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25 Departamento de lenguaje Departamento de matemáticas

Figuras y Geométricos

Cuerpos

Nombres: Camila Heinz Felipe Tello Curso: III°B Fecha: 08-junio-2015 Profesor: José Miguel Aramburú Javiera Moya

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Índice 1. Indice …………………………………………………………………………. Pag.2 2. Introduccion…………………………………………………………………. Pag. 3 3. Marco teorico ……………………………………………………………….. Pag. 4 3.1. Fiiguras planas…………………………………………………………. Pag. 4 3.1.1. Triangulos ……………………………………………………….. Pag. 4 3.1.1.1. Formulas………………………………………………… Pag. 4 3.1.1.2. Propiedades ……………………………………………... Pag. 4 3.1.1.3. Triangulo Equilatero…………………………………… Pag. 7 3.1.1.4. Triangulo Isoseles ……………………………………… Pag. 7 3.1.1.5. Triangulo Escaleno …………………………………… Pag. 7 3.1.1.6. Triangulo acutángulo ………………………………….. Pag. 8 3.1.1.7. Triangulo Rectangulo ………………………………… Pag.8 3.1.1.8. Triangulo Obtusangulo………………………………… Pag.8 3.1.2. Cuadrilateros……………………………………………………. Pag.9 3.1.2.1. Formulas………………………………………………….. Pag.9 3.1.2.2. Propiedade……………………………………………….. Pag.9 3.1.2.3. Cuadrado ………………………………………………… Pag.10 3.1.2.4. Rectangulo……………………………………………… Pag.10 3.1.2.5. Rombo ………………………………………………….. Pag.10 3.1.2.6. Romboide ………………………………………………. Pag.11 3.1.2.7. Trapecio…………………………………………………. Pag.11 3.1.2.8. Trapezoide………………………………………………. Pag.11 3.1.3. Poligonos ……………………………………………………… Pag. 12 3.1.3.1. Formulas……………………………………………….. Pag. 13 3.1.3.2. Propiedades…………………………………………… Pag. 13 3.1.3.3. Pentagono……………………………………………… Pag. 14 3.1.3.4. Hexagono ……………………………………………… Pag. 14 3.1.3.5. Heptagono ……………………………………………. Pag. 14 3.1.4. Circulos ………………………………………………. Pag. 15 3.1.4.1. Formulas ………………………………………………. Pag 15 3.1.4.2. Propiedades …………………………………………... Pag 15 3.1.4.3. Circulo …………………………………………………. Pag 16 3.1.4.4. Ovalo …………………………………………………... Pag 18 3.1.4.5. Parabola ………………………………………………. Pag 18 3.2. Cuerpos Geometricos …………………………..………………… Pag 19 3.2.1. Piramides…………… 3.2.1.1. Figuras Gemetricas ………………………………… Pag. 19 3.2.1.2. Propiedades 3.2.1.3. 3.2.1.4. 3.2.1.5.

Introducción

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En el siguiente informe repasaremos todo lo que hemos vistos durante los últimos años de colegio desde lo más básico a lo más profundizado. El objetivo de este es resolver las dudas que nos quedaron y recordar la metería pasada sin necesidad de buscar en un libro u internet ya que todo lo encontraras acá en este informe completo.

Acá podrás recordar que son las figuras planas quienes la componen, sus propiedades, formulas y sus principales características.

En donde podrás ver sus teoremas y sus respectivamente fotografías. Las figuras planas que compone este informe son las siguientes: Triángulos y sus tipos, Cuadriláteros como: Los cuadrados, rectángulos, rombo y muchos mas

.

Los círculos y sus características, los polígonos y todo sobre ellos.

Además de la figuras planas tenemos los cuerpos geométricos que son las figuras con altura y volumen que a diferencia de las figuras anteriores estas si ocupan un lugar en el espacio y nos rodean en nuestra vida cotidiana por ejemplo: Una figura muy conocida entre los cuerpos geométricos es la esfera la cual la podemos asimilar con el planeta tierra o un balón de futbol.

También enseñaremos como calcular su volumen y su altura y los tipos de cuerpos geométricos como: La esfera, el cubo y sus características, la pirámide, sus tipos y por último el prismas y sus fórmulas.

