuando la fuerza varía en módulo.

x

TRABAJO NETO (Wneto): Es la suma del trabajo de todas las fuerzas sobre un cuerpo para un determinado tramo.

V

→

→

f

0

FR: Fuerza resultante

F1

+W

W

N

F2

=W

+W FR

F3

+W

= F ×d R

F4

FÍSICA

137

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

138

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01 La figura muestra un bloque de 2kg que se desplaza sobre un plano inclinado desde A hasta B. La cantidad de trabajo que realiza la fuerza de rozamiento en el tramo AB es - 40 joules. (g= 10m/s2)

g=10m/s2

W

A→B

= W

F

A→B

+W

mg A→B

+W

N A→B

+ W

WNETO = Wf +WF+Wmg+WN WNETO = (-120)+(+800)+(-360)+(0)

Fricción

A→B

∴ W

B

PROBLEMA 03

Solución:

Un cajón de 5 Kg. es jalado una distancia de 4m en forma horizontal. Calcula el trabajo desarrollado por dicha fuerza. (g=10m/s2)

F F=23i(N)

50N

w

N F

A

= 320 J

NETO

A

B

6m

W NETO = ∑W

Planteamos:

F=100N

c) La cantidad de trabajo neto es la suma de trabajos parciales: neto

d) W NETO = ?

B

v

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

mg

37°

mg=60N

µ=0

B N

A

8m

La reacción normal (N) no realiza trabajo entre A y B.

C

Determine: a) La cantidad de trabajo que realiza la fuerza de gravedad entre el tramo desde A hasta B. b) La cantidad de trabajo que realiza la fuerza constante F = 23i(N) en el tramo desde A hasta B. c) La cantidad de trabajo neto en el tramo desde A hasta B.

a)

La cantidad de trabajo hecho por la fuerza de gravedad desde A hasta B es negativo: mg

W

A→ B

= − mgh =−(2)(10)(6) =− 120 joules

b)

…..(1)

30N

neto A→B

50N

= 184 − 120 + 0 − 40 A

37° 40N

N

neto

W

A→B

= + 24 joules a) bloque

asciende

N

Wf=12N = ? Planteamos:

4m Wf = -f · d1

Wf = -12 × 10m = -120J

PROBLEMA 02 Si el bloque de 6kg. que se muestra experimenta por parte del plano inclinado una fuerza de

Sabemos que: F

W =F ×d b)

rozamiento de módulo 12N y el F es una fuerza constante, entonces, desde A hacia B:

a) Determine la cantidad de trabajo de dicha fuerza de rozamiento sobre el bloque. b) Determine la cantidad de trabajo de. c) Determine la cantidad de trabajo de la fuerza F de gravedad. WA→B = Fx ⋅ dx = (23N)(8m) = 184 joules d) Determine la cantidad de trabajo neto sobre el bloque. =+ 184J ....(2)

La cantidad de trabajo hecho por la fuerza F es positivo:

N

F

Entonces el aceleradamente.

Solución:

mg

Reemplazando en (3) tenemos:

W

Solución:

F=100N

W

F=100N

=?

Planteamos: W F = +F · d2 WF = +100N × 8m = +800J

c)

Fx = 40N Fy = 30N ∴ W F=40.4 = 160J

Debido a que el movimiento ocurre en la horizontal.

Wmg=60N = ? Planteamos:

Wmg = -mg · h

Wmg = -60N × 6m = -360J

PROBLEMA 04 Calcula el trabajo que realiza la fuerza F = 10N. Si el bloque se desplaza con rapidez constante de 10m/s durante 5s. desde “A” hasta “B”. F A

B

FÍSICA

139

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Solución: 10m/s

F

D:C1 (m)

PROBLEMA 01

20N

10N

fk

i) Sabemos que:W F =F.d ii)

F

W = 10N.50m =

F=10N 37º

F=20N

FK = µK.N = (0.5) x 20 = 10 N

µk=

0,2

g

Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

WNETO = 0 + WF + 0 +WfK

PROBLEMA 05

PROBLEMA 02

W NETO = + 80 x 3 + (-fK x d)

Calcula el trabajo desarrollado por la fuerza F = 30N para llevar el bloque de 2Kg hasta una altura de 10m. (g=10m/s2)

5m

0,02km

WNETO = WFG + wF + wN + wfK 500J

PROBLEMA 05

Determine la cantidad de trabajo neto efectuado sobre el bloque al desplazarse de A hacia B si la fricción del piso sobre el bloque mide 2N.

W NETO = 240 - 10 x 3 = 210J Conclusión :

Determine la potencia realizada por la fuerza F para deslizar al bloque de 20kg. lentamente en un intervalo de 2s. F

F=18N

µk

=0,2

W NETO = W FR ; FR=Fuerza Resultante 20m

10m

m PROBLEMA 08

Solución:

V0=0

PROBLEMA 06

PROBLEMA 03 Determinar la cantidad de trabajo neto que se realiza sobre el cuerpo de 6kg. para trasladarlo desde A hacia B tal como muestra la figura. La fuerza F es constante. (g = 10m/s2).

m

Nos piden:

µ

F

W =F.H

6m/s

F

W = 30.10

Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

Calcula el trabajo que desarrolla la fuerza de rozamiento en el tramo AB. (g=10m/s2) m=4kg. A

F = 30N

Determine la cantidad de trabajo neto para deslizar al bloque de 4kg. de A hacia B.

N

Por M.R.U: d = v . t d = 10m/s.5s = 50m Reemplazando en (1) :

F

PROBLEMA 04

Determine la cantidad de trabajo en Joules realizado por F sobre el bloque en el desplazamiento de A hacia B.

B

d

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PRÁCTICA CALIFICADA

80N

A

140

Solución:

5s

10m/s

FÍSICA

5m

Determine la cantidad de trabajo de F = 20N para un desplazamiento de 0,03 km (en Joule) F

Rpta.: .................

B

F

W

α

= 300J

mg=20N

PROBLEMA 07

B 3m

Solución: Por el teorema del trabajo de la fuerza no conservativa (fr) y la EM.

PROBLEMA 06 Calcula el trabajo total o neto sobre un bloque en un recorrido de 3m. Si masa=2kg, g = 10 m/s 2, µk =0,5 y F= 80 N.

F=80N

W FNC = EMfB - EMiA fr

A

4m 3m

2

W = ½(4)(6) - mg H Wfr = 2 x 36 - 4 x 10 x 5

liso

A

Determine el trabajo realizado por la fuerza de gravedad, cuando el bloque pasa desde “A” hasta “B”. (Masa del bloque = 2 kg) (g = 10 m / s 2 )

Rpta.: .................. 37º

k

B

∴ Wfr = 72 - 200 = -128J Rpta.: ..................

FÍSICA

141

PROBLEMA 08

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

142

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 12

Un cajón debe moverse recorriendo 2m en una mesa, jalándolo con una fuerza de 10N, que forma un ángulo constante de 37º con la horizontal. Determine la cantidad de trabajo que efectuará esta fuerza.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Si las fuerzas F1 y F2 tienen igual magnitud de 15N. Determinar la cantidad de trabajo neto para

PROBLEMA 01

un recorrido de 2m.

PROBLEMA 05

Determine el módulo de la fuerza F que realiza un trabajo de 2 kJ para trasladar un bloque de 5 kg de A hacia B.

F1

Determine el trabajo realizado por la fuerza de gravedad al ir de A hacia B si la esfera de 5 kg es soltada en A.

V

Rpta.: .................

F

F2

liso g=10m2

5m

PROBLEMA 09

s

Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de gravedad y la fuerza constante “F” cuando el bloque pasa desde “A” hasta “B”. (Masa del bloque = 5 kg) B g=10m/s

2

9m

0,1 km Rpta.: ..................

b) 20 N e) 5 N

Si un cuerpo cae con M.R.U., determine la cantidad de trabajo hecho por la fuerza de gravedad, en un descenso de 12m, si el aire ejerce una resistencia de 30N.

B

PROBLEMA 02 Determine el trabajo neto realizado sobre el bloque de 7 kg para trasladar el bloque de A hacia B. 50 N 37º µ=0,25

7m

PROBLEMA 14 Rpta.: .................

PROBLEMA 10 Determine la cantidad de trabajo neto, realizado sobre el bloque de 10 kg en un recorrido de 5m. ( F1 = 50N ; F2 = 30N y no existe rozamiento)

Un bloque de 6 kg se desplaza por un terreno horizontal con una aceleración de 2 m/s2. Determine la cantidad de trabajo neto para un recorrido de 5m. Rpta.: ..................

F1

37º

V

El ladrillo de 2,5kg. desciende tal como se muestra. Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre el bloque en un tramo de 8m. (g=10m/s2).

d=5 m b) -70 J e) 45 J

a) 70 J d) 50 J

Rpta.: .................

El bloque de 4 kg se abandona en A y se desliza sobre la superficie lisa como se muestra. ¿Qué cantidad de trabajo neto se desarrolla sobre el bloque en dicho tramo? (g = 10m/s2).

liso

Si el trabajo neto realizado sobre el bloque para trasladarlo de A hacia B es 35 kJ, determine la distancia d si la fuerza de rozamiento de 3 N es constante en todo el recorrido.

a) 200 J d) 320 J

b) 180 J e) 400 J

PROBLEMA 07 d

A) 3 km d) 6 km

b) 4 km e) 7 km

c) 5 km

En el diagrama, un bloque de 40N de peso, se somete a la acción de un sistema de fuerzas, donde: F 1 = F 2 = F3 = F 4 = 20N . Calcular la cantidad de trabajo neto de las 5 fuerzas sobre el bloque sabiendo que es desplazado 5m. F3

F

53º

100N

F4

5m

a) 250 J d) 350 J

F2

F1

37º

Rpta.: ..................

c) 280 J

10 N

Determine el trabajo realizado por la fuerza de módulo 80 N para trasladarlo 5 m.

Determine la cantidad de trabajo neto para un recorrido de 6m. (M = 8 kg). µ=0,5

c) 30 J

PROBLEMA 06

8m

PROBLEMA 04

M

b) 20 J e) 40 J

c) 75 J

Rpta.: .................

PROBLEMA 11

a) 10 J d) 50 J

PROBLEMA 03

PROBLEMA 15 F2

A

c) 15 N

PROBLEMA 13

Rpta.: .................. A

a) 40 N d) 10 N

b) 300 J e) 400 J

c) 320 J

a) 260 J d) 60 J

b) 160 J e) cero

c) 100 J

FÍSICA

143

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE B

PROBLEMA 08 Un cuerpo de 2 kg lanzado en “A” describe la trayectoria que muestra la figura. Hallar la cantidad de trabajo de la fuerza gravitacional desde A hasta B.

F 3m

B

A V1

5m

V2

30º

a) 120 J d) 80 J

b) 100 J e) 150 J

c) 60 J

PROBLEMA 09

A

a) - 100 J d) 98 J

b) 100 J e) - 49

c) - 98 J

Determina la cantidad trabajo neto para un recorrido de 4m. (M = 6kg; g = 10m/s2) F=50N

PROBLEMA 09

Cuando se contrata un trabajo, sin importar el tiempo que tarden en hacerlo, se compra sólo trabajo. Por ejemplo, si contratamos a una persona para que pinte nuestra casa sin indicarle el tiempo, ella lo podrá realizar en 1 día, en un mes o en un año, con tal de que lo pinte todo. Pero si se compra el trabajo de un día y se quieren hacer las cosas lo más rápido posible, lo que pretendemos es conseguir una cantidad de trabajo por hora.

En el sistema internacional (S.I.) la unidad de potencia es el watt (W), que se define como un joule de trabajo en cada segundo: 1W = 1 J/s. POTENCIA INSTANTÁNEA Es el tipo de potencia que nos informa de la rapidez con que se realiza un trabajo en un intervalo de tiempo muy corto. Si la potencia es mecánica, su valor instantáneo se determina así:

V θ

µ=0,1

Un obrero de 80 kg sostiene un bloque de 45 kg y sube lentamente por una escalera a una altura de 6m. Calcular la cantidad de trabajo realizado por el obrero en (kJ) (g = 10 m/s2) a) 7,5 b) 2,1 c) 2,7 d) 1,3 e) 2,5

53º a) 120 J d) 40 J

F

M b) 80 J e) 240 J

Pot. = F.v.cosθ

c) 160 J

Pero si: θ =cero, entonces…… P = F.V

PROBLEMA 10 PROBLEMA 10 Un cuerpo es afectado por una fuerza que varía con el desplazamiento x, tal como indica el gráfico. Determine la cantidad de trabajo realizado por dicha fuerza en los 5 primeros metros de desplazamiento.

