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• Marina Marcañaupa Ochoa

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“Ano del buen servicio al ciudadano”

FACULTAD DE INGENIERIA DRENADO DE TANQUES

Proyecto del curso Calculo III

Docente: SANTOS USCAMAYTA, David

Integrantes: HUACHO TOVAR, Mahycol

Sección: 6183

Huancayo, Perú 2017

OBJETIVO

El objetivo de esta práctica es verificar experimentalmente que se cumplen las condiciones para la aplicación de la ley de Torricelli y estudiar la relación entre el tiempo transcurrido y la altura de líquido en un depósito. Entre las contribuciones científicas de Torricelli se halla la comprobación de que el flujo de un líquido por un orificio es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido medida respecto a la posición del orificio de salida. En esta práctica se comprobará la veracidad de la ley de Torricelli para el caso de un depósito cilíndrico en dos posiciones (vertical y horizontal), al que se le practicó un pequeño orificio en su parte inferior. Para ello se vierte el líquido en el depósito, se realizan unas marcas en el depósito que indican la altura de líquido, y se utiliza un cronómetro para medir el tiempo que transcurre en alcanzar el líquido cada una de las marcas. En primer lugar, se abre el orificio para que empiece a salir el líquido y en ese preciso instante se empieza a contar el tiempo. En segundo lugar, se observa tomando los datos de interés y por último se realiza el modelo matemático para comprobar lo observado. Durante el proceso de vaciado se construirá una tabla con los valores del tiempo transcurrido y la altura de líquido en el depósito. No obstante, la representación gráfica que se realizará será tiempo (s), y la altura del líquido en el depósito (altura en m). De esta forma se pueden obtener la ordenada en el origen y la pendiente de la recta. Por último, se deduce el significado físico de la ordenada en el origen y de la pendiente de la recta.

DESARROLLO I.

MATERIALES

Escalimetro.

Bolígrafo.

Libreta.

Cilindro de plástico.

II.

DRENADO DE TANQUES

El drenado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistema de la siguiente forma: 𝐸𝑐 = 𝐸𝑝 1 𝑚𝑣 2 = 𝑚𝑔ℎ 2

Esta ecuación es conocida en hidrodinámica, la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad “V” del flujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) “H” es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura “H”; esto es, 𝑣 = √2𝑔ℎ

Donde “g” es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se 𝟏

origina al igualar la energía cinética, 𝟐(mv2), con la energía potencial, mgh, despejando “V”.

III.

MODELO MATEMÁTICO DEL DRENADO DE TANQUES

H

h+dh

Se considera un recipiente lleno hasta una altura “H”, donde “A” es la sección transversal constante, y “a” es el área de un orificio de sección transversal por el que fluye el líquido, el cual está ubicado en la base del tanque. Sea “H” la altura del líquido en el tanque en un tiempo “t” (nivel 1) y “h + dh” la altura en un tiempo “t + dt” (nivel 2). Se desea establecer la altura del líquido en el tanque en cualquier instante “t” y el tiempo que esta demora en vaciarse. La cantidad de líquido que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de líquido que se escapa por el orificio. Sea “h(t)” la altura del líquido en el tanque en cualquier instante “t” y “V(t)” el volumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad “V” del líquido a través del orificio es: 𝑣 = √2𝑔ℎ

Donde “g” es la gravedad. La ecuación anterior representa la velocidad que una gota de líquido adquirirá al caer libremente desde la superficie hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la

contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se obtendrá: 𝑣 = 𝑘√2𝑔ℎ

Donde “k” es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunos problemas, cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que k = 1. En condiciones reales la constante “k” depende de la forma del orificio:  Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8.  Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0,75.  Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6. Y en algunos casos viene especificada. Según el Teorema de Torricelli, la razón con la que el líquido sale por 𝒅𝒗

el agujero ( 𝒅𝒕 ) se puede expresar como el área del orificio de salida “a” por la velocidad “V” del líquido. Esto sustituyendo en la ecuación.