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Marco Teórico Figuras planas: Son aquellas que sus puntos se encuentran en un plano y tienen dos dimensiones la altura y la anchura. Estas figuras se dividen en dos. Los polígonos:son figuras planas siempre con líneas rectas cerradas. Y los círculos: son figuras plana cerrada y sola tiene con una línea llamada circunferencia. Grupos de Figuras: TRIANGULOS: El triángulo es un polígono que está formado por tres lados, estos pueden ser iguales o distintos entre ellos. Esta figura geométrica se forma gracias a la unión de tres rectas que se interceptan en tres puntos desalineados. Estos puntos en donde las rectas se unen recibe el nombre de vértice, mientras que los segmentos de la recta se denominan lados. Formulas: Para calcular el perímetro del triangulo en general:

P=a+ b +c

Para calcular el perímetro del triangulo equilátero:

P=3. l

Para calcular el perímetro del triangulo isósceles:

P=2. l+b

Para calcular el área del triangulo en general:

A=

b.h 2

Para calcular la altura del triangulo: Teorema de Pitágoras:

c 2+ c 2=h2

Algunas de las propiedades principales de un triángulo son: 

Los triángulos constan de tres ángulos, los cuales al sumarlos, su resultado siempre será 180°.

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A+B+C=180° 

El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α =A+ B α = 180º - C



Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también serán iguales.



Un lado de un triángulo es menor que la suma de sus otros dos y mayor que su diferencia. ab–c



Los tres ángulos del triángulos son iguales entre si y tienen una amplitud de 60°. Lo cual si recordamos la propiedad de que los lados iguales se oponen a ángulos iguales en el mismo triangulo y como las suma de los ángulos interiores debe ser 180°, cada cual debe tener amplitud de 60° para satisfacer ambas propiedades de la geometría euclidiana.



Todo triangulo equilátero es también isósceles, tomándose por base a cualquiera de sus tres lados y lo inverso no podría ser válido, esta propiedad es solo para los equiláteros.



La bisectriz del ángulo opuesto a la base, corta a la base en su punto medio. La bisectriz es compatible con

la

mediana

del

lado

AB. La bisectriz del ángulo contrario a la

base, es perpendicular a la base. La bisectriz coincide con la altura correspondiente al lado AB, esta propiedad es solo para los isósceles. 

Esta propiedad se puede ver solo en triángulos escalenos, tiene sus tres lados de distinta media, significa que sus tres ángulos interiores también debieran tener distinta medida.



Se indica que ninguno de los ángulos interiores es recto, esta propiedad se puede ver en triángulos acutángulos, obtusángulos y oblicuángulos.



Las siguientes tres propiedades son para el triangulo rectángulo. La longitud de la hipotenusa siempre resultara menor que la suma de los dos catetos. La Hipotenusa siempre será más larga que cualquiera de los dos catetos.

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

En el teorema de Pitágoras se basa en las características de los triángulos rectángulos y dice que el cuadrado de la hipotenusa resulta igual al resultado de la suma de de los cuadrados de los catetos. Y se establece una ecuación para todo triangulo rectángulo: Cateto al cuadrado + cateto al cuadrado = Hipotenusa al cuadrado.



También podemos decir que los triángulos rectángulos pueden ser triángulos isósceles, ya que los dos catetos pueden tener la misma extensión o por otro lado pueden ser triángulos escalenos, por si sus tres lados fueran distintos.

Para clasificar los triángulos tenemos dos fórmulas distintas, ya sea por sus lados o por sus ángulos. Por sus lados:

Triangulo Equilátero: Es una figura que tiene todos sus lados iguales entre sí,es decir, es un polígono de tres lados idénticos que posee tres ángulos agudos e iguales a 60°. Las siguientes características lados de igual longitud y ángulos congruentes hacen que la formación de un triángulo equilátero sea sencilla.

Triangulo Isósceles: Es aquel triangulo que consta de dos lados y ángulos iguales y uno distinto. Los ángulos contrarios a los lados que tienen la misma longitud también son iguales. Todo triangulo isósceles posee dos ángulos de 45° y un ángulo 90° que al sumarlo su resultado es 180° y cumpliría la principal propiedad de un triangulo.