El bloque mostrado de 10 kg se desplaza 6m con la velocidad constante la cantidad de trabajo realizado por la fuerza F es (µ k = 0,5) F

a) 100 J d) 400 J

F(N)

10

b) 200 J e) 500 J

c) 300 J

0

POTENCIA MEDIA La potencia media es aquella que nos indica la rapidez con que en promedio se efectuó un trabajo determinado.

PROBLEMA 11

TRABAJO REALIZADO

En el gráfico F versus x determine la cantidad de trabajo hecho por la fuerza entre x = 2m y x = 5m. a) 10 J d) 25 J

Este el lenguaje práctico de la industria. La potencia es justamente eso, la rapidez de hacer un trabajo.

5

b) 15 J e) 30 J

x(m)

Pot=

50

PROBLEMA 11

“A” hasta “B”. (g = 10m/s2)

x(m) 0

a) 100 J d) 120 J

TIEMPO EMPLEADO EN HACERLO

¡Fórmula de potencia!

F(N)

c) 20 J

Determine la cantidad de trabajo efectuado por F = 20N, para desplazar al bloque de 2kg desde

POTENCIA=

5

b) 105 J e) 50 J

c) 110 J

W t

EFICIENCIA (n) El trabajo útil o salida de potencia de una máquina nunca es igual a la de entrada. Estas diferencias se deben en parte a la fricción, al enfriamiento, al desgaste, contaminación,….etc. La eficiencia nos expresa la razón entre lo útil y lo suministrado a una máquina:

n

(Pot) útil =(Pot) suministrada

FÍSICA

145

ESQUEMA SIMPLIFICADO

(HP = 1 horse power)

1 Kilowatt

= 1 KW = 103 W

1 Mega watt

= 1 MW = 106 W

Pperdida (P2) P

PROBLEMA 04 El bloque de 20 kg es levantado verticalmente con rapidez constante de 1 m/s. ¿Qué potencia se desarrolla sobre el bloque en el tramo AB)? (g = 10m/s2). B →

F

1

P1 = P2 +P3

(P ) =

PROBLEMA 01 El bloque de 10kg. es llevado desde A hasta B sobre la superficie mostrada con rapidez constante de 4m/s mediante la acción de la fuerza constante de módulo F = 80N. ¿Qué potencia desarrolla dicha fuerza?

3

P

n=eficiencia

UTIL

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

1KW.h = (1000W)(3600s) = 3,6.106 J 1 HP = 746W

P

146

PRÁCTICA CALIFICADA

MAQUINA

n=

FÍSICA

EQUIVALENCIAS ÚTILES

Pútil (P3 )

Pabsorvida (P1)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

1 Caballo de Fuerza

= 1 Horse Power

1 Caballo Vapor

= 1 HP = 745 W = 1 c.v. = 735 W

TRABAJO REALIZADO

3

F

v=1m/s

F

Rpta.: .................. A

TIEMPO

PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01

PROBLEMA 02

PROBLEMA 02

Rpta.: ..................

Determine la potencia consumida por el motor cuya eficiencia es 60% si se sabe que el bloque de 6kg. es elevado con velocidad constante. (g = 10m/2).

Un motor en su funcionamiento absorve 800w de potencia, debido al calentamiento de sus piezas se libera potencia en forma de energía y su valor es 320w. Calcula su eficiencia.

PROBLEMA 05 El bloque de 8 kg es llevado desde A hasta B con rapidez constante mediante la acción de la fuerza de 20 N. Si demora 40 s, ¿qué potencia desarrolla la fuerza de rozamiento? F=20N

Solución: Por conservación de energía:

80m

v=2m/s

PE = PU + PP ........(1)

Rpta.: ..................

800W = P.U. + 320W

PROBLEMA 06 P.U. = 800 - 320 = 480W

Rpta.: ..................

Además:

PROBLEMA 03

. P.E

%n = P U ×100%

El generador eléctrico de eficiencia 80% alimenta a un motor de 75%. ¿Qué potencia consume el generador si la potencia útil del motor fue de 240 kW?

480 %n = 80 ×100%

El bloque de 10 kg se abandona sobre el plano inclinado rugoso. Si la fuerza de rozamiento tiene un módulo de 20 N, ¿qué potencia neta se desarrolla sobre el bloque en el tramo AB? (g = 10m/s2) vA=0 A

0 %n =

48 0 8

% = 60% B

∴ %n = 60% Rpta.: ..................

Rpta.: ..................

FÍSICA

147

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

148

PROBLEMAS PROPUESTOS

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE a) 12watts

b) 15

c) 16

d) 19

e) 18

d = 12m

PROBLEMA 01 Si el bloque es llevado gracias a la fuerza F = 50N durante 5s. Hallar la potencia desarrollada por “F”. F

b) 20 e) 50

¿Cuál es la potencia de un motor que eleva 100litros de agua por minuto a una altura de 6m? (g = 9,8m/s2 ) a) 58watts b) 20 c) 30 d) 98 e) 78

PROBLEMA 05

d = 4m a) 40watts d) 10

PROBLEMA 04

c) 30

PROBLEMA 02 Si : F = 50N y lleva al bloque una distancia de 10m, hallar la potencia desarrollada por “F”. Considere el tiempo de 2s. F

37º

Una grúa es capaz de levantar una masa de 100kg a una altura de 15m en 5s. ¿Qué potencia expresada en watts suministra la màquina? (g = 9,8m/s 2 ) UNMSM a) 5400 b) 2080 c) 3000 d) 1980 e) 2940

a) 48watts d) 40

b) -45 e) 38

c) -60

PROBLEMA 14 La grúa mostrada absorve una potencia de 2000watts, y está levantando el bloque de 100N a la velocidad de 5m/s. Entonces su eficiencia es :

PROBLEMA 09 El bloque mostrado avanza a la velocidad de 2m/s gracias a la fuerza F = 200N. Hallar la potencia de F. v = 2m/s

a) 390watts d) 400

b) 450 e) 360

c) 380

a) 1/7 d) 1/4

b) 1/5 e) 1/18

c) 1/6

PROBLEMA 15

PROBLEMA 06 Una persona de 60kg sube 20m por las escaleras de un edificio en 4min. ¿Qué potencia en watts desarrolló? (g = 10m/s2 ) a) 42 b) 150 c) 30 d) 50 e) 180

PROBLEMA 10 El bloque mostrado avanza a velocidad constante V = 5m/s , por medio de F = 30N. ¿Cuál es la potencia que desarrolla el rozamiento? v = 5m/s

Halle la potencia desarrollada por “F” para que el bloque de 10kg suba por por el plano inclinado a velocidad 5 m/s constante. (g = 10m/s2 ) 1/4 F

PROBLEMA 07 a) 100watts d) 150

b) 200 e) 50

c) 300

PROBLEMA 03

Encuentra la potencia (en Kw) de una grúa sabiendo que eleva 60 sacos de harina de 100kg cada uno hasta una plataforma ubicada a 3m de altura en 1 minuto (g = 10m/s2 )

a) 420watts d) -450

b) 130 e) -150

c) 300

PROBLEMA 11

Un vendedor ambulante aplica una fuerza de 100N para empujar un carrito, una distancia de 60m. Hallar la potencia desarrollada al cabo de 1minuto que duró el recorrido.

Un motor consume una potencia de 1,2kW y es capaz de elevar cargas de 108 N de peso a 10m/s. ¿Cuál es la eficiencia del motor? a) 90% b) 50 c) 30 d) 50 e) 80

PROBLEMA 12 a) 9 d) 5

b) 3 e) 7

c) 4

PROBLEMA 08 a) 50watts d) 80

b) 40 e) 60

c) 100

El bloque es lanzado sobre la superficie rugosa avanzando 12m en 4s. Si el rozamiento que le afecta fue de 20N, hallar la potencia desarrollada por dicho rozamiento.

Una máquina absorve 48 watts de potencia y realiza un trabajo de 160J en 5s. ¿Cuál es la eficiencia de esta màquina? a) 4/5 b)2/3 c)3/4 d) 5/8 e) 8/9

PROBLEMA 13 En el problema anterior, ¿Cuál es la potencia que pierde la máquina?

37º a) 200watts d) 500

b) 300 e) 100

c) 400

PROBLEMA 16 El bloque de 20 kg es llevado desde A hasta B sobre el plano horizontal con una fuerza de F = 100 N. ¿Qué potencia desarrolla dicha fuerza si la fuerza de rozamiento tiene un módulo de 40 N?

F=100 N

rugoso vo=0 6m

a) 100 W d) 400 W

b) 200 W e) 500 W

c) 300 W

FÍSICA

150

Energía Potencial Gravitatoria (EPG) Forma de energía que posee un cuerpo debido a su interacción gravitacional con la Tierra. Depende de la posición vertical respecto de la superficie ó nivel de referencia (N.R) horizontal elegido.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Energía Mecánica (EM) Es la energía total debido al movimiento e interacción de un cuerpo con los demás cuerpos.

C.G.

E Tengo mucha energía

= +mgh

h N.R.

h

Superficie terrestre • “La energía es la medida escalar de las diversas formas de movimiento e interacciones de la materia” • Sin embargo el concepto extraído del que hacer

E Nivel de Referencia (N.R.)

E TOTAL FINAL = E

E. luminosa: 30 J

E PG = mgh

E. luminosa: 170 J

m : masa (en kg) g = 9,8m/s2 ó 10m/s2 h : altura medida desde el nivel

TOTAL INICIAL

de referencia (N.R) elegido, Por ejemplo de la figura del obrero emplea su energía en realizar trabajo, cuando se realiza trabajo, la energía del cuerpo varía por tanto dicha variación es igual a la cantidad de trabajo. ΔE = W ΔE = E final

-E

• En la naturaleza la energía se manifiesta en innumerables formas: FORMAS USUALES DE ENERGÍA: Energía Cinética (EC) Es aquella que posee todo el cuerpo (o sistema) en movimiento. Depende de su rapidez.

=E +E M

E. Eléctrica: 200J

diario y que es muy práctico dice: “La energía es aquella cantidad que posee o puede adquirir un cuerpo dotándolo de capacidad para realizar trabajo”.

v

PG

Me quedé sin energía

hasta el centro de gravedad (C.G) del cuerpo.

C

+E

PG

PE

N.R.: Nivel de referencia CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Si sobre un cuerpo o sistemas sólo se realiza trabajo por parte de la fuerza de gravedad y/o la fuerza elástica entonces su energía mecánica se conserva. Dichas fuerzas se denominan fuerzas conservativas:

E

=E FINAL

= Constante INICIAL

• Algunos casos de conservación de la “EM”

Energía Potencial Elástica (EPE) Todo cuerpo elástico (resorte, liga) al deformarse adquiere energía potencial elástica (EPE)

inicial

Unidad en el S.I.: Joule (J) Otras: Caloría (cal), electronvoltio (eV); BTU; kilowatt - hora (kWh).

v

Caída libre: Sólo existe W g = mghm ∴ E = cte.

m

M

PRINCIPIO

DE

CONSERVACIÓN

Y

TRANSFORMACIÓN DE LA ENERGÍA

E =

1 2

2

mC v

m : masa (en kg) v : rapidez (en m/s) EC → en Joules (J)

x

liso V R

• “En todo proceso de la naturaleza la energía no se crea ni se destruye, sólo cambia de forma (se transforma) pero se conserva en cantidad total al incio y al final del proceso”.

Energía Potencial Es quella que almacenan los cuerpos y que se determina por la posición mutua entre los cuerpos en interacción o bien de sus componentes (moleculas; átomos).

