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I.E Parroquial “Señor de Huamantanga”– Jaén 4° sec.

Geometría del Espacio –

INTRODUCCIÓN Hasta el momento conocemos

POLIEDROS

figuras Un poliedro es la porción de espacio

geométricas ubicadas solo en un plano tales como el triángulo,

el

limitado por 4 o más polígonos planos no coplanares llamados caras. Un poliedro puede ser convexo y no convexo.

cuadrilátero, la circunferencia, etc. Sin embargo

en

observamos

nuestra

vida

cotidiana

que en nuestro entorno

existen objetos que no están ubicados en un solo plano tales como una caja, una columna, un edificio, un balón de fútbol, etc. Esto nos hace ver la necesidad de analizar

la

forma

extensión

de

los

convexo cuyas caras son todas polígonos regulares congruentes.

espacio, lo cual hacer

Poliedros Regulares Se llama poliedro regular al poliedro

ubicados en el puede

No convexo

y

objetos

se

Convexo

representándolos

mediante figuras geométricas espaciales denominados sólidos geométricos, los cuáles son estudiadas por la geometría

Solo existen 5 poliedros regulares los cuales son: el cubo, el tetraedro, el icosaedro, el octaedro y el dodecaedro que en la actualidad son conocidos como sólidos platónicos.

de espacio. La geometría del

espacio

es la base Tetraedro

Cubo

Octaedro

fundamental de la trigonometría esférica, geometría analítica

descriptiva, del

espacio,

geometría etc.

Que

generalmente son muy utilizadas en ingeniería y en Ciencias Naturales. Prof: Eriberto Pérez Ramírez

Dodecaedro

Icosaedro 1

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Geometría del Espacio –

Se cree que fue Empédocles (480 – 430

2

√3 a3 √ 2 V= A=a

a.C.) quien por primera vez asoció el cubo,

12

el tetraedro, el icosaedro y el octaedro con

a: arista

la tierra, el fuego, el agua y el aire respectivamente. Platón (447 – 347 a.C.) relacionó posteriormente

Desarrollo de su superficie:

el dodecaedro

con el universo.

HEXAEDRO REGULAR (CUBO) d=a √ 3 A=6 a2 V =a3 a: arista

Desarrollo de su superficie:

For Poliedro

ma de la

C

V

A

cara Tetraedr

4

4

6

6

8

12

8

6

12

o Hexaedr o Octaedr o

OCTAEDRO REGULAR A=2a V=

Dodecae

12

20

30

20

12

30

dro Icosaedr

2

√3

a3 √ 2 3 a: arista

Desarrollo de su superficie:

o TETRAEDRO REGULAR h=

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a √6 3

2

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Geometría del Espacio –

1. Si la arista de un tetraedro regular es 3 DODECAEDRO REGULAR A=15 a2

√

5+ 2 √ 5 10 3

V=

5a 2

√

√ 2 . Calcular su altura.

2. Calcular el área de un icosaedro regular cuya arista es

√3 .

3. Calcular el volumen de un octaedro 47+21 √ 5 10

regular cuya arista es 2

√4 9 .

4. Calcular el área y volumen de un

a: arista

hexaedro regular cuya diagonal es 8

Desarrollo de su superficie:

√6 . 5. Calcular el volumen del tetraedro regular, sabiendo que su área es 18

√ 3 m2. 6. Calcular el área de un hexaedro regular cuya diagonal es 2 ICOSAEDRO REGULAR A=5 a

2

5a 6

la

diagonal

del

cubo

√3

sabiendo que su área total es 18m2.

√

8. Del gráfico, calcular el área de la

3

V=

7. Calcular

√3 .

7+3 √5 2

región sombreada.

a: arista Desarrollo de su superficie: 9. Calcular el volumen del tetraedro regular inscrito en el cubo cuya arista es “a”.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

10.

Calcular el área de un tetraedro

regular, cuya altura es 2 Prof: Eriberto Pérez Ramírez

√6 3

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11.

Geometría del Espacio –

Calcular el área de la región

AT = AL + 2AB

sombreada, si el volumen del cubo es 216m3.

