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• Karangano Kamaraju Castro Chavez

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Exponencial de una matriz Para la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales se hace necesario introducir el concepto de exponencial, no ya de un número sino de una matriz. En analogía con el desarrollo en serie de potencias de para , definimos la exponencial de una matriz cuadrada como la siguinete serie matricial.

Si la matriz tiene alguna potencia nula de orden , entonces

, es decir si es nilpotente y lo anterior se

convierte en una suma finita. Por ejemplo la matriz nilpotente de orden

por tanto sus potencias superiores a

es

se anulan y así su exponencial es la siguiente suma

Si por el contrario no es nilpotente nos vemos obligados a considerar un proceso de paso al límite.

Por ejemplo para la matriz sus potencias pares dan la identidad, de nuevo la matriz .

Así la exponencial de

se tiene que

, y por tanto

y sus potencias impares vuelven a dar

es la siguiente serie

Este proceso de paso al límite puede ser muy complejo en general y es aquí donde la forma normal (o canónica ) de Jordan nos puede ser muy util.

Como curiosidad fijémonos que la matriz anterior no es nilpotente, aunque es suma de dos nilpotentes

por tanto la suma de matrices no es una operación interna en el conjunto de matrices nilpotentes.

Exponencial y forma de Jordan Supongamos que se tiene la siguiente descomposición para la matriz

entonces

es decir,

De acuerdo con esto, si la expresión anterior representa la descomposición de Jordan de una matriz , calcular se reduce a calcular , la exponencial de una matriz de Jordan. Por otro lado no es dificil ver que si tenemos una matriz diagonal de bloques (cuadrados), como lo es la de Jordan, sus potencias resultan una matriz diagonal de bloques donde cada bloque es la potencia del correspondiente bloque.

Por tanto para calcular la exponencial se tiene

El mismo razonamiento es válido ahora para los subbloques, y por tanto hemos reducido el problema a calcular la exponencial de una matriz del tipo

Fijémonos que estos subbloques se pueden expresar como suma de una matriz diagonal

y otra nilpotente

,

Se cumple además que

como se tiene

y como

, obtenemos que

, concretamente

De esta forma vemos que el cálculo de la exponencial de una matriz se puede simplificar enormemente si tenemos su descomposición de Jordan. Antonio Garvín 05/06

Ejemplo Consideremos la siguiente matriz

El polinomio característico de

es

. El polinomio

mínimo coincide con él . Los autovalores son doble y simple. Se puede ver que la forma de Jordan y una matriz de paso

Calculamos la inversa de

y se obtiene

son

Así

. Como

El segundo bloque es inmediato

Así que en este caso

De donde obtenemos

tiene dos bloques

y

. Veamos el primero