E

PE

=

1

R V

Kx

2

2 x: longitud que se deforma el resorte (cm; m) N N K: constante de rigidez del resorte ; cm m

El piso no realiza trabajo: W R = O sólo W = mgh ∴ E = cte. M

FÍSICA

151

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

152

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución:

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE E

(B )

a) En A: c)

PROBLEMA 01 Un bloque parte del reposo en A, resbala por una rampa AB , perdiendo en este tramo, por efecto del rozamiento el 10% de su energía mecánica. En el punto B inicia un movimiento parabólico, tal que, en el punto C su velocidad es horizontal de módulo 5 m/s. La masa del bloque e 2 kg. (g = 10 m/s2)

VA=0

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica en el tramo de B a C. EM(en B) = EM (en C) 1 2 EM (en B) = mV + mghC C 2 1 2 180 = (2)(5) + 2(10)(H) 2 180 = 25 + 20H Resolviendo tenemos:

A C

5m/s H

B Determine: a) La cantidad de energía mecánica en A respecto de la línea de referencia. b) La cantidad de energía mecánica en B y la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el tramo de A hasta B. c) La altura máxima H que alcanza respecto de la línea de referencia.

Solución:

Se suelta una sandía de 3 kg en el aire, desde el reposo y desde una altura de 80m. respecto del piso. (g=10m/s2). Despreciando la resistencia del aire y asumiendo el piso como nivel de referencia: a) Determine su energía mecánica al ser soltada. b) Demuestre que su energía mecánica es 2400J un segundo después de ser soltada. c) Demuestre que su energía mecánica es 2400J dos segundos después de ser soltada. d) Explique qué sudcede con la energía mecánica en cualquier instante.

a) En el punto A la rapidez es nula, por consiguiente no hay energía cinética. La cantidad de energía mecánica es: EM(en A) = Ec(A) + Ep(A)

A

B v=10m/s

1s b) La cantidad de energía mecánica en B es el 90% de la cantidad de energía mecánica en A. EM (en B) = 90% EM(en A) = 0,90 (200J) = 180 joules La cantidad de trabajo que realiza la fuerza de rozamiento en el tramo AB es el 10% de la cantidad de energía mecánica en A. fricción

W

A→B

= −10% EM(en A) = - 0,10 (200J) = - 20 joules

v=0; m=3 kg

1s

= 0 + mghA = (2)(10)(10)=200 joules ...(1)

C 80 m

v=20m/s h1 h2

D

=Ep · g=mgh

E

=3×10×80=2 400 J

N.R.

EM

=

(C)

1 2

2

mv +mgh C

2

M(A)

b) En B: 1 segundo después: E E

PROBLEMA 02

2

×3×10 +3×10×75 = 2 400 J

2

M(A)

=E 1

H = 7,75 m

1

c) En “C”:

E

M(B)

10m

=

M

C(B)

+E

PG(B)

= mv +mgh ........ (1) B 1 2 (vO F+v (0+10) = ×1 Pero: dAB = )×t 2 2 d =5 m.: h =80-5=75 m.

En (1):

d

=

(

v +v O

F

)

t

2

AC

=

(

2+20 2

)

2

2

M (B )

AB

Pero:

1

⇒ d

= 2400 J

AC

d)

La energía mecánica es la misma en cualquier instante, es decir, se conserva.

Y esto ocurre porque sólo existe trabajo de la fuerza de gravedad

FÍSICA

153

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

154

PRÁCTICA CALIFICADA

PROBLEMA 12 37º

v

PROBLEMA 01

K=200N/m

Un melón de 800g. es lanzado al vacío con la velocidad

→

ɵ v =-5 j m/s . Determine su

energía cinética

al

cumplirse 2

segundos

A

liso

B

desde su j g =-10 m/s

→

lanzamiento.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Suponga una persona de 75 kg viajando dentro de un auto a 72 km/h y sin cinturón de seguridad. De pronto se produce un accidente de tránsito y la persona salió disparada con consecuencias fatales, esto es debido a que equivale caer verticalmente desde una altura de (en m): Rpta.: ..................

2

37º

Rpta.: ..................

PROBLEMA 13 Rpta.: ..................

PROBLEMA 05

Rpta.: .................

Si el bloque de 1,25 kg es soltado en A, determine la máxima deformación del resorte. (K = 300N/m).

PROBLEMA 02 Una esfera es abandonada en A moviéndose sobre la supreficie lisa. ¿Con qué rapidez llega a B, en m/s? (g = 10m/s2). A

h=3m

PROBLEMA 08 Un cuerpo de 5 kg cae libremente desde una altura de 3m, determine la cantidad de energía cinética del cuerpo en el momento de llegar al suelo. (g = 10 m/s2)

liso

Rpta.: ..................

2m

PROBLEMA 09 Un resorte de constante elástica K = 20 N/cm se encuentra estirado 10 cm. Determine la cantidad de energía. Determine la cantidad de energía potencial elástica almacenada en el resorte (en J):

Rpta.: .................. 120cm

B

PROBLEMA 06 El bloque se abandona en A sobre la superficie lisa. Determine cuánto demora en ir de B a C. (g = 10m/s2).

Rpta.: .................

Rpta.: ..................

PROBLEMA 10 PROBLEMA 03 Si la esfera es soltada en A, determine su rapidez al pasar por B. (g = 10m/s2).

A

1,8m

1m

Determine la cantidad de energía cinética (en k) de una bala de fusil de masa 50 gramos que sale del cañón del arma con rapidez de 900 m/s. (g = 10m2) Rpta.: ..................

37º Rpta.: .................. B

Rpta.: .................

PROBLEMA 04 Si el bloque de 2 kg comprime al resorte como máximo 0,4m. Determine la rapidez v del bloque.

PROBLEMA 07 El collarín de 1 kg se encuentra soldado al resorte de constante de elasticidad K=260N/m. Si se abandona en A cuando el resorte no está deformado, ¿qué rapidez presenta al pasar por B? (g = 10m/s2).

Se lanza un proyectil de 1 kilogramo de masa desde el suelo con velocidad inicial 3i+4j(m/s). ¿Cuál es la variación de la cantidad de energía cinética (en J) entre el punto de lanzamiento hasta que alcanza la altura máxima? Rpta.: ..................

PROBLEMA 14 Se lanza un proyectil de 0,3 kilogramos desde el suelo, en el instante t = 0, con velocidad 30i+70j(m/s). ¿Cuál es la cantidad de la energía cinética (en J) en el instante t = 4s? Rpta.: ..................

PROBLEMA 15 El bloque se abandona en “A”. ¿Qué tiempo tardará en recorrer el tramo horizontal BC = 3m? (g = 10 m/s2) No hay rozamiento. A

1,8m

PROBLEMA 11 Un avión de papel de 50 gramos tiene rapidez 8 m/s en el instante que se encuentra a 3 metros del piso. Determine la cantidad de energía mecánica (en J) del avión respecto del piso. (g = 10m2) Rpta.: ..................

B

Rpta.: ..................

C

FÍSICA

155

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS a) 20 J d) - 10

PROBLEMA 01 Un bloque de 8 kg se desplaza por acción de la fuerza F = 50N. Sabiendo que el coeficiente cinético es 0,2 entre el bloque y el piso horizontal, determine la cantidad de trabajo realizado por “F” al cabo de 4s de estar actuando. El bloque inicia su movimiento desde el reposo. (g = 10 m/s2) F 37º

FÍSICA

156

PROBLEMA 06

b) - 20 e) 10

c) 0

10m/s

Se suelta un bloque de 1 kg desde el punto A. ¿Cuál es la enregía cinética de dicho bloque al pasar por C?

2m PROBLEMA 04 Al bloque de la figura se le aplica una fuerza externa F que vence la resistencia que ejerce el resorte, logrando deformarlo una distancia x = 1,2m, la fuerza externa vario desde cero hasta F = 80 N. Calcular la cantidad de trabajo desarrollado por el resorte. Desprecie el rozamiento.

20m 5m

a) 100 J d) 150 J

b) -150 J e) 200 J

c) -100 J

8kg P.E.

a) 72 J d) 620 J

b) 720 J e) 800 J

c) 62 J

K

c) 320

(A) Vi = 0

x

V = 20m/s

En la figura un bloque de 9 kg es sometido a la acción de un sistema de fuerzas, donde: F = 50 N

P.E. Posición de Equilibrio

y F2 = 40N . Calcular la cantidad de trabajo que desarrolla para un recorrido “d”, sabiendo que realiza una cantidad de trabajo de + 400J.

a) No puede calcularse b) 48 J c) 96 J d) - 96 J e) - 48 J

1

F2 F1 60º

b) - 200 J e) - 150 J

4m V = 4m/s

c) 100 J

PROBLEMA 03 Un bloque de 2kg se desplaza desde A hasta B por acción de la fuerza F = 20 i (N). Determinar el trabajo neto desde A hasta B sabiendo que la fuerza de rozamiento realiza una cantidad de trabajo de - 80 J. (g = 10 m/s2)

La figura muestra una partícula m = 1 kg atada a un resorte de longitud natural 3m y constante elástica K = 200 N/m. La partícula se abandona en la posición A y puede moverse libremente sin fricción a través de un riel de forma eclíptica. Si el sistema está contenido en un plano horizontal, determinar la rapidez de la partícula cuando pasa por la posición “B”.

b) 140

d) 155

e) 118

c) 120 a) 50 y 30J d) 16;16

6m K

b) 20 m/s e) 50 m/s

a) 7KJ d) 5

b) 4 e) 18

c) 9

PROBLEMA 12 Evalúe la energía mecánica del bloque de 4kg cuando pasa por la posición mostrada.

4m/s

PROBLEMA 09

a) 79J d) 155

B a) 10 m/s d) 40 m/s

c) 60;60

2m

A

B 5m

b) 40;20 e) 80,16

PROBLEMA 08 Encontrar la energía cinética de un vehículo de 20kg cuando alcance una velocidad de 72km/h.

Calcular la energía potencial gravitatoria con respecto al piso de una piedra de 4kg ubicada a una altura de 3m.(g =10m/s2 )

4m

F

10m

(B)

a) 120KJ

PROBLEMA 05

37º 9kg

F

b) 240 e) 218

Calcule la EM en (A) y (B) para el bloque de 2kg.

Calcule la energía cinética del automóvil de masa 600kg.

F

a) 179J d) 280

PROBLEMA 11

PROBLEMA 07

PROBLEMA 02

a) 200 J d) - 100 J

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

c) 30 m/s

b) 140 e) 118

c) 120

PROBLEMA 10 Calcule la energía mecánica del avión de juguete de 4kg respecto del suelo.

a) 112J d) 115

b) 120 e) 108

c) 122

PROBLEMA 13 El bloque de masa 4kg se suelta en (A). ¿Con qué velocidad llega al pasar por (B)?

FÍSICA

157

A

liso

PROBLEMA 17

5m

a) 12m/s d) 15

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

V

B c) 22

b) 10 e) 8

Se lanza una pelota de 0,5kg verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 20m/s. Calcular su energía potencial gravitatoria cuando alcance su máxima altura (g = 10m/s2 ) a) 100J b) 140 c) 120 d) 170 e) 110

PROBLEMA 18 Encontrar la variación de energía potencial gravitatoria que experimenta el cuerpo de 0,5kg al ir de la posición “A” hasta “B” (g=10m/s 2 ).