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Triangulo Escaleno: Es aquel triangulo que todos los lados son de distinta longitudes, por ende ningún ángulo es igual a otro, de igual manera al sumar sus tres ángulo su resultado es de 180°

Por sus ángulos: Triángulo acutángulo: Tiene sus 3 ángulos agudos osea menores de 90

Triangulo rectángulo: Es el triángulo que uno de sus ángulos es recto por lo tanto es de 90º. Mientras que los otros dos ángulos siempre son agudos, esto quiere decir que miden menos de 90º. El ángulo recto en el triángulo rectángulo se forma por los dos lados de menor longitud, conocidos como catetos, mientras que para el tercer lado el de mayor longitud, lleva el nombre de hipotenusa.

Triángulo obtusángulo: el que tiene 1 ángulo obtuso por ende mayor de 90º pero menos que 180º.

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.

CUADRILATEROS Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados no siempre los cuadriláteros tienen la misma forma pero si tienen cuatro vértices y dos diagonales. Puesto que todo cuadrilátero al sumar sus cuatro ángulos su resultado siempre será 360° Paralelogramos: Cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Los cuadriláteros que pertenecen a los paralelogramos son: el cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. Formula: Para obtener el perímetro del cuadrado y el rombo: Para obtener el perímetro del rectángulo y romboide: A=a2

Para obtener el área del cuadrado: Para obtener el área del rectángulo: Para obtener el área del rombo: Para obtener el área del romboide:

A=b .h

A=D . d /2

A=a .h

P=4. a P=2. a+2. b

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Propiedades:   

Los lados opuestos son los que no tienen ningún vértice en común Los lados consecutivos son los que tienen un vértice en común Los vértices y ángulos opuestos son los que no pertenecen a un mismo lado, siendo los



ángulos iguales. El número total de diagonales que pueden trazarse son siempre dos y se cortan en un punto

 

interior. Desde un vértice solo se puede trazar una diagonal. Las diagonales se bisecan, son bisectrices y son perpendiculares esta propiedad la

podemos utilizar con los rombos.  Esta propiedad se puede aplicar para los cuadrados y rectángulos, las diagonales se bisecan 

y son congruentes. Las siguientes propiedades son solo para los trapecios, A los lados paralelos de un trapecio



se les denomina bases. Al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos se le denomina mediana y



se puede calcular como la semisuma de las bases. Los ángulos que comparten los lados no paralelos son suplementarios entre sí.

Cuadrado: Es un polígono de cuatro lados iguales y cuatro ángulos de 90° cada uno y pertenece a los paralelogramosEs el polígono que tiene sus lados opuestos paralelos, por ende es un paralelogramo ya que sus cuatro ángulos internos son rectos, también se puede calificar como un rectángulo equilátero.

Rectángulo: El rectángulo es aquel que tiene dos pares de igual medida(sus paralelos). Todos sus ángulos son rectos es decir de 90° El rectángulo también

pertenece

los paralelogramo que tiene los lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

a

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Rombo: Es un paralelogramo de cuatro lados iguales, que posee dos ángulos agudos en otras palabras miden menos de 90° y dos ángulos obtusos ósea que miden más de 90°. Las diagonales del rombo no son iguales y son perpendiculares.

Romboide: también pertenece a un paralelogramo igual que los cuadriláteros anteriores ya que posee dos pares de lados de la misma medida y dos ángulos agudos ya que no posee ningún ángulo recto ósea de 90°. Sus diagonales no son iguales y son oblicuas.

Trapecio: El trapecio es un cuadrilátero en la cual consiste de dos lados rectos y dos perpendiculares Estos se dividen en tres tipos: El trapecio rectángulo, el trapecio isósceles y el trapecio escaleno.

Trapecio rectángulo: este tiene un lado perpendicular a sus bases Y un ángulo recto. Trapecio isósceles: tienen dos lados paralelos iguales y los angulos opuestos son suplementarios.

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Trapecio escaleno: ninguno de sus lados son iguales ni tampoco lleva un angulo recto.

Trapezoide: Un trapezoide es un cuadrilátero sin lados paralelos pero al igual que los demás cuadrilátero la suma de sus ángulos es 360°.

Polígonos:

Son figuras geométricas planas que están establecidas por líneas rectas. Se constituye de un fragmento plano que está construido por segmentos consecutivos sin alineación, que se denominan por lados. Hay variadas clasificación de polígonos. Como el polígono simple es aquel que en dos de sus aristas no consecutivas no se interceptan. En el polígono complejo podemos ver que dos de sus aristas que no son consecutivas si se cortan, además de los anteriores también tenemos el polígono cóncavo es aquel que al atravesar una recta lo corta en más de un par de puntos, también está el convexo que al atravesar una recta, lo interrumpe en no más de dos puntos, el regular es el que tiene los mismos lados y ángulos, al contrario de este está el polígono irregular que sus lados y ángulos son distintos. En la siguiente tabla mostraremos los nombres de cada polígono y el número de lados que posee.

