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• Cinthia Arce Flores

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ESCUELA

:

INGENIERIA CIVIL

CURSO

:

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

TEMA

:

INTEGRALES INDEFINIDAS.

DOCENTE

:

MSC. JORGE W. LEIVA GONZALES.

CICLO

:

III

ALUMNOS

:

ARCE FLORES CYNTHIA

HUARAZ – ANCASH 2011

AREAS 26) Hallar el área de la región limitada por el astroide:

y

1

-2/3

0 -2

Solución:

+

1 x

27) Hallar el área de la región comprendida entre las curvas

y

1 -1

0 -1

Solución:

1

2x

28) Hallar el área de la región comprendida entre las curvas

y

2

-2

0 -2

Solución:

A(R)=

3 x

29) Hallar el área de la figura comprendida entre las curvas

2

0 -2 Solución: (C.V)

3 x

30) hallar el área de la figura comprendida entre las curvas

y

1 -3

0 -1

Solución:

A(R)=

+

3 x

31) Hallar el área de la figura comprendida entre las curvas

1

2

-2 -1

Solución:

+

32) hallar el área de la figura comprendida entre las líneas

y 2 x=y2-1

-1

x=y+1

0

-1

Calculando los puntos de intersección:

Se tiene:

x

33) hallar el área de la región limitada por las sientes graficas de

34) hallar el área limitado por las curvas

Solución:

A(R)=

+

INTEGRALES IMPROPIAS +∞

16)

∫ 1

+∞

17)

∫

x2 −1 dx x

x 2 e −3 x dx

0

SOLUCIÓN:

b

Lim∫ x e

2 −3 x

dx

b →+∞ 0

u=x

dv = e −3 x

2

du = 2 xdx

;

e−3 x v=− 3

e −3 x 2 −x + ∫ xe −3 x dx 3 30 b

2

u=x

dv = e −3 x

−3 x e du = dx v = − 3

;

b e −3 x 2  2 e −3 x 1 −3 x  −x + − x + ∫ e dx  3 3 3 30  2

 2 e −3 x 2  2 e −3 x 1  e −3 x    b + − x +  − x ÷  3 3 3 3  3    ∫0   −3( 0 ) −3( 0 )  2 e−3b 2  2 e −3b 1  e −3b     2 1  e −3( 0)    2 e 2 e +  −b +  + − ( 0 ) +   −b ÷  ÷  −  − ( 0 ) 3 3 3 3  3     3 3  3 3 3 ÷    

−3( 0 ) −3( 0 )  2 e −3b 2  2 e −3b 1  e −3b     2 1  e −3( 0)    2 e 2 e − b + − b + − − 0 + − 0 +  ( )   ÷    ÷   ( ) Lim 3 3 3 3  3     3 3  3 3  3 ÷ b →+∞     

−3( 0 ) −3( 0 )  2 e −3∞ 2  2 e −3∞ 1  e −3∞     2 1  e −3( 0 )    2 e 2 e +  −∞ +  + − ( 0 ) +   −∞ ÷  ÷  −  − ( 0 ) 3 3 3 3  3     3 3  3 3 3 ÷    

2  1  0   ÷−  −0 +  ÷ 3  9  9 

∴

2 27 +∞

18)

∫ 0

(x

x

2

+ 9)

2

dx

SOLUCIÓN: b

Lim∫ b →+∞ 0

(x

x

2

+ 9)

2

dx

u = x2 + 9 du = 2 xdx b

b

du 1 du = Lim ∫ 2 Lim 2 ∫ 2 b→+∞ 0 u b →+∞ 0 2u 1 du 1 u −1 ∫ 2 = 2 Lim ∫ 2 Lim b →+∞ 0 u b →+∞ −1 0 b

b

Reemplazando: b

b

1 1 1 1 − Lim ∫ = − Lim 2 2 b→+∞ u a 2 b→+∞ x + 9 ∫a

−

1 1  1   1    1   1   2 ÷−  2 ÷ = −  2 ÷−  ÷ Lim 2 b→+∞  b + 9   0 + 9  2  ∞ + 9   9  

