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CONTROL DIGITAL

FASE INICIAL 1

PRESENTADO POR JHONATAN FLOREZ OBANDO. CODIGO: C.C 1098628702

TUTOR FREDDY VALDERRAMA

GRUPO 299006-15

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA INGENIERIA ELECTRONICA CEAD – BUCARAMANGA

FECHA DE PRESENTACION SEPTIEMBRE DEL 2015

INTRODUCCION En este trabajo se efectuara una serie de ejercicios matemáticos de los temas ecuaciones de Laplace y transformada e inversa Z con el objetivo de irnos apropiando de los conocimientos básicos para solucionar problemas de señales digitales.

Objetivos: -Reconocimiento del curso control digital, trabajar con herramientas matemáticas ecuaciones de Laplace, transformada e inversa Z, que nos permitan desarrollar poder entender mejor el conocimiento en cuanto a señales digitales. -Conocer previamente el contenido del curso, para poder prepararnos a los interrogantes y trabajos que se nos van encomendar más adelante. -Interactuar con los compañeros para conocer fortalezas y debilidades y poder mejor habilidades en el curso control digital.

Ejercicio 1:

a) Determine la transformada Z de

Y(t)= 10 − 10cos (100 πt) Considere que el periodo de muestreo es 5 milisegundos Resolvemos la transformada Z teniendo en cuenta sus propiedades como se muestra a continuación, teniendo en cuenta que el primer término es una constante desarrollamos: 10 cos (100 π t) Y (t)=Z (10 µ (t))– Z ¿ ¿ Tomando como referencia que: k=

z z−1

z−cos( aT ) ¿ z (¿ Z 2−2 zcos ( aT ) +1 ¿ ) ¿ cos ( bt )=¿

Entonces:

Y (z) = 10

Z z−1

– 10

Reemplazando tenemos:

z−cos( aT ) ¿ 2 z (¿ Z −2 zcos ( aT ) +1 ¿ ) ¿ ¿

z−cos( 100 πt) ¿ z (¿ Z 2−2 zcos ( 100 πt ) +1 ¿ ) ¿ 10 z Y (z)= – 10 ¿ z−1

z −cos(100 πt) ¿ 10 z(¿ Z 2−2 zcos ( 100 πt ) +1 ¿ ) ¿ 10 z Y ( z)= –¿ z−1

Teniendo en cuenta que T=0.005, reemplazamos en la función: z−cos ⁡( 100∗3.1416∗0.005) ¿ 100∗3.1416∗0.005 cos ⁡( ¿)+1 z 2−2 z ( ¿ ) 10 z ¿ ¿ 10 z Y ( z)= –¿ z−1

Y ( z)=

10 z (z−cos ⁡( 1.5708)) 10 z − 2 z−1 z −2 z ( cos 1.5708 )+1

Y ( z)=

10 z( z−0.9996) 10 z − 2 z−1 z −2 z ( 0.9996 ) +1

(

(

)

)

10 z2 −9.996 z ¿ 10 z ( Y (z)= − ¿ ¿ z 2−1.9992 z +1 ) z−1

b) Determine y(0) y ( ∞ ) para la siguiente función de transferencia:

ParaY (0) y ( 0 )=lim Y ( z ) z →∞

y ( 0 )=lim Y ( Z ) z →∞

( z −3z z +2 ) 2

1 ∞ y ( 0 )= =0 3 2 1− + 2 ∞ ∞ y ( 0)

Para

=0

Y (∞)

y ( ∞ )=lim ( z−1 ) z→∞

Y (z)

y ( ∞ )=lim ( z−1 ) z→∞

y ( ∞ )=lim ( z−1 ) z→∞

y ( ∞ )=lim z→∞

(

( z −3z z +2 ) → y ( ∞ )=lim ( z−1) ( z +3zz +2 ) 2

(

2

z →∞

z z → y ( ∞ )=lim ( z−1 ) z→∞ (z−1)( z −2) z +3 z+2 2

)

(

)

z =1 y ( ∞ )=1 (z−2)

)

Ejercicio 2: Determine la cantidad y posición de los polos y ceros para la siguiente función de transferencia: T ( Z)=

1+0.2 z−1 1+ 4 z−1+ 4 z−2

Convertimos la función de transferencia en términos de Z positivo: 0.2 z T ( Z)= 4 4 1+ + 2 z z 1+

z+ 0.2 z T ( Z) = z+ 4 4 + 2 z z z +0.2 z T ( Z) = 2 z + 4 z +4 z2

z z (¿¿ 2+ 4 z +4) z 2 ( z +0.2 ) T ( Z) = ¿ T ( Z)=

z( z+ 0.2) z 2 +4 z+ 4

T ( Z)=

z 2+ 0.2 z z 2 +4 z+ 4

Escrita como una función racional la transformada Z queda: X ( z )=

p ( z) q (z)