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Nombre

Número de lados

Triángulo

3

Cuadrilátero

4

Pentágono

5

Hexágono

6

Heptágono

7

Octágono

8

Eneágono

9

Decágono

10

Undecágono

11

Dodecágono

12

Formulas: El perímetro de un polígono lo podemos sacar sumando las longitudes de sus lados, también esta formula la podemos ocupar para los polígonos irregulares. P=a+ b+c Para calcular el perímetro de los polígonos regulares se calcula el número de lados por la longitud de lados. P=n . l

El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos, también ocupamos esta fórmula para los polígonos irregulares.

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A=T 1+ T 2+T 3+T 4 El área del polígono regular se obtiene sacando el perímetro por apotema dividido en dos. A=

perímetro . apotema 2

Propiedades: 

L a p r i m e r a q u e p o d e m o s m e n ci o n a r e s l a q u e l o s l a d o s , á n g u l o s i n t e r i o r e s ,

 

ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales. A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3) diagonales. Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos. Tam b i é n p o d e m o s m e n c i o n a r q u e l a s u m a d e l a s m e d i d a s d e l o s á n g u l o s



e xt e r i o re s d e u n p o l í g o n o e s 3 6 0 º . E s t a p r o p i e d a d l a u t i l i z a m o s p a r a l o s p e n t á g o n o s s e p u e d e n d e s co m p o n e r



e n t r e s t r i á n g u l o s ya s e a d e l p u n t o q u e s e h a m a r ca d o o d e s d e o t r o . E s t a p r o p i e d a d e s p a r a l o s p o l í g o n o s c o n ve xo s t o d o s l o s á n g u l o s i n t e r i o r e s s o n m e n o s 1 8 0 º y l a su m a d e l o s á n g u l o s e xt e r i o r e s e s d e 3 6 0 º .

Pentágono:

un p e n t á g o n o

regular es

una

figura

g e o m é t ri c a p l a n a

que

está

c o n s t r u i d a p o r c i n co l a d o s y á n g u l o s q u e so n i g u a l e s .

H e x á g o n o : U n h e xá g o n o e s u n p o l í g o n o re g u l a r d e s e i s l a d o s y á n g u l o s i g u a l e .

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Heptágono: Un heptágono es un polígono regular de siete lados y ángulos iguales.

Circunferencias: La circunferencia es una curva plana y cerrada, es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una cierta distancia fija de un punto central

Formula:Longitud circunferencia: Área:

Propiedades:.la

circunferencia es

los puntos están en otra ubicación

la

línea

cerrada

de

formato curvo

plana

en

donde

del punto central que se localiza en el mismo plano. Esta

distancia que separa al conjunto de puntos y al área central se conoce como radio, mientras que el segmento de recta que compone por dos radios alineados recibe el nombre de diámetro

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Circulo: es una figura plana que se encuentra en el interior de una circunferencia. Elementos de una circunferencia:



Centro: es el punto interior distinto de todos los puntos de la circunferencia.



Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.



Diámetro: es eles la recta mayor que une dos puntos de la circunferencia. La suma de dos radios se denomina diámetro



Arco: pertenece a la línea curvilínea de puntos que pertenecen a la circunferencia.



Cuerda: Se denomina es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas con



mayor

Secante: es

longitud

una

recta

que

que

podemos

corta

encontrar

la

son

circunferencia

los

en

diámetros.

dos

puntos.

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

Tangente: es

una

recta

que

toca

la

circunferencia

en

un

solo

punto.

Óvalo: Se denomina óvalo a una curva cerrada y plana compuesta unos par de arcos que se encuentran en la circunferencia enlazada entre sí y simétrica entre sus ejes mayor y menor

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Parábola: técnicamente consta de cortar un cono recto con un plano en el cual el tiene un ángulo en el eje del cono.

