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• Luis Libardo Lopez Luna

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Fase 5 Aplicar los conceptos de las unidades vistas

Cristian Danilo Osorio Salazar 1.115.420.538 Jessica Fernanda Mora Código 1098408856 Neiserlen Pertus Yuni Rivas 71255234

Grupo: 551121_14

Presentado A: Tutor: Andrés Fernando Mosquera Geometría Plana

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia Noviembre 2018 Tabla de contenido 1

Introducción………………………………………………………………………………………3 Actividades a desarrollar…………………………………………………………………………4 Conclusiones……………………………………………………………………………………27 Referencias Bibliográficas………………………………………………………………………28

Introducción 2

El presente trabajo tiene como finalidad establecer los fundamentos conceptuales de las unidades vistas a lo largo del curso de geometría plana, en esta fase se aplican algunas operaciones geométricas de utilidad universal, también se da solución a problemas y situaciones reales y científicos de forma eficiente. Es un trabajo colaborativo que busca poner en práctica los conocimientos aprendidos en este campo, llevándolos a un contexto real. Con el desarrollo de estos ejercicios, se pretende interiorizar y poner en práctica ejes temáticos que son trascendentales en el campo de la geometría, dando bases relevantes en la formación de licenciados en matemática como profesionales idóneos.

3

Actividades a desarrollar

Realizar las siguientes actividades de manera grupal

1. Si: ∠ AOD=2x; ∠DOC=5x; ∠COB=3x. ¿Cuánto mide cada ángulo?

La suma de los tres ángulos es igual a 180° 2𝑥 + 5𝑥 + 3𝑥 = 180° 10𝑥 = 180° 𝑥=

180° 10

𝑥 = 18 Reemplazamos para hallar el valor de cada ángulo

∠ AOD=2x

∠DOC=5x

∠COB=3x

∠ AOD=2(18)

∠DOC=5(18)

∠COB=3(18)

∠ AOD=36°

∠DOC=90°

∠COB=54° 36° + 90° + 54° = 180°

4

2. Hallar los complementos de los siguientes ángulos: En el sistema sexagesimal, 1° equivale a 60´ (minutos) y un minuto tiene 60´´ (segundos) a) 18°

90°-18°= 72° b) 36°52’ 89°60´- 36°52´ = 53° 8´ c) 48°39’15’’ 89°59´60´´- 48°39´15´´ =41°20´45´´

3. Encontrar los suplementos de los siguientes ángulos: Un ángulo suplementario son ángulos que sumados, su resultado es exactamente 180° a) 78° 180°-78°= 102° b) 92°15’ 179°60´-92°15´= 87°45´ c) 123°9’16’’ 179°59´60´´ - 123° 9´16´´ =56° 50´44´´

5

4. Si el ∠AOB es recto y ∠AOC y ∠BOC están en relación 4:5, ¿cuánto vale cada ángulo?

𝑥 4 = 90° − 𝑥 5 Multiplicamos 5𝑥 = 4(90° − 𝑥) 5𝑥 = 360° − 4𝑥 5𝑥 + 4𝑥 = 360° 9𝑥 = 360° 𝑥=

360° 9

𝑥 = 40° Reemplazamos el valor de x 90° − 𝑥 90° − 40° 50° ∠AOC = 40°

y

∠BOC=50° 6

5. Si el ∠AOD es recto y ∠AOB=2x; ∠BOC=3x; ∠COD=4x, ¿cuánto vale cada ángulo?

∠AOD= 90° 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 = 90° 9𝑥 = 90° 𝑥=

90° 9

𝑥 = 10° Reemplazamos para hallar el valor de cada ángulo

∠ AOB=2x

∠BOC=3x

∠COD=4x

∠ AOB=2(10)

∠BOC=3(10)

∠COD=4(10)

∠ AOB=20°

∠BOC=30°

∠COD=40° 20° + 30° + 40° = 90°

7

6. si ∠BOC=2∠AOB, hallar: ∠AOB, ∠COD

< 𝐵𝑂𝐶+< 𝐴𝑂𝐵 = 180° < 𝐵𝑂𝐶 = 2𝑋

< 𝐴𝑂𝐵 = 𝑋

2𝑋 + 𝑋 = 180° 3𝑋 = 180° 𝑋=

180° 3

𝑋 = 60° Reemplazamos 2𝑋 + 𝑋 = 180° 2(60°) + 60° = 180° 120° + 60° = 180° < 𝐶𝑂𝐷 = 60°

< 𝐴𝑂𝐵 = 60°

< 𝐵𝑂𝐶 = 120°

< 𝐴𝑂𝐷 = 120°

8

7. Si ∠MON y ∠NOP están en la relación 4 a 5, ¿cuánto mide cada uno?

∠MON= 4X

∠NOP=5X ∠𝐌𝐎𝐍 + ∠𝐍𝐎𝐏 = 𝟏𝟖𝟎° 4𝑋 + 5𝑋 = 180° 9𝑋 = 180° 𝑋=

180° 9

𝑋 = 20° Reemplazamos x < 𝑀𝑂𝑁 = 4𝑋

< 𝑁𝑂𝑃 = 5𝑋

< 𝑀𝑂𝑁 = 4(20°)