PROBLEMA 14 El bloque mostrado se lanza desde (A) con velocidad de 30m/s. ¿Hasta que altura màxima logrará subir? liso

B A 10m

¿QUÉ ES LA PRESIÓN? Para responder a ello; consideramos lo siguiente: dos ladrillos de 2 kg cada uno se encuentran apoyados sobre un colchón de espuma; tal como se muestra:

2m

V= 30m/s a) 100J d) 70 a) 32m d) 35

¿QUÉ ES UN FLUIDO? Entendemos por fluido a toda sustancia que tiene la propiedad de expandirse libremente (líquido o gas), de adoptar fácilmente la forma del recipiente que lo contiene y una de sus propiedades más importante es la de ejercer y transmitir “presión” en todas las direcciones.

b) 50 e) 48

(1)

b) 40 e) 80

N Unidad:

2 : Pascal(Pa) m Donde: FN: Fuerza normal a la superficie. A: Área de la superficie.

c) 45

PROBLEMA 19

PROBLEMA 15 Si Betito de 20kg es impulsado en “A” con velocidad inicial de 50m/s, hallar la velocidad final con la que pasará por “B” 50m/s A V

a) 1600K b) 4000 c) 5600 d) 7020 e) 1800

¿QUÉ OBSERVAMOS? Notaremos que el caso (2) el ladrillo se hunde más que de el caso (1). Pero, ¿Cómo es posible que ocurra esto si en ambos casos la fuerza que ejercen los ladrillos sobre el colchón es la misma? Para responder adecuadamente es necesario hacer una separación imaginaria en cada caso.

a) 3 10 m/s d) 30 5

b) 5 10 e) 50 3

c) 45

resorte de constante elástica “K”, en 0,10m al soltar el bloque se mueve sobre la superficie horizontal sin rozamientos, según el gráfico, colisionando finalmente en el punto “P”, si se

h

por encima de la superficie de la moneda existe una columna

F =20N N

F =20N N

considera que g= 10m/s , el valor de “K” en N/m es : x 2

PROBLEMA 16 Un móvil de 3kg parte con una velocidad de 2m/s y acelera a razón de 2m/s2. Calcular la variación de su energía cinética al cabo de 5 s. a) 420J b) 240 c) 220 d) 270 e) 210

ρL A

Luego colocamos cuidadosamente una moneda en el fondo del recipiente, entonces podemos notar que

Con un bloque de 0,5kg de masa se comprime un

40m

Consideremos un recipiente que contiene agua; tal como se muestra.

mg

PROBLEMA 20

B

PRESIÓN DE UN LÍQUIDO EN REPOSO (PRESIÓN HIDROSTÁTICA)

F =20NN

200m F =20NN

140m

P = NF A

(2)

c) 20

Determinar la energía mecánica de un avión de 2.103 kg que vuela a razón de 40m/s a una altura de 200m. (g = 10m/s2 ).

Notamos entonces que la fuerza que ejerce el ladrillo sobre su base de apoyo en el caso(2) se distribuye en una menor superficie que en el caso(1), entonces cada una unidad de área de la base en el caso(2) soporta mayor fuerza; por ello el colchón experimenta una mayor fuerza; por ello el colchón experimenta una mayor deformación. Luego, para caracterizar la distribución de una fuerza normal sobre una superficie, empleamos una magnitud tensorial denominada presión (P); la cual se define matemáticamente así:

5N 5N 5N 5N

10N 10N

de líquido que la “presiona” al apoyarse en ella contra la base del recipiente.

h

A FN

1m 1m 1µ

a) 250 d) 300

b) 100 e) 180

c) 240

1µ

1µ

FN

1µ A

FÍSICA

159

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Hagamos una separación imaginaria entre la columna de líquido y la moneda. Luego la presión de la columna de líquido sobre la moneda será.

Si hacemos un pequeño orificio en la pared vertical del recipiente; nótese que el chorro de agua que sale del agujero 2, logra un mayor alcance que elchorro que sale del agujero 1 debido a la mayor presión (siendo 1 y 2 puntos cercanos).

F P =

... (β)

N

A

H

Para el equilibrio mecánico de la columna de líquido, se tiene: ∑ F ( ↑ ) = ∑ F ( ↓ ) FN = mg m → Masa de la columna del líquido por encima de la moneda.

En β: P = H

ρ

mg A

=

Liq

•

PARA UN GAS La presión es la misma en todos los puntos cuando se tienen pequeñas cantidades del gas. Sin embargo en la atmósfera, la presión que ésta nos ejerce depende de la altura respecto del nivel del mar a la cual nos encontramos.

P

P

H Liq=ρ

hAg A

GAS

P

P =ρH

Simplificando A obtenemos:

P

P

Liq hg

160

Vasos comunicantes Línea isóbara

A

B

C

Luego, la nueva presión será: P = 4Pa y P = 10 P a 1

2

¡La presión adicional (2Pa) se transmite en todas las direcciones y con igual valor! Aplicación: En la prensa Hidráulica

P =P = P A

B

C

P

Pistón 1m 2

P

P0

P0 P0

P0

Si se desea conocer la presión total en la cara de la moneda, debemos tomar en cuenta la presión

F

Líquido

ρL

1

P =8Pa

B

• PARA LÍQUIDOS La presión depende de la profundidad. Línea Isóbara

En A: En B:

1m2 P1

P1

P4

P2 P3

(1)

PA = Patm + PA = Patm + ρLíqghA

(2)

·A2 ⇒

∴ F2 =

A A

2

·F

1

1

Notemos: como A2 > A1; entonces F2 > F1; esto significa que la prensa hidráulica multiplica la fuerza. Este sistema es muy utilizado en los grifos

Líquido P =8Pa2

PB = Patm + PB = Patm + ρLíqghB ∴ PB - PA = ρLíqg [h B − h A ]

“La diferencia de presiones en un líquido es numéricamente igual al producto de la densidad del líquido, gravedad y la diferencia de profundidades” y con ello se deduce que:

... (1)

para elevar autos; en los ascensores, etc. NOTA: El cociente

A A

, se le denomina

2 1

ventaja mecánica

H O2 P1 P2 P3 P4

P0

1

1

Es decir: Al nivel del mar: Patm = 1atm = 105Pa

1

A

F=2N

hB

A

P0

Luego sobre el pistón de área “A 2” el líquido le ejerce una fuerza adicional. F2 = P0 A2 ... (2) Ahora; reemplazamos (1) en (2):

F2 =

hA

P0

A1

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA Consideramos dos puntos dentro de un mismo líquido de densidad ρL tal como se muestra:

H

F 2P 0

fuerza F1, el líquido transmite una presión adicional P0 a todos los puntos del recipiente en contacto con él.

F

PTotal = Patm + P

P0

P0 =

debido a la atmósfera que se transmite a través del líquido y se manifiesta sobre la cara de la moneda.

P0 P0 P0

P0

P =2Pa1

PH: Presión hidrostática

P0

Cuando, sobre el pistón de área A1 se aplica una

Donde: ρlíq: Densidad del líquido(kg/m3) h: Profundidad(m)

P0 A1 P0 P0

P

P

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

“Todos los puntos de un mismo líquido en reposo y que se encuentran a un mismo nivel soportan la misma presión hidrostática”

PRINCIPIO DE PASCAL Como ya hemos planteado, los sólidos transmiten presión sólo en la dirección de la fuerza que se aplica, en cambio los fluidos debido a la gran movilidad de sus partículas “transmiten la presión adicional que se les comunica en todas las direcciones y con igual valor”.

Vg

A

FÍSICA

Sabemos que F origina una presión (adicional); F P0 =

A

2N =

1m

= 2Pa

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Cuando un cuerpo se encuentra sumergido total o parcialmente en un líquido notamos que se eleva con una mayor facilidad que cuando se encuentra fuera de él.

FÍSICA

161

¿Cómo explicamos este hecho? Consideremos para esto un cilindro homogéneo sumergido completamente en un líquido de densidad ρlíq, tal como se muestra: F1 h1 P1 F3 P4 P5

una fuerza resultante vertical dirigida hacia arriba, a la cual la denominaremos empuje hidrostático (E). Donde: E = F2 - F1 = P5A - P1A

“Reposo” P1

P2

h2

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

= (P5 - P1)A =ρLíquido g(h2 - h1)A

P2 P3

P3

F4 P4 P5

162

Solución:

PROBLEMA 01 Calcular la densidad de cierto cuerpo, que al ser pesado en el aire el dinamómetro indica 200N y al ser “pesado” en cierto líquido 160N (ρL=800 kg/m3)

Solución: Fg=200N

∴

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS RESUELTOS

F3 = F 4 E =ρLiq.g.V

200N = ρc . g. Vc ..... (1) ρc = Dens. del cuerpo Vc = Volumen del cuerpo

Aire sumergido

F2

Se puede notar al líquido ejercer sobre las paredes del cilindro cierta fuerza; donde: • En la horizontal: • En la vertical: Como la superficie es la misma y h2 > h1 entonces la presión hidrostática en la cara inferior es mayor que la presión hidrostática que en la cara superior (P5> P1); en tal sentido: F >F 2 1; por lo tanto existe por parte del líquido

FÍSICA

Por la 2° Ley de New. FR = ma Eh - mg = m.a ..... (1) Sabemos que : m = ρ.V ; Eh =ρ1 x g .Vs En (1) ρL . g . Vs - ρc . Vc . g = ρc .Vc . a (ρL - ρc) . g = ρc . a 12m/s

En general: N = 200N

“Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido de una fuerza vertical y dirigida hacia arriba denominada: “empuje”; esta fuerza actúa en el centro geométrico de la parte sumergida”.

mg

Cierto líquido

2s

a=6m/s2

Por equilibrio

Fg

Fg

Eh

=

Eh

N + Eh

V0=0

Pes o

N

Peso aparente

Empuje hidróstatico

Despejando ρc : Dens. del cuerpo

200N = 160N + Eh

Luego :

ρL g =ρc →ρ =c g +a

En = 40N

1000.10 16 → ρc = 625kg/m3

ρL . g . Vs = 40N 800 . 10.Vs = 40 → Vs = 0,5x10-2 m3 .. (2)

PROBLEMA 03

Reempl. en ( 1 ) :

En la figura se muestra un recipiente conteniendo dos líquidos de densidades ρ1=1,5g/cm3 y ρ2=2,5g/cm3 Si el recipiente está en contacto con el aire, calcular la presión en “A” y en “B”.

Vs = Vc 200 = ρc . 10 . 5 . 10-3

→ ρc =

200 5 x 10

−2

g=10m/s2

=4 .103 kg/m3.

A

PROBLEMA 02 En el fondo de un recipiente con agua se encuentra una esferita de tecnopor, se suelta y llega a la superficie del agua con una rapidez de 12m/s y en 2s. Calcular la densidad de la esferita. a = 6m/s2

8cm

10cm B

FÍSICA

163

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

164

Sabemos que :

Solución :

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE E=ρ

F P

=

a

atm

ΔPA →B = PB - PA P = FN = FgCos37°

ΔPAB = PhB .... (1) ΔPhB = PAm + PmB …..(2) PAm = ρL . g . H = -2 = 15000 . 8 . 10 = 1200 Pa.

b)

PhB = 1200 + 2500 = 3700Pa

2

5 = 10 N

2

m

gh=10

3

(H2O)

b)

2

×10

m

m s2

×1m

3 ⋅

−3 3 2 ⋅ 2 ⋅ 10 m

m

10 m s E = 20 newtons ………(1) El módulo de la fuerza de gravedad: W = m.g. ⋅ g⋅ V

W=ρ

4

=10 Pa

sustancia

m −3 3 3 ⋅ 10 2 ⋅ 2⋅ 10 m

kg

Ptotal = Patm +Phid

=

W = 300

m s W =6 newtons …………(2)

(H2O ) 5

4

= 10 Pa+10 Pa=11×10

4

Pa c)

d)

g=10m/s2

sumergido

kg

E = 1000

(H2O )

c)

Patm =105Pa

×1m

3 kg

=ρ

Phid

Se tiene un cubo de 1m. de arista que está sumergido con su base superior a ras del agua, tal como se muestra.

Reemplazando en (2)

N

atm

hid(H2O)

PROBLEMA 05

5

En la fase inferior:

2

0 .10 = 2000Pa 8

B

×A = 10

P

→ P = 16

M

=P

aire

A S P = 200.Cos37°N −2 2 8.10 m

A

PmB = ρL . g. h = 25000 . 10-1 PmB = 2500Pa

F

g⋅ V

agua

A

= (Patm + Ph)B - PAtmA

⋅

ire

D.C.L. (bloque):

E PROBLEMA 04 En la figura se muestra un cuerpo de 20kg apoyado sobre la superficie inclinada. Calcular la presión que ejerce el cuerpo sobre la superficie inclinada. (g=10m/s2)

g=10m/s2 80cm

EH a) Determine el módulo de la fuerza que el aire ejerce en la base superior. b) Determine la presión que ejerce el agua en la base inferior. c) Determine la presión total en la base inferior de dicho cubo. d) Determine la fuerza de empuje del agua sobre el bloque.