𝑑𝑣 = −𝐴𝑜𝑉 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑘√2𝑔ℎ 𝑑𝑣 = −𝑘𝐴𝑜√2𝑔ℎ 𝑑𝑡

Donde: dv = diferencial del volumen. dt = diferencial del tiempo. k = coeficiente de descarga.

Ao = área del orificio. v = velocidad del líquido. h = altura del líquido. g = gravedad.

3.1.

CALCULO DE LA DIFERENCIAL DE VOLUMEN (dv)

∆

𝑑𝑣 =→ 𝐴𝑑ℎ

Donde: dv = diferencial de volumen. dh = diferencial de altura. ∆

→ 𝐴 = variación del área.

Derivando respecto a tiempo “t” y aplicando el teorema fundamental del cálculo.

𝑑𝑣 ∆ 𝑑ℎ =→𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Reemplazando en la ecuación: 𝑑𝑣 = −𝑘𝐴𝑜√2𝑔ℎ 𝑑𝑡

Nos queda: ∆

→𝐴

𝑑ℎ = −𝑘𝐴𝑜√2𝑔ℎ 𝑑𝑡

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolver sujeta a la condición de conocer la altura inicial “h0” para el tiempo “t=0”, permite obtener la variación de la altura del líquido en el tanque en función del tiempo “t”. Las medidas o dimensiones de los tanques se pueden expresar de la siguiente forma:

Tabla N° 1 elemento Altura Volumen Tiempo Gravedad Área del orificio Área de la sección transversal Coeficiente de descarga 3.2.

notación dh dv t g AO ∆

→𝐴

cm cm3 s 981cm/s2 cm2 cm2

K

unidades m m3 s 9.81m/s2 m2 m2 Sin unidades

CALCULO DEL COEFICIENTE DE DESCARGA

𝑘 = 𝐶𝐶 ∗ 𝐶𝑉 𝐻𝐶 𝐶𝑉 = √ 𝐻𝑂 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶 =

𝐴𝑂 𝐴𝐶

0.005 0.008

𝐶𝐶 = 0.58

Donde: k=coeficiente de drenado. 𝐶𝐶 =coeficiente de contracción. 𝐶𝑉 =coeficiente de velocidad 𝐻𝐶 = altura en un instante (t). 𝐻𝑂 = altura inicial

pies pies3 s 32.2pies/s2 pies2 pies2

Tabla N° 2

Coeficientes de velocidad (Tabla N° 3)

Coeficiente de contracción (𝐶𝐶 )

Coeficiente de drenado (k)

0.97

0.63

0.62

0.95

0.63

0.60

0.93

0.63

0.59

0.90

0.63

0.57

0.88

0.63

0.56

0.85

0.63

0.54

0.83

0.63

0.53

(𝐶𝑉 )

Para algunos casos de drenado.

IV.

APLICACIÓN DE LA ECUACION DIFERENCIALES DE TORRICELLI

Coeficiente de drenado promedio (k)

0.58

4.1.

TANQUE CILINDRICO VERTICAL 4.1.1. Calculo de la ecuación de Torricelli 𝑑𝑣 𝑑𝑡

= −𝑘𝐴𝑜𝑉……… (1)

𝑣 = √2𝑔ℎ ……….. (2) Reemplazando 2 en 1 𝑑𝑣 𝑑𝑡

= −𝑘𝐴𝑜√2𝑔ℎ….. (3)

Calculo de la diferencial de volumen ∆

𝑑𝑣 =→ 𝐴𝑑ℎ 𝑑𝑣 = 𝜋𝑟 2 𝑑ℎ 𝑑𝑣 ∆ 𝑑ℎ =→𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑ℎ

= 𝜋𝑟2 𝑑𝑡 ….. (4)