1  1  − ( 0 ) −  ÷ 2  0 + 9 

∴

1 18

b

19)

∫e

x − ex

dx

−∞

SOLUCIÓN: b

x −e Lim∫ e dx x

a →−∞ a

u = ex du = e x dx b

Lim∫ e e

x −ex

a →−∞ a

b

dx = Lim ∫ e −u du a →−∞ 0

b

−u Lim − e ∫ a →−∞

a

Reemplazando:

Lim (

b

) (

−e − e − − e − e

a →−∞

∴1 − e − e

−b

a

) (

= −e − e

−b

) − ( −e ) − e∞

+∞

20)

∫ (x

dx

2

0

+ a 2 ) ( x2 + b2 )

SOLUCIÓN: b

Lim∫ ( x b →∞

dx

2

0

+ a 2 ) ( x 2 + b2 )

b∞

Lim ∫ ( x b →∞

(x

0

dx

2

+ a2 ) ( x2 + b2 )

1

2

+ a2 ) ( x2 + b2 )

=

=

b∞

∫ 0

Ax + B Cx + D + ( x2 + a2 ) ( x2 + b2 )

Ax + B ( x 2 + b 2 ) + Cx + D ( x 2 + a 2 )

(x

2

+ a2 ) ( x2 + b2 )

Entonces:

1 = ( A + C ) x 3 + ( B + D ) x 2 + ( Bb 2 + da 2 )

A+C = 0 B+D =0 Bb 2 + da 2 = 1 ⇒

−Ca 2 −Ca 2 ⇒ +C = 0 b2 b2 ⇒ −Ca 2 + b 2C = 0 A=

⇒ C ( b2 − a2 ) = 0 ⇒C =0 ⇒ A=0

;

Reemplazando:

b

Lim∫ b →∞

0

−1 1 0+ 2  −1 2 a −b + a − b2 =  2 2 b →∞  a − b ( x 2 + a 2 ) ( x 2 + b 2 ) Lim 

0+

2

b

dx 1 + 2 ∫0 ( x 2 + a 2 ) a − b2

dx  ∫0 ( x 2 + b2 )   b

b

 −1  1 x 1 1 x  Lim  a 2 − b 2  a arctg a ÷+ a 2 − b 2  b arctg b ÷ ∫     0 b →∞  b

1 2 a − b2

b 1 b  1 Lim  − a arctg a + b arctg b  ∫ b →∞ 0

1 a − b2

Lim − a arctg a + b arctg b  −  − a arctg a + b arctg b 

1 a − b2

1 1  1   1   − a arctg ∞ + b arctg ∞  −  − a arctg 0 + b arctg 0

1 a − b2

1 1  1   1   − a ctg ∞ + b ctg ∞  −  − a ctg 0 + b ctg 0 

1 a − b2

 1 1 1  1 1    1 1  ctg ∞ +  b − a ÷ − ctg 0  b − a ÷ = a 2 − b 2  b − a ÷[ ctg ∞ − ctg 0]        

2

2

2

2

 1

x

1

x  1

0

1

b →∞

1 1 1 1  a − b   2π − π  − ÷[ ctg ∞ − ctg 0] = 2  a −b b a  ( a − b ) ( a + b )  ba ÷  2  2

∴

+∞

21)

∫ 1

0

π 2ab ( a + b )

x 5 dx 5 3 2

(1+ x )

SOLUCIÓN: b

Lim∫ b →−∞ 1

b

x 5 dx 5 3 2

( 1+ x )

= Lim ∫ b →−∞ 1

3x 3 x 2 dx 3( 1+ x

5 3 2

)

u = 1 + x3 du = 3x 2 dx b

1 ∫ 3 Lim b →−∞ 1

(

3

u −1 5

u2

)