Solución:

37°

Solución:

2O

E H2O

=ρ H2O ×g×V

E

=10 ×10×1=10 N

3 H2O

cubo 4

PROBLEMA 06

T

Se muestra un bloque de 2 litros y densidad 300 kg/m3, g = 10 m/s2. AIRE AGUA

aire o atmósfera J FAIRE

K Fg

Determinar: a) El módulo de la fuerza de empuje. b) El módulo de la fuerza de gravedad sobre el bloque. c) El diagrama de cuerpo libre del bloque. d) El módulo de la tensión en la cuerda JK.

FgCos37°=FN

37° S

a)

Presión de la atmósfera: P

5

atm

En la cara de área A: P = F A 37°

=10

Solución:

N 2

m

W

a)

Principio de Arquímides: El módulo de la fuerza de empuje es directamente proporcional al volumen sumergido.

d)

De la primera condición de equilibrio:

∑ Fy = 0 ⇒

T+W = E

T =E-W

. . . (3)

Reemplazando (1) y (2) en (3): T = 14 newtons

FÍSICA

165

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

FÍSICA

PRÁCTICA CALIFICADA PROBLEMA 01

166 A

PROBLEMA 04

Un sólido que tiene forma de una pirámide de 80 kg, se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal. Determine la presión que ejerce el sólido sobre el piso. (g = 10 m/s2).

2a a B

Determinar el módulo de la fuerza F, sabiendo que el sistema se encuentra en equilibrio. El bloque Q de 3 000 kg se encuentra en reposo. Los émbolos tienen de masa despreciable y áreas A = 0,1 m 1

agua 30º

Rpta.: ..................

2

y A =1,0 m Donde b = 3a, densidad del agua 2 2. = 1000 kg/m3, g = 10 m/s2. a

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

b

(2) 1m F

Rpta.: ..................

PROBLEMA 10 PROBLEMA 07

Determine el módulo de la fuerza F para el

Determine la presión total que5 existe en A si2 la presión atmosférica es Patm = 10 Pa (g = 10m/s ).

equilibrio del sistema. F

(1)

a

6a

1,8m

2m 2m

2m

agua

Rpta.: .................

2cm2

Rpta.: ..................

PROBLEMA 02

PROBLEMA 05

En la figura mostrada determinar la presión hidrostática en el punto A. Densidad del agua = 1000 kg/m3, Densidad del aceite = 800 kg/m3, g = 10 m/s2.

Rpta.: ..................

En el barómetro mostrado determinar la cantidad de presión del gas. El líquido contenido en el tubo es agua. Densidad del agua = 1 000 kg/m3, g = 10 m/s2. Presión atmosférica = 100 kPa.

gas

aire

Rpta.: ..................

PROBLEMA 08 En el recipiente se tiene 2 líquidos no misibles. ¿Qué densidad tiene el líquido A si el líquido B es aceite?

PROBLEMA 11 Determine la masa del bloque si está sumergido en 2 líquidos no misibles de densidades: 0,8gr/cm3 y 1gr/cm3. (g = 10m/s2).

10cm

8m

aceite

20cm 5cm

8cm

agua

20cm

A 30cm

Rpta.: ................. Rpta.: ..................

PROBLEMA 03

Rpta.: ..................

A nivel del mar la presión atmosférica es 100 kPa. En el interior del agua, hallar la presión total a 4m de profundidad. Densidad del agua = 1000 Rpta.: .................

kg/m3

PROBLEMA 06 La figura muestra una esfera de 4 litros y densidad 1 500 kg/m3, sumergido totalmente en agua, en equilibrio. Determinar el módulo de la tensión en la cuerda AB. Densidad del agua = 1000 kg/m 3, g = 10 m/s2.

Rpta.: ..................

PROBLEMA 09 Si el bloque está en reposo y sumergido en el agua como se indica, determine la relación de densidades del líquido y del bloque.

FÍSICA

167

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMAS PROPUESTOS a) 5% d) 15%

PROBLEMA 01 Determine la profundidad de un lago si se sabe que la relación de presiones total entre el fondo y un punto ubicado a 5m. de profundidad es 2. a) 8m. b) 9m. c) 10m. d) 11m. e) 12m.

PROBLEMA 02 En la figura A y B son partículas de agua, el líquido que está en la parte inferior presenta una densidad de 2,8 g/cm3. Determine la diferencia de presiones que existe entre los puntos A y B. B

A

60cm

30cm

20cm

b) 7% e) 20%

b) 9 400 Pa d) 11 400 Pa

PROBLEMA 03 Un cubo de 2m. de arista sumergido en agua experimenta una fuerza de 200KN sobre su cara superior. Determine la fuerza sobre la cara inferior del cubo debido al agua. (g = 10m/s2). a) 200 KN b) 280 KN b) 400 KN d) 250 KN e) 220 KN

PROBLEMA 04 ¿A qué profundidad dentro de un lago se encuentra sumergido un buzo que soporta una presión total de 3,5 Atm? a) 25m b) 20m c) 27m d) 28m e) 30m

PROBLEMA 05 En un lago flota un témpano de hielo. ¿Qué porcentaje del volumen de dicho cuerpo emerge? ϑ=0,9g/cm3.

168

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

PROBLEMA 11 c) 10%

PROBLEMA 06 Un cuerpo cilíndrico compacto y homogéneo flota sumergido parcialmente en un líquido (ρL=990 kg/m3) el volumen sumergido es el 70% de su volumen total. Calcular la densidad del cilíndrico. a) 690 Kg/m3 b) 691 Kg/m3 c) 693 Kg/m3 d) 695 Kg/m3 e) N.A.

PROBLEMA 07 Calcula la presión que ejerce una fuerza de 40N al ser aplicada en una superficie de 6m 2, la fuerza actúa con una inclinación de 37° respecto al plano horizontal. a) 2Pa b) 4Pa c) 6Pa d) 1Pa e) 5Pa

PROBLEMA 08 a) 12 400 Pa c) 10 400 Pa e) 14 400 Pa

FÍSICA

Calcula el tiempo que tarda una esferilla (ρesferilla =800 kg/m3) para llegar a la superficie del agua. Si fue soltada en el fondo de un lago de 20m de profundidad. a) 2s b) 3s c) 5s d) 4s e) 8s

Un bloque de plomo flota sobre mercurio. Si la densidad del plomo es 10,2 g/cm3 y la del mercurio 13,6 g/cm3. ¿Cuál es la fracción del bloque de plomo que se sumerge? a) 0,85 b) 0,65 d) 0,95 e) 0,35

PROBLEMA 16

Si se unen volúmenes iguales de dos materiales, uno con una densidad, la mitad que la del agua, el cuerpo resultante: a) Flota en el agua b) Se hunde en el agua c) Tiene densidad igual a la del agua d) Falta conocer el volumen e) N.A.

PROBLEMA 13 ¿Con qué aceleración se hunde un cubo de aluminio de 10cm de arista y densidad 2,7g/cm3 en un recipiente con agua? (g=10m/s2) b) 5 m/s2 d) 6,3 m/s2

Calcular la densidad de cierto cuerpo, que al ser pesado en el aire el dinamómetro indica 200N y al ser “pesado” en cierto líquido 160N (ρL=800 kg/m3). a) 20 k/m3 b) 30 k/m3 3 c) 350 k/m d) 200 k/m3 e) 4000 k/m3

e) N.A.

Un cuerpo de 30N se sumerge totalmente en un líquido de densidad 2g/cm3 y la lectura de un dinamómetro acoplado al cuerpo indica 20N. ¿Qué lectura indicará el dinamómetro al sumergir dicho cuerpo totalmente en agua? a) 20N b) 25N c) 30N d) 35N e) 32N

PROBLEMA 18 Indicar (V) o (F) en las siguientes proposiciones:

Una pieza de metal, cuelga de un dinamómetro, el cual indica 40N. Se sumerge dicho metal en ácido sulfúrico y el dinamómetro marca 30N. Calcular la densidad del metal. ρH2SO4=1800kg/m3 a) 2000kg/m3 c) 5400kg/m3 e) 8600kg/m3

b) 4000kg/m3 d) 7200kg/m3

I.

II.

III.

IV.

PROBLEMA 10 Una esferita cuya densidad es 800 kg/m3 es soltada en el fondo de un lago de 5m de profundidad. Calcular el tiempo que tarda la esferita en llegar a la superficie. a) 1s b) 2s c) 3s d) 4s e) 5s

Sobre la superficie de agua de un recipiente, esta flotando un bloque de hielo. ¿Qué sucede con el nivel del líquido cuando el hielo se derrite? a) Sube b) Baja. c) Se mantiene igual. d) No se puede saber. e) N.A.

PROBLEMA 17

PROBLEMA 14 PROBLEMA 09

agua

c) 0,75

PROBLEMA 12

a) 2,7 m/s2 c) 3,2 m/s2

aceite

a) 220g b) 600g c) 300g d) 680g e) 110g

PROBLEMA 15 Un bloque cúbico de madera de 10cm de arista, flota estando su cara inferior 2cm debajo de la superficie de separación. Densidad del aceite es: 0,6g/cm3. Hallar la masa del bloque:

Si la densidad de un cuerpo sólido es menor que la de un líquido, entonces el cuerpo se mantiene parcialmente sumergido en dicho líquido. Si en la luna, una lata e gaseosa vacía flota en agua, en la tierra; ésta se sumergirá totalmente. El volumen de la parte sumergida de una pelota es mayor en una tina con agua que en una piscina. Si sobre un cuerpo sumergido en un líquido la presión hidrostática aumenta, entonces, el empuje hidrostático sobre dicho cuerpo también aumentará.

a) VFFV d) FVFV

b) VFFF e) VFVV

c) VFVF

FÍSICA

170

4.- Variación de la temperatura (ΔT): La variación de temperatura significa aumento o disminución de temperatura y todos sus sinónimos, como incremento, etc.

TERMOMETRÍA

GRÁFICA DE TEMPERATURAS:

LAS

100

°F 212

K 373

672

100

180

Pto F. (agua)

0

180 32

273

492

2. Escalas Absolutas. Tienen temperaturas positivas, solo positivas. De donde se deduce que la menor temperatura en estas escalas es el cero; las escalas absolutas son las escalas Kelvin ( K ) y Rankine (°R ). 3.- Cero Absoluto.

En el Sistema Internacional de Unidades la

Bien, para establecer las fórmulas una de conversiones y otra de variaciones es necesario conocer el: 5.- Teorema de Thales:

- 273

- 460

0

A. FORMULA PARA CONVERSIONES: Esta formula se utiliza para temperaturas estables. Ud. puede ayudarse en la solución de problemas recordando que; si en un problema encuentras estas palabras: Aumento hasta = temperatura estable Disminuye hasta = temperatura estable

°C −0= °F − 32= K − 273= R − 492 100−0 212− 32 373− 273 672− 492

Basándose en determinadas propiedades de los gases, se ha calculado que la temperatura correspondiente al cero absoluto es de -273°C. Mediante distintos procedimientos se ha conseguido alcanzar valores de unas pocas millonésimas de grado por encima del cero

°C −0 = °F − 32 = K − 273 = R− 492 100 180 100 180

a

m

b

n

p

c Se cumple:

a −b m−n = b−c n− p a − c m− p = b −c n− p

En ambos casos se utiliza la formula de conversiones, Aplicando el teorema de Thales, tenemos:

pueda existir en la cual correspondería a una ausencia total del movimiento molecular (reposo). (Sólo se cumple en teoría).

Nota: En toda escala absoluta el cero absoluto es igual a cero ( 0 ), en la escala Celsius es -273ºC y en la escala Fahrenheit -460ºF.

Donde:

°C °F − 32 K − 273 R − 492 = = = 5 9 5 9 Deducciones:

K =ºC + 273 ;

Aumenta en = variación Disminuye en = variación En ambos casos aplique las formulas de variaciones.