Reemplazando 4 en 3

𝜋𝑟 2

𝑑ℎ

= −𝑘𝐴𝑜√2𝑔ℎ

𝑑𝑡

𝜋𝑟 2 𝑑ℎ = −𝑘𝐴𝑜√2𝑔ℎ𝑑𝑡 1 √ℎ ℎ

∫ 𝐻

−𝑘𝐴𝑜√2𝑔

𝑑ℎ =

𝜋𝑟2 𝑡 −𝑘𝐴𝑜

1 √ℎ

𝑑ℎ = ∫

1

1

√2𝑔

𝜋𝑟2

0

[2ℎ2 − 2𝐻 2 ] =

𝑑𝑡

−𝑘𝐴𝑜√2𝑔

𝜋𝑟2

1

1

[2ℎ2 − 2𝐻 2 ] 𝑡=

−𝑘𝐴𝑜√2𝑔

𝜋𝑟2 1

1

𝜋𝑟2 [2ℎ2 − 2𝐻 2 ] 𝑡= Datos: H = 0.22 m r = 0.051 m 𝑘𝑒 = 0.58

𝑑𝑡

−𝑘𝐴𝑜√2𝑔

𝑡

𝑘𝑡 = 0.6

Ao = 5.0265*10-5 m t =? h=0 1

1

𝜋𝑟2 [2ℎ2 − 2𝐻 2 ] 𝑡=

−𝑘𝐴𝑜√2𝑔 1

1

𝜋(0.051)2 [2(0)2 − 2(0.22)2 ] 𝑡=

−(0.58)(5.0265 ∗ 10

−5

)√2(9.81)

𝑡𝑑𝑒 = 59.36 𝑠 …...valor experimental 1

1

𝜋(0.051)2 [2(0)2 − 2(0.22)2 ] 𝑡=

−(0.6)(5.0265 ∗ 10

−5

)√2(9.81)

𝑡𝑑𝑡 = 57.38 𝑠…...valor teórico

4.1.2. Tiempo de drenado del líquido en diferentes alturas. Tabla N° 3 Tiempo(s) 0 1.32 2.67 4.06 5.48 6.94 8.45 10 11.61 13.27 15 16.81 18.69 20.68 22.78 25.01 27.41 30.03 32.91 36.19 40.08 45.15 59.36

Altura del líquido(m) 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

4.1.3. Representación gráfica de drenado del líquido en diferentes alturas. Graf. N° 1

4.1.4. Interpretación de los resultados. En t (0.22) = 0 y t (0) = 59.36 s, a medida que transcurra el tiempo la altura del líquido desciende rápidamente hasta cierta altura(h), de allí la velocidad del drenado baja, es decir, a más altura del líquido, la velocidad es más y a menos altura la velocidad baja. En este caso del drenado del tanque vertical, la velocidad del drenado es más rápido hasta una cierta altura, como podemos ver (Graf. N° 1).

4.2. TANQUE CILINDRICO HORIZONTAL 4.2.1. Calculo de la ecuación de Torricelli

L

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= −𝑘𝐴𝑜𝑉……… (1)

𝑣 = √2𝑔ℎ ……….. (2) Reemplazando 2 en 1 𝑑𝑣 𝑑𝑡

= −𝑘𝐴𝑜√2𝑔ℎ….. (3)

Calculo de la diferencial de volumen ∆

𝑑𝑣 =→ 𝐴𝑑ℎ 𝑑𝑣 = 2𝑅𝐿 𝑑ℎ Hallando R 𝑅 2 + (ℎ − 𝑟)2 = 𝑟 2 𝑅 = √2ℎ𝑟 − ℎ2 Reemplazando R 𝑑𝑣 2 𝑑ℎ = 2𝐿√2ℎ𝑟 − ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡

2 𝑑ℎ = 2𝐿√2ℎ𝑟 − ℎ 𝑑𝑡 ….. (4)

