• Author / Uploaded
• AnDy Kof

Citation preview

1

Fase 2 PROCESAMIENTO ANÁLOGICO DE SEÑALES

ELABORADO POR: Cristian Javier Jaime Ramírez Código: 1´083.895.920

GRUPO: 299007_3

TUTOR: AUGUSTO RAMIRO BRUGES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ECBTI - CEAD PITALITO 26/11/2018

2

INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo abordaremos la temática de la unidad 2, análisis de Fourier y Convolución, del curso procesamiento analógico de señales. En donde buscaremos determinar analíticamente las transformadas de Fourier de f(t), a(t) y de la señal de salida del detector, determinaremos la serie de Fourier correspondiente a la señal a(t). y hallaremos la potencia promedio de la señal de salida del detector y de f(t).

3

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

¿Cuál considera que es la funcionalidad del detector?

Los DETECTORES utilizan la media aritmética, media cuadrática, raíz cuadrática media, entre otras, para extraer o filtrar los valores que caracterizan la señal, la funcionalidad del detector es que sirven como dispositivo para controlar los problemas de funcionamiento en las máquinas debido a las vibraciones que se presentan, también funciona como un dispositivo de alerta que mide las variables convirtiéndolas para ser transmitidas a los demás elementos y representadas de manera veraz siendo una base para la resolución temprana de alguna falla que se presente.

 Se requiere determinar analíticamente las transformadas de Fourier de f(t), a(t) y de la señal de salida del detector, luego dibujar sus espectros, también se hace necesario determinar la serie de Fourier correspondiente a la señal a(t). Por otra parte, se requiere determinar la potencia promedio de la señal de salida del detector y de f(t).

SEÑAL ANALÍTICA DEL DETECTOR

a ( t )=0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sin ( 249 πt ) +0.00005 sin ( 8300 πt ) +v ( t ) y left (t right ) +66000y' left (t right ) +1040000000y(t)=70000x'(t)+70000000x(t

Donde y (t) es la salida del filtro y x (t ) es la señal de entrada.

4

TRANSFORMADA DE FOURIER DE f(t) w o=166 π π π F [ sen ( wo t ) ]= δ ( w−wo ) − δ ( w+ w o ) j j f ( t )=10 sen ( 166 πt ) w o=w F ( w )=10

( πj δ ( 166 π −166 π )− πj δ ( w+w )) o

F ( w )=

−10 π∗δ (332 π ) j

La transformada de Fourier 3320 π 2 δ ( ) F w= j

TRANSFORMADA DE FOURIER DE a(t) F [ cos ( w o t ) ] =πδ ( w−w o ) +πδ ( w+ wo ) π π F [ sen ( wo t ) ]= δ ( w−wo ) − δ ( w+ w o ) j j a ( t )=0,0005 cos ( 166 πt ) +0,00025 sen ( 249 πt ) +0,00005 sen ( 8300 πt ) + v ( t ) A ( w )=0,0005 ( πδ ( 166 π −166 π )+ πδ ( 166 π +166 π ) ) +0,00025

A ( w )=0,0005 πδ ( 332 π ) +0,00025

( πj δ ( 249 π−166 π )− πj δ ( 249 π +166 π ) )+ 0,00005

( πj δ ( 83 π ) − πj δ ( 415 π ))+0,00005 ( πj δ ( 813 π )− πj δ ( 8466 π ))+ v (t )

π2 π π π 2 ( ) A w =0,166 π δ +0,02075 δ−0,10375 δ +0,4067 δ−0,4233 δ +v ( t ) j j j j

5

LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA a (t) NOS QUEDO A ( w )=0,166 πδ−0,0996

π2 δ +v ( t ) j

TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA SALIDA DEL DETECTOR ''

'

'

y (t ) +66000 y (t ) +1040000000 y ( t )=70000 x (t ) +70000000 x ( t ) y '(t') +66000 y '(t ) +1040000000 y ( t )=0 Condiciones iníciales y ( 0 )=1 ; y ' ( 0 )=0 1 y ( t ) = e−40000 t ( 20 e 14000 t −13 ) 7 1 h ( t )= e−40000 t ( 20 e14000 t −13 ) v ( t ) 7

( 207 e

h ( t )=

−26000 t

−

13 −40000 t e v (t ) 7

)

6

APLICAMOS LAPLACE H ( s )=

20/ 7 13 /7 − s +26000 s+ 40000

SEÑAL DEL ACONDICIONADOR a 3 ( t )=5 cos ( 166 πt ) +2,5 sen ( 249 πt )+ 0,5 sen ( 8300 πt ) 70000 x'( t )+70000000 x ( t )=5 cos (166 πt )+ 2.5 sen ( 249 πt ) +0.5 sen ( 8300 πt )