< 𝑁𝑂𝑃 = 5(20°)

< 𝑀𝑂𝑁 = 80°

< 𝑁𝑂𝑃 = 100°

8. Hallar el ángulo que es igual a su complemento 9

Dos ángulos son complementarios cuando al sumarlos el resultado es igual a 90°, por lo tanto 𝑥 + 𝑥 = 90° 2𝑥 = 90° 𝑥=

90° 2

𝑥 = 45°

El ángulo que es igual a su complemento es un ángulo de 45°

9. Encontrar el ángulo que es el doble de su complemento 2(90 − x) = 0 180° − 2x = 0 180° = 2x 180° =x 2 90° = x

10. Un ángulo y su complemento están en relación 5 a 4, hallar dicho ángulo y su complemento 𝑥 5 = 90 − 𝑥 4 4𝑥 = 5(90 − 𝑥) 4𝑥 = 450 − 5𝑥 4𝑥 + 5𝑥 = 450

10

9𝑥 = 450 𝑥=

450 9

𝑥 = 50° El ángulo, mide 50°, para hallar su complemente, resolvemos reemplazando el valor de x 90° − 𝑥 90° − 50° 40° El complemento mide 40°

11. Dos ángulos están en relación 3 a 4 y su suma es igual a 70°. Hallarlos. Sabemos que x + y = 70º 𝑥

3

Y que 𝑦 = 4 Ahora, si 𝑥 =

3𝑦 4

, entonces:

3𝑦 + 𝑦 = 70º 4 3𝑦 + 4𝑦 = 70º 4 7𝑦 = 280º 𝑦 = 40º

Entonces si 𝑦 = 40º 40 + x = 70º x = 30º 11

12. Dos ángulos se encuentran en relación 4 a 9 y su suma es igual a 130°. Hallarlos 𝑥 4 = 130° − 𝑥 9 9𝑥 = 4(130° − 𝑥) 9𝑥 = 520 − 4𝑥 13𝑥 = 520 𝑥=

520 13

𝑥 = 40 Reemplazamos el valor de x 130° − 𝑥 130° − 40 90°

Respuesta: el ángulo A mide 40° y el ángulo B, mide 90°

12

13. Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 cm. Construir el triángulo y calcular su perímetro y su semiperímetro.

Perímetro P= a + b + c P= 6cm + 7cm + 9cm P= 22cm Semiperímetro 𝑝=

𝑎+𝑏+𝑐 2

𝑝=

6+7+9 2

𝑝=

22𝑐𝑚 2

𝑝 = 11𝑐𝑚

13

14. Los lados de un triángulo miden 3,4 y 5 pulgadas. Construir el triángulo y calcular su perímetro y su semiperímetro tanto en pulgadas como en cm (tomar como valor de la pulgada 2,54 cm).

3pulgadas= 7,62 cm 4pulgadas= 10,16 cm 5pulgadas= 12,7 cm En pulgadas P= a +b +c 3+4+5= 12pulgadas Semiperímetro= 𝑝=

𝑎+𝑏+𝑐 2

𝑝=

3+4+5 2 14

𝑝=

12 2

𝑝 = 6 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠

En centímetros P= a + b + c P=5,62cm+10,16cm+12,7 P= 30.48 cm Semiperímetro 𝑝=

30,48𝑐𝑚 2

𝑃 = 15,24𝑐𝑚 15. Construir un triángulo que tenga un ángulo que mida 60° y los lados que lo forman midan 3 y 4 pulgadas. Trazar las tres medianas y señalar el baricentro.

15

16. Construir un triángulo que tenga un lado que mida 4 pulgadas y los ángulos adyacentes midan 40° y 50 °. Trazar las bisectrices y señalar el incentro.

17. Construir un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 6 cm y un ángulo agudo de 50°, dibujar las tres mediatrices.

16

18. Construir un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa que mida 5 cm y un ángulo que mida 45°. Dibujar las tres medianas.

19. Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30 ° respetivamente. ¿Cuánto mide el tercer ángulo y cada uno de los ángulos exteriores? La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, entonces 𝑥 + 40° + 30° = 180° 180° − (40° + 30°) = 𝑥 180° − 70° = 𝑥 𝑥 = 110° El tercer ángulo mide 110° 17

Para hallar la medida de los ángulos externos del triángulo, le restamos a 180° el valos de cada ángulo interno. 180°-40°=140° primer ángulo exterior 180°-30°= 150° segundo ángulo exterior 180°-110°= 70° tercer ángulo exterior

20. La apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 m de radio si el lado del cuadrado mide 𝟑√𝟐m. 𝑎=

𝑎=

𝑎=

𝑙 2

3√2𝑚 2

4.2426406871 2

𝑎 = 2.12132034 La apotema del cuadrado es 2,12132034m 21. Calcular la apotema de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 5 m de radio, si el lado del triángulo mide 𝟓√𝟑 m. La apotema de un triángulo corresponde a 𝑎𝑝 =