B

V = AB . h

C D

A

O G

F E

12.

Donde: PB: perímetro de la base h: altura

H

AB: área de la base

Calcular el área total de un

2. Prisma oblicuo

hexaedro regular, sabiendo que la

AL= PSR . a

distancia de uno de los vértices al AT = AL + 2AB

centro de una cara opuesta es de 2m. 13.

V = AB . h ó

Las aristas de un cubo miden

V = ASR . A

15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y

para volver a su punto de partida, sin

Donde: PSR: perímetro de la sección recta a: arista lateral h: altura AB: área de la base

pasar dos veces por la misma arista

ASR: área de la sección recta

parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer

es: a) 1,80 m

b) 0,60 c) 0,75 e) 1,20

d) 0,90

II.

PARALELEPÍPEDO

Se llama paralelepípedo al prisma que tiene seis caras que son paralelogramos.

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Los paralelepípedos se clasifican de la I. PRISMA Es un sólido determinado por dos polígonos paralelos y congruentes que se denominan

bases

y

tantos paralelogramos como

por lados

tengan las bases.

siguiente forma:  Paralelepípedo recto: Las bases son romboides

y

las

caras

laterales

son

rectángulos.  Paralelepípedo rectangular, rectoedro, ortoedro: Las seis caras son rectángulos.  Cubo o hexaedro regular: Las seis caras

El nombre del prisma depende del polígono de la base. Clasificación

son cuadradas.  Romboedro: Las seis caras son rombos. AL = 2(ac + bc) AT = 2(ab + ac + bc)

1. Prisma recto

D= AL= PB . h

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√ a2 +b2 +c 2

V=a.b.c 4

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Donde: g: generatriz r: radio de la circunferencia básica. V = AB . h

El desarrollo de la superficie lateral de

AB: área de la base III.

un

PIRÁMIDE

cilindro

de

revolución

es

un

rectángulo.

Es un poliedro limitado por una base, que

es

un polígono

por caras

cualquiera;

laterales,

y que

son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice. Pirámide regular V. CONO DE REVOLUCIÓN

P . Ap AL= B 2

Un cono es el sólido generado por un

AT = AL + AB V=

AB. h 3

triángulo rectángulo cuando gira una vuelta completa alrededor de uno de sus catetos. AL=π. r . g

Donde:

AT = π.r (g + r)

PB : Perímetro de la base Ap: Apotema de la pirámide.

2

V=

AB: Área de la base

π.r .h 3

h: altura IV.

CILINDRO CIRCULAR RECTO O Donde:

DE REVOLUCIÓN Un cilindro es el sólido generado por un rectángulo

cuando

gira

una

vuelta

completa alrededor de uno de sus lados. AL=2π. r . g

g: generatriz r: radio de la circunferencia básica. h: altura El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector

AT = 2π.r (g + r)

circular que tiene por radio la generatriz del cono y por arco la longitud de la

V = π.r2.g

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circunferencia de la base del cono.

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2. El perímetro de la base de una pirámide regular es de 12km, su apotema lateral de 0,5km. ¿Cuál será su área lateral? a) 6km2 De la gráfica se verifica:

2 r=

θ 2g 360°

3. Calcular

d) 3

el

volumen

del

rectoedro mostrado. a) 150 b) 160

ESFERA

c) 180

La esfera es el sólido generado por un semicírculo

c) 30 e) 6

r θ = g 360 ° VI.

b) 60

cuando

gira

una

d) 190

vuelta

e) 170

completa alrededor de uno de diámetro.