APLICANDO LAPLACE 70000 sx ( t )−70000 x ( t ) ¿

2.5 ( 249 π ) 0.5 ( 8300 π ) 5s + 2 + → x ( 0 )=1 2 s + (166 π ) s (249 π )2 s 2 ( 8300 π )2 2

70000 sx ( t )−70000000 x ( t ) ¿ 70000 x ( 0 ) +

2.5 ( 249 π ) 0.5 ( 8300 π ) 5s + 2 + 2 s + ( 166 π ) s ( 249 π )2 s 2 ( 8300 π )2 2

x ( s )( 70000 s +70000000 )=70000+

2.5 ( 249 π ) 0.5 ( 8300 π ) 5s + 2 + 2 s + ( 166 π ) s ( 249 π )2 s 2 ( 8300 π )2 2

2.5 ( 249 π ) 0.5 ( 8300 π ) 5s + 2 + 2 s + ( 166 π ) s ( 249 π )2 s2 ( 8300 π )2 x ( s )=70000+ 70000 s+70000000 2

X ( s ) → H ( s ) →Y ( s ) Y ( s )=H ( s )∗X ( s ) 2.5 ( 249 π ) 0.5 ( 8300 π ) 5s + 2 + 2 s + ( 166 π ) s ( 249 π )2 s 2 ( 8300 π )2 20/7 13/7 Y ( s )= − ∗ 70000+ s+ 26000 s+ 40000 70000 s +70000000

(

)

(

2

)

7

−1

y ( t ) =L

((

2,5 ( 249 π ) 0,5 ( 8300 π ) 5s + 2 + 2 2 2 s + ( 166 π ) s ( 249 π ) s2 ( 8300 π ) 20/7 13/7 − ∗ 70000+ s+26000 s+40000 70000 s+70000000

)

(

2

)

SALIDA DEL DETECTOR

( 207 e

y (t)=

−26000 t

−

13 − 40000 t 70000+5 cos ( 166 πt )+2,5 sen ( 249 πt ) +0,5 sen ( 8300 πt ) e ∗ 7 70000 s +70000000

)(

)

TRANSFORMADA DE FOURIER PARA y ( t )

20/7 13 /7 π π − ∗ 70000+5 ( πδ ( 166 π −166 π ) +πδ (166 π +166 π ) ) +2.5 ( δ ( 249 π−166 π ) − δ ( 26000+ jw 40000+ jw ) ( j j

Y ( w )=

(

Y ( w )=

20 13 π2 π2 π2 π2 − ∗ 70000+ 1660 π 2 δ+207.5 δ −103.5 δ + 4067 δ −4233 δ 182000+7 jw 280000+7 jw j j j j

)(

(

20 13 − ∗ ( 182000+7 jw 280000+7 jw )

Y ( w )=

π2 δ j 70000 jw+70000000

70000+1660 π 2 δ−996

)

SERIE DE FOURIER PARA LA SEÑAL a(t). a ( t )=0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sen ( 249 πt ) +0.00005 sen ( 8300 πt ) + v ( t ) ∝

a ( t )=a o +∑ ( a k cos ( 2 πk f o t ) +b k sen ( 2 πk f o t ) ) k=1

)

8 T

1 a 0= ∫ x ( t ) dt T 0

T

2 a k = ∫ x ( t ) cos ( 2 πk f o t ) dt T 0.

T

2 b k = ∫ x ( t ) sen ( 2 πk f o t ) dt T 0

T =12.05 ms f 0=83 Hz 2 =166 Hz T T

83

1 a 0= ∫ a ( t ) dt =83 Hz∫ ( 0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sen ( 249 πt ) +0.00005 sen ( 8300 πt ) ) dt=0.0000530516 T 0 0 a 0=0.0000530516 T

2 a k = ∫ a ( t ) ∙cos ( 2 πk f o t ) dT T 0 83

166 ∫ cos ( 166 πt ) ( 0.0005 cos ( 166 πt ) ) +0.00025 sen ( 249 πt ) +0.00005 sen ( 8300 πt ) 0

a k =0.000690986 T

2 b k = ∫ a ( t ) ∙ sen ( 2 πk f o t ) dt T 0 83

166 ∫ sen (166 πt ) ( 0.0005cos (166 πt ) )+ 0.00025 sen ( 249 πt ) +0.00005 sen ( 8300 πt ) 0

b k =8.75364 × 10−20

Hallando a k delarmónico k=50

9 T

2 a k = ∫ a ( t ) ∙cos ( 2 πk f o t ) dt T 0 83

166 ∫ cos ( 8300 πt ) ( 0.0005 cos ( 166 πt ) ) +0.00025 sen ( 249 πt ) +0.0000 π 5 sen ( 8300 πt ) dt=−9.5579 ×10−8 0

a k =−9.5579 ×10−8

Hallando el coeficiente b k para el armónico k =50 T

2 b k = ∫ a ( t ) ∙ sen ( 2 πk f o t ) dt T 0 1 83

166 ∫ 0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sen (249 πt )+ 0.00005 sen ( 8300 πt ) + sen ( 8300 πt ) dt 0

b k =0.00005 ESPECTRO DE SEÑALES

f(t) = 10 sin(166𝜋t)

