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Experimento de Franck-Hertz Hugo Agust´ın Garc´ıa Gonz´alez 6 de Septiembre del 2016

Resumen El presente experimento tiene como finalidad demostrar la transferencia de energ´ıa por la colisi´on de un electr´ on y un ´ atomo, poniendo en evidencia el car´acter discreto de los niveles energ´eticos internos de un ´ atomo. M´ as espec´ıficamente, su objetivo es la medida de la diferencia de energ´ıa entre el nivel fundamental y el primer estado excitado. Para ello se midi´o la distancia entre los m´ aximos de la gr´ afica que da la relaci´ on entre el voltaje de aceleraci´on U2 y la corriente medida en el colector IA en un tubo de Franck-Hertz. Se obtuvo que el promedio de esa separaci´on entre los m´ aximos era de 4.9eV, con una incertidumbre del 16.3 %; este valor corresponde con la energ´ıa de absorci´ on del mercurio de 4.88eV[4]. Adem´as la forma de la gr´afica confirma el hecho de que hayan colisiones inel´ asticas de electrones con el vapor de mercurio solo en valores discretos como lo predice la teor´ıa de la mec´ anica cu´ antica.

1. 1.1.

Introducci´ on Experimento Hertz.

de

vac´ıo dentro del tubo puede hacer que la temperatura para evaporar el mercurio baje hasta los 180◦ C. Con ayuda del voltaje Uh se calienta un filamento que a su vez calienta el c´atodo y hace que se libere una nube de electrones. Con el voltaje U1 se jalan los electrones hacia la rejilla emisora, para despu´es ser acelerados por el voltaje U2 . Finalmente se tiene un voltaje inverso, U3 que sirve para filtrar los electrones que no tengan suficiente energ´ıa para traspasarlo U3 , mientras que los electrones que logren pasar U3 formaran parte de la corriente medida por el colector de corriente. Durante la trayectoria de los electrones, los mismos adquieren energ´ıa en forma de energ´ıa cin´etica aumentando su energ´ıa total. Cuando estos colisionan con los ´atomos de mercurio, si la energ´ıa del electr´on es la suficiente para que el choque sea inel´astico, el electr´on le translada energ´ıa al ´atomo de mercurio excit´andolo y perdiendo energ´ıa cin´etica durante el choque. Cuando el ´atomo de mercurio vuelve a su estado fundamental, la energ´ıa ganada durante el choque la libera en forma de radiaci´on (fotones) cuya energ´ıa viene dada por la ecuaci´on de Planck:

Franck-

El experimento de Franck y Hertz se realiz´o por primera vez en 1914 por James Franck y Gustav Ludwig Hertz. Tiene por objeto probar la cuantificaci´ on de los niveles de energ´ıa de los electrones en los ´ atomos. El experimento confirm´ o el modelo cu´ antico del ´ atomo de Bohr demostrando que los ´ atomos solamente pod´ıan absorber cantidades espec´ıficas de energ´ıa (cuantos). Por ello, este experimento es uno de los experimentos fundamentales de la f´ısica cu´antica. Por esta experiencia Franck y Hertz recibieron el premio Nobel de f´ısica en 1925. El experimento se basa en dirigir un haz de electrones a trav´es de vapor de mercurio mediante un t´etrodo (Fig.1)

E = hν Figura 1. Diagrama del tubo Franck-Hertz.Con diferentes potenciales en la parte izquierda.

(1)

A medida que se aumenta el voltaje U2 , los electrones alcanzan, a una distancia cada vez menor la energ´ıa necesaria para exitar los ´atomos Con ayuda de un horno externo se calienta el de mercurio. Luego de la colisi´on son nuevamentubo para que se evapore la gota de mercurio que te acelerados y, con una tensi´on de aceleraci´on se puede ver en la Fig.1. El mercurio se evapo- suficiente, adquieren por segunda vez la energ´ıa ra normalmente a los 357◦ C[3], pero generar un necesaria para exitar otro ´atomo de mercurio. La