√3 6

.𝑙

𝑎𝑝 =

√3 . 5√3 6

𝑎𝑝 =

√3 . 5√3 6

𝑎𝑝 = 2,5 𝑚

18

La apotema del triángulo corresponde a 2,5 m

22. Sabiendo que el lado del octágono regular inscrito en una circunferencia de 6 m de radio es igual a 6√𝟐 − √𝟐 𝐦 , hallar el lado del polígono regular de 16 lados inscritos en la misma circunferencia. La fórmula del doble de lados de un polígono es 𝑙2𝑛 = √2𝑟 2 − 𝑟√4𝑟 2 − 𝑙 2 𝑛 ; 1 6 = √2 − √2 𝑚, 𝑟 = 6𝑚 𝑦 𝑛 = 16 𝑙16 = √2𝑟 2 − 𝑟√4𝑟 2 − 𝑙 2 6 =

√2(6)2 − 6√4(6)2 − 6√2 − √2)2 =

√2(6)2 − 6√4(6)2 − (6)2 (2 − √2) =

√2(6)2 − (6)2 √4 − (2 − √2) = 6√2 − √2 + √2) = 𝑚 = 2.34 𝑚

23. Si el lado del hexágono regular inscrito en una circunferencia de 9 m de radio es igual a 9 m, hallar el lado del hexágono regular circunscrito a la misma circunferencia. Para halla el lado, utilizamos la siguiente formula 𝑙𝑛 = 𝑙6 = 𝑟 = 9 𝑚,

2𝑟𝑙6 √4𝑟 2 − 𝑙𝑛2

𝑟 = 9𝑚, 𝑦 𝑛 = 6 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 … 19

𝑙6 =

2𝑟𝑙6 √4𝑟 2 − 𝑙62

=

2𝑟 2 √4𝑟 2 − 𝑟 2

=

2𝑟 2 𝑟√3

=

2𝑟 √3

=

2(9)√3 = 6√3 𝑚 = 10.39𝑚. 3

24. Si el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 m de radio es igual a 𝟕√𝟐m, hallar el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia.

25. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 𝟐𝟎√𝟐 m, hallar le diámetro de esta circunferencia. El perímetro es el resultado de la suma de todos los lados de un cuadrado, por lo tanto l=

20√2 4

l = 5√2 Ahora hallamos el diámetro d = √(5√2)2 + (5√2)2 d = √(25 ∗ 2) + (25 ∗ 2) d = √50 + 50 d = √100 d = 10 El diámetro de la circunferencia es 10m 26. Si el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a 48 cm, calcular el diámetro de dicha circunferencia. Se tiene en cuenta que un hexágono tiene 6 lados, por lo tanto, dividimos el perímetro en 6 20

l=

48 6

l=8 El radio del círculo es igual al lado del hexágono, 8cm Para hallar el diámetro, tenemos en cuanta d = 2r d =2∗8 d = 16cm

27. Calcular el lado del octágono regular inscrito en la circunferencia cuyo radio es igual √𝟐 + √𝟐 m. Usamos la fórmula para halla el lado de un octágono circunscrito en una circunferencia l = R ∗ √2 − √2 Reemplazamos l = √2 + √2 ∗ √2 − √2 L = 1,4142 El lado del octágono es 1,4142 m 28. El lado del decágono regular inscrito en una circunferencia cuyo diámetro mide 2+2√𝟓 m. Primero hallamos el radio de la circunferencia r=

r=

d 2

2 + 2√5 2 21

r = 3,236

l=

l=

R ∗ (√5 − 1) 2

3,23 ∗ (√5 − 1) 2 l = 3,11

29. Calcular el lado del decágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 𝟐 + √𝟑 𝐦 En este caso, ya tenemos el radio, el cual corresponde a 2 + √3m Aplicamos la formula

𝒍=

𝒍=

𝑹 ∗ (√𝟓 − 𝟏) 𝟐

𝟐 + √𝟑 ∗ (√𝟓 − 𝟏) 𝟐

𝒍=

𝟑, 𝟕𝟑 ∗ (√𝟓 − 𝟏) 𝟐

𝒍 = 𝟑, 𝟔𝟕

El lado mide 3,67 m

22

23

24

Conclusiones

25

A lo largo de la fase se han cumplido las expectativas, hemos adquirido conocimientos propios del área, los cuales se han aplicado a situaciones y problemas reales. En el transcurso del periodo se ha logrado los objetivos propuestos de forma satisfactoria, culminando un curso de gran trascendentalidad para nuestra formación. Los conceptos adquiridos durante las diferentes fases, contribuyen a la comprensión de diferentes situaciones que requieren de conocimientos propios de la geometría plana, el desarrollo de estos ejercicios nos brindan herramientas útiles a nuestra profesión.

Referencias bibliográficas

26

Baldor, J. (2009). Geometriá y trigonometría. México: Grupo Editorial Patria. Recuperado de: http://es.slideshare.net/Free_Virtual_World/baldor-geometría-y-trigonometría-17091234

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