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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA

CURSO: FISICA GENERAL DOCENTE: LIC. CARLOS ALBERTO ZABALETA CABALLERO TEMA: TEORIA DE ERRORES ALUMNOS: EDGARD GUSTAVO CARDENAS FLORES CRISTIAN CORNEJO MELISSA MAQUE GUITIERREZ KEVIN MAQUERA TACO

CICLO: II CICLO TACNA - PERU

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FISICA GENERAL - PRACTICA DE LABORATORIO PRACTICA Nº1. TEORIA DE ERRORES

I. OBJETIVOS 1. Detener la incertidumbre y los errores en una vía de medición 2. Calcula la desviación estándar 3. Conocimiento mínimo de la teoría de errores II. TEORIA

Se pretende en este capítulo dar una explicación de la Teoría de Errores, lo más somera posible y fundamentalmente práctica, que pueda servir al alumno cuando efectúe sus trabajos en el Laboratorio de Física, tener en todo momento conciencia de la realidad de los valores que va determinando y entre que límites se está moviendo con relación al valor verdadero de los valores que obtiene. Por mucha que sea la diligencia y cuidado al realizar cualquier determinación práctica física, y por muy sensibles y precisos que sean los aparatos utilizados, es prácticamente imposible el evitar errores, considerando a éstos como la variación entre los valores hallados y el real o verdadero, el cual generalmente nos es desconocido. Tampoco el error, aunque lo conociéramos, nos daría una medida cierta de su importancia, ya que ésta dependerá no de la magnitud de dicho error, sino de la magnitud de la medida a valorar y de la necesidad de aproximación a su valor real. Una diferencia, por ejemplo, de 0,1 mm en la medida del espesor de un cabello, no se podrá considerar como buena, pero esa misma diferencia en la medida de la distancia entre Torrelavega y Santander podría considerarse como extraordinaria. No vamos a entrar en desarrollos complejos matemáticos en esta explicación, sino que vamos a definir los errores que servirán al alumno para saber en que grado de aproximación se encuentra con el valor verdadero, apoyándose en las mediciones obtenidas. TIPOS DE ERRORES Los errores pueden ser producidos, por la imprecisión de los aparatos de medida, que reciben el nombre de errores sistemáticos, o causa de agentes externos o del propio operador, que reciben el nombre de errores accidentales. Mientras que los primeros se repiten en el mismo sentido, siempre que se utiliza el mismo aparato de medida, los segundos varían de una experiencia a otra, tanto en valor como en signo.

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CLASES DE ERRORES E1 error en general podemos definirlo como la diferencia que tenemos entre el valor obtenido y el verdadero. A este error se le denomina "error absoluto" y si llamamos x a la medición y X al valor verdadero, el error absoluto será:

Ea  x  X Otro tipo de error es el "error relativo", definido por el cociente entre el error absoluto y el valor real, dado por la fórmula: Er 

Ea X

MEDIA ARITMÉTICA Los errores sistemáticos prácticamente se pueden hacer desaparecer, pero no así los accidentales. La experiencia y también la teoría con aplicación del cálculo de probabilidades, demuestra que cuando hacemos una serie de mediciones, unos valores estarán por encima del valor verdadero y otros por debajo, de modo que cuando aumentamos el número de estas observaciones las diferencias por más y por menos con el valor real al hallar la media aritmética de estos valores, se van destruyendo las diferencias, y en general podemos tomar como valor más probable de una serie de mediciones el de su media aritmética, y ésta será tanto más cercana al valor verdadero cuantas más mediciones hagamos. Es decir, si tenemos una serie de mediciones de una magnitud, x1, x2, x3,....... el valor más probable es: n

x1  x2  x3  ..... x  n 

x

i

i 1

n

DESVIACIONES Naturalmente que este valor más probable así determinado, no coincidirá ni con e1 valor real, ni con la mayoría de las mediciones hechas. A la diferencia entre cada una de las medidas obtenidas y el valor más probable se le llama "desviación", la cual podrá ser igual, mayor o menor que cero, 