3

b

b

b

1 u −1 1 u 1 = Lim ∫ 5 = Lim∫ 5 du − ∫ 5 du 3 b→−∞ 1 2 3 b→−∞ 1 2 1 u u u2

3 − b  b b 3 5 1 2 − − − 1 1 u  −2u 2 + 2  2 2 u du − u du = Lim Lim ∫ ∫  3 b →−∞ 1 3 b →−∞ 3  ∫1 1  

 −6 u 3 + 2 u  b 1  ∫ 3 Lim 3u 2 b →−∞   1  Reemplazando: 3  3 − 6 1 + x + 2 ( 1 + x3 ) ( ) 1  2  9 Lim b →−∞ ( 1 + x3 ) 

b  ∫  1

3  3 − 6 1 + b ( ) + 2 ( 1 + b3 ) 1  2  9 Lim b →−∞ 1 + b3 ) (  

3  3 3 1  −6 ( 1 + ∞ ) + 2 ( 1 + ∞ ) 2 9  1 + ∞3 ) (  

3   3 − 6 1 + 1 ( ) + 2 ( 1 + 13 ) ÷  2 ÷−  1 + 13 ) ( ÷   

3   3 3 ÷  −6 ( 1 + 1 ) + 2 ( 1 + 1 ) 2 ÷−  1 + 13 ) ( ÷   

 ÷ ÷ ÷ 

 ÷ ÷ ÷ 

3 1  −∞ + ∞   −12 2 + 2 2    ÷ ÷−  ÷ 9  ∞   4   

1   −10 2   1  5 2  0 −  ÷ =  ÷ ÷ 9   4 ÷ 9 2    

∴

5 2 18

+∞

22)

∫ 1

dx 5

( x2 − 6x ) 2

+∞

23)

∫3 0

+∞

24)

∫x

a2

−2 x − 1 3

x

2

( x − 1)

dx 1 + x2

SOLUCIÓN:

2

dx

b

Lim ∫ x b →∞ a 2

dx 1 + x2 x2 + 1

1

tgθ = x ⇒ sec θ dθ = dx 2

x 2 + 1 = sec θ

sec2 θ dθ sec θ dθ = Lim Lim ∫ ∫ tgθ s b →∞ a 2 tgθ sec θ b →∞ a 2 b

b

Lim ∫

b →∞ a 2

b

1 b cos θ dθ = Lim ∫ cs e cθ dθ senθ b →∞ a 2 cos θ

LimLn cse cθ − tgθ b →∞

b

∫

a2

= LimLn b →∞

1 + x2 1 − x x

1 + b2 1 1 + a4 1 Ln − − Ln − 2 Lim b b a2 a b →∞

Ln

1 + ∞2 1 1+ a4 1 − − Ln − 2 ∞ ∞ a2 a

Ln 1 − Ln

1 + a4 −1 a2

b

∫

a2

1 + a4 −1 a2

∴− Ln

25)

+∞

x2 ∫1 1 + xdx

+∞

26)

∫

3

x 2e − x dx

−∞

SOLUCIÓN: 0

∫

2 − x3

xe

dx +

−∞

+∞

∫

3

x 2e − x dx

0

0

3x 2

Lim∫ 3e a →−∞ a

x3

b

dx + Lim ∫

3x 2

x 0 3e

b →∞

u = x3 du = 3 x 2 dx 0

b

du du Lim u + Lim ∫ ∫ 3eu a →−∞ a 3e b →∞ 0

1 1 −u e e−u + Lim Lim ∫ ∫ 3 a →−∞ a 0 0

b

3

b →∞

3

dx

0

1 − e−u ∫ Lim 3 a →−∞ a

1 + Lim − e ∫ 3 −u

b

0

b →∞

Reeplazando: 0

3 1 − e− x ∫ Lim 3 a →−∞ a

1 + Lim − e ∫ 3 − x3

b

0

b →∞

1  −e−03 − −e − a3  + 1 Lim  −e − b3 − −e −03      3 Lim a →−∞

(

) (

)

(

3

) (

b →∞

1 3 3 3 1  −03 −e − −e +∞  +  −e −∞ − −e −0     3

(

) (

)