Para hallar los polos debemos hacer que la función se haga infinita, es decir que el denominador sea igual a cero, es decir que: q ( z )=0 Para hallar los ceros debemos hacer que la función se haga infinita, es decir que p ( z )=0 el numerador sea igual a cero, es decir que: Si p y q, ya no poseen factores comunes, es correcto decir que: Los ceros de la transformada Z, son las raíces de p(z) Los polos de la transformada Z, son las raíces de q(z)

Factorizamos en la función de transferencia: Z T ( Z)=

z 2+ 0.2 z 2 z +4 z+ 4

T ( Z) =

z ( z +0.2 ) ( z +2 ) ( z+2 )

Igualamos el numerador a cero:

z ( z +0.2 )=0 z=0 y z=−0.2 Igualamos el denominador a cero:

( z+ 2 )( z +2 )=0 z+ 2=0 → z =−2 z+ 2=0 → z =−2

Resolviendo la transformada Z de:

T ( Z)=

1+0.2 z−1 1+ 4 z−1+ 4 z−2

Ceros: En

z=0

En

z=−0,2

Polos: Existen dos en z=−2 , ya que en el denominador hay dos expresiones iguales ( z+ 2 ) .

Ejercicio 3: Encuentre Y(z) cuando T = 0.1 segundos, para la función:

Y(s) =

2 s (s +1)( s+10)

Reducimos a fracciones parciales

Y(s) =

2 s (s +1)( s+10)

2 s (s +1)( s+10)

=

A B C + + S (S+1) (S +10)

=

A ( S+1 ) . ( S+ 10 ) BS . ( S+ 10 ) CS .( S+ 1) S( S+ 1)(S+10)

Se igualan los numeradores: S=0 2=10 A → A= 0.2

S= -1 2= -9 B → B= -0.22

S= -10 2= 90 C → C= 0.022

Quedando así las fracciones parciales: 2 s (s +1)( s+10)

=

0.2 0.22 0.022 − + S ( S +1) (S +10)

Aplicamos transformada inversa de Laplace: −Kt Y (kT)= 0.2u (k) – 0.22 e

−10 Kt + 0.022 e

Se Aplica transformada Z

Y(z)= 0.2

Z Z−1

– 0.22

Z −t Z−e

+ 0.022

Z −10 t Z−e

Ahora se puede reemplazar T=0.1 asi:

Y(z)= 0.2

Z Z−1

– 0.22

Z −0.1 Z−e

Realizamos resta y suma de fraccionarios;

+ 0.022

Z −1 Z−e

Y(z)=

0.2 Z ( Z−e−0.1 ) ( Z−e−1) −0.22 Z ( Z−1 ) ( Z−e−1 ) +0.022 Z (Z−1) ( Z−e−0.1 ) ( Z −1 ) . ( Z−e−0.1 ) ( Z−e−1 )

Y(z)=

0.2 Z ( Z−0.90 ) ( Z −0.36 )−0.22 Z ( Z−1 ) ( Z−0.36 )+ 0.022 Z (Z −1) ( Z−0.90 ) ( Z−1 ) . ( Z−0.90 )( Z−0.36 )

Y(z)=

0.022 Z3 + 0.106 Z 2+ 0.580 Z ( Z−1 ) . ( Z−0.90 ) ( Z −0.36 )

Ejercicio 4: Considere el sistema de datos muestreados en lazo abierto mostrado en la figura No. 1del anexo de gráficos. Determine la función de transferencia Y(z)/r(z)

SISTEMA R(s)Go(s)Gp(s) = Y (s) FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y (s) R (s)

= Go(s)Gp(s)

REEMPLAZANDO TERMINOS:

Y (s) R (s)

=

1−e−Ts S

10 (S +3)(S +5)

SIMPLIFICAMOS Y (s) R (s)

=

10−10 e−Ts S (S +3)(S +5)

TRANSFORMACIÓN BILINEAL TRANSFORMANDO EL DOMINIO EN “S” EN UN DOMINIO EN “Z”: 2 S= T

(Z −1) (Z+1)

REEMPLAZAMOS −T (

Y (z) R (z)

=

2 (z−1) ) T ( z +1)

10−10 e 2 ( z−1 ) 2 ( z−1 ) 2 ( z−1 ) (( )+ 3)(( )+ 5) T ( z +1 ) T ( z+ 1 ) T ( z+ 1 )

Formato de Autoevaluación Individual

CONCLUSIONES Se conoció previamente el contenido el curso desarrollando ejercicios de ecuaciones de Laplace transformada e inversa Z los cuales serán herramientas necesarias para desarrollar los trabajos colaborativos más adelante, lo cual deja en el estudiante la inquietud de investigar para poder desempeñarse mejor en cada una de las temáticas cuando le sean abordadas.