δ  xi  x

DIFERENCIA MEDIA Y ERROR MEDIO La desviación, diferencia media, será la media de las desviaciones, y es a su vez la que nos define el grado de precisión de las observaciones. Ahora bien, no es conveniente usar las desviaciones en sí para hallar la media aritmética de las desviaciones, pues al ser estas variables por más y por menos se van contrarrestando, dándonos entonces un nivel falso de la 3

precisión. Por ello se toman los valores de los cuadrados de las desviaciones, viniendo entonces la diferencia media definida por:

Σδ 2 n

S

(1)

Ya se puede comprender que al no ser un valor que marque la diferencia con el valor verdadero, esta diferencia será un valor aproximado. La verdadera diferencia media, a la que realmente se llama error medio estará definido por

Σd 2 m n en la que d, si será realmente la diferencia entre los valores obtenidos y el verdadero. Esta fórmula no es práctica por no conocer d. Se le suele denominar también diferencia cuadrática media o error cuadrático medio de las desviaciones. Observemos que en (1) al hacer una única observación, se tendrá que Σδ 2  0

y como n = l, el valor de S = 0, por lo que en este caso tendríamos que la precisión es infinita con una sola medida, lo cual es absurdo. Para salvar este inconveniente se suele tomar como denominador en lugar de n, (n-1) y entonces la fórmula a aplicar quedará como sigue:

S

Σδ 2 n 1

con lo que en el caso particular que estamos considerando quedaría indeterminada, eliminando el absurdo anterior. Esta fórmula nos sirve para determinar el error medio de cada observación.

ERROR MEDIO DE LA MEDIA CUADRÁTICA Por brevedad se le llama error cuadrático, y es el que nos define el error que tenemos con el valor verdadero al tomar como valor de este último el más probable, el cual ya dijimos era la media aritmética. Si llamamos m a éste, su valor será: Σδ 2 εm    n(n  1) n S

y por tanto podemos decir que

x  x  εm

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Para mejor comprenderlo pongamos un ejemplo. Es conveniente hacer siempre un cuadro, en el que la primera columna están indicados los datos obtenidos. Imaginemos que hemos hecho una serie de mediciones del periodo de un péndulo, las cuales están reflejadas en la columna primera del cuadro siguiente:

Medida 1,3 1,1

Media 0,07 -0,13

49.10-4 169.104

1,2 1,4

-0,03 0,17

9.10-4 289.104

1,2 1,3 1,2 1,1

1,23

-0,03 0,07 -0,03 -0,13

9.10-4 49.10-4 9.10-4 169.104

1,3 1,2

0,07 -0,03

Del cuadro tendremos

49.10-4 9.10-4

Σδ 2  810  10 4

810  10 4 εm    0,03 s 10  9

y por tanto con lo que el valor será:

1,23  0,03 s

E1 valor correspondiente del error relativo será: er =

0,03/ 1,23 = 0,024 o el 2,4 %.

GENERALIZACIÓN DE LA FORMULA ANTERIOR Puede ocurrir que el valor que queremos determinar en lugar de depender de una sola variable, como en el caso anterior, dependa de varias, es decir G = f ( gl, g2, g3,……..)

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Anteriormente a la obtención final de G, habremos calculado cada uno de los valores interiores del paréntesis, que constarán del más probable más, menos su error. Queremos hallar la variación de G con respecto a una de las variables, luego diferenciando esa expresión, como función de varias variables, con respecto a cada una de ellas, tendremos δf δf δ(G)  δg1  δg2  ............. δf1 δf2 E1 valor del segundo miembro será por tanto el error. Debemos de tener en cuenta que todos los términos de este segundo miembro se tomarán siempre con su valor positivo. Como en el caso anterior creemos que un ejemplo aclarará todos los conceptos, y para ello vamos por lo tanto a determinar la densidad de un cuerpo cilíndrico. La densidad es la relación entre la masa y el volumen, y éste a su vez dependerá según la fórmula geométrica del radio y la altura, d

m m  V πR 2 h

Lo primero y con los aparatos correspondientes determinaremos los valores correspondientes a la masa, al radio y a la altura. Supongamos que los valores obtenidos sean los siguientes: m  45,734  0,002 gr