3

(

) (

)

b →∞

1 1 ( −e0 ) − ( −e +∞ )  + ( −e −∞ ) − ( −e 0 )     3 3

b →∞

1 1 ( −1) − ( −∞ )  +  0 − ( −1)  3 3

b→∞

1 1 − + ∞ + + 1 = +∞ + 1 3 3

∴ +∞

)

+∞

27)

∫ x cosh xdx

−∞

SOLUCIÓN: 0

∫

x cosh xdx +

−∞

+∞

∫ x cosh xdx 0

0

b

Lim∫ x cosh xdx+ Lim∫ x cosh xdx a →−∞ a

b →∞

0

dv = cosh xdx

u=x du = dx

⇒

v=

1 senhx h

0

1 1 1 1 1  xsenhx − ∫ senhxdx = xsenhx −  − cosh x ÷ h ha h h h 

1 1 xsenhx − 2 cosh x h h Reemplazando en: 0

1 1 xsenhx − 2 cosh x ∫ Lim h a →−∞ h a

 1

1

Lim  h xsenhx − h a →−∞

 1

2

1

+ Lim  h xsenhx − h b →∞

2

b

1 1 xsenhx − 2 cosh x ∫ + Lim h h b →∞ 0

1  1  cosh x ÷+  xsenhx − 2 cosh x ÷ h  h  1  1  cosh x ÷−  xsenhx − 2 cosh x ÷ h  h 

 1 1 1  1   h 0senh0 − h 2 cosh 0 ÷−  h − ∞senhx − h2 cosh − ∞ ÷    

 1 1 1  1  +  ∞senhx − 2 cosh ∞ ÷−  0senh0 − 2 cosh 0 ÷ h h  h   h

π   π   − ∞ + −∞ −  2h 2   2h 2  π π −∞−∞− 2 2 2h 2h

∴ −∞ xdx −∞ 1 + x 4

28. − ∫

+∞

Eligiendo

b = 0 , se tiene.

0 +∞ xdx xdx xdx = + ∫−∞ 1 + x 4 ∫−∞ 1 + x 4 ∫0 1 + x 4 0 xdx b xdx = lim ∫ + lim x →−∞ a 1 + x 4 x →∞ ∫0 1 + x 4 0 b = lim arctan x + lim arctan x x →−∞ a x→∞ 0 +∞

= lim [ arctan( a ) ] + lim [ arctan(b) ] x →−∞

 π π π = − − ÷+ = 2  4 4

x →∞

+∞

29. − ∫ e x − e dx x

−∞

SOLUCIÓN:

∫

b

x

−∞

∫

e x ×e − e dx

b

−∞

Sea:

e −u du = lim

∫

u = e x ⇒ du = e x dx b

a →−∞ a

= lim − e −u a →−∞

e −u du

b

a b = lim e −e a a →−∞  a

= lim e −e − e −e   a →−∞  b

b

= −e −e + e −e ⇒∫

+∞

−∞

a

−∞

x

+∞

−∞

dx 4 x2 + 1

b

e x −e dx = e −e +1

Por lo tanto, la integral impropia

30. − ∫

b

= e −e + 1

∫

+∞

−∞

xdx π . 4 es convergente y converge a 1+ x 2

0 +∞ dx dx dx = + ∫−∞ 4 x 2 + 1 ∫−∞ 4 x2 + 1 ∫0 4 x 2 + 1 0 b dx dx = lim ∫ + lim x →−∞ a 4 x 2 + 1 x →∞ ∫0 4 x 2 + 1 0 b = lim arctan( x) + lim arctan( x) x →−∞ a x→∞ 0 +∞

= lim [ arctan(a) ] + lim [ arctan(b) ] x →−∞

x →∞

 π π π = −  − ÷+ =  4 4 2 31. − ∫

+∞

−∞

dx x2 + 2x + 2

SOLUCIÓN: +∞ +∞ dx dx dx = = ∫−∞ x2 + 2 x + 2 ∫−∞ ( x2 + 2x + 1) + 1 ∫−∞ ( x + 1)2 + 1 +∞ 0 b dx dx dx ⇒∫ 2 = lim ∫ + lim −∞ x + 2 x + 2 a → −∞ a ( x + 1) 2 + 1 b → ∞ ∫ 0 ( x + 1) 2 + 1 +∞

