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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE EDUCACION ESPECIALIDAD MATEMATICA E INFORMATICA

TITULO

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

ASIGNATURA: ESTRUCTURA DE DATOS Y ALGORITMOS II

ALUMNO: SALAZAR BERNARDO, JHEINER VASQUEZ AGUILAR, ZULY MALU JARA MARIN OSMER CICLO: VI

2018 – Cajamarca

INTRODUCCIÓN

El presente informe desarrollaremos el tema de determinante de una matriz a través de ejemplos prácticos sabiendo que una matriz es una estructura de datos que contiene un número de variables a las que se accede mediante índices calculados. Las variables contenidas en una matriz, denominadas también elementos de la matriz, son todas del mismo tipo y este tipo se conoce como tipo de elemento de la matriz. Los tipos de matriz son tipos de referencia, y la declaración de una variable de matriz simplemente establece un espacio reservado para una referencia a una instancia de matriz. Las instancias de matriz reales se crean dinámicamente en tiempo de ejecución mediante el operador new. La nueva operación especifica la longitud de la nueva instancia de matriz, que luego se fija para la vigencia de la instancia. Los índices de los elementos de una matriz van de 0 a Length.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ Hay varias maneras de implementar una matriz en C#. El enfoque tradicional y el que se usa en este artículo, es utilizar una matriz de matrices, a veces llamado una matriz escalonada. Por ejemplo, este código define una matriz con tres filas y dos columnas:

A diferencia de la mayoría de los lenguajes programación, C# tiene un tipo de matriz multidimensional integrado, que proporciona un enfoque alternativo. Por ejemplo:

Un tercer enfoque para implementar matrices en C# es utilizar una sola matriz combinada con la manipulación del índice de matriz, como este:

Sin importar el esquema de almacenamiento utilizado, matrices pueden implementarse usando un enfoque de método estático o una programación orientada a objetos. Por ejemplo, podría parecerse un enfoque de programación orientada a objetos:

No hay sola mejor opción para el diseño de la matriz; el mejor diseño depende de la situación particular de codificación en que está operando y sobre sus preferencias de codificación. Este artículo utiliza un método estático porque es el más fácil de entender y refactorizar. Cuando se utiliza un diseño de matriz de matrices de matrices, porque cada fila debe asignarse por separado, a menudo es conveniente definir un método auxiliar para realizar la asignación de memoria. Por ejemplo:

El método puede ser llamado como tal:

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Sea A una matriz cuadrada; asociada a esa matriz hay un número llamado determinante, que se simboliza por |A| o det(A) y que se calcula de la siguiente forma: El método determinantorder2(): Este método es muy sencillo lo cual no es necesario explicar nada. (Revisen arriba como se calcula el determinante de orden 2). Si el orden de A es 2 el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria: Código static int DeterminantOrder2(int[,] matrix) { return (matrix[0, 0] * matrix[1, 1]) - (matrix[0, 1] * matrix[1, 0]); } El método determinatrec(): viene a ser "el más complicado", porque no es más que una representación en código de la ecuación que les presenté antes para calcular el determinante de orden mayor que 2. 1. static int DeterminantRec(int[,] matrix) 2. { 3. //Caso de parada que sea de orden 2 y lo calculamos con el método para 4. //el determinante de orden 2 5. if (matrix.GetLength(0) == 2) 6. { 7. return DeterminantOrder2(matrix); 8. } 9. else 10. { 11. int det = 0; //Inicializamos una variable para almacenar el valor del determinante 12. 13. //En este ciclo recorremos una fila para para obtener el adjunto de cada elemento 14. //de esta fila así calcular el determinante de este fijando cada elemento de la fila 15. //0 16. for (int i = 0; i < matrix.GetLength(1); i++) 17. { 18. //Creamos una matriz para rellenarla con la matriz para luego calcular su