δm  0,002

R  0,698  0,001 cm

δR  0,001 δh  0,003

h  3,818  0,003 cm

Entonces

da 

45,734  7,830 g/cm 3 2 3,14  0,698  3,818

Para determinar su error diferenciamos la fórmula general y tendremos 1 2m m  δd   δd   δd  δ(d)   δ(m)  δR  δh  δ(m)   δR   δh  2 3 πR h πR h πR 2 h 2  δm   δR   δh  

m  δm δR δh  0,001 0,003   0,002 2    7,830  2.  2  R h 0,698 3,818  πR h  m  45,734 δ(d)  0,029

por tanto el valor de la densidad será

d  7,830  0,03 g/cm 3 Otra manera muy útil de calcular el error de una expresión complicada es la siguiente:

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Se calcula el logaritmo neperiano de la expresión, se diferencia y se hacen positivos todos los términos de la diferencial. En el caso anterior M M d  V πR 2  H luego

lnd  lnM  ln( π R 2  H)

Diferenciando

d(d) dM dR dH   2  d M R H

Considerando las diferenciales como errores absolutos y las variables como los valores supuestos exactos, tendremos:

dR dH   dM d(d)  d   2  R H  M llegando al mismo valor anteriormente calculado.

III. MATERIALES 1. Cronometro:

2. Mesa:

3. Wincha :

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4. Regla de 30 cm:

5. Estudiantes:

IV PROCEDIMIENTO

Medición de la mesa Primero empezamos a medir la mesa con sus respectivas partes unas 15 veces el largo por el ancho para hallar el promedio de estas y tener una medida relativamente acertada sobre tu longitud generalizada .

Medición de la estatura de los compañeros

Posteriormente se continuo a medir uno por uno a los integrantes de nuestro grupo sobre tu talla posteriormente se mantuvo a pedir las medidas de las demás personas del salón y así tener la estatura de todos y poder hallar sus medidas y

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nos servirá para hallar un promedio generalizado

Tiempo de reacción de lo estudiantes

Los estudiantes de ingeniería nos tomamos de las manos y tuvimos que tomar el tiempo de reacción pero que uno tenía que apretar la mano a otro tomando uso del acto reflejo, de una acción y reacción y tomando tiempo sobre estos.

V DATOS Y CALCULO Promedio sobre la longitud de la mesa

ANCHO DE LA MESA 70.05 cm 70.06 cm 70.07 cm 70.06 cm 70.04 cm 70.07 cm 70.07 cm 70.07 cm 70.05 cm 70.04 cm 70.05 cm 70.06 cm 70.06 cm 70.05 cm 70.05 cm

LARGO DE LA MESA 45.05 cm 45.06 cm 45.04 cm 45.06 cm 45.02 cm 45.06 cm 45.04 cm 45.05 cm 45.07 cm 45.04 cm 45.04 cm 45.06 cm 45.05 cm 45.05 cm 45.06 cm

PROMEDIO

PROMEDIO

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70.05

45.04

Promedio sobre la medición de la estatura de compañeros

1.73 m 1.59 m 1.81 m 1.73 m 1.71 m

1.69 m 1.73 m 1.67 m 1.71 m 1.74 m

ESTATURAS 1.68 m 1.64 m 1.64 m 1.67 m 1.68 m 1.70 m 1.55 m 1.66 m 1.56 m 1.78 m

1.71 m 1.68 m 1.67 m 1.65 m 1.66 m

1.57 m 1.78 m 1.79 m 1.67 m 1.70 m

1.70

1.62

1.71

1.70

PROMEDIO 1.62

1.69

PROMEDIO FINAL 1.67

Tiempo de reacción promedio sobre los estudiantes

TIEMPO DE REACCION 1ro 6.24 s do 2 5.19 s ro 3 6.81 s 4to 5to 6to 7mo 8vo 9no

6.85 s 5.81 s 6.06 s 5.87 s 5.67 s 6.00 s

10mo

5.59 s

vo

5.56 s 5.66 s 5.63 s

11 12vo 13vo

PROMEDIO

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VI ANALISIS E INTERPRETACIONES DE RESULTADOS

Los resultados obtenidos nos dan a conocer que todo calculo matemático que lleve la medición no siempre es acertado ya que existe una probabilidad de error al momento de la medición y por eso al momento de hacer cálculos seria acertado poner un porcentaje de error debido a factores terciarios

VI CONCLUSIONES De acuerdo con lo que hemos observado, y los datos obtenidos en los ejercicios, tenemos que cada vez que se efectúe el conjunto de operaciones requeridas para medir una determinada magnitud, se obtendrá un número que solamente en forma aproximada representa la medida buscada. Por lo tanto, cada resultado de una medición está afectado por un cierto error.