0 b   = lim  tan − 1 ( x + 1) + lim  tan − 1 ( x + 1) a → −∞ a b→ ∞  0 

= lim ( tan − 1 (0 + 1) − tan − 1 ( a + 1) ) + lim ( tan − 1 (b + 1) − tan − 1 (0 + 1) ) a → −∞

(

b→ ∞

) (

)

= lim tan − 1 1 − lim tan − 1 (a + 1) + lim tan − 1 (b + 1) + lim tan − 1 1 a → −∞

a → −∞

b→ ∞

b→ ∞

π π − lim tan − 1 ( a + 1) + lim tan − 1 (b + 1) − lim tan − 1 a → −∞ 4 a → −∞ b→ ∞ b→ ∞ 4 π  π π π π π = −  − ÷+ − = + 4  2 2 4 2 2 +∞ dx ⇒∫ 2 =π −∞ x + 2 x + 2 = lim

32. − ∫

+∞

−∞

2

x e − x dx

x, x ≥ 0(< 0, +∞ >) x = −x, x < 0(< −∞, 0 >) =∫

+∞

−∞

x e −x = xe −x dx + ∫

= lim

2

∫

0

∫

0

∫

a

a →−∞ a

= lim

+∞

0

a →−∞ a

= lim

2

a →−∞ a

2

−xe −x dx + lim

∫

b

∫

b

b →+∞ 0

2

−xe −x dx + lim

b →+∞ 0

2x

x e dx 2

xe −x dx 2

xe −x dx 1 b −x2 e d ( −x 2 ) ∫ 2 0 b 0

e −x d ( −x 2 ) + lim − 2

b →+∞

2 1 −x2 0 1 e − lim e −x a →−∞ 2 a b→+∞ 2

= lim

(

)

(

)

2 2 1 lim 1e −a − lim e −b −1  b →+∞  2 a →−∞ 2 2 1 = 1 − lim e −a − lim e −b +1 b →+∞  2  a →−∞ 2 2 1 = 2 −1 lim e −a ×x lim e −b  = 1 a →−∞ b →+∞  2

=

⇒∫

+∞

−∞

2

x e −x dx = 1

33. − ∫

dx x2 + 4x + 9

+∞

−∞

SOLUCIÓN: 0 ∞ dx 1 1 = dx + ∫−∞ x2 + 4 x + 9 ∫−∞ x2 + 4 x + 9 ∫0 x 2 + 4 x + 9dx +∞ 0 b dx 1 1 = lim dx + lim ∫−∞ x2 + 4 x + 9 a→ −∞ ∫a x2 + 4 x + 9 b→ ∞ ∫0 x2 + 4 x + 9dx +∞ 0 b dx 1 1 = lim dx + lim ∫−∞ x2 + 4 x + 9 a→ −∞ ∫a ( x2 + 4 x + 1) + 8 b→∞ ∫0 ( x 2 + 4 x + 1) + 8dx +∞ 0 b dx 1 1 dx + lim ∫ dx 2 ∫−∞ x2 + 4 x + 9 = alim ∫ → −∞ a ( x + 2) + 5 b →∞ 0 ( x + 2) 2 + 5 +∞

∫

+∞

−∞

 1 −1  x + 2  0  1 −1  x + 2  b dx = lim tan + lim   tan   ÷ ÷ x 2 + 4 x + 9 a → −∞  5  5  a b→∞  5  5 0

1 1  0+ 2   b + 2  1 −1  0 + 2   = lim  tan −1  + lim  tan − 1  ÷ ÷ − tan  ÷÷ ÷ a → −∞ 5  5   b→ ∞  5  5  5  5   +∞ dx 1 −1  2  −1  a + 2  −1  b + 2  −1  2   = lim tan − tan + lim tan − tan  ÷  ÷  ÷  ÷  2 ∫−∞ x + 4 x + 9 5  a→ −∞  5   5  b→ ∞  5   5 