4. Calcular el volumen del cono de revolución mostrado. a) 9 b) 81 c) 18 d) 27 Donde:

ASE = 4πr2

e) 36

D: diámetro V=

V=

4 π .r 3 π.D 6

3

5. El desarrollo de un prisma es

ASE: Área de la superficie esférica

un rectángulo cuya diagonal mide 8m. y su altura 4

3

Calcular

V: Volumen

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Calcular el área total del cubo.

el

área

√ 3 m.

lateral

de

dicho sólido. a) 32

√ 3 m2

b) 32 c) 16 e) 16 √ 3

6. Calcular

Si: S= 5 √ 2

cilindro

a) 20

d) 12

el

volumen

de

de

revolución

un

cuya

base es de 10m2 y una altura

b) 10

√2

c) 30

√2

d) 30 e) 60

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de 3m. a) 15m3

b) 30 c) 12 e) 16

d) 5

7. Calcular el área total del cubo. Si: A=2

√2 . 6

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a) 24

c) 16

b) 8

d) 8

c) 12

e) 12

d) 16 e) 2

12. Un rectoedro y una pirámide

√2

8. En

una

pirámide

regular

regular

equivalentes

hexagonal se conoce que el

respectivamente.

área de la base, el circunradio volumen de dicha pirámide. a) 4

√3

b) 6 12 √ 3

c) 8 e) 16 √ 3

√3

9. Calcule el volumen de uno de los dos conos circulares rectos, si son congruentes y el área de la región triangular es 9

sus

alturas

Hallar

la

relación de sus volúmenes. a) 3

b) 1/3

c) 1

d) 2

e) 1/2 d)

√3

y

bases

están en relación de 1 a 3

área lateral es el doble del de la base mide 2. Calcule su

tienen

√3 .

a) 81

13. Calcular el área lateral del prisma recto mostrado. a) 3(3-

√3 ) b) 6(3- √ 3 ) c) 8(3- √ 3 ) d) 12(3- √ 3 ) e) N.A

b) 36 c) 16

14. Calcular la longitud del radio

d) 12

de una esfera tangente a las

e) 24

caras laterales y a la base de una

10. Calcule

el

volumen

del

pirámide

cuadrangular

regular cuya arista básica y su

rectoedro.

respectiva altura mide 2.

a) 24

√3 b) 48 √ 2 c) 16 √ 3

15. Sean E1 y E2 dos esferas, si el volumen de E1 es el doble que el de E2 y el radio de E 2 es de

d) 90 e) 48

√3 4 , entonces el volumen de

√3

E1 en (cm3) es: 11. Calcular el volumen del cilindro circular recto, Si el radio de la

16. Calcule la relación entre los volúmenes del cubo y el cono

base es 2, además A+B=8

circular recto.

a) 64 b) 32 Prof: Eriberto Pérez Ramírez

a) 36/

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a) m2

b) 12/

b) 2 c) 1,5 e) N.A.

c) 24/

d) 3

d) 18/

21. Calcular el área lateral de un

e) 16/

prisma recto cuyo perímetro de la base es igual a 5 y cuya

17. Calcular el área de una esfera sabiendo que las áreas de dos círculos

menores

altura es 12. a) 30

b) 60 c) 120 e) F.D.

paralelos

distantes 3m y situados a un

22. Calcular

mismo lado del centro tienen

cilindro

áreas m2 y 16m2.

mostrado.

a) 68 m2

b) 34 c) 12 e) 14

d) 13

el

d) 40

área

total

de

del

revolución

a) 6 b) 24

18. La base de una pirámide es un

c) 11

triángulo equilátero de 4cm de

d) 12

lado, una de las caras laterales

e) Absurdo

es perpendicular al plano de la base y también es un triángulo

23. El

siguiente

sólido

es

un

equilátero. Hallar el área de la

prisma. Halle el valor de S, si:

superficie total de la pirámide.

A=4

√ 3 m2, B=4m2.

a) 4 19. Una esfera de centro “O” es

b) 8

tangente a las caras de un

c) 12

ángulo diedro de arista AB, cuyo

d) 16

ángulo plano mide 60º, además

e) N.A.

BO=2

y

√3

Calcular

el

m∢ABO=30º.

volumen

de

la

24. Una base

esfera.

2m.

girar

90º.

a) 6m3

puerta es de

√ 3 m y una

altura mide 2m.

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√ 3 m2. y una altura de gira

b) 2

Hallar el volumen generado por dicho giro, si la base de la

de

120º.

Calcular

el

giro.

la puerta rectangular de un haciéndola

rectangular

volumen generado por dicho

20. El profesor Alejandría empuja salón

puerta

c) 3 e) 5

d)

√3 

25. Halle el volumen sombreado del

cilindro

de

revolución.