Δ°C = Δ°F = ΔK = ΔR 180 100 180 100 K ΔR Δ°C = Δ°F = = 5 9 5 9 Deducciones:

Δ°F = ΔR

Δ°C = ΔK ΔT = T

−T Inicial

Tres o más paralelas determinan sobre dos ó más secantes segmentos proporcionales.

Temperatura ideal, es la menor temperatura que

absoluto.

En este caso para reconocer una variación recuerde estas palabras:

Final

0

C. Ab.

1.- Escalas relativas. Pueden tener temperaturas positivas o negativas; las escalas relativas son las escalas Celsius (°C) y Fahrenheit (°F).

Inicial

temperatura se mide en Kelvin. 100

de vibración, movimiento o excitación de las moléculas en un cuerpo o sustancia. ESCALAS TERMOMÉTRICAS:

_T Final

R

Pto Eb. (agua)

TEMPERATURA Es un magnitud física tensorial; que mide el grado

DE

ΔT = T

°C

Es parte del Calor, que se encarga de la medición de la Temperatura y sus diversas propiedades.

ESCALAS

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

a, b y c: son temperaturas. m, n y p: son temperaturas. Ejemplo.- Hallar “x”: B.- FORMULA PARA VARIACIONES:

R =º F + 460 Esta formula se aplica cuando hay aumento o disminución de temperatura.

1. En un laboratorio de investigación, un científico midió la temperatura a la cual cierto gas se licua, encontrando un valor extremadamente bajo. ¿Cuál de los valores siguientes cree usted que pudo haber obtenido ese científico? Explique. A. -327ºC B. -15K C. - 253ºC D. -860R E. -10-5K 2. Un trozo de metal se encuentra a 182 ºC y aumenta su temperatura en 81 ºR. ¿Cuál es la lectura final en Kelvin? A. 421 B. 408 C. 850 D. 500 E. 376 3. Un cuerpo metálico que se encuentra a 122ºF es calentado aumentando su temperatura en 45R. Determinar la temperatura final del metal en grados Celsius. A. 25 B. 30 C. 45 D. 75 E. 103 4. Un termómetro con escala arbitraria tiene como punto de fusión del hielo - 40º y como punto de ebullición del agua 160º, cuando en este termómetro se lee 40º. ¿Cuánto se lee en la escala Rankine? A. 423° B. 564° C. 582° D. 630° E. NA.

FÍSICA

171

5. Se tiene dos escalas termométricas “A” y “B” de tal modo que el agua hierve a 240A y 180B. Si al aumentar la temperatura en 1°A equivale a aumentar esta en 1,5°B. ¿A qué temperatura coinciden las escalas A y B? A. 120° B. 360° C. 400° D. 530° E. 720° 6. ¿Para qué temperatura se cumplirá la siguiente relación? K+ 2F = 2R - 9C A. 347,7K

B. 331K

D. 337,7K

E. 332K

C. 37

7. ¿Para qué temperatura en ºF se cumple la siguiente relación?

(º C − 10)(K − 263) = 12(5−º C) A. 10 D. 35

B. 20 E. 46,4

C. 22,5

8. ¿Cuál de los siguientes gráficos relaciona las escalas: K y ºF?. A.

B.

K

255,2

K

o F

C.

F

D.

K

B. -2ºF E. -6ºF

C. -8ºF

11. Se construye un termómetro de mercurio, observándose que la temperatura del hielo fundente es -10ºM y al contacto con un cuerpo que esta a 15ºC, la lectura es 30ºM obténgase la formula entre esta escala y la centígrada.

ºC

(2ºM + 32) 3 ºC (º M +10) C. = 3 8 ºC (º M + 32) = E. 5 2 A. 4 =

(º M −18) 5 2 º M −18) D. ºC =( 3 ºC

B.

=

F -180

E. N.A.

9. A un cuerpo que estaba a 10 ºC se le incrementó su temperatura en 18ºF; luego se le disminuyó en 5 K, y finalmente se le incremento en 36. ¿Cuál será su temperatura final en ºC? A. 35 B. 65 C. 15 D. 25 E. 5 10. En un termómetro malogrado cuya escala esta en ºF el agua hierve a 178º. ¿A que temperatura debe congelar el agua en dicho termómetro?

12. Una escala termométrica absoluta Q marca 160Q para -43ºC. Para una sustancia que inicialmente estaba a -16ºF y que experimenta un calentamiento de 80Q, ¿Cuál será su temperatura final en ºF? A. 191ºF B. 201ºF C. 161ºF D. 180ºF E. 151ºF

14. Cierto liquido se encuentra a 288 K, se encuentra sumergido en el un termómetro que a temperaturas bajas marca en kelvin y a las altas en Rankine, Dicho liquido se calienta hasta 636ºR y se sabe que por cada ºC que aumenta se evapora 0,5 gramos del líquido.¿Cuánto se evaporó? A. 45,5 g B. 32,5 g C. 26,121 D. 20,5 g E. 14,5 g 15. En un termómetro con columna uniforme de mercurio solo aparecen dos marcas: 36ºC y 37ºC la longitud de la columna entre estas marcas es 1 cm. Una persona se pone el termómetro y constata que la columna de mercurio mide 2,3 cm por encima de la marca de 37ºC. Su temperatura es: A. 38, 3ºC B. 39,2ºC C. 39,8º C

D. 39,3º C

CALORIMETRÍA Es la parte de la Física que estudia las transferencias de calor que se producen entre los cuerpos cuando se encuentran a diferentes temperaturas hasta que todos se encuentran a una misma temperatura común.

CALOR (Q)

K

F - 255,2

A. -1ºF D. -4ºF

13. Se tiene dos escalas termométricas A y B, de tal modo que el agua hierve a 200ºA y 60ºB. Si al aumentar la temperatura en 2ºA equivale a aumentar esta en 3ºB, calcular a qué temperatura coinciden las escalas A y B. A. 630 B. 220 C.480 D. 360 E. 380

180 o

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

E. 41,3º C

UNIDADES DE CALOR Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

Joule (J) Sistemas Térmicos Particulares

C.G.S. M.K.S

Caloría (cal) Kilocaloría (Kcal)

Es aquella forma de energía que se transfiere desde los cuerpos que se encuentran a mayor temperatura (calientes) hacia los cuerpos que se encuentran a menor temperatura (fríos). Debes saber que al calor también se le conoce como

Equivalencias:

Energía Térmica.

TRANSFERENCIA DE CALOR

Q

A

B

¡IMPORTANTE!

Para que el calor se transfiera de un cuerpo a otro, éstos deben tener diferentes temperaturas

¡Para recordar! El calor es una forma de energía no almacenable y se puede transferir por conducción, por convección y por radiación.

1Kcal = 1000 cal 1cal = 4,18 J 1J = 0,24 cal

Se ha visto que el calor es una manifestación del tránsito de energía. Sólo tiene sentido hablar de calor cuando nos referimos a una transferencia de energía interna de un lugar a otro. El calor puede transmitirse a través de un medio sustancial o sin éste, por ello encontramos tres formas de propagación del calor que son: 1. Por Conducción: metales especialmente. 2. Por Convección: fluidos (líquidos, gases). 3. Por Radiación: radiación infrarroja. 1. POR CONDUCCIÓN

Es la forma de transmisión del calor en la cual una molécula transmite a otra contigua su energía cinética. Esto se produce como resultado de la actividad molecular en donde las partículas con mayor energía cinética chocan con aquellas que poseen menor energía cinética, de tal forma que el calor se transfiere a través de un cuerpo. Debes saber que son los sólidos son quienes transmiten el calor por conducción, pero en algunos casos los fluidos pueden conducir el calor

FÍSICA

173

siempre y cuando se encuentren en contacto con un sólido.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE 3. POR RADIACIÓN

FÍSICA

Calor

Conforme se propaga el calor, las tachuelas pegadas con cera a la varilla metálica se va desprendiendo.

efectúa por medio de las ondas electromagnéticas conocidas como la radiación infrarroja. Esto se produce como resultado de la vibración de los átomos y moléculas de los cuerpos, los cuales emiten ondas electromagnéticas que se propagan a través de cuerpos transparentes e incluso en el vacío viajando a la velocidad de la luz, estas ondas se conocen como la radiación infrarroja. Debes saber que la energía térmica que llega desde el Sol hacia la Tierra se transfiere por radiación, y que todos los cuerpos debido a la temperatura que tienen, emiten radiación infrarroja.

Kcal J cal , , g °C Kg °C Kg °C

EQUILIBRIO TÉRMICO Ce

= 0,5 cal HIELO g.C Ce = 1 cal AGUA g.C Ce = 0,5 cal VAPOR g.C

En este caso se produce un movimiento de la sustancia caliente con lo cual se transfiere el calor de un lugar a otro.

Es la cantidad de calor ganado o perdido que necesita la masa de una sustancia para que la temperatura varíe en un grado Celsius.

Por radiación el Sol emite una gran cantidad de energía hacia la tierra a través del espacio.

líquido del fondo se calienta primero, se dilata, disminuye de densidad y por lo tanto fluye hacia arriba, originando que el agua fría de mayor densidad descienda. Este proceso se repite originándose así una corriente de fluido denominada corriente de convección.

indica la cantidad de calor que debe ganar o debe perder la unidad de masa de la sustancia para que su temperatura aumente o disminuya en un grado Celsius.

Durante el calentamiento del agua se produce el fenómeno de la convección.

Q ΔT

Q : cantidad de calor que gana o pierde la sustancia.

CALOR ESPECÍFICO (Ce)

contacto con el fondo del recipiente.

C=

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA CALORIMETRÍA Cuando mezclamos dos o más cuerpos a diferentes temperaturas, ocurre que el calor que pierden los cuerpos calientes lo ganan los cuerpos fríos.

Donde:

Este fenómeno se puede apreciar cuando se calienta el agua en un recipiente, tal como se aprecia en la figura, como podrás observar, el

El flujo de líquido es debido al calentamiento de las capas en

“Si dos cuerpos a diferentes temperaturas son puestos en contacto, entre ellos existirá transferencia de calor, la cual culminará cuando ambos cuerpos alcancen la misma temperatura (Teq) y consigan por lo tanto el Equilibrio Térmico”.

CAPACIDAD CALORÍFICA (C)

Electromagnéticas

Es la forma de transmisión del calor que se manifiesta como flujos ascendentes y descendentes de fluidos.

*Cuando un cuerpo gana calor (+Q) *Cuando un cuerpo pierde calor (-Q)

*Para el Agua:

Ondas 2. POR CONVECCIÓN

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE Observación:

Unidades:

Es la forma de transmisión del calor que se Los metales son buenos conductores del calor por ejemplo: la plata, el cobre y el aluminio. La madera, el papel y el aire son malos conductores o aislantes del calor

174

Es la propiedad térmica de las sustancias que nos

Q Ce = m ΔT

Δ T: variación de temperatura debido a “Q”.

Q : Cantidad de calor que gana o pierde la sustancia. m : masa de la sustancia. Δ T: variación de temperatura debido a “Q”.

+

GANADO

ΣQ

PERDIDO

(cuerpos calientes)

=0

MÉTODOS PRÁCTICOS:

Unidades:

cal Kcal J , , °C °C °C CALOR SENSIBLE (QS) Es la cantidad de calor que las sustancias utilizan íntegramente para aumentar o disminuir su temperatura en un mismo estado físico. Es la cantidad de calor para cuerpos o sustancias que no cambian de fase.

Donde:

ΣQ

(cuerpos fríos)

Para mezcla de sustancias iguales sin cambio de Fase:

m T +m T + 1 1 2 2 Teq = m +m + 1

2 ............

+m T +m

n n n

Para mezcla de sustancias diferentes sin cambio de fase:

m Ce T +m Ce T + Teq =

1

1 1 2 2 2 m 1 Ce1 +m2 Ce2 +

+m Ce T n

+mn Ce

n n n

Q = m.Ce.ΔT EL CALORÍMETRO Donde: Q : cantidad de calor ganado o perdido. m : masa de la sustancia. Ce : Calor específico. T: variación de temperatura debido a “Q”

Es un recipiente que se usa para calcular calores específicos. Este recipiente, se encuentra aislado convenientemente con el propósito de evitar pérdidas de calor al medio ambiente.