Reemplazando 4 en 3

2𝐿√2ℎ𝑟 − ℎ2 √2ℎ𝑟 − ℎ2 √ℎ

𝑑ℎ 𝑑𝑡

𝑑ℎ =

√2𝑟 − ℎ𝑑ℎ =

= −𝑘𝐴𝑜√2𝑔ℎ −𝑘𝐴𝑜√2𝑔

2𝐿

−𝑘𝐴𝑜√2𝑔

2𝐿

ℎ

𝑡 −𝑘𝐴𝑜

∫ √2𝑟 − ℎ 𝑑ℎ = ∫ 𝐻 3

𝑑𝑡

√2𝑔

2𝐿

0

𝑑𝑡

𝑑𝑡

3

−𝑘𝐴𝑜√2𝑔 −2(2𝑟 − ℎ)2 + 2(2𝑟 − 𝐻)2 𝑡 [ ]= 3 2𝐿 3

3

−2(2𝑟 − ℎ)2 + 2(2𝑟 − 𝐻)2 ( ) 3 𝑡=

−𝑘𝐴𝑜√2𝑔 [

2𝐿 3

𝑡=[

] 3

−4𝐿(2𝑟 − ℎ)2 + 4𝐿(2𝑟 − 𝐻)2 −3𝑘𝐴𝑜√2𝑔

]

3

3

4𝐿((2𝑟)2 − (2𝑟 − 𝐻)2 ) 𝑡=[ ] 3𝑘𝐴𝑜√2𝑔 Datos: L = 0.23 m r = 0.051 m 𝑘𝑒 = 0.58 𝑘𝑡 = 0.6

Ao = 5.0265*10-5 m t =? h=0 3

3

4𝐿((2𝑟)2 − (2𝑟 − 𝐻)2 ) 𝑡=[ ] 3𝑘𝐴𝑜√2𝑔 3

3

4 ∗ 0.23((2 ∗ 0.051)2 − (2 ∗ 0.051 − 0.08)2 ) 𝑡=[ ] −5 3 ∗ 0.58 ∗ (5.0265 ∗ 10 ) √2 ∗ 9.81 𝑡𝑑𝑒 = 69.61 𝑠…...valor experimental 3

3

4 ∗ 0.23((2 ∗ 0.051)2 − (2 ∗ 0.051 − 0.08)2 ) 𝑡=[ ] −5 3 ∗ 0.6 ∗ (5.0265 ∗ 10 ) √2 ∗ 9.81 𝑡𝑑𝑡 = 67.29 𝑠…...valor teórico

4.2.2. Tiempo de drenado del líquido en diferentes alturas. Tabla N° 4 Tiempo(s) 0 5.65 12.27 19.73 27.95 36.86 46.41 56.57 69.61

Altura del líquido(m) 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

4.2.3. Representación gráfica de drenado del líquido en diferentes alturas. Graf. N° 2

4.2.4. Interpretación de los resultados. En t (0.08) = 0 y t (0) = 69.61 s, a medida que transcurra el tiempo la altura del líquido desciende rápidamente hasta cierta altura(h), de allí la velocidad del drenado baja, es decir, a más altura del líquido, la velocidad es más y a menos altura la velocidad baja.

CONCLUSIONES a) Se observó que, a medida que disminuye la altura de líquido en el depósito, la distancia horizontal que alcanza el líquido fuera del depósito también decrece, es decir, varía la velocidad de salida por el orificio. Si medimos los tiempos transcurridos entre dos marcas consecutivas, se puede ver que no son iguales y, por tanto, se comprobó que la velocidad cambia con la altura. b) Al realizar el experimento se puede ver que la velocidad del drenado depende mucho del volumen del líquido y/o altura del recipiente, mientras más altura más velocidad.  Tiempo del drenado en el tanque vertical es: 𝑡𝑑𝑒 = 59.36𝑠 𝑡𝑑𝑡 = 57.38𝑠  Tiempo del drenado en el tanque horizontal es: 𝑡𝑑𝑒 = 69.61𝑠 𝑡𝑑𝑡 = 67.29𝑠