(R=4 , r=2) 8

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Geometría del Espacio –

a) 20

30. Un cilindro contiene las tres

b) 40

cuartas partes de su volumen

c) 60

con agua. Si se inclina como se muestra en la figura, ¿cuánto

d) 120

debe medir "

e) N.A.

θ

" para que el

agua no se derrame?

26. Calcule el área lateral del cono de revolución mostrado. a) 48u b) 60 c) 38 d) 30u

31. Desde un punto P se trazan

e) N.A

tangentes a la esfera de centro

27. La figura muestra un cono de

“0” si las tangentes miden 1m.

revolución. Halle su área total.

y la distancia de P a 0 es de

S=

5/3 m. Halle el volumen de la

√ 3 m2

esfera.

a) 6m2

a) 64/81

b) 12

b) 256/81

c) 18

c) 3

d) 20

d) 4

e) N.A. 28. En una piscina de 40m de largo, 12m de ancho y 3,5m de alto,

se

introducen

720000

litros de H2O. ¿A qué distancia

e) 256/27 32. Calcule el volumen limitado por el cilindro y la esfera. a) 24 b) 36

del borde llega el H2O?

c) 16 29. El

volumen

del

cilindro

mostrado es 30m3 El volumen de la esfera inscrita es: a) 20 m3

d) 12 e) N.A 33. Calcular el volumen de un cilindro

b) 15

e) 25

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revolución

cuya

base es de 10m2 y una altura

c) 30 d) 10

de

de 3m. a) 15m3

b) 30 e) 16

c) 12

d) 5

9

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34. Calcular el radio de la base de

Geometría del Espacio –

a) 60m3

un cono de revolución, si la

b) 160

generatriz es igual a 5 y el área

c) 16

lateral es 5.

d) 64

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 32

e) 1

39. Calcular el área total de un

35. Si una esfera de 85cm de radio

cilindro

de

revolución

cuyo

es cortada por un plano, de tal manera que el radio de la

radio de la base es

sección formada mida 51cm. centro de la esfera y el centro

40. Calcular “S”, si la figura es un

del círculo sección? b) 2 c) 43 e) 438

prisma. A=15m2, B = 20m2 d) 430

a) 20 c) 20

sombreada es 18. Calcule el

d) 25

volumen de una de las esferas

e) 30

que

√ 2 m2

b) 10

36. Si el perímetro de la región

congruentes

y

cuya generatriz es 4.

¿Cuál será la distancia entre el

a) 68cm

√

2 π

son

tangentes dos a dos.

S

A

B

41. Calcular el área total de un cilindro de revolución sabiendo

a) 54

que una base es de 16m2 y la

b) 36

altura es de 5m.

c) 18

a) 40m2

d) 12 e) 64

b) 72 c) 18 e) 48

d) 24

42. Calcule el área total de la

37. Calcular el área lateral de la pirámide regular.

pirámide cuadrangular regular si su altura mide 2

a) 16

√3 .

a) 16

b) 32

4

b) 20

c) 12

c) 12

d) 12

√2 e) 16 √ 2

d) 15 4

38. Calcular

45º

cilindro

e) 4 el

volumen S

circular

mostrado. Si: S = 2m2.

del recto

√3 2

43. Encontrar el volumen de una pirámide hexagonal regular, si

10m

Prof: Eriberto Pérez Ramírez

10

I.E Parroquial “Señor de Huamantanga”– Jaén 4° sec.

a) 70.5

Geometría del Espacio –

sus aristas laterales miden 6 y

48. El volumen de una pirámide es

forman con el plano de la base

36, su vértice es “O” y su base

ángulos que miden 30°.

es el triángulo ABC, sobre la

b) 72.2 c) 70.3 e) 70.1

d) 73.1

la pirámide de vértice M y base el triángulo ABC.

prisma oblicuo miden 20 y con el plano de la base forman un

a) 15m3

b) 13

c) 7

√3

que le caven un pozo cilíndrico

d)