FÍSICA

175

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

El calorímetro contiene agua, cuya masa se ha medido previamente, y un termómetro sumergido en él, que mide la temperatura. Termómetro

Material aislante

FÍSICA

176

DIAGRAMA “T” vs “Q” (Para el agua)

Sublimación Directa

T( C)

Fusión Sólido

Gas

Solidificación

100

(Vapor)

Condensación

0

Hielo + Agua

Sublimación Inversa Hielo

*Para el Agua:

Q 1

HO 2

Metal que forma la estructura

A la presión de una atmósfera sus temperaturas de cambios de fase son: Tfusión = Tsolidificación = 0°C Tvaporización = Tcondensación = 100°C

Equivalente en Agua de un Calorímetro Se define como la masa de agua (masa equivalente) que multiplicada por su calor específico es igual al producto de la masa del Calorímetro por el calor específico del material que forma el Calorímetro.

mE CeH O2 = mCalorímetro Ce Calorímetro Donde: mE = masa equivalente en agua en gramos.

CALOR LATENTE (L) El calor latente determina la cantidad de calor que se le debe entregar o sustraer a la unidad de masa para que esta cambie de fase.

L=

Q m

Unidades: cal/g ; kcal/kg ;

CAMBIOS DE FASE

J/kg

Luego:

Q = mL Existen principalmente 3 fases: sólido, líquido y gaseoso. Todo cambio de fase se realiza a cierta presión y temperatura las cuales permanecen constantes mientras se produzca dicho cambio. Cuando la sustancia está en condiciones de cambiar de fase (temperatura de cambio de fase) dicho cambio se puede producir por ganancia o pérdida de calor de la sustancia. La fusión y la vaporización se producen por ganancia de calor en cambio la solidificación y condensación son por pérdida de calor. El calor en el cambio de fase realiza un reordenamiento molecular de la sustancia.

Agua

Q2

Agua + Vapor de Agua

Q3

Vapor de agua

Q4

Q(cal)

EQUIVALENCIA DE LA ENERGÍA MECÁNICA Y EL CALOR (EFECTO JOULE)

El científico británico James Prescott Joule, demostró que un trabajo mecánico determinado producía siempre una misma cantidad de calor. Al dejar caer pesas de diferentes alturas, la energía potencial que poseen se transforma en el trabajo capaz de hacer mover las paletas del calorímetro. Comprobó además, que para una misma cantidad de agua, siempre se conseguía un mismo aumento de temperatura con una energía potencial dada. Así, encontró que para aumentar en un grado centígrado cada gramo de agua era necesaria una energía de 4,18 Joule. En función de esta cifra se introdujo una unidad de calor: la caloría (cal), que se define como la cantidad de calor que debe absorber un gramo un

L

Donde: QL: cantidad de calor latente que debe ganar o perder la sustancia para cambiar de fase.

gramo de agua para que su temperatura aumente en un grado centígrado (de 14,5°C a 15,5°C). La relación entre Joule y caloría se llama EQUIVALENTE MECÁNICO DE CALOR. 1 cal = 4,18 J

EJERCICIOS DE CLASE 01.-Un cuerpo de masa 5 g y de calor específico Ce=0,02 cal/g°C, aumenta su temperatura en 400°C. Determine el calor (cal) absorbido por dicho cuerpo. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

Vaporización Líquido

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

1 J = 0,24 cal

Para el Agua (P = 1atmósfera)

02.-40 g de un cierto material aumenta su temperatura en 200°C. Determine la cantidad de calor absorbido por dicha masa. (Ce = 0,04 cal/g°C) A) 320 cal B) 330 cal C) 120 cal D) 140 cal E) 72 cal 03.-8 g de agua a 30°C absorben 40 cal de calor. Hallar la temperatura final del agua. A) 35°C B) 40°C C) 45°C D) 55°C E) 65°C 04.-30 g de sustancia (Ce = 0,2 cal/g°C) absorben 240 calorías. Si inicialmente estaba a 40°C, determine su temperatura luego de absorber dicho calor. A) 45°C B) 55°C C) 65°C D) 75°C E) 80°C

Para T = 0°C 05.-Si se mezclan 200 g de Agua a 20°C con 500 g de Agua a 50°C y con 800 g de Agua a 80°C. Determinar la temperatura de equilibrio. A) 60°C B) 70°C C) 40°C D) 65°C E) 30°C

Lfusión = Lsolidificación = 80 cal/g Para T = 100°C Lvaporización = Lcondensación = 540 cal/g La energía potencial de las pesas se transforma en calor debido al rozamiento de las paletas con el agua.

FÍSICA

177

06.-En un recipiente de calor específico despreciable se mezclan 100 g de agua a 10°C con 300 g de agua a 30°C y con 600 g de agua a 60°C. La temperatura de equilibrio es: A) 42°C B) 44°C C) 46°C D) 48°C E) 52°C 07.-Se mezclan “M” g de agua a 10°C con 50 g de agua a 80°C. Si la temperatura de equilibrio es de 60 °C, determine la masa “M” A) 10 g B) 20 g C) 30 g D) 35 g E) 38 g 08.-Se desea saber la temperatura final de una mezcla compuesta por 20 g de una sustancia “A” (Ce = 0,06 cal/g°C) a 40°C con otra sustancia “B” (Ce = 0,02 cal/g°C) a 80°C cuya masa es de 100 g. A) 61°C B) 65°C C) 70°C D) 72°C E) 52°C 09.-En un recipiente térmicamente aislado, se mezclan 30 g de una sustancia “A” a 40°C con otra “B” a 80°C. Siendo la masa de B de 50 g, determine la temperatura de equilibrio de la mezcla. (CeA=0,5cal/g°C y CeB=0,2cal/g°C) A) 42°C B) 45°C C) 50°C D) 56°C E) 62°C 10.-Se mezclan 30 g de agua a 20°C con “x” g de agua a 60°C. Si la temperatura de equilibrio es de (300/7) °C. Determine “x”. A) 10 g B) 20 g C) 30 g D) 40 g E) 50 g

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE 11.-Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). ( ) El calor se puede propagar en el vacío ( ) El calor puede expresarse en joule y la temperatura en kelvin ( ) La capacidad calorífica de un cuerpo metálico depende de su masa A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FFF 12.-Se tiene un cubito de 10 g de hielo que se encuentra a 0°C; se dispone de una fuente de calor que puede entregar 900 cal. ¿Cuál sería la temperatura final del hielo? A) 8°C B) 10°C C) 12°C D) 15°C E) 20°C 13.-Determinar la cantidad de calor necesario para convertir 2Kg de hielo a -10 °C en agua a la temperatura de 0°C. A) 180 kcal B) 160 kcal C) 70 kcal D) 120 kcal E) 170 kcal 14.-Tenemos 40 g de Agua a 0°C. ¿Qué cantidad se le debe extraer para convertirlo en hielo a 10°C? A) 2800 cal B) 3100 cal C) 3400 cal D) 4200 cal E) 5100 cal

FÍSICA

16.-Se tiene 50 g de hielo a temperatura de -10°C. ¿Qué cantidad de calor es necesario para transformarlo en vapor de agua a 120°C? A) 60420 cal B) 7200 cal C) 8940 cal D) 12450 cal E) 36750 cal 17.-Si mezclamos 20 g de hielo a -60°C con “M” g de vapor de agua a 100°C se obtiene una temperatura de equilibrio de 40°C. Entonces el valor de “M” es: A) 12 B) 5 C) 8 D) 15 E) 10 18.-En un calorímetro de equivalente en agua igual a 20 g, se tiene 180 g de agua en equilibrio térmico con 100 g de hielo. Si se inyecta 20 g de vapor de agua a 100°C. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio? A) 10°C B) 0°C C) 20°C D) 15°C E) 23°C 19.-Una muestra de mineral de 10 g de masa recibe calor de modo que su temperatura tiene un comportamiento como el mostrado en la figura. Determinar los calores latentes específicos de fusión y vaporización en cal/g. T( C) 230 180 40

15.-Si a 3 g de vapor de agua a 100°C se le extraen 1620 cal, su temperatura final será. A) 90°C B) 80°C C) 95°C D) 100°C E) 72°C

178

100 250

-20 -40

A) 3 y 8 B) 10 y 15 C) 8 y 15 D) 6 y 15 E) 7 y 10

400

450

Q(cal)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE 20.-En la figura se muestra la cantidad de calor entregada a un cuerpo versus la temperatura. Determine el calor latente de fusión (en cal/g), si la masa del material es de 50g. T(°C)

40

5 200

600

800

Q(cal)

-20

A) 10 B) 6 C) 4 D) 8 E) 12 21.-Un bloque de hielo de 6kg a 0°C es lanzado sobre una superficie rugosa recorriendo 8 m hasta detenerse. Calcular la masa de hielo (en g) que se derrite debido a la fricción, suponiendo que todo el calor liberado es absorbido por el hielo y la velocidad de lanzamiento es 4 m/s. A) 0,6 B) 0,15 C) 0,14 D) 6,9 E) 3,3 22.-Una patinadora de 55 kg se mueve sobre hielo a 7,5 m/s y se desliza hasta detenerse. Suponiendo que el hielo se encuentre a 0°C y que el 50% del calor generado por fricción es absorbido por el hielo, ¿cuánto de hielo (en g) se funde? A) 10°C B) 0°C C) 20°C D) 15°C E) 23°C 23.-Determine la altura de agua (en mm) a 10°C que se necesita para fundir una capa de hielo de 5 mm de espesor. Considere despreciable la capacidad calorífica del recipiente. Ρhielo = 900 kg/m3 , Ρagua = 1000 kg/m3

FÍSICA

179

h

Agua a 10°C

5 mm

Hielo a 0°C

A) 28 B) 10 C) 15 D) 46 E) 36

PROBLEMAS PROPUESTOS 01.-Un cuerpo tiene una capacidad calorífica de 6 cal/°C y su masa es de 300g. Si su temperatura pasa de 16°C a 26°C. ¿Qué cantidad de calor habrá absorbido? A) 50 cal B) 60 cal C) 70 cal D) 120 cal E) 80 cal 02.-Si la cantidad de calor necesario para aumentar en 100°C la temperatura de 10 kg de un metal es 100 kcal, ¿qué porcentaje de calor se disipa al medio exterior? (Ce = 0,085 cal/g°C) A) 5% B) 10% C) 15% D) 20% E) 25% 03.-Un cuerpo de masa “m” de cierta sustancia necesita recibir 100 cal por elevar su temperatura en 125 °C. ¿Cuántas calorías debe de recibir una masa “2m” de la misma sustancia para elevar su temperatura en 250 °C? A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500 04.-En un recipiente vaciamos 200 g de agua a 20°C, 40 g de agua a 40°C y 60 g de agua a 80°C. Calcular la temperatura de equilibrio.