1

corriente del colector IA llega as´ı a un m´aximo y, para voltajes U2 a´ un mayores, a nuevos m´aximos. Este comportamiento hace que la corriente 3. El electr´ on solo emite o absorbe energ´ıa en se comporte de la manera que se muestra en la los saltos de una ´ orbita permitida a otra. gr´ afica siguiente. Si el electr´on salta desde una ´orbita inicial de energ´ıa Ei a una ´orbita final de energ´ıa Ef (Ei > Ef ), se emite un fot´on cuya frecuencia se determina por la Ecu. 1, obteniendo: Ei − Ef (5) h Con los postulados mencionados, tambi´en podemos obtener otros resultados de importancia: Despejando la velocidad de la Ecu. 4 y aplic´andola, a: ν=

1 mv 2 = 2 Despejando el

Figura 2.Corrienete de electrones que fluye hacia el colector V.S. tensi´ on de aceleraci´on en el experimento de Franck-Hertz con mercurio.

(6)

4πε0 ~2 2 n = a 0 n2 (7) me2 Donde a0 es el radio de Bohr, definido como: r = rn =

La separaci´ on entre los picos debe de ser constante y aproximarse a la energ´ıa de absorci´ on del mercurio, pues es solo hasta cuando se alcanza este valor que los electrones entregan su energ´ıa.

1.2.

1 n~ 2 1 e2 m( ) = 2 mr 8πε0 r radio:

4πε0 ~2 = 0,0529nm (8) me2 Si sustituimos r(= rn ) en la energ´ıa dada por la Ecu. 3: a0 =

´ Atomo de Borh En = −

El f´ısico dan´es Niels Bohr, propuso un modelo at´ omico para el Hidr´ ogeno, que se basa en tres postulados::

−13,6eV me4 1 ( )= 32π 2 ε20 h2 n2 n2

(9)

La teor´ıa de Bohr se puede extender a los a´tomos hidrogenoides, los cuales son ´atomos con cargas nucleares Ze1 , pero en los que s´olo un 1. El electr´ on describe ´ orbitas circulares en electr´on gira alrededor del n´ ucleo. torno al n´ ucleo del ´ atomo sin irradiar energ´ıa. Para estos ´atomos hidrogenoides, la Ecu. 2, Como electr´ on gira alrededor del prot´on con tomar´ıa la forma: movimiento circular uniforme, debido a la fuerza de Coulomb, entonces: 1 Ze2 mv 2 F = = (10) 4πε0 r2 r e2 mv 2 F = = (2) Y la energ´ıa dada por la Ecu. 9, ser´ıa: 4π r2 r 0

Y la energ´ıa total del sistema(E = K + U ), queda: E=−

e2 8π0 r

En =

(3)

mZ 2 e4 1 Z2 ( ) = 13,6eV 32π 2 ε20 h2 n2 n2

(11)

Sin embargo en un ´atomo pesado como el mercurio, los electrones en las capas interiores del ´atomo son dif´ıciles de desalojar, debido a la fuerte atracci´on electrost´atica del n´ ucleo, tienen 2. Los electrones solo pueden girar alrededor energ´ıas de enlace t´ıpicas en el rango de unos del n´ ucleo en aquellas ´ orbitas para las cuales pocos KeV. el momento angular del electr´ on es un m´ ultiplo Los electrones exteriores (de valencia) est´an h entero de ~ = = 1,05 × 10−34 Js; por lo que: parcialmente resguardados del n´ ucleo por los 2π electrones de las capas interiores que act´ uan como pantalla. As´ı, la energ´ıa de enlace de estos L = mvr = n~; n = 1, 2, 3, ... (4) electrones es solo de unos pocos eV. 1

Z representa el n´ umero de protones.