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

//determinante llamando recursivo. Esta matriz tiene un orden menor (en una //unidad) que la matriz original int[,] minor = new int[matrix.GetLength(0) - 1, matrix.GetLength(1) - 1]; //Aquí llamamos al método auxiliar que se encarga de rellenar la matriz auxiliar FillMatrix(matrix, minor, 0, i); //Aquí lo que vamos a definir si lo que se hace es sumar o restar. Esto es una //manera de representar el cambio de signo que trae consigo el (-1) elevado a //i+j. En este caso como utilizamos la fila 0 siempre, ese número va a ser //positivo solo cuando estemos en una columna (j) que sea par, negativo en //caso contrario if (i % 2 == 0) //Aquí lo que hacemos es multiplicar el valor del elemento en cuestión //por el adjunto teniendo en cuenta el signo correspondiente y se lo //sumamos a la variable det (en el else es lo mismo lo que con el signo //negativo). Aquí es donde está la llamada recursiva pues hay que calcular el //determinante de la matriz "minor" det+= (matrix[0, i]) * (DeterminantRec(minor)); else det+= (-matrix[0, i]) * (DeterminantRec(minor)); } //Una vez que ya recorrimos toda la fila, devolvemos el determinante return det; } }

El método fillmatrix(): Este método recibe la matriz desde la cual se van a sacar los valores, la matriz donde se van a copiar (de un orden menor en una unidad), la fila y la columna que se va a eliminar: Código static void FillMatrix(int[,] matrix, int[,] toFill, int row, int column) { //Ciclo anidado para recorrer la matriz desde la cual se van a sacar los valores for (int i = 0; i < matrix.GetLength(0); i++) { (int j = 0; j < matrix.GetLength(1); j++) for {//Si estamos en una fila menor a la que se va a eliminar if (i < row) {//Si estamos en una columna menor a la que se va a eliminar if (j < column) toFill[i, j] = matrix[i, j]; //Copiamos el valor normalmente else if (j > column) //En este momento estamos en una fila menor a la que se va a //eliminar pero por encima de la columna a eliminar, por lo tanto //se saca el valor de la matriz y se coloca en una columna con una //unidad menos (j-1) toFill[i, j - 1] = matrix[i, j]; else //Si estamos en una fila mayor a la que se va a eliminar if (i > row) { //Si estamos en una columna mayor a la que se va a eliminar if (j < column) //En este momento estamos por encima de la fila a eliminar pero por debajo //de la columna a eliminar, por lo tanto tenemos que quitarle una unidad a la fila//(i-1) toFill[i - 1, j] = matrix[i, j]; else if (j > column) //Aquí estamos por encima tanto de la fila como de la columna a eliminar por lo //tanto le quitamos una unidad tanto a las filas como a la columna (i-1, j-1) toFill[i - 1, j - 1] = matrix[i, j]; } } } }

Ejemplo práctico Código en C# que dada una matriz de 3x3 encuentra el determinante de la misma utilizando el método de Sarrus, aclaro que está hecho de la forma más simple posible y en modo de consola, sin más rodeos aquí el código: using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Threading.Tasks; namespace ejemplo { class Program { static void Main(string[] args) { //declaramos un arreglo de enteros en este caso de 3x3 int[,] matriz = new int[3, 3]; for (int i = 0; i < 3; i++) //para llenar el arreglo { for (int j = 0; j < 3; j++) { Console.WriteLine("Escribe el número correspondiente a la posición {0},{1}", i + 1, j + 1); matriz[i, j] = int.Parse(Console.ReadLine()); } } //terminamos de llenar la matriz //empezamos sarrus, super simple nada de complicaciones //lo hacemos con la formula directamente //diagonal principal - diagonal inversa int sarrus = 7; sarrus = ((matriz[0, 0] * matriz[1, 1] * matriz[2, 2]) + (matriz[1, 0] * matriz[2, 1] * matriz[0, 2]) + (matriz[0, 1] * matriz[1, 2] * matriz[2, 0])) - ((matriz[0, 2] * matriz[1, 1] * matriz[2, 0]) + (matriz[0, 1] * matriz[1, 0] * matriz[2, 2]) + (matriz[1, 2] * matriz[2, 1] * matriz[0, 0])); //imprimimos el resultado Console.WriteLine("EL determinante de la matriz es: {0}", sarrus); Console.ReadKey(); //para que quede esperando y podamos ver el resultado } } }

Conclusiones  Para la solución de ejercicios en c Sharp es necesario saber la teoría y aplicación de determinantes de una matriz.  Este programa nos permite obtener el determinante de una matriz de la forma (nxn, nxm,) empleando los diferentes algoritmos para cada una de ellas .  Es necesario saber que el calculo de la matriz nxn nos permite saber si esta es invertible. sí cero no tiene inversa y entonces podemos programar una excepción para ejecutar el código para el cálculo de inversa.