10

Espectro de a(t) a ( t )=0 , 000 5 cos ( 1,66 πt ) +0,00025 sen (249 πt )+ 0,00005 sen ( 8300 πt ) + v(t)

Espectro de y(t)

(

y (t)=

20 −26000 t 13 − 40000 t 70000+5 cos ( 166 πt )+2,5 sen ( 249 πt ) +0,5 sen ( 8300 πt ) e − e ∗ 7 7 70000 s +70000000

)(

)

11

Espectro de la señal en estado permanente y ep

y ep ( t )=379,45 x 10−3 sen ( 166 πt +25.65° )−213,5 x 10−3 cos ( 249 πt+35,2 ° )−519,5 x 10−3 sen(8300 πt +9,26 ° )

POTENCIA PROMEDIO DE LA SEÑAL DEL DETECTOR t

t

2 2 1 P= ∫ |x ( t )| dt P=f ∫ |x ( t )| dt T 0 0

y ep ( t )=−519,5× 10−3 sen ( 8300 πt+ 9,26 ) 3

t

2

P=83∫|−5,19× 10−3 sen ( 83000 πt+ 9,26° )| dt 0

CONVERTIMOS 9,26 a 0,1616 rad 2

∫|−0,5195 sen ( 8300 πt +0,1616 )| dt=0,26988 ( −9,58765 ×10−6 sen ( 2,81839−52150,4 t ) +0,5 t−0,0000270218 ) t

P=0,27 [−9,588 ×10−6 sen ( 2,818−52150.4 t ) +0,5 t−27,022× 10−6 ]0

12

P=0,27 {[−9,588 ×10−6 sen ( 2,818−52150,4 t )+ 0.5t−27,022 ×10−6 ]−[−9,588× 10−6 sen ( 2,818−52150,4∗0 ) +0

P=0.27 {[−9,588 ×10−6 sen ( , .818−52150.4 t ) +0,5 t−27,022 ×10−6 ]−[−9,588 ×10−6 sen ( 2,818 ) −27,022× 10−6 ] } P=0.27 [−9,588 ×10−6 sen ( 2,818−52150.4 t ) +0,5 t−27,022× 10−6 +9,588 × 10−6 sen ( 2,818 ) +27,022 ×10−6 ] P=0.27 [−9,588 ×10−6 sen ( 2,818−52150,4 t ) +0,5 t+ 9.588× 10−6 sen (2,818 ) ] P=0.27 [−9.588 ×10−6 sen ( 2.818−52150.4 t ) +0.5 t+3048.74 ×10−9 ] P=−2.589× 10−6 sen ( 2.818−52150.4 t )+ 0.135t +823.16 ×10−9

POTENCIA PROMEDIO DE LA SEÑAL f(t) La señal f(t): f ( t )=10 sen ( 166 tπ ) t

2

P=83∫|10 sen ( 166 πt )| dt 0 t

P=83∫ 100 sen2 (166 πt ) dt 0

t

P=8300∫ sen2 ( 166 πt ) dt 0

P=8300

[

t sen ( 2∗166 πt ) − 2 4 ( 166 π )

t

]

0

2 t ( 166 π )−sen ( 332 πt ) P=8300 644 π

[

P=8300

[

t

]

0

2 t ( 166 π )−sen ( 332 πt ) 2∗0 ( 166 π )−sen ( 332 π∗0 ) − 644 π 644 π

][

P=12.5

[

2 t ( 166 π )−sen ( 332 πt ) π

]

]

13

P=4150−

12.5 sen ( 332 πt ) π

CONCLUSIONES



Con el desarrollo de cada uno de los ejercicios, logramos dar solución a cada uno de los interrogantes planteados es de vital importancia conocer y manejar conceptos matemáticos, como transformada de Fourier, serie de Fourier y

14

transformada de Laplace para poder dar solución analítica al tratamiento de señales. 

La transformada de Fourier es una de las herramientas matemáticas, la cual es muy útil para analizar las propiedades de las señales y sistemas de tiempo continuo y discreto.

REFERENCIAS

15 

García Martínez, M. (05,07,2017). Procesamiento Digital de Señales Transformada

Discreta

de

Fourier.

[Archivo

de

video].

Recuperado

de:http://hdl.handle.net/10596/12519 

Ambardar, A. (2002). Series de Fourier. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 197). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/i.do? p=GVRL&sw=w&u=unad&v=2.1&it=r&id=GALE %7CCX4060300081&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258be694