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• César Hilton Aguilar Ramos

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CLUB DE MATEMATICA

ÁLGEBRA CÉSAR H. AGUILAR RAMOS Ejemplo:

ax  b  0

Constantes relativas o parámetros

DEFINICIONES PREVIAS EXPRESIÓN MATEMÁTICA Es aquel conjunto formado por números y/o letras (constantes y/o variables) y que se encuentran ligadas por los diferentes operadores que representan a las distintas operaciones como la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación , radicación, logaritmación, trigonométricas, exponenciales, series, derivadas, integrales, etc. Ejemplos:  2 xy 2  

NOTACIÓN MATEMÁTICA Es la representación simbólica que nos permite saber, en una expresión algebraica, cuales son las variables y cuales las constantes.

P x, y   2ax 2  bxy  3cy 2

xy Senx  y

2 log x  Tgx 2  x 2  ab

Nombre genérico Variables

Constantes

VARIABLE



 

VALOR ADMISIBLE DE UNA VARIABLE Es aquella magnitud que no presenta valor fijo frente al desarrollo o estudio de determinado problema matemático y que está representado (no siempre) por las últimas letras del abecedario: x, y, z, etc. Son letras que representan cantidades susceptibles a variar y cantidades cuyo valor es desconocido. Se utilizan las últimas letras del alfabeto: x, y, z. Es un valor arbitrario de un conjunto dado que representa a una cantidad en forma general. Generalmente se les representa por las últimas letras del alfabeto: w, x, y, z, etc.

Es el conjunto de Números Reales (R) menos las restricciones de la variable de una expresión. Llamado también dominio de una variable. Ejemplo: 1.

x

para todos aquellos valores reales de , salvo el número dos (2), para evitar así la división entre cero. 2.

Incógnita X Los árabes, para representar la incógnita, utilizaban el término shay, que quiere decir "cosa". En los textos españoles se escribió xay, que con el tiempo se quedó en x. Los egipcios le llamaban aha, literalmente "montón". Durante los siglos XV y XVI se le llamó res en latín, chose en francés, cosa en italiano o coss en alemán.





2  1,4142

e  2,71 (Aprox.)

i

Esta expresión se verifica para todos

x

no negativos

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es aquella magnitud que adquiere un valor fijo, en el estudio o desarrollo de tal o cual fenómeno matemático y está representado (no siempre) por las primeras letras del abecedario a, b, c, etc. Son letras que representan cantidades conocidas y cantidades que se suponen conocidas. Se utilizan generalmente las primeras letras del alfabeto: a, b, c, etc. Es un valor numérico determinado que puede ser: Absoluta o numérica: Cuando no cambian de valor de un problema a otro. Ejemplo:

  3,1416

x0

x ;

aquellos valores reales de

CONSTANTE



1 ; x     2 En esta expresión se verifica  x  2

1

Relativa o parámetro: Cuando su valor se mantiene en un problema en particular pero varía en otro. Por lo general, se les representa por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, etc.

Es aquel conjunto de variables y/o constantes que se encuentran ligadas entre sí a través de las operaciones de “adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación; en un número finito de veces. La expresión algebraica siempre presentará a las variables formando parte de las bases y no de los exponentes. Ejemplos:  2 x 2   xy  3ab 2 

5



4 x 2 y 5 



2 xy



x



5ax   a  b  x 2 



x  x 2  x 3  x 4  ...

¡No es expresión algebraica porque tienen infinitos términos!



x2 y 

2 3

2x  3 y 5 y2

 y2  2 ab x y

x  x x ¡No es expresión algebraica porque y

la variable x aparece como exponente! Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente. Ejemplos:

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

1  x  x 2  x 3  x 4 ...