∫

+∞

∫

+∞

∫

+∞

−∞

−∞

−∞

dx 1  2  a+b b+ 2  2  =  lim tan −1  ÷ − lim tan −1  + lim tan −1  − lim tan −1  ÷ ÷ ÷ x + 4 x + 9 5  a→ −∞  5  a→ −∞  5  b →∞  5  b→∞  5  2

dx 1  2  a+ 2 b+ 2  2  =  tan −1  ÷ − lim tan −1  + lim tan −1  − tan −1  ÷ ÷ ÷ x + 4x + 9 5   5  a→ −∞  5  b→ ∞  5   5  2

dx 1 −1  a + 2  −1  b + 2   = − lim tan + lim tan  ÷  ÷ x 2 + 4 x + 9 5  a → −∞  5  b→ ∞  5 

dx 1  π  π  π =  −  − ÷+  = −∞ x + 4 x + 9 5  2  2 5 +∞ dx π ⇒∫ 2 = −∞ x + 4 x + 9 5

∫

34. − ∫

+∞

+∞

−∞

2

2 xdx x2 + 1

SOLUCIÓN:

Eligiendo

b = 0 , se obtiene.

2 xdx a 2 xdx +∞ 2 xdx ∫−∞ 1 + x 2 = ∫−∞ 1 + x2 + ∫0 1 + x 2 +∞ 2 xdx a 2 xdx +∞ 2 xdx = lim + lim ∫−∞ 1 + x 2 x→ −∞ ∫−∞ 1 + x 2 x→ ∞ ∫0 1 + x 2 +∞ 2 xdx 0 b = lim arctan( x ) + lim arctan( x ) ∫−∞ 1 + x 2 a→ −∞ a b→ ∞ 0 +∞

2 xdx [ arctan(b)] ∫−∞ 1 + x 2 = [ arctan(a)] + lim b→ ∞ +∞ 2 xdx  2π  2π = − 2 ∫−∞ 1 + x  − 2 ÷ + 2 = 2π +∞ 2 xdx ⇒∫ = 2π −∞ 1 + x 2 +∞

35. − ∫

+∞

−∞

dx ( x + 1) 2

SOLUCIÓN

1 1 1 1 1  = 2 + 2 + 3 tan −1  ÷ 2 2 ( x +1) x +1 ( x +1) 2a a   b x 1 lim  + arctan( x ) ÷ a →−∞ 2( x 2 +1) 2  a 2

  b 1 = lim  + arctan(b) ÷ 2 b →∞ 2( x +1) 2     a 1 = lim  + arctan( a ) ÷ 2 a →−∞ 2( x +1) 2   =

1  b  1 lim  2 ÷+ arctan( a )(+∞) 2 b →∞  b +1  2

=

1  a  lim  2 ÷− arctan( a )( −∞) a →−∞ 2  a +1 

=

1 π  1 π   ÷−  ÷ 22  22 

=

π 4

+

π 4

=

π

2 +∞ dx π ⇒∫ = 2 2 −∞ ( x +1) 2

36. − ∫

+∞

0

2dx e2 + e2

SOLUCIÓN:

2 dx b →∞ 0 e + e x b 2 2e x = lim ∫ dx lim dx b →∞ 0 x 1 b →∞ ∫ e x + 1 e + x e b 2 ex b = 2 lim ∫ dx == 2 lim ( arctan x2 x b →∞ 0 b →∞ 1 0 ( e) + 1 = lim ∫

b

x

= 2 lim arctan eb + arctan(1)  b →∞

= 2  arctan e +∞  − 2 arctan(1) π  π  π π = 2 arctan(∞) = 2  ÷ = 2  ÷− = 4 2 2 2 +∞ 2dx π ⇒∫ = x − x 0 e +e 2