2

En el experimento de Franck-Hertz con Hg, s´ olo est´ an implicados los electrones exteriores de valencia. La energ´ıa del electr´ on de valencia en el estado fundamental G (o 6s2 ) es EG = −10,42eV . Los otros niveles de energ´ıa, H, I, etc., son estados excitados. El primer estado excitado H (o 6s6p)2 tiene una energ´ıa EH = −5,44eV. Por lo tanto la energ´ıa requerida para elevar al electr´ on desde el estado fundamental hasta el primer estado excitado H es:

Despu´es de haber conectado todo como en el diagrama se calent´o el Tubo de Franck-Hertz con Hg (555 854)(Marca LD Didactic GmbH) en el horno tubular el´ectrico( 200 W, 115 V 555 82, Marca LD) con ayuda de la unidad de operaci´on Franck-Hertz (555 880, marca LD) viendo, en el medidor de temperatura se˜ nalado por la letra ϑ, que se lleg´o al valor de 170◦ C3 . Una vez alcanzada esa temperatura se puso la unidad FH en modo diente de sierra y se ajustaron los voltajes U1 y U3 hasta que se observara en el osciloscopio Tektronix de 4 canales una gr´afica como la de la Fig.2. El osciloscopio se tuvo que poner en modo XY y se ajustaron la escala y el offset para que se alcanzara la curva deseada. Los valores que resultaron ser ´optimos fueron U 3 = (4,71 ± 0,05)V y U 1 = (3,01±0,05)V . A continuaci´on se cambi´o la unidad a modo manual con el fin de medir la corriente en el colector cuando se variava U2 : las mediciones de la corriente, se realizaron con un mult´ımetro (Marca Esteren Rs232C MUL-600), conectado a la salida anal´ogica IA , mientras que las mediciones para el potencial U2 se realizaron con la unidad Franck Hertz; para as´ı poder hacer una gr´afica manual del comportamiento de la corriente pues en el modo sierra se usan condensadores para provocar el cambio de voltaje en U2 y esto lleva a un corrimiento en la corriente que no es propio del fen´omeno estudiado.

∆E = EH −EG = (−5,44−[−10,42])eV = 4,9eV (12) Esta energ´ıa esta en perfecto acuerdo con los resultados espectrosc´ opicos para la linea de emisi´ on ultravioleta del mercurio λ = 254nm. Por lo tanto el experimento de Franck-Hertz proporciona una confirmaci´ on de la teor´ıa cu´ antica independiente de los resultados espectrosc´opicos. Por otro lado, en la mayor parte de los casos, la mejor estimaci´ on del valor esperado de una cantidad q, y para la cual se han hecho n mediciones independientes qk es la media aritm´etica o promedio q¯: 1 n Σ qk (13) n i=1 Mientras que la evaluaci´ on de la incertidumbre del an´ alisis estad´ıstico de un conjunto de mediciones qi , se logra con la ecuaci´ on: s Σni=1 (qi − q¯)2 UA = (14) n(n − 1) q¯ =

2.

3.

La Tabla 1, muestra los resultados de las mediciones de las corrientes en el colector I para cada voltaje U2 . Mientras que en la figura 4, se muestra la grafica de los datos de la tabla 1, corriente I en funci´on del potencial U2 . Usando Excel se hizo una interpolaci´on de los puntos en un gr´afica (Fig.4)y se obtubieron los puntos U2 para los cuales la funci´on alcanza los m´aximos; ´estos se presentan en la tabla 2. Luego se calculo la distancia entre los m´aximos, cuyos valores se presentan en la tabla 3. El promedio de las distancias entre los m´aximos se obtubieron haciendo uso de la ecuaci´on 13 y su incertidumbre se calcul´o mediante la ecuaci´on 14 obteni´endose el siguiente valor: ∆Uprom = (4,9 ± 0,8)V.

Desarrollo Experimental.

Se us´ o el kit Franck-Hertz de Leybold para realizar este experimento. La configuraci´on fue como en el siguiente diagrama. Figura 3.Diagrama del experimento de Franck-Hertz.

2 3

Resultados.

La configuraci´ on electr´ onica del Hg, es [Xe]6s2 5d10 4f 14 . Para este valor de la temperatura, el LED de temperatura de la unidad de Franck-Hertz se mantuvo en verde.

3

U2 (±0,05V ) 0 0.5 1.1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12.1 12.5 13.1 13.5 14.1 14.5 15 15.5 16 16.5 17.1 17.5 18.1 18.5 19.1 19.5 20 20.6 21 21.5 22.1 22.6 23 23.6 24.1 24.5 25 26.6 27.1 27.6 28.2 28.6 29.1 29.6 30.1

Tabla 1. Potencial contra corriente.