Expresión Trascendental



x  y  log z  log x

Expresión Logarítmica



Senx  2Cosy  1



2x  x x

x 1

Expresión Trigonométrica

 3x  5 x 2

Se llama coeficiente al número o letra que se coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que de dicha cantidad debe tomarse como sumando

Expresión Exponencial

a x2 Coeficiente Literal

TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión algebraica en la cual aparecen exclusivamente las diferentes operaciones algebraicas entre sus bases a excepción de la adición y sustracción. Ejemplos:  P  x   4x 2

3 3 2 x y 2



Q  x, y  



R  x, y   5 x



S  x, y , z  

 

T  x, y  

4 xy z2

7 abx 2 y 5 xy



TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes cuando, no interesando la naturaleza de sus coeficientes, estos contienen la misma parte literal afectada de los mismos exponentes. Ejemplos:

y

U  x, y   3 y 4 x .

xy





3 x 2 ;4 x 2 ;





 3

N  x   3a 2 x m  n  A x   3 x y  B  x, y   ¡No es un término algebraico xy 1 1  el cual tiene dos porque reduciendo sale x y 

términos!

b) c) d)

x

3 3 2 3 xy ;8 xy 3 ; xy 4 2 1

3 xy 2 ;6 x

1

y ,7 xy 2

Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos mediante un solo término, haciendo uso de la adición o sustracción de acuerdo al signo que ellos presenten. Para ello basta operar sólo con sus coeficientes y al resultado se le acompaña de la misma parte literal con sus respectivos exponentes. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

3x  2 x 2

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la forma o naturaleza de sus exponentes y por su extensión o números de términos.

y

x  5y x 1 1  y x 2

1 2 x ; 2x 2 2

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

No son términos algebraicos a)

m x2 y3

3

PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO



  Entera   Racional     Fraccionaria

Según la naturaleza del exponente

Todo término algebraico tiene tres partes: I. II. III.

COEFICIENTE O PARTE CONSTANTE (formado por signo y número) PARTE LITERAL (variables) EXPONENTES.

Según el número de términos

  Ir acional 

SEGÚN LA NATURALEZA DEL EXPONENTE Exponentes

 5 x2 y3 Coeficiente

Parte Literal

I.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (E.A.R) Es aquella expresión cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios y que llevadas todas las variables al numerador, se ven afectadas de exponentes enteros. A su vez estas expresiones se subdividen en:

  Monomios    Polinomios

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I. A. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL ENTERA (E.A.R.E) Es aquella donde llevadas todas sus variables al numerador, éstas se ven afectadas de exponentes enteros no negativos (positivos o cero) Ejemplos: 

3x 3 y



x 1 4

 

x4  y 3x 3   2  3x 3  ( x 4  y ) x  2 llevan x 1

 

1

x y ( x  y)   x 4 . y 3 .3 12 3 3 1 2 ( x  y) x   2 2 z 3 2 3 5 3

)

3.

1  2



F( x )  x 10  5 x 6  3 x 4 Q( x )

4.

A) -198

C) -300

B) -270

t 2  ab 3 x a y a  b 1 D) 324

E) N.A

Dar la suma de los coeficientes de los siguientes 3 términos semejantes que tienen a “x” como única variable.

B) 4

C) 0,8

;

0,8mx 8

D) 0,4

E) N.A

Dado los términos algebraicos semejantes:

A) 13

t 2  (8  m) x 3b 3

calcular el

b  b 1 2

B) 12

C) 9

D) 8

E) N.A

Indicar el resultado que se obtiene de

P( x)  ( a  b) x a  (a  1) x b 1  abx 5 si está formado por 3 términos semejantes.

2 3  3 x    2 reduciendo y x 6

A) x 5

exponente

6.