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE A) 34,66°C B) 35°C C) 38°C D) 50°C E) 70°C 05.-En un calorímetro de equivalente en agua igual a 20 g, se tiene 280 g de agua a la temperatura de 15°C. Si se introduce un bloque metálico de 400 g a 100°C se logra una temperatura de equilibrio de 25°C. Hallar el “Ce” del metal en cal/g°C. A) 0,9 B) 0,8 C) 0,6 D) 1,2 E) 0,1 06.-Se tiene en un recipiente 100 g de agua a la temperatura de 20°C. Si se introduce un trozo de metal de 400 g y a la temperatura de 100°C, determinar la temperatura final de equilibrio, si el calor específico del metal es 0,11 cal/g°C. A) 20°C B) 32,2°C C) 12,6°C D) 44,4°C E) 52,2°C 07.-Se mezclan masas iguales de tres líquidos A, B y C cuyas temperaturas son de 20; 40 y 60°C respectivamente. Si: Ce

(A)

=

1 5

Ce

(B)

=

1 4

Ce

(C)

FÍSICA

180

09.-Se tiene 360 g de agua a 20°C. ¿Qué cantidad de calor se debe extraer para convertirla en hielo a 0°C? A) 6 kcal B) 12 kcal C) 18 kcal D) 24 kcal E) 36 kcal 10.-Si mezclamos 20 g de hielo a -60°C con “M” gramos de vapor de agua a 100°C se obtiene una temperatura de equilibrio de 40°C, entonces el valor de M es: A) 12 B) 5 C) 8 D) 15 E) 10 11.-En un calorímetro de equivalente en agua igual a 20 g, se tiene 180 g de agua en equilibrio térmico con 100 g de hielo. Si se inyecta 20 g de vapor de agua a 100°C, ¿cuál es la temperatura de equilibrio? A) 10°C B) 0°C C) 20°C D) 15°C E) 23°C 12.-El gráfico representa la temperatura “T” en función del calor absorbido por 20 g de cierto líquido. ¿Cuánto vale el calor latente de evaporación del líquido si: Tg =10-1? (en cal/g)

Hallar la temperatura final de la mezcla. A) 40°C B) 46°C C) 20°C D) 23°C E) 57°C

T( C)

a 80°C en el calorímetro. ¿Cuál será la temperatura de equilibrio? A) 23,5°C B) 30,5°C C) 19,5°C D) 47,5°C E) 42,3°C 14.-En un calorímetro de 500 g y calor específico 0,03 cal/g°C se tiene 50 g de hielo a -10°C, se vierte en el calorímetro 70g de agua a 40°C. Encuentre usted las condiciones finales del sistema. A) Agua 100 g; hielo 20 g a 0°C B) Agua 80 g; hielo 40 g a 0°C C) Agua 45 g; hielo 75 g a 0°C D) Agua 120 g a 2°C E) Agua 120 g a 23°C 15.-Se mezclan igual cantidad de masa de hielo a 0°C y vapor de agua a 100°C, en un recipiente de capacidad calorífica despreciable. ¿Cuál es la temperatura final de equilibrio? A) -10°C B) 0°C C) 15°C D) 100°C E) 141°C 16.-Se tiene en un recipiente 100 g de agua a la temperatura 20°C. Si se introduce un trozo de metal de 400 g y a la temperatura de 100°C, determinar la temperatura final de equilibrio, si el calor específico del metal es 0,11 cal/g°C. A) 20°C B) 32,2°C C) 12,6°C D) 44,4°C E) 52,2°C

70 θ

5 700

08.-Se tiene 30g de agua a 60°C. Determinar la cantidad de calor que se requiere para tener 30 g de vapor de agua a 120°C. A) 15,2 kcal B) 17,7 kcal C) 18,6 kcal D) 19,0 kcal E) 20,0 kcal

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

Q(cal)

A) 150 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350 13.-En un calorímetro de equivalente en agua 20 g se tiene 180 g de agua a 15°C, un bloque metálico de 500 g y Ce=0,03 cal/g°C ingresa

17.-En un calorímetro de capacidad calorífica despreciable se tiene 45 g de hielo a la temperatura de -24°C. Si se hace ingresar 26 g de vapor de agua a 100°C, hallar la temperatura final de equilibrio. A) 100°C B) 0°C C) 36°C D) 56°C E) 13°C

FÍSICA

181

18.-Si en un calorímetro ideal, se introducen hielo a -10°C con agua a 85°C en iguales cantidades, entonces podemos afirmar que en el equilibrio habrá: A) Agua a temperatura sobre 0°C B) Hielo a temperatura bajo 0°C C) Solamente hielo a 0°C D) Solamente agua a 0°C E) Agua y hielo a 0°C 19.-Calcular la temperatura de equilibrio al mezclar 40 g de agua a 10°C con 60 g de agua a 30°C y con 120 g de agua a 60°C. A) 36,65°C B) 59,14°C C) 42,72°C D) 53,5°C E) 24°C

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE III. El calor latente de fusión del material es (Q2 - Q1)/m A) Sólo I B) I y II C) I y III D) II y III E) Sólo II 22.-En un recipiente se tiene agua a 0°C. Si se introduce 800 g de hielo a -10°C. ¿Qué cantidad de agua se solidificará? A) 20 g B) 30 g C) 40 g D) 50 g E) 80 g

20.-En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se tiene “X” gramos de hielo a 0°C, en contacto con “Y” gramos de vapor de agua a 100°C. Determinar la relación entre X e Y, para lograr que todo el contenido logre su equilibrio térmico, obteniendo sólo líquido a 100°C. A) X=3Y B) Y=3X C) X=Y D) X=4Y E) Y=4X 21.-Una masa “m” de cierto metal experimenta una variación de temperatura de acuerdo a la siguiente gráfica al entregarle calor. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) si la presión es constante? T( C)

23.-Un bloque de plata (Ce=0,06 cal/g°C) de 200 g de masa se encuentra a 21°C. ¿Qué cantidad de calor debe suministrársele para derretirlo, si la temperatura de fusión es 961°C y su calor latente de fusión es 21 cal/g? A) 10 Kcal B) 14,4 Kcal C) 15 kcal D) 15,48 kcal E) 16,724 kcal

Denominamos “dilatación térmica” cuando las dimensiones de un cuerpo (longitud, superficie o volumen), varían como una consecuencia de los cambios en la temperatura del cuerpo. Dependiendo de las dimensiones predominantes del cuerpo, las dilataciones pueden ser: Lineales. -

D

2

B T T 0

1

Q(cal)

A Q

0

Q 1

2

Q 3

Q 4

I. En el tramo BC existe un cambio de fase II. El calor específico de la sustancia líquida es (Q1 + Q2)/m(T2 - T1)

-Para la dilatación lineal se debe emplear las siguientes fórmulas: I) II)

temperatura. Si un cuerpo metálico se introduce a 65°C, entonces la temperatura de equilibrio es de 50°C, pero si el cuerpo metálico se introduce a 30°C, entonces la temperatura de equilibrio es de 25°C. Determine la temperatura inicial del agua. A) 5°C D) 12,5°C

B) 7,5°C E) 15°C

C) 10°C

αΔT 0

L = L .(1+α.ΔT) f

0

DILATACIÓN SUPERFICIAL Se aplica para el caso de placas o láminas muy delgadas donde sólo interesa la variación del área de su superficie. 0

T

La dilatación de un sólido se debe al aumento de la agitación molecular debido al aumento de la temperatura

0

S

A

24.-En un calorímetro de equivalente en agua igual a 10 g contiene 150 g de agua a 0°C. Se introduce un bloque metálico de 200 g a 200°C. Hallar la temperatura de equilibrio. (Cemetal=0,02 cal/g°C) A) 2°C B) 2,01°C C) 3°C D) 4,87°C E) 5°C

1/°C

A

¡Importante!

DILATACIÓN LINEAL

f

Se aplica para cuerpos muy delgados o elementos muy finos (alambres, varillas, barras, vigas, puentes, etc.) donde su dimensión principal es su longitud.

T

L

Donde:

L

f

ΔS = A f − A0 ΔT = T − T 0

-Coeficiente de Dilatación Superficial (β ) Se define como la variación porcentual del área de la superficie por cada variación de temperatura.

0

Lf

Donde:

T

f

0

25.-En un calorímetro de calor específico despreciable se tienen 1000 g de agua a cierta

C

ó

ΔL = L

Volumétricas. * Cuando la temperatura de un cuerpo aumenta, se dice que sufre una dilatación positiva (dilatación), y si disminuye se dice que sufre una dilatación negativa (contracción).

f

E

°C-1

Unidad:

Superficiales.

T T

* El coeficiente de dilatación es un valor que indica cuán rápido se dilata o se contrae un cuerpo, y depende del tipo de material del que está hecho el cuerpo.

ΔL = L −L 0 f

ΔT = T − f

T

0

-Coeficiente de Dilatación Lineal (α ) Se define como la variación porcentual de la longitud por cada variación de temperatura.

Unidad: °C-1 ó 1/°C *Observación: -Como podemos observar, la dilatación superficial hace que el cuerpo se dilate en sus dos dimensiones (largo y ancho), lo cual nos indica que equivale a dos dilataciones lineales, por lo tanto se deduce lo siguiente:

β=2α

FÍSICA

183

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

-Para la dilatación lineal se debe emplear las siguientes fórmulas:

FÍSICA

184

-El volumen final “Vf”

*Se cumple que:

γ = 3α

V =V ( +γ ΔT )……..(III) L = L 0 .(1+α.ΔT)

I)

-Para la dilatación Volumétrica se debe

DILATACIÓN VOLUMÉTRICA Es el caso más general de dilatación térmica. Todos los cuerpos aumentan su volumen cuando

I) II)

círculo de área “A0” y luego se calienta la placa hasta una temperatura “Tf”, el orificio se dilata junto con la placa hasta tener un área “Af”.

0

Vf = V0.(1+γ.ΔT)

PROPIEDADES I) Si tenemos un aro o anillo de alambre, de coeficiente de dilatación lineal “ α ” y radio “R0”, se calienta, entonces el aro se dilata y el radio

ρ = f

R

0

Δρ =

Rf

0

ρ0

1+γ ΔT

-Incremento de la densidad (Δ ρ ):

Af

0

T

…… .. (V)

0

Reemplazando (I) en (V):

Tf

ΔT

f

V .(1+γ ΔT)

f

0

aumenta hasta “Rf”.

V

…………(IV)

m

ρ =

T

m

Reemplazando (III) en (IV):

0

A

”

f

ρ = f

T

su temperatura aumenta. Consideremos un cilindro de volumen inicial “V 0” a la temperatura “T0”, luego calentamos dicho cilindro hasta “Tf”, entonces sufre un aumento de volumen “Δ V”.

0

III) Si se tiene una placa metálica de coeficiente “ β ” a una temperatura “T0”, y se le extrae un

aplicar las siguientes fórmulas:

ΔV V .γ.ΔT

V

f

-La densidad final “ρ

f

ΔS S .β.ΔT 0 II) Sf = S0.(1+β.ΔT)

LIC. JAIME A. HUACANI LUQUE

− ρ γ ΔT 0 1+γ ΔT

*Se cumple que:

Vf ΔV

A = A (1+β ΔT) f

Donde:

ΔV = V − V f

0

ΔT = Tf − T0

-Coeficiente de Dilatación Volumétrico (ϒ ) Se define como la variación porcentual del volumen por cada variación de temperatura. Unidad:

°C-1

ó

f

0

II) Si tenemos un alambre o varilla de coeficiente “α ” doblada de tal modo que la distancia entre sus extremos es “L0” cuando está a una temperatura “T0”, se calienta hasta una temperatura “Tf”, entonces la distancia entre los extremos del alambre aumenta hasta tener una longitud “Lf”.

L0

hace que el cuerpo se dilate en sus tres dimensiones (largo, ancho y altura), de lo cual se deduce que esta dilatación equivale a tres

densidad disminuye, pero manteniendo constante su masa. *Consideremos un cuerpo de masa “m”, de volumen inicial “V0” y temperatura inicial “T0” entonces, su densidad inicial será:

m

f

ρ = 0

m V

B

-Casos Particulares: 1.-Si α A=α B, las barras se dilatan en igual longitud. Además, las barras no se arquean.

T

…….(I)

0

0

f

V f

m

ρ

f

=

m V

A T

*Aumentamos la temperatura hasta “T f”, por lo tanto el volumen se incrementa hasta “Vf”, obteniéndose una densidad final “ f”.

T

Metal “B”(α )

A

V 0

T0

Metal “A”(α )

Cuando la temperatura aumenta en un cuerpo sólido, su volumen aumenta, por lo tanto su

L

1/°C

*Observación: -Se puede observar que la dilatación volumétrica

diferentes firmemente unidas.

VARIACIÓN DE LA DENSIDAD (ρ ) CON LA TEMPERATURA (T):

*Se cumple que:

R = R .(1+α.ΔT)

Tf

0

BARRA BIMETÁLICA (Termocupla) Es aquella formada por dos tiras metálicas

f

…….(II)

0 Tf A B B

ΔL

2.-Si α A>α B, la barra “A” se dilatará más que la barra”B”. El sistema se arqueará.

dilataciones lineales, entonces:

T

f

FÍSICA

185

tgθ =

A B

Tf

ΔL ΔT

…….(I)

De la dilatación lineal se conoce:

3.-Si α A