√3

de 12m de profundidad y 5m

e) N.A

√3

d) 18

49. ¿Cuánto pagará Aryhen para

mide la altura del prisma? b) 10

c) 17 e) 16

ángulo que mide 60°. ¿Cuánto

√3

se toma su punto

medio M. hallar el volumen de

44. Las aristas laterales de un

a) 9

´ OA

arista

de diámetro en su chacra, si le 45. Encontrar el volumen de un paralelepípedo

rectangular,

cuyas diagonales de sus caras miden a) 105

√ 34 ; √ 58 ; √ 74 .

b) 120 c) 103 e) 109 46. Encontrar

el

superficie

cobran S/. 0.40 por m3 ? ( = a) S/. 90.5 e) 90.1

d) 130

de

de

la

√3

y el

área

las

caras

una

de

laterales es igual al área de la

se

b) 4

c) 7

de

la

base

introduce

un

pedazo

la arista del pedazo metálico. a) 9

√3 π

b) 8 d)

d) 2

√3 π

√3 π

c) 7

√3 π

e) N.A

51. Dos esferas sólidas de plomo, el

área

de

de radios r y 2r se funden para

la

superficie total de un tetraedro

construir

regular,

sus

revolución de altura igual a 3r.

caras se encuentra inscrita en

hallar el radio de la base del

una circunferencia de 3 cm de

cilindro.

donde

una

de

radio. a) 32

radio

nivel del agua sube 8cm. Hallar

e) 6 47. Encontrar

de

metálico de forma cúbica y el

base. a) 5

d) 93.1

contiene agua hasta su mitad,

una

cuya altura mide

c) 94.2

50. Un cilindro de revolución de

pirámide cuadrangular regular, de

b) 92.2

8cm

área

total

3.14)

b) 16

√3 d)

√3

√3

c) 27

√3

a) 5r e) N.A

b) 4r

un

c) 3r

cilindro

de

d) 2r

e) N.A

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11

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Geometría del Espacio –

PREGUNTAS TOMADAS EN EXÁMENES

4. La

DE ADMISIÓN

distancia

de

diagonales es

12 cm y radios de sus bases 5R

el volumen del cubo.

cm y R cm y un cilindro de radio R cm y altura 5 cm. Si el embudo puede contener agua, halle R (en cm). D) 2

B) 1

E) 2,5

260 π m2 y

e) 512 cm3 5. La base de un prisma recto es un rectángulo. El lado menor de dicha base mide 4 cm y el otro lado

la

base, halle el volumen del cono. 200 √ 39 π 3

c)

200 √ 89 π 3

b) d)

200 √ 19 π 3

√ 2 cm3

a) 160

más.

Si

la

b) 160

√ 3 cm3

√ 6 cm3 d) 148 √ 3 cm3 e) 148

e)

25%

halle su volumen.

c) 160

200 √ 26 π 3

mide

diagonal del prisma mide 13 cm,

medida de su generatriz es 8/5 de la medida del radio de su

√ 3 cm3

b) 512

√ 6 cm3 d) 256 √ 3 cm3

c) 256

2. Si el área total de un cono de es

√ 2 cm3

a) 512

C) 1,5

resolución

los

8 √6 cm. Calcule 3

por un tronco de cono de altura

A) 0,5

de

vértices de un cubo a una de sus

1. Considere un embudo compuesto

a)

uno

√ 2 cm3

6. Un tanque en forma de cono invertido tiene 12m de altura, y

N.A 3. Si el área total de un cono

4m de radio en la base. Si

circular recto es igual al área de

contiene agua hasta una altura

un círculo cuyo radio tiene la

de 6 m, halle el volumen del

misma longitud que la generatriz

agua que hay en el tanque.

del cono, halle la razón entre las longitudes de la generatriz y el radio de la base del cono, en el orden indicado. a)

√5 3

b)

√ 5+1

√ 5+1

2

c) e) N.A

√5+2 3

d) a) 5 π

m3

b) 6 π m3 c) 7 π 3 d) 8 π m e) N.A

7. En

la

figura,

el

m3

cono

de

revolución tiene una base de centro O y OC = 2 m. Halle el área lateral del cono. Prof: Eriberto Pérez Ramírez

12

I.E Parroquial “Señor de Huamantanga”– Jaén 4° sec.