B) 2x 5

C) -3x 5

D) -5x 5

E) N.A

Sabiendo que la expresión:

P ( x)  (a  b) x 12  ax b  a  bx 2b  4

2 3   1 reduciendo x x2  2 x 1  3 x 2  1 exponente negativo

H ( x) 

Está formado por 3 términos semejantes, reducir a su mínima expresión

H ( x)

A) 24x 12 B) 18x 12 C) 15x 12 D) 12x 12 E) N.A

EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL (E.A.I.) Es aquella donde por lo menos una de sus variables esta afectada de un exponente fraccionario o de un signo radical. Ejemplos: 

F( x )  x 6  x 10  3 x 10  x 3  5 x 2



R( x , z )  x 4  xyz 3  3 yz 6  6 xy



Q( x , y )  x 2 3  y 2 3  z 2 3



;

valor de

negativo

II.

t1  a 3 bx 3 y 2

t1  ( m  2a ) x 6 ;

5.

t1

son semejantes de variable “x” e “y”

A) 2

exponente negativo

Q( x )  3 x 6  2 y 1  3 x 1  2 

t2

3,2 x m  a ;  0,2m 2 x 2  a

I. B. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL FRACCIONARIA (E.A.R.F.) Es aquella donde, llevadas todas sus variables al numerador, por lo menos una de ellas está afectada de un exponente entero negativo. Ejemplos: 

;  0,2 y b  3

A) 13 B) 12 C) 15 D) 9 E) N.A Calcular la suma de los coeficientes sabiendo que y

3  y3

4

Calcular el valor de ( a  2b) si los términos siguientes son semejantes:

3 y a b ; 2 5 y 8

2.

do al numerador la variable ( x 

1.

G( x, y )

7.

F ( x )  2ax a

2

b

 2bx 4  b  abx 2b está formada

por 3 términos semejantes, reducir la expresión que a continuación se indica:

P( x)  3ax 2  2bx 2  abx 2 8.

A) 6x 2 B) 8x 2 C) 3x 2 D) 2x 2 E) N.A Reducir los siguientes términos semejantes, si tienen como única variable a la letra “z”.

 6mz m  5mz 8  3mz 8

2x x  y   2 y xyz

OBSERVACIÓN: Para clasificar una expresión algebraica en primer lugar éstas se deberán simplificar lo mayor posible, llevando sus variables al numerador y a partir de allí analizar sus exponentes.

Considerando que la expresión:

A) 32z 8 9.

B) -24z 8

C) -32z 8

D) z 8 E) N.A

Reducir el siguiente polinomio a su mínima expresión, si todos sus términos son semejantes:

P( x)  (a  b) x a  3(a  2b) x b  5abx 2 A) 12x 2

B) 2x 2

C) -2x 2

D) 4x 2

E) 6x 2

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10. El siguiente término es reducible a un solo término. ¿Cuál es el coeficiente de dicho término?

19. Después de reducir:

P ( x )  (a  c ) x a 1  3acx 7  ( a  c) x 5  c A) 40

B) 25

C) 48

D) 17

10

(a 2 b 3 )(a 5 b 4 )10 3 (ab 2 ) 6 4

(a 2 b 6 ) 2

(a 7 b 8 ) 2 ab 4

la expresión algebraica que se obtiene es:

E) 1

A) Racional entera B) Racional fraccionaria C) Irracional D) No se puede determinar E) N.A

11. Si todos los términos del siguiente polinomio son semejantes. ¿Cuál es el polinomio reducido?

P( y )  (m  t ) y m 1  y 8  (m  t ) y t  7 A) y 8

B) 6y 8

C) 15y 8

D) 3y 8

E) N.A

12. Indique el resultado que se obtiene luego de reducir:

R  2 18 x 3  3 2 x 2  3 8 x 3  2 50 x 2  3 32 x 3  4 72 x 2 A)

B)

C)

D)

1.

E)

A) 2 x 2 y 3

13. Después de reducir la expresión:

P  2ab

ab x n

 3a

se obtiene: A)

B)

ab 3 x n

C)

T 2  ( a  2) x

3a 7

E)

2.

y

B) 10

3.

C) 8

D) 15

x ; x2  3 y ; x2 y  2 ;

¿Cuántas son racionales? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

1 x

4.

B) 2

C) 3 3

17. Después de reducir:

x

D) 4

2

x

3

E) 5

53

5.

4

A  2

18. Sean: P



3

x

x



4



2 1  8 1

4





2

B

 4 4

23

2



Señalar que clase de expresión algebraica es:

E

AB

P

( 2c ) x c  9

11x 3

C)

8x 3

D)

10x 3

E)

3

x

y ; log x ; x 2  x 2  x 3  x 4  ...