Cuerpos Geométricos Figuras geométricas

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Se denomina figura geométrica a una figura

tridimensional es decir que se proyecta en tres

dimensiones en largo, ancho y alto. Además ocupa un lugar en el espacio por ende

tiene un

volumen. Si todas sus caras resultan ser planas y de forma poligonal, el cuerpo se denomina poliedro. Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares. Hexaedro Tetraedro

(cubo) 4

caras

(triángulos equiláteros) N° de caras N°

de

vértices N° de aristas N° de lados de cada cara N°

Octaedro

6

caras

(cuadrados)

Dodecaedro

Icosaedro

8

12

caras

caras

En 20

caras

(triángulos

(pentágonos

(triángulos

equiláteros)

regulares)

equiláteros)

4

6

8

12

20

4

8

6

20

12

6

12

12

30

30

3

4

3

5

3

3

3

4

3

5

aristas

concurrentes

en un vértice siguiente tabla mostraremos su nombre según sus componentes de un cuerpo geométrico.

la

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Piramides: Pirámide: Es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos con un vértice común. Elementos de una pirámide:

Propiedades:

Altura: La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

Apotema: La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Aristas: Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.

Pirámide recta: Es la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura se calculas desde el punto medio de la base.

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Pirámide convexa : Es aquella base es un polígono convexo.

Pirámide regular: Es la pirámide que cuya base es un polígono regular al igual que sus caras laterales

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Cubo Un cubo es un cuerpo formado por seis caras que son cuadradas. La características de estos cuerpos es que sus seis caras son congruentes y son

paralela. el cubo pertenece a un

paralelepípedo, eso quiere decir que es un prisma que tiene paralelogramos en su bases. Como cualquier paralelepípedo consta de cuatro diagonales que se cortan en un punto central, también seis caras iguales y paralelas de a pares como tambien ocho vértices y doce aristas.

Formula: Area

volumen

A = 6 a2

V = a3

Propiedades:

Caras

6

Polígonosque forman

las Cuadrados

caras Aristas

12

Vértices

8

Grupo simetría

de

Octaédrico

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Esfera: Es una bola perfectamente redonda. Una esfera es un cuerpo sólido y cerrado en la que todos los puntos se encuentran alrededor de un punto central llamado centro. Los puntos están a una distancia que es menor a la longitud del radio, la unión del interior y la superficie esférica se denomina bola cerrada.

área

volumen

Propiedades: Centro: Es el punto interior que rodean los demás puntos de la esfera Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera. Cuerda: Recta que une dos puntos de la superficie. Diámetro: Recta que pasa por el centro y equivale a la suma de dos radios. Polos: Son los puntos del eje de giro que se encuentran sobre la superficie de la esfera

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Primas: un prisma es un poliedro con una base poligonal . se denomina prisma a un cuerpo el cual los límites lo establecen dos de polígonos iguales y planos, dispuestos de forma paralela, y x paralelogramos, de acuerdo a la cantidad de lados que conlleven sus bases.

Formulas: Area

volumen

A = (perim. base • h) + 2 • area base

V = área base • h

Propiedades: 2+x total: Caras

2 {x} n {4}

Aristas

3n

Vértices

2n

Grupo simetría Poliedro dual

de

Dnh

Bipirámide n-gonal

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Conclusión En conclusión nos sirvió mucho este trabajo ya que podemos repasar y/o resolver algunas dudas que siempre tuvimos y nunca hemos podidos resolver. Como: Aprendernos las formulas, como resolverlas y como plantearlas. Recordar cómo eran y cuáles eran los cuerpos geométricos, así también con las figuras planas.

Nos dimos cuenta que en verdad las figuras y cuerpos geométricos nos rodean en nuestra vida cotidiana y no nos damos cuenta. En fin nos favoreció hacer este trabajo ya que recordamos la materia de geometría que deberíamos saber y no olvidarlas y a la vez poner en practica nuestras habilidades de escritura de la asignatura lenguaje y comunicación.

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Lincografia http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Figuras_geometricas.htm http://www.profesorenlinea.cl/geometria/cuerposgeometricos.htm http://definicion.de/triangulo/ http://www.figurasgeometricas.org/2012/04/tipos-de-triangulos.html http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras http://definicion.de/triangulo-acutangulo/ http://definicion.de/triangulo-isosceles/ http://www.infoymate.es/mate/geomcuad/periarea/periarea.htm http://www.portaleducativo.net/quinto-basico/526/Cuadrado-y-rombo-rectangulo-yromboide http://www.vitutor.com/geo/esp/f_4.html