4

I(mA) 7.31(0.2) 7.29(0.2) 7.38(0.2) 7.36(0.2) 7.44(0.2) 7.42(0.2) 7.43(0.2) 7.55(0.2) 7.56(0.2) 7.86(0.21) 8.22(0.21) 8.22(0.21) 8.18(0.21) 9.06(0.23) 7.99(0.21) 7.93(0.21) 7.97(0.21) 8.73(0.21) 11.72(0.28) 10.8(0.27) 10.55(0.26) 9.5(0.24) 9.5(0.24) 9.5(0.24) 8.65(0.22) 8.4(0.22) 8.27(0.22) 8.36(0.22) 9.97(0.25) 12.2(0.29) 14.32(0.34) 14.18(0.33) 13.6(0.32) 11.66(0.28) 10.21(0.25) 9.65(0.24) 9.24(0.23) 9.61(0.24) 11.29(0.28) 14.2(0.33) 20.58(0.46) 25.49(0.56) 23.79(0.53) 16.65(0.38) 13.82(0.33) 12.52(0.3) 11.52(0.28) 11.55(0.28) 13.53(0.32) 18.54(0.42) 27.23(0.59) 27.11(0.59) 27.09(0.59) 23.76(0.53) 17.7(0.4) 16.35(0.38) 18.96(0.43) 27.23(0.59) 27.15(0.59)

midio la corriente en miliamperes. De aqu´ı que aunque lo medido por la unidad F-H y lo medido por el mult´ımetro sea proporcional, no se hizo estudio alguno sobre la tensi´on de salida UA , la cual se piensa contribuy´o a la alta incertidumbre en la medici´on, afectando al valor medido de las corrientes por el mult´ımetro y por tanto a la determinaci´on de los m´aximos. Por otro lado los potenciale U2 se fueron tomando en promedio cada 0.5V de 0V a 30V, quiza lo conveniente hubiera sido tomar tomar los valores de U2 cada 0.1V para tener una mejor determinaci´on de los m´aximos y disminuir la incertidumbre obtenida. Tambi´en es importante observar que la forma de la gr´afica muestra que hay un periodo de choques el´asticos donde la curva es creciente y uno de choques inel´asticos donde la curva es decreciente, este patr´on en la gr´afica es el esperado pues confirma el caracter discreto de los niveles de energ´ıa internos de los ´atomos de mercurio.

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Figura 4. Gr´ afica de la corriente en funci´on del potencial U2 . Tabla 2. Puntos m´ aximos U2 . xmax (±0,05)V 1 6.5 2 9 3 15 4 20.6 5 28.6

5.

El promedio de las distacias entre los m´aximos es de ∆Uprom = (4,9 ± 0,8)V lo que corresponde con la energ´ıa de absorci´on del mercirio, de 4.88eV[4]. Mientras que la forma de la gr´afica obtenida confirma el hecho de que hayan colisiones inel´asticas de electrones con el vapor de mercurio solo en valores discretos como lo predice la teor´ıa de la mec´anica cu´antica.

Tabla 3. Distancias entre los m´ aximos U2 . ∆xmax (±0,05)V 1 2.5 2 6 3 5.6 4 5.5

4.

Conclusiones.

An´ alisis y discusi´ on.

Referencias

De los resultados, podemos observar que el promedio de las distancias entre los m´ aximos corresponde a la energ´ıa de absorci´ on de Hg presentada en la que la Ec.12 que es de 4.88eV. La incertidumbre relacionada con el valor promedio de los m´ aximos es de 16.3 %. La corriente fu´e medida con el mult´ımetro que se conect´ o a la salida anal´ ogica UA , la cual seg´ un el manual de la unidad de Franck-Hertz suministra una tensi´on de salida proporcional a la corriente colectora I; UA de modo que I = 1nA · . Entonces la unidad V de Franck-Hertz mide la corriente colectada en nanoAmperes, mientras que en el mult´ımetro, se

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