B) 2

C) 3

D) 4

E) 0

2

x 3 y2

II)

2 x 1  4 B) RIRI

IV) C) RRII

3/ x 1 x  y 1

D) IIIR

E) N.A

Indicar SI las expresiones algebraicas son racionales enteras (RE) o racionales fraccionarias (RF). I)

3x 1  y  2 z 1

III)

x2 

5

x 3 5 x 9 

;

B)

A) IRRI 6.

E) N.A

Indicar si las expresiones son racionales ( R ) o irracionales (I)

III)

La expresión algebraica que se obtiene es:

D) 5

¿Cuántas de las siguientes expresiones son algebraicas?

I)

4

A) Racional entera B) Racional fraccionaria C) Irracional D) No se sabe E) N.A

C) 4

Obtener la suma de los términos semejantes:

A) 1

x x . x3 3 x x2

x3 3

B) 3

x 2  x 2 ;

entera. ¿Cuántos valores puede tomar “n”? A) 1

La expresión: E ( x, y , z )  mx 7  2 n y 3 n  6 z n  m es racional entera. Calcular “m+n”, sabiendo que m > 1

A) 17x 3 N.A

E ( x ; y )  x n  2  y 5 n es racional

16. La expresión:

C) E) 5 x 2 y 3

(c  5) x 4 c  3

E) N.A

15. De las siguientes expresiones:

x2 y  x2 / y ;

B) 8 x 3 y 2

3

A) 2

.Se puede reducir a uno solo; dar

la suma de coeficientes. A) 12

son términos

8x y D) 3 x 2 y 3

D)

T1 ( x)  ax a  3

14. Si los términos:

2

a 3b x n

b

t1  abx a y 3 ; t 2  2 x 2 yb semejantes. Calcular: t1  t 2 Si

1 x

A) RE,RF,RE,RF C) RE,RF,RE,RF

II) IV)

3x 

x 0,5

1

1 2

2x

B) RE,RE,RF,RF D) RF,RF,RF,RF

E) N.A

A) Racional entera B) Racional fraccionaria C) Irracional D) No se puede determinar E) N.A

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7.

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La expresión algebraica: P ( x )  2 / 3 x 3 n  7 es racional entera y Q ( x)  fraccionaria. Hallar “n” A) 0

B) 1

2 x 4 n 15 es racional

C) 2

D) 3

E) 4

E ( x)  x 2  n  y 5 n es una expresión entera.

8.

18. j

Calcular la suma de los posibles valores de “n” A) 8 9.

B) 7

C) 6

D) 10

E) 11

2

Sabiendo que 3 x m  2 y n  5 ; 7 x n  5 y m  4 son términos semejantes hállese el máximo valor de “m+n” A) 5

B) 9

C) 11

D) 13

19. j

E) 17

10. La siguiente expresión:

R ( x)  (a  b 2 )

a b

x6

 ab

ab

x4

(b  a) x

puede reducirse a monomio. Según esto proporcionar su valor reducido A) 2x 3 11. Si en:

B) 3x 2

C) 5x

D) 4x

20. j

E) 3x

3 x 4  a  4 x a  n  7 x 2 n , todos los términos

son semejantes, hallar A) 0

B) 1

na

C) 2

D) -2

E) -1 CLAVES DE TAREA DOMICILIARIA

12. Al expresar en su forma más simple la expresión:

a b  2a  5a 1 .( a 2  b 2 ) 1   resulta: a b 

1.

2. D

3.

4.

5.

6.

7.

8.

A)

2(6a  5b) B) 12a  50b C) D) a  b E) ninguna 12a  5b

9.

10.

11.

12.

anterior

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

13. Si los términos 3m a  2 n b 1 ;2m b  3 n 4 son semejantes. Entonces ( a  b) es: A) 2

B) 4

C) 7

D) 8

E) 9

14. Si

15. j

16. j

17. j

Pg. 5