Geometría del Espacio –

mitad de su contenido, formando un ángulo α entre el eje del cilindro y la horizontal, entonces el

valor

de

tan(α)

es

(aproximadamente): a) 0,44 a) 7 π m2 b) 8 π 10 π m2 e) N.A

m2

b) 0,50

m2 d)

c) 9 π

8. La proyección de la diagonal de paralelepípedo

revolución es 2, la altura es 2 y la generatriz forma un ángulo de

mide 20 cm; si el ángulo que la

diagonal

proyección mide

mide la

con

60°,

su del

paralelepípedo? a) 10 c) 20

√ 2 cm

b) 20

60º con la base mayor. Calcule el área total del tronco.

¿cuánto

altura

8π ( 1+ √3 ) √3 En un cono circular recto está AT =

12.

inscrita una esfera. La relación

√ 3 cm

√ 6 cm d) 30 √ 3 cm

La suma de los radios de las

bases de un tronco de cono de

rectangular

recto sobre el plano de la base forman

d) 0,52

e) 0,48 11.

un

c) 0,46

entre los volúmenes del cono y

e) 30

de la esfera es igual a dos. Halle

√ 2 cm

la relación entre el área de la

9. Un cilindro circular recto y un

superficie total del cono y el área

tronco de cono de revolución tienen igual volumen. La altura

de la superficie esférica. a) 2 : 1

b) 3 : 1

del cilindro es un tercio de la

c) 3 : 2

d) 5 : 3

e) 5 : 2

altura del tronco. Si los radios de las bases del tronco miden 2 m y 4 m, halle la medida del radio del b) 2

√2

√2 10.

c) 7

√2

√2

d)

e) N.A

cilindro recto, que tiene como altura el doble del diámetro de la base. Si el vaso inicialmente está lleno de agua, y comienza a inclinarse

hasta

derramar

Prof: Eriberto Pérez Ramírez

la

el

cono,

dos

generatrices

opuestas determinan un ángulo de 60° y el diámetro de su base es

Se tiene un vaso en forma de

Se inscribe una esfera en un

cono de revolución. Sabiendo que en

cilindro. a) 9

13.

18

volumen

unidades. de

la

Calcule esfera

el (en

unidades cúbicas). a) 108 π √2 c) 108 π √6

b) 108 π √3

d) 118 π √3

e) 118

π √2

13

I.E Parroquial “Señor de Huamantanga”– Jaén 4° sec.

14.

Geometría del Espacio –

En un prisma triangular recto

revolución que tiene la misma

ABC − DEF, AD = 8 cm, BC = 6

altura y el volumen equivalente

cm y su volumen 144 cm3. Halle

al tronco del cono dado.

el área (en cm2) del triángulo

a) 6

b) 9

d) 10,5

e) 8

BDC. a) 10

c) 7

b) 40

c) 20

17.

d) 50

Una semiesfera está inscrita

en un paralelepípedo de base

e) 30

cuadrada. Si el paralelepípedo 15.

En la

figura

se tiene una

tiene una superficie de área total

pirámide inscrita en un cilindro

igual

circular oblicuo. La base de la pirámide

es

equilátero.

El

pirámide

es

un 3

cm .

de

Calcule

entonces

el

es:

la el

64u2,

volumen (en u3) de la semiesfera

triángulo

volumen

a

a)

17 π 3

volumen del cilindro (en cm3).

b) 16 π d)

18.

19 π 3

c)

16 π 3

e) N.A

En la figura se muestra un

cilindro circular recto inscrito en un cono circular recto, el cono a) 105

b) 112

c) 108

d) 130

e) N.A 16.

parcial de vértice P y el cilindro tienen el mismo volumen. ¿Qué

Los diámetros de la base de

fracción del volumen del cono

un tronco de cono de revolución

total es el volumen de la región

miden

comprendida entre el cilindro y el

22

y

4

respectivamente.

unidades, Calcule

la

tronco de cono?

longitud del radio (en unidades) de la base de un cilindro de

Prof: Eriberto Pérez Ramírez

14