VII RECOMENDACDIONES Y SUGERENCIAS XIII REF BIBLIOGRAFICA

http://aulavirtual.upt.edu.pe/course/view.php?id=1194 http://es.scribd.com/doc/52464026/3/Practica-3-Teoria-de-errores http://ebookbrowse.com/prac1-teoria-de-errores-doc-d144289072 http://html.rincondelvago.com/teoria-de-errores.html http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/medidas/medidas.htm

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IX CUESTIONARIO 1.- ¿qué es el valor absoluto y relativo? El error absoluto es la diferencia entre el valor exacto y el valor obtenido por la medida. El error absoluto no puede ser conocido con exactitud ya que desconocemos el valor exacto de la medida. Por eso, utilizaremos una estimación del intervalo en el que se puede encontrar el error absoluto. A esta estimación se la denomina error o incertidumbre, y en este libro la llamaremos simplemente error y se denotará mediante el símbolo ε. El error relativo εr es el cociente entre el error y el valor medido. Se suele expresar en tanto por ciento. Esta forma de expresar el error es útil a la hora de comparar la calidad de dos medidas. 2.- ¿Qué son los errores accidentales? Como se ha dicho, estos errores son debidos a causas imponderables que alteran aleatoriamente las medidas, tanto al alza como a la baja. Son de difícil evaluación, ésta se consigue a partir de las características del sistema de medida y realizando medidas repetitivas junto con un posterior tratamiento estadístico. De esta forma, a partir de las medidas repetitivas se debe calcular la desviación típica s, y a partir de las características del aparato de medida se evaluará el error debido al aparato, D. El error de la medida se tomará como el máximo de estas dos cantidades 4.-¿Cómo obtenemos la desviación típica? Para obtener un buen resultado de una medida, minimizando el efecto de los errores accidentales, es conveniente repetir la medida varias veces. El valor medio será el que tomaremos como resultado de la medida, ya que probablemente se acerque más al valor real. Cuantas más repeticiones de la medida se efectúen, mejor será en general el valor medio obtenido, pero más tiempo y esfuerzo se habrá dedicado a la medida. Normalmente a partir de un cierto número de repeticiones no vale la pena continuar. ¿Cuál es el número óptimo de repeticiones? Para decidirlo hay que realizar tres medidas iniciales. A partir de estas medidas se calcula la dispersión D. La dispersión de una medida es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo obtenidos, dividido entre el valor medio, expresado en tanto por cien:

5.- ¿Qué son los errores sistematicos? Los errores sistemáticos son debidos a defectos en los aparatos de medida o al método de trabajo. Normalmente actúan en el mismo sentido, no son aleatorios, siguiendo unas leyes físicas determinadas, de tal forma que en ocasiones se podrán calcular y compensar matemáticamente tras la medida. Un ejemplo podría ser el de una regla graduada pero dilatada por el calor, esa

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regla daría como resultado longitudes siempre menores que las reales. Otro ejemplo sería la medida de la corriente eléctrica que circula por un conductor mediante un amperímetro. Al introducir el amperímetro en el circuito éste se modifica, de manera que la corriente medida no es exactamente igual a la corriente que circulaba antes de colocar el amperímetro. En este ejemplo el propio aparato de medida modifica el resultado. 6.-¿cómo corregir un error sistemático? Una forma de corregir los errores sistemáticos es realizando una curva de calibrado, que es una gráfica que relaciona los valores medidos con los valores reales. Para ello hay que disponer de algún patrón o magnitud cuyo valor es conocido. En el ejemplo de la regla dilatada bastaría con medir con ella uno o más patrones de longitudes conocidas para trazar una recta (o curva) de calibrado. Una vez se dispone de la curva de calibrado, cualquier medida realizada con el sistema se puede transformar en un resultado libre del error sistemático sin más que consultar la curva de calibrado que relaciona los valores medidos con los reales.

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